当前位置：文档之家 › 第五节 极限的存在性定理

第五节 极限的存在性定理

  • 格式：ppt
  • 大小：565.00 KB
  • 文档页数：12

下载文档原格式

  / 12

合集下载

高等数学：第五节 极限运算法则

高等数学：第五节 极限运算法则

lim
x
a0 xm b0 xn
a1 xm1 b1 xn1
am bn
a0 ,当n m, b0 0,当n m,
,当n m.
11/23
例5
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无穷小之和． 先变形再求极限.
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1
n(n 1)
lim 2 n
n2
lim
n
n2 n 2n2
1. 2
12/23
例6 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
lim sin x 0. x x
y sin x x 13/23
例7
设
f (x)
1 x,
x
2
1,
x 0,求 lim f ( x). x 0 x0
证 lim f ( x) A, lim g( x) B. f ( x) A , g( x) B . 其中 0, 0. 由无穷小运算法则,得
2/23
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
设函数y f [( x)]是由函数y f (u)与函数u ( x)复合而成，
f
[
(
x)]在x0的某个去心邻域有定义，若
lim
x x0
(
x)
u0
,
lim

《数列的极限》课件

《数列的极限》课件

单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。

第五节极限的运算法则

第五节极限的运算法则

所以
3
2
第五节 极限运算法则
lim
x
a0 xm a1xm1 b0 xn b1xn1
am bn


a0 , b0 0, ,
n
n n


m
m m
,
, ,
为非负整数 ).
第五节 极限运算法则
三、复合函数的极限运算法则
定理6 设函数 y = f [g(x)] 是由函数 u = g(x) 与函数
lim2x
3
2x 2 3x
3
.
2
3
2
第第五五节节 极极限限运 运算 算法 法则 则
lim 例6
求
xx
2
3 x 22 x33
x 22
2x 1 3x
2
.
解
第五节 极限运算法则
lilmim lim lilmim 数极例 由解限x例7x的5因求、2公为x3例33式xxxx2362：x、23232xx例分xxx23分23x7子 21子，132分x2x分可2母x2母得1x除.除到1x以3以当2x3xx2x3xx321x3xx21x232x332时x1，3x023.有理0 .分式函
定理3 如果limlim定f (fx理()x)3liAm如, 果lfim(xl)gim(定x)fA理(x.B)3, A如那, 果l么im lgim(x)f (xB) , A那
(1) lim[ f (x) g((gx2())x] )lilmiml[imff((xgx)()xg)(lix(m)3]B)g(若xli)m又fA有(x)BB li;m0第g，(四x则)节无Al穷im
解 因为分母的极限不为零，故
有理例分1可式lx以i函m2推数x广2.x到35x有1 3理函l数ximl2(xi多m(2x项2(x式35x)1，) 3例) 2可以推广到

微积分课程教学大纲

微积分课程教学大纲

微积分课程教学大纲摘要：微积分[M].上海:复旦大学出版社,2005年出版(05级使用).课程概述:微积分是研究变量及其变化规律的科学,它具有丰富的内容和深刻的思想.它为研究事物的发展变化提供...关键词：微积分类别：专题技术来源：牛档搜索（）本文系牛档搜索（）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。

不代表牛档搜索（）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（）不对其付相应的法律责任！《微积分》课程教学大纲适用专业:经济类、管理类专业执笔人：鲍远圣、陈美霞审定人：李辉系负责人：张从军南京财经大学应用数学系《微积分》课程教学大纲课程代码：300001/300019英文名：Calculus课程类别：文化技能课适用专业：经济类、管理类专业前置课：初等数学后置课：线性代数、概率论与数理统计、数学建模学分：8学分课时：155课时主讲教师：王育全等选定教材：[1]龚德恩等.《经济数学基础（第一分册微积分）》[M]，成都:四川人民出版社，2004（04级使用）；[2]张从军、王育全、李辉、刘玉华. 微积分[M].上海:复旦大学出版社，2005年出版（05级使用）.课程概述：微积分是研究变量及其变化规律的科学，它具有丰富的内容和深刻的思想。

它为研究事物的发展变化提供了基本的数学基础和框架。

微积分在各种实际问题中有着广泛的应用。

《微积分》课程是高等财经院校中财经类专业的一门重要的公共基础课，是后继专业基础课和专业课程的基础。

本课程以函数为主要研究对象，以极限分析为基本方法，系统地介绍了微积分的基本理论与基本方法，同时着重介绍了微积分在实际问题尤其在经济问题中的应用。

教学目的：通过本课程的学习，使学生系统掌握微积分的基本理论和基本方法。

培养学生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及综合运用所学知识进行分析、解决实际问题的能力，为进一步学习其它数学课程和专业课程打好基础。

导函数极限存在定理

导函数极限存在定理

导函数极限定理条件：()f x 在(),a b 连续，在()()00,,a x x b 可导，()0,x a b ∈；0lim ()x x f x →'（00lim (),lim ()x x x x f x f x +-→→''）∃∞或为 结论：00()lim ()x x f x f x →''=（0000()lim (),()lim ()x x x x f x f x f x f x +-+-→→''''==）∃∞或为 定理的证明（以0x x +→为例）：洛必达，拉格朗日()000000000000()()()lim lim ()()()()lim lim ()lim ()x x x x x x x x x x f x f x f x f x x x f x f x f x f f x x x x x ξξ++++++→→+→→→-''==--'''===<<-洛拉格 定理的意义：1.若()f x 在(),a b 可导（其实就是在原有条件基础上加0()f x '存在），则()f x '在(),a b 内不能有第一类间断点和无穷间断点；即()f x '在(),a b 内要么连续，要么有震荡间断点；2. 如果函数()f x 在区间I 上有第一类间断点或者无穷间断点，则在区间I 上()f x 没有原函数.3.若()f x 在0x x =处连续，0lim ()x x f x A →'=，则00()lim ()x x f x f x A →''==，即()f x '在0x x =处连续.显示了导函数()f x '连续性与()f x 连续性的不同.震荡间断点情况举例：2111sin ,0,2sin cos ,0,()()()0,0,0,0.x x x x x x x f x g x f x x x ⎧⎧≠-≠⎪⎪'===⎨⎨⎪⎪==⎩⎩()f x 处处可导，()f x '出现了震荡间断点；有：(1)0lim ()x f x →'不存在，(0)f '却存在；(2)()g x 不连续（有震荡间断点），但原函数()f x 存在.应用：分段函数在分段点处的导数1.必须判定()f x 0x x =处的连续性. 2.求出0x x ≠处的()f x '. 3.求00lim (),lim ()x x x x f x f x +-→→''： （1）若存在，则00(),()f x f x +-''存在. （2）若不存在，分情况： 0lim ()x x f x +→'（或0lim ()x x f x -→'）为无穷，则0()f x +'（或0()f x -'）为无穷，0()f x '不存；0lim ()x x f x +→'为震荡，则0()f x +'不确定存不存在，需要用定义判定（局限）.。

极限存在定理

极限存在定理

极限存在定理
1 极限存在定理
极限存在定理是数学中独特而重要的定理，它可以帮助我们证明某些数学理论。

这一定理由18世纪英国数学家欧文提出，他认为当函数的值在某一范围内逐渐靠近某一值时，它的极限是这个值。

换句话说，当一个函数的值接近一个特定值但又无法达到它时，这个函数的极限就是这个特定值。

这就是极限存在定理，它主要用来证明实数的连续性以及多项式的截断，也常常用来证明某些数学理论的正确性。

2 应用
极限存在定理在数学中有很多应用。

首先，它可以帮助我们证明函数和实数的连续性。

比如对于函数f(x)，在其变量x逐渐变化时，可以由极限存在定理来证明，只要在一定范围内满足一定条件，f(x) 就能够渐近某一数值；从而证明实数的连续性。

其次，极限存在定理也可以应用在解析几何中。

特别的，极限存在定理也可以帮助我们证明多项式的截断。

假设给定多项式
f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_nx^n，那么极限存在定理说明，当x的值接近某一特定的数值时，多项式的值也将逐渐靠近另外一个特定数值，而这个特定数值就是多项式的极限值。

此外，极限存在定理也可以被用来证明某种数学理论的正确性。

它可以帮助我们证明令人困惑的数学概念，并可以估计函数的值。

3 总结
总的来说，极限存在定理是数学中的重要定理。

它主要用来证明函数的连续性、多项式的截断以及一些数学理论的正确性，它对数学理论的发展具有重要意义。

因此，极限存在定理在数学学习和数学实践中都是至关重要的。

第五节极限的存在性定理

第五节 极限的存在性定理
若 yn M , MR , 则称 {yn} 有上界. 若 yn m , mR， 则称 {yn} 有下界. {yn}:有界 既有上界又
有下界.
一个数列有界(有上界, 有下界), 则 必有无穷多个界(上界, 下界).
数列{xn}的所有上界中的最小者 , 称为数列的上确界 , 记为 sup xn.
若 lim g(x) lim h(x) A , 则必有
x x0 ( x)
xx0 ( x)
lim f (x) A.
xx0 ( x)
例5 求
1

lim
x0

2x
5
3xxຫໍສະໝຸດ 111解
0


2x
3x 5
x

2 3x 5
x
x2 2
n
x2 2

n
1
xn

x2 2
n

n
3
x2 2
得
x2 f (x)
2
1 故 f (x) x
x 2
2
0 x 1 1 x 2
x2
两边取极限,得:
a a2 2a
得 a 1
a 0 (舍去)
例 求数列 3, 3 3 , 3 3 3 , 的极限. 解 令 y1 3, y2 3 3 , y3 3 3 3 , (1)存在性
a) 单调性
n 1 时 3 1 3 3 3 3 3 3 y1 y2 设 n k 时 yk yk1
两边夹定理
y
看懂后, 用精确地语言描述它.
y h(x)
y A

两个重要极限、无穷小的比较


例如
0 4.无穷小的比较是 型极限的另外一种说法； 0 （）和 lim lim 5.有两个重要的符号 0 0
x2 2 2 2 (1) lim 0， 当 x 0 时 , 3 x x 是比 3 x x 低 高阶的无穷小; 即 x o (3 x ) ( x 0). x 0 3 x sin x (2) lim 1， 当 x 0x 时， sin 与 x 是等价无穷小． 即 sin x~ (x x0). x0 x 1 2 1 cos x 1 2 ( 3) lim 1 ， 当 x 0 时， 1 cos x 与 x (3) ， 0 时， 1 cos x 是 x 是同阶无穷小． 的二阶无穷小． 即 1 cos x ~ x ( x 0). 2 x 0 1x 2 2 2 x 2 19
形状一致.
1 sin sin 2 x x 1 如： lim 1 u 2 x （令 ） lim x0 2x x 1 x 即 lim x sin 1 1 sin(sin x ) sin( x 1) lim 1 lim 1 x + x x 1 x 0 x 1 sin x 0 可以解决含有三角函数的 型的极限问题. 0 2) 作用： 0 , 0 都适用
又 x1 3 3,假定 xk 3, x k 1 3 x k
x n 存在. xn 是有界的; lim n
3 3 3,
xn1 3 xn , x
2 n1
3 x n , lim x
n
2 n1
lim( 3 x n ),
（1 ）
11

3 x 2x m n mn 补例.1.求 lim( ) . (a ) a 1 x 2 x 2x 1 2( x 2) 4 （1+ 3 ） 解: 原式 lim(1 ) x x x 原式 2 lim 2 2x 1 2( x 2 1 x lim(1 ) ) (1 )4 (1 x ) x x2 x 2 3 x *6 3 1 x 2 2 2 （1+ ） 2 lim[(1 ) ]e . x e . lim x x2 x x 2 2 *4 1 (1 ) x 1 x 2.求 lim x 1

第5节极限存在性定理与两个重要极限


tan2 2 x 求 极 限 lim . x 0 1 cos x
1 2 解 当 x 0 时, 1 cos x ~ x , tan2 x ~ 2 x . 2 (2 x )2 原式 lim 8 . 2 x 0 1 / 2 x
13
例7
tan x sin x 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
lim [1 ] e
1
1 x 例9 求 lim(1 ) . x x
解
1 x 1 原式 lim[(1 ) ] x x 1 1 lim . x 1 x e (1 ) x
21
2 x 例10 求 lim(1 ) . x x x x 2 2 2 2 2 2 2 [(1 ) ] [lim(1 ) ] e . 解 原 式 lim x x x x 3 x 2x ) . 例11 求 lim( "1 " x 2 x
1 n n
2
n n 1
2
lim
n
1
lim(
n
1 n 1
2

1 1 2 n 1 2 n 2
1,
) 1.
2
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.
定理(夹逼定理) 设在 x0 的某空心邻域内恒有
g( x ) f ( x ) h( x )
且有 lim g( x ) lim h( x ) A ，
4 cos x
2
e4 .
22
例13
连续复利问题
将本金A0 存入银行 , 年利率为 r, 则一年后本息 之和为 A0 (1 r ) . 如果年利率仍为 r， 但半年计一次 利息 ,且利息不取，前期的本息之和作为下期的本金 再计算以后的利息，这样利息又生利息，由于半年

高等数学课件2-5极限存在准则

1 sin 2
sin x x tan x
cos x sin x x 1
(0 x ) 2
显然有
而
x 0
(0 x ) 2
lim cos x 1
由夹逼准则得
例2. 求 解:
tan x x
lim
x 0
sin x 1 lim x 0 x cos x
2 ; ____
x
2
7.
m lim 1 x x
x2 1 8 . lim x x2 1
10. lim (
x
e ____
2
lim (1 sin x )
x 0
csc x
e ______

2

x ) tan x ____ ;
lim (1 1)
t t
t 1
lim [(1 1) (1 1)] e
t t t
故
lim (1 1 ) e x
x x
( x )
1 z
lim (1
( x) 1 ) ( x)
e,
Note: 此极限也可写为 lim (1 z ) e
z 0
例7. 求
解: 令 t x , 则
t
( x )
lim (1
( x) 1 ( x)
)
e,
lim (1 1)
t
t
lim
1
t
2)原式
lim
x
(1 1x ) x 1 e 1
例8. 求 解: 原式 =
1 x
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
( A) 存在且等于零 (B ) 存在但不一定等于零
(C ) 一定不存在
(D) 不一定存在.
答案 (D).
例3 求 lim( n 解
n n n
2
1 n 1
2

1 n 2
2

1 n n
2
).
因为

1 n 1
2

1
1 n 2
2

1 n n
2

n n2 1
n n 2 n 且 lim n 1
lim x n lim z n A n
n
则 数列 yn 极限存在,并且lim yn A n 证 由已知, 对 0, N Z ,当n N时 xn A 同时成z n
此时 A xn yn zn A
n k 1时 yk yk 1 3 yk 3 yk 1 yk 1 yk 2
故对一切正整数 n 有 yn yn1 , 所以数列递增.
b) 有界性
n 1时 y1 3 3
设 n k 时 yk 3 n k 1时 yk 3 3 yk 32 3 yk 3 yk 1 3
所以 yn A 因此 lim yn A. n
成立
注 (1)此定理称为两边夹法则或夹逼定理. (2)不等式两边极限必须存在且相等. (3)此定理对一般函数极限仍然成立.
补充 (00年考研真题3分)
设对任意的 x , 总有 ( x ) f ( x ) g( x ), 且 lim[ g( x ) ( x )] 0, 则 lim f ( x ) x x
x n 1 A x n 1 A x n 2 A 2 4 4 Axn1 x1 A 2 1 n 1 n 1 4 4 2 1 2 1 1 只需 n log4 1 取 N log4
故极限存在.
定理2.15 如果数列 xn , yn , zn 满足下列条件 (1)从某项开始有 xn yn zn (2)
解
(1)求值
则 即
n
假设 lim xn A n
1 2 lim x n
n
lim x n 1
1 A 2 A 1 A
2
因 xn 2 故 A 1 2.
(2)存在性
要使
对 0,
1
1 1 1 xn A ( 2 x ) ( 2 A ) x n 1 A n 1
n
lim
n
所以 原式 1 .
n2 1
例4 求 lim(1 2 3 4 5 ) . n
n n n n
1 n n
解
因为
1 n n
1 n n
(1n 2n 3n 4n 5 ) 5 (5 )
(5 5 )
1 n n
55
1 n
n 且 1 lim(5 5 n ) 5 n
第五节 极限的存在性定理
定理2.14 单调有界数列必有极限. 例1 求数列 3 , 3 3 , 3 3 3 , 的极限.
解 令 y1 3 , y2 3 3 , y3 3 3 3 , (1)存在性
a ) 单调性 n 1 时 3 1 3 3 3 3 3 3 y1 y2 设 n k 时 yk yk 1
故对一切正整数 n 有 yn 3 ,所以 数列有界. 综上所述, 数列极限存在.
(2)求值 设 lim yn A n 将 yn 3 yn1 两边求极限 得 lim yn 3nlim yn1 n 即 A 3A 故 A3
1 例2 设 x1 2, xn1 2 , n 1 ,求 lim xn . n xn
lim 5 5
所以 原式 5.
常见的建立不等式的方法
(1)分母变大分数值变小,分母变小 分数值变大.
(2)去掉小项和变小,小项变大和变大.