矩形的判定专项练习题

矩形的判定试题及答案一、选择题1. 下列选项中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）。

A. AB∥CD，AD∥BCB. ∠A=∠B=∠C=∠D=90°C. 对角线AC=BD且互相平分D. AB=CD且AD=BC答案：D2. 如果一个平行四边形的对角线相等，那么这个平行四边形一定是（）。

A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 梯形答案：C二、填空题3. 在矩形ABCD中，若∠BAC=90°，AB=3cm，BC=4cm，则对角线AC的长度为_________。

答案：5cm（根据勾股定理）4. 若矩形的长为8cm，宽为6cm，则其周长为_________。

答案：28cm（周长=2*（长+宽））三、解答题5. 已知平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，∠B=90°，求证：ABCD是矩形。

证明：由于ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AD∥BC。

又因为∠B=90°，根据平行四边形的性质，对应的角也相等，即∠A=∠C=∠D=90°。

因此，ABCD是一个矩形。

6. 如图所示，矩形EFGH中，EF=6cm，FH=8cm，求对角线EH的长度。

解：由于EFGH是矩形，所以EH是FH的对角线，并且EH=GF。

根据矩形的性质，对角线相等，所以EH=FH。

又因为FH=8cm，所以EH=8cm。

四、综合题7. 在矩形PQMN中，已知PQ=10cm，QM=4cm，求证：对角线PN的长度为√41cm。

证明：由于PQMN是矩形，所以PQ∥MN，PM∥QN，且∠PQM=∠QMN=90°。

根据勾股定理，PN² = PM² + QM²。

由于PM=QN=PQ=10cm，QM=4cm，所以PN² = 10² + 4² = 100 + 16 = 116。

因此，PN = √116 = √41cm。

答案：对角线PN的长度为√41cm。

矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形。

矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形的对角线相等且互相平分。

特别提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形具有平行四边形的一切性质。

矩形的判定方法有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形【例题】专题一：矩形的性质矩形的性质性质1. 矩形的四个角都是直角。

几何语言：∵四边形ABCD 是矩形；∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°性质2. 矩形的对角线相等且平分。

几何语言：∵四边形ABCD 是矩形；∴OA=OC=OB=OD=D B 21AC 21==性质3. 对边平行且相等几何语言：∵四边形ABCD 是矩形；∴AD=BC ， AD ∥BC 或者 AB=CD ， AB ∥CD3. 直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

几何语言：∵ 在Rt △ABC 中，OA=OC （OB 是AC 边上的中线）∴ OB=21AC在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。

矩形具有平行四边形的一切性质。

1．如图，矩形ABCD 中，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，若AE=1，EF ＝2，则FC ＝ ，AB ＝ 。

FEADBFC ＝1，AB ＝2.2．只用一把刻度尺检查一张四边形纸片是否是矩形，下列操作中最为恰当的是（ ）A. 先测量两对角线是否互相平分，再测量对角线是否相等 CB. 先测量两对角线是否互相平分，再测量是否有一个直角C. 先测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等D. 先测量两组对边是否互相平行，再测量对角线是否相等3.已知：如图3-32，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC = 10cm ，∠ACB = 30°, 则∠AOB = °，AD = cm ；60 534.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点E 处，求证：EF =DF .5.如图，在Rt ⊿ABC 中，∠C = 90，AC = AB ，AB = 30，矩形 DEFG 的一边DE 在AB 上，顶点G 、F 分别在AC 、BC 上，若 DG ：GF = 1：4，则矩形DEFG 的面积是 100 ；专题二：矩形的判定图3-32OBACDABCDF G矩形的判定方法方法1：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的判定1.如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形为矩形，只需加上的一个条件是（填上你认为正确的一个答案即可）．2.如图，已知四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘，且AD=BC，求证：四边形ABCD是矩形．3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=OA，则当∠AOB=时，平行四边形ABCD是矩形．4.下列命题中，不正确的是()A．有三个角是直角的四边形是矩形B．四个角都相等的四边形是矩形C．有一个角是直角的平行四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形5.已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠1=∠2．求证：平行四边形ABCD是矩形．6.如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．7.已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．8.如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE=DF，∠AEC=90∘．求证：四边形AECF为矩形．9.如图，将平行四边形ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，DE交边BC于点F.(1) 求证：BF=CF;(2) 若∠A=1∠EFC，求证：四边形BECD是矩形210.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，∠1=∠2．(1) 求证：四边形ABCD是矩形；(2) 若∠BOC=120∘，AB=4cm，求四边形ABCD的面积．11.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．(1) 求证：△ADC≅△ECD；(2) 若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．12.如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，将△ADC沿AC边翻折得到△AEC，连接DE．(1) 证明：△ADE是等边三角形；(2) 取AB边的中点F，连接CF、CE，证明：四边形AFCE是矩形．矩形的判定1.【答案】∠A=90∘或∠B=90∘或∠C=90∘或∠D=90∘【解析】由AB∥DC，AB=DC可得四边形ABCD是平行四边形，根据“有一角是直角的平行四边形是矩形”添加条件．2.【答案】略【解析】如图，连接BD．∵∠A=∠C=90∘，∴△BAD和△BCD均为直角三角形．又AD=BC，BD=BD，∴Rt△ABD≅Rt△CDB．∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∠A=90∘，∴四边形ABCD是矩形．3.【答案】60∘【解析】要使平行四边形ABCD为矩形则AC=BD则OA=OB再者AB=OA∴AB=OA=OB∴△OAB为等边三角形则∠AOB=60∘4.【答案】D【解析】D选项：对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以D错5.【答案】略【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD∵∠1=∠2∴OA=OB∴OA=OB=OC=OD即AC=BD∴平行四边形ABCD是矩形．6.【答案】略【解析】∵AB=BC，BD平分∠ABC ∴BD⊥AC，AD=CD∵四边形ABED是平行四边形∴BE∥AD，BE=AD∴BE∥CD，BE=CD∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90∘，∴平行四边形BECD是矩形．7.【答案】略【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC∴∠DAB+∠ABC=180∘∵AH、BH分别平分∠DAB与∠ABC∴∠HAB=12∠DAB，∠HBA=12∠ABC∴∠HAB+∠HBA=12(∠DAB+∠ABC)=90∘∴∠H=90∘同理∠HEF=∠AED=90∘，∠F=90∘∴四边形EFGH是矩形．8.【答案】略【解析】连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD∵BE=DF∴OB−BE=OD−DF即OE=OF又∵OA=OC∴四边形AECF是平行四边形∵∠AEC=90∘∴四边形AECF为矩形．9.(1)【答案】略【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴AE//DC，且AB=CD又∵BE=AB∴BE=CD则四边形BECD为平行四边形∴BF=CF(2)【答案】略∠EFC 【解析】因为∠A=∠FBE，又∠A=12∠EFC=∠FBE所以12由外角关系知，∠EFC=∠FBE+∠FEB所以∠FBE=∠FEB所以FB=FE，所以BC=DE所以平行四边形BECD为矩形10.(1)【答案】略【解析】∵∠1=∠2∴BO=CO，即2BO=2CO∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO，BO=OD即AC=2CO，BD=2BO∴AC=BD∵四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形(2)【答案】四边形ABCD的面积为16√3cm2．【解析】在△BOC中，∠BOC=120∘∴∠1=∠2=(180∘−120∘)÷2=30∘∴在Rt△ABC中，AC=2AB=2×4=8cm∴BC=√82−42=4√3cm∴四边形ABCD的面积=4√3×4=16√3cm211.(1)【答案】略【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．∵四边形ABDE是平行四边形，∴DE∥AB且DE=AB．∴∠EDC=∠B，AC=ED．∴∠ACB=∠EDC．又DC=CD，∴△ADC≅△ECD．(2)【答案】略【解析】∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD且AE=BD．∵BD=CD，∴AE∥CD且AE=CD．∴四边形ADCE为平行四边形．∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC．∴∠ADC=90∘．∴四边形ADCE为矩形．12.(1)【答案】略【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠CAB=60∘．∵点D是BC边的中点，∴∠DAC=1∠BAC=30∘．2将△ADC沿AC边翻折得到△AEC，∴AD=AE，∠CAE=∠DAC=30∘，CD=CE，∴∠DAE=60∘．∴△ADE是等边三角形．(2)【答案】略【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60∘．F为AB中点，D为BC中点，∴AF=CD=CE．∵∠CAE=30∘，∴∠FAE=90∘．在ΔACF和ΔCAD中{AF=CD∠BAC=∠BCAAC=AC∴ΔACF≅ΔCAD(SAS)∴CF=AD∵△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∴CF=AE．即AF=CE，AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵∠FAE=90∘，∴四边形AFCE是矩形．。

矩形的判定（练习一）1、如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是___________。

2、如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，∠A=90．要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是___________。

3、木工周师傅计划做一个长方形桌面，实际测量得到桌面的长为80cm，宽为60cm，对角线为120cm，这个桌面___________（“合格”或者“不合格”）4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE 是矩形．5、如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=CD，问四边形ABCD是矩形吗？说明你的理由。

6、如图，点B、O、C三点共线，OE、OD分别平分∠AOB和∠AOC，且OE∥AD，AE∥OD；求证：四边形ADOE是矩形。

7、如图：口ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，求证：四边形DEBF是矩形90。

求证：四边形ABCD 8、如图，在四边形ABCD中，BF=DE，AC和EF互相平分并交于点O，∠B=0是矩形9、已知如图：口ABCD中，各内角的角平分线相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH是平行四边形．10、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，求证：四边形ADCE为矩形；11、如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：（1）四边形BCDE是平行四边形．（2）口BCDE是矩形矩形的判定（练习二）1、如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°B．AB∥CD，AB=CD，AB⊥ADC．AO=BO，CO=DO D．AO=BO=CO=DO2、检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（）A．测量两条对角线，是否相等B．测量两条对角线，是否互相平分C．测量门框的三个角，是否都是直角D．测量两条对角线，是否互相垂直3、如图，在口ABCD中，∠1=∠2，此时，四边形ABCD是矩形吗？请说明理由。

DACF OEB20.2 矩形的判定A 卷一、选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相垂直 2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．A ．1B ．2C ．3D ．43．下列命题中，正确的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．三个角是直角的多边形是矩形C ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D ．有三个角是直角的四边形是矩形 二、填空题4．如图1所示，矩形ABCD 中的两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形的对角线的长为_____．图1 图25．若四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相等，且互相平分于点O ，则四边形ABCD•是_____形，若∠AOB=60°，那么AB ：AC=______．6．如图2所示，已知矩形ABCD 周长为24cm ，对角线交于点O ，OE⊥DC 于点E ， OF⊥AD 于点F ，OF-OE=2cm ，则AB=______，BC=______．三、解答题7．如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H两点，试说明四边形EFGH是矩形．四、思考题8．如图所示，△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB和它的邻补角∠AC D．AE ⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB，AC于M，N两点，则四边形AECF是矩形吗？为什么？参考答案一、1．C 点拨：A与B都是平行四边形的性质，而D是一般矩形与平行四边形都不具有的性质．2．B 点拨：③是矩形的判定定理；④中对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故④能判定矩形，应选B．3．D 点拨：选项D是矩形的判定定理．二、4．8cm5．矩；1：2 点拨：利用对角线互相平分来判定此四边形是平行四边形，再根据对角线相等来判定此平行四边形是矩形．由矩形的对角线相等且互相平分，•可知△AOB是等腰三角形，又因为∠AOB=60°，所以AB=AO=12 AC．6．8cm；4cm三、7．解：在□ABCD中，因为AD∥BC，所以∠DAB+∠CBA=180°，又因为∠HAB=12∠DAB，∠HBA=12∠CBA．所以∠HAB+∠HBA=90°，所以∠H=90°．同理可求得∠HEF= ∠F= ∠FGH=90°，所以四边形EFGH是矩形．点拨：由于“两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直”，所以很容易求出四边形EFGH 的四个角都是直角，从而求得四边形EFGH是矩形．四、8．解：四边形AECF是矩形．理由：因为CE平分∠ACB，•CF•平分∠ACD，•所以∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD．所以∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°．又因为AE⊥CE，AF⊥CF，•所以∠AEC=∠AFC=90°，所以四边形AECF是矩形．点拨：•本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．20.2 矩形的判定B 卷一、七彩题1．（一题多解题）如图所示，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，CD⊥AB 于D ，P•为BC 上的一点，过P 点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E ，F ，则有PE+PF=CD ，你能说明为什么吗？D ACF PE B二、知识交叉题2．（当堂交叉题）如图所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，AE•是∠CAF 的平分线且∠CAF 是△ABC 的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE 是矩形吗？为什么？三、实际应用题3．如图所示是一个书架，•你能用一根绳子检查一下书架的侧边是否和上下底垂直吗？为什么？四、经典中考题4．（连云港）已知AC为矩形ABCD的对角线，则下图中∠1与∠2一定不相等的是（）五、探究学习1．（图形方案设计题）正方形通过剪切可以拼成三角形．方法如图1所示，仿照图1上用图示的方法，解答下面问题：如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，•再拼成一个与原三角形等面积的矩形．图1 图22．（展开与折叠题）已知如图所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再过点D折叠，使AD落在折痕BD上，得另一折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长度．3.已知：如图所示，ABCD中，AC，BD相交于点O，且△AOB是等边三角形，•边长为6，求这个平行四边形的面积．在解答本题时合作学习小组中有两种做法：甲生：因为OA=6，所以AC=12．因为AB=6，所以=所以S ABCD =AB．乙生：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC=12AC，OB=OD=12BD．又因为在等边△AOB中，OA=OB=AB=6，所以AC=BD=12．所以ABCD是矩形，所以∠ABC=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理，得，所以S□ABCD =AB分析以上两种解法，说明两种解法的对错，如果有错误指出错误的原因．参考答案一、1．解法一：能．如图1所示，过P点作PH⊥DC，垂足为H．因为PE⊥AB，CD⊥AB，PH⊥CD，所以∠PED=∠EDH=∠DHP=90°．所以四边形PHDE是矩形．所以PE=DH，PH∥BD．所以∠HPC=∠B．又因为AB=AC，所以∠B=∠ACB．所以∠HPC=∠FCP．又因为PC=CP，∠PHC=∠CFP=90°，所以△PHC≌△CFP．所以PF=HC．所以DH+HC=PE+PF，即DC=PE+PF．图1 图2解法二：能．延长EP，过C点作CH⊥EP，垂足为H，如图2所示，因为PE⊥AB， CD⊥AB，CH⊥EH，所以∠HED=∠EDC=∠CHE=90°．所以四边形HEDC是矩形．所以EH=•PE+PH=DC，CH∥AB．所以∠HCP=∠B．又因为AB=AC，所以∠B=∠ACP．所以∠HCP=∠FCP．又因为PC=PC，∠H=∠CFP，所以△PHC≌△PFC，所以PH=PF，所以PE+PF=DC．点拨：要说明DC=PE+PF，一般有两种思路：过P点作PH⊥DC，垂足为H，再说明PE=•DH，PF=HC（即可；也可过C点作CH⊥EP，交EP的延长线于H，再说明EH=DC，PH=PF．二、2．解：四边形ADCE是矩形；理由：由AB=AC，可得△ABC是等腰三角形．•所以∠B=∠ACB．由等腰三角形的三线合一性，可得BD=CD，AE是∠CAF的平分线，所以∠CAE=12∠CAF．由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得出∠CAF=∠B+∠ACB=2∠ACB，所以∠CAE=∠ACB，所以AE∥BC．又DE∥BA，所以四边形ABDE是平行四边形，•所以AE=BD，所以AE=DC．又因为AE∥DC，所以四边形ADCE是平行四边形．又因为AD是BC边上的高，所以AD⊥BC，即∠ADC=90°，所以四边形ADCE是矩形．点拨：要判断四边形ADCE是否为矩形，通过分析图形，先猜想其为矩形，再进一步验证，可通过等腰三角形的三线合一性及平行四边形的性质得出结论．三、3．解：能；首先用绳子量一下书架的两组对边，若两组对边分别相等，•则说明书架是平行四边形；再用绳子量一下书架的对角线，若对角线相等，则书架的侧边和上下底垂直，否则不垂直．根据对角线相等的平行四边形是矩形．点拨：在解此题时，很多同学往往只会想到量一下对角线就下结论而导致出错．四、4．D五、探究学习1．解：本题有多种拼法，下面提供几种供参考：方法一：如图（1），方法二：如图（2）点拨：本题属于方案设计题，设计的方法不惟一．2．解：如图所示，过点G作GE⊥BD于点E，则沿DG折叠时，DA与DE重合，则AG=EG，AD=ED．在Rt△ABD中，由勾股定理，得=所以-1，BG=•AB-AG=2-AG ，设AG=EG=x ，则BG=2-x ．在Rt△BEG 中，由勾股定理，得BG 2=EG 2+BE 2，即（2-x ）2=-1）2+x 2，解得x=12，即AG=12．点拨：（1）图形的折叠问题实质上是轴对称问题；（2）解决本题的关键是把方法集中到Rt△BEG 中去利用勾股定理．3.解：甲生错误．甲生在解题过程中，直接利用□ABCD 是矩形是个错误，因为□ABCD 是矩形已知条件中没有，没有证明，不能应用这个条件直接解题．乙生正确．。

CBA D矩形的判定一.选择题1．下列命题中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形C ．有一个角是直角的四边形是矩形D ．内角都相等的四边形是矩形 2．下列条件中，能判断一个四边形是矩形的是( )A. 对角相等B. 对角线互相垂直C. 对角线互相垂直且相等D. 对角线互相平分且相等 3．下列给出的条件中，不能判断一个四边形是矩形的是( ) A.一组对边平行，另一组对边相等．且两条对角线相等 B. 有三个角都是直角C. 两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形D. 一组对边平行且相等，有一个内角是直角4．四边形ABCD 的对角线交于点O ，在下列条件中，不能说明它是矩形的是 （ ） A. AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90° B.∠BAD=∠ABC =90°,∠BAD+∠ADC=180° C ∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠ADC=180° D. AO=CO,BO=DO,AC=BD5．若顺次连结一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（ ） A ．一般平行四边形 B ．对角线互相垂直的四边形 C ．对角线相等的四边形 D ．矩形 6．下列条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是（ ）． A ．AB ∥CD ，AB=CD ，AC=BD B ．∠A=∠B=∠D=90° C ．AB=BC ，AD=CD ，且∠C=90° D ．AB=CD ，AD=BC ，∠A=90° 7.如图，在扇形中，∠AOB =90度，OA=5，C 是弧AB 上一点，且CD ⊥OB ，CE ⊥OA ，垂足分别为点D 、E ，则DE = ．8.如图，两张宽为1cm 的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD,已知∠BAD=60°则重叠部分的面积是cm 2．三、综合提高1．已知：如图，在ABCD 中，O 为边AB 的中点，且∠AOD=∠BOC ． 求证：ABCD 是矩形．BACDOOMDB ANMD C BA FE C B A ODA CB 2．已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．3．已知：如图，AB=AC ，AE=AF ，且∠EAB=∠FAC ，EF=BC ．求证：四边形EBCF 是矩形．4.中，以AC 为斜边作Rt △AMC ，且∠BMD 为直角.求证：四边形ABCD 是矩形.5．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 是等边三角形， AB=4cm.(1)平行四边形ABCD 是矩形吗？说明理由。

矩形的性质与判定专项训练卷一．选择题（共10小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，CD＝3，AC＝2，则BC 的长为（）A．3B．4C．6D．2．矩形和菱形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．邻边相等3．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线相等B．对边相等C．对角相等D．对角线互相平分4．要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（）A．测量四边形画框的两个角是否为90°B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等D．测量四边形画框的四边是否相等5．要判断一个四边形是否为矩形，下面是4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量两组对边是否分别相等B．测量两条对角线是否互相垂直平分C．测量其中三个内角是否都为直角D．测量两条对角线是否相等6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝8，则斜边上的中线CD＝（）A．2B．4C．8D．167．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（）A．3B．C．3D．8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠BDC＝（）A．30°B．40°C．45°D．60°9．两个矩形的位置如图所示，若∠1＝120°，则∠2的度数为（）A．30°B．15°C．60°D．45°10．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（）A．2﹣2B．﹣1C．﹣1D．2﹣二．填空题（共2小题）11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．12．已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线，若BD＝3cm，则AC＝cm．三．解答题（共3小题）13．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF ＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形．（2）若AF是∠DAB的平分线．若CF＝6，BF＝8，求DC的长．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．15．如图，▱ABCD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．BF∥CE，CF∥BE．（1）求证：四边形BECF是矩形．（2）若∠ABC＝60°，BC＝6，求矩形BECF的周长．。

矩形的判定专项练习30 题（有答案）1 ．如图，在四边形ABCD 中， AD ∥BC，E、 F 为 AB 上两点，且△ DAF ≌△CBE．求证：（ 1 ）∠A=90 °；（ 2 ）四边形ABCD 是矩形．2 ．如图，已知平行四边形ABCD ，∠ABC ，∠BCD 的平分线BE、CF 分别交 AD 于 E、 F，BE、CF 交于点 G，点 H 为 BC 的中点， GH 的延长线交 GB 的平行线 CM 于点 M ．（ 1 ）试说明：∠ BGC=90 °；（ 2 ）连接 BM ，判断四边形 GBMC 的形状并说明理由．3 ．如图， O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作DE∥AC ， CE∥BD ， DE、CE 交于点 E．（1 ）四边形 OCDE 是矩形吗？说说你的理由；（2 ）请你将上述条件中的菱形改为另一种四边形，其它条件都不变，你能得出什么结论？根据改编后的题目画出图形，并说明理由．4 ．△ABC 中， AD ⊥ BC 于 D ，点 E、F 分别是△ABC 中 AB 、AC 中点，当△ ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 是矩形？说明理由．5 ．如图，菱形ABCD 的对角线AC、 BD 交于点 O ．（ 1 ）用尺规作图的方法，作出△AOB 平移后的△ DEC，其中平移的方向为射线AD 的方向，平移的距离为线段AD 的长；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）（ 2 ）观察图形，判断四边形DOCE 是什么特殊四边形，并证明．6 ．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、 BD 相交于点 O ，延长 OA 到 N ， ON=OB ，再延长 OC 至 M ，使CM=AN，求证：四边形NDMB为矩形．7 ．如图，点O 是菱形 ABCD 对角线的交点，过点 C 作 BD 的平行线CE，过点 D 作 AC 的平行线DE，CE 与 DE 相交于点E，试说明四边形OCED 是矩形．8 ．如图，已知梯形ABCD 中， AD ∥BC，AB ⊥ BC，点 E、 F 分别是边BC、CD 的中点，直线EF 交边 AD 的延长线于点 M ，连接 BD．（ 1）求证：四边形DBEM 是平行四边形；（ 2）若 BD=DC ，连接 CM ，求证：四边形ABCM 为矩形．9 ．如图，在△ ABC 中，点 O 是 AC 边上的中点，过点O 的直线 MN ∥BC，且 MN 交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB 的外角平分线于点F，点 P 是 BC 延长线上一点．求证：四边形AECF 是矩形．10 ．如图，在梯形ABCD 中， AD ∥BC， BC=2AD ，点 E 是 BC 的中点，连接AC、 DE 相交于点O ．（1 ）试说明：△ AOD ≌△COE；（2 ）若∠B= ∠AOE ，试说明四边形 AECD 是矩形的理由．11 ．如图，以△ ABC 的各边为一边向BC 的同侧作正△ ABD 、正△BCF、正△ACE，若∠BAC=150 °，求证：四边形AEFD 为矩形．12 ．（1 ）在等腰三角形 ABC 中 AB=BC ，∠ABC=90 °，BD ⊥ AC，过 D 点作 DE⊥ DF ，交 AB 于 E，交 BC 于 F．若AE=4 ， FC=3 ，求 EF 长．（2 ）如图，将 ? ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CE=DC ，连接 AE，交 BC 于点 F．①求证：△ ABF ≌△ECF；13 ．如图， AD 是△ABC 的中线，过点 A 作 AE ∥BC，过点 B 作 BE∥AD 交 AE 于点 E，（1 ）求证： AE=CD ；（2 ）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADBE 是矩形？请说明理由．14 ．如图，已知梯形ABCD 中， AD ∥BC， E、F 分别是 AB 、CD 的中点，点G 在边 BC 上，且 CG=（AD+BC）．（1 ）求证：四边形 DEGF 是平行四边形；（2 ）连接 DG ，若∠ADG=2 ∠ADE ，求证：四边形 DEGF 是矩形．15 ．已知，如图在△ ABC 中， AB=AC ，点 D 是 AC 的中点，直线AE ∥BC，过 D 点作直线EF∥AB 分别交 AE 、 BC 于点 E、F，求证：四边形AECF 是矩形．16 ．已知：如图，在△ ABC 中， D、 E、 F 分别是 AC 、 AB 、 BC 的中点，且CE=AB ．求证：四边形CFED 是矩形．17 ．如图，平行四边形 ABCD 中， EF 过 AC 的中点 O ，与边 AD 、 BC 分别相交于点E、F；（ 1）试说明四边形 AECF 是平行四边形．（ 2）若 EF 过 AC 的中点，且与 AC 垂直时，试说明四边形AECF 是菱形．（ 3）当 EF 与 AC 有怎样的关系时，四边形AECF 是矩形．18 ．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90 °，AB=AC ， D 是斜边 BC 上一点， DE ⊥ AC， DF⊥ AB ，垂足分别为E、 F．（ 1 ）说明四边形AEDF 是矩形．（ 2 ）试问：当点 D 位于 BC 边的什么位置时，四边形AEDF 是正方形？并说明你的理由．19 ．如图，△ABC 中， D 为边 AC 的中点，过点 D 作 MN ∥BC，CE 平分∠ACB 交 MN于E，CF平分∠ACG交MN 于 F，求证：（ 1） ED=DF ；（ 2 ）四边形A ECF 为矩形．20 ．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、 BC 相交于点 O ， BE∥AC ， CE∥DB ．求证：四边形OBEC 是矩形．21 ．如图，在△ ABC 中， O 是 AC 上的任意一点，（不与点 A ，C 重合），过点 O 作直线 l ∥BC，直线 l 与∠BCA 的（1 ）OE 与 OF 相等吗？为什么？（2 ）探索：当点 O 在何处时，四边形 AECF 为矩形？为什么？22 ．（2013 ? 沙湾区模拟）如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边上的一点， E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交CE 的延长线于F，且AF=BD ，连接 BF．（1 ）求证： D 是 BC 的中点．（2 ）如果 AB=AC ，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论．23 ．如图，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点 O，∠OBC= ∠OCB ，求证：四边形ABCD 是矩形．24 ．如图 M 、N 分别是平行四边形ABCD 的对边 AD 、 BC 的中点，且AD=2AB，AN，BM相交于P，DN，CM 相交于 Q ．求证： PMQN为矩形．25 ．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、 BD 相交于 O ， EF 过点 O ，且 AF⊥ BC，求证：四边形AFCE 是矩形．26 ．如图，在△ ABC 中， D 是 AC 的中点， E 是线段 BC 延长线上的一点，过点 A 作 AF∥BE，交 ED 的延长线于点F，连接 AE， CF．（1 ）求证： AF=CE ；（2 ）如果 AC=EF ，则四边形 AFCE 是矩形．27 ．如图， DB ∥AC ，且 DB= AC ，E 是 AC 的中点，（1 ）求证： BC=DE ；（ 2 ）连接 AD 、 BE，探究：当△ ABC 满足什么条件时，四边形DBEA 是矩形？并说明理由．28 ．如图， O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作DE ∥AC ， CE∥BD， DE 、 CE 交于点 E，四边形 OCED 是矩形吗？说说你的理由．29 ．已知：如图，BC 是等腰△BED 底边 ED 上的高，四边形ABEC 是平行四边形．求证：四边形ABCD 是矩形．30 ．如图，已知AB=AC ，AD=AE ， DE=BC ，且∠BAD= ∠CAE．求证：四边形BCED 为矩形．矩形的判定专项练习30 题参考答案：1 ．（1 ）∵AD ∥BC，∴四边形 OCED 是矩形．∴∠A+ ∠B=180 °，（ 2 ）任意改变四边形 ABCD 的形状，四边形 OCED 都∵△DAF ≌△CBE ，是平行四边形（答案不唯一）．∴∠A= ∠B，理由如下：∵ DE∥AC ， CE∥BD ，∴2 ∠A=180 °，∴四边形 OCED 是平行四边形．∴∠A=90 °； 4 ．满足△ABC 是等腰直角三角形，∠ BAC=90 °．（ 2 ）∵AD ∥BC， AD=BC ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ BAC=90 °，AD ⊥BC 于∴四边形 ABCD 为平行四边形， D ，又∵∠A=90 °，∴BD=CD ，∴四边形 ABCD 是矩形∵点 E、 F 分别是△ABC 中 AB 、 AC 中点，2 ．（1 ）∵∠ABC+ ∠BCD=180°，BE、 CF 平分∠ABC ，∴DF ∥AB ， ED∥AC ，∠BCD ，∴四边形 AEDF 是平行四边形，∴∠GBC+ ∠GCB=90 °，∴∠BGC=90 °；∵∠BAC=90 °（ 2 ）∵点 H 为 BC 的中点，∴ BH=CH=GH，∴AEDF 是矩形．∵GB∥CM ，∴∠BGH= ∠CMH ， 5 ．（ 1）所作图形如图所示：∵∠HBG= ∠HGB ，∴∠HCM=∠HMC ，（ 2 ）四边形 DOCE 是矩形．∴MH=BH=CH=GH ，∵△DCE 是由△AOB 平移后的图形，∴四边形 GBMC 为矩形∴DE∥AC ，CE∥BD ．3 ．（1 ）四边形 OCDE 是矩形．∴四边形 DOCE 是平行四边形．证明：∵ DE∥AC ， CE∥BD ，又∵四边形 ABCD 是菱形，∴四边形 OCED 是平行四边形，∴AC ⊥BD ．即∠DOC=90 °又∵AC ⊥ BD ，∴四边形 DOCE 为矩形．∴∠DOC=90 °，∴AB ∥DE∵由（1 ）知四边形DBEM 是平行四边形，∴DM ∥BE 且 DM=BE ，6 ．∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴DM ∥EC 且 DM=EC ，∴AO=OC ， OD=OB ，∴四边形 DMCE 是平行四边形，∵AN=CM ON=OB，∴CM ∥DE，∴ON=OM=OD=OB，∴AB ∥CM ．∴四边形 NDMB为平行四边形，又 AM ∥BC∴四边形 ABCM是平行四边形，∵MN=BD，∵AB ⊥ BC，∴四边形 ABCM 是矩形．∴平行四边形 NDMB为矩形7 ．∵DE∥AC ， CE∥BD ，∴DE∥OC， CE∥OD9 ．∵CE 平分∠ ACB ，∴四边形 OCED 是平行四边形，∴∠ACE= ∠BCE，又∵四边形 ABCD 是菱形，∵MN ∥BC，∴AC⊥BD ，∴∠OEC= ∠ECB，∴∠COD=90 °，∴∠OEC= ∠OCE，∴四边形 OCED 是矩形∴OE=OC ，8 ．（1 ）证明：∵梯形 ABCD 中， AD ∥BC，即 DM ∥BE，同理， OC=OF ，∵E、 F 分别是边 BC、 CD 的中点∴OE=OF ．∴EF∥BD ，∵AO=CO ， EO=FO ，∴四边形 DBEM 是平行四边形．∴四边形 AECF 为平行四边形，（ 2 ）证明：连接DE ，∵CE 平分∠ACB ，∵DB=DC ，且 E 是 BC 中点，∴ DE ⊥ BC，∴∠ACE=∠ACB，∴DE∥AB ．同理，∠ ACF=∠ACP，又∵AB ⊥ BC ，∴∠ECF= ∠ACE+ ∠ACF=（∠ACB+∠ACP）=×180°=90 °，∴四边形 AECF 是矩形．11 ．：∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，10 ．（ 1 ）∵BC=2AD ，点 E 是 BC 的中点，∴∠DBF+ ∠FBA= ∠ABC+ ∠ABF=60 °，∴EC=AD ．∴∠DBF= ∠ABC ．∵AD ∥BC，又∵BD=BA ， BF=BC ，∴∠ADO= ∠CEO ，∠DAO= ∠ECO．∴△ABC ≌△DBF ，在△AOD 和△COE 中，∴AC=DF=AE，∴△AOD ≌△COE（ ASA ）；同理可证△ ABC ≌△EFC，∴AB=EF=AD，（ 2 ）∵AD=BE ，AD ∥BE，∴四边形 DAFEF 是平行四边形（两组对边分别相等的四∴四边形 ABED 是平行四边形；边形是平行四边形）同理可得：四边形 AECD 是平行四边形．∵∠BAC=150°，∴∠ADO= ∠B．∴∠DAE=150°﹣∠DAB ﹣∠EAC=90 °，∵∠B= ∠AOE ，∴四边形 AEFD 为矩形．∴∠AOE=2 ∠B．12 ．1 ）解：∵ABC 中 AB=BC ，∠ABC=90°，BD ⊥AC ，∴∠AOE=2 ∠ADO ．∴∠A= ∠C=45 °，CD=AD ，∵∠AOE= ∠ADO+ ∠DAO ，∴BD=CD=AD， BD 平分∠ABC ，∴∠OAD= ∠ODA ．∴∠EBD=45 °= ∠C，∴OA=OD ．∵BD ⊥ AC， DE ⊥DF ，∴AC=DE ．∴∠BDC= ∠EDF=90 °，∴四边形 AECD 是矩形．∴∠BDC ﹣∠BDF= ∠EDF﹣∠BDF ，∴∠EDB= ∠FDC ，∵在△EDB 和△FDC 中∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AE=2AF ， BC=2BF ，∴△EDB ≌△FDC （ASA ），∴AE=BC ，∴FC=DE=3 ，∵四边形 ABEC 是平行四边形，同理△AED ≌△BFD ，∴四边形 ABEC 是矩形．∴DF=AE=4 ，在 Rt △EDF 中，由勾股定理得：EF==5 ；（ 2 ）①证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，13 ．（ 1 ）∵AE∥BC ， BE∥AD ，∴AB ∥CD ，AB=CD ，∴四边形 ADBE 是平行四边形，∵CD=CE ，∴AE=BD ，∴AB ∥CE， AB=CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴四边形 ABEC 是平行四边形，∴BD=CD ，∴AF=FE ， BF=FC ，∴AE=CD ．∵在△ABF 和△ECF 中（ 2 ）当 AB=AC时，四边形 ADBE 是矩形，理由是：∴△ABF ≌△ECF（ SSS）；∵AB=AC ， BD=CD ，②证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ⊥ BC，即∠ADB=90 °，∴∠ABC= ∠D ，又∵四边形 ADBE 是平行四边形，∵∠AFC=2 ∠D，∴四边形 ADBE 是矩形∴∠AFC=2 ∠ABC ，14 ．1 ）证明：如图，连接 EF．∵∠AFC= ∠ABC+ ∠FAB，∵四边形 ABCD 是梯形， AD ∥BC ， E、 F 分别是 AB 、∵∠ABC= ∠FAB，CD 的中点，∴AF=FB ，∴， EF∥AD ∥BC．实用标准∵，∵AE∥BC，∴EF=CG ．∴∠AED= ∠CFD ，∴四边形 EGCF 是平行四边形．在△ADE 和△CDF 中，，∴EG=FC 且 EG∥FC．∴△ADE ≌△CDF （ AAS ），∵F 是 CD 的中点，∴AE=CF ，∴FC=DF ．又∵AE ∥BC ，∴EG=DF 且 EG∥DF ．∴四边形 AECF 是平行四边形，∴四边形 DEGF 是平行四边形．∵AE∥BC， EF∥AB ，∴四边形 ABFE 是平行四边形，（ 2 ）证明：连接EF，将 EF 与 DG 的交点记为点O ．∴AB=EF ，∵∠ADG=2 ∠ADE ，∵AB=AC ，∴∠ADE= ∠EDG ．∴AC=EF ，∵EF∥AD ，∴四边形 AECF 是矩形．∴∠ADE= ∠DEO ．∴∠EDG= ∠DEO ．∴EO=DO ．∵四边形 DEGF 是平行四边形，16 ．∵D 、 E、 F 分别是 AC、 AB 、 BC 的中点，∴，．∴DE∥BC ，且 DE= BC， DF=AB ，CF= BC，∴EF=DG ，∴DE=CF ，∴平行四边形 DEGF 是矩形．即四边形DEGF 是矩形．∴四边形 CFED 平行四边形，又∵CE= AB ，∴CE=DF ，15 ．∵点 D 是 AC 的中点，∴平行四边形 CFED 是矩形，∴DA=DC ，故四边形 CFED 是矩形．实用标准17 ．（ 1 ）证明：∵四边形A BCD 是平行四边形，∴∠BDF=∠DEC∴AD ∥BC，∴△BFD≌△DCE，∴△AEO ∽△CFO，∴DF=DE，∴=，∴矩形AEDF是正方形．∵OA=CO ，∴OE=OF ，∴四边形 AECF 是平行四边形；（2 ）证明：∵四边形 AECF 是平行四边形，又∵EF⊥ AC ，∴平行四边形 AECF 是菱形；（3 ）解：当 EF=AC 时，四边形 AECF 是矩形，理由是：由（ 1 ）知：四边形 AECF 是平行四边形，∵AC=EF ，∴平行四边形 AECF 是矩形18 ．（ 1）∵DE⊥ AC ，DF ⊥AB ，∴∠AFD= ∠AED= ∠A=90 °，∴四边形 AEDF 是矩形；（ 2 ）当 D 时 BC 的中点时，四边形AEDF 是正方形；JU理由：∵ D 是 BC 的中点，∴BD=DC∵AB=AC∴∠B= ∠C又∵DF ⊥ AB ，DE⊥ AC ，19．（ 1 ）∵CE 平分∠ ACB ， CF 平分∠ACG ，∴∠ACE= ∠ECB，∠ACF= ∠FCG ，又∵MN ∥BG，∴∠DEC= ∠ECB，∠DFC= ∠FCG，∴∠DEC= ∠DCE，∠DFC= ∠DCF ，∴DE=DC ， DF=DC ，∴DE=DF ．（ 2 ）∵D 为 AC 的中点，∴AD=DC ，又 DE=DF ，∴四边形 AECF 为平行四边形，∵∠ACE= ∠ECB，∠ACF= ∠FCG ，∴∠ECF=90 °，∴平行四边形 AECF 为矩形20．∵BE∥AC ， CE∥DB ，∴四边形 OBEC 是平行四边形，又∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠AOB=90 °，∵AF=BD∴平行四边形 OBEC 是矩形∴BD=CD ，21 ．（ 1 ）解： OE=OE ，∴D 是 BC 的中点；（ 4 分）理由是：∵直线 l ∥BC，（ 2 ）四边形 AFBD 是矩形，（ 5 分）∴∠OEC= ∠ECB，证明：∵ AB=AC ，D 是 BC 的中点，∵CE 平分∠ACB ，∴AD ⊥ BC，∴∠OCE= ∠BCE，∴∠ADB=90 °，（ 6 分）∴∠OEC= ∠OCE，∵AF=BD ， AF∥BC，∴OE=OC ，∴四边形 AFBD 是平行四边形，（ 7 分）同理 OF=OC ，∴四边形 AFBD 是矩形．∴OE=OF ．23 ．∵∠OBC= ∠OCB ，（ 2 ）解： O 在 AC 的中点上时，四边形AECF 是矩形，∴OB=OC ，理由是：∵ OA=OC ， OE=OF ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴四边形 AECF 是平行四边形，∴OC=OA= AC， OB=OD=BD ，∵OE=OF=OC=OA ，∴AC=BD ，∴AC=EF ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴平行四边形 AECF 是矩形∴四边形 ABCD 是矩形，22 ．（ 1 ）证明：∵ AF∥BC，即四边形 ABCD 是矩形∴∠AFE= ∠DCE（1 分）24 ．∵ABCD 为平行四边形，∵E 是 AD 的中点，∴AD 平行且等于 BC，∴AE=DE ．（2 分）又∵M 为 AD 的中点， N 为 BC 的中点，∵∠AEF= ∠DEC，∴MD 平行且等于 BN ，∴△AEF≌△DEC ．（ 3 分）∴BNDM 为平行四边形，∴AF=DC ，∴BM ∥ND ，同理 AN ∥MC ，∴∠AFD= ∠CED ，∠FAD= ∠DCE，∴四边形 PMQN 为平行四边形，（5 分）∵D 是 AC 的中点，连接MN，∴AD=DC ，∵AM 平行且等于 BN ，在△FAD 和△ECD 中∴四边形 ABNM 为平行四边形，，又∵AD=2AB ， M 为 AD 中点，∴△FAD ≌△ECD（ AAS ），∴BN=AB ，∴AF=CE ；∴四边形 ABNM 为菱形，（ 2 ）证明：∵△FAD ≌△ECD，∴AN ⊥BM ，∴FD=DE ，∴平行四边形 PMQN 为矩形．（ 10 分）∵AD=DC ，∴四边形 AFCE 是平行四边形，∵AC=EF ，25 ．∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴平行四边形 AFCE 是矩形∴OA=OC ， AE∥FC，27 ．（ 1 ）证明：∵ E 是 AC 的中点，∴∠EAO= ∠FCO，∴EC=AC ，在△AOE 和△COF 中，∵DB=AC ，，∴DB=EC ，∴△AOE ≌△COF，又∵DB ∥AC ，∴AE=CF ，∴四边形 BCED 是平行四边形（一组对边平行且相等的∴四边形 AECF 为平行四边形，四边形是平行四边形），又∵AF ⊥ BC，∴BC=DE ；∴∠AFC=90 °，则四边形 AECF 为矩形．（ 2 ）解：△ABC 满足 AB=BC时，四边形 DBEA 是矩26 ．（ 1 ）证明：∵ AF∥BE，形．实用标准理由如下：∵ E 是 AC 的中点，∴AE=AC ，∵DB=AC，29 ．∵BC 是等腰△BED 底边 ED 上的高，∴DB=AE ，∴EC=CD ，又∵DB ∥AC，∵四边形 ABEC 是平行四边形，∴四边形 DBEA 是平行四边形（一组对边平行且相等的∴AB ∥CD ， AB=CE=CD ， AC=BE ，四边形是平行四边形），∴四边形 ABCD 是平行四边形．∵AB=BC ， E 为 AC 中点，∵AC=BE ， BE=BD ，∴∠AEB=90 °，∴AC=BD ，∴平行四边形 DBEA 是矩形，∴四边形 ABCD 是矩形即△ABC 满足 AB=BC 时，四边形 DBEA 是矩形．30 ．在△ABD 和△ACE 中，∵AB=AC ， AD=AE ，∠BAD= ∠CAE，∴△ABD ≌△ACE （ SAS）28 ．是矩形．（ 1 分）∴BD=CE 又 DE=BC ．理由：∵ DE∥AC ， CE∥BD ，∴四边形 BCED 为平行四边形．在△ ACD 和△ABE 中，∴四边形 OCED 是平行四边形，∵AC=AB ， AD=AE ，∠CAD= ∠CAB+ ∠BAD= ∠CAB+又∵四边形 ABCD 是菱形，∠CAE= ∠BAE ，∴AC⊥BD ，∴△ADC ≌△AEB （ SAS），∴CD=BE ．∴DE⊥ CE，∴四边形 BCED 为矩形．（对角线相等的平行四边形是矩∴∠E=90 °，形）∴平行四边形 OCED 是矩形。

矩形的性质和判定典型试题综合训练（含解析）一．选择题（共15小题）1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分2．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB3．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC5．下列图形是用矩形纸片来折出阴影部分为等腰三角形，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于点E、F已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．6 D．127．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP 的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．S1=2S28．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S29．如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=13，以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，以D为圆心，DA 为半径画弧，交BC于点F，则EF的长为（）A．3 B．4 C．D．510．如图，长方形ABCD中，M为CD中点，分别以点B、M为圆心，以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于点P．若∠PMC=110°，则∠BPC的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°11．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对12．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．B．4 C．4.5 D．513．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，当P从A向D运动（P与A，D不重合），则PE+PF的值（）A．增大B．减小C．不变D．先增大再减小14．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，点M、N分别是AE、PE的中点，则线段MN长为（）A．2B．3 C．D．15．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．cm2B．cm2C．5cm2D．cm2二．填空题（共12小题）16．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是．18．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH 是矩形．19．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE=．20．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是．21．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．22．如图矩形ABCD中，AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，则四边形DBFE的面积为cm2．23．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF 的最小值是．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），点D是OA的中点，点P在边BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为．25．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是．26．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中一定成立的结论有（将正确结论的序号填在横线上）27．如图，矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=．三．解答题（共7小题）28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE=60°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．29．如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．（1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）在▱ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．30．如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．31．△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．32．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．（1）若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．33．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF=CO，连接OF，求线段FC 的长及四边形AOFE的面积．34．已知：如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四条边上的点（且不与各边顶点重合），设m=EF+FG+GH+HE，探索m的取值范围．（1）如图2，当E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点时，m=．（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m的取值范围．①请在图3中补全小贝同学翻折后的图形；②m的取值范围是．矩形的性质和判定典型试题综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．2．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选：C．3．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选B．4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．【解答】解：添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故选：B．5．下列图形是用矩形纸片来折出阴影部分为等腰三角形，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据等腰三角形的定义，即可一一判断．【解答】解：如图图1中，∵∠1=∠3，∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴BA=BC，∴△ABC是等腰三角形．图3中，同法可证∠1=∠2，∴BA=BC，∴△ABC是等腰三角形．图4中，△ABC是等腰直角三角形，故选C．6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于点E、F已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．6 D．12【分析】由全等三角形的判定得到△OFB≌△OED，将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进行计算．【解答】解：在矩形ABCD中，OB=OD，∠FBO=∠EDO，∴在△OFB与△OED中，∴△FBO≌△EDO，∴S阴影部分=S△ABO=S矩形=×3×4=3．故选A．7．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP 的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．S1=2S2【分析】根据矩形的性质，可知△ABD的面积等于△CDB的面积，△MBK的面积等于△QKB的面积，△PKD的面积等于△NDK的面积，再根据等量关系即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，四边形MBQK是矩形，四边形PKND是矩形，∴△ABD的面积=△CDB的面积，△MBK的面积=△QKB的面积，△PKD的面积=△NDK的面积，∴△ABD的面积﹣△MBK的面积﹣△PKD的面积=△CDB的面积﹣△QKB的面积=△NDK的面积，∴S1=S2．故选：B．8．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S2【分析】由于矩形ABCD的面积等于2个△ABC的面积，而△ABC的面积又等于矩形AEFC的一半，所以可得两个矩形的面积关系．【解答】解：矩形ABCD的面积S=2S△ABC，而S△ABC=S矩形AEFC，即S1=S2，故选B．9．如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=13，以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，以D为圆心，DA为半径画弧，交BC于点F，则EF的长为（）A．3 B．4 C．D．5【分析】连接DF，在Rt△CDF中，求出CF，再求出CE即可解决问题．【解答】解：连接DF．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=BE=12，DA=BC=DF=13，∠C=90°，∴CF===5，∵EC=BC﹣BE=13﹣12=1，∴EF=CF﹣CE=4．故选B．10．如图，长方形ABCD中，M为CD中点，分别以点B、M为圆心，以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于点P．若∠PMC=110°，则∠BPC的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等求出∠MCP，然后求出∠BCP，再根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理求解即可．【解答】解：∵以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点，∴BP=BC，MP=MC，∵∠PMC=110°，∴∠MCP=（180°﹣∠PMC）=（180°﹣110°）=35°，在长方形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠BCP=90°﹣∠MCP=90°﹣35°=55°，∴∠BCP=∠BPC=55°．故选C．11．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对【分析】先由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断甲的作业正确；先由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断乙的作业也正确．【解答】解：由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形．所以乙的作业正确；故选A．12．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．B．4 C．4.5 D．5【分析】设FC′=x，则FD=9﹣x，根据矩形的性质结合BC=6、点C′为AD的中点，即可得出C′D的长度，在Rt△FC′D中，利用勾股定理即可找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设FC′=x，则FD=9﹣x，∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD=BC=6，C′D=3．在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9﹣x，C′D=3，∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5．故选D．13．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，当P从A向D运动（P与A，D不重合），则PE+PF的值（）A．增大B．减小C．不变D．先增大再减小【分析】首先过A作AG⊥BD于G．利用面积法证明PE+PF=AG即可．【解答】解：如图，过A作AG⊥BD于G，则S△AOD=×OD×AG，S△AOP+S△POD=×AO×PF+×DO×PE=×DO×（PE+PF），∵S△AOD=S△AOP+S△POD，四边形ABCD是矩形，∴OA=OD，∴PE+PF=AG，∴PE+PF的值是定值，故选C．14．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，点M、N分别是AE、PE的中点，则线段MN长为（）A．2B．3 C．D．【分析】连接AP，根据矩形的性质求出AP的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AP，问题得解．【解答】解：连接AP，∵矩形ABCD中，AB=DC=4，P是CD边上的中点，∴DP=2，∴AP==2，连接AP，∵M，N分别是AE、PE的中点，∴MN是△AEP的中位线，∴MN=AP=．故选D．15．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．cm2B．cm2C．5cm2D．cm2【分析】根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的，然后求解即可．【解答】方法一：解：设矩形ABCD的面积为S=20cm2，∵O为矩形ABCD的对角线的交点，∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的，∴平行四边形AOC1B的面积=S，∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的，∴平行四边形AO1C2B的面积=×S=，…，依此类推，平行四边形AO4C5B的面积===（cm2）．故选：B．二．填空题（共12小题）16．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB=DC，使四边形DBCE是矩形．【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．【解答】解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是9．【分析】连接EO，延长EO交AB于H．只要证明四边形ADEO是平行四边形，推出OE=AD，再证明OH 是△ADB的中位线，可得OE=AD，延长即可求出EH解决问题．【解答】解：连接EO，延长EO交AB于H．∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形ODEC是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OD=OC，∴四边形ODEC是菱形，∴OE⊥CD，∵AB∥CD，AD⊥CD，∴EH⊥AB，AD∥OE，∵OA∥DE，∴四边形ADEO是平行四边形，∴AD=OE=6，∵OH∥AD，OB=OD，∴BH=AH，∴OH=AD=3，∴EH=OH+OE=3+6=9，故答案为9．18．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．19．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE=5．【分析】首先证明AB=AE=CD=4，在Rt△CED中，根据CE=计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=7，∠D=90°，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABE=∠EBC，∴AB=AE=CD=4，在Rt△EDC中，CE===5．故答案为520．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是6．【分析】用矩形的面积减去△ADQ和△BCP的面积求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=4．S阴影=S矩形ABCD﹣S△BPC﹣S△ADQ=AB•CB﹣BC•MB AD•AM=4×3﹣4×BM﹣×4×AM=12﹣2MB﹣2AM=12﹣2（MB+AM）=12﹣2×3=6．故答案为：6．21．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于7．【分析】连接EG，FH，根据题目数据可以证明△AEF与△CGH全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GH，同理可得EG=FH，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形EGHF是平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和等于平行四边形EGHF的面积的一半，再利用平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD 的面积减去四周四个小直角三角形的面积即可求解．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，∴AE=AB﹣BE=4﹣1=3，CH=CD﹣DH=4﹣1=3，∴AE=CH，在△AEF与△CGH中，，∴△AEF≌△CGH（SAS），∴EF=GH，同理可得，△BGE≌△DFH，∴EG=FH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，∴△PEF和△PGH的面积和=×平行四边形EGHF的面积，平行四边形EGHF的面积=4×6﹣×2×3﹣×1×（6﹣2）﹣×2×3﹣×1×（6﹣2），=24﹣3﹣2﹣3﹣2，=14，∴△PEF和△PGH的面积和=×14=7．故答案为：7．22．如图矩形ABCD中，AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，则四边形DBFE的面积为10cm2．【分析】本题主要考查矩形的性质，找出题里面的等量关系求解即可．【解答】解：AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，∴CE=4，CF=3．∴四边形DBFE的面积=8×4﹣8×4÷2﹣4×3÷2=10cm2．23．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF 的最小值是 2.4．【分析】根据已知得出四边形CEPF是矩形，得出EF=CP，要使EF最小，只要CP最小即可，根据垂线段最短得出即可．【解答】解：连接CP，如图所示：∵∠C=90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，∴∠C=∠PFC=∠PEC=90°，∴四边形CEPF是矩形，∴EF=CP，要使EF最小，只要CP最小即可，当CP⊥AB时，CP最小，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB=5，由三角形面积公式得：×4×3=×5×CP，∴CP=2.4，即EF=2.4，故答案为：2.4．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），点D是OA的中点，点P在边BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）或（2.5，4）．【分析】分为三种情况：①OP=OD时，②DO=DP时，③OP=PD时，根据点B的坐标，根据勾股定理和等腰三角形的性质即可求出答案．【解答】解：∵B的坐标是（10，4），四边形OCBA是矩形，∴OC=AB=4，∵D为OA中点，∴OD=AD=5，∵P在BC上，∴P点的纵坐标是4，以O为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P，如图1所示：此时OP=OD=5，由勾股定理得：CP=3，即P的坐标是（3，4）；由勾股定理得：CP=3，即P的坐标是（3，4）；以D为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P、P′，如图2所示：此时DP=OD=DP′=5，由勾股定理得：DM=DN=3，即P的坐标是（2，4），P′的坐标是（8，4）；③作OD的垂直平分线交BC于P，如图3所示：此时OP=DP，P的坐标是（2.5，4）；故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）或（2.5，4）．25．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是16．【分析】由把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，∠EFB=60°，易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中，∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等边三角形，Rt△A′EB′中，∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，∴B′E=2A′E，而A′E=2，∴B′E=4，∴A′B′=2，即AB=2，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．故答案为：16．26．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中一定成立的结论有①③④（将正确结论的序号填在横线上）【分析】①正确．只要证明BO=BC，OF=FO即可解决问题；②错误．可以证明△EOB≌△FCB，由此即可判断；③正确．只要证明△DEF是等边三角形即可．④正确．只要证明S△BCM=S△ACB，S△AOE=S△AOB=S即可；△ABC【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，OA=OC，∴OB=OA=OB，∵∠COB=60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠OCB=60°，∴∠DCA=30°，∵FO=FC，BO=BC，∴BF垂直平分OC，故①正确，∴∠FBC=∠OBE=30°，∴∠FOC=∠FCO=30°，∴∠FOB=90°，∵CD∥AB，∴∠FCO=∠EAO，∵∠FOC=∠AOE，OA=OC，∴△FOC≌△EOA，∴OE=OF，∴BF=BE，∵∠BOE=∠BCF=90°，∠EBO=∠CBF，∴△EBO≌△FBC，故②错误，∵DF∥EB，DF=BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴∠EDF=∠FBE=60°，∵∠DFE=180°﹣∠CFO=60°，∴△EDF是等边三角形，∴DE=EF，故③正确，易知CM=AC，AE=CF=BF=BE，∴S△BCM=S△ACB，S△AOE=S△AOB=S△ABC，∴S△AOE：S△BCM=2：3．故④正确，故答案为①③④27．如图，矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=∠GAF+∠F=40°，再根据等腰三角形的性质求出∠CAG，然后求出∠CAF=120°，再根据∠BAC=∠CAF﹣∠BAF求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°，∵∠ACG=∠AGC，∴∠CAG=180°﹣∠ACG﹣∠AGC=180°﹣2×40°=100°，∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，∴∠BAC=∠CAF﹣∠BAF=120°﹣90°=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=2，由勾股定理，AB===．故答案为：．三．解答题（共7小题）28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE=60°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．【分析】（1）根据四边形ABDE是平行四边形和AB=AC，推出AD和DE相等且互相平分，即可推出四边形ADCE是矩形．（2）根据∠AOE=60°和矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出AO的长，从而得到矩形ADCE对角线的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，又∵AB=AC，∴DE=AC．∵AB=AC，D为BC中点，∴∠ADC=90°，又∵D为BC中点，∴CD=BD．∴CD∥AE，CD=AE．∴四边形AECD是平行四边形，又∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∴AO=EO，∵∠AOE=60°∴△AOE为等边三角形，∴AO=AE=2，∴AC=2OA=4．29．如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．（1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）在▱ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．【分析】（1）利用平行四边形的性质可得AD∥BC，结合条件可先证得四边形ADEC为平行四边形，结合AC⊥BC，可证得结论；（2）由直角三角形的性质可求得AB的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长，再利用矩形的性质可求得AD的长，结合AC可求得矩形ADEC的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．又∵DE∥AC，∴四边形ADEC是平行四边形．又∵AC⊥BC，∴∠ACE=90°．∴四边形ADEC是矩形；（2）解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°．∵M是AB的中点，∴AB=2CM=10．∵AC=8，∴BC==6．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD．又∵四边形ADEC是矩形，∴EC=AD．∴EC=BC=6．∴矩形ADEC的面积=6×8=48．30．如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．【分析】（1）可用三角形中位线定理求解，易知DG、EF分别是△ABC和△BOC的中位线，那么DG、EF 都平行且相等于BC，即DG与EF平行且相等，由此可证得四边形DEFG是平行四边形．（2）连接OA，则DE∥OA∥GF；若四边形DEFG是矩形，则DG和DE互相垂直；因此OA和BC也互相垂直，由此可判断出O点所处的位置．【解答】解：（1）四边形DEFG是平行四边形．理由如下：∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG是△ABC的中位线；∴DG∥BC，且DG=BC；同理可证：EF∥BC，且EF=BC；∴DG∥EF，且DG=EF；故四边形DEFG是平行四边形；（2）O在BC边的高上（且不与点A和垂足重合）理由如下：连接OA；∵把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．∴DE∥OA∥GF，EF∥BC，∵O点在BC边的高上，∴AO⊥BC，∴AO⊥EF，∵DE∥OA，∴DE⊥EF，∴四边形DEFG是矩形．31．△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【分析】（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF；（2）OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．【解答】（1）解：当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：如图所示：∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=FO；（2）解：∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠1+∠5=∠2+∠4，又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，∴∠2+∠4=90°，∴平行四边形AECF是矩形．32．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．（1）若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．【分析】（1）证出∠A=90°即可；（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ=PQ，设AQ=x，则DQ=PQ=6﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP，又∠BPC=∠AQP，∴∠CPQ=∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A=∠CPQ=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形∴∠D=∠CPQ=90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）），∴DQ=PQ，设AQ=x，则DQ=PQ=6﹣x在Rt△APQ中，AQ2+AP2=PQ2 ∴x2+22=（6﹣x）2，解得：x=∴AQ的长是．33．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF=CO，连接OF，求线段FC 的长及四边形AOFE的面积．【分析】（1）根据平行四边形判定得出平行四边形，再根据矩形判定推出即可；（2）分别求出AE、OH、CE、CF的长，再求出三角形AEC和三角形COF的面积，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵CE∥AD且CE=AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质），∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵△ABC是等边三角形，边长为4，∴AC=4，∠DAC=30°，∴∠ACE=30°，AE=2，CE=2，∵四边形ADCE为矩形，∴OC=OA=2，∵CF=CO，∴CF=2，过O作OH⊥CE于H，∴OH=OC=1，∴S四边形AOFE=S△AEC﹣S△COF=×2×2﹣×2×1=2﹣1．34．已知：如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四条边上的点（且不与各边顶点重合），设m=EF+FG+GH+HE，探索m的取值范围．（1）如图2，当E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点时，m=20．（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m的取值范围．①请在图3中补全小贝同学翻折后的图形；②m的取值范围是20≤m＜28．【分析】（1）利用勾股定理求出矩形对角线的长度，再利用三角形中位线的性质得出EH=BD，EF=AC，FG=BD，HG=AC，进而求出即可；（2）①利用轴对称图形的性质得出答案即可；②利用两点之间线段最短以及三角形三边关系得出m的取值范围即可．【解答】解：（1）如图2，连接AC，BD，∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∴AC=BD==10，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点，∴EH，EF，FG，HG，分别是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位线，∴EH=BD，EF=AC，FG=BD，HG=AC，∴m=EF+FG+GH+HE=AC+BD=10+10=20；（2）①如图3所示（虚线可以不画），②由图形可知，四边形的周长即折线HM的长，由两点之间线段最短可知，折线HM≥20，即周长不小于20；又由题可知，四边形周长小于矩形ABCD的周长，即周长小于28，故20≤m＜28．故答案为：20；20≤m＜28．。