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实数的大小比较及运算实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数两大类。
在数学运算中，实数的大小比较及运算是最基础的部分之一，对于学生来说，掌握实数的大小比较及运算是非常重要的。
本文将从实数的大小比较和基本运算两个方面进行详细介绍。
一、实数的大小比较1. 正数和负数的比较正数是大于零的实数，负数是小于零的实数。
在实数中，正数大于负数。
例如，1比-1要大，2比-2要大。
当然，绝对值较大的负数，比绝对值较小的正数要小。
比如，-5比3要小。
2. 零和正数、负数的比较零是实数中最小的数，比任何正数都要小，但是大于任何负数。
如0比1要小，0比-1要大。
3. 实数的比较运算规则（1）同号相乘为正，异号相乘为负。
（2）同号相加为正，异号相加为负。
（3）绝对值较大的数，在同号运算时，结果的绝对值较大；在异号运算时，结果的绝对值较小。
二、实数的基本运算1. 实数的加法实数的加法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
例如，a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a(b+c)=ab+ac。
2. 实数的减法实数的减法可以转化为加法运算，即a-b=a+(-b)。
减法满足减法的交换律：a-b≠b-a。
3. 实数的乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
例如，ab=ba，a(bc)=(ab)c，a(b+c)=ab+ac。
4. 实数的除法实数的除法定义为a÷b=a×(1/b)，其中b≠0。
除法满足除法的性质：a÷b≠b÷a。
5. 实数的乘方与开方实数的乘方定义为a的n次方是指n个a相乘，即an=a×a×…×a。
实数的开方是乘方的逆运算，即对于实数a，若b是满足b^n=a的实数，则b叫做a的n次方根。
通过以上详细介绍，相信大家对实数的大小比较及运算有了更深入的了解。
掌握实数的大小比较及运算是数学学习的基础，也是解决实际问题的重要方法。
在日常学习中多加练习，相信你会掌握实数的大小比较及运算，取得更好的学习成绩。
实数知识点及例题一、实数的概念实数是有理数和无理数的总称。
有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数是无限不循环小数。
例如，π（圆周率）、根号 2 等都是无理数。
而像 3、－5、025 等则是有理数。
二、实数的分类1、按定义分类：有理数：整数和分数。
无理数：无限不循环小数。
2、按性质分类：正实数：大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数：小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。
三、实数的基本性质1、实数的有序性：任意两个实数 a 和 b，必定有 a ＞ b、a ＝ b 或a ＜b 三种关系之一成立。
2、实数的稠密性：两个不相等的实数之间总有另一个实数存在。
3、实数的四则运算：实数的加、减、乘、除（除数不为 0）运算满足相应的运算律。
四、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
例如，在数轴上表示 2 的点在原点右侧距离原点 2 个单位长度。
五、绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a。
绝对值的性质：1、｜a| ≥ 0，即绝对值是非负的。
2、若｜a| ＝｜b|，则 a ＝ ±b。
例如，｜3| ＝ 3，｜－5| ＝ 5。
六、相反数实数 a 的相反数是 a，它们的和为 0，即 a ＋（a) ＝ 0。
例如，5 的相反数是－5，它们的和为 0。
若两个实数的乘积为 1，则这两个数互为倒数。
非零实数 a 的倒数是 1/a。
例如，2 的倒数是 1/2，－3 的倒数是－1/3。
八、实数的运算1、加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
2、减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3、乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
实数的知识点总结实数是我们日常生活中常常接触到的数，它包括了所有的有理数和无理数。
实数具有以下的一些基本性质和定义：1. 实数的定义：实数是有理数和无理数的统称。
有理数是可表示为两个整数之比的数，例如：整数、分数，以及无限循环小数和无限不循环小数。
无理数是不能表示为两个整数之比的数，例如：π、e等。
2. 实数的分类：a) 有理数：有理数可以写成两个整数之间的比值，可以表示为有限小数或者无限循环小数。
例如：1, 2/3, 0.5,3.142857142857...等。
b) 无理数：无理数不能写成两个整数之间的比值，它们的小数部分是无限不循环的。
例如：π, e, √2等。
3. 实数的基本性质：a) 密度性：实数集中的任意两个数之间都存在无限个实数。
这意味着，无论两个实数相差多小，总是可以找到另一个实数位于它们之间。
b) 有序性：任意两个实数可以通过比较大小来确定它们的顺序。
这意味着，在实数集中，可以定义大小关系（大于、小于、等于）。
c) 连续性：实数集是一个连续的集合，没有跳跃或间隙。
这意味着在实数集中，没有空隙或不可达的数。
4. 实数运算规则：a) 加法：实数的加法满足交换律、结合律和分配律。
即，对任意实数a，b和c，有：a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)，a * (b + c) = a * b + a * c。
b) 乘法：实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
即，对任意实数a，b和c，有：a * b = b * a，(a * b) * c = a * (b * c)，a * (b + c) = a * b + a * c。
c) 乘法的逆元：实数a的乘法逆元是1/a，即a * (1/a) = 1。
d) 零元和单位元：0是实数加法的零元，1是实数乘法的单位元。
即，对任意实数a，有：a + 0 = a，a * 1 = a。
e) 减法和除法：减法可以转化为加法的逆运算，即a - b = a+ (-b)。
第六章实数知识点总结摘要：一、实数的定义与分类1.实数的定义2.实数的分类二、实数的性质与运算1.实数的性质2.实数的运算三、实数与数轴1.数轴的概念2.实数与数轴的关系四、实数的比较与大小1.实数的大小比较2.实数的大小关系五、实数的应用1.实数在数学中的应用2.实数在其他学科中的应用正文：实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数。
实数的定义是指数轴上的点，可以表示为有序对(a,b)，其中a 表示点的横坐标，b 表示点的纵坐标。
根据横坐标a 的值，实数可以分为负数、零和正数。
实数的性质包括：1.实数具有连续性，即任意两个实数之间总存在一个实数；2.实数具有完备性，即每个实数都可以用无限接近的有理数表示；3.实数具有可数性，即实数集中的每个元素都可以与自然数集建立一一对应关系。
实数的运算包括加法、减法、乘法、除法、乘方和开方。
这些运算遵循交换律、结合律和分配律等基本运算法则。
实数的运算不仅限于实数，还可以扩展到复数。
实数与数轴有密切的关系。
数轴是一个直线，规定了原点、正方向和单位长度。
实数可以表示为数轴上的点，根据横坐标a 的值，实数可以分为负数、零和正数。
数轴上的点与实数之间的对应关系是一一映射。
实数的大小比较和大小关系是数学中常见的问题。
实数的大小比较遵循“大于一切小于它的数，小于一切大于它的数”的原则。
实数的大小关系可以通过数轴来直观表示。
实数在数学中有广泛的应用，如微积分、实分析等。
实数在其他学科中也有应用，如物理、化学、生物等。
实数的概念、性质和运算等基础知识是解决实际问题的关键。
总之，实数是数学中的一个基本概念，它具有重要的理论意义和实际应用价值。
(完整版)实数知识点总结1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数在内的数的集合。
实数集包含有理数集和无理数集。
2. 有理数的性质有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
有理数的性质包括：- 有理数的四则运算性质：加法、减法、乘法和除法。
- 有理数的分数形式，即可以表示为两个整数的比值。
- 有理数可以表示为小数，且小数可以是有限的或无限循环的。
3. 无理数的性质无理数是不能表示为两个整数的比值的数。
无理数的性质包括：- 无理数不能表示为分数形式。
- 无理数的十进制表示是无限不循环的。
- 无理数可以用无限不循环的小数表示，但无法精确表示。
4. 实数的数轴表示实数可以在数轴上表示，数轴上的每个点都对应一个实数。
5. 实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
实数的运算满足以下性质：- 交换律：a + b = b + a，a * b = b * a。
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)，(a * b) * c = a * (b * c)。
- 分配律：a * (b + c) = a * b + a * c。
6. 绝对值绝对值是一个数离0的距离，可以用来表示数的大小。
绝对值的性质包括：- 绝对值非负：|a| >= 0。
- 非零数的绝对值大于0：|a| > 0。
- 绝对值的加法：|a + b| <= |a| + |b|。
7. 实数的比较实数可以进行大小比较，实数的比较满足以下性质：- 反身性：a = a。
- 对称性：如果a > b，则b < a。
- 传递性：如果a > b，b > c，则a > c。
8. 实数的区间实数可以按照大小关系分为开区间、闭区间、半开半闭区间等。
区间的边界可以是实数也可以是无穷大。
9. 实数的近似值由于实数的无理数部分是无限不循环的，所以我们一般用近似值来表示实数。
10. 实数的应用实数在数学和科学中有广泛的应用，如在几何中表示线段长度、在物理中表示物体的质量等。
实数的知识点总结实数的性质有很多，包括实数的大小比较、加法、减法、乘法、除法的性质以及实数的有序性、稠密性等。
下面来详细介绍一下实数的这些性质。
1. 实数的大小比较实数的大小比较是指在实数集合中，对实数的大小进行比较。
实数集合中的数可以用数轴上的点来表示，数轴上每个点都对应一个实数。
通过数轴，我们可以直观地比较实数的大小。
如果a和b是实数，那么它们之间有以下关系：（1）a=b，即a等于b；（2）a>b，即a大于b；（3）a<b，即a小于b；实数的大小比较是实数运算和实数不等式研究的基础，是十分重要的。
2. 实数的加法性质实数的加法性质包括交换律、结合律、零元素和加法逆元素等。
具体来说，对于任意实数a、b、c，有以下性质：（1）交换律：a+b=b+a；（2）结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；（3）零元素：存在一个实数0，对任意实数a，有a+0=a；（4）加法逆元素：对于任意实数a，存在一个实数-b，使得a+(-b)=0。
3. 实数的减法性质实数的减法性质是指实数的减法运算满足的性质。
对于任意实数a、b、c，有以下性质：（1）减法的定义：a-b=a+(-b)；（2）减法的性质：a-b=c等价于a=c+b。
4. 实数的乘法性质实数的乘法性质包括交换律、结合律、分配律、单位元素和乘法逆元素等。
具体来说，对于任意实数a、b、c，有以下性质：（1）交换律：a×b=b×a；（2）结合律：(a×b)×c=a×(b×c)；（3）分配律：a×(b+c)=a×b+a×c；（4）单位元素：存在一个实数1，对任意实数a，有a×1=a；（5）乘法逆元素：对于任意非零实数a，存在一个实数1/a，使得a×(1/a)=1。
5. 实数的除法性质实数的除法性质是指实数的除法运算满足的性质。
对于任意实数a、b、c，有以下性质：（1）除法的定义：a÷b=a×(1/b)，其中b≠0；（2）除法的性质：a÷b=c等价于a=c×b。
第二节实数的运算及大小比较本节知识导图河北中考命题规律考什么怎么考考点年份题号题型考查方式考频命题趋势实数的大小比较2017 19 填空题与新定义结合，考查比较大小，一元二次方程5年2考实数的运算中常考0次幂和－1次幂，与运算结合的简便运算考查2次，形式新颖灵活；而实数的大小比较常与其他知识结合考查，不单独考查．预计2020年实数的运算及大小比较仍会继续考查2016 11 选择题结合数轴比较两数的大小，并判断代数式的正负实数的运算2019 20 解答题填运算符号并计算，比较结果的大小5年5考2018 10④选择题涉及2的0次幂2016 17 填空题8的立方根2015 2C选择题1的立方根河北中考考题试做实数的大小比较1．(2016·河北中考)点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b.对于以下结论：甲：b－a<0; 乙：a＋b>0；丙：|a|<|b|; 丁：b a>0.其中正确的是(C)A．甲乙B．丙丁C．甲丙D．乙丁2．(2017·河北中考)对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1. 因此，min{－2，－3}＝__－3__；若min{(x－1)2，x2}＝1，则__－1或2__．实数的运算类型一纯运算3．(2017·河北中考)下列运算结果为正数的是(A)A．(－3)2B．－3÷2C．0×(－2 017) D．2－34．(2016·河北中考)计算：－(－1)＝(D)A．±1 B．－2 C．－1 D．15．(2015·河北中考)计算：3－2×(－1)＝(A)A．5 B．1 C．－1 D．66．(2017·河北中考)如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是(D) A．4＋4－4＝6B．4＋40＋40＝6C．4＋34＋4＝6D．4－1÷4＋4＝67．(2019·河北中考)有个填写运算符号的游戏：在“1269”中的每个内，填入＋，－，×，÷中的某一个(可重复使用)，然后计算结果．(1)计算：1＋2－6－9；(2)若1÷2×69＝－6，请推算内的符号；(3)在“126－9”的内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．解：(1)原式＝3－6－9＝－12；(2)∵1÷2×6＝3，∴39＝－6.∴内的符号是“－”；(3)－20.类型二与规律结合8．(2018·河北中考)如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．尝试(1)求前4个台阶上数的和是多少？(2)求第5个台阶上的数x是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和；发现试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数．解：尝试(1)－5－2＋1＋9＝3；(2)由题意，得－5－2＋1＋9＝－2＋1＋9＋x.解得x＝－5；应用与(2)同理，得第6个到第8个台阶上的数依次是－2，1，9，可见台阶上的数从下到上按－5，－2，1，9四个数依次循环排列．∵31＝7×4＋3，∴前31个台阶上数的和为7×3＋(－5－2＋1)＝15； 发现 4k －1.类型三 与数轴结合 9．(2019·唐山路南区模拟)已知有理数－3，1.(1)在如图所示的数轴上，标出表示这两个数的点，并分别用A ，B 表示；(2)若|m|＝2，在数轴上表示数m 的点介于点A ，B 之间；表示数n 的点在点A 右侧且到点B 距离为6. ①计算m ＋n －mn ；②解关于x 的不等式mx ＋3＜n ，并把解集表示在所给数轴上．解析：本题考查数轴与不等式的应用．(1)在数轴上表示出两点；(2)根据题目条件确定m ，n 的值．①代入m ，n 的值计算代数式的值；②代入m ，n 的值解不等式，并把解集在数轴上表示出来．解：(1)如图所示； (2)∵|m|＝2，∴m ＝±2.∵数m 的点介于点A ，B 之间，∴m ＝－2. ∵数n 在点A 右侧且到点B 距离为6，∴n ＝7. ①m ＋n －mn ＝－2＋7－(－2)×7＝5＋14＝19； ②由－2x ＋3＜7，解得x ＞－2.在数轴上表示：类型四 根据已知方法进行运算 10．(2016·河北中考)利用运算律有时能进行简便计算．例1 98×12＝(100－2)×12＝1 200－24 ＝1 176；例2 －16×233＋17×233＝(－16＋17)×233 ＝233.请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： (1)999×(－15)；(2)999×11845＋999×⎝⎛⎭⎫－15－999×1835. 解：(1)原式＝(1 000－1)×(－15) ＝－15 000＋15＝－14 985；(2)原式＝999×⎣⎡⎦⎤11845＋⎝⎛⎭⎫－15－1835 ＝999×100＝99 900.平方根与立方根11．(2013·河北中考)下列运算中，正确的是( D )A .9＝±3B .3－8＝2C ．(－2)0＝0D ．2－1＝1212．(2016·河北中考)8的立方根为__2__．中考考点清单实数的运算1．加法：同号两数相加，取__相同__的符号，并把绝对值__相加__．异号两数相加，绝对值相等时和为__0__；绝对值不相等时，取__绝对值较大加数__的符号，并用较大的绝对值__减去__较小的绝对值．一个数同0相加，__仍得这个数__．2．减法：减去一个数，等于加上这个数的__相反数__．3．乘法：两数相乘，同号得__正__，异号得__负__，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，仍得0. 4．除法：除以一个数(不等于0)等于乘这个数的__倒数__． 5．乘方：求n 个__相同因数__的积的运算叫做乘方．6．混合运算的顺序：有括号的先算__括号里面的__，无括号则先算__乘方或开方__，再算__乘除__，最后算__加减__，同级运算则按__从左到右__顺序依次计算．7．有理数的一切运算性质和运算律都适用于__实数__运算． 8．运算律(1)加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)加法结合律：a ＋b ＋c ＝(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)； (3)乘法交换律：ab ＝ba ；(4)乘法结合律：(ab)c ＝a(bc)；(5)(乘法对加法的)分配律：a(b ＋c)＝ab ＋ac.【方法点拨】实数运算四步：(1)观察运算种类；(2)确定运算顺序；(3)把握每个小单元的运算法则及符号；(4)灵活运用运算律．零次幂、负整数指数幂9．若a ≠0，则a 0＝__1__；若a ≠0，n 为正整数，则a －n ＝__1an __．【易错警示】(1)防止出现以下类似的错误：①3－2＝－19；②2a －2＝12a 2；(2)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．特别地，－1的奇次幂为－1，偶次幂为1，如(－1)3＝－1，(－1)2＝1.实数的大小比较与非负数的性质10．实数的大小比较(1)数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．(2)性质比较法：①正数＞0＞负数；②两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．在一组数中，求最大的数时，一般在正数中找，求最小的数时，一般在负数中找．(3)差值比较法：a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＜0⇔a ＜b ；a －b ＝0⇔a ＝b.(4)平方比较法：a 2＞b ⇔a ＞b(a ＞0，b ＞0)(主要应用于无理数估算及含有无理数的大小比较)． (5)立方比较法：a 3＞b ⇔a ＞3b.11．非负数：常见的非负数有a 2，|a|，a(a ≥0)，最小的非负数是0. 若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0.例如a 2＋|b|＋c ＝0，则a 2＝|b|＝c ＝0，有a ＝0，b ＝0，c ＝0，反之亦然．平方根、算术平方根、立方根及其性质12．平方根、算术平方根、立方根⎩⎪⎨⎪⎧a 的平方根为⎩⎨⎧±a （a ≥0），其中 a 为a 的算术平方根无意义（a<0）a 的立方根为3a （a 为任意实数）13．平方根的性质：(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；(2)0的平方根是0；(3)负数没有平方根．14．立方根的性质：任意一实数都有立方根，且立方根与该实数符号相同；3a3＝__a__，(3a)3＝__a__，3－a＝__－3a__．典题精讲精练实数的运算【例1】(2019·陕西中考)计算：－2×3－27＋|1－3|－(12)－2.【解析】本题考查实数的混合运算．先求立方根，根据绝对值的概念去掉绝对值符号，写出负整数指数幂，再进行实数的混合运算．【解答】解：原式＝－2×(－3)＋(3－1)－4＝6＋3－5＝1＋ 3.1．(2019·淄博中考)比－2小1的数是(A)A．－3 B．3 C．－1 D．12．(2019·石家庄内四区模拟)下列运算结果是负数的是(D)A．(－2)×(－3) B．(－3＋2)2C．2－3D．－(－2)＋(－3)实数的大小比较【例2】(2019·扬州中考)下列各数中，小于－2的数是(A)A．－ 5 B．－ 3C．－ 2 D．－1【解析】本题考查实数的大小比较．比－2小的数应该是负数，且绝对值大于2的数，分析各选项可得－5＜－2＜－3＜－2＜－1.3．在－2，－1，0，1这四个数中，最小的数是(A)A．－2 B．－1 C．0 D．14．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(B)A．|a|>4 B．c－b>0 C．ac>0 D．a＋c>0与数轴有关的运算【例3】如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为－10，OB＝3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动(点M，N同时出发)．(1)数轴上点B对应的数是________；(2)经过几秒，点M，N到原点O的距离相等？【解析】(1)根据点A 表示的数及OB ＝3OA 可得点B 表示的数；(2)设运动时间为t s ．根据“路程＝速度×时间”可得点M ，N 在数轴上表示的数，分两种情况求出t 的值．【解答】解：(1)30；[∵点A 表示的数为－10，∴OA ＝10.∵OB ＝3OA ，∴OB ＝30.∴点B 对应的数是30.] (2)设运动时间为t s ，则点M 在数轴上表示的数为－10＋3t ，点N 在数轴上表示的数为2t.当M ，N 分别位于原点两侧时，由点M ，N 到原点的距离相等可得－10＋3t ＋2t ＝0，解得t ＝2； 当M ，N 位于原点同侧，即在原点右侧M ，N 两点重合时，－10＋3t ＝2t ，解得t ＝10. ∴经过2 s 或10 s ，点M ，N 到原点O 的距离相等．5．如图，数轴上a ，b ，c 三个数所对应的点分别为A ，B ，C ，已知b 是最小的正整数，且a ，c 满足(c －6)2＋|a ＋2|＝0.(1)求代数式a 2＋c 2－2ac 的值；(2)若将数轴折叠，使得点A 与点B 重合，则与点C 重合的点表示的数是________； (3)请在数轴上确定一点D ，使得AD ＝2BD ，则点D 表示的数是________．解：(1)∵(c －6)2＋|a ＋2|＝0，∴a ＋2＝0，c －6＝0，解得a ＝－2，c ＝6. ∴a 2＋c 2－2ac ＝4＋36＋24＝64；(2)－7；[∵b 是最小的正整数，∴b ＝1. ∵(－2＋1)÷2＝－0.5，∴6－(－0.5)＝6.5，－0.5－6.5＝－7.∴点C 与数－7表示的点重合．](3)0 或4.[设点D 表示的数为x.若点D 在点A 的左侧，则－2－x ＝2(1－x)，解得x ＝4(舍去)；若点D 在A ，B 之间，则x －(－2)＝2(1－x)，解得x ＝0；若点D 在点B 的右侧，则x －(－2)＝2(x －1)，解得x ＝4.综上所述，点D 表示的数是0或4.]平方根、算术平方根与立方根【例4】(1)4的平方根是±2； (2)3－27的绝对值是3； (3)|－9|的平方根是±3.【解析】根据平方根、立方根的定义和绝对值的性质求解填空．6．－18的立方根是－12.请完成限时训练A 本P A 3，选做B 本P B 2～B 3。
一、实数的概念及性质1. 实数的定义：实数是指可以用在数轴上表示的数，包括有理数和无理数。
2. 实数的性质：实数具有以下性质：（1）实数集合是一个实数域，它包含了所有实数。
（2）实数是可比较的，即任意两个实数之间可以进行大小比较。
（3）实数是封闭的，对任意两个实数进行加减乘除得到的结果还是实数。
（4）实数满足传递性，即如果a>b，b>c，则a>c。
3. 实数的稠密性：实数的一个重要性质是稠密性，即在任意两个不相等的实数之间，都存在着无穷多个实数。
这意味着实数在数轴上是密密麻麻地分布着的，没有空隙。
4. 实数的有限性：实数作为一种数学对象，是有限的，也就是说，对于任意一个实数，它都可以用有限个操作从某个给定的实数得到。
5. 实数的无限性：实数也具有无限性，例如无理数的小数部分是无限不循环的，这使得实数具有无限性。
二、实数的运算1. 实数的加法：实数的加法满足结合律、交换律和分配律，即对于任意实数a、b、c，有a+(b+c)=(a+b)+c，a+b=b+a，a(b+c)=ab+ac。
2. 实数的减法：实数的减法可以看作加上一个相反数，即a-b=a+(-b)。
3. 实数的乘法：实数的乘法满足结合律、交换律和分配律，即对于任意实数a、b、c，有a(bc)=(ab)c，ab=ba，a(b+c)=ab+ac。
4. 实数的除法：实数的除法满足除法运算的性质，即分子与分母都不为零。
5. 实数的乘方：实数的乘方运算是幂运算的一种特殊形式，即对于实数a和自然数n，有a^n=a*a*...*a（共n个a）。
6. 实数的开方：实数的开方是乘方运算的逆运算，即给定一个实数a，求出另一个实数b，使得b^2=a。
7. 实数的绝对值：实数的绝对值是一个非负的实数，它表示了这个实数到原点的距离，通常用|a|表示。
8. 实数的倒数：对于一个非零实数a，它的倒数是1/a。
1. 实数的大小比较：实数之间可以进行大小比较，对于任意两个实数a和b，有以下比较关系：（1）a>b：表示a大于b。
实数(实数的概念、运算、及大小比较)一.教学内容：第一单元实数(实数的概念、运算、及大小比较)二.教学目标：1. 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念.(1)了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。
(2)会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小(3)画数轴，了解实数与数轴上的点对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。
2. 通过复习，使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数的有关应用等。
(1)了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幕的有关概念、掌握有理数运算法则、运算律和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算。
(2)了解有理数的运算律和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算法则，灵活运用运算律简化运算，能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算。
(3)了解近似数和准确数的概念，会根据指定的精确度或有效数字的个数，用四舍五入法求有理数的近似值(在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值) ，会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。
(4)了解计算器使用的基本过程。
三.教学重点和难点：1. 有理数、无理数、实数、非负数概念；2. 相反数、倒数、数的绝对值概念；3. 在已知中，以非负数a2、|a、(a>0)之和为零作为条件，解决有关问题。
4. 使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数的有关应用等。
四.课堂教学：(一)知识要点：知识点1 :实数分类有理数实数'正整数整数零负整数正分数戾分数无理数方法(1) 正无理数负无理数方法(2)注：有限小数、无限循环小数是有理数，可化为分数；无限不循环小数是无理数知识点2:实数的有关概念(1) 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意 1：上述规定的三要素缺一个不可， 2 :实数与数轴上的点是 对应的， 3:数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数.)(2) 相反数实数的相反数是一对数 (只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零).注意：从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称. (3) 绝对值a(a >0)| a |= (= 0)-a(a <G)注意：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (4) 倒数2实数a(0)的倒数是-■(乘积为1的两个数，叫做互为倒数);注意：零没有倒数.知识点3:平方根、算术平方根、立方根若x 2= a ,则x 叫做a 的平方根。
记作--L,而正的平方根叫做算术平方根知识点4：零指数、负整指数幕評 < 丄a °= 1 (a M0;赳卩(a ^0正实数 正有理数正无理数正整数正分数负实数负有理数 '负整数 ，负分负无理数知识点5:科学记数法、近似数、有效数字把一个数写成 ax10n ( K a v 10, n 是整数)的形式一个近似数四舍五入到哪一位， 就说这个近似数精确到哪一位，四舍五入得到的数从左边第一个非零数字起到末位数字止，所有的数字叫做这个近似数的有效数字知识点6:三种重要的非负数(绝对值、偶次方、算术平方根)知识点7 :常见的几种无理数 (开方开不尽的数、 含圆周率的数、无限不循环的数)知识点&实数的运算实数的运算法则 (1) 加法同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；异号两数相加。
取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 任何数与零相加等于原数。
(2) 减法 —F, —(3) 乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零. 即]| 包 |同号)ab = ^ - | a | J b | (a,匕异号)0(碱b 为零)L- = a^-(b#C)(4)除法 I ■一(5) 乘方 ；对：(6) 开方 如果x 2= a 且x > 0，那么-'：-::;如果x 3 = a ,那么■'： - ■:在同一个式子里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减.有括号时，先算括号里面 的. 实数的运算律：加法交换律加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 分配律a +b = b + a(a + b ) + c = a +( b + c ) ab = ba .(ab ) c = a (bc )a (b +c )= ab + ac(1) (2) (3) (4) (5)其中a 、b 、c 表示任意实数•运用运算律有时可使运算简便.知识点9：实数的大小比较（常见的方法-数轴比较法；差值比较法；商值比较法；绝对值 比较法）【典型例题】 例1判断题：（1） 两有理数的和、差、积、商是有理数； （2） 有理数与无理数的积是无理数； （3） 有理数与无理数的和、差是无理数； （4） 小数都是有理数；（5） 零是整数，是有理数，是实数，是自然数； （6） 任何数的平方是正数；（7） ------------------ 实数与数轴上的点 对应； （8） 两无理数的和是无理数。
解：（1 ）对（2）不对（3）对（4）不对（5）对（6）不对（7）对（8）不对例2选择题：（1）如果a 是实数，下列四种说法: ① /和I 引都是正数， ② ，那么a —定是负数,③ a 的倒数是，一,④ a 和一」的两个数表示的点分别在原点的两侧, 其中正确的说法有（A ） A. 0B. 1（2）下列说法中，正确的是（ B ） A. |m|与—m 互为相反数 2C. 1998.8用科学记数法表示为1.9988 X 10D. 0.4949用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为0.50（3）近似数1.30所表示的准确数 A 的范围是（C ）C. 1.295 w A V 1.305D. 1.300 < A V 1.305 （4）2006年全年国内生产总值按可比价格计算，比上年增长9.5%，达到136515亿元,136515亿元用科学记数法表示（保留 4个有效数字）为（B ）C. 2D. 3B.1与池-1互为倒数A. 1.25 < A V 1.35B. 1.20 V A V 1.30例4有条件化简：①当1v a v 2时，化简卜-1 - J(a】2产+致a-3尸；②a, b, c为三角形的三边，化简|a + c|+J(a-b-c)3；D. 1.J 二‘元例3填空题：(1)下列各数中：T-■ , 0，:；，-,1.101001 .辟，二:，「：,22«cos60\ 7, 2,.22有理数集合｛…};正数集合｛...}；整数集合｛•};自然数集合｛...}；分数集合｛•};无理数集合｛...}；绝对值最小的数的集合{…};解：略(2)无理数a满足不等式1 •一一•…，请写出两个符合条件的无理数(3)观察下列数表：1234第仃2345•- 第二行3456•- 第三行4567•- 第四行h/hi h/第第第第-一- -——二三\ 四列列列列根据表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为___11___，第n行(n 为正整数)与第n列的交叉点上的数应为2n— 1 .-x2 = -+2 -x3 = -+3 lx4 = i+4 Jxl0 = ^+10(4)已知：［一，- _ ，一匚，……,若卜'(a、b都是正整数)，贝U a+ b的最小值是_ 佃_c•一」1「元③如图，化简 |a| + |b 卜点匚磧+b+b|。
原式=-i - =■—=二.- ■-② 因为 |a + b — c|= a + b — c |a — b — c|= b + c — a 所以原式=a + b — c + b + c — a = 2b③ a +” _ J© — 3『+ |玄 + $|=盘+0^)_(。
_占)_仏+“)= 一盘一方例5无条件化简： 化简 |^+2|+^-3解：步骤①找零点；②分段；③讨论。
①当 m v — 2时''■ - I =— m — 2 + 3— m =— 2m + 1例6阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20042005和20052004的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比 较n n +1和（n + 1） n 的大小（的整数），先从分析n = 1,= 2,= 3, 这些简单的情况入 手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论。
通过计算，比较下列①一一⑦各组中两个数的大小（在横线上填“ ＞、=、＜ ”号= ① 12 ___ 21 :② 23 ______ 32；③ 34 __ 43；④45_54；⑤ 56—65；⑥ 67—76；⑦ 78 _____________ 87（2） 对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出n n +1和（n + 1） n 的大小关系是 __________（3） 根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是： 20042005 ____________ 20052004解：(1) v v > > > >>n n +'(n + 1)(3) 2OO42005> 20052004解：①因为1 v a v 2所以J②当一2< m W 3时 21+1^_3 =m + 2+ 3— m = 5 ③当m >3时皿+ 21+^-3=m + 2+ m — 3= 2m — 1(2) 当 n v 3时, n n +1 v( n + 1)=| 包-2 |= 2■ a(1)当 _ L 一时，°」'丨「「= 。
例7计算:解:(1)原式=3— 1 + 4X •• +(2)0.3一 1—(— I ) 「2+ 43- 3「1+( n - 3) 0+ tg 230°凹 11 321=:—36 + 64—二 + 1+ _- =?分析：本题运用方根的概念, 分母有理化等知识加以计算。
例8化简:例 9 若 |a|= 3, \:二--,ab v 0,贝U a — b = _________分析：本题主要是运用绝对值的意义、二次根式成立的条件等数学知识。
解：因为|a|= 3 所以a = 3或a =— 3 爲二 2 b =4 又因为ab v 0所a =— 3, b = 4所以a — b =— 7拓展：此类命题拓展的思路是将绝对值、方根、代数式的化简综合构建考题。
如计算:(1)(2)+护-『+ (—护+坦30。
零指数幕的法则, 负整数指数幕的法则， 特殊三角函数值, 分析：这道题隐含着a v 0是解此题的关键，而 a v 0时,|a|=— a ,这一点是该题错误的根本原因，另外，在化简J 「时，注意计算步骤要严谨。
