数列综合A

高三数学数列综合应用试题答案及解析1.已知数列{an }中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．(1)写出a2，a3的值(只写结果)，并求出数列{an}的通项公式；(2)设bn＝＋＋＋…＋，若对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）a2＝6，a3＝12. an＝n(n＋1)．（2）实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】解：(1)∵a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)，∴a2＝6，a3＝12.当n≥3时，an －an－1＝2n，a n－1－a n－2＝2(n－1)，又a3－a2＝2×3，a2－a1＝2×2，∴an －a1＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]，∴an＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1]＝2×＝n(n＋1)．当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝6，也满足上式，∴数列{an }的通项公式为an＝n(n＋1)．(2)bn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－＝＝.令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn )max＝.要使对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，则需t2－2mt＋>(bn )max＝，即t2－2mt>0对∀m∈[－1,1]恒成立，∴，解得t>2或t<－2，∴实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．2.一函数y＝f(x)的图象在给定的下列图象中，并且对任意an ∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(a n)得到的数列{an }满足an＋1>a n(n∈N*)，则该函数的图象是()【答案】A【解析】由an＋1>a n可知数列{a n}为递增数列，又由a n＋1＝f(a n)>a n可知，当x∈(0,1)时，y＝f(x)的图象在直线y＝x的上方，故选A.3.设函数）定义为如下数表，且对任意自然数n均有xn+1=的值为( ) A．1B．2C．4D．5【答案】D【解析】,又根据,所以有,,,, .,所以可知：,,故选D.【考点】数列的周期性4.是点集A到点集B的一个映射，且对任意，有.现对点集A中的点，，均有，点为（0,2），则线段的长度 .【答案】【解析】∵，∴，，，，，，…，根据变化规律可知，∴，，∴.【考点】1.数列的性质；2.两点间距离公式.5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测:(1)b2012是数列{an}中的第项;(2)b2k-1=.(用k表示)【答案】(1)5030(2)【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…的一个通项公式为an=,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,…其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,…故b1=a4,b2=a5,b3=a9,b4=a10,b5=a14,b6=a15,….从而由上述规律可猜想:b2k =a5k= (k为正整数),b2k-1=a5k-1==,故b2012=b2×1006=a5×1006=a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.6.已知数列满足，则该数列的通项公式_________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，，…，，∴，∴，∴.【考点】1.累加法求通项公式；2.裂项相消法求和.7.数列满足，则 .【答案】【解析】这类问题类似于的问题处理方法，在中用代换得（），两式相减得，，又，即，故.【考点】数列的通项公式.8.已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是______________.【答案】【解析】是递减数列，从开始是用式子计算，这时只要，即即可，关键是是通过二次式计算，根据二次函数的性质，应该有且，即且，解得，综上取值范围是．【考点】数列的单调性．9.已知数列{｝的前n项和为，且，则使不等式成立的n的最大值为．【答案】4【解析】当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.【考点】1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.10.甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为，B喷雾器中药水的浓度为．（1）证明：是一个常数；（2）求与的关系式；（3）求的表达式．【答案】(1)18;(2);(3) .【解析】(1)利用n次操作后A和B的农药的和应与开始时农药的重量和相等建立等量关系，证明是一个常数；(2)借助第一问的结论和第n次后A中10千克的药水中农药的重量具有关系式，求解与的关系式；（3）根据第二问的递推关系，采用构造数列的思想进行求解.试题解析：（1）开始时，A中含有10=1.2千克的农药，B中含有10=0.6千克的农药，，A中含有千克的农药，B中含有千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而（常数）． 4分（2）第n次操作后，A中10千克的药水中农药的重量具有关系式：由（1）知，代入化简得① 8分（3）令，利用待定系数法可求出λ=—9，所以，可知数列是以为首项，为公比的等比数列．由①，,由等比数列的通项公式知：，所以． 12分【考点】1.数列的递推式；（2）数列的通项公式；（3）实际应用问题.11.等比数列的各项均为正数，且，则【答案】B【解析】等比数列中，所以【考点】等比数列性质及对数运算点评：等比数列中，若则，在对数运算中12.已知数列的首项为，对任意的，定义.（Ⅰ）若，(i)求的值和数列的通项公式；(ii)求数列的前项和；（Ⅱ）若，且，求数列的前项的和.【答案】(1) ,,(2) 当为偶数时，；当为奇数时，【解析】(Ⅰ) 解：(i),,………………2分由得当时，=………4分而适合上式，所以.………………5分(ii)由(i)得：……………6分……………7分…………8分(Ⅱ)解：因为对任意的有，所以数列各项的值重复出现，周期为. …………9分又数列的前6项分别为，且这六个数的和为8. ……………10分设数列的前项和为，则，当时，，……………11分当时，，…………12分当时所以，当为偶数时，；当为奇数时，. ……………13分【考点】数列的通项公式，数列的求和点评：解决的关键是对于数列的递推关系的理解和运用，并能结合裂项法求和，以及分情况讨论求和，属于中档题。

第四章综合测评一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在等差数列{a n}中,若2a8=6+a11,则a1+a9=()A.54B.12C.10D.62.已知数列{a n}的前n项和为S n,若a1≠0,S n=an2+bn,且a7=3a2,S8=λa2,则λ的值为()A.15B.16C.17D.183.在数列{a n}中,a1=2,a n=1+1a n-1(n≥2),则a3=()A.32B.23C.53D.524.在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a5=3,则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a9=()A.5B.7C.9D.115.在等差数列{a n}中,a1=-5,a3是4与49的等比中项,且a3<0,则a5=()A.-18B.-23C.-24D.-326.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2≥3,S5≤30,则a1的最小值是()A.-1B.0C.1D.27.已知在数列{a n}中,a1=1,(n+1)a n=2na n+1,则数列{a n}的通项公式是()A.a n=n2n-1B.a n=n2n-1C.a n=nD.a n=n+12n8.给出数阵:01 (9)12 (10)︙︙︙︙910 (18)其中每行、每列均为等差数列,则此数阵所有数的和为()A.495B.900C.1 000D.1 100二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知等比数列{a n}的公比q=-2,等差数列{b n}的首项b1=12,若a9>b9且a10>b10,则下列结论正确的有3()A.a9a10<0B.a9>a10C.b10>0D.b9>b1010.已知等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),公差d≠0,S6=90,a7是a3与a9的等比中项,则下列结论正确的是()A.a1=22B.d=-2C.当n=10或n=11时,S n取得最大值D.当S n>0时,n的最大值为2011.已知数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,且2a1+3a3=S6,则下列结论正确的是()A.a10=0B.S10最小C.S7=S12D.S19=0=k(k为常数),则称{a n}为“等差比数列”,下列对“等差比数列”12.在数列{a n}中,n∈N*,若a n+2-a n+1a n+1-a n的判断正确的为()A.k不可能为0B.等差数列一定是“等差比数列”C.等比数列一定是“等差比数列”D.“等差比数列”中可以有无数项为0三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.在等差数列{a n }中,前m (m 为奇数)项和为135,其中偶数项之和为63,且a m -a 1=14,则a 100的值为 .14.已知两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,且S n T n =7n+14n+27(n ∈N *),则a11b 11= .15.设f (x )=4x4x +2,可求得f12015+f22015+f32015+…+f20142015的值为 .16.已知数列{a n }满足a n +a n+2=2a n+1,a 2=8,a 5=20,b n =2n +1+1,设数列{b n -a n }的前n 项和为S n ,则a 1= ,S n = .四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n-1=0(n ≥2),a 1=12. (1)求证:{1S n}是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式..18.(本小题满分12分)已知数列{a n}的通项公式为a n=3n-23n+1(1)求a10.是否为该数列中的项.若是,它为第几项?若不是,请说明理由.(2)判断710(3)求证:0<a n<1.19.(本小题满分12分)甲、乙两物体分别从相距70米的两处同时相向运动.甲第1分钟走2米,以后每分钟比前1分钟多走1米,乙每分钟走5米.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1米,乙继续每分钟走5米,那么甲、乙开始运动后几分钟第二次相遇?20.(本小题满分12分)(2021云南玉溪月考)已知数列{a n+3}为等比数列,且a2=6,a3=24.(1)求a n;(2)若3(b n+1-b n)=a n,且b1=1,求b n.221.(本小题满分12分)已知数列{a n}的各项均为正数,前n项和为S n,且满足2S n=a n2+n-4(n∈N*).(1)求证:数列{a n}为等差数列;(2)求数列{a n}的前n项和S n.22.(本小题满分12分)若数列{a n }是公差为2的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=2,且a n b n +b n =nb n+1. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)设数列{c n }满足c n =a n +1b n+1,数列{c n }的前n 项和为T n ,若不等式(-1)nλ<T n +n2n -1对一切n ∈N *恒成立,求实数λ的取值范围.参考答案 第四章综合测评1.B 设等差数列{a n }的公差为d ,∵在等差数列{a n }中,2a 8=6+a 11, ∴2(a 1+7d )=6+a 1+10d ,解得a 1+4d=6. ∴a 1+a 9=a 1+a 1+8d=2×6=12.故选B .2.B ∵数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =an 2+bn , ∴数列{a n }是等差数列.∵a 7=3a 2,∴a 1+6d=3(a 1+d ),解得a 1=32d.∵S 8=λa 2,∴8a 1+8×72d=λ(a 1+d ),∴40d=λ×52d ,又d ≠0,解得λ=16. 3.C ∵a n =1+1a n -1(n ≥2),a 1=2,∴a 2=1+1a 1=1+12=32,∴a 3=1+1a 2=1+132=53.故选C .4.C ∵在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 5=3,∴log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+…+log 3a 9=log 3(a 1a 2…a 9)=log 3a 59=9log 3a 5=9log 33=9.故选C .5.B 根据题意,a 3是4与49的等比中项, 则(a 3)2=4×49,解得a 3=±14. 又因为a 3<0,所以a 3=-14. 又a 1=-5,则a 5=2a 3-a 1=-23.故选B . 6.B 设等差数列{a n }的公差为d , 由{a 2≥3,S 5=52(a 1+a 5)≤30,可得{a 1+d ≥3,a 1+2d ≤6,即{2a 1+2d ≥6,-a 1-2d ≥-6,解得a 1≥0,则a 1的最小值是0.故选B .7.B 在数列{a n }中,a 1=1,(n+1)a n =2na n+1, 整理得a n+1a n=n+12n ,所以a n a n -1=n 2(n -1),a n -1a n -2=n -12(n -2),…,a 2a1=22×1, 所有的式子相乘得到a n a n -1·a n -1a n -2·…·a 2a 1=n 2(n -1)·n -12(n -2)·…·22×1,整理得a n a 1=n2n -1,所以a n =n 2n -1(a 1也符合该式).故a n =n2n -1.故选B .8.B 设b 1=0+1+2+…+9,b 2=1+2+3+…+10,…,b 10=9+10+…+18,则{b n }是首项b 1=45,公差d=10的等差数列,所以S 10=45×10+10×92×10=900.9.AD ∵等比数列{a n }的公比q=-23,∴a 9和a 10异号,即a 9a 10<0,但不能确定a 9和a 10的大小关系,故A 正确,B 不正确; ∵a 9和a 10异号,a 9>b 9且a 10>b 10, ∴b 9和b 10中至少有一个数是负数,又b 1=12>0,∴d<0,∴b 9>b 10,b 10一定是负数,即b 10<0,故C 不正确,D 正确.故选AD . 10.BCD 因为S 6=90, 所以6a 1+6×52d=90,即2a 1+5d=30, ①又因为a 7是a 3与a 9的等比中项,所以a 72=a 3a 9,所以(a 1+6d )2=(a 1+2d )(a 1+8d ),整理得a 1=-10d , ②由①②解得a 1=20,d=-2,故A 错误,B 正确; 所以S n =20n+n(n -1)2×(-2)=-n 2+21n=-n-2122+4414,又n ∈N *,所以当n=10或n=11时,S n 取得最大值,故C 正确;令S n =-n 2+21n>0,解得0<n<21,又n ∈N *, 所以n 的最大值为20,故D 正确.故选BCD .11.ACD 因为数列{a n }为等差数列,2a 1+3a 3=S 6,即5a 1+6d=6a 1+15d ,即a 1+9d=a 10=0,故A 正确;因为a 10=0,所以S 9=S 10,但是无法确定数列{a n }的公差d 的大小,故无法确定S 10是最大值还是最小值,故B错误;因为a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=5a 10=0,所以S 12=S 7+a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=S 7+0=S 7,故C 正确;S 19=a 1+a 192×19=19a 10=0,故D 正确.故选ACD .12.AD 由题意,a n+1≠a n ,则a n 不为常数列,故A 正确,B,C 错误;数列0,1,0,1,0,1,…,0,1是等差比数列,且有无数项为0,故D 正确.故选AD . 13.101 ∵在前m 项中偶数项之和为S 偶=63,∴奇数项之和为S 奇=135-63=72,设等差数列{a n }的公差为d ,则S 奇-S 偶=2a 1+(m -1)d2=72-63=9.又a m =a 1+d (m-1),∴a 1+a m2=9.∵a m -a 1=14,∴a 1=2,a m =16. ∵m(a 1+a m )2=135,∴m=15,∴d=14m -1=1,∴a 100=a 1+99d=101.14.148111 因为在等差数列{a n },{b n }中,S n T n =7n+14n+27(n ∈N *),所以a 11b 11=2a112b 11=a 1+a 21b 1+b 21=S 21T 21=21×7+14×21+27=148111.15.1007 ∵f (x )=4x4x +2,∴f (x )+f (1-x )=4x 4x +2+41-x 41-x +2=4x 4x +2+41-x ·4x (41-x +2)·4x=4x4x +2+44+2·4x=4x4x +2+22+4x =4x +24x +2=1.故可得f12015+f22015+f32015+…+f20142015=f12015+f20142015+f22015+f20132015+…+f10072015+f10082015=1007×1=1007.16.4 2n+2-2n 2-n-4 ∵数列{a n }满足a n +a n+2=2a n+1,∴{a n }为等差数列. 设{a n }的公差为d ,则{a 5=a 2+3d,a 2=a 1+d,即{20=8+3d,8=a 1+d,解得{d =4,a 1=4,故a n =4n.∴b n -a n =2n +1+1-4n , ∴S n =4(1-2n )1-2+n-4·n(n+1)2=2n+2-2n 2-n-4.17.(1)证明当n ≥2时,由a n +2S n S n-1=0得S n -S n-1=-2S n S n-1,所以1S n−1S n -1=2.又1S 1=1a 1=2,所以{1S n}是首项为2,公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得1S n=2n ,所以S n =12n .当n ≥2时,a n =S n -S n-1=12n −12(n -1)=-12n(n -1); 当n=1时,a 1=12,不符合a n =-12n(n -1).故a n ={12,n =1,-12n(n -1),n ≥2且n ∈N *.18.(1)解根据题意可得a 10=3×10-23×10+1=2831. (2)解是.令a n =710,即3n -23n+1=710,解得n=3, 故710为数列{a n }中的项,为第3项.(3)证明由题意可得a n =3n -23n+1=1-33n+1, ∵n ∈N *,∴3n+1>3,∴0<33n+1<1,∴0<1-33n+1<1,即0<a n <1.19.解(1)设开始运动n 分钟后相遇,依题意,有2n+n(n -1)2+5n=70,整理,得n 2+13n-140=0, 解得n=7,n=-20(舍去).故甲、乙两物体开始运动后7分钟相遇.(2)设开始运动m 分钟后第2次相遇,依题意,有2m+m(m -1)2+5m=3×70,整理,得m 2+13m-420=0,解得m=15,m=-28(舍去).故甲、乙两物体开始运动后15分钟第二次相遇.20.解(1)因为a 3+3a 2+3=24+36+3=3,所以数列{a n +3}的公比为3,所以a n +3=(a 2+3)·3n-2=9·3n-2=3n,故a n =3n -3.(2)因为3(b n+1-b n )=a n ,所以b n+1-b n =13(3n -3)=3n-1-1, 所以b 2-b 1=30-1,b 3-b 2=31-1,…,b n -b n-1=3n-2-1,所以b n -b 1=(30+31+…+3n-2)-(n-1)=1-3n -11-3-(n-1)=3n -12-n+12,所以b n =3n -12-n+1.21.(1)证明当n=1时,有2a 1=a 12+1-4,即a 12-2a 1-3=0,解得a 1=3(a 1=-1舍去).当n ≥2时,有2S n-1=a n -12+n-5,又2S n =a n 2+n-4,两式相减得2a n =a n 2−a n -12+1,即a n 2-2a n +1=a n -12,即(a n -1)2=a n -12, 因此a n -1=a n-1或a n -1=-a n-1.若a n -1=-a n-1,即a n +a n-1=1.则有当a 1=3时,a 2=-2,这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾,所以a n -1=a n-1,即a n -a n-1=1,因此数列{a n }为等差数列.(2)解由(1)知a 1=3,d=1,所以数列{a n }的通项公式为a n =3+(n-1)×1=n+2,故S n =n 2+5n 2. 22.解(1)∵数列{b n }满足b 1=1,b 2=2,且a n b n +b n =nb n+1,∴a 1+1=2,解得a 1=1.又∵数列{a n }是公差为2的等差数列,∴a n =1+2(n-1)=2n-1.∴2nb n =nb n+1,即2b n =b n+1,∴数列{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,故b n =2n-1.(2)数列{c n }满足c n =a n+1b n+1=2n 2n =n 2n -1,数列{c n }的前n 项和T n =1+22+322+…+n 2n -1, ∴12T n =12+222+…+n -12n -1+n 2n , 两式相减得12T n =1+12+122+…+12n -1−n 2n =1-12n1-12−n 2n =2-n+22n , ∴T n =4-n+22n -1,不等式(-1)n λ<T n +n 2n -1,即(-1)n λ<4-22n -1恒成立,当n=2k (k ∈N *)时,λ<4-22n -1,∴λ<3; 当n=2k-1(k ∈N *)时,-λ<4-22n -1,∴λ>-2.综上可得,实数λ的取值范围是(-2,3).。

专题讲座高中数学“数列的综合问题”教学研究郭洁北京市东城区教师研修中心一、对本专题数学知识的深层次理解（一）数列综合问题的几个重点内容数列的综合问题课标中并没有明确的陈述，但往往是高考考查涉及到的问题，如：数列求和问题；数列与不等式综合问题；关于递推数列的问题等。

这些问题往往涉及数列知识的综合和高考的考查重点，教学中教师要给予关注并较好的把握。

（二）教学内容的重点、难点重点：在解决数列问题中要关注数列的属性、项数，用函数的观点研究数列；掌握数列求和的基本方法及基本的递推数列问题。

难点：数列与不等式综合问题中的放缩问题；解决递推数列问题的策略。

二、“数列综合问题”的教与学的策略（一）解决数列问题的基本思路判断所要求研究的数列是否为特殊数列：等差数列或等比数列，如果是，用公式和性质解决 . 如果不是等差、等比数列，要么转化为等差数列或等比数列，要么寻找其它方法 .因此我们拿到一个数列的问题时，要注意关注数列的属性。

1．关注数列的属性本题的关键是定性，即关注数列的属性。

2．关注数列的项数此题涉及等差、等比数列的综合问题，考查了等比中项，等差数列的通项公式等基本知识，考查了方程思想，关键是利用已知条件找到 K n与 n的关系。

3．用函数的观点认识数列本题的关键是用函数的观点去看待数列问题，此题也涉及到不等式的知识 .以上几个例题从不同角度反映了数列是特殊的函数这一问题，因此解决数列问题，往往可以利用解决函数问题的思考方式。

（二）关注数列求和问题的教学数列求和的问题需要根据数列特点选择解决方法，必须掌握常用的数列求和方法，但数列求和往往和其他知识综合在一起，综合性较强 . 若为等差（比）数列，则直接用公式求和；若非等差（比）数列，则需寻找间接求和的方法 . 常见的有：“倒序相加法”“错位相减法”“裂项相消法”等 .1．用公式求和分析 : 课本上推导等差数列的前项和公式的方法为倒序相加法 , 故设数列求和的问题需要根据数列特点选择解决方法这一点在教学中应该始终坚持。

课时作业(三十三)A [第33讲 数列的综合应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＝( ) A.32 B.94 C.259 D.2516 2．[2011·东北三校一模] ( )A ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的前10项和 B ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前10项和C ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的前11项和D ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前11项和3．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知信息的另外两个人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为( )A ．三个月B ．一个月C ．10天D ．20小时4．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且点A n (a n ，a n ＋1)在函数y ＝xx ＋1的图象上．则该数列{a n }的通项公式是a n ＝________.能力提升 5．[2011·济南二模] 数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n 2－17n ，则当S n 取得最小值时n 的值为( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．4 D ．5 6．[2011·天津卷] 已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110 7．[2011·衡水模拟] 设等比数列的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，则公比q ( )A ．等于－2B ．等于1C ．等于1或－2D ．不存在8．[2011·合肥一中月考] 各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝( )A.5＋12B.5－12C.3－52D.2＋529．[2011·陕西卷] 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )A ．①和⑳B ．⑨和⑩C ．⑨和⑪D ．⑩和⑪ 10．数列{a n }中，a 1＝2，点(log 3a n ，a n ＋1)在函数y ＝2×3x 的图象上，则{a n }的通项公式为a n ＝________.11．[2011·虹口区质检] 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n －3，则通项公式a n ＝________.12．[2011·广东六校联考] 已知数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的正整数m 、n 都有a m ＋n ＝a m ·a n .若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝________.13．[2011·菏泽二模] 已知a n ＝2n －1(n ∈N ＋)，把数列{a n }的各项排成如图K33－2所示的三角数阵．记S (m ，n )表示该数阵中第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10,6)对应数阵中的数是________．1 3 5 7 9 11 13 15 17 19… 图K33－214．(10分)[2012·惠州模拟] 当p 1，p 2，…，p n 均为正数时，称np 1＋p 2＋…＋p n为p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．已知数列{a n }的各项均为正数，且其前n 项的“均倒数”为12n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n2n ＋1(n ∈N *)，试比较c n ＋1与c n 的大小．15．(13分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设：2b n ＝1a n＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .难点突破16．(12分)设数列{b n }满足：b 1＝12，b n ＋1＝b 2n ＋b n . (1)求证：1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1；(2)若T n ＝1b 1＋1＋1b 2＋1＋…＋1b n ＋1，对任意的正整数n,3T n －log 2m －5>0恒成立．求m 的取值范围．课时作业(三十三)A【基础热身】1．B [解析] a 2＝22a 1＝4，a 3＝32a 1a 2＝94.故选B.2．B [解析] 可知S ＝12＋14＋…＋120，所以其描述的是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前10项和．3．D [解析] 每小时传递人数构成数列2,4,8，…，所以n 小时共传递人数S n ＝1－2n 1－2＝2n－1≈106，所以n ≈20小时．4.1n [解析] 因为a n ＋1＝a n a n ＋1且a 1＝1，所以1a n ＋1＝1＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n＝1. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列.1a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝1n .【能力提升】5．C [解析] 二次函数f (x )＝2x 2－17x 的对称轴为直线x ＝174，因为n ∈N ＋，所以当n ＝4时，S n ＝2n 2－17n 有最小值．故选C.6．D [解析] 由a 27＝a 3·a 9，d ＝－2，得(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解之得a 1＝20，∴S 10＝10×20＋10×92(－2)＝110. 7．B [解析] 依题意有2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2，当q ≠1时，有2a 1(1－q n ＋1)＝a 1(1－q n )＋a 1(1－q n ＋2)，解得q ＝1，但q ≠1，所以方程无解；当q ＝1时，满足条件．故选B.8．B [解析] 依题意，有a 3＝a 1＋a 2，设公比为q ，则有q 2－q －1＝0，所以q ＝1＋52(舍去负值).a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝a 2a 4(q ＋q 2)a 2a 4(q 2＋q 3)＝1q ＝21＋5＝5－12.故选B. 9．D [解析] 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑，故答案选D.10．2n [解析] 由已知得a n ＋1＝2×3log 3a n ＝2a n ，显然{a n }的各项不为零，所以a n ＋1a n＝2，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，a n ＝2×2n －1＝2n .11.⎩⎪⎨⎪⎧－1(n ＝1)，2n (n ≥2)[解析] n ＝1时，a n ＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1(n ＝1)，2n (n ≥2).12．2－2n ＋13n [解析] 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1·a n ，即a n ＋1a n ＝a 1＝23，可知数列{a n }是首项为a 1＝23，公比为q ＝23的等比数列，于是S n ＝a 1(1－q n)1－q＝23×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n 1－23， ＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n ＝2－2n ＋13n .13．101 [解析] 观察知每一行的第1个数构成数列：1,3,7,13,21，…，相邻两项构成递推关系：a n ＋1＝a n ＋2n ，所以a 10＝a 9＋18＝a 8＋16＋18＝a 7＋14＋34＝a 6＋12＋48＝a 5＋10＋60＝a 4＋8＋70＝13＋78＝91，即第10行的第1个数为91，所以第10行第6个数为101. 14．[解答] (1)由已知有a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝n (2n ＋1)， 则a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)(2n －1)， 两式相减，得a n ＝4n －1(n ≥2)．又1a 1＝12×1＋1，解得a 1＝3＝4×1－1， ∴a n ＝4n －1(n ∈N *)．(2)∵c n ＝a n 2n ＋1＝4n －12n ＋1＝2－32n ＋1，c n ＋1＝a n ＋12n ＋3＝2－32n ＋3，∴c n ＋1－c n ＝32n ＋1－32n ＋3＞0，即c n ＋1＞c n .15．[解答] (1)由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1－1a n＝2且1a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得a n ＝12n －1.(2)由2b n ＝1a n ＋1得2b n ＝2n －1＋1＝2n ，∴b n ＝1n，从而b n b n ＋1＝1n (n ＋1)，则T n ＝b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.【难点突破】16．[解答] (1)因为b 1＝12，b n ＋1＝b 2n ＋b n ＝b n (b n ＋1)，所以对任意的n ∈N *，b n >0. 所以1b n ＋1＝1b n (b n ＋1)＝1b n －1b n ＋1，即1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1. (2)T n ＝⎝⎛⎭⎫1b 1－1b 2＋⎝⎛⎭⎫1b 2－1b 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1b n －1b n ＋1＝1b 1－1b n ＋1＝2－1b n ＋1. 因为b n ＋1－b n ＝b 2n >0， ∴b n ＋1>b n ，所以数列{b n }是单调递增数列． 所以数列{T n }关于n 递增． 所以T n ≥T 1.因为b 1＝12，所以b 2＝b 1(b 1＋1)＝34，所以T 1＝2－1b 2＝23，所以T n ≥23.因为3T n －log 2m －5>0恒成立， 所以log 2m <3T n －5恒成立， 所以log 2m <－3，所以0<m <18.。

3月6日数列综合练习题一、单选题1．已知数列为等比数列，是它的前n项和．若,且与的等差中项为，则（）A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】C 【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴21a a q =⋅，∴13134222a q a a q a a ⋅⋅=⇒⋅=⇒=，又∵与的等差中项为54，∴477512244a a a ⋅=+⇒=，∴3741182a q q a ==⇒=，∴41316a a q ==，515116(1)(1)32311112a q S q--===--.2．等差数列{}n a 中，19173150a a a ++=则10112a a -的值是（）A．30B．32C．34D．25【答案】A 【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等．由条件知930a =，所以10112a a -=930a =，故选A．3．数列满足且，则等于（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】由有解知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为211112x x -=的等差数列；所以11121(1),221n n n n x x n +=+-=∴=+.故选D 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列21{}n a -的前n 项和为n T ，下列说法错误．．的是（）A ．若n S 有最大值，则n T 也有最大值B ．若n T 有最大值，则n S 也有最大值C ．若数列{}n S 不单调，则数列{}n T 也不单调D ．若数列{}n T 不单调，则数列{}n S 也不单调【答案】C 【解析】【详解】解：数列{a 2n ﹣1}的首项是a 1，公差为2d ，A ．若S n 有最大值，则满足a 1＞0，d ＜0，则2d ＜0，即T n 也有最大值，故A 正确，B ．若T n 有最大值，则满足a 1＞0，2d ＜0，则d ＜0，即S n 也有最大值，故B 正确，C ．S n ＝na 1()12n n -+•d 2d =n 2+（a 12d -）n ，对称轴为n 111122222d da a a d d d --=-==--⨯，T n ＝na 1()12n n -+•2d ＝dn 2+（a 1﹣d ）n ，对称轴为n 111222a d d -=-=-•1a d，不妨假设d ＞0，若数列{S n }不单调，此时对称轴n 11322a d =-≥，即1a d-≥1，此时T n 的对称轴n 1122=-•111122a d ≥+⨯=1，则对称轴1122-•132a d ＜有可能成立，此时数列{T n }有可能单调递增，故C 错误，D ．不妨假设d ＞0，若数列{T n }不单调，此时对称轴n 1122=-•132a d ≥，即1a d-≥2，此时{S n }的对称轴n 11122a d =-≥+25322＞=，即此时{S n }不单调，故D 正确则错误是C ，故选C ．5．设n=（）A ．333n 个B ．21333n - 个C ．21333n- 个D ．2333n 个【答案】A【解析】1013333n n -====⋅⋅⋅ 个.故选A.6．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（）．A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【详解】∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+，∴12a =，∴45a =．故选：C第II 卷（非选择题)二、填空题7．已知数列{}n a 的首项11a =，且1(1)12nn na a n a +=+ ，则5a =____．【答案】198．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是________．【答案】5或6【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数n 是5或6．9．数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__.【答案】122n n +--【详解】由121n n a a +=+得()1+121n n a a +=+所以1112+n n a a +=+，且112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，且11=222n nn a -+⨯=所以21nn a =-前n 项和()123121222222212n nn nS n n n +-=++++-==--- 10．已知数列{}n a 中,132a =前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________.【答案】12【详解】由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n SS S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322n nS -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=.故答案为：12三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 1na =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【详解】（1）数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2，即a n ﹣a n ﹣1＝3n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝3+6+9+…+3n 12=n （3+3n ）32=n 232+n ；（2）b n 123n a ==•2123n n =+（111n n -+），前n 项和S n 23=（1111112231n n -+-++-+ ）23=（111n -+）()231n n =+．12．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2(,*)n n S ka n n k R n N =+-∈∈．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}21n a n --为公比不为1的等比数列，求n S ．【答案】解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为．……………6分（II ）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．……10分当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；…12分当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．………………………14分【解析】试题分析：解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为…6分（2）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．13．设数列{}n a 的通项公式63n a n =-+，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．()1求数列{}n b 的通项公式．()2若3nn na cb -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【详解】()1由题意，数列{}n a 的通项公式n a 6n 3=-+，{}n b 为单调递增的等比数列，设公比为q ，123b b b 512=，1133a b a b +=+．可得331b q 512=，2113b 15b q -+=-+，解得1b 4=，或1q 2(2=-舍去)，则n 1n 1n b 422-+=⋅=。

高考数学必考点专项第19练 数列综合习题精选（A ）一、单选题1. 若数列的前4项分别是12-，13，14-，15，则此数列一个通项公式为( )A. (1)1nn -+B. (1)n n-C. 1(1)1n n +-+D. 1(1)n n--2. 在数列{}n a 中，1=2a ，+11=+ln(1+)+1n n a a n n n，则=n a ( ) A. 2+ln n nB. 2+(1)ln n n n -C. 2+ln n n nD. 1++ln n n n3. 数列的前n 项和2*23()n S n n n N =+∈，若5,(,*)p q p q N -=∈，则p q a a -=( ) A. 5B. 20C. 20-D. 5-4. 已知数列{}n a 中，12a =，1(1)1n n n a n a +⋅-+⋅=，*.n N ∈若对于任意的*n N ∈，不等式11n a a n +<+恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A. (3,)+∞ B. (,3)-∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞5. 已知数列{}n a 的通项公式21021n a n n =-+-，前n 项和为n S ，若m n >，则m n S S -的最大值是( )A. 5B. 10C. 15D. 206. 设a ，b ∈R ，数列{}n a 中1a a =，21n na ab +=+，n ∈*N ，则 ( ) A. 当12b =时，1010a > B. 当14b =时，1010a > C. 当2b =-时，1010a > D. 当4b =-时，1010a >{}n a7. 已知正项数列{}n a 满足11a =，2211(2)(1)0n n n n n a n a a a +++-++=，则它的通项公式为( )A. 11n a n =+ B. 21n a n =+ C. 12n n a +=D. n a n =8. 已知数列的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22n a n nb S =，则数列的最小项为( )A. 第3项B. 第4项C. 第5项D. 第6项二、多选题9. 已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有( )A. 2-B.23C.32D. 310. 若数列满足：对任意正整数n ，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有( )A. 3n a n =B. 21n a n =+C. n aD. ln1n na n =+ 11. 已知数列的前n 项和为，且满足-111+4=0(2),=4n n n a S S n a ，则下列说法正确的是( )A. 数列的前n 项和为1=4n S nB. 数列的通项公式为1=4(+1)n a n nC. 数列为递增数列D. 数列1{}nS 为递增数列 12. 在数列{}n a 中，若存在非零整数T ，使得m T m a a +=对于任意的正整数m 均成立，那么称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的一个周期．已知数列{}n a 满足{}n a {}n b {}n a {}n a {}n a {}n a12a =，23a =，120(n n n a a a n ++-+=∈N *)，数列{}n b 满足11b =，23b =，110(2,n n n b b b n n -+⋅-=∈N *)，则( )A. 6是数列{}n a 的一个周期B. 12是数列{}n b 的一个周期C. 123a a a +++…20204a +=D. 12b b ⋅⋅…20203b ⋅=13. 已知数列{}n a 满足111a =-，且13(213)(211)n n n a n a +-=-，则下列结论正确的是( )A. 数列{}n a 的前10项都是负数B. 数列{}n a 先增后减C. 数列{}n a 的最大项为第九项D. 数列{}n a 最大项的值为1729三、填空题14. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则1a =__________，5S =__________.15. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n N ∈，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n N ∈，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =__________.16. 已知数列{}n a 满足若对任意*n N ∈，都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是__________。

数列1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n n n S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．1 2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，()()11n n n S nS n N*++<∈．若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S D ．n S 的最小值是7S3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1226a a =-=，21,,n n n a a a ++为等差数列，则2020S =（ ） A ．2020142+ B ．2018142+C ．2020142-D ．2018142-4．已知数列{}n a 满足22131nn n a a --=-，()21235n n n a a n +++=+∈N ，则数列{}n a 的前40项和40S =（ ）A ．2131972+B ．2031972+C ．10998+D ．20998+5．在等差数列{}n a 中，1411,5a a =-=-.记12(1,2,)n n T a a a n ==，则数列{}n T （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项二、多选题6．等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项积12n n a a a T =，若 11a >，202020211a a ⋅>，()()20202021110a a --<，则（ ）A ．01q <<B ．202020221a a ⋅>C ．2021T 是n T 的最大值D ．使1n T >的n的最大值是40407．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（ ） A．若为等差数列，则112da =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d +8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论中正确的有（ ）A ．821a =B ．732S =C ．135212n n a a a a a -++++= D ．22212202120222021a a a a a +++= 9．设数列{}{},n n ab 的前n 项和分别为,n n S T 1121,n n n S S S n++==，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ）A ．20202020a =B ．()12n n n S +=C ．()112n b n n =-+ D ．1334n T n ≤-<10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，22a =，0n a ≠，()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，其中2n ≥，且*n ∈N ．设21n n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则100T =______．11．如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是如图乙所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形12OA A 是等腰三角形，且112233478 1OA A A A A A A A A ====⋅⋅⋅==，它可以形成近似的等角螺线，记1 OA ，2OA ，3OA ，…，8OA 的长度组成数列{}n a （*n ∈N ，18n ≤≤），且11n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前7项和为________．12．已知数列{}n a 满足11a =，()221212n n a a n n n +=-+++，现有如下四个结论：①{}n a 是单调递增数列；①*n N ∃∈，12n n a a +=；①10611a =；①数列{}(1)nn a -的前2n 项和为41(21)3n n n -++.其中所有正确结论的序号是______.13．已知n S 是各项均不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且()2*21n n S a n -=∈N ，使不等式1231a a a +2234345121111142n n n n n a a a a a a a a a λ++⎛⎫++++ ⎪⎝⎭成立，则实数λ的最大值是___________.14．等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足下面条件，11a >，9910010a a ⋅->，99100101a a -<-.给出下列结论：①01q <<；①991010a a -<；①100T 的值是n T 中最大的；①1n T >成立最大的自然数n 等于198.其中正确的结论是__________. 15．在数列{}n a 中，()1*111,32n n n a a a n -+==-∈N ，记32(1)n n n n c a λ=-⨯-，若对任意的*1,n n c n c +∈>N 恒成立，则实数λ的取值范围为__________.16．已知数列{}n a 的前n 项和为*1,4,n n n S S a n +=∈N ，且14a =.（1）证明：{}12n n a a +-是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）在①1n n n b a a +=-；①2log nn a b n=；①21n n n n a b a a ++=这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.已知数列{}n b 满足___________，求{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.17．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且11a =，32232a a =+．数列{}n b 满足()1122123n n n n a b a b a b b a +++⋅⋅⋅+=-+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列()111n n n n b b ++⎧⎫-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：13n S ≤．18．给出以下三个条件：①11a =，22121n n a a n +-=+，*n N ∈；①22n nS a n =+，*n N ∈；①数列2211n n a ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n .请从这三个条件中任选一个，将下面题目补充完整，并求解. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，________. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n a nn nS b a +=，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．已知()23f x x x =-，数列{}n a 前n 项和为n S ，且()n S f n =.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 满足43nn na b =⨯，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且对于任意*n ∈N ，总存在[]2,4x ∈，使得()n T mf x >成立，求实数m 的取值范围. .五、双空题20．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足()()()*2113322,N n n n n S S S S n n ++-+-+=≥∈，且12a =，26a =，312a =，则n a =______；若1n nb a =，则数列{}n b 的前2021项和为______．。