第一章《数列》单元测试卷(A)+答案

一、选择题1．设数列{}n a 满足11a =，()*112n n n a a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）． A ．()*2212n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N B ．()*2112n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N C ．()*1112n n a n -=-∈ND ．()*122n n a n =-∈N 2．已知数列{}n a ，{}n b 中满足()1231n n a a n ++=≥，110a =，1n n b a =-，若{}n b 前n 项之和为n S ，则满足不等式16170n S -<的最小整数n 是（ ）. A ．8B ．9C ．11D ．103．若数列{}n a 满足12a =，23a =，12n n n a a a --=（3n ≥且*N n ∈），则2018a 等于（ ） A ．12B ．2C ．3D ．234．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 5．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若202020210,0S S <>，则下列判断错误的是（ ）A ．数列{}n a 单调递增B ．10100a <C ．数列{}n a 前2020项最小D ．10110a >6．已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且点1(,)()n n P a a n N *+∈在直线10x y -+=上，则12320191111S S S S ++++=（ ）A ．20192020 B ．20191010 C ．20194040D ．201920202⨯ 7．数列{}n a 是等差数列，51260a a =>，数列{}n b 满足123n n n n b a a a +++=，*n N ∈，设n S 为{}n b 的前n 项和，则当n S 取得最大值时，n 的值等于（ ）A ．9B ．10C ．11D ．128．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．41n a n =+9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的A ．21n n n a a a ++=+B ．13599100a a a a a ++++=C ．2499a a a a +++=D ．12398100100S S S S S ++++=-10．定义12...nnp p p +++为n 个正数12,,......n p p p 的“均倒数”，若已知正整数数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231920111b b b b b b +++=（ ） A ．1920 B ．120C ．1011 D ．11111．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，334S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0,1B ．[]1,0-C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．数列{}n a 中，2n ka n n=+，若对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[]12,24B ．(]12,24C ．[]3,12D ．[]3,12二、填空题13．在数列{}n a 中，112a =，1n n a a n +=+，则na n的最小值为_________. 14．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足212n n n a a S +=，且0n a >，则64S =____．15．在数列{}n a 中，11a =，22a =，()*212n n n a a a n ++=+∈N ，记()321nn n n c a λ=-⨯-，若对任意的*n ∈N ，1n n c c +>恒成立，则实数λ的取值范围为______.16．数列{}n a 的前n 项和()*23n n S a n =-∈N，则4a=__________.17．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n =，*n N ∈.求数列{}n a 的通项公式为______.设2(1)n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和n T =______.18．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++，则数列{}n a 的通项公式为______． 19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131413140,0,a a a a ><>，若10k k S S +<，则k =_________.20．已知函数()31xf x x =+，对于数列{}n a 有()1n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），如果11a =，那么n a =______.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*231n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()()111nn n n a b a a +=--，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若对任意的*n ∈N ，不等式141n k T n >-+都成立，求实数k 的取值范围. 22．已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，37S =，且13a +，23a ，34a +成等差数列.数列{}n b 的前n 项和为n T ，*n N ∀∈满足1112n n T T n n +-=+，且11b =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令22,,n n n n nn b b c a b n +⎧⎪⋅=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和为2n Q ； 23．对于任意的*n N ∈，数列{}n a 满足1212121212121n n a n a a n ---++⋅⋅⋅+=++++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S24．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n +1－t ，求证：数列{a n }是等比数列的充要条件为t ＝3． 25．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =，515S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最大值．26．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5624a a +=，11143S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足()1*12n a n T n a -=-∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式及数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】利用累加法可求得结果. 【详解】112n n n a a +-=， 所以当2n ≥时，1112n n n a a ---=，12212n n n a a ----=，，21112a a -=， 将上式累加得：1121111222n n a a --=++⋅⋅⋅+，1111221112n n a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=-1112n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)n ≥， 又1n =时，11a =也适合，1122n n a -∴=-1212n⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：利用累加法求解是解题关键.2．D解析：D 【分析】由123n n a a ++=可求得数列{}n a 的通项公式，进而求得数列{}n b ，表示出n S ， 令16170n S -<，即可得到满足不等式16170n S -<的最小整数n . 【详解】解：由题意可知：123n n a a ++=， 即11322n n a a +=-+， 即()11112n n a a +-=--， 又110a =，119a ∴-=，即数列{}1n a -是以首项为9，公比为12-的等比数列，11192n n a -⎛⎫∴-=⨯- ⎪⎝⎭，即11192n n a -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭，11192n n n b a -⎛⎫∴=-=⨯- ⎪⎝⎭，12111219661212n nn n S b b b ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴=++⋅⋅⋅+=⨯=-⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 则111632170n n S --=⨯<， 即1112510n -⎛⎫<⎪⎝⎭， 又9112512⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴满足不等式16170n S -<的最小整数19n -=， 即10n =. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列{}n a 的通项公式.3．C解析：C 【分析】先由题设求得数列{}n a 的前几项，然后得到数列{}n a 的周期，进而求得结果. 【详解】因为12a =，23a =，12n n n a a a --=（3n ≥且*N n ∈）， 所以23132a a a ==，34231232a a a ===， 453112332a a a ===， 564123132a a a ===，67523213a a a ===，7862323a a a ===，，所以数列{}n a 是周期为6的周期数列， 所以20183366223a a a ⨯+===， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的前两项以及递推公式，逐项写出数列的前几项； （2）根据规律判断出数列的周期；（3）根据所求的数列的周期，求得20182a a =，进而求得结果.4．D解析：D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.5．C解析：C 【分析】结合等差数列的求和公式及等差数列的性质可得101010110,0a a <>，从而可求出公差的符号，进而可确定单调性，进而可确定和最小问题. 【详解】因为202020210,0S S <>，即()()12021202012020210,02022a a a a ++<>，所以12020120210,0a a a a +<+>.因为10101011120201011120210,20,a a a a a a a +=+<=+> 所以101010110,0a a <>，所以101110100d a a =->，所以数列{}n a 是单调递增数列， 前1010项和最小，所以C 错误. 故选:C . 【点睛】 关键点睛：本题的关键是由等差数列的求和公式对已知条件进行变形，整理出12020120210,0a a a a +<+>，再结合等差数列的性质求出101010110,0a a <>，确定公差后即可确定单调性及最值问题.6．B解析：B 【分析】由点在直线上得到数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，根据公式特征利用裂项相消可得答案. 【详解】点1(,)()n n P a a n N *+∈在直线10x y -+=上，所以11n n a a +=+，即1=1n n a a +-所以{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列，即=n a n ，(1)=2n n nS +， 所以1211=2(1)1n S n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 123201911111111112121223201920202020S S S S ⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20191010=. 故选：B. 【点睛】 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，注意通项“分裂成两项差”的形式之后是不是还有系数.7．D解析：D 【分析】由51260a a =>，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断,n n a b 的正负，再利用通项与前n 项和关系求解.【详解】设数列{}n a 的公差为d ， 因为51260a a =>，所以()1104116a a d d +=>+，即1625a d =-， 因为512a a >， 所以0d <，所以167(1)5n a n d n d a ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭， 当113n ≤≤时，0n a >，当14n ≥时，0n a <， 所以12101314...0...b b b b b >>>>>>>， 又因为()111213141215131405db b a a a a a a +=+=>， 所以1210S S >，故n S 中12S 最大 ， 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及数列前n 项和的最值问题，还考查逻辑推理的能力，属于中档题.8．C解析：C 【解析】分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，当2n ≥时，221(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.9．C解析：C 【分析】21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进而D 正确. 【详解】已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，故A 正确；根据A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B 正确；24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -故D 正确. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.10．A解析：A【分析】首先根据新定义求得()21n S n n =+，再求数列{}n a 的通项公式，以及求得n b n =，最后利用裂项相消法求和. 【详解】由已知可得数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为1211..21n n n a a a S n ==++++，可得()21n S n n =+，则2n ≥时，()()212111231n S n n n n -=-+-=-+⎡⎤⎣⎦，∴ 141n n n a S S n -=-=-，当1n =时，113a S ==，满足41n a n =-，41n a n ∴=-，又14n n a b +=，故n b n =， 12231920111111 (12231920)b b b b b b ∴+++=+++⨯⨯⨯ 111111191..122319202020⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A 【点睛】本题考查新定义数列的理解，考查裂项相消法求和，以及已知n S 求n a ，属于基础题型，本题的关键是理解新定义.，并能抽象为121n n S n =+. 11．D解析：D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由1220a a +=，334S =，列方程求出1,a q ，进而可求出n S ，列不等式组可求出a 的取值范围【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为1220a a +=，334S =， 所以121(12)03(1)4a q a q q +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得111,2a q ==-，所以11()212[1()]1321()2nn n S --==----， 所以当1n =时，n S 取得最大值，当2n =时，n S 取得最小值12， 所以1221a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，解得112a -≤≤，故选：D 【点睛】此题考查等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题12．A解析：A 【分析】根据题意，可知当0k ≤时，数列{}n a 单调递增，不符合题意；当0k >时，对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，得出2343a a a a ≥⎧⎨≥⎩，即可求出实数k 的取值范围，再通过数列的单调性进行验证，符合题意，即可得出答案. 【详解】解：由题可知，2n ka n n=+，对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立， 当0k ≤时，可知数列{}n a 单调递增，不符合题意； 当0k >时，若对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，则2343a a a a ≥⎧⎨≥⎩，即46238643k k k k ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≥+⎪⎩，解得：1224k k ≥⎧⎨≤⎩，1224k ∴≤≤，此时，数列在()1,2上递减，()3,+∞上递增，或在()1,3上递减，()4,+∞上递增， 故符合题意，所以实数k 的取值范围为[]12,24. 故选：A. 【点睛】本题考查数列的恒成立问题，根据数列的单调性求参数范围，考查分析解题和运算能力.二、填空题13．【分析】由累加法求出数列的通项公式进而可得到的解析式再根据基本不等式可求得最小值【详解】解：即：…将这个式子累加可得：…即当时又又也适合上式由对勾函数的性质可知：当且仅当时取得最小值即时取得最小值又 解析：225【分析】由累加法求出数列{}n a 的通项公式，进而可得到na n的解析式，再根据基本不等式可求得na n最小值. 【详解】解：1n n a a n +=+，1n n a a n +∴-=，即：211a a -=，322a a -=，433a a -=，...，11(2,)n n a a n n n z ---≥∈=， 将这1n -个式子累加可得：1123n a a -=+++ (1)+12n n n --=， 即当2n ≥时，1(1)2n n n a a -=+， 又112a =，()2(1)2412=222n n n n n a n n z --+∴=+≥∈，，又112a =也适合上式，()2(1)2412=22n n n n n a n z --+∴=+∈224121=222n a n n n n n n -+∴=+-， 由对勾函数的性质可知：当且仅当12=2n n时取得最小值，即n =又n z ∈且45<<，44121942422a =+-=，551212252525a =+-= ， 92225>， n a n ∴的最小值为：225.故答案为：225. 【点睛】易错点点睛：运用累加法求数列通项时，注意验证首项是否满足，若不满足，则需要写成分段的形式.14．8【分析】由与的关系化简结合等差数列的定义得出数列是等差数列进而求出【详解】当时当时由题意可知整理得所以数列是以为首项为公差的等差数列则故答案为：【点睛】解决本题的关键是由与的关系对化简结合等差数列解析：8 【分析】由n S 与n a 的关系化简212n n n a a S +=，结合等差数列的定义得出数列{}2n S 是等差数列，进而求出2n S n =，【详解】当1n =时，111S a ==当2n ≥时，由题意可知()()21112n n n n n S S S S S ---+=-，整理得2211n n S S --=所以数列{}2n S 是以1为首项，1为公差的等差数列，则2n S n =64264S ∴=，0n a >，648S ∴=故答案为：8 【点睛】解决本题的关键是由n S 与n a 的关系对212n n n a a S +=化简，结合等差数列的定义进行求解.15．【分析】先由题意求得数列的前几项进而猜想然后利用数学归纳法证明猜想再求得再根据恒成立对分奇数偶数两种情况讨论求得实数的取值范围【详解】解：由题意得……故猜想：下面用数学归纳法证明：（1）当时显然成立解析：3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先由题意求得数列{}n a 的前几项，进而猜想12n na ，然后利用数学归纳法证明猜想，再求得n c ，再根据1n n c c +>恒成立对n 分奇数、偶数两种情况讨论求得实数λ的取值范围 【详解】解：由题意得11a =，22a =，342214,4228a a =+⨯==+⨯=，…… 故猜想：12n na ，下面用数学归纳法证明：（1）当1,2,3,4n =时，显然成立；（2）假设当(3)n k k =≥时有12k k a ，那么当1n k =+时，12(1)11122222k k k k k k a a a --+-+-=+=+⨯=所以当1n k =+时，也成立， 由（1），（2）得12n na ，所以32(1)3(2)n n n nn n c a λλ=-⨯-=--，因为对任意的*n ∈N ，1n n c c +>恒成立， 所以113(2)3(2)n n n n λλ++-->--对任意的*n ∈N 恒成立，即13(1)()2nn λ-->-对任意的*n ∈N 恒成立，当n 为偶数时，有1max33()22n λ-⎛⎫>-=- ⎪⎝⎭， 当n 为奇数时，有1min3()12n λ-⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 所以312λ-<< 所以实数λ的取值范围为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：此题考查由递推式求数列的通项公式，考查不等式恒成立问题，解题的关键是归纳出数列的通项公式，并用数学归纳法证明，以及由1n n c c +>得13(1)()2n n λ-->-，然后分类讨论可得结果，考查转化思想，属于中档题16．24【分析】根据可得两式作差可证明为等比数列并求解出通项公式从而可求【详解】因为所以所以所以所以且所以所以为首项为公比为的等比数列所以所以故答案为：【点睛】思路点睛：已知之间的线性关系求解通项公式的解析：24 【分析】根据23n n S a =-可得1123n n S a ++=-，两式作差可证明{}n a 为等比数列并求解出通项公式，从而4a 可求. 【详解】因为23n n S a =-，所以1123n n S a ++=-，所以1122n n n n a S a S ++--=， 所以1122n n n a a a ++=-，所以12n n a a +=，且11123S a a ==-，所以130a =≠， 所以{}n a 为首项为3，公比为2的等比数列，所以132n n a -=⋅，所以4143224a -=⋅=，故答案为：24. 【点睛】思路点睛：已知,n n S a 之间的线性关系，求解{}n a 通项公式的思路： （1）根据已知条件再写一个关于+1+1,n n S a 或()11,2n n S a n --≥的等式；（2）将新式子与原式作差，利用11n n n a S S ++=-或()12n n n a S S n -=-≥求解出{}n a 的一个递推公式；（3）证明{}n a 为等比数列，并求解出通项公式.17．【分析】根据写式子两式子相减整理得再验证时是否成立即可写出通项公式由已知可得运用分组求和即可得到答案【详解】∵①∴②由②﹣①可得：即又当时有满足∴；由已知可得：∴所以故答案为：；【点睛】本题考查已知 解析：42n a n =-2164n +n【分析】 根据()2*2n S nn N =∈写式子()2121n Sn++=，两式子相减整理得42n a n =-，再验证1n =时是否成立，即可写出通项公式.由已知可得()()422)24(1nn b n n =-+-⨯-，运用分组求和即可得到答案. 【详解】 ∵()2*2n S nn N =∈①，∴()2121n Sn++=②，由②﹣①可得：14+2n a n +=，即42n a n =-，又当1n =时，有2112111S a ==⨯⇒=满足42n a n =-，∴42n a n =-；由已知可得：()()422)24(1nn b n n =-+-⨯-，∴12322342112333n n n n b b b b ++++a T a a a a +a -==+++⋅+⋅⋅+()()32122143n n a a a a +++a +++a -=+()()28484316242n n n n+n +n -=+⨯=， 所以2641n T n +n =，故答案为：42n a n =-；2641n T n +n =.【点睛】本题考查已知数列前n 项和为n S 与n a 的关系求通项，注意验证1n =是否满足，考查分组求和，属于中档题.18．【分析】根据累加法求通项公式即可【详解】解：因为所以所以……累加得：由于所以显然当时满足所以故答案为：【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式数列前项和公式考查数学运算能力是中档题解析：2n a n =【分析】根据累加法求通项公式即可. 【详解】解：因为121n n a a n +=++，所以121n n a a n +-=+， 所以()1211n n a a n --=-+，()12221n n a a n ---=-+， ()23231n n a a n ---=-+，……21211a a -=⨯+，累加得：()()211=212112112n n n a a n n n n --++-+-=⨯+-=-⎡⎤⎣⎦，*2,n n N ≥∈，由于11a =，所以2n a n =，*2,n n N ≥∈显然当1n =时，11a =满足2n a n =， 所以2n a n =，*n N ∈. 故答案为：2n a n =【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，数列前n 项和公式，考查数学运算能力，是中档题.19．26【分析】由题意可得等差数列递减且可得可得结论【详解】等差数列中等差数列递减且满足的k 值为故答案为：【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质得出项的正负和前项和的关系是解决问题的关键属中解析：26 【分析】由题意可得等差数列递减且13140a a +>，可得2526270,0,0S S S >><，可得结论.【详解】等差数列{}n a 中131413140,0,a a a a ><>，∴等差数列递减且13140a a +>，13142513262714250,260,2702a a S a S S a +∴=>=>=<， ∴满足10k k S S +<的k 值为26,故答案为：26 【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，得出项的正负和前n 项和的关系是解决问题的关键，属中档题.20．【分析】由已知条件得出变形为可知数列为等差数列确定该数列的首项和公差求出进而可得出【详解】且（且）在等式两边取倒数得且所以数列是以为首项以为公差的等差数列因此故答案为：【点睛】本题考查利用构造法求数解析：132n - 【分析】 由已知条件得出()11231n n n a a n a --=≥+，变形为1113n n a a --=，可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，求出1na ，进而可得出n a .【详解】()31x f x x =+，且()11131n n n n a a f a a ---==+（*n N ∈且2n ≥）， 在等式1131n n n a a a --=+两边取倒数得11113113n n n n a a a a ---+==+，1113n n a a -∴-=且111a ，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以3为公差的等差数列，()113132nn n a ∴=+-=-， 因此，132n a n =-. 故答案为：132n -. 【点睛】本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及等差数列定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）3nn a =；（2）1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥得出n a 的递推关系，结合1a 得{}n a 等比数列，从而得通项公式；（2）用裂项相消法求得和n T ，不等式可变形为()11231n n k -+>-，令()11()231n n f n ++=-，再用作差法得出()f n 的单调性，得最大项，从而得k 的取值范围． 【详解】（1）因为数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()231n n S a n N *=-∈，所以当2n ≥时，()11231n n S a --=-， 两式相减得：1233n n n a a a -=-，即13(2)nn a a n ，又1n =时，()11231S a =-，解得：130a =≠，所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，从而3nn a =（2）由（1）知：()()()()113113131nn n n n n n a b a a ++==----111123131n n +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭， 所以，12n n T b b b =+++1223111111112313131313131n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11112231n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， 对任意的n *∈N ，不等式141n kT n >-+都成立，即11111223141n k n +⎛⎫->- ⎪-+⎝⎭， 化简得：()11231n n k -+>-，令()11()231n n f n ++=-，因为()()()()1211221(21)31(1)()023*********n n n n n n n n f n f n +++++++--⋅-+-=-=<---⋅-， 故()f n 单调递减， 所以max 1[()](1)8f n f ==，故18k >，所以，实数k 的取值范围是1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相法法求和，数列不等式恒成立问题．数列求和方法有：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等，用作差法确定数列的单调性求出数列的最大（小）项是求数列最值的常用方法． 22．（1）12n n a ，n b n =；（2）121313149219n n Q n n +--=++. 【分析】（1）由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，可得n a ；运用等差数列的定义和通项公式可得n b ；（2）求得n c ，运用数列的裂项相消求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和. 【详解】（1）由已知，得()()12313273432a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，即123123767a a a a a a ++=⎧⎨-+=-⎩，也即2121(1)7(16)7a q q a q q ⎧++=⎨-+=-⎩，解得11a =，2q ，故12n na ；1112n n T T n n +-=+，11b =，可得{}n T n是首项为1，公差为12的等差数列，111(1)22n T n n n +=+-=，(1)2n n n T +=， 当2n ≥时，()()11122n n n n n n n b T T n -+-=-=-=， 经检验1n =时也符合上式. 则n b n =，*n N ∈；（2）111,22,n n n c n n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，2132124221()()11111(1)(224822)3352121n n n n Q c c c c c c n n n --=++⋯++++⋯+=-+-+⋯+-+++⋯+-+ 设352122426222n n T n -=+++⋯+， 所以3572+1422426222n n T n =+++⋯+， 两式相减得35212+13422222222n n n T n --=+++⋯+-=212122842413422221433n n n n n -++-⋅-+⋅-⋅=-+-所以1431499n n n T +-=+， 所以121431(1)(4)2199n n n Q n +-=-+++11313149219n n n +-=-++. 【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）倒序相加法；（5）分组求和.要根据具体情况灵活选择合适的方法求解.23．（1）7,121,2n n n a n n =⎧=⎨++≥⎩；（2）217,1322,22n n n S n n n +=⎧⎪=⎨+++≥⎪⎩. 【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得结果；（2）当1n =时，117S a ==，当2n ≥时，分组后利用等差等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】 （1）1212121212121n n a n a a n ---++⋅⋅⋅+=++++①， 当2n ≥时，得()112121112212121n n a n a a n ------++⋅⋅⋅+=+++②. ①-②得121n n a n -=+，∴()212nna n n =++≥， 又11112721a a -=⇒=+不满足上式， 综上得7,121,2n nn a n n =⎧=⎨++≥⎩. （2）当1n =时，117S a ==， 当2n ≥时，23722123121nn S n =++++++++++()()()()212121271122n n n n ---+=+++--213222n n n +++=+， 综上得，217,1322,22n n n S n n n +=⎧⎪=⎨+++≥⎪⎩. 【点睛】易错点点睛：第一问利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项公式时，容易忽视1n =的情况造成错误；第二问求和是也容易忽视1n =的情况. 24．证明见解析. 【分析】由定义法分别结合n a 和n S 的关系分别证明充分性和必要性成立即可. 【详解】当n ＝1时，S 1＝32－t ＝9－t ，当n ≥2时，由S n ＝3n +1－t 得S n -1＝3n －t ，两式相减得a n ＝3n +1－3n ＝2·3n （n ≥2）， （1）充分性已知t ＝3，此时S 1＝32－t ＝9－3＝6，令n ＝1，得a 1＝2·31＝6＝S 1，所以a n ＝2·3n （n ∈N *） 所以13n na a +=，所以数列{a n }是等比数列． （2）必要性因为数列{a n }是等比数列，所以a 1＝2·31＝6， 又因为S 1＝9－t ，所以9－t ＝6，所以t ＝3，综上所述：数列{a n }是等比数列的充要条件为t ＝3．【点睛】关键点睛：本题考查等比数列的判断和证明，解题的关键是利用n a 和n S 的关系得出()232n n a n =⋅≥，再根据充分必要的定义证明.25．（1）92n a n =-；（2）28n S n n =-+，()max 16n S =.【分析】（1）根据等差数列前n 项和的计算公式结合15,a S 的值，计算出等差数列的公差d ，由此确定出等差数列的通项公式；（2）根据1,a d 求解出n S ，结合二次函数的性质确定出n S 的最大值.【详解】（1）设等差数列的公差为d ，因为51545152S a d ⨯=+=，所以2d =-， 所以()()71292n a n n =+-⨯-=-；（2）因为()()2117182n n n S a n d n n n n n -=+=--=-+，即()2416n S n =--+ 当4n =时，n S 有最大值，()4max 16n S S ==.【点睛】方法点睛：求解等差数列前n 项和的最值的几种常用方法：（1）利用等差数列前n 项和的二次函数特性，求解出前n 项和的最值；（2）分析等差数列通项公式，根据等差数列各项取值的正负，确定出前n 项和的最值. 26．（1）21()n a n n =+∈N ；69n n +；（2）数列{}n b 不是等比数列．理由见解析. 【分析】（1）由等差数列的通项公式以及前n 项和公式即可求得n a ，代入11n n a a +，利用裂项求和即可求得数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和； （2）由n T 求出数列{}n b 的通项公式，再运用等比数列的定义判断即可.【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，11611143S a ==，613a ∴=，又5624a a +=，解得：511a =，2d =，21()n a n n ∴=+∈N ，111111(21)(23)22123n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++++⎝⎭， 设11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项的和为n B ， 1113557(21)(23)n B n n ∴=++⋯+⨯⨯++ 1111111235572123n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭ 111232369n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭； （2）13a =，124n a n -=，43n n T ∴=+．当1n =时，17b =；当2n ≥时，1114434n n n n n n b T T ---=-=-=⨯，()142n n b b n +∴=≥，若{}n b 是等比数列，则有214b b =，而17b =，212b =，所以与214b b =矛盾，故数列{}n b 不是等比数列．【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．。

数列单元测试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置.第Ⅰ卷(选择题)一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于( )A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋12．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n3．．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( ) A．2 B.3 C．6 D．74．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( )A．49 B.50 C．51 D．525．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A．90 B.100 C．145 D．1906．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )A．1 B.2 C．4 D．87．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23 D ．－19．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则A ．1 033 B.1 034 C ．2 057 D ．2 05811.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（ ） A.11 B.1 C. 约等于1 D.212．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是( )A ．27 B.28 C ．29 D ．30第II 卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则前8项的和S 8＝________(用数字作答)．14．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________.15．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2.则{a n }的通项公式a n =________16．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，有下列四个命题： ①此数列的公差d ＜0； ②S 9一定小于S 6； ③a 7是各项中最大的一项； ④S 7一定是S n 中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号)三.解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(12分) (1) (全国卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,求S n(2) 已知{b n }是各项都是正数的等比数列，若b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．18．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和.20．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．21．（12分）（全国卷）设数列{}n a 满足+3+…+（2n -1） =2n ，.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.22．(12分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a na n ＋2n(n ∈N *)．(1)证明：数列{2na n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .数列单元测试卷（解答）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于( )A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1解析：选B 由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是a n＝2n＋1，故选B. 2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n解析：选C A为递减数列，B为摆动数列，D为有穷数列．3．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( ) A．2 B.3 C．6 D．7解析：选B S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3.4．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( )A．49 B.50 C．51 D．52解析：选D ∵2a n＋1－2a n＝1，∴a n＋1－a n＝12，∴数列{a n}是首项a1＝2，公差d＝12的等差数列，∴a101＝2＋12(101－1)＝52.5．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A．90 B.100 C．145 D．190解析：选B 设公差为d ， ∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )， ∵d ≠0,∴d ＝2，从而S 10＝100.6．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( ) A ．1 B.2 C ．4 D ．8解析：选A 因为a 3a 11＝a 27，又数列{a n }的各项都是正数，所以解得a 7＝4，由a 7＝a 5·22＝4a 5，求得a 5＝1.7．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根解析：选A 由于a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，即3a 5＝9， ∴a 5＝3，方程为x 2＋6x ＋10＝0，无实数解．8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23 D ．－1解析：选B 设数列{b n }的通项b n ＝11＋a n ，因{b n }为等差数列，b 3＝11＋a 3＝13，b 7＝11＋a 7＝12，公差d ＝b 7－b 34＝124， ∴b 11＝b 3＋(11－3)d ＝13＋8×124＝23，即得1＋a 11＝32，a 11＝12.9．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项解析：选C 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则A ．1 033 B.1 034 C ．2 057 D ．2 058 解析：选A 由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1， 因此(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10 ＝1－2101－2＋10＝1 033.11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（ ） A.11 B.1 C. 约等于1 D.2解析：设{}n a 的公差为d ，据已知有1×72128d +=， 解得 1.d =所以{}n a 的通项公式为.n a n = b 11=[lg11 ]=112．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是( )A ．27 B.28 C ．29 D ．30解析：选 B 法一：∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28. 法二：由图可知第n 个三角形数为n n ＋12，∴a 7＝7×82＝28.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则前8项的和S 8＝________(用数字作答)． 解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知S 8＝a 11－q 81－q ＝1·1－281－2＝255.答案： 25514．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________.解析：由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n .则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15. 答案：1515．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2. 则{a n }的通项公式a n =________ [解] ∵S n ＝－2n 2＋n ＋2，当n ≥2时，S n －1＝－2(n －1)2＋(n －1)＋2 ＝－2n 2＋5n －1， ∴a n ＝S n －S n －1＝(－2n 2＋n ＋2)－(－2n 2＋5n －1) ＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3， ∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.16．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，有下列四个命题： ①此数列的公差d ＜0； ②S 9一定小于S 6； ③a 7是各项中最大的一项； ④S 7一定是S n 中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号) 解析：∵S 7＞S 6，即S 6＜S 6＋a 7， ∴a 7＞0.同理可知a 8＜0. ∴d ＝a 8－a 7＜0.又∵S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＜0， ∴S 9＜S 6.∵数列{a n }为递减数列，且a 7＞0，a 8＜0， ∴可知S 7为S n 中的最大项． 答案：①②④三、解答题(共4小题，共50分)17．(12分) (1) (全国卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,求S n(2) 已知{b n }是各项都是正数的等比数列，若b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．解: (1)设等差数列首项为a 1,公差为d, 则a 4+a 5=2a 1+7d=24,① S 6=6a 1+d=6a 1+15d=48,②由①②得d=4.a 1=-2S N =-2n+n(n-1) ×4/2=2n 2-4n(2)由题意可设公比为q ，则q ＞0，由b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列得b 3＝b 2＋2b 1，∴q 2＝2＋q ，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)， 故数列{b n }的通项公式为b n ＝1×2n －1＝2n －1.18．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝2n.(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32. 设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8， b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d, 则a 2=a 1+d,a 3=a 1+2d, 由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得a n =2-3(n-1)=-3n+5,或a n =-4+3(n-1)=3n-7. 故a n =-3n+5,或a n =3n-7.(2)当a n =-3n+5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n-7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. 故|a n |=|3n-7|=记数列{|a n |}的前n 项和为S n . S 10=|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+……+|a 10|=4+1+(3×3-7)+(3×4-7)+……+(3×10-7) =5+[2×8+8×7×3/2] =10520．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ①，∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12. 又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1②，①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝12，也即c n ＋1c n ＝12， 故数列{c n }是等比数列． (2)∵c 1＝a 1－1＝－12， ∴c n ＝－12n ，a n ＝c n ＋1＝1－12n ， a n －1＝1－12n －1.故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n . 又b 1＝a 1＝12， 所以b n ＝12n . 21．（12分）（全国卷）设数列{}n a 满足+3+…+（2n -1） =2n ，. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和. 解:（1）因为+3+…+（2n -1）=2n ，故当n ≥2时， +3+…+（-3） =2（n -1） 两式相减得（2n -1）=2所以= (n≥2)又因题设可得 =2.从而{} 的通项公式为 =.（2）记 {}的前n 项和为 ，由（1）知 = = - . 则 = - + - +…+ - = .22．(12分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a n a n ＋2n (n ∈N *)． (1)证明：数列{2n a n}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由已知可得a n ＋12n ＋1＝a na n ＋2n ， 即2n ＋1a n ＋1＝2n a n＋1，即2n ＋1a n ＋1－2na n ＝1. ∴数列{2n a n}是公差为1的等差数列． (2)由(1)知2na n ＝2a 1＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝2nn ＋1. (3)由(2)知b n ＝n ·2n . S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1， 相减得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝21－2n 1－2－n ·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。

一、选择题1．在各项为正的递增等比数列{}n a 中，12664a a a =，13521a a a ++=，则n a =（ ） A ．12n +B ．12n -C ．132n -⨯D ．123n -⨯2．已知数列{}n a 为等差数列，首项为2，公差为3，数列{}n b 为等比数列，首项为2，公比为2，设n n b c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ） A ．8B ．9C ．10D ．113．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则201kk a=∑的值不可能是（ ）A ．2B ．4C ．10D ．144．如果函数*()1(0,)f x kx k x N =-≠∈，(1)(2)()n S f f f n =++⋅⋅⋅+，若(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，则（ ）A ．275()n S f n -≤B ．275()n S f n +≤C ．275()n S f n -≥D ．275()n S f n +≥5．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =6．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．211n n -+ B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+7．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（ ） A ．19B ．20C ．21D ．228．已知数列{}n a 满足11a =，()*12nn n a a n a +=∈+N ，若()*11(2)1n n b n n a λ+⎛⎫=-⋅+∈ ⎪⎝⎭N ，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ<9．已知数列{}n a 满足2122111,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（ ） A ．92B ．102C ．8182D ．11210．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．23B ．13C ．2-D ．3-11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1198C ．1024D ．156012．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若130S >，140S <，则n S 取最大值时n 的值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．13二、填空题13．数列{}n a 满足2121231722222n n a a a a n n -+++⋅⋅⋅+=-，若对任意0λ>，所有的正整数n 都有22n k a λλ-+>成立，则实数k 的取值范围是_________．14．已知递增数列{}n a 共有2020项，且各项和均不为零，20202a =，如果从{}n a 中任取两项i a 、j a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2020S =______．15．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯，三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解，当(),,p q p q p N q N **⨯≤∈∈是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如(12)431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为______．16．设数列{}n a 是以4为首项，12为公比的等比数列，其前n 项和为{}n S ，则{}n S 的前n 项和为_________.17．如图，正方形ABCD 的边长为5cm ，取ABCD 正方形各边中点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点,,,I J K L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.则从正方形ABCD 开始，连续10个正方形的面积之和是___________2cm .18．已知、、A B C 三点共线 (O 在该直线外)，数列{}n a 是等差数列，S n 是数列{}n a 的前n 项和．若12012OA a OB a OC =⋅+⋅，则2012S =____________．19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为________.20．数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，()()*1n n n n a a a n N+-=∈，且3aπ=，则4tan S 等于______.三、解答题21．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =． （1）求n a（2）设23log n n b a =，n n n c b a =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 22．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足1310a a +=，24a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b = ，求数列{}n b 的前n 项和n S .请在①n n a ⋅；②22log 9n a -；③()()12121n nn a +++这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.23．数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足221n n n a S a -=（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设4241n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使21(3)6>-n T m m 对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值．24．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2n S n =，n *∈N ，数列{b n }满足：12113b b ==，，且21340n n n b b b ++-+=，n *∈N （1）求证：数列{}1n n b b +-是等比数列；（2）求数列{a n }与{b n }的通项公式.25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n a s 在直线22y x =-，上n *∈N ． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知正项等比数列{}n a 满足2139nn a +=⋅，3log n n b a =，且n b ，n c ，4n +成等差数列.（1）求数列{}n c 的通项公式；（2）求数列()1n n c n b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前100项和100T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设其公比为q ，由等比数列通项公式得34a =，进而得2333221a a a q q++=，解得2q =±或12q =±，再根据数列单调性即可得2q ，进而得12n na【详解】{}n a 为等比数列，设其公比为q ，()3362312611364a a a a q a q a ∴====，则34a =，13521a a a ∴++=，2333221a a a q q∴++=， 即2244421q q++=， 解得2q =±或12q =±， 又{}n a 各项为正且递增，2q ∴=，3313422n n n n a a q ---∴==⨯=．故选：B ． 【点睛】本题解题的关键是先根据题意得34a =，进而将13521a a a ++=转化为2333221a a a q q++=求q ，考查运算求解能力，是中档题. 2．A解析：A 【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{}n c 的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{}n c 的前n 项和n T ，验证得答案． 【详解】解：由题意得：323(1)1n a n n ⨯-=+-=，2nn b =，2321n n n n b c a a ==⨯-=，123n T c c c ∴=+++…n c +123321321321=⨯-+⨯-+⨯-+…321n +⨯-(1233222=⨯+++…)2n n +-()212312n n ⨯-=⨯--1326n n +=⨯--，当8n =时，98326815222020T =⨯--=<； 当9n =时，109326930572020T =⨯--=>，n ∴的最大值为8.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是求出数列{}n c 的通项公式，利用分组求和求出数列{}n c 的前n 项和n T .3．B解析：B 【分析】先由题中条件，得到21221i i i a a a +-=+，由累加法得到202211221k k a a ==-∑，根据00a =，()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.【详解】由11i i a a +=+得()2221121i i i i a a a a +=+=++，则21221i i i a a a +-=+， 所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，……，2202022121a a a -=+，以上各式相加可得：()2112022102212 (20202)kk a a a a a a=-=+++++=∑，所以20221211220k k a a a ==--∑，又00a =，所以2120211a a a =++=，则202211221k k a a ==-∑，因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或2，所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或21±，因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，所以221122a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，170，210；则201kk a=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20221211220k k a a a ==--∑，将问题转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.4．D解析：D 【分析】根据等比中项求出2k =，()21f x x =-，*x ∈N ，根据等差数列的求和公式求出n S 2n =，然后作差比较可知D 正确.【详解】因为(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，所以[]2(3)(1)(13)f f f =⋅，即2(31)(1)(131)k k k -=--，即220k k -=，因为0k ≠，所以2k =.所以()21f x x =-，*x ∈N ，5()5(21)105f n n n =-=-，2(121)2n n n S n +-==， 22275()271052102n S f n n n n n --=--+=--22(51)n n =--，当5n ≤时，275()0n S f n --<，所以275()n S f n -<，当6n ≥时，275()0n S f n -->，所以275()n S f n ->，故,A C 不正确；22275()2710521012n S f n n n n n +-=+-+=-+2(2)(3)n n =--0≥在*n N ∈时恒成立，所以275()n S f n +≥，故B 不正确，D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：掌握等比中项的概念和等差数列的求和公式是本题的解题关键.5．D解析：D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ． 【点睛】 方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.6．D解析：D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】 解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=， 即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-， 即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又111a =也满足上式，212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+.故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合.7．B解析：B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1nn a ，进而可得1n a n=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12211n n n a a a ++=+， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅， 所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n=， 所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +≥=，当且仅当10n =时，等号成立， 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用.8．C解析：C 【分析】由数列递推式()*12n n n a a n a +=∈+N 得到11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入1(2)2nn b n λ+=-⋅，当2n ≥时，1n n b b +>，且21b b >求得实数λ的取值范围. 【详解】 解：由12n n n a a a +=+得，1121n na a +=+ 则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭由11a =，得1112a +=，∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，∴111222n n na -+=⨯=， 由()*11(2)1n n b n n a λ+⎛⎫=-⋅+∈ ⎪⎝⎭N ，得1(2)2nn b n λ+=-⋅， 因为数列{}n b 是单调递增数列， 所以2n ≥时，1n n b b +>，1(2)2(12)2n n n n λλ--⋅--⋅∴>，即12n λ+<， 所以32λ<， 又∵1b λ=-，2(12)224b λλ=-⋅=-， 由21b b >，得24λλ->-，得23λ<， 综上：实数λ的取值范围是2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故选：C . 【点睛】解决数列的单调性问题的3种方法：（1）作差比较法根据1n n a a +>的符号判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；（2）作商比较法根据1n na a +(0n a >或0n a <)与1的大小关系进行判断；（3）数形结合法结合相应函数的图象直观判断.9．B解析：B 【分析】本题先根据递推公式进行转化得到21112n n n n a a a a +++=．然后令1n n na b a +=，可得出数列{}n b 是等比数列．即11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭．然后用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列{}n a 的最大项． 【详解】解：由题意，可知： 21112n n n na a a a +++=． 令1n n n ab a +=，则112n n b b +=． 21116a b a ==， ∴数列{}n b 是以16为首项，12为公比的等比数列． 111163222n nn b -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．∴11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴1211322aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2321322a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111322n n n a a --⎛⎫= ⎪⎝⎭．各项相乘，可得： 12111111(32)222n n na a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)2511()22n n n --⎛⎫= ⎪⎝⎭2115(1)221122n n n ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211552212n n n --+⎛⎫= ⎪⎝⎭21(1110)212n n -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．令2()1110f n n n =-+，则，根据二次函数的知识，可知：当5n =或6n =时，()f n 取得最小值． ()2551151020f =-⨯+=-，()2661161020f =-⨯+=-，()f n ∴的最小值为20-．∴211(1110)(20)1022101112222n n -+⨯--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴数列{}n a 的最大项为102．故选：B ． 【点睛】本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；10．B解析：B 【分析】由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =， 所以111nn na a a ++=-， 21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=.故选：B【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.11．C解析：C 【分析】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则n c n =，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ， 设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++-所以11n n b b C +=-，1213b a a -==22n n n C +=，进而得21332n n n nb C ++=+=+， 所以()21133222n n n n b n -=+=-+，()()()()2221111121233226n n n n B n n n n +-=+++-++++=+同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++--11n n a a B +-=所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：C 【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.12．B解析：B 【解析】分析：首先利用求和公式，根据题中条件130S >，140S <，确定出780,0a a ><，从而根据对于首项大于零，公差小于零时，其前n 项和最大时对应的条件就是10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，从而求得结果.详解：根据130S >，140S <，可以确定11371147820,0a a a a a a a +=>+=+<，所以可以得到780,0a a ><，所以则n S 取最大值时n 的值为7，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的前n 项和最大值的问题，在求解的过程中，需要明确其前n 项和取最大值的条件10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，之后就是应用题的条件，确定其相关项的符号，从而求得结果.二、填空题13．【分析】记设根据即可求出从而得到再根据题意可得分参利用基本不等式即可求出实数k 的取值范围【详解】记设当时；当时当时也满足上式所以即显然当时当时因此的最大值若存在必为正值当时因为当且仅当时取等号所以的解析：⎛-∞ ⎝⎭【分析】记12n n n b a -=，设21212317222222n n n S a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+=-， 根据1112n n n S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出n b ，从而得到n a ，再根据题意可得()m 2ax 2n k a λλ-+>，分参利用基本不等式即可求出实数k 的取值范围．【详解】记12n n n b a -=，设21212317222222n n n S a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+=-， 当1n =时，117322b =-=-； 当2n ≥时，()()21217171142222n n n b S n S n n n n -⎡⎤-----=-⎢⎥⎣⎦=-=． 当1n =时，13b =-也满足上式，所以()*4n b n n N =-∈，即142n n n a --=． 显然当3n ≤时，0n a <，40a =，当5n ≥时，0n a >，因此n a 的最大值若存在，必为正值． 当5n ≥时，()1324n n a n a n +-=-，因为()151024n n a na n +--=≤-，当且仅当5n =时取等号． 所以n a 的最大值为116．故()m 2ax 1126n k a λλ>=-+，变形得，3116k λλ<+，而3116λλ+≥=4λ=时取等号，所以2k <．故答案为：,2⎛-∞ ⎝⎭． 【点睛】本题主要考查n S 与n a 的关系1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩应用，不等式恒成立问题的解法应用，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．解题关键是记12n n n b a -=，设21212317222222n n n S a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+=-，利用通项n b 与前n 项和n S 的关系1112n nn S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n b ，再利用数列的单调性进而求出数列中的最大值，由基本不等式解出．14．2021【分析】直接利用数列的递推关系式的应用和求和的应用求出结果【详解】解：因为递增数列共有2020项且各项均不为0所以所以若则与是数列中的项矛盾所以所以即对上式累加得所以故答案为：2021【点睛解析：2021 【分析】直接利用数列的递推关系式的应用和求和的应用求出结果． 【详解】解：因为递增数列{}n a 共有2020项，且各项均不为0，20202a =， 所以12201920202a a a a <<⋯<<=，所以2020201920202018202010a a a a a a <-<-<<-，若10a <，则202012a a ->，与20201a a -是数列{}n a 中的项矛盾， 所以10a >，所以202020191202020182202012019,,,a a a a a a a a a -=-=-=，即20191201821201920202a a a a a a a +=+==+==，对上式累加，得202022019222S =⨯+⨯，所以20202021S =．故答案为：2021． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．15．【分析】先通过归纳得再利用等比数列求和得解【详解】由题意得归纳得则故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出归纳出这个结论之后后面利用等比数列求和就迎刃而解了 解析：101031-【分析】先通过归纳得()()2111233323,3330k kk k k k k f f ---=-=⨯=-=，再利用等比数列求和得解. 【详解】由题意得()()232(3)312,3330,333236f f f =-==-==-=⨯=，()4223330f =-=，归纳得()()2111233323,3330k kk k kkkf f ---=-=⨯=-=，则()()()()()()232020352019(3)333(3)333f f f f f f f f ++++=++++012100923232323=⨯+⨯+⨯++⨯()10101210091010132333323113-=⨯++++=⨯=--．故答案为：101031- 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出()()2111233323,3330k k k k k k k f f ---=-=⨯=-=，归纳出这个结论之后，后面利用等比数列求和就迎刃而解了.16．【分析】先根据题意得由于数列是以为首项为公比的等比数列进而利用分组求和法求和即可得答案【详解】解：由等比数列的前项和公式得由于数列是以为首项为公比的等比数列设的前项和则故答案为：【点睛】本题考查等比 解析：3288n n -+-【分析】先根据题意得382nn S -=-，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，进而利用分组求和法求和即可得答案. 【详解】解：由等比数列的前n 项和公式得()13141121818211212n n n n n a q S q -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-=-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列， 设{}n S 的前n 项和n T ，则31412188812881212n nn nT n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=--=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：3288n n -+- 【点睛】本题考查等比数列求和，分组求和，考查运算能力，是基础题.本题解题的关键是求出382n n S -=-，再结合数列{}32n -是以4为首项，12为公比的等比数列，再次求和即可. 17．【分析】根据题意正方形边长成等比数列正方形的面积等于边长的平方也为等比数列利用等比数列求和公式即可得解【详解】记第个正方形的边长为面积由每个正方形都是由上一个正方形各边中点连接得到可知第个正方形的边解析：25575512【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方，也为等比数列，利用等比数列求和公式即可得解. 【详解】记第n 个正方形的边长为2a ，面积()2224n S a a ==，由每个正方形都是由上一个正方形各边中点连接得到，可知第1n +，面积)2212n S a +==，计算可得212422n n S a S a+==， 所以正方形面积构成的数列{}n S 是首项为125S =，公比为12的等比数列， 故从正方形ABCD 开始，连续10个正方形的面积之和10112010125112557525011251212S S S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++⋯+==⨯-=⎪⎝⎭-， 故答案为：25575512【点睛】关键点睛：本题考查等比数列求和，解题的关键是要理解题意，从已知条件明确下一个正方形与上个正方形的面积关系，转化为等比数列求和，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于基础题.18．1006【分析】先根据条件将表示成的形式由此确定出的关系再根据等差数列的前项和公式求解出的值【详解】因为三点共线(O 在该直线外)所以所以所以所以所以所以故答案为：【点睛】结论点睛：已知平面中三点共线解析：1006 【分析】先根据条件将OA 表示成xOB yOC +的形式，由此确定出12012,a a 的关系，再根据等差数列的前n 项和公式求解出2012S 的值. 【详解】因为、、A B C 三点共线 (O 在该直线外)，所以()1AB AC λλ=≠， 所以AO OB AO OC λλ+=+，所以()1OA OB OC λλ-=-+，所以111OA OB OC λλλ-=+--， 所以120121111a a λλλ-+=+=--，所以()120122012201210062a a S +⨯==，故答案为：1006. 【点睛】结论点睛：已知平面中、、A B C 三点共线 (O 在该直线外)，若OA xOB yOC =+，则必有1x y +=.19．【分析】令得出代入可求出和的值然后令由得出两式相减可判断出数列为等比数列确定该数列的首项和公比由等比数列的通项公式可求出数列的通项公式【详解】当时解得当时由①得②①②得又所以数列是以为首项以为公比的 解析：13-=n n a【分析】令1n =得出2121a a =+，代入24S =可求出1a 和2a 的值，然后令2n ≥，由121n n a S +=+得出121n n a S -=+，两式相减，可判断出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，由等比数列的通项公式可求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】当1n =时，2112121a S a =+=+，2121314S a a a ∴=+=+=，解得11a =，23a =， 当2n ≥时，由121n n a S +=+①，得121n n a S -=+②， ①-②得，12n n n a a a +=-，13n n a a +∴=，又213aa =， 所以，数列{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，因此11133n n n a --=⨯=.故答案为：13-=n n a . 【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【分析】将变形为利用累乘法求出数列的通项公式求出的值再利用诱导公式可求出的值【详解】则所以因此故答案为：【点睛】本题考查利用累乘法求数列通项同时也考查了数列求和以及正切值的计算考查计算能力属于中等题【分析】将()1n n n n a a a +-=变形为11n n a n a n++=，利用累乘法求出数列{}n a 的通项公式，求出4S 的值，再利用诱导公式可求出4tan S 的值. 【详解】()()*1n n n n a a a n N +-=∈，()11n n na n a +∴=+，11n n a n a n++∴=， 3211112123121n n n a a a na a a na a a a n -∴=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=-，313a a π==，13a π∴=， 则3n a n π=，所以，424103333S πππππ=+++=，因此，410tan tan tan 3tan 333S ππππ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭， 【点睛】本题考查利用累乘法求数列通项，同时也考查了数列求和以及正切值的计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）2n n a =；（2）13(1)26n n T n +=-⋅+【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知条件24a =，532a =，可得1,a q ，即可求得n a ；（2）由（1）知3n b n =，23nn c n =⋅，利用错位相减法即可求数列{}n c 的前n 项和.【详解】（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由已知24a =，532a =，可得141432a q a q =⎧⎨=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩， 所以112n nn a a q -== （2）由（1）知223log 3log 23nn n b a n ===，23n n c n =⋅12336222293n n T n =+++⨯+∴⨯⋅⨯ ①2341236922223n n T n +=++++⋅⨯⨯⨯ ②①-②得：12312223333232n n n T n +=++++-⨯⨯⋅-⨯⨯()111231122222223331232n nn n n n +++-=++++-⋅=-⋅⨯⨯-()11122332n n n ++=--⋅⨯()13126n n +=⨯-⋅-13(1)26n n T n +∴=-⋅+【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式及数列求和，求数列和常用的方法： （1）等差+等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法； （3）11n n n b a a +=（数列{}n a 为等差数列）：裂项相消法； （4）等差⨯等比数列：错位相减法. 22．答案见解析 【分析】(1）由题设求得等比数列{}n a 的公比q 与首项1a ，即可求得其通项公式;(2）当选条件①时；先由(1）求得n b ，再利用错位相减法求得其前n 项和即可；当选条件②时：先由(1）求得n b ，再对n 分n ≤4与n ≥5两种情况分别求得其前n 项和即可；当选条件③时：先由（1）求得n b ，再利用裂项相消法求得其前n 项和即可. 【详解】（1）2111104a a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩或1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩1q >，122a q =⎧∴⎨=⎩2n n a ∴=．（2）若选①2n n b n =⋅231122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+①23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+-+②①-②得：23122222n n n S n +-=++++-⋅()()11121222212(1)2212n n n n n n S n n n +++--=-⋅=--⋅=---∴1(1)22n n S n +=-+选②：22log 29|29|nn b n =⋅-=-1n =时，117S b ==2n =时，2127512S b b =+=+=3n =时，312375315S b b b =++=++=4n =时，4123416S b b b b =+++= 即2(792)8(4,)2n n n S n n n n N *+-⋅==-+≤∈ 5n ≥时，2(4)(129)16132916(4)162n n n S n n -+-=++++-=+=-+． 选③11211(21)(21)2121n n n n n n b ++==-++++ 2231111111111122121212121321n n n n S ++=-+-++-=-+++++++． 【点睛】 关键点点睛：本题主要考查等比数列基本量的计算及错位相减法与裂项相消法在数列求和中的应用，对运算能力要求较高，属于中档题.23．（1）=n a 2）3．【分析】（1）根据题意，利用1(2)n n n a S S n -=-≥，化简整理，即可求得n a ，检验11a S =满足此式，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得2n S n =，代入即可求得n b 表达式，利用裂项相消法求和，即可求得nT 的表达式，根据n T 的单调性，可得123n T T ≥=，代入所求，利用一元二次不等式的解法，即可求得答案.【详解】（1）∵221n n n a S a -=， ∴当2n ≥时，2112()()1-----=n n n n n S S S S S ，整理得，2211(2)n n S S n --=≥，又211S =，∴数列{}2n S 为首项和公差都是1的等差数列．∴2n S n =，又0n S >，∴=n S ，∴2n ≥时，1-=-=n n n a S S 又111a S ==适合此式，∴数列{}n a 的通项公式为n a（2）∵42222114141(21)(21)2121n n b S n n n n n ====----+-+∴11111111335212121n T n n n =-+-++-=--++， ∴随着n 逐渐增大，n T 逐渐增大，∴123n T T ≥=，依题意有，221(3)36>-m m ，即2340m m --<， 解得14-<<m ，故所求最大正整数m 的值为3【点睛】 解题的关键是熟练应用1(2)n n n a S S n -=-≥，根据不同条件，选择替换n a 或n S 进行求解，易错点为：需检验11a S =是否满足题意，若1a 不满足题意，需写成分段函数形式，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.24．（1）证明见解析；（2）21n a n =-，113n n b -=． 【分析】（1）利用等比数列的定义证明；（2）利用1(2)n n n a S S n -=-≥求n a ，由累加法求n b ．【详解】（1）因为21340n n n b b b ++-+=，所以2111()3n n n n b b b b +++-=-，又21203b b -=-≠， 所以21113n n n n b b b b +++-=-，*n N ∈，所以数列{}1n n b b +-是等比数列； （2）2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，又111a S ==适合上式，所以21,*n a n n N =-∈，由（1）112133n n n b b -+⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，所以，2n ≥时，212132122121()()()133333n n n n b b b b b b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-+-⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1121133111313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+= ⎪⎝⎭-．又11b =，所以113n n b -=． 【点睛】易错点睛：本题考查等比数列的证明，考查由n S 求n a ，累加法求数列的通项公式．在由n S 求n a 时要注意公式1n n n a S S -=-中2n ≥，而11a S =，求法不相同，易出错，同样在用累加法求通项公式时，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-，括号中的各项成等比数列，这里不包含1b ．要特别注意首项．25．（1）2n n a =；（2）1(1)222n n n n T ++=+-． 【分析】（1）利用公式11,1=,2n nn S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩求{}n a 的通项公式； （2）由题得2n n b n =+，再利用分组求和求数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】解：（1）∵点(),n n a S 在直线22y x =-上，n *∈N ，∴22n n S a =-．当1n =时，1122a a =-，则12a =，当2n 时，22n n S a =-，1122n n S a --=-．两式相减，得122n n n a a a -=-，所以12n n a a -=．所以{}n a 是以首项为2，公比为2等比数列，所以2n n a =．（2）2n n b n =+，()23(123)2222n n T n =+++⋯++++++， 所以1(1)222n n n n T ++=+-． 【点睛】 方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列的通项特征选择合适的方法求解. 26．（1）2n c n =+；（2）50101. 【分析】（1）先由题设求得数列{}n a 的公比q ，进而求得n a 与n b ，再由n b ，n c ，4n +成等差数列求得n c ；（2）先由（1）求得()1n n c n b +，再利用裂项相消法求得其前100项和.【详解】 解：（1）设公比为()0q q >，∵2139n n a +=⋅，∴2251339939a q a ⨯===⨯，解得：3q =， ∴31333933n n n n a a q--=⋅=⨯⨯=， ∵3log n n n b a ==，且n b ，n c ，4n +成等差数列，∴422n n b n c n ++==+； （2）由（1）可得：()111112(1)21n n c n b n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭， ∴10011111111501122231001012101101T ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列； （2= （3）指数型()11n n n a a aa +-=-； （4）对数型11log log log n a a n a n n a a a a ++=-.。

一、选择题1．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若423S S =，则64S S =（ ） A ．2B ．73 C ．310D ．12或2．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推.排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推. 在戊戌年你们来到成都七中，追逐那光荣的梦想. 在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（ ） A ．辛丑年B ．庚子年C ．己亥年D ．戊戌年3．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为（ ）3331373152,39,4,5171119⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩A ．44B ．45C ．46D ．474．如果函数*()1(0,)f x kx k x N =-≠∈，(1)(2)()n S f f f n =++⋅⋅⋅+，若(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，则（ ）A ．275()n S f n -≤B ．275()n S f n +≤C ．275()n S f n -≥D ．275()n S f n +≥5．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．23B ．13C ．2-D ．3-6．数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．3λB ．4λC ．23λ D ．34λ7．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（ ）A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:38．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项9．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32f x f x f -=-=，数列{}n a 满足11a =，且21n nS a n n=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a +=（ ）A ．1B ．3C ．-3D ．010．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则66(S a = ) A ．6332B ．3116C ．12364 D ．12712811．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且(1),(4),(13)f f f 成等比数列，则(2)(4)(2)f f f n +++等于（ ）A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是A ．21n n n a a a ++=+B ．13599100a a a a a ++++=C ．2499a a a a +++=D ．12398100100S S S S S ++++=-二、填空题13．有一个数阵排列如下： 1 2 4 7 11 16 22…… 3 5 8 12 17 23………… 6 9 13 18 24……………… 10 14 19 25…………………… 15 20 26………………………… 21 27……………………………… 28…………………………………… ………………………………………则第40行从左至右第6个数字为______.14．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若点(),n n S a 在直线21y x =+上，则5a =__________.15．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =.若存在常数λ，使得2n n a a λ=()*N n ∈恒成立，则910nn S ⎛⎫ ⎪⎝⎭取最大值时，n =________. 16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*11111n n n n N S S a +⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，且112a =-，则20191S =_______.17．已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且()2*1122n n n S a a n =+∈N .则数列{}n a 的通项公式为________.18．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201620171a a >，20162017011a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2016201810a a ->；③2016T 是数列{}n T 中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4031；其中正确结论的序号为______.19．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22n nn S a a n N *++∈，设()2112n n n na c S +=-⋅，则数列{}n c 的前2019项的和为___________.20．已知数列{}n a 中，11a =，()132,n n a a n n N *-=+≥∈，数列{}n b 满足11n n n b a a +=，*n N ∈，则()12lim n n b b b →∞++⋅⋅⋅+=________. 三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，数列{}n b ，11b =，点()1,n n P b b +直线20x y -+=上.（1）求1a 值；（2）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （3）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .22．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足1310a a +=，24a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b = ，求数列{}n b 的前n 项和n S . 请在①n n a ⋅；②22log 9n a -；③()()12121nn n a +++这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.23．已知{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，111a b ==，24a =，36a b =. （1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记[]x 表示不大于x 的最大整数，[]x x x =-.若将数列31n n a b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前21项和记为21S ，求21S 的值.24．设数列{}n a 的前n 项和2*,n S n n N =∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若不等式1122318111log n n a a a a a a λ++++≥对任意*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.25．已知数列{}n a 是递增的等比数列，前3项和为13，且13a +，23a ，35a +成等差数列，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 的首项11b =，其前n 项和为n S ，且 ，若数列{}n c 满足n n n c a b =，{}n c 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值．在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题． ①34n n S b +=；②()122n n b b n -+≥= ；③()152n n b b n -=-≥． 注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分． 26．数列{}n a 的前n 项的和为n S ，11a =，()1112n n S a +=-. （1）证明数列{}n a 是等比数列，并求通项n a ； （2）若等差数列{}n b 的各项均为正数，且4124i i b ==∑，11ab +，22a b +，33a b +成等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n T【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据等比数列的性质求解．在1q ≠-时，24264,,S S S S S --仍成等比数列．设24,3S k S k ==，由数列{}n a 为等比数列(易知数列{}n a 的公比1q ≠-)，得24264,,S S S S S --为等比数列又242,2S k S S k =-=644S S k ∴-= 67,S k ∴=647733S k S k ∴== 故选：B ． 【点睛】结论点睛：数列{}n a 是等比数列，若0m S ≠，则232,,m m m m m S S S S S --成等比数列．简称等比数列的片断和仍成等比数列．注意{}n a 是等比数列与232,,m m m m m S S S S S --成等比数列之间不是充要条件．2．B解析：B 【分析】由题意可得：数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以1980年的天干和地支分别为首项，即可求出答案. 【详解】由题意可得：数列天干是以10为公差的等差数列， 地支是以12为公差的等差数列，从1980年到2080年经过100年，且1980年为庚申年， 以1980年的天干和地支分别为首项， 则1001010÷=余数0，则2080年天干为庚，100128÷=余数为4，则2080年地支为子， 所以2080年为庚子年. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由题意得出数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，1980年为庚申年，计算1001010÷=余数0，则2080年天干为庚，100128÷=余数为4，则2080年地支为子，所以2080年为庚子年. 3．B解析：B 【分析】由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共123(2)(1)2m m m +++=+-个，再由2017是从3开始的第1008个奇数，可得选项．由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共123(2)(1)2m m m +++=+-个，212017n += ，得1008n =， 所以2017是从3开始的第1008个奇数，当45m =时，从32到345，用去从3开始的连续奇数共474410342⨯=个， 当44m =时，从32到344，用去从3开始的连续奇数共46439892⨯=个， 所以45m =， 故选：B ． 【点睛】方法点睛：对于新定义的数列问题，关键在于找出相应的规律，再运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，得以解决．4．D解析：D 【分析】根据等比中项求出2k =，()21f x x =-，*x ∈N ，根据等差数列的求和公式求出n S 2n =，然后作差比较可知D 正确.【详解】因为(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，所以[]2(3)(1)(13)f f f =⋅，即2(31)(1)(131)k k k -=--，即220k k -=，因为0k ≠，所以2k =.所以()21f x x =-，*x ∈N ，5()5(21)105f n n n =-=-，2(121)2n n n S n +-==， 22275()271052102n S f n n n n n --=--+=--22(51)n n =--，当5n ≤时，275()0n S f n --<，所以275()n S f n -<，当6n ≥时，275()0n S f n -->，所以275()n S f n ->，故,A C 不正确；22275()2710521012n S f n n n n n +-=+-+=-+2(2)(3)n n =--0≥在*n N ∈时恒成立，所以275()n S f n +≥，故B 不正确，D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：掌握等比中项的概念和等差数列的求和公式是本题的解题关键.5．B解析：B 【分析】由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n na a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论.【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =， 所以111nn na a a ++=-， 21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=.故选：B 【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.6．A解析：A 【分析】将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，转化为271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立，由2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭求解.【详解】 依题意得，()24122412n n nT +-==--，∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为22log 2(1)73n n n n λ+-++，即27(1)n n n λ-++.又*n N ∈，∴271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立.只需满足2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭即可.设1n t +=，则*t N ∈，2t ，∴27931n n t n tλ-+=+-+.∵993233t t t t+-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立， ∴2min731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭.∴3λ，故选：A. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 7．A解析：A 【分析】由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得20202021ln ln a a ． 【详解】{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =， 所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，22021201820213()1a a a q ==，2202020192020()1a a a q==，即322021a q =，122020a q =，所以1220203202121ln ln ln 123ln 3ln ln 2qa q a q q ===． 故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论．8．D【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤， 所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.9．C解析：C 【分析】判断出()f x 的周期，求得{}n a 的通项公式，由此求得56()()f a f a +. 【详解】依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()()2f x f x -=，所以()333332222f x f x f x fx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()32f x f x f x ⎛⎫=---=--= ⎪⎝⎭，所以()f x 是周期为3的周期函数.由21n n S a n n=-得2n n S a n =-①， 当1n =时，11a =，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②，①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，652163a a =+=.所以56()()f a f a +=()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-故选：C 【点睛】如果一个函数既是奇函数，图象又关于()0x a a =≠对称，则这个函数是周期函数，且周10．A解析：A 【分析】利用数列递推关系：1n =时，1121a a =-，解得1a ；2n 时，1n n n a S S -=-．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】21n n S a =-，1n ∴=时，1121a a =-，解得11a =；2n 时，1121(21)n n n n n a S S a a --=-=---，化为：12n n a a -=．∴数列{}n a 是等比数列，公比为2．56232a ∴==，66216321S -==-．则666332S a =． 故选：A ． 【点睛】本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．11．A解析：A 【分析】由已知可以假设一次函数为1y kx =+，在根据(1),(4),(13)f f f 成等比数列，得出3k =，利用等差数列的求和公式求解即可． 【详解】由已知，假设()f x kx b =+，(0)k ≠(0)10f k b ==⨯+，1b ∴=．(1),(4),(13)f f f 成等比数列，且41,(13(1)1,(4)1)13k f f k f k =+=+=+．1k ∴+，41k +，131k +成等比数列，即2(41)(1)(131)k k k +=++，22161813141k k k k ++=++，从而解得0k =（舍去），2k =，(2)(4)(2)f f f n +++(221)(421)(221)n =⨯++⨯++⋯+⨯+ (242)2n n =++⋯+⨯+(1)42n n n +=⨯+2(1)n n n =++()22332n n n n ==++.故选：A ． 【点睛】本题考查了等比数列、等差数列和函数的综合应用，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于中档题．12．C解析：C 【分析】21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进而D 正确. 【详解】已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，故A 正确；根据A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B 正确；24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -故D 正确. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.二、填空题13．1030【分析】利用观察法和累加法得到进而求解即可【详解】第1行从左至右第6个数字：第2行从左至右第6个数字：；第3行从左至右第6个数字：；第4行从左至右第6个数字：；第5行从左至右第6个数字：；…解析：1030 【分析】利用观察法和累加法得到()17895n a a n -=+++++，进而求解即可【详解】第1行从左至右第6个数字：116a = 第2行从左至右第6个数字：223a =； 第3行从左至右第6个数字：331a =； 第4行从左至右第6个数字：440a =； 第5行从左至右第6个数字：550a =； ……………………………………；第n 行从左至右第6个数字：n a ； 利用累加法得：21324311()()()()(2316)(3123)()n n n n a a a a a a a a a a ---+-+-++-=-+-++-，()17895n a a n -=+++++，()()175162n n n a -++⎡⎤⎣⎦=+得，4039521639261610302a ⨯=+=⨯+= 故答案为：1030 【点睛】关键点睛：解题的关键在于观察得到，21324311()()()()(2316)(3123)()n n n n a a a a a a a a a a ---+-+-++-=-+-++-最后，使用累加法求出数列的通项n a ，属于中档题14．【分析】由得两式相减得时然后利用等比数列的定义求解【详解】由题意知当时两式相减得即当时所以数列是首项为公比为的等比数列则故答案为：-1【点睛】本题主要考查数列的递推关系还考查了运算求解能力属于中档题 解析：1-【分析】由21n n a S =+，得1121n n a S --=+，两式相减得1n n a a -=-，1n =时，11a =-，然后利用等比数列的定义求解. 【详解】由题意知21n n a S =+， 当2n ≥时，1121n n a S --=+， 两式相减，得12n n n a a a --=， 即1n n a a -=-， 当1n =时，11a =-，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为1-的等比数列，则()()45111a =-⨯-=-. 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查数列的递推关系，还考查了运算求解能力，属于中档题.15．或19【分析】利用等差数列的通项公式求出再利用等差数列的前项和公式求出记利用作商法判断出数列的单调性即可求解【详解】设等差数列的公差为由题意当时当时所以解得或（舍去）所以记所以当时此时当时时此时所以解析：18或19 【分析】利用等差数列的通项公式求出λ、d ，再利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，记910nn n T S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用作商法判断出数列的单调性即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意， 当1n =时，21a a λ=， 当2n =时，42a a λ=，所以()22232d d d λλ+=⎧⎨+=+⎩，解得22d λ=⎧⎨=⎩ 或10d λ=⎧⎨=⎩（舍去），所以()2112n n n dS na n n -=+=+， 记()2991010nnn n n T S n =⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+， 所以()()()12129119210110910n n nnn n T T n n n ++⎛⎫⎡⎤+++ ⎪⎣⎦⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 当118n ≤≤，n *∈N 时，1921110n n T T n +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，此时1n n T T +≥， 当10n >时，n *∈N 时，1921110n n T T n +⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，此时1n n T T +<， 所以910nn S ⎛⎫ ⎪⎝⎭取最大值时，18n =或19 故答案为：18或19 【点睛】本题考查了差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式、数列的单调性求数列中的最大项，属于中档题.16．【分析】用代入已知等式得变形可得说明是等差数列求其通项公式可得的值【详解】整理可得则即所以是以为公差的等差数列又则故答案为：【点评】本题考查数列递推式考查等差数列的判定训练了等差数列通项公式的求法是 解析：2020-【分析】用11n n n a S S ++=-，代入已知等式，得11n n n n S S S S ++-=⋅，变形可得1111n n S S +-=-，说明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求其通项公式，可得20191S 的值.【详解】11n n n a S S ++=-，1111111n n n n nS S a S S ++⎛⎫∴-== ⎪-⎝⎭，整理可得11n n n n S S S S ++-=⋅， 则111111n n n n n n S S S S S S +++-=-=，即1111n nS S +-=-，所以，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为公差的等差数列，又11112S a ==-， ()()()12111nn n S ∴=-+-⋅-=-+，则201912020S =-.故答案为：2020-. 【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题.17．【分析】令由求出首项再由两式相减得出数列的递推关系式及可求出数列的通项公式【详解】由题意可得：当时所以当且时由所以两式作差可得整理可得因为所以因为所以数列为首项为1公差为1的等差1数列所以故答案为： 解析：n a n =【分析】 令1n =，由()2*1122n n n S a a n =+∈N 求出首项11a =，再由()2*1122n n n S a a n =+∈N ，()2*1111122n n n S a a n ---=+∈N 两式相减得出数列的递推关系式，及可求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】 由题意可得：当1n =时，211111122a S a a ==+，所以11a =，当2n ≥且*n ∈N 时，由()2*1122n n n S a a n =+∈N ，所以()2*1111122n n n S a a n ---=+∈N ，两式作差可得221111112222n n n n n a a a a a --+-=-，整理可得()()1101n n n n a a a a --+--=，因为10n n a a -+≠，所以11n n a a --=，因为11a =，所以数列{}n a 为首项为1，公差为1的等差1数列，所以n a n =. 故答案为：n a n = 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，解题的关键是根据已知关系求出递推关系，属于中档题.18．①③【分析】分别讨论和找到矛盾可判断①通过以及可得到则通过可判断②通过时时可判断③算出可判断④【详解】解：∵若则此时与矛盾故不成立若此时与矛盾故不成立∴故①正确；因为由得故②不正确；因为所以当时当时解析：①③ 【分析】分别讨论1q ≥和0q <，找到矛盾，可判断①，通过01q <<以及20162017011a a -<-可得到20171a <，则通过2201620182017a a a =可判断②，通过2016,n n N *≤∈时，1n a >，2016,n n N *>∈时，01n a <<，可判断③，算出4032T ，4033T 可判断④.【详解】 解：∵11a >，若1q ≥，则2015201620161201711,1a a qa a q =>=>， 此时20162017011a a ->-，与20162017011a a -<-矛盾，故1q ≥不成立，若0q <，2015201620161201710,0a a qa a q =<=>， 此时201620170a a <，与201620171a a >矛盾，故0q <不成立， ∴01q <<，故①正确；因为11a >，01q <<，20162017a a >， 由20162017011a a -<-得201620171,01a a ><<22016201820171a a a ∴=<，故②不正确；因为11a >，01q <<，201620171,01a a ><<，所以当2016,n n N *≤∈时，1n a >，当2016,n n N *>∈时，01n a <<，所以2016T 是数列{}n T 中的最大项，故③正确；()()2016201640321240304031403214032201620171a a a a a a a a T a =⋅⋯⋅⋅==>，()201624033124030403140324033201720171T a a a a a a a a =⋅⋯⋅⋅⋅=⨯<，∴使1n T >成立的最大自然数等于4032，故④不正确. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19．【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：正项数列的前项和为①则②②-①得：整理得：当时解得：所以：数列是以1为首项1为公差的等差数列则所以：则：数列的 解析：20212020-【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和． 【详解】解：正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，22()n nn S a a n N *=+∈①， 则221112n n n n n a a a a a +++=-+-②，②-①得：221112n n n n n a a a a a +++=-+-，整理得：11n n a a +-=，当1n =时，21112S a a =+，解得：11a =，所以：数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列. 则11n a n n =+-=，所以：2(1)22n n n n nS ++==. 则：()()21111121nn n n n a c S n n +⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭， 数列{}n c 的前2019项的和为：201911111122320192020T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++⋅⋅⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112020=--， 20212020=-. 故答案为：20212020- 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．20．【分析】求出数列的通项公式利用裂项求和法求出利用极限的运算法则可得出所求极限值【详解】且则数列是以为首项以为公差的等差数列所以因此故答案为：【点睛】本题考查数列前项和的极限值的求法是中档题解题时要认解析：13【分析】求出数列{}n a 的通项公式，利用裂项求和法求出12n b b b ++⋅⋅⋅+，利用极限的运算法则可得出所求极限值. 【详解】()132,n n a a n n N *-=+≥∈且11a =，则数列{}n a 是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以，()13132n a n n =+-=-，()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫∴===- ⎪-+-+⎝⎭， 1211111111134473231393n b b b n n n ⎛⎫∴++⋅⋅⋅+=-+-++-=- ⎪-++⎝⎭， 因此，()12111lim lim 3933n n n b b b n →∞→∞⎛⎫++⋅⋅⋅+=-=⎪+⎝⎭. 故答案为：13. 【点睛】本题考查数列前n 项和的极限值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．三、解答题21．（1）12a =；（2）2nn a =，21n b n =-；（3）1(23)26n nT n +=-⋅+.【分析】（1）由题意得出22n n a S =+，令1n =可求得1a 的值；（2）当2n ≥时，由22n n a S =+可得出1122n n a S --=+，两式作差可得出12nn a a -=，可得出数列{}n a 是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，由题意可推导出数列{}n b 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列{}n b 的通项公式；（3）求得12n n c n +=⋅，然后利用错位相减法可求得n T . 【详解】（1）由22n n a S =+得：1122a S =+ 即1122a a =+解得12a = （2）由22n n S a =-1122(2)n n S a n --=-≥①-②1122n n n n n a S S a a --=-=-12(2)nn a n a -=≥ 所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则2nn a =又由数列{}bn 中，12b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上 得1:20n n b b +-+=且11b = 所以：12(1)21n b n n =+-=- （2）(21)2nn n n c a b n ==-数列{}n C 的前n 项和23412325272(21)2nTn n =⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅23451212325272(21)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅()23411222222222(21)2n n n T n +∴-=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+⋅--⋅可得：1(23)26n n T n +=-⋅+【点睛】解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式，当数列表示为等差和等比数列之积时，利用错位相减法求其前n 项和. 22．答案见解析 【分析】(1）由题设求得等比数列{}n a 的公比q 与首项1a ，即可求得其通项公式;(2）当选条件①时；先由(1）求得n b ，再利用错位相减法求得其前n 项和即可；当选条件②时：先由(1）求得n b ，再对n 分n ≤4与n ≥5两种情况分别求得其前n 项和即可；当选条件③时：先由（1）求得n b ，再利用裂项相消法求得其前n 项和即可. 【详解】（1）2111104a a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩或1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩1q >，122a q =⎧∴⎨=⎩2n n a ∴=．（2）若选①2n n b n =⋅231122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+①23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+-+②①-②得：23122222n n n S n +-=++++-⋅()()11121222212(1)2212n n n n n n S n n n +++--=-⋅=--⋅=---∴1(1)22n n S n +=-+选②：22log 29|29|nn b n =⋅-=-1n =时，117S b ==2n =时，2127512S b b =+=+=3n =时，312375315S b b b =++=++=4n =时，4123416S b b b b =+++=即2(792)8(4,)2n n nS n n n n N *+-⋅==-+≤∈5n ≥时，2(4)(129)16132916(4)162n n n S n n -+-=++++-=+=-+．选③11211(21)(21)2121n n n n n n b ++==-++++2231111111111122121212121321n n n n S ++=-+-++-=-+++++++． 【点睛】 关键点点睛：本题主要考查等比数列基本量的计算及错位相减法与裂项相消法在数列求和中的应用，对运算能力要求较高，属于中档题. 23．（1）14n n a -=；32n b n =-；（2）14. 【分析】（1）由题意得等比数列{}n a 的公比为4q =，等差数列{}n b 的公差3d =，进而得14n n a -=，32n b n =-；（2）由（1）得31161611(32)(31)33231n n a b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，进而利用裂项相消求和法得21214S =，故2114S =. 【详解】解：（1）因为11a =，24a =，所以公比4q =， 则{}n a 的通项公式为14n n a -=.又因为11b =，6316b a ==， 所以公差161361d -==-， 则{}n b 的通项公式为()13132n b n n =+-=-. （2）因为31161611(32)(31)33231n n a b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以2116111111612111344761643644S ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故21212121154444S ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，裂项相消求和法，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于正确的使用裂项得31161611(32)(31)33231n n a b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，进而根据裂项相消求和即可得21S ，最后根据定义计算即可.24．（1）*21,n a n n N =-∈；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）直接利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论和裂项相消法求和得到12231111+++⋯+n n a a a a a a ，再根据不等式恒成立，得到关于λ的方程，然后求出参数λ的取值范围． 【详解】解：（1）当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，在2n S n =中，令1n =，则111a S ==，满足21n a n =-， 故数列{}n a 的通项公式是*21,n a n n N =-∈；（2）因为一般项()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以12231111111111111233557212121n n na a a a a a n n n +⎛⎫+++=-+-+-++-= ⎪-++⎝⎭ 1122318111log n n a a a a a a λ++++≥对任意*n N ∈恒成立， 也就是18log 21n n λ≤+对任意*n N ∈恒成立，1min 8log 21n n λ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭， 因为121111*********n n n n n +-⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭是增函数，其最小值是11112213⎛⎫-= ⎪+⎝⎭， 于是181log 3λ≤，12λ≥.故实数λ的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．25．（1）13n n a -= ；（2）答案见解析.【分析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，根据题意得12321313635a a a a a a ++=⎧⎨=+++⎩，解得3q =，进而得13n n a -=.（2）选①，由n a 与n S 的关系即可求得数列{}n b 是以11b =为首项，14为公比的等比数列，故()114n n b -=，进而得()134n n n n c a b -==，由于0n c >，故n T 的最小值为111T c ==；选择②，由题知21n b n =-，()1213n n c n --⋅=，由于1()2130n n c n -=⋅-> ，故()111n minT T c ===；选择③，由题知()115n n b -=-，故()135n n c -=-，()53185nn T ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，由于当n 为奇数时，58n T >；当n 为偶数时，58n T <，此外()53185nn T ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦在n 为偶数时单调递增，故当2n =时，()min 51628255n T =⨯=.【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，则由前3项和为13，且13a +，23a ，35a +成等差数列，得12321313635a a a a a a ++=⎧⎨=+++⎩，所以132103a a a +=⎧⎨=⎩所以3310q q +=，即231030q q -+= ，解得13q =或3q = 又因为{}n a 是递增的等比数列，且10a >，所以1q >，所以3q =，所以13n n a -=．（2）选择①因为34n n S b +=，所以()11342n n S b n --+=≥，两式相减得11()(3)0n n n n S S b b ---+-=，即()1402n n b b n -=≥-， 所以()1124n n b b n -=≥，所以数列{}n b 是以11b =为首项，14为公比的等比数列， 故()114n n b -=，因此()134n n n n c a b -==．由0n c >恒成立，故{}n T 为单调递增数列， 所以n T 的最小值为111T c ==． 选择②由()122n n b b n -+≥=知{}n b 是以11b =为首项，2为公差的等差数列， 所以()12121n b n n =+-=-， 所以()1213n n n n c a b n --⋅==因为1()2130n n c n -=⋅-> ，故{}n T 为单调递增数列，所以()111n min T T c === 选择③由()152n n b b n -=-≥知{}n b 是以11b =为首项，15-为公比的等比数列， 所以()115n n b -=-，所以()135n n n n c a b -==-，所以()()31553138515nnn T --⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦+， 当n 为奇数时，由于()305n-<，故58nT >； 当n 为偶数时，由于()305n->，故58nT <，由()53185nn T ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦在n 为偶数时单调递增， 所以当2n =时，()min 51628255n T =⨯=.【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.26．（1）证明见解析，13-=n n a ；（2）3nn T n =⋅【分析】（1）利用1n n n a S S -=-即可建立关系证明等比数列，进而求出通项公式；（2）由题可列出方程求出{}n b 的首项和公差，进而求出通项公式，再利用错位相减法即可求出n T . 【详解】 （1）()1112n n S a +=-，()111(2)2n n S a n -=-≥， 两式相减得()1112n n n n S S a a -+-=- 即n a =12()1n n a a +-，所以1n a +=3n a (n ≥2)； 又由n =1时，()12112a a =-及1a =1，得2a =3， 2a =31a ，合并为1n a +=3n a (n ∈*N ).数列{n a }是以1为首项公比为3的等比数列，11133n n n a --∴=⨯=；（2）设数列{n b }的公差为d ， 可得141434+242i i b b d =⨯==∑，所以12312b d +=①； 由(1)知：1a =1，2a =3，3a =9，据条件1a +12b a ，+23b a ，+3b ，成等比数列得()()()21113192b d b b d ++=+++②，由①②解得：12412b d =⎧⎨=-⎩或132b d =⎧⎨=⎩，当12412b d =⎧⎨=-⎩时，3242120b =-⨯=，与题意n b >0不符； 当132b d =⎧⎨=⎩时，n b =2n +1>0，符合题意， ()1213n n n a b n -∴=+⋅，∴0121335373(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，则2313335373(21)3(21)3n nn T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯++⨯，以上两式相减：()()121313232333(21)332(21)32313n n n nnn T n n n ----=+++⋯+-+⨯=+⨯-+⨯=-⋅-，3n n T n ∴=⋅.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.。

湘教版数学选择性必修一教材配套测试卷第一章 数列一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．自然环境下，海拔0至10km 范围内，海拔每增加100m ，气温就下降某一固定值，如果某地海拔1km 处气温为4.5C ︒，海拔5km 处气温为零下9.5C ︒，则该地海拔4km 处的气温为 A.零下8.25C ︒B.零下6C ︒C.零下2.5C ︒D.1C ︒2．已知数列{}n a ，{}n b 满足：1n n n b a a +=-()n *∈N ；若数列{}n b 为单调递减数列，则数列{}n a 的通项公式可能是 A.23n a n =-B.2n a n n =+C.1n a n=D.ln1n a n n =+ 3．公差不为0的等差数列{}n a 中，38x y a a a a +=+，则xy 的值不可能是A.10B.18C.22D.284．若首项为正数的等比数列{}n a 的前6项和为126，且53128a a a =+，则4a 的值为A.32B.16C.8D.45．若数列{}n a 满足：10a =，且15155n n n a a a +-=+()n *∈N ，则100a 的值是A.0B.35-C.35D.256．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，《洛书》上的图案由45个黑白圆点分别组合，摆成方形，南西东北分别有1,3,7,9个点，四角各有2,4,6,8个点，中间有5个点，简化成如图33⨯的方格，填好数字后各行、各列以及对角线上的3个数字之和都等于15．推广到一般情况，将连续的正整数21,2,3,,n 填入n n ⨯的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，这样一个n 阶幻方就填好了，记n 阶幻方对角线上的数字之和为n S ，则8S 的值为 A.111B.175C.260D.3697．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10551S S -=，则1112131415a a a a a ++++的最小值为A.12B.16C.20D.258．设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()()311112522a a -+-=，且()()320202522a a -+-=-，则下列结论正确的是A.3030S =,0d >B.3060S =,0d >C.3030S =,0d <D.3060S =,0d <二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、选择题1．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为（ ）3331373152,39,4,5171119⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩A ．44B ．45C ．46D ．472．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 3．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．23B ．13C ．2-D ．3-4．数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．3λB ．4λC ．23λ D ．34λ5．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（n N +∈，d 为常数），称{}n a 为“等差比数列”。

已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===则20152013a a =（ ） A ．2420151⨯- B ．2420141⨯- C ．2420131⨯-D ．242013⨯6．数列{}n a 是等差数列，51260a a =>，数列{}n b 满足123n n n n b a a a +++=，*n N ∈，设n S 为{}n b 的前n 项和，则当n S 取得最大值时，n 的值等于（ ）A ．9B ．10C ．11D ．127．数列{}n a 是等比数列，若21a =，518a =，则12231n n a a a a a a ++++的取值范围是（ ） A ．8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．81,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1+a 2+a 3+…+a n =3n ﹣1，则a 12+a 22+a 32+…+a n 2等于（ ）A ．n 2(31)-B ．()n1912- C ．n 91- D ．()n1314- 9．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞1，且6S n ＝a n 2+3a n +2．若对于任意实数a ∈[﹣2，2]．不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） C ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D ．[﹣2，2]10．函数()2cos 2f x x x =-{}n a ，则3a =（ ） A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π 11．已知数列{}n a 是等比数列，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是（ ） A．(B ．()1,4C ．()1,2D ．()1,+∞12．已知数列{}n a 满足：11a =，()*12nn n a a n N a +=∈+．若()*+11()1n n b n n N a λ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（ ） A ．2λ>B ．3λ>C ．2λ<D ．3λ<二、填空题13．数列{}n a 的前n 项和是11,1,0,31n n n n n S a a S a a +=≠=+，若2020k a =，则k =______.14．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯，三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解，当(),,p q p q p N q N **⨯≤∈∈是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如(12)431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为______．15．已知{}{},n n a b 均为等差数列，其前n 项和分别为,n n S T ，且233n n S n T n -=+，则55a b ＝________.16．如图所示，正方形ABCD 的边长为5cm ，取正方形ABCD 各边的中点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点,,,I J K L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于___2cm ？17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若点(),n n S a 在直线21y x =+上，则5a =__________. 18．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =.若存在常数λ，使得2n n a a λ=()*N n ∈恒成立，则910nn S ⎛⎫ ⎪⎝⎭取最大值时，n =________. 19．下表给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为(,)i j a （i ，j ∈N *)，则(20,20)a =_____. 20．若数列{}n a 满足11a =，且()*1111n nn a a N +∈-=，则 ①数列{}na e是等比数列；②满足不等式：1112n n a a +++≥ ③若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}n f a 是单调递减数列； ④存在数列{}n a 中的连续三项，能组成三角形的三条边； ⑤满足等式：122311n n n a a a a a a n +++⋅⋅⋅+=+. 正确的序号是________三、解答题21．直线:2l x =与x 轴交于点M ，过动点P 作直线l 的垂线交l 于点N ，若OM 、OP 、PN 成等比数列，其中O 为坐标原点.（1）求动点P 的轨迹方程. （2）求OP PN -的最大值.22．数列{}n a 满足()1121nn n a a n ++-=-，n *∈N 且1a a =（a 为常数）.（1）（i ）当n 为偶数时，求4n n a a +-的值； （ii ）求{}n a 的通顶公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求证：48411114n S S S ++⋅⋅⋅+< 23．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =.数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记n c =*n N ∈，证明：12n c c c +++<.24．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足112a b ==，35730a a a ++=，2316b b a =.（1）求数列{}n a 与和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .①是否存在正整数k ，使得132k k k T T b +=++成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式n n S b ≥.25．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n +1－t ，求证：数列{a n }是等比数列的充要条件为t ＝3． 26．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，131n n S S +=+，11a =． （1）证明：数列{}n a 是等比数列，并求n a 的通项公式； （2）若()11n n n b na -=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共123(2)(1)2m m m +++=+-个，再由2017是从3开始的第1008个奇数，可得选项． 【详解】由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共123(2)(1)2m m m +++=+-个，212017n += ，得1008n =， 所以2017是从3开始的第1008个奇数，当45m =时，从32到345，用去从3开始的连续奇数共474410342⨯=个， 当44m =时，从32到344，用去从3开始的连续奇数共46439892⨯=个， 所以45m =， 故选：B ． 【点睛】方法点睛：对于新定义的数列问题，关键在于找出相应的规律，再运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，得以解决．2．D解析：D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =， 所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.3．B解析：B 【分析】由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =， 所以111nn na a a ++=-， 21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯，4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=.故选：B 【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.4．A解析：A 【分析】将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，转化为271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立，由2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭求解.【详解】 依题意得，()24122412n n nT +-==--，∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为22log 2(1)73n n n n λ+-++，即27(1)n n n λ-++.又*n N ∈，∴271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立.只需满足2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭即可.设1n t +=，则*t N ∈，2t ，∴27931n n t n tλ-+=+-+.∵993233t t t t+-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立， ∴2min731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭.∴3λ，故选：A. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 5．C解析：C 【分析】 利用定义，可得1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列，从而121n na n a +=-，利用201520152014201320142013a a a a a a =⋅，可得结论． 【详解】121a a ==，33a =，32212a a a a ∴-=， 1n n a a +⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列， 121n na n a +∴=-， ()()20152015201420132014201322014122013140274025a a a a a a ∴=⋅=⨯-⨯-=⨯ 22(40261)(40261)40261420131=+-=-=⨯-．故选：C. 【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．6．D解析：D 【分析】由51260a a =>，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断,n n a b 的正负，再利用通项与前n 项和关系求解.【详解】设数列{}n a 的公差为d ， 因为51260a a =>，所以()1104116a a d d +=>+，即1625a d =-， 因为512a a >， 所以0d <，所以167(1)5n a n d n d a ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭， 当113n ≤≤时，0n a >，当14n ≥时，0n a <， 所以12101314...0...b b b b b >>>>>>>， 又因为()111213141215131405db b a a a a a a +=+=>， 所以1210S S >，故n S 中12S 最大 ， 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及数列前n 项和的最值问题，还考查逻辑推理的能力，属于中档题.7．D解析：D 【分析】由题意计算出{}n a 的公比q ，由等比数列的性质可得{}1n n a a +也为等比数列，由等比数列前n 项和计算即可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，21a =，518a =，所以35218a q a ==，即12q =，所以12a =，由等比数列的性质知{}1n n a a +是以2为首项，以14为公比的等比数列. 所以12122311214881813343142n n n n a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭≤==-< ⎪⎝⎭=+++-， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及等比数列前n 项和的计算，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，可求得a n ，从而可知2n a ，利用等比数列的求和公式即可求得答案． 【详解】∵a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，①，∴a 1+a 2+a 3+…+a n +1＝3n +1﹣1，② ②﹣①得：a n +1＝3n +1﹣3n ＝2×3n ，∴a n ＝2×3n ﹣1()2n ≥. 当n ＝1时，a 1＝31﹣1＝2，符合上式，∴a n ＝2×3n ﹣1． ∴221211249,4,9n n nna a a a -+=⨯∴==，∴{}2n a 是以4为首项，9为公比的等比数列， ∴a 12+a 22+a 32+…+a n 2=()()419191921n n⨯-=--． 故选B ． 【点睛】本题考查数列通项公式的确定及等比数列的判断与求和公式的综合应用，属于中档题．9．A解析：A 【分析】根据a n 与S n 的关系，由6S n ＝a n 2+3a n +2，得6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2，两式相减整理得a n ﹣a n﹣1＝3，由等差数列的定义求得a n 的通项公式，然后将不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，转化为2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立求解. 【详解】由6S n ＝a n 2+3a n +2，当n ＝1时，6a 1＝a 12+3a 1+2．解得a 1＝2， 当n ≥2时，6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2，两式相减得6a n ＝a n 2+3a n ﹣（a n ﹣12+3a n ﹣1）， 整理得（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣3）＝0，由a n ＞0，所以a n +a n ﹣1＞0，所以a n ﹣a n ﹣1＝3， 所以数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以a n +1＝2+3（n +1﹣1）＝3n +2，所以11n a n ++＝321++n n ＝3﹣11n +＜3，因此原不等式转化为2t 2+at ﹣1≥3，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立， 即为：2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立， 设f （a ）＝2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]， 则f （2）≥0且f （﹣2）≥0，即有222020t t t t ⎧+-⎨--⎩，解得t ≥2或t ≤﹣2，则实数t 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 故选：A ． 【点睛】本题主要考查数列与不等式的，a n 与S n 的关系，等差数列的定义，方程的根的分布问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于中档题．10．B解析：B 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可. 【详解】 解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈， ∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.11．A解析：A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，可知10q -<<或01q <<，计算出111lim 1n n a S q a →∞==-，可得出q 关于1a 的表达式，结合q 的范围，可解出1a 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于11lim n n S a →∞=，则10q -<<或01q <<，()111n n a q S q-=-，则()11111lim lim11n n n n a q a S qq a →∞→∞-===--，得211q a =-. ①若10q -<<，则21110a -<-<，即2112a <<，11a >，解得1a <<； ②当01q <<，则21011a <-<，得2101a <<，11a >，则2101a <<不成立.综上所述，1a的取值范围是(. 故选A. 【点睛】本题考查利用极限求等比数列首项的取值范围，解题的关键就是得出公比与首项的关系，结合公比的取值范围得出关于首项的不等式，考查运算求解能力，属于中等题.12．C解析：C 【分析】 数列{a n }满足()*12nn n a a n N a +=∈+，两边取倒数可得1121n na a +=+，从而得到11=2n n a +，于是b n +1＝（n ﹣λ）（11a +1）＝（n ﹣λ）•2n ，由于数列{b n }是单调递增数列，可得b n +1＞b n ，解出即可． 【详解】∵数列{a n }满足：a 1＝1，()*12nn n a a n N a +=∈+， ∴1121n n a a +=+，化为111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, ∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为11a +1＝2，公比为2的等比数列，∴11=2n na +， ∴b n +1＝（n ﹣λ）（11a +1）＝（n ﹣λ）•2n ，∵数列{b n }是单调递增数列，∴b n +1＞b n ，∴n ≥2时，（n ﹣λ）•2n ＞（n ﹣1﹣λ）•2n ﹣1，化为λ＜n +1， ∵数列{n +1}为单调递增数列，∴λ＜3．当n ＝1时，b 2＝（1﹣λ）×2＞﹣λ＝b 1，解得λ＜2． 综上可得：实数λ的取值范围为λ＜2． 故选：C ． 【点睛】本题考查由数列的递推关系式求数列的通项公式、考查由数列的单调性求解参数问题，考查等比数列的通项公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．1347【分析】当时则两式相减得到得到代入数据计算得到答案【详解】解：当时当时由则两式相减得到因为故数列的奇数项为以为首项3为公差的等差数列；偶数项为以为首项3为公差的等差数列；所以当为奇数时成立；解析：1347 【分析】当2n ≥时131n n n S a a +=+则1131n n n S a a --=+，两式相减得到113n n a a +--=，得到31,2231,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数，代入数据计算得到答案.【详解】解：当1n =时，2112312S a a a =+∴=当2n ≥时，由131n n n S a a +=+则1131n n n S a a --=+，两式相减得到()113n n n n a a a a +-=- 因为0n a ≠113n n a a +-∴-=，故数列的奇数项为以1为首项，3为公差的等差数列；偶数项为以2为首项，3为公差的等差数列；所以31,2231,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数 当k 为奇数时，202013473122k a k k ==-=∴，成立； 当k 为偶数时，404220203312k a k k ∴==-=，不成立； 故答案为：1347 【点睛】本题考查了数列的通项公式，灵活运用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩是解题的关键.14．【分析】先通过归纳得再利用等比数列求和得解【详解】由题意得归纳得则故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出归纳出这个结论之后后面利用等比数列求和就迎刃而解了 解析：101031-【分析】 先通过归纳得()()2111233323,3330k kk k k k k f f ---=-=⨯=-=，再利用等比数列求和得解.【详解】由题意得()()232(3)312,3330,333236f f f =-==-==-=⨯=，()4223330f =-=，归纳得()()2111233323,3330k kk k kkkf f ---=-=⨯=-=，则()()()()()()232020352019(3)333(3)333f f f f f f f f ++++=++++012100923232323=⨯+⨯+⨯++⨯()10101210091010132333323113-=⨯++++=⨯=--．故答案为：101031- 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出()()2111233323,3330k k k k k k k f f ---=-=⨯=-=，归纳出这个结论之后，后面利用等比数列求和就迎刃而解了.15．【分析】根据等差数列的前n 项和公式有结合已知条件令即可得进而求【详解】∵均为等差数列令公差分别为则有∴令则有∴故答案为：【点睛】思路点睛：利用等差数列的前n 项和公式结合等差数列通项公式的特点合理假设解析：54【分析】根据等差数列的前n 项和公式有11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+，结合已知条件，令122,1d d ==即可得11,a b ，进而求55a b .【详解】∵{}{},n n a b 均为等差数列，令公差分别为12,d d ，则有11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+， ∴11121222323n n S nd a d n T nd b d n +--==+-+，令122,1d d ==，则有111,22a b =-=， ∴5115124544a a db b d +==+， 故答案为：54【点睛】思路点睛：利用等差数列的前n 项和公式，结合等差数列通项公式的特点合理假设即可得到数列的基本量11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+，则有11121222n n S nd a d T nd b d +-=+-.结合已知233n n S n T n -=+，假设122,1d d ==，即可求11,a b . 16．50【分析】根据题意正方形边长成等比数列正方形的面积等于边长的平方可得代入求出的通项公式然后根据等比数列的前n 项和的公式得到的和即可求解【详解】记第1个正方形的面积为第2个正方形的面积为第n 个正方形解析：50 【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得2n n S a =，代入求出n S 的通项公式，然后根据等比数列的前n 项和的公式得到123n s S S S +++⋯+的和即可求解. 【详解】记第1个正方形的面积为1S ，第2个正方形的面积为2S ，⋯，第n 个正方形的面积为n S ，设第n 个正方形的边长为n a ,则第nn ， 所以第n +1个正方形的边长为12n n a a +=，12n n a a +∴=， 即数列{n a }是首项为15a =，公比为2的等比数列，15n n a -∴=⋅， 数列{n S }是首项为125S =，公比为12的等比数列， 123125(1)1250(1)1212nn nS S S S -+++⋯+==⋅-∴-，所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于50, 故答案为：5017．【分析】由得两式相减得时然后利用等比数列的定义求解【详解】由题意知当时两式相减得即当时所以数列是首项为公比为的等比数列则故答案为：-1【点睛】本题主要考查数列的递推关系还考查了运算求解能力属于中档题解析：1-【分析】由21n n a S =+，得1121n n a S --=+，两式相减得1n n a a -=-，1n =时，11a =-，然后利用等比数列的定义求解. 【详解】由题意知21n n a S =+， 当2n ≥时，1121n n a S --=+， 两式相减，得12n n n a a a --=， 即1n n a a -=-， 当1n =时，11a =-，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为1-的等比数列， 则()()45111a =-⨯-=-. 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查数列的递推关系，还考查了运算求解能力，属于中档题.18．或19【分析】利用等差数列的通项公式求出再利用等差数列的前项和公式求出记利用作商法判断出数列的单调性即可求解【详解】设等差数列的公差为由题意当时当时所以解得或（舍去）所以记所以当时此时当时时此时所以解析：18或19 【分析】利用等差数列的通项公式求出λ、d ，再利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，记910nn n T S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用作商法判断出数列的单调性即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意， 当1n =时，21a a λ=， 当2n =时，42a a λ=，所以()22232d d d λλ+=⎧⎨+=+⎩，解得22d λ=⎧⎨=⎩ 或10d λ=⎧⎨=⎩（舍去），所以()2112n n n dS na n n -=+=+， 记()2991010nnn n n T S n =⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，所以()()()12129119210110910n n nnn n T T n n n ++⎛⎫⎡⎤+++ ⎪⎣⎦⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 当118n ≤≤，n *∈N 时，1921110n n T T n +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，此时1n n T T +≥， 当10n >时，n *∈N 时，1921110n n T T n +⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，此时1n n T T +<， 所以910nn S ⎛⎫ ⎪⎝⎭取最大值时，18n =或19 故答案为：18或19 【点睛】本题考查了差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式、数列的单调性求数列中的最大项，属于中档题.19．【分析】先计算第一列形成的数列再计算第20行形成的数列得到答案【详解】设第一列形成的数列为则是首项为公差为的等差数列故设第20行形成的数列为是首项为公比为的等比数列故即故答案为：【点睛】本题考查了等 解析：1952 【分析】先计算第一列形成的数列205b =，再计算第20行形成的数列201952c =，得到答案. 【详解】设第一列形成的数列为n b ，则{}n b 是首项为14，公差为14的等差数列，故4n n b =，205b =.设第20行形成的数列为n c ，{}n c 是首项为5，公比为12的等比数列，故201952c =. 即(20,20)201952a c ==. 故答案为：1952. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.20．②④⑤【分析】利用所给递推公式求出的通项公式由证明数列不是等比数列根据的单调性求出范围证明②正确根据复合函数的增减性判断规则说明③错误举出例子证明④正确利用裂项相消法求和证明⑤正确【详解】且数列是以解析：②④⑤ 【分析】利用所给递推公式求出{}n a 的通项公式，由3212b b b b ≠证明数列{}n a e 不是等比数列，根据1111(1)1n n a n a n +++=+++的单调性求出范围证明②正确，根据复合函数的增减性判断规则说明③错误，举出例子证明④正确，利用裂项相消法求和证明⑤正确. 【详解】()*1111n n a a n N +-=∈且111a ，∴数列1{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，则()*1nn n N a =∈， ()*1n a n N n∴=∈. ①设1n n na b e e ==，则1132123,,b e b e b e ===，因为11326212,b b e e b b --==，所以3212b b b b ≠，因此数列{}na e 不是等比数列；②1111(1)1n n a n a n +++=+++，因为1(1)1y n n =+++在[1,)+∞上单调递增，所以115(1)2122n n ++≥+=+，②正确； ③因为若数列{}n a 是单调递减的数列，所以若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}nf a 是单调递增数列；④234111,,234a a a ===即可构成三角形的三边，所以④正确； ⑤因为1111(1)1n n n n a n a n +==-++，所以1223111112111231n n n a a a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=--=++-+++，⑤正确. 故答案为：②④⑤ 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，用定义证明等比数列，复合函数的单调性，裂项相消法求和，属于中档题.三、解答题21．（1）22(1)5x y ++=；（2）4-. 【分析】（1）本题首先可设(,)P x y ，然后根据OM 、OP 、PN 成等比数列得出2222x y x +=⋅-，最后分为2x >、2x <两种情况进行讨论，即可得出结果；（2）本题首先可根据动点P的轨迹方程得出1x ⎡⎤∈⎣⎦，然后将OP PN -转2x +，最后令()2f x x =+，根据导函数性质即可求出最值.【详解】（1）设(,)P x y ，则(2,)N y ，(2,0)M ， 因为OM 、OP 、PN 成等比数列，所以2OP P O N M =⋅，即2222x y x +=⋅-，2x ≠， 当2x >时，2224x y x +=-，即22(1)3x y -+=-（舍去）；当2x <时，2242x y x +=-，即22(1)5x y ++=，故动点P 的轨迹方程为22(1)5x y ++=.（2）因为动点P 的轨迹方程为22(1)5x y ++=，所以1x ⎡⎤∈⎣⎦，则(2)2OP PN x x -=-=+，令()2f x x =+，则()1f x '=因为当1x ⎡⎤∈⎣⎦时()0f x '>，所以)max ()121134f x f===+=，故OP PN -的最大值为4. 【点睛】关键点点睛：本题考查动点的轨迹方程的求法以及利用导函数求最值，考查等比中项的性质的应用，利用导函数求最值时，可先通过导函数求出函数单调性，然后根据函数单调性求出最值，考查计算能力，体现了综合性，是中档题.22．（1）（i ）8；（ii ）()()()(),4323,422,4121,4n a n k n a n k a a n k n a n k ⎧=-⎪+-=-⎪=⎨-=-⎪⎪--=⎩；（2）证明见解析. 【分析】（1）（i ）推导出当n 为正偶数时，24n n a a n ++=，可得出+4248n n a a n ++=+，两式作差可得出结论成立；（ii ）推导出当n 为正奇数时，4n n a a +=，求出2a 、3a 、4a ，对任意的k *∈N ，分43n k =-，42n k =-，41n k =-，4n k =四种情况讨论，结合等差数列的通项公式以及周期数列的定义可求得数列{}n a 的通项公式；（2）计算出4342414n n n n a a a a ---+++，可求得2482n S n n =+，利用放缩法得出4111142121n S n n ⎛⎫<- ⎪-+⎝⎭，结合裂项相消法可证得所证不等式成立. 【详解】（1）（i ）当n 为正偶数时，121n n a a n ++=-，2121n n a a n ++-=+， 两式相加得24n n a a n ++=，① 可得+4248n n a a n ++=+，② ②-①得48n n a a +-=；（ii ）当n 为正奇数时，121n n a a n +-=-，2121n n a a n +++=+， 两式作差得22n n a a ++=，所以，422n n a a +++=， 上述两个等式作差得4n n a a +=， 又211a a -=，则2111a a a =+=+，323a a +=，则3232a a a =-=-， 435a a -=，则4357a a a =+=-.对任意的k *∈N ，当43n k =-，则1n a a a ==； 当42n k =-时，()()()422811818722723n k a a a k a k a k a n a n -==+-=++-=+-=++-=+-；当41n k =-时，32n a a a ==-；当4n k =时，()()44817818121n k a a a k a k k a n a ==+-=-+-=--=--.综上所述，()()()(),4323,422,4121,4n a n k n a n k a a n k n a n k ⎧=-⎪+-=-⎪=⎨-=-⎪⎪--=⎩； （2）()434241424232241166n n n n a a a a a n a a n a n ---+++=+-+-+-+⨯--=-，()2410166822n n n S n n +-∴==+，()()2241111114212124241n S n n n n n ⎛⎫∴=<=- ⎪-++-⎝⎭， 所以，48411111111111111433521214214n S S S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】方法点睛：证明数列不等式常用放缩法，常用的放缩公式如下： （1）()()21111211n n n n n n<=-≥--； （2）()()()211111211211n n n n n n ⎛⎫<=-≥ ⎪-+-+⎝⎭； （3）()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-； （4()22n =<=≥. 23．（1）22n a n =-，(1)n b n n =+；（2）证明见解析.【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出公差d 可得n a ，根据等差数列的求和公式可得n S ，根据n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列可得(1)n b n n =+；（2）将n c 放大后再裂项，利用裂项求和方法求解可证不等式成立.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得31413124333a a d a a d S a d =+=⎧⎨=+==+⎩，解得102a d =⎧⎨=⎩， 从而22n a n =-，2(1)(1)2n n n S n n -==-. 因为n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列所以()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++，从而()211222n n n n n n n n S S b S S b S S +++++=++， 所以2221221(1)(1)(1)(2)2(1)(1)2(1)(1)(2)2(1)2n n n nn n n S S Sn n n n n n n n b n nS S S n n nn n n ++++-+--+++====++--+++-+. （2）证明：因为n c ===<=， 所以122(10211)2n c c c n n n +++<-+-++--=【点睛】关键点点睛：将n c 放大后再裂项，利用裂项求和方法求解是解题关键.24．（1）2n a n =，2n n b =；（2）①存在，5k =；②{}1,2,3,4.【分析】（1）由等差数列以及等比数列的性质以及通项公式得出答案；（2）①11k k k b T T ++-=结合数列{}n b 的通项公式得出k 的值；②由()1n S n n =+将不等式化为()210n n n -+≤，令()()21nf n n n =-+并得出其单调性，再由单调性确定解集. 【详解】（1）因为等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，所以510a =. 设等差数列{}n a 的公差是d ，所以51251a a d -==- 所以()112n a a n d n =+-=.设等比数列{}n b 的公比是q ，因为2316b b a =所以2331432b q q ==，所以2q ，所以112n n n b b q -==. （2）①若存在正整数k ，使得132k k k T T b +=++成立，则132k k b b +=+ 所以12232k k +=+，即232k =，解得5k =.存在正整数5k =满足条件.②()()112n n n a a S n n +==+ 所以()12n n n +≥，即()210n n n -+≤令()()21nf n n n =-+， 因为()()()()()()11121221221n n n f n f n n n n n n +-⎡⎤+-=-++-++=-+⎣⎦ 所以当4n ≥时，(){}f n 单调递增.又()()210f f -<，()()320f f -<，()()430f f -=所以()()()()()1234f f f f f n >>=<<<因为()10f =，()44f =-，()52f =，所以1n =，2，3，4时，()0f n ≤，5n ≥时，()0f n >，所以不等式n n S b ≥，的解集为{}1,2,3,4.【点睛】解决本题的关键是构造新函数，通过作出确定函数的单调性，从而求得()0f n ≤的解集. 25．证明见解析.【分析】由定义法分别结合n a 和n S 的关系分别证明充分性和必要性成立即可.【详解】当n ＝1时，S 1＝32－t ＝9－t ，当n ≥2时，由S n ＝3n +1－t 得S n -1＝3n －t ，两式相减得a n ＝3n +1－3n ＝2·3n （n ≥2）， （1）充分性已知t ＝3，此时S 1＝32－t ＝9－3＝6，令n ＝1，得a 1＝2·31＝6＝S 1，所以a n ＝2·3n （n ∈N *） 所以13n na a +=，所以数列{a n }是等比数列． （2）必要性因为数列{a n }是等比数列，所以a 1＝2·31＝6， 又因为S 1＝9－t ，所以9－t ＝6，所以t ＝3，综上所述：数列{a n }是等比数列的充要条件为t ＝3．【点睛】关键点睛：本题考查等比数列的判断和证明，解题的关键是利用n a 和n S 的关系得出()232n n a n =⋅≥，再根据充分必要的定义证明.26．（1）证明见解析，13-=n n a ；（2）()11316164n n n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）首先根据131n n S S +=+，131n n S S -=+两式相减得()132n n a a n +=≥，即可得到n a 的通项公式.（2）首先求出()13n n b n -=⋅-，再利用错位相减法求前n 项和n T 即可. 【详解】（1）证明：由131n n S S +=+，当2n ≥时，131n n S S -=+，两式相减得()132n n a a n +=≥，当1n =时，2131S S =+即12131a a a +=+，∴23a =，∴213a a =，∴1n ≥时都有13n n a a +=，∴数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，∴13-=n n a ．（2）解：()()1113n n n n b na n --=-⋅=⋅-， ∴()()()()()122112333133n n n T n n --=+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-， ()()()()()12131323133n n n T n n --=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-， ∴()()()()111413333n n n T n -=+-+-+⋅⋅⋅+--⋅-，∴()()()131********nn n n T n n --⎛⎫=-⋅-=-+⋅- ⎪+⎝⎭∴()11316164n n n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的求和，常见的数列求和方法如下：公式法：直接利用等差、等比数列的求和公式计算即可；分组求和法：把需要求和的数列分成熟悉的数列，再求和即可；裂项求和法：通过把数列的通项公式拆成两项之差，再求和即可；错位相减法：当数列的通项公式由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成时，可使用此方法求和.。

一、选择题1．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若202020210,0S S <>，则下列判断错误的是（ ）A ．数列{}n a 单调递增B ．10100a <C ．数列{}n a 前2020项最小D ．10110a >2．已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且点1(,)()n n P a a n N *+∈在直线10x y -+=上，则12320191111S S S S ++++=（ ）A ．20192020 B ．20191010 C ．20194040D ．201920202⨯ 3．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*21n n n S a a n =+∈N ，且0n S >，记数列{}2nn a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．114．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则81ii a==∑（ ） A ．376B ．382C ．749D ．7665．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4aD ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a6．数列{}n a 是等差数列，51260a a =>，数列{}n b 满足123n n n n b a a a +++=，*n N ∈，设n S 为{}n b 的前n 项和，则当n S 取得最大值时，n 的值等于（ ）A ．9B ．10C ．11D ．127．已知数列{}n a是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，则3948tan1b b a a +-⋅的值是（ ）A ．B ．1-C ．-D8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则66(S a = ) A ．6332B ．3116C ．12364 D ．1271289．已知数列{}n a 是等比数列，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是（ ） A．(B ．()1,4C ．()1,2D ．()1,+∞10．已知等比数列{}n a 的前n 项和()232nn S λλ=+-⋅（λ为常数），则λ=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．211．已知等差数列{}n a 中，50a >，470a a +<则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，334S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0,1B ．[]1,0-C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题13．已知数列{}n a 为等差数列，1351a a a ++=，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，若当且仅当20n =时，n S 取到最大值，则246a a a ++的取值范围是________14．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则21f f =______． 15．已知{}{},n n a b 均为等差数列，其前n 项和分别为,n n S T ，且233n n S n T n -=+，则55a b ＝________.16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足212n n n a a S +=，且0n a >，则64S =____．17．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足318S =，3180n S -=，270n S =，则n =________.18．设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且()221110n n n n n a na a a +++-+⋅=，则它的通项公式n a =______.19．有一个数阵排列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 …… 2 4 6 8 10 12 14…… 4 8 12 16 20…… 8 16 24 32…… 16 32 48 64…… 32 64 96…… 64……则第9行从左至右第3个数字为________________.20．设数列{}n a 满足15a =，且对任意正整数n ，总有()()13344n n n a a a +++=+成立，则数列{}n a 的前2020项和为______.三、解答题21．设数列{}n a 满足12a =，12nn n a a +-=；数列{}n b 前n 项和为n S ，且()2132n S n n =-． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．22．已知数列{}n a 的前n 项和*41,()3nn n S S n N -=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n b =n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .23．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知520S =，23a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的通项公式2nn b =，将数列{}n a 中与{}n b 的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列{}n c ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2020T .24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =.数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记n c =*n N ∈，证明：12n c c c +++<.25．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且126a a +=，123a a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 通项公式为21n b n =+，求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 26．设n S .是数列{}n a 的前n 项和，()2n S k n n n N =⋅+∈，其中k 是常数.（1）求1a 及n a 的值； （2）当k =2时，求证：12n 1112...3S S S +++<； （3）设0k >，记21n nb a =，求证：当2n ≥时，23411...14(1)n n b b b b n k k -<++++<-++.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】结合等差数列的求和公式及等差数列的性质可得101010110,0a a <>，从而可求出公差的符号，进而可确定单调性，进而可确定和最小问题. 【详解】因为202020210,0S S <>，即()()12021202012020210,02022a a a a ++<>，所以12020120210,0a a a a +<+>.因为10101011120201011120210,20,a a a a a a a +=+<=+> 所以101010110,0a a <>，所以101110100d a a =->，所以数列{}n a 是单调递增数列， 前1010项和最小，所以C 错误. 故选:C . 【点睛】 关键点睛：本题的关键是由等差数列的求和公式对已知条件进行变形，整理出12020120210,0a a a a +<+>，再结合等差数列的性质求出101010110,0a a <>，确定公差后即可确定单调性及最值问题.2．B解析：B 【分析】由点在直线上得到数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，根据公式特征利用裂项相消可得答案. 【详解】点1(,)()n n P a a n N *+∈在直线10x y -+=上，所以11n n a a +=+，即1=1n n a a +-所以{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列，即=n a n ，(1)=2n n nS +， 所以1211=2(1)1n S n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 123201911111111112121223201920202020S S S S ⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20191010=. 故选：B. 【点睛】 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，注意通项“分裂成两项差”的形式之后是不是还有系数.3．B解析：B 【分析】由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1122n n T n +=-⋅+，即可得解.【详解】由题意，()()*21n n n S a a n N=+∈，当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+， 当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以n a n =，所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()()234111212222222212212n nn n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--，所以()1122n n T n +=-⋅+，所以876221538T =⨯+=，987223586T =⨯+=，所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用.4．C解析：C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式，求解81i i a =∑即可【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，8712818123(122)2831612i iaa a a =-=++=⨯+++-⨯=⨯--∑83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题5．C解析：C 【分析】令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2+12n b n =，从而可得12+n a n n =，作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<<，由此可得选项. 【详解】令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-， 所以累加得()()213+2113++122nn n b n --==，所以2+1212+n nb n an n n n===，所以()()()()+13+41212+1+++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， 所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，故选：C. 【点睛】本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.6．D解析：D 【分析】由51260a a =>，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断,n n a b 的正负，再利用通项与前n 项和关系求解.【详解】设数列{}n a 的公差为d ， 因为51260a a =>，所以()1104116a a d d +=>+，即1625a d =-， 因为512a a >， 所以0d <，所以167(1)5n a n d n d a ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭， 当113n ≤≤时，0n a >，当14n ≥时，0n a <， 所以12101314...0...b b b b b >>>>>>>， 又因为()111213141215131405db b a a a a a a +=+=>， 所以1210S S >，故n S 中12S 最大 ， 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及数列前n 项和的最值问题，还考查逻辑推理的能力，属于中档题.7．A解析：A 【分析】由等比数列和等差数的性质先求出39b b +和48a a ⋅的值，从而可求出3948tan1b b a a +-⋅的值【详解】解：因为数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，所以36a =-，637b π=，所以6a =673b π=， 所以3961423b b b π+==，24863a a a ⋅==，所以39481473tan tan tan()tan(2)tan 113333b b a a πππππ+==-=-+=-=-⋅-，故选：A 【点睛】此题考查等差数列和等比数列的性质的应用，考查三角函数求值，属于中档题8．A解析：A 【分析】利用数列递推关系：1n =时，1121a a =-，解得1a ；2n 时，1n n n a S S -=-．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】21n n S a =-，1n ∴=时，1121a a =-，解得11a =；2n 时，1121(21)n n n n n a S S a a --=-=---，化为：12n n a a -=．∴数列{}n a 是等比数列，公比为2．56232a ∴==，66216321S -==-．则666332S a =． 故选：A ． 【点睛】本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．9．A解析：A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，可知10q -<<或01q <<，计算出111lim 1n n a S q a →∞==-，可得出q 关于1a 的表达式，结合q 的范围，可解出1a 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于11lim n n S a →∞=，则10q -<<或01q <<， ()111n n a q S q-=-，则()11111lim lim11n n n n a q a S qq a →∞→∞-===--，得211q a =-. ①若10q -<<，则21110a -<-<，即2112a <<，11a >，解得1a <<； ②当01q <<，则21011a <-<，得2101a <<，11a >，则2101a <<不成立.综上所述，1a的取值范围是(. 故选A. 【点睛】本题考查利用极限求等比数列首项的取值范围，解题的关键就是得出公比与首项的关系，结合公比的取值范围得出关于首项的不等式，考查运算求解能力，属于中等题.10．C解析：C 【分析】分别求出等比数列的前三项，利用等比数列的性质能求出入的值. 【详解】∵等比数列{}n a 的前n 项和()232nn S λλ=+-⋅（λ为常数），∴()1123246a S λλλ==+-⨯=-，()()222123223226a S S λλλλλ=-=+-⋅-+-⋅=-⎡⎤⎣⎦()()32332232232412a S S λλλλλ⎡⎤=-=+-⋅-+-⋅=-⎣⎦，123,,a a a 成等比数列，∴()()()22646412λλλ-=--，解得1λ=或3λ= ∵3λ=时，2n S λ=是常数，不成立，故舍去3λ=.1λ∴=故选：C 【点睛】本题主要考查等比数列的性质等基础知识，求和公式与通项的关系，考查运算求解能力，属于中档题．11．B解析：B 【分析】根据50a >和470a a +<判断出数列的单调性，根据数列的单调性确定出n S 的最大值. 【详解】因为470a a +<，所以560a a +<，又因为50a >，所以60a <， 因为{}n a 为等差数列，所以650d a a =-<，所以{}n a 为单调递减数列， 所以n S 的最大值为5S ， 故选：B. 【点睛】本题考查根据等差数列的单调性求解前n 项和的最大值，难度一般.求解等差数列前n 项和的最值，关键是分析等差数列的单调性，借助单调性可说明n S 有最大值还是最小值并且求解出对应结果.12．D解析：D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由1220a a +=，334S =，列方程求出1,a q ，进而可求出n S ，列不等式组可求出a 的取值范围【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为1220a a +=，334S =， 所以121(12)03(1)4a q a q q +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得111,2a q ==-， 所以11()212[1()]1321()2nn n S --==----， 所以当1n =时，n S 取得最大值，当2n =时，n S 取得最小值12， 所以1221a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，解得112a -≤≤， 故选：D 【点睛】此题考查等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题13．【分析】由条件可得当时取到最大值则得到的范围由可得答案【详解】由得即当且仅当时取到最大值则则即得到由可得故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的基本性质的应用解答本题的关键是当且仅当时取到最大解析：1617,1718⎛⎫⎪⎝⎭【分析】 由条件可得31,3a =当20n =时，n S 取到最大值，则202100a a >⎧⎨<⎩得到d 的范围，由24613a a a d ++=+可得答案.【详解】由1351a a a ++=，得331,a =即31,3a =24643333,a a a a a d ++==+当且仅当20n =时，n S 取到最大值，则20210a a >⎧⎨<⎩则203213170180a a d a a d =+>⎧⎨=+<⎩，即20211170311803a d a d ⎧=+>⎪⎪⎨⎪=+<⎪⎩，得到11,5154d ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ 2464333313a a a a a d d ++==+=+由11,5154d ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，可得1617131718d <+<故答案为：1617,1718⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的基本性质的应用，解答本题的关键是当且仅当20n =时，n S 取到最大值，则202100a a >⎧⎨<⎩，从而得出11,5154d ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，属于中档题. 14．【分析】将每个音的频率看作等比数列利用等比数列知识可求得结果【详解】由题知：一个八度13个音且相邻两个音之间的频率之比相等可以将每个音的频率看作等比数列一共13项且最后一个音是最初那个音的频率的2倍 解析：132【分析】将每个音的频率看作等比数列{}n a ，利用等比数列知识可求得结果. 【详解】由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，∴可以将每个音的频率看作等比数列{}n a ，一共13项，且1nn a q a -=， 最后一个音是最初那个音的频率的2倍，1312a a ∴=，12121122a q a q =⇒=，()1164122113321312f a a q q q f a a q ∴=====，12312ff ∴=． 故答案为：132【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键.15．【分析】根据等差数列的前n 项和公式有结合已知条件令即可得进而求【详解】∵均为等差数列令公差分别为则有∴令则有∴故答案为：【点睛】思路点睛：利用等差数列的前n 项和公式结合等差数列通项公式的特点合理假设解析：54【分析】根据等差数列的前n 项和公式有11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+，结合已知条件，令122,1d d ==即可得11,a b ，进而求55a b . 【详解】∵{}{},n n a b 均为等差数列，令公差分别为12,d d ，则有11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+， ∴11121222323n n S nd a d n T nd b d n +--==+-+，令122,1d d ==，则有111,22a b =-=， ∴5115124544a a db b d +==+， 故答案为：54【点睛】思路点睛：利用等差数列的前n 项和公式，结合等差数列通项公式的特点合理假设即可得到数列的基本量11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+，则有11121222n n S nd a d T nd b d +-=+-.结合已知233n n S n T n -=+，假设122,1d d ==，即可求11,a b . 16．8【分析】由与的关系化简结合等差数列的定义得出数列是等差数列进而求出【详解】当时当时由题意可知整理得所以数列是以为首项为公差的等差数列则故答案为：【点睛】解决本题的关键是由与的关系对化简结合等差数列解析：8 【分析】由n S 与n a 的关系化简212n n n a a S +=，结合等差数列的定义得出数列{}2n S 是等差数列，进而求出2n S n =，【详解】当1n =时，111S a ==当2n ≥时，由题意可知()()21112n n n n n S S S S S ---+=-，整理得2211n n S S --=所以数列{}2n S 是以1为首项，1为公差的等差数列，则2n S n =64264S ∴=，0n a >，648S ∴=故答案为：8 【点睛】解决本题的关键是由n S 与n a 的关系对212n n n a a S +=化简，结合等差数列的定义进行求解.17．15【分析】根据等差数列的前项和与等差数列的性质求解【详解】因为所以又所以故解得故答案为：15【点睛】本题考查等差数列的前项和等差数列的性质利用等差数列的性质求解可以减少计算量解析：15 【分析】根据等差数列的前n 项和与等差数列的性质求解， 【详解】因为32318S a ==，所以26a =，又2311390n n n n n n a a S S a a ----=++-==， 所以130n a -=.故()()12127022n n n n a a n a a S -++===，解得15n =. 故答案为：15． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，等差数列的性质，利用等差数列的性质求解可以减少计算量．18．【分析】由条件有由数列为正项数列即得然后利用累乘法可求出数列的通项公式【详解】由则又数列为正项数列即所以即所以故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列的通项公式考查累乘法属于中档题解析：1n【分析】由条件有()()1110n n n n n a na a a ++⎡⎤+-+=⎣⎦，由数列{}n a 为正项数列，即得()101n n n a na ++-=，然后利用累乘法可求出数列的通项公式.【详解】由()221110n n n n n a na a a +++-+⋅=，则()()1110n n n n n a na a a ++⎡⎤+-+=⎣⎦又数列{}n a 为正项数列，即0n a >，11a = 所以()101n n n a na ++-=，即11n n a a nn +=+ 所以1211211211112n n n n n a a a n n a a a a a n n n-----=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=- 故答案为：1n【点睛】本题考查由递推关系求数列的通项公式，考查累乘法，属于中档题.19．768【分析】数阵排列第一列是首项为1公比为2的等比数列可求出第9行首项；每行按公差为排列可解【详解】数阵排列第一列是首项为1公比为2的等比数列所以第9行首项为第9行公差为所以第9行从左至右第3个数解析：768 【分析】数阵排列第一列是首项为1，公比为2的等比数列，可求出第9行首项；每行按公差为12n - 排列,可解【详解】数阵排列第一列是首项为1，公比为2的等比数列12n n a所以第9行首项为82=256，第9行公差为82=256， 所以第9行从左至右第3个数字为768 故答案为：768 【点睛】本题考查等差数列、等比数列基本量运算及学生观察分析能力.解决等差、等比数列基本量计算问题利用方程的思想.等差、等比数列中有五个量一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量.20．【分析】由递推关系可求出的值由可知数列是以4为周期的数列进而可得【详解】由可得因为所以同理可得所以数列是以4为周期的数列且所以故答案为：【点睛】本题考查数列求和考查周期数列的性质考查学生的计算求解能 解析：25253-【分析】由递推关系，可求出2345,,,a a a a 的值，由15a a =，可知数列{}n a 是以4为周期的数列，进而可得()20201234505S a a a a =+++. 【详解】由()()13344n n n a a a +++=+，可得1445333n n n n n a a a a a ++-=-=++， 因为15a =，所以255053a -==+，同理可得353a =-，45a =-，55a =，所以数列{}n a 是以4为周期的数列，且123453a a a a +++=-，所以20205252550533S =-⨯=-. 故答案为：25253-. 【点睛】本题考查数列求和，考查周期数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.三、解答题21．（1）()*2n n a n N =∈，()*32n b n n N =-∈；（2）()110352n n T n +=+-⋅．【分析】（1）由12nn n a a +-=，得到()1122n n n a a n ---=≥，再利用累加法求解；根据()2132n S n n =-，利用通项和前n 项的的关系11,1,2nnn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解. （2）由（1）得()322nn n n c a b n ==⋅-，然后利用错位相减法求和. 【详解】 （1）12n n n a a +-=，()1122n n n a a n --∴-=≥， ()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+122222n n --=++++()()121222212n n n --=+=≥-，又12a =满足上式，()*2n n a n N ∴=∈．数列{}n b 中()2132n S n n =-， ∴当2n ≥时，()()()2211133113222n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦， 又当1n =时，111b S ==，满足上式．()*32n b n n ∴=-∈N ．（2）由（1）得()322nn n n c a b n ==⋅-，()()211242352322n n n T n n -∴=⨯+⨯++-⋅+-⋅①， ()()23121242352322n n n T n n +∴=⨯+⨯++-⋅+-⋅②，①-②得()()23123222322n n n T n +-=++++--⋅()()2112122332212n n n -+-=+⨯--⋅-()110532n n +=-+-⋅， ()110352n n T n +∴=+-⋅．【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 22．（1）14n n a -=；（2）11643994n n -+-⨯. 【分析】（1）2n 时，1n n n a S S -=-，1n =时，111a S ==.即可得出n a . （2）22log 2n n b log n ===，14n n n b na -=.利用错位相减法即可得出. 【详解】解：（1）2n 时，1114141433n n n n n n a S S -----=-=-=，1n =时，111a S ==.综上可得：14n n a -=.（2）22log 2n n b log n ===，∴14n n n b na -=. ∴数列n nb a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和21231444n n nT -=+++⋯⋯+.21112144444n n n n nT --=++⋯⋯++， 相减可得：2111311141144444414n nn n nn n T --=+++⋯⋯+-=--. 11643994n n n T -+∴=-⨯.【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.根据和求通项时，一定要注意1n =时的检验，利用错位相减求和法时，运算容易出错，一定要仔细准确运算，注意检查，必要时用10110,b T T a ==检验一下.23．（Ⅰ）1n a n =+；（Ⅱ）20202061449T =. 【分析】（Ⅰ）根据条件求等差数列的首项和公差，再求通项公式；（Ⅱ）首先求两个数列中的相同项，设数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ，根据公式2020203010T A B =-，求解.【详解】（Ⅰ）依题意，()155355202a a S a+⨯===，解得：34a =，又23a =，故1d =，12a =， 所以1(1)1n a a n d n =+-⋅=+.（Ⅱ）令数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ，由（Ⅰ）可知11a b =，32a b =，73a b =，154a b =，…，102310a b =，204711a b =， 所以2020203010T A B =-，2030(22031)203020634952A +⨯==，()1010212204612B -==-，故20202061449T =. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的综合应用，本题的第二问的关键是找到有多少项相同，以及相同项是什么，然后根据公式2020203010T A B =-求解. 24．（1）22n a n =-，(1)n b n n =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出公差d 可得n a ，根据等差数列的求和公式可得n S ，根据n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列可得(1)n b n n =+； （2）将n c 放大后再裂项，利用裂项求和方法求解可证不等式成立. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意得31413124333a a d a a d S a d=+=⎧⎨=+==+⎩，解得102a d =⎧⎨=⎩，从而22n a n =-，2(1)(1)2n n nS n n -==-. 因为n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列 所以()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++， 从而()211222n n n n n n n n S S b S S b S S +++++=++，所以2221221(1)(1)(1)(2)2(1)(1)2(1)(1)(2)2(1)2n n n n n n n S S S n n n n n n n n b n n S S S n n n n n n ++++-+--+++====++--+++-+. （2）证明：因为nc===<=，所以122(10211)2nc c c n n n+++<-+-++--=【点睛】关键点点睛：将nc放大后再裂项，利用裂项求和方法求解是解题关键.25．（1）2nna=；（2）2552n nnT+=-.【分析】（1）设{}n a的公比为q，利用基本量运算求出公比，可得数列{}n a的通项公式；（2）利用错位相减法计算出数列nnba⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和nT．【详解】（1）设{}n a的公比为q，由题意知：()116a q+=，2211a q a q=.又0na>，解得12a=，2q，所以2nna=.（2）21nb n=+.令nnnbca=，则212n nnc+=，因此12231357212122222n n n nn nT c c c--+=+++=+++++，又234113572121222222n n nn nT+-+=+++++，两式相减得121111 13111213121525122222222222 n n n n nnn n nT--++++++⎛⎫⎛⎫=++++-=+--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2552n nnT+=-.【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下：公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．26．（1）1121na k a kn k=+=-+；；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）由数列n a 与n S 的关系运算即可得解； （2）转化条件得12(21)(21)n S n n <-+，由裂项相消法即可得证； （3）通过放缩可得1n b >、111114n n n b k a a -⎛⎫<+-⎪⎝⎭，结合裂项相消法即可得证. 【详解】（1）1n =时， 111a S k ==+，2n ≥时，221[(1)(1)]21n n n a S S k n n k n n kn k -=-=⋅+-⋅-+-=-+，又11a k =+也满足21n a kn k =-+， 11,21n a k a kn k ∴=+=-+；（2）证明：当 2k =时， 22n S n n =+112211(21)2(21)(21)(21)2121n S n n n n n n n n ∴==<=-++-+-+ 2n ∴≥时，12311111111111335572121n S S S S n n ⎛⎫++++<+-+-++- ⎪-+⎝⎭2123213n =-<+； 显然1n =时，111233S =<成立； 123111123n S SS S ∴++++<； （3）证明：当0k >时，1n a >，2411n n a a ∴>， 2222111111n n n n n b a a a a ⎛⎫∴=>=+-= ⎪⎝⎭ 231n b b b n ∴+++>-；又当2n ≥时，22221131111111111112224nn n n n n n n n a b a a a a a k a a --++⎛⎫=<-=+<+=+- ⎪⎝⎭， 2312231111111114n n n b b b n k a a a a a a -⎛⎫∴+++<-+-+-++- ⎪⎝⎭111111111144(1)44(1)n n n n n k a a k k k a k k ⎛⎫=-+-=-+-<-+ ⎪+⋅+⎝⎭， 综上所述，当2n ≥时，()2311141n n b b b n k k -<+++<-++. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对数列进行合理放缩，细心计算即可得解.。

《数列》单元练习试题一、选择题1．已知数列}{n a 的通项公式432--=n n a n （∈n N *），则4a 等于（ ）(A ）1 (B ）2 （C)3 (D ）02．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( ）(A)它的首项是2-，公差是3 （B ）它的首项是2，公差是3-（C ）它的首项是3-，公差是2 （D ）它的首项是3，公差是2-3．设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ,则=24a S （ ） （A ）2 （B ）4 （C ）215 （D ）217 4．设数列{}n a 是等差数列，且62-=a ，68=a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则( ）（A ）54S S < (B ）54S S = (C ）56S S < (D ）56S S =5．已知数列}{n a 满足01=a ，1331+-=+n n n a a a （∈n N *),则=20a （ ）(A)0 （B ）3- (C ）3 （D ）23 6．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为（ ）（A ）130 （B)170 （C ）210 （D ）2607．已知1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等比数列，公比1≠q ，则（ ）（A ）5481a a a a +>+ （B ）5481a a a a +<+(C ）5481a a a a +=+ （D)81a a +和54a a +的大小关系不能由已知条件确定8．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项9．设}{n a 是由正数组成的等比数列,公比2=q ，且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a ，那么30963a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于（ ）(A ）210 （B ）220 （C ）216 (D ）21510．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…,由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地,称图2中的1，4，9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ )（A ）289 (B ）1024 （C ）1225 (D ）1378二、填空题11．已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且1a ，3a ,9a 成等比数列,则1042931a a a a a a ++++的值是 ． 12．等比数列}{n a 的公比0>q ．已知12=a ，n n n a a a 612=+++，则}{n a 的前4项和=4S ．13．在通常情况下,从地面到10km 高空,高度每增加1km ，气温就下降某一固定值．如果1km高度的气温是8.5℃，5km 高度的气温是－17。

一、选择题1．若数列{}n a 满足12a =，23a =，12n n n a a a --=（3n ≥且*N n ∈），则2018a 等于（ ） A ．12B ．2C ．3D ．232．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.问：齐去长安多少里？（ ） A ．1125B ．1250C ．2250D ．25003．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n a S +=，若(0,2020)n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为（ ） A ．1111433⨯- B ．1211433⨯- C ．1012433⨯+D ．1112433⨯+4．已知数列{}n b 满足12122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（ ）A ．101,3B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(-1，1)D ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭5．数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．3λB ．4λC ．23λ D ．34λ6．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4aD ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a 7．已知函数()()633,7,,7.x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩令()()n a f n n *=∈N 得数列{}n a ，若数列{}n a 为递增数列，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,3B ．()2,3C ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1210,a a =为整数，且4n S S ≤，设11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前项和n T 为（ ） A ．310(103)nn -B ．10(103)nn -C ．103nn-D ．10(133)nn -9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则66(S a = ) A ．6332B ．3116C ．12364 D ．12712810．在等差数列{}n a 中，若12336a a a ++=，11121384a a a ++=，则59a a +=（ ） A ．30B ．35C ．40D ．4511．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =.数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，则m 能取到的最小整数为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．212．定义12...nnp p p +++为n 个正数12,,......n p p p 的“均倒数”，若已知正整数数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231920111b b b b b b +++=（ ） A ．1920 B ．120C ．1011 D ．111二、填空题13．在数列{}n a 中，若121,(1)2nn n a a a +=+-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则100S =__________.14．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足318S =，3180n S -=，270n S =，则n =________.15．已知数列{}n a 的前n 项和2231n S n n =-+，则n a =__________．16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，149S S =，则满足0n S >的最大自然数n 的值为_____________.17．已知数列{}n a 中，11a =，()132,n n a a n n N *-=+≥∈，数列{}n b 满足11n n n b a a +=，*n N ∈，则()12lim n n b b b →∞++⋅⋅⋅+=________.18．等比数列{}n a 中，11a =，且2436a a a +=，则5a =________. 19．已知函数()31xf x x =+，对于数列{}n a 有()1n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），如果11a =，那么n a =______.20．数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，()()*1n n n n a a a n N+-=∈，且3aπ=，则4tan S 等于______.三、解答题21．设等差数列}{n a 的公差为0d >，n *∈N .且满足3616a a +=，4563a a ⋅=. （1）求数列}{n a 的通项公式. （2）记数列11n n n b a a +=，求}{n b 的前n 项和n T . 22．已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数1x ，2x 都有()()()12121f x x f x f x +=++，且()11f =.（1）若对任意正整数n ，有112n n a f ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求{}n a 的通项公式； （2）若31n b n =+，求数列{}n n a b 前n 项和n S . 23．在数列{}n a 中，已知114a =，(),m t m t a a a m t +++=⋅∈∈N N ，1423log n nb a +=，（n ∈+N ）（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，求{}n c 的前n 项和n S ． 24．设数列{}n a 满足10a =且112n n a a +=-，n *∈N .记11n nb a =-，n *∈N .（1）求证：数列{}n b 为等差数列；（2）设32nna n c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求满足不等式12312311113n n c c c c c c c c ⎛⎫++++>++++ ⎪⎝⎭的正整数n 的集合.25．已知正项数列{}n a 满足2220n n a na n --=，数列(){}12n nn aa -⋅+的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S ．26．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且126a a +=，123a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 通项公式为21n b n =+，求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先由题设求得数列{}n a 的前几项，然后得到数列{}n a 的周期，进而求得结果. 【详解】因为12a =，23a =，12n n n a a a --=（3n ≥且*N n ∈）， 所以23132a a a ==，34231232a a a ===， 453112332a a a ===， 564123132a a a ===，67523213a a a ===，7862323a a a ===，，所以数列{}n a 是周期为6的周期数列， 所以20183366223a a a ⨯+===， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的前两项以及递推公式，逐项写出数列的前几项； （2）根据规律判断出数列的周期；（3）根据所求的数列的周期，求得20182a a =，进而求得结果.2．A解析：A 【分析】由题意可知，良马每日行的距离{}n a 以及驽马每日行的距离{}n b 均为等差数列，确定这两个数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】由题意可知，良马每日行的距离成等差数列，记为{}n a ，其中1103a =，公差113d =. 驽马每日行的距离成等差数列，记为{}n b ，其中197b =，公差20.5d =-. 设长安至齐为x 里，则1291292a a a b b b x +++++++=，即9813980.521039979225022x ⨯⨯⨯⨯=⨯++⨯-=，解得1125x =. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于得出长安至齐的距离等于良马和驽马九日所行的距离之和的 2倍，并结合题意得知两匹马所行的距离成等差数列，解题时要充分抓住题中信息进行分析，将实际问题转化为数学问题来求解.3．D解析：D 【分析】 当2n ≥时，1nn a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，得到12n n a a +=，求得22,2n n a n -=≥，得到数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由11a =，1n n a S +=，可得1211a S a ===， 当2n ≥时，1nn a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，可得11n n n n n a a S S a +--=-=，即12n n a a +=，即12n na a +=， 则数列{}n a 从第二项起是公比为2的等比数列，即22,2n n a n -=≥，又由(0,2020)n a ∈，即222020n -<，可得13,n n N +<∈，所以“和谐项”共有12项，则数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，可得数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为111110(11244)11416413431-+++++=+=⨯+-.故选：D. 【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.4．A解析：A 【分析】由题1n n b b +>在n *∈N 恒成立，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，讨论n 为奇数和偶数时，再利用数列单调性即可求出. 【详解】数列{}n b 是单调递减数列，1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立，即()122112+1222nn n n λλ-⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭， 当n 为奇数时，则()6212nn λ>-+⋅恒成立，()212n n -+⋅单调递减，1n ∴=时，()212n n -+⋅取得最大值为6-，66λ∴>-，解得1λ>-；当n 为偶数时，则()6212nn λ<+⋅恒成立，()212n n +⋅单调递增，2n ∴=时，()212n n +⋅取得最小值为20，620λ∴<，解得103λ<， 综上，1013λ-<<. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭恒成立，需要讨论n 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方. 5．A解析：A 【分析】将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，转化为271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立，由2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭求解.【详解】依题意得，()24122412n n nT +-==--，∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为22log 2(1)73n n n n λ+-++，即27(1)n n n λ-++.又*n N ∈，∴271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立.只需满足2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭即可.设1n t +=，则*t N ∈，2t ，∴27931n n t n tλ-+=+-+.∵993233t t t t+-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立， ∴2min731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭. ∴3λ，故选：A. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 6．C解析：C 【分析】令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2+12n b n =，从而可得12+n a n n=，作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<<，由此可得选项. 【详解】令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-，所以累加得()()213+2113++122nn n b n --==，所以2+1212+n nb n a n n n n===， 所以()()()()+13+41212+1+++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，故选：C. 【点睛】本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.7．B解析：B 【分析】 由()()633,7,,7.x a x x f x ax -⎧--≤=⎨>⎩，()()n a f n n N *=∈得数列{}n a ，根据数列{}n a 为递增数列，联立方程组，即可求得答案. 【详解】()()633,7,,7.x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩ 令()()n a f n n N *=∈得数列{}n a∴()633,7,7n n a n n a a n -⎧--≤=⎨>⎩()n N *∈且数列{}na 为递增数列，得()230,1,733,a a a a ⎧->⎪>⎨⎪--<⎩解得23a <<. 即：()2,3a ∈ 故选：B. 【点睛】本题主要考查了根据递增数列求参数范围问题，解题关键是掌握递增数列的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】根据已知条件求得{}n a 的通项公式，利用裂项求和法求得n T .依题意等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1210,a a =为整数，且4n S S ≤，所以4151030040a a d a a d ≥+≥⎧⎧⇒⎨⎨<+<⎩⎩，即10301040d d +≥⎧⎨+<⎩，解得10532d -≤<-，由于2a 为整数，1a 为整数，所以d 为整数，所以3d =-.所以()11313n a a n d n =+-=-+. 所以()13113310n a n n +=-++=-+，()()1111113133103310313n n n b a a n n n n +⎛⎫===⨯- ⎪-+-+-+-+⎝⎭， 所以1111111371047310313n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()10310111133101031010310103n n n n n --+⎡⎤=-=⨯=⎢⎥-+--⎣⎦. 故选：B 【点睛】本小题主要考查裂项求和法，属于中档题.9．A解析：A 【分析】利用数列递推关系：1n =时，1121a a =-，解得1a ；2n 时，1n n n a S S -=-．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】21n n S a =-，1n ∴=时，1121a a =-，解得11a =；2n 时，1121(21)n n n n n a S S a a --=-=---，化为：12n n a a -=．∴数列{}n a 是等比数列，公比为2．56232a ∴==，66216321S -==-．则666332S a =． 故选：A ． 【点睛】本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10．C【分析】利用等差数列性质，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝及等差中项公式可求. 【详解】因为 12336a a a ++=，由等差中项公式，得2336a =， 同理11121384a a a ++=，得12384a =，2123+3=81036+42a a ∴=．212+=40a a ∴ 21529+=40a a a a ∴+=故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列性质与等差中项公式.（1）如果{}n a 为等差数列，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝ ()*m n p q N ∈，，，． （2）{}n a 为等差数列，则有11n n n a a a ＝2-++.11．B解析：B 【分析】根据25a =，535S =求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由21n m T +>恒成立求解.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =. 设首项为1a ，公差为d ，所以115545352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，故32(1)21n a n n =+-=+， 所以111111()·(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++， 所以11111111111()()23557212323236n T n n n =-+-+⋯+-=-<+++. 因为对于一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，所以1216+m ，解得512≥-m ， 故m 的最小整数为0.【点睛】本题主要考查数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，还考查了运算和求解的能力，属于中档题.12．A解析：A 【分析】首先根据新定义求得()21n S n n =+，再求数列{}n a 的通项公式，以及求得n b n =，最后利用裂项相消法求和. 【详解】由已知可得数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为1211..21n n n a a a S n ==++++，可得()21n S n n =+，则2n ≥时，()()212111231n S n n n n -=-+-=-+⎡⎤⎣⎦，∴ 141n n n a S S n -=-=-，当1n =时，113a S ==，满足41n a n =-，41n a n ∴=-，又14n n a b +=，故n b n =， 12231920111111 (12231920)b b b b b b ∴+++=+++⨯⨯⨯ 111111191..122319202020⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A 【点睛】本题考查新定义数列的理解，考查裂项相消法求和，以及已知n S 求n a ，属于基础题型，本题的关键是理解新定义.，并能抽象为121n n S n =+. 二、填空题13．【分析】当为奇数时可得数列的奇数项为公差为2的等差数列当为偶数时可得偶数项的特征将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可【详解】∵∴当为奇数时即数列的奇数项为公差为2的等差数列当为偶数时∴∴故答案为： 解析：2550【分析】当n 为奇数时，可得数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，可得偶数项的特征，将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可.∵121,(1)2nn n a a a +=+-=，∴当n 为奇数时，22n n a a +-=，即数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列， 当n 为偶数时，22n n a a ++=， ∴135995049501225002a a a a ⨯++++=⨯+⨯=， ()()()()24681012485022550a a a a a a a a ++++++++=⨯=，∴1002500502550S =+=， 故答案为：2550. 【点睛】 关键点点睛：（1）得到数列{}n a 的奇数项为公差是2的等差数列； （2）得到数列{}n a 的偶数项满足22n n a a ++=.14．15【分析】根据等差数列的前项和与等差数列的性质求解【详解】因为所以又所以故解得故答案为：15【点睛】本题考查等差数列的前项和等差数列的性质利用等差数列的性质求解可以减少计算量解析：15 【分析】根据等差数列的前n 项和与等差数列的性质求解， 【详解】因为32318S a ==，所以26a =，又2311390n n n n n n a a S S a a ----=++-==， 所以130n a -=.故()()12127022n n n n a a n a a S -++===，解得15n =. 故答案为：15． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，等差数列的性质，利用等差数列的性质求解可以减少计算量．15．【解析】分析：当时求得；当时类比写出由求出再将代入检验即可求出答案详解：当时当时由得两式相减将代入上式通项公式为故答案为点睛：本题主要考查已知数列的前项和求数列的通项公式的方法其求解过程分为三步：（解析：0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】分析：当1n =时，求得11a S =；当2n ≥时，类比写出1n S -，由1n n n a S S -=-求出n a ，再将1n =代入n a 检验，即可求出答案.详解：当1n =时，110a S ==当2n ≥时，由2231n S n n =-+，得212(1)3(1)1n S n n -=---+，两式相减，145n n n a S S n -=-=-， 将1n =代入上式，110a =-≠， ∴通项公式为0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩故答案为0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.点睛：本题主要考查已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式的方法.其求解过程分为三步：（1）当1n =时， 11a S =求出1a ；（2）当2n ≥时，用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；（3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．16．22【分析】由等差数列的前项和的公式求解解出､的关系式再求出的临界条件最后得解【详解】解：等差数列的前项和为所以所以其中所以当时解得所以的最大自然数的值为22故答案为：22【点睛】本题应用公式等差数解析：22 【分析】由等差数列{}n a 的前n 项和的公式求解149S S =，解出1a ､d 的关系式，再求出0n S =的临界条件，最后得解. 【详解】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，149S S =，所以()114579a a a +=，1117(13)9(4)a a d a d ++=+，111a d =-， 所以()12n a n d =-，其中10a >，所以0d <，当0n a =时，解得12n =，()2312312232302S a a a =+==， 1222222()1102a a S d +==->， 所以0n S >的最大自然数n 的值为22.故答案为：22． 【点睛】本题应用公式()12n n n a a S +=，等差数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.对数列的公式要灵活应用是快速解题的关键，解出1a ､d 的关系式，再求出0n S =的临界条件，判断满足0n S >的最大自然数n 的值.17．【分析】求出数列的通项公式利用裂项求和法求出利用极限的运算法则可得出所求极限值【详解】且则数列是以为首项以为公差的等差数列所以因此故答案为：【点睛】本题考查数列前项和的极限值的求法是中档题解题时要认解析：13【分析】求出数列{}n a 的通项公式，利用裂项求和法求出12n b b b ++⋅⋅⋅+，利用极限的运算法则可得出所求极限值. 【详解】()132,n n a a n n N *-=+≥∈且11a =，则数列{}n a 是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以，()13132n a n n =+-=-，()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫∴===- ⎪-+-+⎝⎭， 1211111111134473231393n b b b n n n ⎛⎫∴++⋅⋅⋅+=-+-++-=- ⎪-++⎝⎭， 因此，()12111lim lim 3933n n n b b b n →∞→∞⎛⎫++⋅⋅⋅+=-=⎪+⎝⎭. 故答案为：13. 【点睛】本题考查数列前n 项和的极限值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．18．4【分析】在等比数列中将已知转化为首项和公比求得再将其带入通项公式中求得答案【详解】因为所以在等比数列中所以或-3（舍）故故答案为：4【点睛】本题考查等比数列中知三求二由已知转化为首项和公比进而表示解析：4 【分析】在等比数列中，将已知转化为首项和公比求得2q ，再将其带入通项公式中，求得答案. 【详解】因为11a =，所以在等比数列中32422431116a a a a q a q a q q q +=⋅+=+=所以22q =或-3（舍），故425124a a q === 故答案为：4 【点睛】本题考查等比数列中知三求二，由已知转化为首项和公比，进而表示所求问题，属于简单题.19．【分析】由已知条件得出变形为可知数列为等差数列确定该数列的首项和公差求出进而可得出【详解】且（且）在等式两边取倒数得且所以数列是以为首项以为公差的等差数列因此故答案为：【点睛】本题考查利用构造法求数解析：132n - 【分析】由已知条件得出()11231n n n a a n a --=≥+，变形为1113n n a a --=，可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，求出1na ，进而可得出n a .【详解】()31x f x x =+，且()11131n n n n a a f a a ---==+（*n N ∈且2n ≥）， 在等式1131n n n a a a --=+两边取倒数得11113113n n n n a a a a ---+==+，1113n n a a -∴-=且111a ，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以3为公差的等差数列，()113132nn n a ∴=+-=-， 因此，132n a n =-. 故答案为：132n -. 【点睛】本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及等差数列定义的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】将变形为利用累乘法求出数列的通项公式求出的值再利用诱导公式可求出的值【详解】则所以因此故答案为：【点睛】本题考查利用累乘法求数列通项同时也考查了数列求和以及正切值的计算考查计算能力属于中等题【分析】将()1n n n n a a a +-=变形为11n n a n a n++=，利用累乘法求出数列{}n a 的通项公式，求出4S的值，再利用诱导公式可求出4tan S 的值. 【详解】()()*1n n n n a a a n N +-=∈，()11n n na n a +∴=+，11n n a n a n++∴=， 3211112123121n n n a a a na a a na a a a n -∴=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=-，313a a π==，13a π∴=， 则3n a nπ=，所以，424103333S πππππ=+++=，因此，410tan tan tan 3tan 333S ππππ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭， 【点睛】本题考查利用累乘法求数列通项，同时也考查了数列求和以及正切值的计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）21n a n =-，n *∈N ；（2）21nn +. 【分析】（1）根据等差数列性质,结合方程解的定义，可知4a ,5a 是方程216630x x -+=的两根.根据公差0d >，即可求得4a ,5a .进而求得公差d .结合等差数列通项公式求法即可得解. （2）由（1）中所得数列{}n a 的通项公式，代入可得数列{}n b 的通项公式，利用裂项求和法即可得数列{}n b 的前n 项和. 【详解】（1）由364516a a a a +=+=，4563a a ⋅=，则4a ，5a 是方程216630x x -+=的两根，由0d >，则47a =，59a =，则542d a a =-=，则)(4421n a a n d n =+-⋅=-，n *∈N .（2）将21n a n =-代入可得)()(1111221212121n b n n n n ⎛⎫==-⎪-+-+⎭⎝，则1211111111112135721212121n n T b b b n n n ⎛⎛⎫⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-⎪⎪ -++⎭⎭⎝⎝ 11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎭⎝. 【点睛】结论点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法. 22．（1）()*112n n a n -=∈N ；（2）137142n n n S -+=-. 【分析】 （1）令1212x x ==，求出102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而可得11a =，再有112n n a f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求得12n n a a +=，利用等比数列的通项公式即可求解.（2）由1312n n n n a b -+=，利用错位相减法即可求解. 【详解】解：（1）令1212x x ==，则()111122f f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11112a f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. ∵1111111111112221222222n n n n n n n a f f f f a +++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴112n n a a +=，∴{}n a 为以1为首项，12为公比的等比数列，∴()*112n n a n -=∈N . （2）∵1312n n n n a b -+=， ∴21471031S 1222n n n -+=++++①， 由①12⨯，得23147103122222n nn S +=++++②， 由①-②，得21133331422222n n n n S -+=++++- 1131374317222n n n n n -++⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭，∴137142n n n S -+=-.【点睛】关键点点睛：本题考查了函数与数列的综合，解题的关键是根据关系式求出()*112n n a n -=∈N ，考查了计算能力. 23．（1）14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32n b n =-；（2）232334n n n s +=-⨯.【分析】（1）令,m n =1t =，可得数列{}n a 是等比数列，即可求出通项公式，进而求出n b ； （2）利用错位相减法可求出. 【详解】（1）令,m n =1t =，则11n n a a a +=⋅，114n n a a +∴=，114a =，∴数列{}n a 是首项为14，公比为14的等比数列， ∴1111444n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1413log 2324nn b n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；（2）由（Ⅰ）知，14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()*32nb n n N=-∈，则()1324nn c n ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭， ()2311111+4+7++324444nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()234+1111111+4+7++3244444n n S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得()234+13111111+3+3+3++3324444444nn n S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1+1+131116411132+321442414n n n n n -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=--⨯=- ⎪⎝⎭-， 232334n nn S +∴=-⨯． 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 24．（1）证明见解析；（2）{}1,2,3. 【分析】 （1）利用112n na a +=-证明出1n n b b +-是常数，进而可证明出数列{}n b 为等差数列； （2）求得132n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用等比数列的求和公式结合已知条件可得出33291122nn⎛⎫⎛⎫⋅+⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设3322nt ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，可得出不等式221190t t -+<，解出t 的取值范围，由此可得出符合条件的正整数n 的值.【详解】（1）数列{}n a 满足10a =且112n n a a +=-，则211122a a ==-，321223a a ==-， 依次类推可知，对任意的n *∈N ，2n a ≠，()1121111111112111111122n n n n n n n n nn na b b a a a a a a a a ++--∴-=-=-=-==----------， 所以，数列{}n b 是等差数列，且首项为11111b a ==-，公差为1， ()11111n n b n n a ∴==+-⨯=-，解得1n n a n-=； （2）132n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1123n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，11332232nn n n c c +-⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 为等比数列，同理可知，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也为等比数列，则1233132223212nnn c c c c ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++++==⋅- ⎪⎝⎭-，12321111123332313nnn c c c c ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++++==-⋅ ⎪⎝⎭-，由12312311113n n c c c c c c c c ⎛⎫++++>++++ ⎪⎝⎭可得23912232n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅->⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以，32291123nn⎛⎫⎛⎫⋅+⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设32nt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n N *∈，则32t ≥，可得9211t t +<，整理可得221190t t -+<，解得912t <<，即39122n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，n N *∈，所以，正整数n 的集合为{}1,2,3.【点睛】方法点睛：证明等比数列常用以下几种方法： （1）定义法：证明1n n a a +-为常数；（2）等差中项法：对任意的n *∈N ，证明出122n n n a a a ++=+.25．（1）2n a n =；（2）()()123?216n n S n n n +=-+++. 【分析】（1）由已知得()()20n n a n a n -+=且0n a >，即可得通项公式.（2）由（1）有()()122122nnn n a a n n -⋅+=-⋅+，利用分组、错位相减法求n S .【详解】（1）由2220n n a na n --=得()()20n n a n a n -+=，又{}n a 为正项数列，∴2n a n =．（2）由（1）知()()122122nnn n a a n n -⋅+=-⋅+，令n T 为数列(){}212nn -⋅的前n 项和，则()123123252212n nTn =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，∴()23412123252212n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，两式相减，得()123112222222212nn n T n +-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯，所以()()2112212221212n n nT n ++⨯⨯--=+--⨯-，所以()12326n n T n +=-⨯+，令n B 为数列{}2n 的前n 项和，则()()1212n n n B n n +=⨯=+， 所以()()123216n n n n S T B n n n +=+=-⨯+++．【点睛】关键点点睛：（1）由已知方程，将n a 作为未知数求正解，即为数列通项公式.（2）将所得数列分为(){}212n n -⋅、{}2n 两组分别求和，应用错位相减、等差数列前n 项和公式求n S .26．（1）2n n a =；（2）2552n n n T +=-. 【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，利用基本量运算求出公比，可得数列{}n a 的通项公式； （2）利用错位相减法计算出数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，由题意知：()116a q +=，2211a q a q =. 又0n a >，解得12a =，2q，所以2n n a =. （2）21n b n =+.令n n n b c a =，则212n n n c +=， 因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++， 又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++， 两式相减得12111113111213121525122222222222n n n n n n n n n T --++++++⎛⎫⎛⎫=++++-=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以2552n nn T +=-. 【点睛】 方法点睛：本题考查等比数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下： 公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．。

一、选择题1．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N *-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．172．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（ ） A ．23B ．45C ．32D ．543．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若20n n S T λ+>对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．93,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,)-+∞5．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且()*2122n n n a a a n N ++-+=∈，若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]1.61=，[]1.62-=-），则222122018232019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．20216．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若1239a a a ++=，636S =，则12(a = ) A ．23B ．24C ．25D ．268．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（ ）A ．11n + B ．1n n + C ．1n n- D ．11n n -+ 9．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．202211．若a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则p q +的值等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．912．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（ ） A ．2B ．13 C ．12-D ．3-二、填空题13．设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*1111,20,3n n n a a S S n N ++=+=∈，则1223910S S S S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅+=___________.14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记*1,n n n P AP n N θ+∠=∈．若32arctan 9θ=，则点A 的坐标为________．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1sin 12n n a n π+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2018S =______. 16．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 17．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，若111,n n a a a n +=+=，则1916S S -的值为________. 18．设无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，下列有三个条件： ①m n m n a a a +⋅＝； ②S n ＝a n +1+1，a 1≠0；③S n ＝2a n +1p（p 是与n 无关的参数）． 从中选出两个条件，能使数列{a n }为唯一确定的等比数列的条件是______． 19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4873a a a +-=_________． 20．若等差数列{}n a 中，10a <，n S 为前n 项和，713S S =，则当n S 最小时n =________． 三、解答题21．设数列{}n a 满足()121*4n n a n N a +=-∈-，其中11a =. （1）证明：112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （2）令32n n n a b a -=-，设数列(){}21-⋅n n b 的前n 项和为n S ，求使2021n S <成立的最大自然数n 的值.22．设数列{}n a ，{}n b 是公比不相等的两个等比数列，数列{}n c 满足*,n n n c a b n =+∈N ．（1）若2,3nnn n a b ==，是否存在常数k ，使得数列{}1n n c kc +-为等比数列?若存在，求k 的值；若不存在，说明理由；（2）证明：{}n c 不是等比数列．23．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+． （1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．24．已知递增等比数列{}n a 满足：12a =，416a = ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且满足221b a =-，3358b a =，求数列{}n b 的通项公式及前10项的和；25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，______．从①数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列；②22n n S a =-；③122n n S +=-．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21log nn na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++．（1）求这个数列的通项公式； （2）设()11n n n b n a a *+=∈N ，证明：对n *∀∈N ，数列{}n b 的前n 项和524n T <．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出2n S 后，检验141615,,S S S 可得． 【详解】当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，1219102n n a --+=⨯，即1211029n n a --=⨯-，当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，126102n n a -+=⨯，即121026n n a -=⨯-，所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----，714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=， 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ，再检验n 取具体数值的结论．2．B解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果. 【详解】因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==， 则95959459S a T b ==，5545a b =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.3．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．4．D解析：D【分析】由2n n S a =-利用1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将20n n S T λ+>恒成立，转化为6321nλ-<-+，从而得出答案. 【详解】当1n =时，112S a =-，得 11a =；当2n ≥时，由2n n S a =-，得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列． 因为112n n a a -=，所以22114n n a a -=．又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，所以1112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 由20n n S T λ+>，得()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121n nn n n λ-+--<==-+++， 所以6332121λ-<-=-=+， 所以1λ>-．综上，实数λ的取值范围是(1,)-+∞． 故选: D 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种： 一是判断数列问题中的一些不等关系； 二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题.5．B解析：B 【分析】由2122n n n a a a ++-+=，可得()2112n n n n a a a a +++---=，214a a -=．利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出． 【详解】2122n n n a a a ++-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=，214a a -=．{}1n n a a +∴-是等差数列，首项为4，公差为2． 142(1)22n n a a n n +∴-=+-=+．2n ∴≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯⋯+-+(1)22(1)..2222(1)2n n n n n n +=+-+⋯+⨯+=⨯=+． 2(1)1n n n a n++∴=．∴当2n ≥时，2(1)11⎡⎤++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦n n n a n ． 222122018232019220172019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．C解析：C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案． 【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1） 即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列． 所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nnS n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C ． 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．7．A解析：A 【解析】等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1239a a a ++=，636S =，11339656362a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩，解得1a 1,d 2，12111223a =+⨯=，故选A.8．B解析：B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S = ∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.9．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<， 由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．10．D解析：D 【分析】根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.11．D解析：D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>，因此2-只能是等比数列的中间项，从而得4ab =，由点(),2a b 在直线2100x y +-=上，得5a b +=，这样可得,p q 值．从而得出结论． 【详解】∵a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，∴,a b p ab q +==，∴0,0a b >>，而a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，只能是2-是,a b 的等比中项，即4ab =，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则22100a b +-=，得5a b +=， 由45ab a b =⎧⎨+=⎩，∴5,4p q ==，9p q +=．故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点的概念，考查等比数列的定义，考查韦达定理，关键是由题意分析出0,0a b >>．12．D解析：D 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得12a =，2211123a =-=+，32111213a =-=-+， 4213112a =-=--，521213a =-=-， 可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.二、填空题13．【分析】由代入化简求得再结合求和方法计算可得结果【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以所以故答案为：【点晴】由代入化简求得数列是等差数列是解题的关键解析：17【分析】由11n n n a S S ++=-代入化简求得n S ，再结合求和方法计算可得结果. 【详解】因为1120n n n a S S +++= 所以1120n n n n S S S S ++-+= 所以112n n n n S S S S ++-= 所以1112n nS S +-=又11113S a == 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以()131221nn n S =+-⨯=+ 所以121n S n =+ 所以111111212322123n n S S n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪++++⎝⎭所以12239101111111111123557192123217S S S S S S ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：17【点晴】由11n n n a S S ++=-代入化简求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解题的关键. 14．或【分析】设点的坐标利用两角差正切公式求列式解得结果【详解】设因为所以或故答案为：或【点睛】本题考查两角差正切公式等比数列考查综合分析求解能力属中档题解析：(0,2)或(0,16) 【分析】设点A 的坐标，利用两角差正切公式求3tan θ，列式解得结果. 【详解】设(0,),0A a a >,因为233443343,124,128P AP AP OAP O x x θ=-=⨯==⨯=∠∠=∠所以238442284t 21an 39a a a a a a aθ-===∴=++⋅或16 故答案为：(0,2)或(0,16)【点睛】本题考查两角差正切公式、等比数列，考查综合分析求解能力，属中档题.15．【分析】分别计算出进而得出再由可得出的值【详解】由题意可得故答案为：【点睛】本题考查数列求和找出数列的规律是解答的关键考查计算能力属于中等题 解析：1008【分析】分别计算出43k a -、42k a -、41k a -、()4k a k N *∈，进而得出43424146k k k k a a a a ---+++=，再由201845042=⨯+可得出2018S 的值.【详解】由题意可得()434243sin 112k k a k π--⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()424142sin 1342k k a k k π--⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()()4141sin 211k a k k π-=-+=，4414sin 1412k k a k k π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()()43424141341416k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=，201845042=⨯+，201820172018450534505265046504S a a a a ⨯-⨯-∴=⨯++=⨯++()30241345051008=++-⨯=.故答案为：1008. 【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.17．27【分析】由得相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列由此可得通项从而求得结论【详解】∵∴相减得又所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列公差为1故答案为：27【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的解析：27 【分析】由1n n a a n ++=得121n n a a n +++=+相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，由此可得通项，从而求得结论． 【详解】∵1n n a a n ++=，∴121n n a a n +++=+，相减得21n na a +-=，又1121,1a a a =+=，20a =，211a a -=-，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为1，21n a n -=，21n a n =-，1916171819981027S S a a a -=++=++=．故答案为：27． 【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的通项公式，解题时由已知等式中n 改写为1n +，两相减后得21n n a a +-=，这里再计算21a a -，如果2211()22n na a a a +--==，则可说明{}n a 是等差数列，象本题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列．不能混淆，误以为{}n a 是等差数列．这是易错的地方．18．①③【分析】选①②在①中令在②中令联立方程由方程无解推出矛盾；选①③在③中由通项与前项和之间的关系求出公比在①中令在③中用表示出联立方程求出确定数列；选②③由通项与前项和之间的关系即可作出判断【详解解析：①③ 【分析】选①②，在①中令1m n ==，在②中令1n =联立方程，由方程无解推出矛盾；选①③，在③中由通项与前n 项和之间的关系求出公比，在①中令1m n ==，在③中用12,a a 表示出12,S S 联立方程，求出1,a p 确定数列{}n a ；选②③，由通项与前n 项和之间的关系即可作出判断. 【详解】在①中，令1m n ==，得221a a =；在②中，11n n S a +=+，当2n ≥时， 11n n S a -=+，两式相减，得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=；在③中，11112,2n n n n S a S a p p++=+=+，两式相减，得 1122n n n a a a ++=-，即 12n n a a +=，若选①②，则22112,1a a a a ⎧=⎨=+⎩即 2211111,10a a a a =--+=， 2(1)41130∆=--⨯⨯=-<，方程无解，故不能选①②作为条件；若选①③，则由12n n a a +=知，数列{}n a 的公比为2，由 221111221212a a a a p a a a p ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=+⎪⎩得1212a p =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以数列 {}n a 是首项为2，公比为2的等比数列； 若选②③作为条件，则无法确定首项，数列{}n a 不唯一，故不能选②③作为条件. 综上所述，能使数列{}n a 为唯一确定的等比数列的条件是①③. 故答案为：①③ 【点睛】思路点睛：本题考查利用递推关系求数列中的项，涉及等比数列的判定和通项公式，遇到和与项的递推关系时，一般有两种方法：（1）消去和，得到项的递推关系；（2）消去项，得到和的递推关系.19．【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如 解析：13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据其通项公式，得到487733a a a a +-=，再根据其求和公式，得到13713S a =，从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+， 因为11313713()132a a S a +==，所以487133313a a a S +-=， 故答案为：13313S . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，解题思路如下：（1）首先设出等差数列的首项和公差；（2）利用等差数列的通项公式，得到项之间的关系，整理得出487733a a a a +-=； （3）利用等差数列的求和公式，求得13713S a =； （4）比较式子，求得结果.20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析：10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律，即可确定n S 最小时对应项数. 【详解】7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增，因此10110,0a a <>即10n =，n S 最小 故答案为：10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）最大自然数6n =. 【分析】（1）根据题中条件，可得1112n a +--的表达式，根据等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）可得1122n n a -=-，则可得2n n b =，根据错位相减求和法，可求得n S 的表达式，根据n S 的单调性，代入数值，分析即可得答案. 【详解】解：（1）∵()1621*44n n n n a a n N a a +-=-=∈--， ∴()()1116323346312311122162262822224n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +++----⎛⎫----+--======- ⎪-----+----⎝⎭--即11122112n n a a +--=--， ∴112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，1122n n a -=-， 即321112222n n n n n n n a a b a a a ---==-==---， ∴()()21212-⋅=-⋅nn n b n ，()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，① ()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，②①减②得()()()112311421222222122221212n nn n n S n n +++--=⋅++++--⋅=+⋅--⋅-()13226n n +=-⋅-.∴()12326n n S n +=-⋅+.∴()()()21112122322210++++-=-⋅--⋅=+>n n n n n S S n n n ，∴n S .单调递增.∵7692611582021S =⨯+=<，87112628222021S =⨯+=>.故使2021n S <成立的最大自然数6n =. 【点睛】解题的关键是根据所给形式，进行配凑和整理，根据等比数列定义，即可得证，求和常用的方法有：①公式法，②倒序相加法，③裂项相消法，④错位相减法等，需熟练掌握. 22．（1）存在，2k =或3k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ，将23nnn c =+代入上式，整理得1(2)(3)2306n n k k --⋅⋅=化简即可得出答案；（2）证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠⋅，验证其不成立即可.【详解】解：（1）由题意知，若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ， 将23nnn c =+代入上式，得()()()211221111232323232323n n n n n n n n n n n n k k k ++++++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+=+-+⋅+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即21111(2)2(3)3(2)2(3)3(2)2(3)3n n n n n n k k k k k k ++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+-⋅-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，整理得1(2)(3)2306n nk k --⋅⋅=，解得2k =或3k =．（2）设数列{}n a ，{}n b 的公比分别为,,p q p q ≠且,0p q ≠，11,0a b ≠， 则1111n n n c a pb q --=+，为证{}n c 不是等比数列，只需证2213c c c ≠⋅， 事实上()22222221111112c a p b q a p a b pq b q =+=++，()()()222222221311111111c c a b a p b q a p a b p q b q ⋅=+⋅+=+++，由于p q ≠，故222p q pq +>，又11,0a b ≠，从而2213c c c ≠⋅，所以{}n c 不是等比数列. 【点睛】方法点睛：等差、等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法和前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等差、等比数列不能用来证明．23．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+.【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n n a an n+=+，得到{}n b 为等比数列，（2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S 【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n na a n n+=+， 因为nn a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， （2）由（1）13n n b -=，由13n na n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅，12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-， 则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.24．（1）2nn a =；（2）21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =.【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知12a =，416a =，可以求出公比，这样就可以求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n a 的通项公式，可以求出21a -和 358a 的值，这样也就求出2b 和 3b 的值，这样可以求出等差数列{}n b 的公差，进而可以求出通项公式，利用前n 项和公式求出数列{}n b 前10项的和.【详解】（1）设等比数列的公比为q ，由已知12a =，34121616q a a q =⇒⋅=⇒=，所以112n n n a q a -=⋅=，即数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）由（1）知2nn a =，所以2221213b a =-=-=，333552588b a ==⨯=， 设等差数列{}n b 的公差为d ，则322d b b -==，12121n d b b n b =-=∴=-， 设数列{}n b 前10项的和为10S ，则11010910910101210022S d b ⨯⨯=+⋅=⨯+⨯=， 所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.25．（1）条件性选择见解析，2n n a =；（2）332n nn T +=-． 【分析】（1）选①：由题意可得32442a a a =+-，再利用等比数列的公比为2可求1a ，进而可求数列{}n a 的通项公式；选②：22n n S a =-，令1n =可求1a ，当2n ≥时，可得1122n n S a --=-，与已知条件两式相减可求得()122n n a a n -=≥，进而可求数列{}n a 的通项公式；选③：122n n S +=-，当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122n n S -=-，与已知条件两式相减可求得2nn a =，检验12a =也满足，进而可求数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===，利用乘公比错位相减即可求和. 【详解】（1）选①：因为2a ，3a ，44a -成等差数列， 所以32442a a a =+-，又因为数列{}n a 的公比为2，所以2311122242a a a ⨯=+⨯-，即1118284a a a =+-，解得12a =， 所以1222n n n a -=⨯=．选②：因为22n n S a =-，当1n =时，1122S a =-，解得12a =． 当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-． 即()122n n a a n -=≥．所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列． 故1222n n n a -=⨯=．选③：因为122n n S +=-，所以当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122nn S -=-，所以()()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=，当1n =时，1122a ==依然成立．所以2nn a =． （2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===， 所以2323412222n n n T +=++++， ① 231123122222n n n n n T ++=++++， ② ①－②得23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 212111111111111121222211111222221122n n n n n n n n n -+++++⎛⎫-- ⎪+++⎝⎭=+-=+-=+---- 13322n n ++=-． 所以332n nn T +=-． 所以数列{}n b 的前n 项和332n n n T +=-． 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 26．（1）*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用*1,(1),(2,)n n nn S n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩求解即可；（2）利用n a 求n b ，当1n =时，1151224b =≤显然成立，当2n ≥时，利用列项相消法求和判断即可. 【详解】解：（1）当1n =时，111113a S ==++=；当2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)[(1)(1)1]n n n n =++--+-+2n =，所以*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩； （2）由（1）易知*1,(1)121(2,),4(1)n n b n n N n n ⎧⎪=⎪=⎨≥∈⎪+⎪⎩ 当1n =时，1151224b =≤显然成立． 当2n ≥时，1111()4(1)41n b n n n n ==-++， 123n n T b b b b =+++ 11111111[()()()]12423341n n =+-+-++-+ 1111()12421n =+-+ 515244(1)24n =-<+； 故结论成立．【点睛】关键点睛：本题考查数列求通项公式，利用数列求和证明不等式.利用列项相消法求和是解决本题的关键.。