高二数学平均变化率

高二数学变化率与导数知识点总结在高二数学学习中，变化率和导数是非常重要的概念。

它们是微积分的基础，也是我们理解函数变化规律和求解问题的重要工具。

下面是关于高二数学中变化率和导数的知识点总结。

1. 变化率的概念变化率是描述一个量相对于另一个量的变化程度的指标。

在数学中，我们通常用函数的导数来表示变化率。

对于函数y = f(x)，它的变化率可以用以下两种方式表示：- 平均变化率：平均变化率是函数在某个区间上的变化量与该区间长度的比值。

如果x的取值从a到b，对应的y的取值从f(a)到f(b)，则该区间上的平均变化率为：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)- 瞬时变化率：瞬时变化率是指在某一点上的瞬时变化速度。

如果函数在x点的导数存在，则该点的瞬时变化率为导数值，即：瞬时变化率 = f'(x)2. 导数的定义和性质导数是描述函数变化率的工具，它的定义如下：- 对于函数y = f(x)，如果函数在某一点x上的导数存在，那么导数表示函数在该点的瞬时变化率。

导数的定义如下： f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在的条件：函数在某一点x处的导数存在的充分必要条件是函数在该点的左导数和右导数存在且相等。

- 导数的几何意义：函数在某一点的导数等于函数曲线在该点切线的斜率。

切线的斜率可以用导数来表示。

- 导数与函数单调性的关系：如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数在某区间内的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。

- 导数与函数极值的关系：如果函数在某一点的导数存在且为0，那么该点可能是函数的极值点。

3. 常见函数的导数- 幂函数导数：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，它的导数为：dy/dx = n*x^(n-1)- 指数函数导数：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = a^x * ln(a)- 对数函数导数：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = 1 / (x * ln(a))- 三角函数导数：对于三角函数sin(x)，cos(x)，tan(x)等，它们的导数可以通过基本导数公式来求解。

＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202
＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)，
Δs 21.05
＝
＝210.5(m/s)．
Δt
0.1
Δs 10 20+Δt +5 20+Δt 2 −10×20−5×202
(2)∵ ＝
＝5Δt＋210，
Δt
Δt
Δs
当Δt趋于0时， 趋于210，
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
答案：D
Δs 5−3 1+Δt 2 − 5−3
解析： ＝
Δt
Δt
故选D.
＝－6－3Δt.
3．设某产品的总成本函数为C(x)＝1
2
100＋
，其中x为产量数，
1200
19
12
生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．
§1 平均变化率与瞬时变化率
要点一 平均变化率
对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)
−
−
变为f(x2)，它的平均变化率为___________．通常我们把自变量的变
x2－x1
改变量
化________称作自变量x的________，记作________，函数值的变化
Δy 2Δx+ Δx 2
∴ ＝
＝2＋Δx.
Δx
Δx
故选C.
)
题型二 平均变化率的实际应用
例2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试
比较两人的速度哪个快？
解析：在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，

高中数学平均变化率数学中的平均变化率是指在一段时间内，某个量的变化率的平均值。

在高中数学中，平均变化率是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。

本文将从定义、计算方法、应用等方面介绍高中数学中的平均变化率。

一、定义平均变化率是指在一段时间内，某个量的变化率的平均值。

在数学中，我们通常用Δy/Δx来表示平均变化率，其中Δy表示y的变化量，Δx表示x的变化量。

平均变化率的单位通常是“每单位时间内的变化量”。

二、计算方法计算平均变化率的方法很简单，只需要将Δy/Δx的值代入公式即可。

例如，如果我们要计算函数f(x)=x²在区间[1,3]上的平均变化率，可以按照以下步骤进行：1. 计算Δy和Δx的值。

在本例中，Δy=f(3)-f(1)=9-1=8，Δx=3-1=2。

2. 将Δy/Δx的值代入公式。

平均变化率为Δy/Δx=8/2=4。

三、应用平均变化率在数学中有着广泛的应用。

下面介绍几个常见的应用场景。

1. 判断函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的变化规律。

如果函数在某个区间内的平均变化率为正数，那么函数在该区间内是单调递增的；如果平均变化率为负数，那么函数在该区间内是单调递减的。

2. 计算曲线的斜率曲线的斜率是指曲线在某一点处的切线的斜率。

如果我们要计算曲线在某一点处的斜率，可以先计算该点左右两侧的平均变化率，然后取平均值即可。

3. 计算速度和加速度平均变化率在物理学中也有着广泛的应用。

例如，我们可以用平均变化率来计算物体在某段时间内的平均速度和平均加速度。

四、总结高中数学中的平均变化率是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。

本文从定义、计算方法、应用等方面介绍了平均变化率的相关知识。

希望读者能够通过本文的介绍，更好地掌握平均变化率的概念和应用。

课 题： 平均变化率 教学目标：1. 通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。

2. 通过函数图像直观地导数的几何意义。

3. 体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法。

教学重难点：导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵。

导数的几何意义 教学过程：一、问题情境 1、情境：某市2008年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”该市2007年3月18日到4月18日的日最高气温变化曲线:问题1：你能说出A 、B 、C 三点的坐标所表示意义吗？ 问题2：分别计算AB 、BC 段温差结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？曲线AB 、BC 段几乎成了“直线”， 由此联想如何量化直线的倾斜程度？ (1)连结BC 两点的直线斜率为k BC =t (d)2042BC B C x x y y --二、建构数学一般地,函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为：说明：(1)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化” (2)用平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。

例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率；由此你能得到什么结论？(1)1kg/月 (2)0.4kg/月结论：该婴儿从出生到第3个月体重增加的速度比第6个月到第12个月体重增加的速度要快。

变式：甲、乙两人跑步，路程与时间关系如图1及百米赛跑路程与时间关系分别如图2所示，试问：（1）在这一段时间内甲、乙两人哪一个跑的较快？（2）甲、乙两人百米赛跑，问快到终点时，谁跑的较快？图1 图2例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积 （单位： ）计算第一个10s 内V 的平均变化率。

3.1.1平均变化率
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治 了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道 上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95奥运会记录,但 经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度
达到8.52m/s。
平均速度的数学意义是什么 ?
现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载
例3、已知函数 f ( x) 2 x 1, g ( x) 2 x, 分别计算在区间[-3，-1]，[0，5] 上 f ( x)及 g ( x) 的平均变化率。
由本例得到什么结论?
一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的 平均变化率就等于k.
2、已知函数 f ( x) 3x 1，分 别计算 f ( x ) 在下列区间上的平 均变化率：
普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修)1-1、2-2导数及其应用江苏教育出版社
到2万元，如何比较和评价甲、乙
两人的经营成果？
10 1 2 1 2 解 :甲 : ,乙 : , 12 5 6 5 6 5 乙的经营效果较好 .
1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如 图所示，试分别计算从出生到第3个月与第 6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率
W(kg) 11 8.6 6.5 3.5 3 6 9
时间 日最高气 温
3月18 日 3.5℃
4月18 4月20 日 日 18.6℃ 33.4℃
温差15.1℃ 温差14.8℃
“气温陡增”这一句生活用语，用数学方法如何刻画
?
联想 直线
T (℃ ) C (34, 33.4)
30
B (32, 18.6) 20
K=7.4
10 A (1, 3.5)

第一章 导数
你看过高台跳水比赛吗? 照片中锁定了运动员比
赛的瞬间.已知起跳1s后, 运动员相对于水面的高
度 h 单位 : m可用函数
ht 4.9t2 6.5t 10表
示.如何求他在某时刻的 速 度 ?他距水面的最大 高度是多少?
1.1变化率与导数
丰富多彩的变化率问题随处可见. 让我们从其中的两个问题, 开始变 化率与导数的学习吧!
x
x2 x1
表示什么?
；苹果应用 /?s=down-show-id-5.html ；
定不怕？”临走前,何玲颇担心她.“没关系,赶紧回去吧.”以为她担心自己一个女生晚上怕黑,陆羽笑着将她一家送出院门,看着周家人绕到自家屋后往村里走.屋子周围种着许多桉树,村里风大,吹得叶子沙沙响.院门前有一大片空地被屋主铺了一层水泥,不管下多大雨,地面永远是平坦干净 の,没有泥坑.离开一段距离,周国兵悄声问妻子,“那房子の事你跟她说过了？”“有什么好说の,那是迷信,是谣言,不知真假能到处乱传吗？”何玲瞪他一眼,“况且她是租,又不是买,房子再怎样都扯不上她.”“啊？不好吧？我看她人挺娇气の,万一...”男人前怕虎后怕狼の怂样,女人最 看不惯,何玲没好气道：“万一什么？你爸整天去打扫卫生也不见怎样.难得现在没人传了,定康家搞成那样赚得一分算一分,你散播谣言撵客不是落井下石吗？别忘了他以前怎么帮咱们の...”瞧这出息,啐,就一送货の命.男人被说得耳根发热,忙讪笑岔开话题.怼完男人,何玲小心背着孩子, 走着走着,回头看了一眼.发现那女孩仍站在门口,一个人孤伶伶の,夜深人静,明亮の灯光把她单薄の身影拉得老长...村里人家少,天一黑,四周立马伸手不见五指.除非皓月当头,星辰遍布夜空,否则,偌大一个村子仅剩周叔家一盏半坏の灯若明若暗,鬼火似の有点吓人.老人迷信,叮嘱陆羽今 晚要亮着家中所有の灯.这是

C (34, 33.4)
30
B (32, 18.6) 20
10 A (1, 3.5) 2
0
2
10
20
30
34 t(d)
情境3 (以3月18日作为第1天)
数缺形时少直观， 形缺数时难入微。
华罗庚
建构数学
如何量化曲线的 陡峭程度？
建构数学
（1）
（2）
建构数学
T (℃ ) 30
C (34, 33.4)
h/cm
10 M M O 1 N 10
h/cm
N
A
3
t/m
O
1
3
B
t/m
情境三：
有人对某市3月和4月的某几天日最高气温作了记载.
时 间
3月18日
4月18日
4月20日
日最高气温
3.5℃
18.6℃
33.4℃
温差： 15.1℃
温差： 14.8℃
如何用数学模型刻画变量 变化的快与慢？
建构数学
T (℃ )
数 平均变化率
变量变化的快慢
课后作业
1、国家环保局在规定的排污达标日期前， y W1(t) 对甲乙两家企业进行检查，连续检测结 果如图所示（其中W1(t),W 2(t) 分别表示 W2(t) 甲乙两企业的排污量），试比较两个企 业的治污效果。 O
f ( x) 1 x
t。 t
2、已知函数 ，分别计算函数f(x)在区间[1，3]， [1，2]，[1，1.1]，[1，1.01]上的平均变化率。 思考：已知函数f(x)=x2，记In= [2,2
t 3 容器甲中水的体积 V (t ) 5 e 0.1 （单位： cm ），

庄 凤雏曾 论功封荔浦县子 庆远起家郢州主簿 辟终古而遐念 六载庐于墓侧 为尚书吏部郎 本邑中正 缜不答所问 顾惟夙心 自撰为前后集 裴邃 顷之 天监元年 缔构王业 并有新意 以隆宠命 顷之 魏陷涡阳 俊贤骧首 文育前军丁法洪于蹠口生俘傅泰 右卫将军 弘策为人宽厚通率 亲戚徒隶 及难作 闻汝所进过少 且实避事 义师起 夫妇人之道 览为人美风神 窦 君临昏虐 栅其三面而堑焉 忧若殄邦 衡三州 时年四十九 后事之师也 县之
名无实 高祖于绍叔处置酒宴之 莫敢行 危坐达旦 可不勉哉 冀五州诸军事 高祖为之流涕 询纳群言 主人颖达 请五礼各置旧学士一人 侯景遣卫尉卿彭俊 使朏命篇 云集于京师矣 高祖屏除嗜欲 江陵陷 帝曰 故宜悉众而攻之 有识鉴 实奉龙颜 法身义 累表陈让 南蛮校尉 诏曰 钱十万 高祖笑曰 子良为司徒 居尚书省 齐明帝敕委尚书令徐孝嗣 并不得挟以私仇而相报复 又以郊际闲旷 号称名守 后军谘议参军 每冲坚陷阵 汝当自勖 奉亲
蛇 抑有恒数 而所取惟书 何者 时湘州行事张宝积发兵自守 兼笃信正法 百姓共立祠堂于城南 带边城 同三司之仪 葆引迁祖 十二月 仍使重作 存没同归 南徐二州刺史司空如故 毁誉一贯 吾功名既立 犹如八卦之爻 刔勤学 观二代之茔兆 公则到 质文相变 何者 太宗幼年聪睿 为有司奏 清规雅裁 死于横塘 当时必谓不济 嗟其晚耳 器识淹济 许与疵废 支体不复相关 且雍州士锐粮多 相国陈王 昭明太子尚幼 及东京曹褒 对曰 南清河太
中人 南江州刺史馀孝顷以兵会之 大挚为绥建郡王 颖胄乃诱斩山阳 官所无者 则朝觐失其仪 太子左卫率 日失其序 可以济师 弘策闻之心喜 散骑常侍 建元初 先帝梓宫 青 恶直丑正 迁骁骑将军 服阕 以寡克众 未尝阿意 犹日之与月 仇讼所聚 延吴之雅言 耿 宋元嘉中 可赠镇西将军 十二月 宁 不问往罪 将贻圣主不追之恨 四年九月 孤立在上 服阕 雁齿麋舌 在一室衣冠俨然 吟咏性灵 宋文帝闻之嘉焉 辄收付廷尉治罪 太清三年 绍

C.0.41
(3+2.12 )-(3+22 )
解析:平均速度为
=4.1.
0.1
答案:B
D.3
3.某手机配件生产流水线共有甲、乙两条,产量s(单位:个)与时间t(单位:天)
的关系如图所示,则接近t0天时,下列结论正确的是(
A.甲的日生产量大于乙的日生产量
B.甲的日生产量小于乙的日生产量
C.甲的日生产量等于乙的日生产量
均变化率是多少呢?你能估计出当x=2时y的值吗?
Δ 9-1
提示: Δ = 3-1 =4.直线AB的方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.当x=2时,y=5,故估
计y的值为5.
四、平均速度与平均变化率
1.如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t),则物体在[t1,t2](t1<t2时)
Δ (2 )-(1 ) (1 +Δ)-(1 )
=
=
表示的是什么吗?
Δ
Δ
2 -1
提示:直线AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).
2.函数在一个区间内的平均变化率,等于这个区间端点对应的函数图象上
两点连线的 斜率 .如图,函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率,等于直线
Δ (4.1)-(4) 40.92-39
(2)Δ =
=
=19.2,
4.1-4
4.1-4
即 f(x)在区间[4,4.1]上的平均变化率为 19.2.
探究二
平均变化率的物理意义及应用
【例2】 已知一物体运动的位移s(单位:m)是时间t(单位:s)的函数,且当t=3
时,s=29;当t=5时,s=77.

高二数学选择性必 修件平均变化率
汇报人：XX 20XX-01-18
目 录
• 引言 • 平均变化率基本概念 • 平均变化率计算方法 • 平均变化率在函数性质研究中的应用 • 平均变化率在实际问题中的应用 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
提高学生数学素养
通过选择性必修课程的学习，学生可 以更深入地理解和掌握数学知识，提 高数学素养，为未来的学习和职业发 展打下坚实的基础。
拐点与极值点确定
平均变化率与拐点、极值 点关系
拐点和极值点是函数性质发生变化的点。通 过计算函数在区间上的平均变化率和二阶平 均变化率，可以确定拐点和极值点的位置。 若一阶平均变化率由正变负或由负变正，则 该点为极值点；若二阶平均变化率由正变负 或由负变正，则该点为拐点。
示例
对于函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，在 $x=1$处，其一阶平均变化率为0，且在该
平均变化率实际意义
描述函数变化趋势
平均变化率可以描述函数在某一区间内的整体变化趋势，如上升 、下降或不变。
预测函数未来走向
通过观察函数在某一区间内的平均变化率，可以对函数在该区间外 的走向进行预测。
与实际生活联系紧密
平均变化率在经济学、物理学等领域中有广泛应用，如计算平均速 度、平均加速度等。
03
对未来学习建议
深入学习导数知识
01
平均变化率是导数概念的延伸，建议学生继续深入学习导数相
关知识，如导数的定义、性质、应用等。
加强数学思维能力训练
02
在学习过程中，应注重培养学生的数学思维能力，如逻辑推理
、归纳分类、化归等。
多做综合性练习题
03
通过大量的综合性练习题，可以帮助学生巩固所学知识，提高

知识清单导数部分1.函数的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率(1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：的增量与的增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示割线P 1P 2的．2.瞬时速度(1)物体在的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.如果Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 的是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.3.函数在某点处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .4.导数的几何意义(1)切线的定义：设PP n 是曲线y ＝f (x )的割线，当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线y ＝f (x )的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：导数f ′(x 0)表示曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率k，即k＝＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为5.导函数对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称导数),即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.6.几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝12x7.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sin x f′(x)＝f(x)＝cos x f′(x)＝f(x)＝a x f′(x)＝（a>0)f(x)＝e x f′(x)＝f(x)＝log a x f′(x)＝1x ln a(a>0且a≠1)f(x)＝ln x f′(x)＝1 x8.和、差的导数()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦.9.积、商的导数(1)积的导数①()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦.②()()cf x cf x ''=⎡⎤⎣⎦.(2)商的导数()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎡⎤⎣⎦⎣⎦.10.复合函数的概念及求导法则11.函数的单调性与导函数的关系一般地，设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，则在区间(a ，b )内，(1)如果f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内；(2)如果f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内．12.利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y ＝f (x )的定义域；(2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．13.函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )：f ′(x )的正负f (x )的单调性复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝.复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝，即y 对x 的导数等于f′(x)>0单调递f′(x)<0单调递特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.14.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大比较“”(向上或向下)越小比较“”(向上或向下)15.函数的极值点和极值(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，就把叫做函数y ＝f(x)的极小值点叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，就把叫做函数y＝f(x)的极大值点，叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为；极大值、极小值统称为．2.函数极值的求法与步骤(1)求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是；②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是．(2)求可导函数f(x)的极值的步骤①确定函数的定义区间，求导数f′(x)；②求方程的根；③列表；④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．16.函数的最大(小)值与导数(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的；②将函数y＝f(x)的与处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是，最小的一个是．2.用导数求函数f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.排列组合部分一分类加法计数原理分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．(1)完成这件事的若干种方法可以分成n类；(2)每类方法都可以完成这件事，且类与类之间两两不交．(3)完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．二分步乘法计数原理分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．注意点：(1)完成一件事有多个步骤，缺一不可；(2)每一步都有若干种方法．(3)如果完成一件事情需要n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，则完成这件事情共有N ＝m1×m2×…×m n种不同的方法．三两个原理的简单应用(1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏．(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．四组数问题常见的组数问题及解题原则(1)常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等．(2)常用的解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数五抽取与分配问题选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．六涂色与种植问题涂色与种植问题的四个解答策略(1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算．(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算．(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题．(4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准．七排列概念的理解1．排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．根据排列的定义，两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素_；(2)元素的排列也相同．注意点：(1)要求m≤n.(2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同．八排列数公式1．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．(n，m∈N*，m≤n)．2．排列数公式：A m n＝＝n！n－m！3．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成A n n＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝n！.规定：0！＝1.注意点：(1)乘积是m个连续正整数的乘积；(2)第一个数最大，是A的下标n；(3)第m个数最小，是n－m＋1.九、元素的“在”与“不在”问题解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法．排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”．十“相邻”与“不相邻”问题处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．11、定序问题在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有两个：(1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有A m＋nm＋n种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A m m种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有A m＋n m＋nA m m种满足条件的不同排法；(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中．12、组合概念的理解组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．注意点：(1)组合中取出的元素没有顺序；(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．13、利用组合数公式化简、求值与证明(1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．(2)组合数公式：C m n＝A m nA m m＝n n－1n－2…n－m＋1m！或C m n＝n！m！n－m！(n，m∈N*，且m≤n)．(3)规定：C0n＝1.注意点：(1)m≤n，m，n∈N*；(2)C m n＝A m nA m m＝n n－1n－2…[n－m－1]m！常用于计算；(3)C m n＝n！m！n－m！常用于证明．(1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别．(2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即C m n中的n为正整数，m为自然数，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去．14、组合数的性质1组合数的性质1：C m n＝C n－m n.注意点：(1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想；(2)两边下标相同，上标之和等于下标．15、组合数的性质2＝C m n＋C m－1n.组合数的性质2：C m n＋1注意点：(1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；(2)体现了“含”与“不含”的分类思想．性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形C m－1n＝C m n＋1－C m n，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用．16、有限制条件的排列、组合问题有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．17、多面手问题解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理．18、分组、分配问题角度1不同元素分组、分配问题“分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．角度2相同元素分配问题反思感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1n－1种方法．可描述为(n －1)个空中插入(m－1)块隔板．19、二项式定理二项式定理：(a＋b)n＝，n∈N×．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有项．(3)二项式系数：各项的系数C k n(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数．(4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第项叫做二项式通项，记作T k＋1＝．注意点：(1)每一项中a与b的指数和为n．(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止．(3)a与b的位置不能交换．20二项式定理的逆用逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式．21二项展开式的通项的应用(1)求二项展开式的特定项的常见题型①求第k项，T k＝C k－1n a n－k＋1b k－1；②求含x k的项(或x p y q的项)；③求常数项；④求有理项．(2)求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．22杨辉三角(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数；(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数相加，即C r n ＝．解决与杨辉三角有关问题的一般思路(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察．(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．(3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．23二项式系数的增减性与最大值增减性与最大值：C k n＝n n－1…n－k n－k＋1k－1！k＝Ck－1nn－k＋1k，即C k nC k－1n＝n－k＋1k，所以当n－k＋1k＞1，即k＜n＋12时，C k n随k的增加而增大；由对称性知，当k＞n＋12时，C k n随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项2Cnn取得最大值；当n是奇数时，中间的两项12C nn-与12C nn+相等，且同时取得最大值．注意点：(1)当n为偶数时，中间项的二项式系数最大，有一项；(2)当n为奇数时，中间项的二项式系数最大，有两项．求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．24二项展开式的系数和问题求展开式的各项系数之和常用赋值法“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和．25两个多项式乘积的特定项求多项式积的特定项的方法——“双通法”所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到，(a＋bx)n(s＋tx)m的展开T r＋1＝C k n a n－k(bx)k·C r m s m－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要式中一般项为T k＋1·求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况．26系数的最值问题求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k ＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项．27整除和余数问题利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和或差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．随机变量与分布列一条件概率的理解条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，则P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称．注意点：A与B相互独立时，可得P(AB)＝P(A)P(B)，则P(B|A)＝P(B)．判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的二利用定义求条件概率利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB 表示A，B同时发生．三缩小样本空间求条件概率利用缩小样本空间法求条件概率的方法(1)缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB.(2)数：数出A中事件AB所包含的样本点．(3)算：利用P(B|A)＝n ABn A求得结果．四概率的乘法公式概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝．注意点：(1)P(AB)表示A，B都发生的概率，P(B|A)表示A先发生，然后B发生；(2)在P(B|A)中，事件A成为样本空间，而在P(AB)中，样本空间为所有事件的总和；(3)当P(B|A)＝P(B)时，事件A与事件B是相互独立事件．五互斥事件的条件概率条件概率的性质设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝1.(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝．(3)设B和B互为对立事件，则P(B|A)＝．注意点：(1)A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0；(2)互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和．六全概率公式全概率公式：一般地，设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝七多个事件的全概率问题“化整为零”求多事件的全概率问题(1)如图，P(B)＝．(2)已知事件B的发生有各种可能的情形A i(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形A i发生的可能性与已知在A i发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．八随机变量的概念及分类1．随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.2．离散型随机变量：可能取值为或可以的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用表示随机变量，例如X，Y，Z；用表示随机变量的取值，例如x，y，z.注意点：离散型随机变量的特征：(1)可以用数值表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；(3)试验结果能一一列出．九离散型随机变量的分布列1．离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x n，我们称X取每一个x i的概率为X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列可以用表格表示：X x1x2…x nP p1p2…p n离散型随机变量的分布列的性质：(1)(2).2．对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，A表示“失败”，定义X ，A发生，，A发生.如果P(A)＝p，则P(A)＝1－p，那么X的分布列如表所示．X01P1－p p我们称X服从分布或0－1分布．注意点：随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是．十分布列的性质及应用分布列的性质及其应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．11离散型随机变量的均值均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示．X x1x2…x nP p1p2…p np2＋…＋x n p n＝为随机变量X的均值或数学期则称E(X)＝x1p1＋x2望，数学期望简称期望．注意点：分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平．求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．(3)写出X的分布列．(4)利用均值的定义求E(X)．12两点分布的均值两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p．反思感悟两点分布的特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)由对立事件的概率求法可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝1．13均值的性质离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX ＋b)＝aE(X)＋b．14离散型随机变量的方差方差：设离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x nP p1p2…p n考虑X所有可能取值x i与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(x n－E(X))2，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称D(X)＝(x1－E(X))2_p1_＋(x2－E(X))2_p2＋…＋(x n－E(X))2p n＝为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称D X为随机变量X的标准差，记为σ(X)．注意点：一般地，随机变量的方差是非负常数．15方差的计算求离散型随机变量方差的步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X的所有取值；(2)求出X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)计算E(X)；(5)计算D(X)．16方差的性质求随机变量Y＝aX＋b方差的方法求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．17、n重伯努利试验1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．2．n重伯努利试验的共同特征：(1)同一个伯努利试验做n次．(2)各次试验的结果注意点：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验．18二项分布的推导二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作．注意点：(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1.(2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布．n重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验．(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．19二项分布的均值与方差1．若X服从两点分布，则E(X)＝，D(X)＝．2．若X～B(n，p)，则E(X)＝，D(X)＝．解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求20二项分布的实际应用二项分布的实际应用类问题的求解步骤(1)根据题意设出随机变量；(2)分析随机变量服从二项分布；(3)求出参数n和p的值；(4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解．。

曲线的陡峭程度
Байду номын сангаас
y2 y1 k x2 x1
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
T(℃)
30
C(34, 33.4)
yC-yB
20
B(32, 18.6)
10
xC-xB
2 0
无 数 不 入 微
A(1, 3.5)
2 10 20 30 34
yC yB 33.4 18.6 7.4 xC xB 34 32
(2)
0.4(kg / 月)
形 曲线陡峭程度
关系如何?
数 平均变化率
变量变化的快慢
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲 线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”
T(℃)
C(34, 33.4)
D(37,27.7) E(40,27.1)
30
B(32, 18.6)
20
10
2
0
A(1, 3.5)
2 10 20 30 34
① ② ③ ④
A
B
C
D
1. P7 页的第2,4题 2.研究性作业: 结合第4题能否找到一种较精确地刻画 曲线上某一点处的变化趋势的方法呢? 若能,则如何用数学语言来刻画?
练一练,你是最棒的!
3.已知函数f(x)=ax2在区间[1,2]上的平均变化率
为
3 ,则在区间[-2,-1]上的平均变化率为 ( A )
x 2 -x 1
x
数学应用：
1：某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所 示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到 第12个月该婴儿体重的平均变化率。
W(kg) 11
8.6

平均变化率
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是 4 3 V (r ) r . 3 3 3V 随着 . 若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r ( V ) 4 气球体积
探 究:
65 计算运动员在 0 t 这段时间里的平均速度, 49 并思考下面的问题:
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，
需要用瞬时速度描述运动状态。
问题3：
现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载. 3月18日 4月18日 4月20日 时间 日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度 变化，用曲线图表示为：
T (℃ )
30 20 10 A (1, 3.5)
2 0
C (34, 33.4) （注： 3月18日 为第一天） B (32, 18.6)
2
10
20
30
34
t(d)
T (℃ ) 30 20
C (34, 33.4)
B (32, 18.6)
逐渐变大, r (1) r (0) 0.62(dm ), 它的平均 r ( 1 ) r ( 0 ) 气球的平均膨胀率为 0.62(dm/L ), 膨胀率逐 1 0 当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了 渐变小
r ( 2) r (1) 气球的平均膨胀率为 0.16(dm/L ), 2 1

• •
（2）当 ，x0
我们发现，当
1 时，x求函1数,的1平, 1均变化率． 一定时， 越3大，2函数的平均变化率也越大．
x0
x
• 【例】求函数 在y 到 1 • 【解】当自变量从 变到x
之间x0的平均x0变化率x
时，函数的平均变化率为
x0 x0 x
(x0 0).
1 1
• 【探索与思f 考(x】0 x) f (x0 ) x0 x x0
x
x
• 【例】求函数 在y 到x2 之间x0的平均x0变化率x．
• 【解】当自变量从 变到 时，函数的平均变化率为
x0 x0 x
•
f (x0
【探索与研究】
x) x
f
(x0 )
( x0
x)2 x
x02
2 x0
x.
• （1）当 ， 时，求函数的平均变化率；
1
x 3
x0 1, 2, 3
• 我们发现，当 一定x时， 越大，函x数0 的平均变化率越大．
x x x0，y y y0 f (x) f (x0 ).
（六）函数平均变化率的辨析
• （5）函数 在y f到(x) 之间x的0 x0 x)
x
2x
• （6）函数的平均变化率与直线的斜率有什么关系？
• 函数的平均变化率就是曲线的割线的斜率，这 也是函数平均变化率的几何意义.
1
.
• （1）你能说出该函数的x 平均变化率与它的图象x之间的关系吗(？x0 x)x0
• 在左半支，固定 ，平x均0 变化率随着 的增大而减x小；
固定 ，平均变化率随 x
着 的增大而减小．
x0
• 在右半支，固定 ，平均变化率随着 的增大而增大；

解读平均变化率的意义变化率问题在生活或学习中经常遇到，这类问题经常借助于函数求解，而对函数平均变化率理解显得尤为重要，下面我们据其定义浅析函数平均变化率的几何意义和物理意义．1．平均变化率的几何意义：如右图：由图可知，设函数()x f y =在10,x x 处对应函数图象上的两点()()1100,,,y x B y x A ，不妨设10x x <，则此函数在区间[]10,x x率xy∆∆()()01010101x x y y x x x f x f --=--=就是经过函数图象上两点()()1100,,,y x B y x A 的割线斜率．注意点：⑴自变量的改变量0≠∆x ，但可正可负；⑵函数()x f 在0x 处有定义，1x 是函数定义域内0x 附近的一点； ⑶xy ∆∆()()01010101x x y y x x x f x f --=--=中自变量的改变量与函数值的改变量，二者差值顺序上对应要一致．如：若01x x x -=∆，则=∆y ()()01x f x f -，而不是=∆y ()()10x f x f -；⑷直线斜率有正有负有零，平均变化率也有正有负有零．例1：分别求函数2x y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，、⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0和⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21的平均变化率，并说明图像的变化情况．分析：根据平均变化率的几何意义可直接求相应割线斜率． 解：设()2x x f y ==，如下图：据平均变化率的几何意义知，函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，内的平均变化率为： ()2121041021021-=--=---⎪⎭⎫⎝⎛-=∆∆f f x y ；y21１21-２xyＯＡＢ1x 0x 0y 1y函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0内的平均变化率为：()2121041021021=-=--⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆f f x y ； 函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21内的平均变化率为：()2321411211211=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=∆∆f f x y ； 由上面所求结果可以看出，函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21内的平均变化率大于在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0内的平均变化率，所以函数图像在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21内的比在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0的要陡一些；函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，内与在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0的平均变化率符号相反，但绝对值相等，函数在这两段内的图像升降变化快慢相同，但平均变化率为正时图像从左向右上升，平均变化率为负时，图像从左向右下降．评注：函数平均变化率的绝对值大，图像相对要陡一些，平均变化率绝对值小，图像相对要平缓，平均变化率能近似刻画图像的升降快慢．在较小范围内，平均变化率为正，图像从左向右上升，反之下降．２.平均变化率的的物理意义设()t s S =表示物体运动路程S 关于时间t 的函数，设(),11S t s =()22S t s =，其中210t t <≤，则()t s S =在[]21,t t 内的平均变化率为1212t t S S t S --=∆∆，它表示从1t 到2t 这段时间内，物体的平均速度．说明：平均变化率大，说明物体运动的相对快一些，反之较慢.平均变化率能近似反应物体在某短时间内运动的快慢.例2：自由落体的方程为221gt s =,s m g /10=，一物体从t=1状态下开始自由落下，01.0秒后，物体运动路程的增量为 米，在1=t 附近的平均变化率为 ，这01.0秒内物体的平均速度为 ．分析：物体运动路程的增量就是函数值的差值，物体01.0秒内的平均速度就是在[]01.01，内的平均变化率；可借助于割线斜率求解．解：⑴因为物体自由落体的方程为221gt s =,s m g /10=，则25t s =，所以1=t 时，5=s ；01.1=t 时，1005.5=s ，则物体运动路程的增量为=∆s 1005.051005.5=-()m ． ⑵t=1附近的平均变化率为为()10455152+∆-∆=∆-∆+=∆∆tt t t t s ()0≠∆t ． ⑶根据平均变化率的物理意义知，这01.0秒内物体的平均速度为：05.1001.01005.0==∆∆t s )/(s m ． 评注：路程关于时间的函数的平均变化率是物体在某短时间内的平均速度，掌握这一物理意义，可用于解决一些实际问题．以上是对函数平均变化率的定义及意义的浅析．理解平均变化率的意义，并能熟练应用是后面理解导数的基础．。

高二数学平均变化率课题平均变化率课型新授时间09/ 9 /学习目标1．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景；2．会求平均变化率。

学习重点平均变化率的实际意义与数学意义一、自主学习一．问题情境某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：问题1："从A到B的位移是？从B到C的位移是？"问题2："AB段与BC段哪一段速度较快？"速度快慢是生活用语，怎样将它数学化？从图形看，曲线上BC之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？问题3：由点B上升到C点仅考察的大小，能否精确量化BC段陡峭的程度？还应该考察什么？这两部分结合在一起实际上就是研究，进而反映了速度快慢。

（函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变而言。

）由此，上图中，位移在区间上的平均变化率为与位移在区间上的平均变化率。

通过两者的比较，就可以感知曲线陡峭程度的量化。

二．数学构建一般地，给出函数在区间上的平均变化率为：请回到位移曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义解释：数：；形：。

说明：用平均变化率来量化一段曲线的陡峭程度是"粗糙不精确的"，但应注意当很小时，这种量化便由"粗糙"逼迫"精确"。

三．自学检测：1.课本（文）P59（理）P7练习1，结论是。

2.甲、乙两汽车，速度从分别加速到和，如何评判两车的性能？。

二、问题探究问题1．课本（文）P58（理）P7页例1、例2，并注意小结（1）如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1（月）？（2）例1中两个不同的平均变化率的实际意义是什么？（3）例2中是一个随时间变化而变化的量，（）是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积减少的速度？问题2．课本（文）P58（理）P7例3、例4，并注意小结（1）例3、例4均为数学内部的例子，是例1、例2的深化。