勾股定理知识点常见题型总结
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专题2.6 勾股定理及其逆定理【九大题型】【浙教版】【题型1 勾股定理的运用】 (1)【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】 (5)【题型3 勾股定理解勾股树问题】 (8)【题型4 勾股定理解动点问题】 (10)【题型5 勾股定理的验证】 (14)【题型6 直角三角形的判定】 (19)【题型7 勾股数问题】 (22)【题型8 格点图中求角的度数】 (24)【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】 (27)【题型1 勾股定理的运用】【例1】(2022•和平区三模)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,CD=1.5,BD=2.5,则AC的长为( )A.5B.4C.3D.2【分析】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE,再利用勾股定理列式求出BE,然后设AC=AE=x,根据勾股定理列式计算即可得解.【解答】解:如图,过D作DE⊥AB于E,∵∠C =90°,AD 平分∠CAB ,CD =1.5,∴DE =CD =1.5,在Rt △DEB 中,由勾股定理得:BE ==2,∵AD =AD ,CD =DE ,∠C =∠AED ,∴Rt △ACD ≌Rt △AED ,∴AC =AE ,设AC =AE =x ,则AB =x +2,由勾股定理得:AB 2=AC 2+CB 2,即(x +2)2=x 2+42,解得x =3,∴AC =3.故选:C .【变式1-1】(2022春•上杭县期中)如图在Rt △ABC 中,∠B =90°,AB =8,AC =10,AC 的垂直平分线DE 分别交AB 、AC 于D 、E 两点,则BD 的长为( )A .32B .74C .2D .52【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD =AD ,故AB =BD +AD =BD +CD ,设CD =x ,则BD =8﹣x ,在Rt △BCD 中根据勾股定理求出x 的值即可解答.【解答】解:∵∠B =90°,AB =8,AC =10,∴BC =6,∵DE是AC的垂直平分线,∴CD=AD,∴AB=BD+AD=BD+CD=8,设CD=x,则BD=8﹣x,在Rt△BCD中,CD2=BC2+BD2,即x2=62+(8﹣x)2,解得x=6.25.∴BD=8﹣6.25=1.75=7 4.故选:B.【变式1-2】(2022春•汉阳区期中)如图,在△ABC中AB=AC=10,BC=16,若∠BAD=3∠DAC,则CD= .【分析】先作AE⊥BC于点E,作DF⊥AC于点F,然后根据等腰三角形的性质和勾股定理,可以得到AE的值,AD平分∠EAC,从而可以得到DE=DF,再根据等面积法即可求得CD的长.【解答】解:作AE⊥BC于点E,作DF⊥AC于点F,如图所示,∵AB=AC=10,BC=16,∴CE=8,∴AD6,设∠CAD=x,则∠CAD=3x,∵AE⊥BC,AB=AC,∴∠BAE=∠CAE=2x,∴∠EAD=∠DAC,∴DE=DF,设CD=a,则DE=8﹣a,∵CD⋅AE2=AC⋅DF2,∴a×62=10×(8a)2,解得a=5,即CD=5,故答案为:5.【变式1-3】(2021秋•朝阳区校级期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=30,D是AC上一点,AD:CD=25:7,且DB=DA,过AB上一点P,作PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF长是 .【分析】如图作AH⊥BD交BD的延长线于H,设AD=BD=25k,CD=7k,在Rt△DCB中,BC==24k,在Rt△ACB中,由AC2+BC2=AB2,可得(32k)2+(24k)2=302,推出k=34,BC=18,由△ADH≌△BDC,推出AH=BC=18,由S△ABD =12•BD•AH=12•AD•PF+12•BD•PF,推出PE+PF=AH=18,【解答】解:如图作AH⊥BD交BD的延长线于H,设AD=BD=25k,CD=7k,在Rt△DCB中,BC==24k,在Rt△ACB中,∵AC2+BC2=AB2,∴(32k)2+(24k)2=302,∴k=3 4,∴BC=18,在△ADH和△BDC中,∠ADH=∠BDC∠H=∠C=90°AD=BD,∴△ADH≌△BDC,∴AH=BC=18,∵S△ABD =12•BD•AH=12•AD•PF+12•BD•PF,∴PE+PF=AH=18,故答案为18.【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】【例2】(2022春•长沙月考)已知△ABC中,AB=13,AC=15,BC边上的高为12.则△ABC的面积为( )A.24或84B.84C.48或84D.48【分析】在Rt△ABD和Rt△ACD中分别进行计算,求出BD和CD,再根据三角形的面积公式即可求解.【解答】解:∵AB=13,AC=15,BC边上的高AD=12,在Rt△ABD中,BD=5,在Rt△ACD中,DC=9,∴BC=BD+DC=14,BC=DC﹣BD=4,∴△ABC的面积=12×14×12=84,或=12×4×12=24;故选:A.【变式2-1】(2022春•宁津县期中)△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是( )A.42B.32C.42或32D.42或37【分析】本题应分两种情况进行讨论:(1)当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD和Rt△ACD中,运用勾股定理可将BD和CD的长求出,两者相加即为BC的长,从而可将△ABC的周长求出;(2)当△ABC为钝角三角形时,在Rt△ABD和Rt△ACD中,运用勾股定理可将BD和CD的长求出,两者相减即为BC的长,从而可将△ABC的周长求出.【解答】解:此题应分两种情况说明:(1)当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD中,BD=9,在Rt△ACD中,CD=5∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为:15+13+14=42;(2)当△ABC为钝角三角形时,在Rt△ABD中,BD=9,在Rt△ACD中,CD=5,∴BC=9﹣5=4.∴△ABC的周长为:15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长为42;当△ABC为钝角三角形时,△ABC的周长为32.综上所述,△ABC的周长是42或32.故选:C.【变式2-2】(2022春•香河县期中)已知直角三角形两边的长为5和12,则此三角形的周长为( )A.30B+17C17或30D.36【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x,由于12是直角边还是斜边不能确定,故应分12是斜边或x为斜边两种情况讨论.【解答】解:设Rt△ABC的第三边长为x,①当12为直角三角形的直角边时,x为斜边,由勾股定理得,x=13,此时这个三角形的周长=5+12+13=30;②当12为直角三角形的斜边时,x为直角边,由勾股定理得,x=5+1217,综上所述,该三角形的周长为30+17.故选:C.【变式2-3】(2022春•海淀区校级期中)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,AB=5.点P在直线AC 上,且BP=6,则线段AP的长为 .【分析】当点P在CA延长线上时,当点P在AC延长线上时,根据勾股定理即可得到结论.【解答】解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,AB=5,∴BC=3,当点P在CA延长线上时,∵BP=6,BC=6,∴CP===∴AP=CP﹣AC=―4;当点P在AC延长线上时,∵BP′=6,BC=3,∴CP′=∴AC+CP′=综上所述,线段AP的长为―4或+4;故答案为:―4或+4.【题型3 勾股定理解勾股树问题】【例3】(2021秋•南关区期末)如图,所有阴影部分四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24,则正方形C 的面积为( )A .4B .6C .8D .12【分析】根据勾股定理的几何意义:S 正方形A +S 正方形B =S 正方形E ,S 正方形D ﹣S 正方形C =S 正方形E 解得即可.【解答】解:由题意:S 正方形A +S 正方形B =S 正方形E ,S 正方形D ﹣S 正方形C =S 正方形E ,∴S 正方形A +S 正方形B =S 正方形D ﹣S 正方形C∵正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24,∴24﹣S 正方形C =6+10,∴S 正方形C =8.故选:C .【变式3-1】(2021秋•高新区校级期末)如图,在四边形ABCD 中,∠DAB =∠BCD =90°,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,若S 1+S 4=135,S 3=49,则S 2=( )A .184B .86C .119D .81【分析】利用勾股定理的几何意义解答.【解答】解:由题意可知:S 1=AB 2,S 2=BC 2,S 3=CD 2,S 4=AD 2,连接BD,在直角△ABD和△BCD中,BD2=AD2+AB2=CD2+BC2,即S1+S4=S3+S2,因此S2=135﹣49=86,故选:B.【变式3-2】(2022春•泗水县期中)有一个边长为1的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,变成了如图,如果继续“生长”下去,他将变得“枝繁叶茂”,请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为( )A.2020B.2021C.2022D.2023【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和,结合图形总结规律,根据规律解答即可.【解答】解:由题意得,正方形A的面积为1,由勾股定理得,正方形B的面积+正方形C的面积=1,∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,同理可得,“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,……∴“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023.故选:D.【变式3-3】(2022春•张湾区期中)如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC:BC=4:3,这个直角三角形三边上分别有一个正方形.执行下面的操作:由两个小正方形向外分别作直角边之比为4:3的直角三角形,再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形,图③是2次操作后的图形.如果图①中的直角三角形的周长为12,那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为( )A.225B.250C.275D.300【分析】根据勾股定理、三角形的周长公式分别求出AC=4,BC=3,AB=5,根据勾股定理计算得出规律,根据规律解答即可.【解答】解:设AC=4x,则BC=3x,由勾股定理得:AB=5x,∵△ABC的周长为12,∴3x+4x+5x=12,解得:x=1,∴AC=4,BC=3,AB=5,第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为:32+42+32+42+52=25+50,第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为:32+42+32+42+32+42+52=25×2+50,第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为:32+42+32+42+32+42+32+42+52=25×3+50,……第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为:25×10+50=300,故选:D.【题型4 勾股定理解动点问题】【例4】(2021秋•开福区校级期末)如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,AB=25cm,AC=7cm,动点P从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动,设运动时间为ts ,当△APB 为等腰三角形时,t 的值为( )A .62596或252B .252或24或12C .62596或24或12D .62596或252或24【分析】当△ABP 为等腰三角形时,分三种情况:①当AB =BP 时;②当AB =AP 时;③当BP =AP 时,分别求出BP 的长度,继而可求得t 值.【解答】解:∵∠C =90°,AB =25cm ,AC =7cm ,∴BC =24cm .①当BP =BA =25时,∴t =252.②当AB =AP 时,BP =2BC =48cm ,∴t =24.③当PB =PA 时,PB =PA =2t cm ,CP =(24﹣2t )cm ,AC =7cm ,在Rt △ACP 中,AP 2=AC 2+CP 2,∴(2t )2=72+(24﹣2t )2,解得t =62596.综上,当△ABP 为等腰三角形时,t =252或24或62596,故选:D .【变式4-1】(2021秋•宛城区期末)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC =40cm ,AC =30cm ,动点P 从点B 出发沿射线BA 以2cm /s 的速度运动.则当运动时间t = s 时,△BPC 为直角三角形.【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB 的长度,利用三角形的面积求出斜边上的高CD ,再分两种情况进行讨论:①当∠BCP 为直角时,②当∠BPC 为直角时,分别求出此时的t 值即可.【解答】解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=40cm,AC=30cm,∴AB=50(cm).如图,作AB边上的高CD.∵S△ABC =12AB•CD=12AC•BC,∴CD=AC⋅BCAB=30×4050=24(cm).①当∠BCP为直角时,点P与点A重合,BP=BA=50cm,∴t=50÷2=25(秒).②当∠BPC为直角时,P与D重合,BP=2tcm,CP=24cm,BC=40cm,在Rt△BCP中,∵BP2+CP2=BC2,∴(2t)2+242=402,解得t=16.综上,当t=25或16秒时,△BPC为直角三角形.故答案为:25或16.【变式4-2】(2022春•蚌山区校级期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动.设点P的运动时间为t秒(t>0).(1)BC的长是 .(2)当点P刚好在∠BAC的角平分线上时,t的值为 .【分析】(1)由勾股定理可直接求解;(2)过点P作PD⊥AB,结合题意,由角平分线的性质可推得BP,PD,BD的长,再根据勾股定理即可求解.【解答】解:(1)在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,BC6,故答案为:6;(2)当点P在∠BAC的角平分线上时,过点P作PD⊥AB,如图.∵AP平分∠BAC,BC⊥AC,PD⊥AB,点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C 运动.∴PD=PC=16﹣2t,BP=2t﹣10,∴AD=AC=8,∴BD=2.在Rt△BDP中,由勾股定理得22+(16﹣2t)2=(2t﹣10)2,解得t=20 3,故答案为:20 3.【变式4-3】(2022春•河东区期中)如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,同时停止.(1)P、Q出发4秒后,求PQ的长;(2)当点Q在边CA上运动时,出发几秒钟后,△CQB能形成直角三角形?【分析】(1)根据题意可以先求出BQ和BP的长,然后根据勾股定理即可求得PQ的长;(2)根据题意可知存在两种情况,然后分别计算出相应的时间即可.【解答】解:(1)由题意可得,BQ=2×4=8(cm),BP=AB﹣AP=16﹣1×4=12(cm),∵∠B=90°,∴PQ cm),即PQ的长为;(2)当BQ⊥AC时,∠BQC=90°,∵∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,∴AC=20(cm),∵AB⋅BC2=AC⋅BQ2,∴16×122=20BQ2,解得BQ=485cm,∴CQ=365(cm),∴当△CQB是直角三角形时,经过的时间为:(12+365)÷2=9.6(秒);当∠CBQ=90°时,点Q运动到点A,此时运动的时间为:(12+20)÷2=16(秒);由上可得,当点Q在边CA上运动时,出发9.6秒或16秒后,△CQB能形成直角三角形.【题型5 勾股定理的验证】【例5】勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜的发现,当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b﹣a∵S四边形ADCB =S△ACD+S△ABC=12b2+12ab.又∵S四边形ADCB =S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b﹣a)∴12b2+12ab=12c2+12a(b﹣a)∴a2+b2=c2请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.【分析】首先连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b﹣a,表示出S五边形ACBED,两者相等,整理即可得证.【解答】证明:连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b﹣a,∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab,又∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a(b﹣a),∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a(b﹣a),∴a2+b2=c2.【变式5-1】(2022春•巢湖市校级期中)学习勾股定理之后,同学们发现证明勾股定理有很多方法.某同学提出了一种证明勾股定理的方法:如图1点B是正方形ACDE边CD上一点,连接AB,得到直角三角形ACB,三边分别为a,b,c,将△ACB裁剪拼接至△AEF位置,如图2所示,该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理.请你写出该方法证明勾股定理的过程.【分析】连接BF ,由图1可得正方形ACDE 的面积为b 2,由图2可得四边形ABDF 的面积为三角形ABF 与三角形BDF 面积之和,再利用正方形ACDE 的面积与四边形ABDF 的面积相等即可证明.【解答】证明:如图,连接BF ,∵AC =b ,∴正方形ACDE 的面积为b 2,∵CD =DE =AC =b ,BC =a ,EF =BC =a ,∴BD =CD ﹣BC =b ﹣a ,DF =DE +EF =a +b ,∵∠CAE =90°,∴∠BAC +∠BAE =90°,∵∠BAC =∠EAF ,∴∠EAF +∠BAE =90°,∴△BAE 为等腰直角三角形,∴四边形ABDF 的面积为:12c 2+12(b ﹣a )(a +b )=12c 2+12(b 2﹣a 2),∵正方形ACDE 的面积与四边形ABDF 的面积相等,∴b 2=12c 2+12(b 2﹣a 2),∴b 2=12c 2+12b 2―12a 2,∴12a 2+12b 2=12c 2,∴a 2+b 2=c 2.【变式5-2】(2021秋•朝阳区期末)【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理,如图①,用四个直角三角形拼成正方形,通过证明可得中间也是一个正方形.其中四个直角三角形直角边长分别为a 、b ,斜边长为c .图中大正方形的面积可表示为(a +b )2,也可表示为c 2+4×12ab ,即(a +b )2=c 2+4×12ab ,所以a 2+b 2=c 2.【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示,用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE ,其中△BCA ≌△ADE ,∠C =∠D =90°,根据拼图证明勾股定理.【定理应用】在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c .求证:a 2c 2+a 2b 2=c 4﹣b 4.【分析】【尝试探究】根据阅读内容,图中梯形的面积分别可以表示为ab +12(a 2+b 2)=ab +12c 2,即可证得a 2+b 2=c 2;【定理应用】分解因式,根据勾股定理即可得到结论.【解答】证明:【尝试探究】梯形的面积为S =12(a +b )(b +a )=ab +12(a 2+b 2),利用分割法,梯形的面积为S =△ABC +S △ABE +S ADE =12ab +12c 2+12ab =ab +12c 2,∴ab +12(a 2+b 2)=ab +12c 2,∴a 2+b 2=c 2;【定理应用】∵a 2c 2+a 2b 2=a 2(c 2+b 2),c 4﹣b 4=(c 2+b 2)(c 2﹣b 2)=(c 2+b 2)a 2,∴a 2c 2+a 2b 2=c 4﹣b 4.【变式5-3】(2022春•寿光市期中)如图①,美丽的弦图,蕴含着四个全等的直角三角形.(1)弦图中包含了一大,一小两个正方形,已知每个直角三角形较长的直角边为a ,较短的直角边为b ,斜边长为c ,结合图①,试验证勾股定理.(2)如图②,将这四个直角三角形紧密地拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓(粗线)的周长为24,OC=3,求该飞镖状图案的面积.(3)如图③,将八个全等的直角三角形紧密地拼接,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT 的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=40,则S2= .【分析】(1)通过图中小正方形面积证明勾股定理;(2)可设AC=x,根据勾股定理列出方程可求x,再根据直角三角形面积公式计算即可求解;(3)根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x,将其余八个全等的三角形面积一个设为y,从而用x,y表示出S1,S2,S3,得出答案即可.【解答】解:(1)S小正方形=(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,另一方面S小正方形=c2﹣4×12ab=c2﹣2ab,即b2﹣2ab+a2=c2﹣2ab,则a2+b2=c2.(2)24÷4=6,设AC=x,依题意有(x+3)2+32=(6﹣x)2,解得x=1,12×(3+1)×3×4=12×4×3×4=24.故该飞镖状图案的面积是24.(3)将四边形MTKN的面积设为x,将其余八个全等的三角形面积一个设为y,∵正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,S1+S2+S3=40,∴得出S1=8y+x,S2=4y+x,S3=x,∴S1+S2+S3=3x+12y=40,∴x+4y=40 3,∴S2=x+4y=40 3.故答案为:40 3.【题型6 直角三角形的判定】【例6】(2022春•绥宁县期中)若△ABC的三边长分别为a、b、c,下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有( )①∠A=∠B﹣∠C,②∠A:∠B:∠C=3:4:5,③∠A=90°﹣∠B,④∠A=∠B=12∠C,⑤a2=(b+c)(b﹣c),⑥a:b:c=5:12:13.A.3个B.4个C.5个D.6个【分析】根据直角三角形的定义,勾股定理的逆定理一一判断即可.【解答】解:①∵∠A=∠B﹣∠C,∴∠A+∠C=∠B,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B=90°,∴是直角三角形;②∵∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=75°,不是直角三角形;③∵∠A=90°﹣∠B,∴∠A+∠B=90°,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=90°,∴是直角三角形;④∵∠A=∠B=12∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=90°,是直角三角形;⑤∵a2=(b+c)(b﹣c),∴a2=b2﹣c2,a2+c2=b2,是直角三角形;⑥∵a:b:c=5:12:13,∴52+122=132,∴a2+b2=c2,是直角三角形;故选:C.【变式6-1】(2022春•赣州月考)下列满足条件的三角形中,不是直角三角形的是( )A.在△ABC中,若a=35c,b=45c.则△ABC为直角三角形B.三边长的平方之比为1:2:3C.三内角之比为3:4:5D.三边长分别为a,b,c,c=1+n2,a=n2﹣1,b=2n(n>1)【分析】先求出两小边的平方和,再求出最长边的平方,看看是否相等,即可判断选项A、选项B和选项D;根据三角形内角和定理求出最大角的度数,即可判断选项C.【解答】解:A.∵a=35c,b=45c,∴a2+b2=925c2+1625c2=c2,∴△ABC是直角三角形,故本选项不符合题意;B.∵三边长的平方之比为1:2:3(1+2=3),∴此三角形的两小边的平方和等于最长边的平方,∴此三角形是直角三角形,故本选项不符合题意;C.∵三角形的三内角之比为3:4:5,三角形的内角和等于180°,∴最大角的度数是5345×180°=75°<90°,∴此三角形不是直角三角形,故本选项符合题意;D.∵c=1+n2,a=n2﹣1,b=2n,∴a2+b2=(n2﹣1)2+(2n)2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1,c2=(1+n2)2=1+2n2+n4,∴c2=a2+b2,∴△ABC是直角三角形,故本选项不符合题意;故选:C.【变式6-2】(2022春•汉滨区期中)若△ABC的三边长a,b,c满足(a﹣c)2=b2﹣2ac,则( )A.∠A为直角B.∠B为直角C.∠C为直角D.△ABC不是直角三角形【分析】根据已知条件可得a2+c2=b2,即可判定△ABC的形状.【解答】解:∵(a﹣c)2=b2﹣2ac,∴a2+c2=b2,∴△ABC是直角三角形,且∠B是直角,故选:B.【变式6-3】(2022春•开州区期中)下列是直角三角形的有( )个①△ABC中a2=c2﹣b2②△ABC的三内角之比为3:4:7③△ABC的三边平方之比为1:2:3④三角形三边之比为3:4:5A.1B.2C.3D.4【分析】根据勾股定理的逆定理,三角形的内角和定理进行计算,逐一判断即可解答.【解答】解:①∵a2=c2﹣b2,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形;②∵△ABC的三内角之比为3:4:7,∴△ABC中最大角的度数为:180°×7347=90°,∴△ABC是直角三角形;③∵△ABC的三边平方之比为1:2:3,∴设三边的平方分别为k,2k,3k,∵k+2k=3k,∴△ABC是直角三角形;④∵三角形三边之比为3:4:5,∴设三边分别为3a,4a,5a,∵(3a)2+(4a)2=(5a)2,∴△ABC是直角三角形,所以,上列是直角三角形的有4个,故选:D.【题型7 勾股数问题】【例7】(2022春•滑县月考)在学习“勾股数”的知识时,小明发现了一组有规律的勾股数,并将它们记录在如下的表格中.a68101214…b815243548…c1017263750…则当a=24时,b+c的值为( )A.162B.200C.242D.288【分析】先根据表中的数据得出规律,根据规律求出b、c的值,再求出答案即可.【解答】解:从表中可知:a依次为6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,…,即24=2×(10+2),b依次为8,15,24,35,48,…,即当a=24时,b=122﹣1=143,c依次为10,17,26,37,50,…,即当a=24时,c=122+1=145,所以当a=24时,b+c=143+145=288.故选:D.【变式7-1】(2022•湖北)勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》:“勾广三,股修四,经隅五”.观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,这类勾股数的特点是:勾为奇数,弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;…,若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是 (结果用含m的式子表示).【分析】根据题意得2m为偶数,设其股是a,则弦为a+2,根据勾股定理列方程即可得到结论.【解答】解:∵m为正整数,∴2m为偶数,设其股是a,则弦为a+2,根据勾股定理得,(2m)2+a2=(a+2)2,解得a=m2+1,综上所述,其弦是m2+1,故答案为:m2+1.【变式7-2】(2022春•白云区期末)(1)3k,4k,5k(k是正整数)是一组勾股数吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;(2)如果a,b,c是一组勾股数,那么ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由.【分析】(1)根据勾股数的定义:满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数,即可判断3k,4k,5k (k是正整数)是不是一组勾股数;(2)根据勾股数的定义:满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数,即可判断ak,bk,ck(k是正整数)是不是一组勾股数.【解答】证明:(1)3k,4k,5k(k是正整数)是一组勾股数,理由如下:∵k是正整数,∴3k,4k,5k都是正整数,∵(3k)2+(4k)2=(5k)2,∴3k,4k,5k(k是正整数)是一组勾股数;(2)ak,bk,ck(k是正整数)是一组勾股数,理由如下:∵a,b,c是一组勾股数,且k是正整数,∴ak,bk,ck是三个正整数,∵a2+b2=c2,∴(ak)2+(bk)2=a2k2+b2k2=(a2+b2)k2=c2k2=(ck)2,∴ak,bk,ck(k是正整数)是一组勾股数.【变式7-3】(2022•石家庄三模)已知:整式A=n2+1,B=2n,C=n2﹣1,整式C>0.(1)当n=1999时,写出整式A+B的值 (用科学记数法表示结果);(2)求整式A2﹣B2;(3)嘉淇发现:当n取正整数时,整式A、B、C满足一组勾股数,你认为嘉淇的发现正确吗?请说明理由.【分析】(1)根据题意可得,A+B=(n2+1+2n)=(n+1)2,把n=1999代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案;(2)把A=n2+1,B=2n,代入A2﹣B2中,可得(n2+1)2﹣(2n)2,应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案;(3)先计算B2+C2=(2n)2+(n2﹣1)2,计算可得(n2+1)2,应用勾股定理的逆定理即可得出答案.【解答】解:(1)A+B=(n2+1+2n)=(n+1)2,当n=1999时,原式=(1999+1)2=20002=4×106;故答案为:4×106;(2)A2﹣B2=(n2+1)2﹣(2n)2=(n2)2+2n2+1﹣4n2=(n2)2﹣2n2+1=(n2﹣1)2;(3)嘉淇的发现正确,理由如下:∵B2+C2=(2n)2+(n2﹣1)2=4n2+(n2)2﹣2n2+1=(n2+1)2,∴B2+C2=A2,∴当n取正整数时,整式A、B、C满足一组勾股数.【题型8 格点图中求角的度数】【例8】(2021秋•伊川县期末)如图,正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的,点E,F均在格点(每个小正方形的顶点都是格点)上,连接AE,AF,则∠EAF的度数是 .【分析】先连接EF,然后根据勾股定理可以求得AE、EF、AF的长,再根据勾股定理的逆定理即可判断△AEF的形状,再根据AE和EF的关系,即可得到∠EAF的度数.【解答】解:连接EF,如右图所示,设每个小正方形的边长为1,则AE=EF AF==∴AE2+EF22+2=5+5=102=AF2,∴△AEF是直角三角形,∠AEF=90°,又∵AE=EF,∴∠EAF=∠EFA=45°,故答案为:45°.【变式8-1】(2022•惠山区一模)如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格,点A,B,P是网格线的交点,则∠PAB+∠PBA= °.【分析】延长AP交格点于D,连接BD,根据勾股定理和逆定理证明∠PDB=90°,根据三角形外角的性质即可得到结论.【解答】解:延长AP交格点于D,连接BD,则PD2=BD2=12+22=5,PB2=12+32=10,∴PD2+DB2=PB2,∴∠PDB=90°,∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°.故答案为:45.【变式8-2】(2022春•武侯区校级期末)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C,D,P都在格点上,连接AP,CP,CD,则∠PAB﹣∠PCD= .【分析】连接AE,PE,求出∠PAB﹣∠PCD=∠PAE,根据勾股定理求出AP、PE、AE,根据勾股定理的逆定理求出△PAE是直角三角形,再根据等腰直角三角形的性质得出即可.【解答】解:如图所示:连接AE,PE,则△PCD≌△EAF,所以∠PCD=∠EAF,∴∠PAB﹣∠PCD=∠PAB﹣∠EAF=∠PAE,∵由勾股定理得:AP2=PE2=22+12=5,AE2=32+12=10,∴AP2+PE2=AE2,∴△PAE是等腰直角三角形,∴∠PAE=45°,即∠PAB﹣∠PCD=∠PAE=45°,故答案为:45°.【变式8-3】(2022春•孝南区期中)如图所示的网格是正方形网格,△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点,那么∠BCA+∠DCE= .【分析】连接AD,构建等腰直角三角形,利用勾股定理和逆定理得:∠ADC=90°,∠ACD=45°,最后根据平角的定义可得结论.【解答】解:连接AD,由勾股定理得:AD2=12+32=10,CD2=12+32=10,AC2=22+42=20,∴AD=CD,AD2+CD2=AC2,∴∠ADC=90°,∴∠CAD=∠ACD=45°,观察图形可知,△BFC和△CGE都是等腰直角三角形,∴∠BCF=45°,∠ECG=45°,∴∠BCA+∠DCE=180°﹣45°﹣45°﹣45°=45°,故答案为:45°.【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】【例9】(2021秋•蓝田县校级期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D是CA的延长线上一点,连接BD.(1)若AC=8,AD=17,BD=15,判断AB与BD的位置关系,并说明理由;(2)若∠D=28°,∠DBC=121°,求∠DAB的度数.【分析】(1)由勾股定理的逆定理可得出答案;(2)由三角形内角和定理求出∠C=31°,由等腰三角形的性质得出∠C=∠ABC=31°,则可得出答案.【解答】解:(1)AB⊥BD.理由:∵AC=8,AD=17,BD=15,∴AC2+BD2=82+152=289,AD2=289,∴AC2+BD2=AD2,∴∠DBA=90°,∴AB⊥DB;(2)∵∠D=28°,∠DBC=121°,∴∠C=180°﹣∠D﹣∠DBC=31°,∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=31°,∴∠DAB=∠C+∠ABC=31°+31°=62°.【变式9-1】(2022春•陵城区期中)如图,在△ABC中,AD、BE分别为边BC、AC的中线,分别交BC、AC于点D、E.(1)若CD=4,CE=3,AB=10,求证:∠C=90°;(2)若∠C=90°,AD=6,BE=8,求AB的长.【分析】(1)根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可求解;(2)根据中点的定义和勾股定理即可求解.【解答】(1)证明:∵AD、BE分别为边BC、AC的中线,CD=4,CE=3,∴AC=6,BC=8,∵AB=10,∴AB2=AC2+BC2,∴△ABC是直角三角形,∴∠C=90°;(2)解:∵∠C=90°,AD=6,BE=8,∴AC2+CD2=AD2,BC2+CE2=BE2,∵AD、BE分别为边BC、AC的中线,∴CD=12BC,CE=12AC,∴AC2+(12BC)2=36,BC2+(12AC)2=64,∴54AC2+54BC2=100,∴AC2+BC2=80,∴AB==【变式9-2】(2021春•当涂县期末)如图,在△ABC中.D是AB边的中点,DE⊥AB于点D,交AC于点E,且AE2﹣CE2=BC2,(1)试说明:∠C=90°;(2)若DE=6,BD=8,求CE的长.【分析】(1)连接BE,依据DE垂直平分AB,即可得到AE=BE,再根据AE2﹣CE2=BC2,可得BE2﹣CE2=BC2,进而得到△BCE是直角三角形;(2)依据勾股定理可得BE的长为10,再根据勾股定理即可得到方程162﹣(10+x)2=102﹣x2,解方程即可得出CE的长.【解答】解:(1)如图所示,连接BE,∵D是AB边的中点,DE⊥AB于点D,∴DE垂直平分AB,∴AE=BE,又∵AE2﹣CE2=BC2,∴BE2﹣CE2=BC2,∴△BCE是直角三角形,且∠C=90°;(2)Rt△BDE中,BE=10,∴AE=10,设CE=x,则AC=10+x,而AB=2BD=16,Rt△ABC中,BC2=AB2﹣AC2=162﹣(10+x)2,Rt△BCE中,BC2=EB2﹣EC2=102﹣x2,∴162﹣(10+x)2=102﹣x2,解得x =2.8,∴CE =2.8.【变式9-3】(2022春•汉阳区校级月考)如图,在四边形ABCD 中,∠ABC =90°,AB =6,BC =8,CD =10,AD =(1)求四边形ABCD 的面积.(2)求对角线BD 的长.【分析】(1)连接AC ,然后根据勾股定理可以求得AC 的长,再根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD 的形状,从而可以求得四边形ABCD 的面积;(2)作DE ⊥BC ,然后根据三角形全等和勾股定理,可以求得对角线BD 的长.【解答】解:(1)连接AC ,∵∠ABC =90°,AB =6,BC =8,∴AC ==10,∵CD =10,AD =∴CD 2+AC 2=102+102=200,AD 2=(2=200,∴CD 2+AC 2=AD 2,∴△ACD 是直角三角形,∴四边形ABCD 的面积是:AB⋅BC 2+AC⋅CD 2=6×82+10×102=24+50=74,即四边形ABCD 的面积是74;(2)作DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ,则∠DEC =90°,∵△ACD 是直角三角形,∠ACD =90°,∴∠DCE+∠ACB=90°,∵∠ABC=90°,∴∠CAB+∠ACB=90°,∴∠DCE=∠CAB,在△ABC和△CED中,∠ABC=∠CED∠CAB=∠DCE,AC=CD∴△ABC≌△CED(AAS),∴AB=CE,BC=ED,∵AB=6,BC=8,∴CE=6,ED=8,∴BE=BC+CE=8+6=14,∴BD。
初中数学58种模型勾股定理复习一.知识归纳1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证. c ba HG FEDCB A方法二:b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证 a b ccb a E DCB A3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则c,b =,a②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决. 常见图形:A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一:直接考查勾股定理例1.在ABC ∆中,90C ∠=︒.⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理222a b c +=解:⑴10AB⑵8BC ==题型二:应用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD =⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析:在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解解:⑴4AC , 2.4AC BC CD AB⋅==DB AC⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S =⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例3.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长21DCBA分析:此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解:作DE AB ⊥于E ,12∠=∠,90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积答案:6题型三:实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 mAB CD E分析:根据题意建立数学模型,如图8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m在Rt ADE ∆中,由勾股定理得10AD ==答案:10m题型四:应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23c = 解:①22221.52 6.25a b +=+=,222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=,22516a =,222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状? 解:此三角形是直角三角形 理由:222()264a b a b ab +=+-=,且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证:AB AC =证明:D CB AAD 为中线,5BD DC ∴==cm在ABD ∆中,22169AD BD +=,2169AB =222AD BD AB ∴+=, 90ADB ∴∠=︒,222169AC AD DC ∴=+=,13AC =cm , AB AC ∴=。
勾股定理复习一.知识归纳1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则22c a b =+,22b c a =-,22a cb =-②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.常见图形:题型一:直接考查勾股定理例1.在ABC ∆中,90C ∠=︒.⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理222a b c +=解:⑴2210AB AC BC =+=⑵228BC AB AC =-=题型二:应用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD =⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析:在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解解:⑴224AC AB BC =-=, 2.4AC BC CD AB⋅==⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S =⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例3.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长分析:此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解:作DE AB ⊥于E ,12∠=∠,90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-= Rt ACD Rt AED∆≅∆ AC AE∴=在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积答案:6题型三:实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了m分析:根据题意建立数学模型,如图8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m在Rt ADE ∆中,由勾股定理得10AD =答案:10m题型四:应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆① 1.5a =,2b =, 2.5c =②54a =,1b =,23c =解:①22221.52 6.25a b +=+= ,222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c += ,22516a =,222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状?解:此三角形是直角三角形理由:222()264a b a b ab +=+-= ,且264c =222a b c ∴+=所以此三角形是直角三角形题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证:AB AC =证明:AD 为中线,5BD DC ∴==cm在ABD ∆中,22169AD BD += ,2169AB =222AD BD AB ∴+=,90ADB ∴∠=︒,222169AC AD DC ∴=+=,13AC =cm ,AB AC ∴=。
勾股定理一.知识归纳1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证. c ba HG FEDCB A方法二:b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形的面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证 a b ccb a E DCB A3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而运用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则c,b =,a②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 做比较,若它们相等,则以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,则以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,则以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;②在定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形放入三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,额以a ,b ,c 为三边长的三角形是直角三角形,但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即在222a b c +=中,当a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.运用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提,了解在直角三角形中,斜边和直角边分别是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,运用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,两者相辅相成,完成对问题的解决. 常见图形:A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一:直接考查勾股定理例1.在ABC ∆中,90C ∠=︒.⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接运用勾股定理222a b c +=解:⑴10AB⑵8BC ==题型二:运用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD =⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析:解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解解:⑴4AC , 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S =⑶设两直角边长分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例3.如图,在ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长21E DCBA分析:此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解:作DE AB ⊥于E ,12∠=∠,90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分的面积答案:6题型三:勾股定理的实际应用例5.如图,有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 mAB CD E分析:根据题意建立数学模型,如图,8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m 在Rt ADE ∆中,由勾股定理,得10AD 答案:10m题型四:运用勾股定理的逆定理,判断一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长分别为a ,b ,c ,判断ABC ∆是否为直角三角形 ① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23c = 解:①22221.52 6.25a b +=+=,222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=,22516a =,222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7. 三边长a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状? 解:此三角形是直角三角形理由:222()264a b a b ab +=+-=,且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合运用例8. 在ABC ∆中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证:AB AC =证明:D CB AAD 为中线,5BD DC ∴==cm在ABD ∆中,22169AD BD +=,2169AB =222AD BD AB ∴+=, 90ADB ∴∠=︒,222169AC AD DC ∴=+=,13AC =cm ,AB AC ∴=。
《勾股定理分类练习》题型一:直接考查勾股定理:直角三角形中,若a, b 分别为直角边,c 为斜边,那么直角三角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2变形公式:1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积,则图中A 字母所代表的正方形面积是2、 如图4,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ,B ,C ,D 的面积之和为___________cm 2。
3、在Rt △ABC 中,斜边AB 2 =3,则AB 2+BC 2+AC 2的值是______“知二求一”的题,可以直接利用勾股定理变形公式!4、在ABC ∆中,90C ∠=︒.⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )A .25B .14C .7D .7或251、已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为2、已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为3、已知△ABC ,∠A=90 °, ∠B=30°,AB=5,求AC,BC 的值.题型三:勾股定理的逆定理:1、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( )A .2,3,4B .10,8,4C .7,25,24D .7,15,122、分别有下列几组数据:①6、8、10 ②12、13、5 ③ 17、8 、15 ④4、11、9其中能构成直角三形的有:( )A、4组 B、3组 C、2组 D、1组3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A. 钝角三角形;B. 锐角三角形;C. 直角三角形;D. 等腰三角形4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题(判断真假)题型四、与直角三角形面积相关直角三角形的面积公式:1. 底×高×21 2.两短边相乘×21 (a×b×21 ) 3. 斜边×斜边上的高×21(每种求面积的方法举例两个)1、直角三角形的两直角边分别为5、12,则斜边为__,三角形的面积为__,斜边上的高为 ___2、在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD =3、已知:如图,⊿ABC 中,∠ACB =︒90,AB = 5cm ,BC = 3 cm ,CD ⊥AB 于D ,求CD 的长及三角形的面积;4、等腰△ABC 的腰长AB =10cm ,底BC 为16cm ,则底边上的高为 ,面积为 .题型五、勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用1、如图,在四边形ABCD 中,∠BAD =︒90,∠DBC =︒90,AD = 3,AB = 4,BC = 12,求CD ;题型六、折叠问题 1、如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC =6cm ,BC =8cm ,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 等于()(A ) 2cm (B ) 3 cm (C ) 4 cm (D ) 5 cm2、已知,如图,折叠长方形(四个角都是直角,对边相等)的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处,已知AB = 8cm ,BC = 10 cm ,求EC 的长3、已知,如图,长方形ABCD 中,AB=3cm ,AD=9cm ,将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF ,则△ABE 的面积为( )A .6cm 2B .8cm 2C .10cm 2D .12cm 2题型七:实际问题中应用勾股定理1、 如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,2、 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 m3、小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ,当它把绳子的下端拉开5m 后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为 ( )A .8cmB .10cmC .12cmD .14cm4、一个无盖的圆柱纸盒:高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是( ) A.20cm; B.10cm; C.14cm; D.无法确定.B C A D D E。
勾股定理知识点知识点一:勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为:a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.要点诠释:(1)勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
(2)勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角。
(3)勾股定理的一些变式:c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2, c2=(a+b)2-2ab知识点二:用面积证明勾股定理方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形。
图(1)中,所以。
方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形。
图(2)中,所以。
方法三:将四个全等的直角三角形分别拼成如图(3)—1和(3)—2所示的两个形状相同的正方形。
在(3)—1中,甲的面积=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积),在(3)—2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积),所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:.方法四:如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。
,所以。
知识点三:勾股定理的作用1.已知直角三角形的两条边长求第三边;2.已知直角三角形的一条边,求另两边的关系;3.用于证明平方关系的问题;4.利用勾股定理,作出长为的线段。
知识点四:勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数,对解题有很大帮助:①3、4、5②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤10、24、26;⑥9、40、41.②如果(a,b,c)是勾股数,当t>0时,以at,bt,ct为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形。
勾股定理考查类型类型一:勾股定理的直接用法在Rt△ABC中,∠C=90°(1)已知a=6, c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a.思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。
勾股定理知识点与常见题型总结大正方形面积为所以方法三:,,化简得证3、勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形4、勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在中,,则,,②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5、勾股定理的逆定理如果三角形三边长,,满足,那么这个三角形是直角三角形,其中为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和与较长边的平方作比较,若它们相等时,以,,为三边的三角形是直角三角形;若,时,以,,为三边的三角形是钝角三角形;若,时,以,,为三边的三角形是锐角三角形;②定理中,,及只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长,,满足,那么以,,为三边的三角形是直角三角形,但是为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形6、勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即中,,,为正整数时,称,,为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如;;;等③用含字母的代数式表示组勾股数:(为正整数);(为正整数)(,为正整数)7、勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题、在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解、8、、勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论、9、勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体、通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决、常见图形:题型一:直接考查勾股定理例1、在中,、⑴已知,、求的长⑵已知,,求的长分析:直接应用勾股定理解:⑴⑵题型二:应用勾股定理建立方程例2、⑴在中,,,,于,=⑵已知直角三角形的两直角边长之比为,斜边长为,则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为,斜边长为,则这个三角形的面积为分析:在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积、有时可根据勾股定理列方程求解解:⑴,⑵设两直角边的长分别为,,,⑶设两直角边分别为,,则,,可得例3、如图中,,,,,求的长分析:此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解:作于,,在中在中,,例4、如图,,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积答案:6题型三:实际问题中应用勾股定理例5、如图有两棵树,一棵高,另一棵高,两树相距,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了分析:根据题意建立数学模型,如图,,,过点作,垂足为,则,在中,由勾股定理得答案:题型四:应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例6、已知三角形的三边长为,,,判定是否为①,,②,,解:①,是直角三角形且②,,不是直角三角形例7、三边长为,,满足,,的三角形是什么形状?解:此三角形是直角三角形理由:,且所以此三角形是直角三角形题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8、已知中,,,边上的中线,求证:证明:为中线,在中,,,,,,。
第18章 勾股定理复习一.知识归纳1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方2。
勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证. c ba HG FEDCB A方法二:b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证a b ccb a E DCB A3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则c,b =,a②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5。
第18章 勾股定理复习一.知识归纳1.勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证 3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则c =b =,a②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形6.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 b a c b a c c a b c a b a b c cb a E D C B Ac b a H G F E D CB A③用含字母的代数式表示n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.常见图形: 题型一:直接考查勾股定理例1.在ABC ∆中,90C ∠=︒. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长题型二:应用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD =⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为例3.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积题型三:实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 m题型四:应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆① 1.5a =,2b =,2.5c = ②54a =,1b =,23c =题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证:AB AC =A B C 30°D CB A A D BC CB D A D B AC 21D C BA18.2 勾股定理的逆定理 达标训练一、基础·巩固1.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( )A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶52.如图1所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ,AD ∥BC ,斜腰DC 的长为10 cm ,∠D=120°,则该零件另一腰AB 的长是________ cm (结果不取近似值).3.如图2,以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形,其面积分别为S 1、S 2、S 3,且S 1=4,S 2=8,则AB 的长为_________.4.如图3,已知正方形ABCD 的边长为4,E 为AB 中点,F 为AD 上的一点,且AF=41AD ,试判断△EFC 的形状. 5.一个零件的形状如图4,按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸:AD=4,AB=3,BD=5,DC=12 , BC=13,这个零件符合要求吗?6.已知△ABC 的三边分别为k 2-1,2k ,k 2+1(k >1),求证:△ABC 是直角三角形.二、综合·应用7.已知a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边长,△A 1B 1C 1的三边长分别是2a 、2b 、2c ,那么△A 1B 1C 1是直角三角形吗?为什么?8.如图5,在△ABC 中,CD 是AB 边上的高,且CD 2=AD·BD.求证:△ABC 是直角三角形.9.如图6所示,在平面直角坐标系中,点A 、B 的坐标分别为A (3,1),B (2,4),△OAB是直角三角形吗?借助于网格,证明你的结论.10.阅读下列解题过程:已知a 、b 、c 为△ABC 的三边,且满足a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,试判断△ABC的形状.解:∵a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,(A)∴c 2(a 2-b 2)=(a 2+b 2)(a 2-b 2),(B)∴c 2=a 2+b 2,(C)∴△ABC是直角三角形.问:①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的?请写出该步的代号_______; ②错误的原因是______________;③本题的正确结论是__________.11.已知:在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.12.已知:如图7,四边形ABCD ,AD ∥BC ,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求:四边形ABCD 的面积.13、如果梯子底端离建筑物5m ,那么13m 长的梯子可达到建筑物的高度是____________m 。
勾股定理复习 一•知识归纳 1•勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为 a, b,斜边为c,那么a2 b2 c2 2 •勾股定理的证明,常见的是拼图的方法
① 图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ② 根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理
常见方法如下:方法一: 4S S正方形EFGH s正方形ABCD, 4 1 ab (b a)2 c2,化简可证. 2
方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 s 4 1ab c2 2ab c2 2
大正方形面积为 S (a b)2 a2 2ab b2所以a2 b2 c2 A A A 方法三:S梯形 (a b) (a b) , S弟形2S ADE S ABE 2 ab c,化简得证
2 2 2
3 •勾股定理的适用范围:勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适
用于直角三角形,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4 •勾股定理的应用:勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问
题•在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾 股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线) ,构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.
① 已知直角三角形的任意两边长,求第三边。在 ABC中, C 90,则c a2 b2 , b . c2 a2 , a c2 b2 ② 知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③ 可运用勾股定理解决一些实际问题 5 .勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2 c2,那么这个三角形是直角三角形,其中 c为斜边。 ① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过 数转化为形”来确定三角形的可
能形状,在运用这一定理时,可用 两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较,若它们相等时,以a , b , c 为三边的三角形是直角三角形;若 a2 b2 c2,时,以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形;若 a2 b2 c2,时, 以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形; ② 定理中a, b , c及a2 b2 c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长 a ,b , c满足a2 c2 b2, 那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形,但是 b为斜边 ③ 勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三 角形 6 .勾股数
① 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即 a2 b2 c2中,a , b , c为正整数时,称a , b , c为 一组勾股数
② 记住常见的勾股数可以提高解题速度 ,如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13 ; 7,24,25等
③ 用含字母的代数式表示勾股数: n2 1,2n,n2 1 ( n 2, n为正整数);m2 n2,2mn,m2 n2 ( m n, m , n为正整数)
常见图形:
b a b
a 类型一:勾股定理的直接用法 1、在 RtAABC中,/ C=90° (1)已知 a=6, c=10,求 b, (2)已知 a=40, b=9,求 c; 2. __________________________________________________________ 已知直角三角形两边的长为 3和4,则此三角形的周长为 _________________________________________ 【变式】:如图/ B=Z ACD=90° , AD=13,CD=12, BC=3则AB的长是多少?
类型二:勾股定理的构造应用 1. 若一个三角形的边长分别是 12、16和20,则这个三角形最长边上的高长是 ___________ 。 2. 如图,△ ABC中,有一点 P在AC上移动.若 AB=AC=5 , BC=6,贝U AP+BP+CP 的最小 值为( )A. 8 B. 8.8 C. 9.8 D. 10 3•在 ABC中,AB 15, AC 13 , BC边上的高 AD 12,贝V ABC的周长为( )
A、42 B 32 C、42 或 32 D、37 或 33 4. 等腰三角形的底边长为 6,底边上的中线长为 4,它的腰长为 _________ . 5. 等边三角形的边长为 2,求它的面积。 【变式】:△
ABC中,BC=a, AC=b, AB=c,若/ 0=90°,如图1,根据勾股定理,
则a2 b2 c2。若△ ABC不是直角三角形,如图 2和3,请你类比勾股定理,
试猜想a2 b2与c2的关系,并证明你的结论。 类型三:勾股定理的实际应用 1•如图,梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根0的距离为2m,梯子的顶端B到地面的距离为7m, 现将梯子的底端 A向外移动到A',使梯子的底端 A'到墙根0的距离等于3m.同时梯子的顶端 B 下降至B',那么BB'( ).
A.小于1m B.大于1m C.等于1m D.小于或等于 1m 2•将一根24cm的筷子,置于底面直径为 15cm,高8cm的圆柱形水杯中,如图所示,设筷子露在杯 子外面的长度为hem ,则h的取值范围是( ).
A. h< 17cm B. h > 8cm C. 15cm < h< 16cm D. 7cm < h< 16cm
Ar A 0
/ T f h
丄
(一)用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地 A点出发,沿北偏东 60°方向走了 达B点,然后再沿北偏西 30°方向走了 500m到达目的地C点。 (1)求A、C两点之间的距离。(2)确定目的地 C在营地A的什么方向。 【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高 2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问 这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ?
如图,公路 MN和公路PQ在P点处交汇,点 A处有一所中学,AP=160米,点A到公路MN 距离为80米,假使拖拉机行驶时, 周围100米以内会受到噪音影响, 那么拖拉机在公路 MN
上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉 机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?
(二)用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目 前正在全国各地农村进行电网改造, 某地有四个村庄 A、B、C、 D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联
到 ⑶ 合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分•请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线. 【变式】1•如图,一圆柱体的底面周长为 20cm,高AE为4cm, BC是上底面的直径.一只蚂蚁 从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程.
2.如图1,长方体的长为12cm,宽为6cm,高为5cm,一只蚂蚁沿侧面从 A点向B点爬行, 问:爬到B点时,蚂蚁爬过的最短路程是多少?
3•如图壁虎在一座底面半径为 2米,高为4米的油罐的下底边沿 A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B处
有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从
背后对害虫进行突然袭击•请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫 ? 解题步骤归纳: 1、标已知,标问题(边长的问题一般有什么方法解决?) ,明确目标在哪个直角三角形中, 设适当的未知数X; 2、利用折叠,找全等。 3、将已知边和未知边(用含 x的代数式表示)转化到同一直角三角形中表示出来。
4、利用勾股定理,列出方程,解方程,得解。
类型四:利用勾股定理作长为而的线段 1、作长为:、宀、宀的线段。 举一反三 【变式】在数轴上表示〕' 的点。 类型五:勾股定理逆定理 7、如果△ ABC的三边分别为 a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断△ ABC的形状。 举一反三【变式1】四边形ABCD中,/ B=90°,AB=3,BC=4, CD=12, AD=13,求四边形 ABCD的面积。
【变式2】已知:△ ABC的三边分别为 m2— n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ ABC是 否为直角三角
丄 【变式3】如图正方形 ABCD, E为BC中点,F为AB上一点,且BF=: AB。请问FE与DE是
否垂直?请说明。 类型六:与勾股定理有关的图形问题 1•如图,是由四个大小完全相同的直角三角形拼合而成的,若图中大小正方形的面积分别为 62.5和4,求直角三角形两直角边的长。 2.如图,直线I经过正方形 ABCD的顶点B,点A、C到直线I的距离分别是1、2,则正方 形的边长是 ________________________ .