第90讲 参数方程消参的方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练 含解析 精品

高考数学中的参数方程解析技巧高中数学中，参数方程是一个比较重要的知识点，它在高考中也经常出现。

在考场上如何快速解析参数方程是一个必备的技巧。

本文将从以下几个方面探讨高考数学中的参数方程解析技巧。

一、掌握参数方程的基本概念和性质首先，我们需要掌握参数方程的基本概念和性质。

参数方程就是用一个或多个变量来表示一组解的方程，通常是用二元函数表示。

例如，设：x=f(t) , y=g(t) ，则称x，y是由参数t确定的一组函数或者向量。

又如，曲线的参数方程可以表示为：x=cos t, y=sin t。

同时，我们还需要了解参数方程的基本性质。

比如，当参数t取遍一个区间时，对应的点以一定的方式运动，从而构成一个曲线(或者说路径)。

因此，参数方程很适合用来表示一些曲线、轨迹等形状。

二、常见的参数方程解题方法1、画图法：画出参数曲线的关键点和性质，如切线斜率、弧长等，利用图形解决问题。

2、换元法：将复杂的参数方程化简成简单的形式，以便求解。

比如，将参数方程中的sin t，cos t换成tan t，以求得此函数的导数。

3、消元法：当问题中只需求出一种变量的值时，可以通过解方程组，消元得到所求的变量。

例如，已知x=f(t) , y=g(t)，求y=f(x) 时，可以用消元法解得。

4、向量法：参数方程中的x，y一般可以看作是向量的i,j分量。

因此，我们可以构造出向量的形式，利用向量的性质解题。

三、解析参数方程的常见技巧1、化简参数方程：通过变形，将参数方程化为指数函数、三角函数等常见函数形式，以便于求导。

2、求导、求导数：通过求导，可以求出参数曲线的切线斜率、曲率等性质，以便于解析问题。

3、曲率半径：利用曲率半径和曲率公式，可以求出参数曲线上任意一点的曲率半径。

4、求交点、对称点：通过等式联立，求得参数方程下两曲线的交点坐标。

通过在参数方程下的对称关系求得参数曲线下的对称点。

四、例题分析1、设直线 L ： y=x+k（k > 0），曲线 C 的参数方程为 x=cost ，y=sin(t+θ). 试确定θ的取值范围，并解决直线 L 在曲线 C 上的截距。

参数方程消参的方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练 (word版含答案)一、参数方程消参常用的方法有三种。

1、加减消参：直接把两个方程相加减即可消去参数。

2、代入消参：通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简。

3、恒等式消参：通过方程计算出sinα、cosα，再利用三角恒等式sin2a+cos2a=1消去参数。

二、参数方程化为普通方程，一定要注意变量x、y的前后范围的一致性。

有时两个的范围都要写，有时只要写一个，有时可以不写。

例1】把参数方程x=t+1/t，y=t-1/t化为普通方程，并说明它表示什么曲线。

点评】本题中变量x、y可以不写，因为参数方程中x的范围是x≥2或x≤-2，双曲线x^2-y^2=4中x的范围也是x≥2或x≤-2，它们是一致的，都隐含在方程里，所以可以不写。

化XXX：y=x-2/x表示双曲线x^2-y^2=4.例2】参数方程x=sinα+cos2α，y=2+sinα的普通方程为（）。

解：代入消参，将sinα用cosα表示，得x=cosα+1-2sin^2α，y=2+sinα。

化简得：2y-4=x-y^2表示抛物线。

反馈检测1】把参数方程x=1-t^2/2，y=2t/(1+t^2)化为普通方程，并说明它表示什么曲线。

解：代入消参，将t用x表示，得t=±√(2-x)。

代入y的方程，得y=±(2-x)√(2-x)/2.表示的是左右对称的开口向下的二次函数。

反馈检测2】参数方程x=t+1，y=1-2t的图象是（）。

解：表示一条直线。

通过参数方程计算出sinα、cosα，然后利用三角恒等式sin²α+cos²α=1消去参数，得到普通方程y=-1+3cosθ，x=2+3sinθ。

不需要加上x的范围-1≤x≤5，因为x的范围隐含在方程(x-2)+(y+1)=9之中，即-1≤x≤5.设曲线C的参数方程为x=2+3cosθ，y=-1+3sinθ，直线l 的方程为x-3y+2=0，则曲线C上到直线l的距离为√10/2的点的个数为2个，因为圆心到直线的距离为√10/2，且圆心在直线上方，所以圆与直线有两个交点。

高中体育常见题型解法归纳：参数方程常见题型的解法本文将对高中体育中参数方程常见题型的解法进行归纳和总结。

参数方程是描述运动物体在平面上位置的一种数学表示方法，常用于解决运动轨迹、速度与加速度等问题。

1. 参数方程表示运动轨迹在参数方程问题中，我们通常需要根据给定的参数方程，确定物体的运动轨迹。

一般来说，参数方程都分为x方向和y方向的表达式，通过将参数代入表达式中，即可确定物体在平面上的位置。

示例题型：给定参数方程：x = 2ty = t^2 - 3t + 1求物体的运动轨迹。

解答方法：根据给定的参数方程，将t的取值代入x和y的表达式中，得到一系列的坐标点。

连接这些坐标点，即可得到物体的运动轨迹。

2. 参数方程求速度与加速度在参数方程问题中，我们常常需要求解物体的速度和加速度。

速度是描述物体运动变化率的量，而加速度是描述物体速度变化率的量。

通过参数方程，我们可以计算出物体在任意时刻的速度和加速度。

示例题型：给定参数方程：x = 2ty = t^2 - 3t + 1求物体在t = 1时刻的速度和加速度。

解答方法：首先，求出物体在t = 1时刻的位置坐标，将t = 1代入参数方程中，得到物体的位置坐标。

然后，分别对x和y方向的参数方程求导，即可得到物体在t = 1时刻的速度和加速度。

3. 参数方程的应用参数方程在实际问题中有广泛的应用，例如描述物体的运动轨迹、分析物体的速度与加速度等。

掌握参数方程的解法，可以帮助我们更好地理解和解答相关问题。

示例题型：某物体沿着参数方程给出的运动轨迹，速度大小为常数，求物体的运动方程。

解答方法：由于速度大小为常数，说明物体以等速运动。

根据等速运动的性质，我们可以知道物体的位移和时间成正比。

通过观察参数方程中的x和y方向的表达式，我们可以发现物体在x和y方向上的位移与t成正比关系。

通过进一步推导，可以得到物体的运动方程。

综上所述，参数方程在高中体育中是一种常见的数学方法，用于解决运动轨迹、速度与加速度等问题。

高中数学含参方程解题技巧在高中数学中，含参方程是一个重要的考查内容。

含参方程是指方程中含有参数的方程，通过求解含参方程可以得到参数的取值范围，从而解决实际问题。

本文将介绍含参方程的解题技巧，并通过具体题目进行说明和分析，帮助高中学生和家长更好地理解和应用这一知识点。

一、一元一次含参方程的解题技巧对于一元一次含参方程，我们通常采用代数运算的方法来求解。

下面通过一个例子来说明：例题1：已知方程 mx + 2 = 3x + 1 的解为 x = 2，请确定参数 m 的取值范围。

解析：首先将方程化简为 mx - 3x = 1 - 2，得到 (m - 3)x = -1。

由于已知 x = 2 是方程的解，代入得到 (m - 3) * 2 = -1。

解方程得到 m - 3 = -1/2，即 m = 5/2。

所以参数 m 的取值范围是 m ∈ (5/2, +∞)。

通过这个例题，我们可以看出，对于一元一次含参方程，我们可以通过代入已知解的方法来确定参数的取值范围。

这种方法在解决含参方程问题时非常实用，可以帮助我们更好地理解参数的变化规律。

二、一元二次含参方程的解题技巧对于一元二次含参方程，我们通常采用配方法或因式分解的方法来求解。

下面通过一个例子来说明：例题2：已知方程 x^2 + (m - 1)x + 2m = 0 的解为 x = 1，请确定参数 m 的取值范围。

解析：首先，我们可以通过已知解 x = 1 来确定参数 m 的取值范围。

将 x = 1 代入方程得到 1 + (m - 1) + 2m = 0，解方程得到 3m = 0，即 m = 0。

所以参数 m 的取值范围是 m = 0。

通过这个例题，我们可以看出，对于一元二次含参方程，我们可以通过代入已知解的方法来确定参数的取值范围。

这种方法在解决含参方程问题时非常实用，可以帮助我们更好地理解参数的变化规律。

三、一元高次含参方程的解题技巧对于一元高次含参方程，我们通常采用因式分解或配方法的方法来求解。

参数方程消参的新方法参数方程是数学中常见的一种描述曲线的方式，通过指定一个或多个参数，可以得到一条曲线的各个点的坐标。

在数学和物理等领域中，参数方程有着广泛的应用，但是在实际运用中，我们往往需要将参数方程转化为普通的函数方程，以便更好地进行计算和分析。

本文将介绍一种新的方法，可以有效地将参数方程化为普通函数方程，从而简化计算和分析过程。

一、传统的消参方法在传统的消参方法中，我们通常使用代数方法，将参数方程中的参数用其他变量表示出来，然后代入到方程中，得到一个只含有自变量的函数方程。

例如，对于参数方程x = a cos t，y = b sin t，我们可以使用三角函数的恒等式将cos t和sin t表示为x、y和a、b的函数，然后代入到x和y的方程中，得到：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1这是一个椭圆的标准方程，可以方便地进行计算和分析。

但是，这种方法有一个缺点，就是转化过程中需要进行复杂的代数运算，容易出错，而且对于复杂的参数方程，很难找到合适的代数方法进行转化。

二、新的消参方法在新的消参方法中，我们不再使用代数方法，而是直接对参数方程进行变形。

具体来说，我们将参数方程中的一个参数看作自变量，将另一个参数表示为这个自变量的函数，然后代入到另一个参数的方程中，得到一个只含有自变量的函数方程。

例如，对于参数方程x = a cos t，y = b sin t，我们可以将t看作自变量，将cos t表示为x和a的函数，得到：cos t = x/a然后将sin t表示为cos t和y、b的函数，得到：sin t = y/b将sin t代入到x和y的方程中，得到：x^2/a^2 + (y^2/b^2 - 1)sin^2 t = 0这是一个只含有自变量t的函数方程，可以通过求解来得到曲线的各个点的坐标。

这种方法的优点是简单直接，不需要进行复杂的代数运算，而且对于复杂的参数方程也可以很容易地使用。

三、应用举例下面通过一个例子来说明如何使用新的消参方法。

高考参数方程知识点归纳高考数学中的参数方程作为一个重要的知识点，是考查学生对于坐标系、直线方程和解析几何的基本理解和应用能力的一种方式。

参数方程是通过引入参数的方式来描述一条曲线或者曲面的方程，它与直角坐标系有着密切的联系，可以方便地表达出不同形状和特征的图形。

在这篇文章中，我们将对高考中常见的参数方程知识点进行归纳和总结。

1. 参数方程的基本概念和应用参数方程是一种用参数的形式来表示曲线或者曲面上的点的方程，它通常以参数的形式给出，通过改变参数的取值范围，可以得到不同位置的点，从而形成一条曲线或者曲面。

在解析几何中，参数方程可以用来描述直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等各种不同形状的曲线。

2. 参数方程与直线的关系直线可以通过参数方程的形式来表示，这种表示方式可以使得直线的方程更加简洁和直观。

一般而言，一条直线在参数方程中可以表示为x=at+b，y=ct+d，其中a、b、c、d 是常数。

通过给定不同的参数值，我们可以得到直线上的不同点，从而构成整条直线。

3. 参数方程与曲线的关系参数方程在描述曲线时可以给出曲线上每个点的坐标，从而实现对曲线形状的准确描述。

例如，给定一个参数方程 x=f(t)，y=g(t)，通过给定不同的参数 t 值，我们可以获得曲线上的不同点的坐标。

参数方程不仅可以表达直线，还可以表达各种曲线，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。

4. 参数方程的转换和应用有时候，我们需要将参数方程转换为直角坐标方程，或者将直角坐标方程转换为参数方程。

对于参数方程转换为直角坐标方程，我们可以通过将参数方程中的参数表示用 x、y 表示，然后通过联立方程求解得到直角坐标方程。

而对于直角坐标方程转换为参数方程，我们可以通过引入参数来对直角坐标进行参数化，从而得到参数方程。

5. 参数方程与面积的计算通过参数方程，我们还可以计算曲线所围成的面积。

对于曲线上的两个相邻点 P 和 Q，我们可以用线段 PQ 所围成的面积近似代替曲线围成的面积，并且随着线段 PQ 的长度逐渐缩小，所得到的近似值也会越来越接近实际面积。

参数方程消参方法总结一、 参数方程常用消参方法： 1.加减法消参 2.代入法消参3.利用公式（完全平方公式、三角恒等变换公式）二、常见的参数方程①直线的参数方程若直线过(x 0,y 0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t 为参数).这是直线的参数方程,其中参数t 有明显的几何意义. ②圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0,y 0),半径为R,则圆的参数方程为0≤θ≤2π.③椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点,而在点M 0(x 0,y 0),相应的椭圆参数方程为0≤t ≤2π.题型一、加减消参1. 下列点不在直线{x =−1−√22ty =2+√22t(t 为参数)上的是( )A. (−1,2)B. (2,−1)C. (3,−2)D. (−3,2)2.在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为：{x −−2+√22ty =√22t (t 为参数) ，P 的极坐标方程为（2，π），曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=sinθ，试将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C 的焦点在直角坐标下的坐标。

3.将参数方程{x =1−cos 2θy =cos 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A. x +y −1=0B. x −y +1=0C. x +y −1=0(0≤x ≤1)D. x −y +1=0(0≤y ≤1)4.曲线C 的参数方程为{x =2t 21+t 2y =4−2t 21+t 2(t 为参数)，则曲线C 是( ) A. 直线 B. 直线的一部分 C. 圆 D. 圆的一部分5.以直角坐标系xOy 的坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方程是{x =√22t y =√22t +4√2 (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4).(1)求圆心C 的直角坐标；(2)试判断直线l 与圆C 的位置关系．6.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =1+2ty =2−2t(t 为参数，t ∈R)，曲线C 2：{x =4cosα+4y =4sinα(α为参数)．(Ⅰ)以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，求曲线C 2的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线C 1与曲线C 2相交于点A 、B ，求|AB|．题型二、代入法消参1.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)；2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k 21＋k2(k 为参数)；3.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．求C 和l 的直角坐标方程4.参数方程是{x =3t 2+2y =t 2−1(0≤t ≤5)表示的曲线是( )A. 线段B. 双曲线C. 圆弧D. 射线5.与参数方程为{x =√t,y =2√1−t(t 为参数)等价的普通方程是( )A. x 2+y 24=1B. x 2+y 24=1(0≤x ≤1)C. x 2+y 24=1(0≤y ≤2)D. x 2+y 24=1(0≤x ≤1,0≤y ≤2)2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=题型三、利用公式1.⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)．2.⎩⎨⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)．3.参数方程{x =e t +e −ty =2(e t −e −t )(t 为参数)的普通方程为_____________4、在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，曲线2C 的参数方程为23,12x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)．求曲线12,C C 的普通方程；5.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为(x −2)2+y 2=6,曲线C 2的参数方程为{x =t 2+1t 2y =t 2−1t 2 (t 为参数) ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ=α(−π2<α<π2,ρ∈R) 求曲线C 1、C 2的极坐标方程6.把参数方程{x =sinθ−cosθy =sinθ+cosθ(θ为参数，θ∈R)化成普通方程是______．7.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =t +1ty =t 2−12t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．(1)求曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程;(2)若t ≠−1，求以曲线C 与x 轴的交点为圆心，且这个交点到直线l 的距离为半径的圆的方程．。

【知识要点】一、参数方程消参常用的方法有三种.1、加减消参：直接把两个方程相加减即可消去参数.2、代入消参：通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简.3、恒等式消参：通过方程计算出sin cos αα、，再利用三角恒等式22sin cos 1a a +=消去参数. 二、参数方程化为普通方程，一定要注意变量x y 、的前后范围的一致性. 有时两个的范围都要写，有时只要写一个，有时可以不写.【方法讲评】 方法一 加减消参 解题步骤 直接把两个方程相加减即可消去参数.【例1】把参数方程1(1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线.【点评】本题中变量x y 、可以不写，因为参数方程1(1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）中x 的范围是 22x x ≥≤-或，双曲线224x y -=中x 的范围也是22x x ≥≤-或，它们是一致的，都隐含在方程里，所以可以不写.【反馈检测1】把参数方程22211(21t x t t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线.方法二 代入消参 解题步骤 通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简.【例2】参数方程αααα(,sin 22cos 2sin ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x 为参数）的普通方程为（ ） A. 122=-x y B. 122=-y xC. )2|(|122≤=-x x yD. )2|(|122≤=-x y x【点评】（1）本题使用的是代入消参. （2）把参数方程化成普通方程之后，一定要注意x y 、的取值范围，实际上这是两个函数(),()x f t y g t ==的值域问题. (3)参数方程化成普通方程之后，有时需要x y 、的范围都写，有时只需要写一个就可以了，有时不需要写. 这主要取决于化简之后的普通方程x y 、是否与原参数方程中x y 、的范围一致. 如果一致就不写.如果不一致，就要写.本题中只写了x 的范围，因为x 的范围确定之后，y 的范围也就对应确定了，所以可以不写y 的范围.一般情况下，写一个变量的范围即可.【反馈检测2】参数方程11x t y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数）表示什么曲线（ ）A ．一条直线B ．一个半圆C ．一条射线D ．一个圆方法三恒等式消参 解题步骤 通过方程计算出sin cos αα、，再利用三角恒等式22sin cos 1a a +=消去参数.【例3】参数方程23sin 13cos x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）化为普通方程是 .【点评】（1）本题使用是三角恒等式消参；（2）本题不需要加上x 的范围15x -≤≤，因为x 的范围隐含在方程22(2)(1)9x y -++=之中，也是15x -≤≤，所以不需要加x 的范围. 【反馈检测3】设曲线C 的参数方程为θθθ⎩⎨⎧+-=+=sin 31cos 32y x 为参数，直线l 的方程为023=+-y x ，则曲线C 上到直线l 的距离为10107的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第90讲：参数方程消参的方法参考答案【反馈检测1答案】221(1)x y x +=≠-，它表示以原点为圆心，以1为半径的圆（除去与x 轴相交的左交点）【反馈检测2答案】C【反馈检测2详细解析】123012x t x y y t⎧=⎪⇔+-=⎨=-⎪⎩，其中1,x ≥它表示端点为()11，的一条射线． 【反馈检测3答案】B【反馈检测3详细解析】由θθθ⎩⎨⎧+-=+=sin 31cos 32y x 为参数，消参得：22(2)(1)9x y -++=为圆的方程. 由题可先判断直线与圆的位置关系得：23271031010d ++==<，即：直线与圆相交且圆心到直线的距离为 10107，则圆上到直线距离为10107的点有2个.。

曲线的参数方程【学习目标】1. 了解参数方程，了解参数的意义。

2. 能利用参数法求简单曲线的参数方程。

3. 掌握参数方程与普通方程的互化。

4. 能选择适当的参数写出圆和圆锥曲线的参数方程【要点梳理】要点一、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数，即()...........()x f ty g t=⎧⎨=⎩①，并且对于t的每一个允许值，方程组①所确定的点(,)M x y都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系yx,间的关系的变数t叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程(,)0F x y=，叫做曲线的普通方程。

要点诠释：（1）参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．（2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定．（3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系。

要点二、求曲线的参数方程求曲线参数方程的主要步骤：第一步，画出轨迹草图，设M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以便于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来；例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．二是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．要点诠释：普通方程化为参数方程时，（1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．（2）参数的选取不同，得到的参数方程是不同的． 要点三、参数方程与普通方程的互化 1、参数方程化为普通方程（1）把参数方程化为普通方程的基本思想是消去参数，消去参数的常用方法有： ①代入法．先由一个方程求出参数的表达式（用直角坐标变量表示），再代入另一个方程． ②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如：对于参数方程1cos 1sin x a t t y a t t θθ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ+cos 2θ=1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m+n)2－(m －n)2=4mn 消参．③其他方法：加减消参法、乘除消参法、平方和（差）消参法、混合消参法等.要点诠释：注意：一般来说，消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．2、普通方程化为参数方程（1）把曲线C 的普通方程(,)0F x y =化为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系式()x f t =，再代入普通方程求得另一个关系式()y g t =。

学科方法²参数法参数观点是运动、变化思想在数学中的重要体现．参数是解析几何中最活跃的元素，也是解题的一种主要方法．解析几何中的许多解题技巧都来源于参数观点．(一)参数法解题的基本步骤参数法解题的步骤是：(1)设参，即选择适当的参数(参数的个数可取一个或多个)；(2)用参，即建立参数方程或含参数的方程；(3)消参，即通过运算消去参数，使问题得到解决．例1 已知抛物线y2=2px(p＞0)，在x轴的正半轴上求一点M，使过M的弦P1P2，满足OP1⊥OP2．【解】如图2－5，设M(m，0)(m＞0)、P1(x1，y1)、P2(x2，y2)．∵ OP1⊥OP2，即y1y2=-x1x2．∴ (y1y2)2＝4p2x1x2．从而(-x1x2)2=4p2x1x2．∵ x1≠0，x2≠0，∴ x1x2=4p2①设直线P1P2的方程为y=k(x-m)，把它代入y2=2px中，整理，得k2x2-2(k2m+p)x+k2m2=0．由韦达定理，得x1x2=m2②把②代入①中，得m2=(2p)2．∵ m＞0，p＞0，∴m=2p．于是所求的点M的坐标为(2p，0)．【解说】本例选点P1、P2的坐标为参数，利用已知条件建立x1，x2，y1，y2，m，p 的关系式，消去参数，求得m的值．OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|²|OP|=|OR|2．当点P在l上移动时，求动点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．(1995年全国高考理科压轴题)【解】如图2－6，设动点Q(x，y)(x，y不同时为零)．又设|OR|=λ|OQ|，|OP|=u|OQ|，(λ，u＞0)，由于Q、R、P三点共线，所以点R(λx，λy)、点P(ux，uy)．∵ |OQ|²|OP|=|OR|2，∴ u|OQ|2=λ2|OQ|2．又|OQ|≠0，同理，由P在l上，可得于是由①、②、③，可得动点Q的轨迹方程为且长轴平行于x轴的椭圆，去掉坐标原点．利用已知条件|OQ|²|OP|=|OR|2巧妙地消去参数，这里参数是一个过渡，起桥梁作用．这种解法比高考命题者提供的答案简明．(二)解题技巧的一个源泉参数观点是产生解题技巧的一个源泉，解析几何的许多解题技巧都起源于参数．其中“设而不求”和“代点法”就是最突出的两个．1．设而不求例3 如图2－7，过圆外一点P(a，b)作圆x2＋y2=R2的两条切线，切点为A、B，求直线AB的方程．【解】设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则切线AP、BP的方程分别为x1x+y1y ＝R2，x2x+y2y＝R2．∵这两条切线都过点P(a，b)，∴ ax1＋by1=R2，ax2＋by2=R2．由以上二式可以看出，点A、B在直线ax＋by=R2上，又过A、B只有一条直线，∴直线AB的方程为ax＋by=R2．【解说】本例中把A、B的坐标作为参数．虽然设了A、B的坐标，但并没有去求它的值，而是利用曲线与方程的概念，巧妙地“消去”参数，这就是所谓的“设而不求”．2．代点法例4 求抛物线y2=12x的以M(1，2)为中点的弦所在直线的方程．【解法1】设弦的两个端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由中点坐标公式，得y1＋y2＝4①即(y1＋y2)(y1-y2)=12(x1-x2)．②即直线AB的斜率k=3．故直线AB的方程为y-2=3(x-1)．即 3x-y-1=0．【解法2】∵弦的中点为M(1，2)，∴可设弦的两个端点为A(x，y)、B(2-x，4-y)．∵ A、B在抛物线上，∴ y2=12x，(4-y)2=12(2-x)．以上两式相减，得y2-(4-y)2=12(x-2+x)，即 3x-y-1=0，这就是直线AB的方程．【解说】以上两种解法都叫做代点法．它是先设曲线上有关点的坐标，然后代入曲线方程，最后经适当变换而得到所求的结果．习题2．2用参数法解证下列各题：1．已知椭圆9x2＋16y2=144内有一点P(2，1)，以P为中点作弦MN，则直线MN的方程为． [ ]A．9x-8y＋26＝0B．9x＋8y-26＝0C．8x-9y+26=0D．8x＋9y-26=02．点D(5，0)是圆x2＋y2-8x-2y+7=0内一点，过D作两条互相垂直的射线，交圆于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程．且OP⊥OQ，求m的值．4．已知射线OA、OB分别在第一、四象限，且都与Ox轴成60的轨迹．5．已知两点P(-2，2)、Q(0，2)以及一条直线l：y=x．设长为程．(要求把结果写成普通方程)(1985年全国高考理科试题)6．已知椭圆的中心在原点，对称轴合于坐标轴，直线y=-x＋1与习题2．2答案或提示1．仿例4，选(B)．2．设M(x，y)，A(x＋x0，y＋y0)，B(x-x0，y-y0)，把A、B=0．3．仿例1，可得m=3．5．设A(t，t)，B(t＋1，t＋1)，又设直线PA、PB的斜率分别x2-y2＋2x-2y＋8=0．6．设椭圆的方程为ax2＋by2=1(a＞0，b＞0)，A、B、C的坐学科方法²待定系数法(一)求直线和曲线的方程例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为 8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2 如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．(1998年全国高考理科试题)【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3 已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵ L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即 mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得 bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4 求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵ t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5 求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为 y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵ m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6 求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．习题2．3用待定系数法解证下列各题：1．求经过三点(2，3)、(5，3)、(3，-1)的圆的方程．2．求双曲线x2-2y2-6x＋4y＋3=0的焦点坐标．3．若方程ax3＋bx2y＋cxy2＋dy3=0表示三条直线，且其中两条互相垂直，求证：a2＋ac＋bd＋d2=0．4．求圆系2x2+2y2-4tx-8ty＋9t2=0(t≠0)的公切线方程．5．试证圆系x2+y2-4Rxcosα-4Rsinα+3R2=0(R是正的常数，α为参数)与定圆相切，并求公切圆的方程．6．若在抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上有一个定点Q，过Q的任习题2．3答案或提示1．设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，把三个已知点的坐标代入，可求得D=-8，E=-2，F=12．3．设过原点互相垂直的两条直线方程为lx2+mxy-ly2=0，另一条直线方程为px＋qy=0，则ax3＋bx2y＋cxy2+dy3=(lx2＋mxy-ly2)(px＋qy)，从而a=lp，b=lq＋mp，c=mq-lp，d=-lp．于是可得a2＋ac＋bd＋d2=0．4．y=x或y=7x．5．圆系方程为(x-2Rcosα)2+(y-2Rsinα)2=R2，设公切圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则由两圆相切的充要条件是圆心距等于两圆半径和或差的绝对值，可得(a-2Rcosα)2＋(b-2Rsinα)2=(R±r)2，整理，可得a2＋b2-2R即a=b=0．从而r2-3R2±2Rr=0，解得r1=R，r2=3R．6．设Q(x0，0)，直线AB的参数方程为x=x0＋tcosα，y=tsinα．代任一值，所以x0=p．学科方法²判别式法(一)确定直线与二次曲线和二次曲线与二次曲线的位置关系它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离？(1988年全国高考理科试题)点、l为准线的抛物线方程为y2=2px．椭圆上有四个点符合题意的充要条件为方程组y2=2px有四个不同的实数解．显然，这个方程组有四个不同的实数解的充要条件为方程①有两个不相等的正根．设方程①的两个根为x1、x2，则x1＞0、x2＞0的充要条件为又由已知，得p＞⑤【解说】本例的实质是求椭圆与抛物线有四个不同的交点的条件，它归结为一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的正根的条件，即Δ(二)求极值例2 过点P(3，2)作直线l分别交x轴、y轴正方向于A、B两点，求△AOB面积S 的最小值．【解】如图2-21，设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k＜0)，则它在x轴、y轴上的截距分别为从而9k2+2(S-6)k+4=0．∵Δ=[2(S-6)]2-4³4³9≥0，∴ S(S-12)≥0．∵ S＞0，∴S≥12．∴ S min=12．例3 在椭圆9x2+4y2=36上分别求一点，使x+y有最大值和最小值．【解】设x+y=u，则y=u-x．把它代入椭圆方程中，整理，得13x2-8ux+4(u2-9)=0．∵ x是实数，∴Δ≥0即(-8u)2-4³13³4(u2-9)≥0．解之，得-(三)求参数的取值范围例4 已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线l：y=-x对称的两点，求a的取值范围．【解法1】如图2-22，设点P(x0，y0)关于直线l对称的点为Q(-y0，-x0)，则由P、Q都在抛物线y=ax2-1上，得以上两式相减，得x0+y0=a(x0+y0)(x0-y0)．∵点P不在直线x+y=0上，∴x0+y0≠0．从而a(x0-y0)=1，即y0=x0-∵ P、Q两点恒存在，∴x0是实数，即方程(*)恒有两个不等实学科方法²综合几何法(一)利用平面几何知识解题例1 已知⊙O的方程为x2＋y2=r2，点A(-r，0)、B(r，0)，M是⊙O上任一点，过A 作M处的切线的垂线AQ交BM的延长线于P，求动点P的轨迹方程．【解】如图2－12，连MO，则OM⊥MQ，从而OM∥AP．∵ |BO|=|OA|∴ |AP|＝2|MO|＝2r．于是动点P的轨迹是以点A为圆心，|AP|=2r为半径的圆．设P(x，y)，则P的轨迹方程为(x+r)2+y2＝(2r)2．【解说】本例利用圆的切线的性质和三角形中位线定理，其解法十分明快、简捷．例2 已知圆O′：(x-14)2＋(y-12)2=362内一点C(4，2)和圆周上两动点A、B，使∠ACB=90°，求斜边AB的中点M的轨迹方程．【解】如图2－13，连结MO′、MC、BO′，则O′M⊥MB，|MC|=|AM|=|MB|．设M(x，y)，则在Rt△BMO′中，|O′M|2+|BM|2=|O′B|2，又|BM|=|CM|，∵ |O′M|2＋|CM|2=|O′B|2，即(x-14)2+(y-12)2＋(x-4)2+(y-2)2=362，∴动点M的轨迹方程为x2＋y2-18x-14y-468＝0．【解说】本例利用圆的垂径定理和直角三角形的性质，使一个运算量较大的习题，得到极其简便的解法，充分显示了平面几何知识在解析几何中的应用．(二)利用圆锥曲线的定义和几何性质解题例3 已知一动圆P与圆O1：(x+1)2＋y2=1外切，与圆O2：(x-1)2+y2=9内切，求动圆圆心P的轨迹方程．【解】如图2－14．设动圆圆心P的坐标为(x，y)，它的半径为r．由已知，得两定圆的圆心分别为O1(-1，0)、O2(1，0)，半径分别为r1=1，r2=3．∵动圆P与⊙O1外切，与⊙O2内切，∴ |PO1|=1+r，|PO2|=3-r，∴ |PO1|+|PO2|=4．即动点P到两点O1、O2的距离之和等于4．从而由椭圆的定义，得动点P的轨迹是以两定点O1、O2为焦点，长轴长为4的椭圆．由于⊙O1与⊙O2内切于点M(-2，0)，所以轨迹中不包括点M．故动点P的轨迹方程为【解说】本解法的特点是利用椭圆的定义和两圆相切的条件．例4 如图2-15，F是圆锥曲线的焦点，P1P2是焦点弦，e、p分别是离心率和焦参数(即焦点到准线的距离|FF1|)，求证【证明】如图2-15，过P1、P2分别作准线L的垂线，垂足分别为Q1、Q2．由圆锥曲线的定义，得【解说】本解法的特点是灵活利用圆锥曲线的统一定义和线段定比分点公式．习题2．5用综合几何法解证下列各题：焦点，AB为左支上过F1的弦，且|AB|m，则△ABF2的周长是____．2．已知△ABC的两个顶点A(-a，0)、B(a，0)(a＞0)，顶点C在运动，且|AC|=2b(b 是定值)，求BC中点P的轨迹方程．3．已知ABCD的相对两个顶点A(-4，6)、C(8，2)，过原点O作一直线l把平行四边形的面积分成相等的两部分，求直线l的方程．焦点也是F2，C1的准线与C2的准线重合，P是C1与C2的一个交点，求证：5．已知椭圆的两个焦点是F1、F2，Rt△PF2Q的直角顶点为P，P、Q在椭圆上，F1在线段PQ上，且|PQ|=|PF2|，求这椭圆的离心率．6．从过抛物线x2=2py(p＞0)的焦点F的弦AB的端点向准线l引垂习题2．5答案或提示1．周长=(|AF2|-|AF1|)+(|BF2|-|BF1|)+2(|AF1|+|BF1|)=2a+2a+2m=4a+2m．3．设AC与BD交于G，则平面几何知识可得，所求的直线l过点G．l的方程为y=2x．4．设C2：y2=2px、C1的离心率为e，点P到C1的左准线的距离为d，则由抛物线、双曲线的定义，得|PF2|=d，6．(1)因为|AF|=|AA1|、|FB|=|BB1|、AA1∥y轴∥BB1，所以∠AFA1=学科方法²坐标法坐标法是解析几何最基本的方法，它的思路是，通过建立平面坐标系(直角坐标系或极坐标系等)，把几何问题转化为代数问题(或代数问题转化为几何问题)，从而利用代数知识(或解析几何知识)使问题得以解决．(一)坐标法解证几何题例1 在△ABC中，已知BC=a，CA=b，AB=c，S为三角形面【证明】如图2－1，以边AB的中点O为坐标系原点、AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设A、B、C的坐标分别为(-m，0)、(m，0)、(p，q)(m＞0，q＞0)，则a2=|BC|2=(m-p)2＋q2=m2+p2＋q2-2mp，b2=|AC|2=(p＋m)2＋q2=p2＋m2＋q2-2mp，c2=4m2，S＝mq．例2 已知：AB是半圆的直径，且AB=2r，直线L与BA的延长与L的距离分别为MP、NQ，且MP=MA，NQ=NA．求证：AM＋AN=AB．【分析】由|MA|=|MP|和|NA|=|NQ|，知M、N在以A为焦点的抛物线上，因此M、N 是半圆与抛物线的两个交点，从而本题可考虑用直角坐标法和极坐标法求解．【证法1】如图2－2，以AT的中点O为坐标原点，射线OB为x轴的正方向，建立直角坐标系．∵ |MA|＝|MP|，|NA|=|NQ|，∴ M、N是以A为焦点，L为准线的抛物线上的点．∵ p=|AT|=2a，∴抛物线的方程y2=4ax①由已知，得半圆的方程为[x-(a+r)]2＋y2=r2(y≥0)②把①代入②中，整理，得x2-2(r-a)x＋a2+2ar=0．设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2=2r-2a．∵ |AM|+|NA|=a＋x1＋a＋x2＝2a＋2r-2a＝2r，∴ |AM|＋|AN|=|AB|．【证法2】如图2－2，以A为极点，射线AB为极轴，建立极坐标系，则半圆的方程为∵ |MA|=|MP|，|NA|=|NQ|，∴ M、N在以A为极点、L为准线的抛物线上．又p=|AT|=2a，从①、②中消去cosθ，得ρ2-2rρ+4ar＝0．从而由韦达定理，得|MA|＋|NA|=ρ1＋ρ2=2r．故 |AM|＋|AN|＝|AB|．【解说】由以上两例，可总结出坐标法解证几何题的思路模式图为：(二)坐标法解证代数题【证明】由已知条件，得在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y直线的距离不大于半径，即∴ (z-a)2≤a2-2z2，又a＞0，【解说】本例利用方程的几何意义，把已知条件转化为直线与圆的位置，从而由点到直线的距离公式，使问题获解．【证明】如图2－3，建立直角坐标系，设圆O的半径为1．∵α、β是方程acosθ＋bsinθ=c在(0，π)内的两个根，∴ acosα＋bsinα=c，acosβ＋bsinβ=c，从而点A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)是直线ax+by=c与⊙O的两个交点．【解说】由以上两例，可总结出坐标法解证代数题的思路模式为：习题2．1用坐标法解证下列各题：1．在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，且|AD|=|BC|，M是BC的中点，H是垂心，求证：|MH|＋|HD|=|BM|．2．在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为AD上一点，BH、CH分别交AC、AB于E、F，求证：∠EDA=∠ADF．3．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，M是DE的中点，求证：AM⊥BE．6．关于θ的方程 acosθ＋bsinθ=0(a2＋b2≠0)有两个相异实根α、β，m、n∈R，求证：习题2．1答案或提示1．以D为坐标原点，DC为x轴，DA为y轴，设点B(b，0)、2．以D为原点，DC为x轴，DA为y轴，设点A、B、C、H坐标分别为(0，a)、(b，0)、(c，0)、(0，h)，则直线AC的方程为3．以D为原点，DC为x轴、DA为y轴，设A、B、C的坐标如图2－4，当直线y=x-u过点A(1，0)时，u=1．当直线与半圆相切5．在直角坐标系中，设M(1，2)、P(sinθ，cosθ)，则P为⊙O：x2+y2=1上任一点，f(θ)为MP的斜率，由图(图由读者自画)易知，过M作⊙O的两条切线中，斜率存在的那一条直线的斜率，即为所求的最小值．设这切线的方程为y-2=k(x-1)，则由点到直线的距离公式，可得k=3／46．由已知可得，直线 ax＋by=0与单位圆x2＋y2=1有两个不同的交点A(cosα，sin α)、B(cosβ，sinβ)，又P(m，n)是任一点，则|PA|＋|PB|≥|AB|＝2，即。

高中数学常见题型解法归纳 参数方程常见题型的解法【知识要点】一、参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标中，如果曲线C 上任一点M 的坐标,x y 都是某个变数t的函数()()x f t y g t ，反过来，对于t 的每个允许值，由函数式()()x f t yg t 所确定的点(,)M x y 都在曲线C 上，那么方程()()x f t yg t 叫做曲线C 的参数方程，联系变数,x y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程． 二、常见曲线的参数方程：（1）圆22200()()x x y y r -+-=的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）；（2）椭圆12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）；（3）双曲线12222=-b y a x 的参数方程 ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）；（4）抛物线22y px =参数方程222x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数）；（5）过定点),(00y x P 、倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）.三、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数（包括整体消元）. （2）加减法:把参数方程变形后相加减，消去参数. （3）三角恒等式消参法：利用三角恒等式22sin cos 1a 消去参数.温馨提示：化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围.【题型讲评】解题步骤 利用前面基础知识里提到的三种方法，要特别注意参数方程化为普通方程后x 、y 的范围.【例1】参数方程αααα(,sin 22cos 2sin ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x 为参数）的普通方程为（ ） A. 122=-x y B. 122=-y xC. )2|(|122≤=-x x y D. )2|(|122≤=-x y x【点评】（1）本题使用的是代入消参. （2）把参数方程化成普通方程之后，一定要注意x y 、的取值范围，实际上这是两个函数(),()x f t y g t ==的值域问题. (3)参数方程化成普通方程之后，有时需要x y 、的范围都写，有时只需要写一个就可以了，有时不需要写. 这主要取决于化简之后的普通方程x y 、是否与原参数方程中x y 、的范围一致. 如果一致就不写.如果不一致，就要写.本题中只写了x 的范围，因为x 的范围确定之后，y 的范围也就对应确定了，所以可以不写y 的范围.一般情况下，写一个变量的范围即可.【反馈检测1】参数方程11x t y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数）表示什么曲线（ ）A ．一条直线B ．一个半圆C ．一条射线D ．一个圆【例2】参数方程22sin 1cos 2x y θθ⎧=+⎨=-+⎩（θ为参数）化为普通方程是（ ）A ．240x y -+=B ．2+40x y -=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]2+40,2,3x y x -=∈ 【解析】2cos 212sin θθ=-,22112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2yθ∴=-,代入 22sin x θ=+可得22y x =-,整理可得240x y +-=.[]2sin 0,1θ∈,[]22sin 2,3θ∴+∈,即 []2,3x ∈.所以此参数方程化为普通方程为[]240,2,3x y x +-=∈.故D 正确.【点评】本题使用是三角恒等式消参. 【反馈检测2】设曲线C 的参数方程为θθθ⎩⎨⎧+-=+=sin 31cos 32y x 为参数，直线l 的方程为023=+-y x ，则曲线C 上到直线l 的距离为10107的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4题型二 利用参数方程研究曲线的基本量和基本关系解题步骤 一般先把参数方程化为普通方程，再利用曲线的性质和关系解答.【例3】 若直线1,x t y a t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆22cos 22sin x y =+⎧⎨=+⎩αα（α为参数）所截的弦长为22，则a 的值为( )A ．1 或5 B.1- 或5 C.1 或5- D.1- 或5-【反馈检测3】点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩ (θ为参数,R θ∈)上,则yx 的取值范围是 .【例4】椭圆的切线与两坐标轴分别交于,A B 两点 ， 求OAB ∆的最小面积 .【解析】 设切点为(cos ,sin )P a b θθ ， 则切线方程为cos sin 1x y a bθθ+=. 令0y =, 得切线与x 轴交点(,0)cos a A θ；令0x =,得切线与y 轴交点(0,)sin b B θ1||||||||22sin cos sin 2AOB ab abS OA OB ab θθθ∆∴===≥所以OAB ∆的最小面积为ab .【点评】（1）写出椭圆参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩，设切点为(cos ,sin )P a b θθ，可得切线方程.这种设点方式相比设点为(,)x y ，计算更简捷，解题效率更高（2）建立三角函数模型后，再利用三角函数的性质分析解答.【反馈检测4】椭圆14922=+y x 的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___.题型三 利用直线参数的几何意义解题解题步骤 先弄懂直线参数的几何意义，再利用它解答.【例5】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232(252x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为25sin ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()3,5，求PA PB +.【点评】（1）直线参数方程中参数t 的几何意义是这样的：如果点A 在定点P 的上方，则点A 对应的参数A t 就表示点A 到点P 的距离||PA ,即||A t PA =.如果点B 在定点P 的下方，则点B 对应的参数B t 就表示点B 到点P 的距离||PB 的相反数，即||B t PB =-.（2）由 直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上,A B 两点间的距离||AB ,不管,A B 两点在哪里，总有||||A B AB t t =-.【反馈检测5】在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为为参数）t t y t x (222221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=. （I ）写出直线l 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （II ）直线l 与曲线2C 交于B A 、两点，求AB .高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第91讲：参数方程常见题型的解法参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测1详细解析】123012x t x y y t⎧=+⎪⇔+-=⎨=-⎪⎩，其中1,x ≥它表示端点为()11，的一条射线．【反馈检测2答案】B【反馈检测3答案】33⎡⎢⎣⎦【反馈检测3详细解析】曲线的标准方程为22(2)1x y ++=，圆心为（-2,0），半径为1.设y x=k ，则直线y kx =，即0kx y -=，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离221k d k -=+=1，即221k k -=+，平方得222141,3k k k =+=，所以解得3k =，由图象知k 的取值范围是33k ≤≤，即y x 的取值范围是33⎡⎢⎣⎦. 【反馈检测4答案】（553,553-） 【反馈检测4详细解析】由椭圆14922=+y x 的知焦点为1F （－5,0）,2F （5,0）. 设椭圆上的点可设为(3cos ,2sin )P θθ.21PF F ∠ 为钝角 ∴ 1253cos ,2sin )(53cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-（=2229cos 54sin 5cos 10θθθ-+=-< 解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（553,553-）. 【反馈检测5答案】（I ）01=+-y x ，4)2(22=-+y x （II ）14=AB解法二、由⎩⎨⎧=-+=+-040122y y x y x 可解得,A B A,B 两点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++273,271,273,271，由两点间距离公式可得14=AB . 解法三、设B A 、两点所对应的参数分别为B A t t ,将为参数）t t y tx (222221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=代入0422=-+y y x 并化简整理可得0322=-+t t ，从而⎩⎨⎧-=-=+32B A B A t t t t 因此，2||()414A B A B A B AB t t t t t t =-=+-=.。

2021年第2期福建中学数学41所以彳x。

2-专=12(2-X0)2-岂曲两式相减得4x0-2y0=2，即2x0—20=1,而2x-2- —1是点(2,2)对应的极线，但点(2,2)在双曲线内，根据极点与极线的知识，该极线与双曲线相离.这和己知“直线与双曲线相交”矛盾，故这样直线l不存在.解法3给人一种耳目一新的感觉，因为极点与极线作为高等几何中的重要概念之一，以及圆锥曲线的基本特征之一，我们能够基于高等数学视角下审视题1,这对于学生“识破”题目中蕴含的有关极点与极线的知识背景，把握命题规律，具有很大促进作用，可谓“一览众山小”.总之，回归教材，应该带着一定目的或任务等去重新审辩和探究教材•在不懈追问和双向质疑的探究中，去优化和完善学科知识体系，从广度和深度方面去挖掘教材中隐性知识，开发二级结论，努力达成吃透教材，抓住数学知识本质，提高二轮复习实效性.参考文献[1]G-波利亚著，涂泓，冯承天译.怎样解题一一数学思维的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2011(本文系2020年度福建省中青年教师教育科研项目(基础教育研究专项)立项课题《高中数学审辩式课堂教学的实践研究》(课题编号:JZ20)的研究成果)多视角处理参数方程中消参问题余亮福建省厦门集美中学(361021)参数方程转化成普通方程是高中数学一难点，其难点在于消参•除了常见的代入消元、加减消元,还有恒等式消元、换参消元、多项式消元、几何消元等.本文以2019年全国I卷第22题为例多角度处理参数问题，并探索其几何意义.1试题再现视角1代入消元视角解法1(t2消元)原式可变形为｛21—X12———,1+X216t2y='dW'(2019年高考全国I卷•理22)在直角坐标系xOy中,x=曲线C的参数方程为<y1-121+124t1+12(t为参16•匕代入得y2——冲—4(1-x2),(1+戶)21+X2化简得X2+丛—1(-1<X<1).4数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2p cos^+V3•2解法2(t消元)①式变形为x+1=市p sin&+11— 0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)略.2解法探究X—首先，从曲线方程-y=1-121+124t1+12，①(t为参数)中,②1—t22t e R'解得x=177=_1+177e(T‘1]•②〜①得弋—2t，即t=宀；,x+12(x+1)2代入①或②化简得X2+丄—1(-1<X<1).4点评参数方程F=f T(t为参数)中x—f(t),〔y=g(t)y—g(t)不一定存在反函数，不好直接反解求t,因此，选用适当的参数形式(如，t2—u(x)等)进行代入消参事半功倍.视角2运算消元视角42福建中学数学2021 年第 2期解法3 （加减乘除消元）2①式变形为X +1 - 一兀,1 + t 2由②得一J — 2t ；同理可得匕=-2 ,X +1 X -1 t所得两式相乘得弋•弋=-4 ,X + 1 X -12化简得X 2 +牛—1 .4解法4 （加减乘除消元）卜卄“、？ 41 + 2 +12 2（1 +1）2②式变形为y +2 = -1+7- = 41詁，由①得出=晋；X 1 -1同理可得二=-芈°,X 1 + t所得两式相乘得凹-山 =-4 ,X X2化简得X 2 +牛—1 .4解法5 (恒等式消元)•/ (1 -12)2 + (21)2 — (1 +12)2 ,1 -12 2 2t 2•••启r +启41,2将①②式同时代入得X 2 +丄—1 .4点评 以上消元均运用恒等式，这些恒等式在本题中均有几何解释•解法3、解法4运用椭圆第 三定义：椭圆上的任一点和两顶点连线的斜率之积a为定值-* （焦点在y 轴上的椭圆）；解法5可理X ' — X ,解为先通过伸缩变换］,1后满足圆的定义，即I y = -y x x 2 + y '2 — 1 .视角3换参数视角解法6 （三角函数换参）t — tan & ,则 x = 1+14t y 1 + t 21 -t2 1-tan2f & =---------& — cos & ,1 + tan2 &2, &4tan — ------2— = 2sin & ,1 + tan 2 —2原式可变形为｛2结合椭圆参数方程得X 2 + 2 — 1 .4解法7 （双曲线换参）” 4x 1———t ,匚 易知14 1—=一 +1,1y t参数）是X X 2 - y y 2 — 1的参数方程.因此（兰）2 - （-）2 -1，化简得y yX X = 1 — t ,t 1(t 为y' — -+1t [1]“+专=1.1 - tan2 —______21 + tan2 —2C &2tan —_____2_1 + tan2 —2cos ——点评解法6运用万能公式■sin ——将参数t 三角化•我们常运用常见的曲线参数方程 进行消参.视角4多项式有解解法8 （一元二次方程组有解）原式可变形为 关于t 的一元二次方程组］（X 2+1）t + X-1 = 0,有公共I y t - 4t + y — 0解问题.先证明以下定理：定理一元二次方程组］"£+b 1t +c =0,有公|。

高中数学中的含参方程求解方法总结高中数学中，含参方程是一种比较常见的题型，指的是方程中出现的参数是未知的，而方程的解是关于参数的函数。

在解决含参方程的过程中，需要掌握一些基本的方法和技巧，以便迅速有效地求解。

本文将对高中数学中常见的含参方程求解方法进行总结和探讨。

一、一次含参方程的求解一次含参方程常见的形式为 ax+b=cx+d，其中a、b、c、d均为实数，且a≠c。

这种方程的解是关于参数的一次函数。

我们可以利用移项和消元的方法来求解这种方程。

具体步骤如下：（1）将含参方程变形为ax−cx=d−b（2）移项，得到（a−c）x=d−b（3）求解x，得到x=(d−b)/(a−c)因此，这种形式的含参方程的解是关于参数的一次函数，式子为x=(d−b)/(a−c)。

二、二次含参方程的求解二次含参方程常见的形式为ax²+bx+c=m，其中a、b、c、m均为实数，且a≠0。

我们可以通过以下两种方法来求解这种方程。

1.配方法配方法常常用来解决一元二次方程，同样可以用于一元二次含参方程的求解。

具体步骤如下：（1）将含参方程变形为ax²+bx+c=m（2）整理成a（x²+(b/a)x+c/a）=m（3）对括号内的式子进行配方，得到a [x+(b/(2a))]²+c/a-b²/(4a²)=m（4）化简后得到(x+b/2a)²=(4am−b²)/(4a²)（5）开平方，得到x=b/2a±√(4am−b²)/(4a²)（6）化简后得到x=(-b±√(b²-4ac+4am))/(2a)2.求根公式二次含参方程的求根公式为x=(−b±√(b²−4ac+4am))/(2a)，与解一元二次方程类似。

三、三角函数方程的求解三角函数方程常常涉及到三角函数的周期性质和三角函数的基本关系式，掌握这些基本知识可以提高求解三角函数方程的效率。

消参、用参、设参——学好参数方程的三个层次
宋振苏
【期刊名称】《新高考：高二数学》
【年(卷),期】2012(000)005
【摘要】参数方程是曲线的一种重要表达形式，运用参数方程不仅能更好地研究曲线的几何性质，而且能使曲线的几何性质更加形象、直观，因此学好参数方程对研究曲线的几何性质具有重要的意义．学习参数方程从易到难的三个层次分别是消参、用参、设参，这也是学习参数方程要达到的三种境界．
【总页数】3页(PI0031-I0032,I0038)
【作者】宋振苏
【作者单位】不详
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
【相关文献】
1.消参、用参、设参——学好参数方程的三个层次 [J], 宋振苏
2.例说求函数最值中的设参、消参技巧 [J], 王国平
3.函数最值问题中的设参消参技巧 [J], 王国平
4.消参、用参、设参——学好参数方程的三个层次 [J], 宋振苏;
5.巧消参,妙解题——参数方程中的消参策略 [J], 林永强
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