5三角函数值在各象限的符号
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初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscαcosα·secαtanα·cotα三角函数的性质函数y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx定义域R R {x|x∈R且x≠kπ+2π,k∈Z}{x|x∈R且x≠kπ,k∈Z}值域[-1,1]x=2kπ+2π时y max=1x=2kπ-2π时y min=-1[-1,1]x=2kπ时y max=1x=2kπ+π时y min=-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在[2kπ-2π,2kπ+2π]上都是增函数;在[2kπ+2π,2kπ+32π]上都是减函数(k∈Z)在[2kπ-π,2kπ]上都是增函数;在[2kπ,2kπ+π]上都是减函数(k∈Z)在(kπ-2π,kπ+2π)内都是增函数(k∈Z)在(kπ,kπ+π)内都是减函数(k∈Z)反三角函数的图形反三角函数的性质名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinx(x∈〔-2π,2π〕的反函数,叫做反正弦函数,记作x=arsinyy=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数,叫做反余弦函数,记作x=arccosyy=tanx(x∈(-2π,2π)的反函数,叫做反正切函数,记作x=arctanyy=cotx(x∈(0,π))的反函数,叫做反余切函数,记作x=arccoty理解arcsinx表示属于[-2π,2π]且正弦值等于x的角arccosx表示属于[0,π],且余弦值等于x的角arctanx表示属于(-2π,2π),且正切值等于x的角arccotx表示属于(0,π)且余切值等于x的角性质定义域[-1,1][-1,1](-∞,+∞)(-∞,+∞)值域[-2π,2π][0,π](-2π,2π)(0,π)单调性在〔-1,1〕上是增函数在[-1,1]上是减函数在(-∞,+∞)上是增数在(-∞,+∞)上是减函数奇偶性arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π-arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=π-arccotx周期性都不是同期函数恒等式sin(arcsinx)=x(x∈[-1,1])arcsin(sinx)=x(x∈[-2π,2π])cos(arccosx)=x(x∈[-1,1])arccos(cosx)=x(x∈[0,π])tan(arctanx)=x(x∈R)arctan(tanx)=x(x∈(-2π,2π))cot(arccotx)=x(x∈R)arccot(cotx)=x(x∈(0,π))互余恒等式arcsinx+arccosx=2π(x∈[-1,1])arctanx+arccotx=2π(X∈R)三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B)=tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B)=cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B)=cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA 2-Sin2A=2SinA•CosACos2A =Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A =3sinA-4(sinA)3cos3A =4(cosA)3-3cosA tan3a =tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)sin(2A )=2cos 1A -cos(2A)=2cos 1A +tan(2A)=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin +和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba -sina-sinb=2cos 2b a +sin2ba -cosa+cosb =2cos 2b a +cos2ba -cosa-cosb =-2sin 2b a +sin2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb =-21[cos(a+b)-cos(a-b)]cosacosb =21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb =21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb =21[sin(a+b)-sin(a-b)]sin(-a)=-sina cos(-a)=cosa sin(2π-a)=cosa cos(2π-a)=sina sin(2π+a)=cosa cos(2π+a)=-sinasin(π-a)=sina cos(π-a)=-cosa sin(π+a)=-sina cos(π+a)=-cosatgA=tanA =aacos sin 万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa +cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+-tana=2)2(tan 12tan2aa -其它公式a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c)[其中tanc=a b ]a•sin(a)-b•cos(a)=)b (a 22+×cos(a-c)[其中tan(c)=b a ]1+sin(a)=(sin 2a +cos 2a )21-sin(a)=(sin 2a -cos 2a )2其他非重点三角函数csc(a)=asin 1sec(a)=a cos 1双曲函数sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa +tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin (2kπ+α)=sinαcos (2kπ+α)=cosαtan (2kπ+α)=tanαcot (2kπ+α)=cotα设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系:sin (2π+α)=cosαcos (2π+α)=-sinαtan (2π+α)=-cotαcot (2π+α)=-tanαsin (2π-α)=cosαcos (2π-α)=sinαtan (2π-α)=cotαcot (2π-α)=tanαsin (23π+α)=-cosαcos (23π+α)=sinαtan (23π+α)=-cotαcot (23π+α)=-tanαsin (23π-α)=-cosαcos (23π-α)=-sinαtan (23π-α)=cotαcot (23π-α)=tanα(以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用A•sin(ωt+θ)+B•sin(ωt+φ)=)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明(全部)公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注:韦达定理判别式b2-4a=0注:方程有相等的两实根b2-4ac>0注:方程有一个实根b2-4ac<0注:方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注:角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注:(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注:D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注:其中,S'是直截面面积,L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h--------------------------------------------------------------------------------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推,用两角和差的正余弦:cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减,可以得到2组积化和差:相加:cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减:sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减,可以得到2组积化和差:相加:sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减:sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差,然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐,实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论:(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β),|m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。
【课题】
5.3 . 2各象限角的三角函数值的正负号
【教学目标】
知识目标:
理解三角函数在各象限的正负号;
能力目标:
会判断任意角三角函数的正负号;
情感目标:
由三角函数的概念推导出任意角的三角函数值、三角函数的正负号以及界限角的三角函数值使学生体会到数学知识的内在统一性.
【教学重点】
三角函数在各象限的符号;
【教学难点】
任意角的三角函数值符号的确定.
【教学设计】
(1)在知识回顾中推广得到新知识;
(2)利用定义认识各象限角三角函数的正负号;
(3)问题引领,师生互动.在问题的思考和交流中,提升能力.
【教学备品】【教师】
教学课件,投影仪,黑板.梁金明
【课时安排】【教学对象】
第五周星期二第3节1课时 15会计1
【教学过程】
sin
y
r
α=;cos
x
r
α=;tan
y
x
α=.
*揭示课题 5.3各象限角的三角函数值的正负号
*动脑思考探索新知
由于0
r>,所以任意角三角函数的正负号由终边上点坐标来确定限.
0,cos4320
>,tan432
8π2π8π。
4.3.2三角函数在个象限的符号我们学习了任意角的三角函数,知道了对于任意角的三角函数我们是在坐标系里定义的,究竟是怎么定义的呢,咱们就来回顾回顾。
假设α是任意角,假设这条射线就是它的终边,然后我们在终边上任取一点P,坐标设为(x,y),然后P到原点的距离我们记为r,接着就是6个三角函数的定义。
首先正弦等于谁比上谁,余弦呢?。
接下来就是见证奇迹的时刻了,大家看正弦和余割他们两个什么关系?余弦和正割呢?互为倒数,然后正切和余切也互为倒数,这是很久很久以前的事情了,咱就不提啦。
现在上面三个函数和下面三个函数分别互为倒数,如果上面的为正,那下面的呢?也为正,如果上面的为负呢?下面的也为负,也就是说它们的符号一致,因此如果要我们判断他们六个的正负的话,只需判断上面三个就OK了。
接下来我们这节课的工作重心就是判断这三个函数在各个象限的正负情况。
首先看正弦,sinα=,r因为表示的P到原点的距离,始终为正,因此我们只需判断y的正负。
在第一象限y是正还是负?正,因此正弦在第一象限为正,第二象限呢?正,第三象限呢?负,第四象限呢?负。
好,总结一下也就是说正弦在一二象限为证。
接下来我们看一下余弦,cosα=,同样因为r始终为正,我们只需判断x.在第一象限,横坐标大于0还是小于0?大于0因此余弦为正,在第二象限横坐标为正还是为负?因此余弦小于0,。
,。
,总结一下,余弦在哪几个象限为正?一四。
最后看一下正切,tanα=,等于纵坐标比上横坐标,大家想一下正切什么时候大于0呢?当x和y同号的时候,那x和y在哪几个象限同号呢?一三象限,因此正切就在一三象限为正,剩下的两个象限自然就为负了。
余切呢因为和正切互为倒数,正负相同,因此余切也在一三为正、二四为负,因此这个图还可以用来表示余切的正负。
对于正割和余割,我们在高中不作深入研究,因此我们这里就不讨论了,大家只要掌握它们俩是怎么定义的就OK了。
刚才呢咱们是从函数的角度来研究的,接下来我们从象限的角度来探讨探讨。
初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscαcosα·secαtanα·cotα反三角函数的图形设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanαcot(π+α)= cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系:sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanαcot(-α)= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanαcot(π-α)= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαtan(2π-α)= -tanαcot(2π-α)= -cotα三角函数公式证明(全部)公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注:韦达定理判别式b2-4a=0 注:方程有相等的两实根b2-4ac>0 注:方程有一个实根b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注:角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注:其中,S'是直截面面积,L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h。
三角函数公式、图像大全幂函数的图形指数函数的图形对数函数的图形三角函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的性质函数 y=sinx y=cosx y=tanxy=cotx 定义域 R R {x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}{x|x∈R且x≠kπ,k∈Z}值域[-1,1]x=2kπ+ 时ymax=1 x=2kπ- 时ymin=-1 [-1,1]x=2kπ时ymax=1 x=2kπ+π时ymin=-1 R 无最大值无最小值 R 无最大值无最小值周期性周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在[2kπ-,2kπ+ ]上都是增函数;在[2kπ+ ,2kπ+π]上都是减函数(k∈Z)在[2kπ-π,2kπ]上都是增函数;在[2kπ,2kπ+π]上都是减函数(k∈Z)在(kπ-,kπ+)内都是增函数(k∈Z)在(kπ,kπ+π)内都是减函数(k∈Z)反三角函数的图形反三角函数的性质名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinx(x∈〔-, 〕的反函数,叫做反正弦函数,记作x=arsiny y=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数,叫做反余弦函数,记作x=arccosy y=tanx(x∈(- , )的反函数,叫做反正切函数,记作x=arctany y=cotx(x∈(0,π))的反函数,叫做反余切函数,记作x=arccoty 理解 arcsinx表示属于[-,]且正弦值等于x的角 arccosx表示属于[0,π],且余弦值等于x的角 arctanx表示属于(-,),且正切值等于x的角arccotx表示属于(0,π)且余切值等于x的角性质定义域[-1,1][-1,1] (-∞,+∞)(-∞,+∞)值域[-,][0,π] (-,)(0,π)单调性在〔-1,1〕上是增函数在[-1,1]上是减函数在(-∞,+∞)上是增数在(-∞,+∞)上是减函数奇偶性 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx 周期性都不是同期函数恒等式sin(arcsinx)=x(x∈[-1,1])arcsin(sinx)=x(x∈[-,]) cos(arccosx)=x(x∈[-1,1])arccos(cosx)=x(x∈[0,π])tan(arctanx)=x(x∈R)arctan(tanx)=x(x∈(-,))cot(arccotx)=x(x∈R)arccot(cotx)=x(x∈(0,π))互余恒等式arcsinx+arccosx=(x∈[-1,1])arctanx+arccotx=(X∈R)三角函数公式两角和公式 sin(A+B)= sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)= sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)= cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)= cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)= tan(A-B)= cot(A+B)= cot(A-B)= 倍角公式tan2A = Sin2A=2SinA•CosA Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式 sin3A =3sinA-4(sinA)3 cos3A =4(cosA)3-3cosA tan3a = tana·tan(+a)·tan(-a) 半角公式 sin()= cos()= tan()= cot()= tan()== 和差化积sina+sinb=2sincos sina-sinb=2cossin cosa+cosb =2coscos cosa-cosb =[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb =[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) =a)= cosa sin(-a)= cosa cos(-a)= sina sin(+a)= cosa cos(+a)=a)= sina cos(π-a)=sina cos(π+a)=b•cos(a)= ×cos(a-c)[其中tan(c)=]1+sin(a)=(sin+cos)21-sin(a)= (sin-cos)2 其他非重点三角函数 csc(a)= sec(a)= 双曲函数 sinh(a)= cosh(a)= tg h(a)= 公式一设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα 公式二设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα 公式三任意角α与α)=α)= cosα tan(-α)=α)=α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)=α)=α)=和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=α)= cosα tan(2π-α)=α)=sinα tan(+α)=tanα sin(-α)= cosα cos(-α)= sinα tan (-α)= cotα cot(-α)= tanα sin(+α)=cotα cot(+α)=α)=α)=α)= cotα cot(-α)= tanα (以上k∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ)=×sin 三角函数公式证明(全部)公式表达式乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b|b+√(b2-4ac)/2ab+√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注:方程有一个实根b2-4ac0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c *h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h 正棱台侧面积 S=1/2(c+c )h 圆台侧面积S=1/2(c+c )l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S L 注:其中,S 是直截面面积, L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h------------------------------------------------------------------------------------------ 三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推,用两角和差的正余弦: cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 这两式相加或相减,可以得到2组积化和差: 相加:cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2 相减:sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2 sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 这两式相加或相减,可以得到2组积化和差: 相加:sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2 相减:sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2 这样一共4组积化和差,然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐,实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负 .3.三角形中的一些结论:(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 . 已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。
幂函数的图形指数函数的图形对数函数的图形数的图形三角函各三角函数值在各象限的符号cosα·secαtanα·cotαsinα·cscα三角函数的性质函数y=cosxy=sinx y=tanx y=cotx且R{x|x∈|xx∈R 且{定义域RR Z}x≠kπ,k∈Z,k∈}x≠kπ+ 2[-1,1]Rπ+x=2k 时[-1,1]R时=1y x=2kπ2max无最大值无最大值值域y x=2k π+π时=-1y=1minmax无最小值无最小值时y=-1x=2kπ-min2周期性周期为2π周期为ππ周期为周期为2π奇函数奇函数奇偶性偶函数奇函数.在[2kπ-π,2kπ]上都是在(kπ,kπ+π)内都],2kπ+在(kπ-,kπ+)内都2kπ-在[增函数;在是减函数(k∈Z)2222[2kπ,2kπ+π]上都是上都是增函数;在是增函数(k∈Z)单调性减函数(k∈Z)2]上,2k π+π[2kπ+32(k∈Z)都是减函数反三角函数的图形反三角函数的性质反余切函反正弦函反余弦函反正切函名称y=cotx((0,π)y=cosx(∈0),-y=tanx(x∈(-y=sinx(x∈〔,反函数,叫做反余的反函数,叫做反2222 切函数,记作余弦函数,记作〕的反函数,叫做反的反函数,叫做反正切定义正弦函数,记作x=arccotyx=arccosyx=arctany函数,记作x=arsiny表示属于arccotx arccosx 表示属于表示属于[-arcsinx , 表示属于(-arctanx(0,π)且余切值等于2π],且余弦,[0],的角x 的角x 值等于22 理解x),且正切值等于的角且正弦值等于x2的角定义域+∞),[-1,1](-∞,1]∞(-,+∞)[-1值域π)(0],[0,π)(-,[-,] 2 22 2性上是增数,+∞)在(-∞1〕上是增函+∞)上是减1]上是减,在[-1,在〔-1,(-在∞单调性质函数函数数arctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=πarcsin(-x)=-arcsinxπarccos(-x)=-arccotx-奇偶性arccosx都不是同期函数周期性.cos(arccosx)R∈tan(arctanx)=x(x∈[∈-R)arcsin(arcsinx)=x(xcot(arccotx)=x(x) ∈[)-1,1]=x(x ]11,)arcsin(sinx) 2arccos(cosx) (0∈arccot(cotx)=x(x恒等式)∈[]-=x(x,,(- tan(tanx)=x(x∈,π))2 2)=x(x∈[0,π]))2互余恒等式R)arcsinx+arccosx=(x∈[-1,1])arctanx+arccotx=(X∈22公式三角函数A1 cos A)=tan(A cos12式和公两角sinAcosB+cosAsinB sin(A+B) =A cos 1A sinAcosB-cosAsinB =sin(A-B))=cot(A1 cos2cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B) A sin A 1cos A cosAcosB+sinAsinB= cos(A-B) =)= tan( tanBtanA tan(A+B) =A A 1 cos2 sin tanAtanB 1- 和差化积tanB tanA= tan(A-B)b aa b tanAtanB 1cossina+sinb=2sin1-cotAcotB 2 2 cot(A+B) =b b a a cotAcotB sin sina-sinb=2cos1 cotAcotB2 2 a= cot(A-B)ba b cotA cotB cos2cos cosa+cosb = 2 2b a 公倍角式ab sincosa-cosb = -2sin 2tanA22 = tan2A2)b sin( a A 1tan tana+tanb=Sin2A=2SinA?CosA b coscos a22 2 2 A-1=1-2sin A Cos Cos2A= A-Sin A=2Cos积化和差式公角三倍1[cos(a+b)-cos(a-b)]sinasinb = - 32 3sinA-4(sinA)sin3A = 31 -3cosA 4(cosA)cos3A =[cos(a+b)+cos(a-b)]= cosacosb 2-a)tan(tan( ··+a)tana= tan3a133[sin(a+b)+sin(a-b)] sinacosb =21公半角式[sin(a+b)-sin(a-b)]cosasinb =2A1cos A)=sin( 12式公诱导A1cos A)=cos( -sina sin(-a) =12cosa=cos(-a)a a2-cos )1-sin(a) = (sin cosa -a) sin( =22 2 sina-a) cos( = 2其他非重点三角函数1= csc(a)cosa sin( =+a)sin a21= sec(a)= -sina+a) cos( cos a2sina πsin(-a) =。
幂函数的图形指数函数的图形对数函数的图形三角函数的图形各三角函数值在各象限的符号sin α·csc α cos α·sec α tan α·cot α三角函数的性质函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R{x |x ∈R 且x ≠k π+2π,k ∈Z } {x |x ∈R 且x ≠k π,k ∈Z } 值域[-1,1]x=2k π+2π时y max =1x=2k π-2π时y min =-1[-1,1] x=2k π时y max =1x=2k π+π时y min =-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值周期性 周期为2π 周期为2π周期为π周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在[2kπ-2π,2kπ+2π]上都是增函数;在[2kπ+2π,2kπ+32π]上都是减函数(k∈Z)在[2kπ-π,2kπ]上都是增函数;在[2kπ,2kπ+π]上都是减函数(k∈Z)在(kπ-2π,kπ+2π)都是增函数(k∈Z)在(kπ,kπ+π)都是减函数(k∈Z)反三角函数的图形反三角函数的性质名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinx(x∈〔-2π,2π〕的反函数,叫做反正弦函数,记作x=arsinyy=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数,叫做反余弦函数,记作x=arccosyy=tanx(x∈(-2π,2π)的反函数,叫做反正切函数,记作x=arctanyy=cotx(x∈(0,π))的反函数,叫做反余切函数,记作x=arccoty理解arcsinx表示属于[-2π,2π]且正弦值等于x的角arccosx表示属于[0,π],且余弦值等于x的角arctanx表示属于(-2π,2π),且正切值等于x的角arccotx表示属于(0,π)且余切值等于x的角性定义域[-1,1][-1,1](-∞,+∞) (-∞,+∞)三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA •CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)半角公式 sin(2A)=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A +tan(2A)=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=AA cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin +和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)]cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+- tana=2)2(tan 12tan2aa -其它公式a •sina+b •cosa=)b (a 22+×sin(a+c)。
高考数学基础知识专题提升训练三角函数值的符号及公式[对应学生用书P 88]知识点1 三角函数在各象限的符号口诀概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).[微思考]三角函数在各象限的符号由什么决定?提示三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的.从原点到角的终边上任意一点的距离r 总是正值.因此,三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定.知识点2 公式一1.语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.2.式子表示:⎩⎨⎧sin (α+k ·2π)=sin α,cos (α+k ·2π)=cos α,其中k ∈Z .tan (α+k ·2π)=tan α,[微体验]1.计算:sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π+π6=________,cos 19π3=________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π+π6=sin π6=12,cos 19π3=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π+π3=cos π3=12.答案12122.sin ⎝⎛⎭⎪⎫-47π6=_________. 解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-47π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-8π+π6=sin π6=12. 答案12[对应学生用书P 88]探究一 三角函数在各象限的符号(1)α是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是( ) A .sin α B .cos αC .tan αD .cos α或tan α(2)若sin θ·tan θ>0,cos θ·tan θ<0,则sin θ·cos θ________0.(填“>”“<”或“=”)(1)B [α是第四象限角,则cos α为正.](2)解析由sin θ·tan θ>0,知sin θ与tan θ同号, θ是第一或第四象限角.又cos θ·tan θ<0,得θ是第三或第四象限角.∴θ只能是第四象限的角.∴sin θ<0,cos θ>0.∴sin θ·cos θ<0.答案 <[变式探究] 对于本例(2),若改为“sin θ·tan θ<0,cos θ·tan θ>0”,则sin θ·cos θ的符号又如何判断呢?解析 ∵sin θ·tan θ<0,∴θ是第二或第三象限角.又cos θ·tan θ>0,∴θ是第一或第二象限角.∴θ只能是第二象限的角.∴sin θ>0,cos θ<0.∴sinθ·cos θ<0.答案 < [方法总结]判断三角函数值在各象限符号攻略基础:准确判断三角函数中各角所在象限; 关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度而将角所在象限判断错误. [跟踪训练1] (1)已知点P (tan α,cos α)在第四象限,则角α终边在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限(2)下列各式:①sin(-100°);②cos(-220°);③tan(-10);④cos π. 其中符号为负的有( ) A .1个 B .2个 C .3个D .4个 (1)C [因为点P 在第四象限,所以有⎩⎨⎧tan α>0,cos α<0,由此可判断角α终边在第三象限.](2)D [-100°在第三象限,故sin (-100°)<0;-220°在第二象限,故cos(-220°)<0;-10∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-72π,-3π,在第二象限,故tan(-10)<0;cos π=-1<0.]探究二 公式(一)的应用计算下列各式的值:(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°; (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫-11π6+cos 12π5·tan 4π. 解(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)=sin 45°cos 30°+c os 60°sin 30° =22×32+12×12=64+14=1+64. (2)原式=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2π+π6+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π+2π5·tan(4π+0)=sinπ6+cos 2π5×0=12. [方法总结]利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤[跟踪训练2] 求下列各式的值: (1)sin 25π3+tan ⎝⎛⎭⎪⎫-15π4; (2)sin 810°+cos 360°-tan 1 125°.解(1)sin25π3+tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-15π4 =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π+π3+tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-4π+π4=sin π3+tan π4=32+1.(2)sin 810°+cos 360°-tan 1 125°=sin(2×360°+90°)+cos(360°+0°)-tan(3×360°+45°) =sin 90°+cos 0°-tan 45° =1+1-1=1.[对应学生用书P 89]1.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关,角α所在象限确定,则三角函数值的符号一定确定,规律是“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.2.公式一的作用是把求任意角的三角函数值转化为求0~2π(或0°~360°)角的三角函数值.应用公式一要把握好其结构特征:(1)左、右为同一三角函数;(2)公式左边的角为α+k ·2π,右边的角为α.注意公式一中的条件k ∈Z 不可遗漏.课时作业(三十五) 三角函数值的符号及公式一[见课时作业(三十五)P 178]1.sin(-315°)的值是( )A .-22 B .-12C .22D .12C [sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin 45°=22.] 2.若α为第二象限角,则|sin α|sin α-cos α|cos α|=( )A .1B .0C .2D .-2C [∵α是第二象限角,∴sin α>0,cos α<0. ∴|sin α|sin α-cos α|cos α|=sin αsin α+cos αcos α=2.] 3.若tan α·cos α<0,则α在第几象限( ) A .二、四 B .二、三 C .三、四D .一、四C [由tan α·cos α<0知tan α>0且cos α<0或tan α<0且cos α>0.若tan α>0且cos α<0,则α在第三象限,若tan α<0且cos α>0,则α在第四象限.]4.tan 405°-sin 450°+cos 750°=________.解析 原式=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(720°+30°)=tan 45°-sin 90°+cos 30°=1-1+32=32. 答案325.下列函数值:①sin 4,②cos 5,③tan 8,其中函数值为正的是________.(填序号)解析 ∵π<4<3π2,∴sin 4<0;∵3π2<5<2π, ∴cos 5>0;∵5π2<8<3π,∴tan 8<0. 答案 ②6.求下列各式的值:(1)sin(-1 320°)cos 1 110°+cos(-1 020°)·sin 750°+tan 495°; (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-233π+tan 174π.解(1)原式=sin(-4×360°+120°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°)=sin 120°cos 30°+cos 60°sin 30°+tan 135°=32×32+12×12-1=0. (2)原式=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3+(-4)×2π+tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+2×2π =cosπ3+tan π4=12+1=32.1.若三角形的两内角α,β满足sin αcos β<0,则此三角形必为( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形D .以上三种情况都可能B [∵sin αcos β<0,α,β∈(0,π),∴sin α>0,cos β<0,∴β为钝角.]2.已知角α的终边经过点P (3,4t ),且sin(2k π+α)=-35(k ∈Z ),则t 等于( )A .-916B .916C .34D .-34A [sin(2k π+α)=sin α=-35<0,则α的终边在第三或第四象限.又点P 的横坐标为正数,所以α是第四象限角,所以t <0.又sin α=4t 9+16t 2,则4t9+16t 2=-35,所以t =-916.] 3.sin 780°·cos 390°+sin(-330°)cos(-1 020°)=________.解析 原式=sin(2×360°+60°)·cos(360°+30°)+sin(-360°+30°)·co s(-3×360°+60°)=sin 60°·cos 30°+sin 30°·cos 60°=32×32+12×12=1. 答案 14.(多空题)如果角α的终边经过点P (sin 780°,cos(-330°)),则sin 780°=________,cos(-330°)=________,α=________.解析sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°=32, cos(-330°)=cos(-360°+30°)=cos 30°=32,所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,32,tan α=1,故α=2k π+π4,k ∈Z . 答案3232 2k π+π4,k ∈Z 5.(拓广探索)已知1|sin α|=-1sin α,且lg(cos α)有意义.(1)试判断角α所在的象限;(2)若角α的终边上一点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35,m ,且|OM |=1(O 为坐标原点),求m 的值及sin α的值.解(1)由1|sin α|=-1sin α,所以sin α<0,由lg(cos α)有意义,可知cos α>0, 所以α是第四象限角.(2)因为|OM |=1,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352+m 2=1,得m =±45.又α为第四象限角,故m <0,从而m =-45,sin α=y r =m |OM |=-451=-45.。
三角函数总结大全三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在,三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。
它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。
三角函数公式看似很多、很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律,就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
下面为大家整理的三角函数公式大全:(一)任意角的三角函数及诱导公式1.任意角概念:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB,就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边,OB叫终边,射线的端点O叫做叫α的顶点。
为了区别起见,我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2.象限角、终边相同的角、区间角角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合。
那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。
要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。
终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角,它们彼此相差2kπ(k∈Z),即β∈{β|β=2kπ+α,k∈Z},根据三角函数的定义,终边相同的角的各种三角函数值都相等。
区间角是介于两个角之间的所有角,如α∈{α|6π≤α≤65π}=[6π,65π]。
3.弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角,记作1rad ,或1弧度,或1(单位可以省略不写)。
1、角:(1)、正角、负角、零角:逆时针偏向旋转正角,顺时针偏向旋转负角,不做任何旋转零角;之羊若含玉创作(2)、与α终边相同的角,连同角α在内,都可以暗示为聚集{Z k k ∈⋅+=,360|αββ} (3)、象限的角:在直角坐标系内,极点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限.2、弧度制:(1弧度的角,用弧度做单位叫弧度制. (2)、度数与弧度数的换算:π=180(3)、弧长公式:r l ||α= (α扇形面积:2||2121r lr S α===4、同角三角函数根本关系式(1)平方关系: (2)商数关系: (4)同角三角函数的罕有变形:(活用“1”)=r αsecαsinαtan αcotcsc①、αα22cos 1sin -=,αα2cos 1sin -±=;αα22sin 1cos -=,αα2sin 1cos -±=;②θθθθθθθ2sin 2cos sin sin cos cot tan 22=+=+,αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±, |cos sin |2sin 1ααα±=± 5、诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限)公式一: ααααααtan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(=︒⋅+=︒⋅+=︒⋅+k k k公式二: 公式三: 公式四: 公式五:填补:ααπααπααπcot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(=-=-=-ααπααπααπcot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(-=+-=+=+ααπααπααπcot )23tan(sin )23cos(cos )23sin(=--=--=-ααπααπααπcot )23tan(sin )23cos(cos )23sin(-=+=+-=+6、两角和与差的正弦、余弦、正切7 .辅角公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+x b a b x b a a b a x b x a cos sin cos sin 222222 (其中ϕ称为帮助角,ϕ的终边过点),(b a ,a b =ϕtan ) (多用于研究性质)8、二倍角公式:(1)、α2S : αααcos sin 22sin = (2)、降次公式:(多用于研究性质)α2C :ααα22sin cos 2cos -=ααα2sin 21cos sin =α2T :ααα2tan 1tan 22tan -=212cos 2122cos 1cos 2+=+=ααα (3)、二倍角公式的经常使用变形:①、|sin |22cos 1αα=-,|cos |22cos 1αα=+;②、|sin |2cos 2121αα=-,|cos |2cos 2121αα=+③22sin 1cos sin 21cos sin 22244ααααα-=-=+; ααα2cos sin cos 44=-;④半角:2cos 12sinαα-±=,2cos 12cosαα+±=,αααcos 1cos 12tan+-±=ααααcos 1sin sin cos 1+=-=9、三角函数的图象性质(1)、函数的周期性:①、界说:对于函数f (x ),若存在一个非零常数T ,当x 取界说域内的每一个值时,都有:f (x +T )= f (x ),那么函数f (x )叫周期函数,非零常数T 叫这个函数的周期;②、如果函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,这个最小的正数叫f (x )的最小正周期.(2)、函数的奇偶性:①、界说:对于函数f (x )的界说域内的任意一个x ,都有:f (-x )= - f (x ),则称f (x )是奇函数,f (-x )= f (x ),则称f(x )是偶函数②、奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称; ③、奇函数,偶函数的界说域关于原点对称;(3)、正弦、余弦、正切函数的性质(Z k ∈)x y sin =图象的五个症结点:(0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1),(π2,0);x y cos =的对称中心为(,2ππ+k );对称轴是直线πk x =; )cos(ϕω+=x A y 的周期ωπ2=T ;x y tan =的对称中心为点(0,πk )和点(,2ππ+k ); )tan(ϕω+=x A y 的周期ωπ=T ;(4)、函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的相关概念:)sin(ϕω+=x A y 的图象与x y sin =的关系:①、振幅变换:x y sin =x A y sin = ②、周期变换:x y sin =x y ωsin =③、相位变换:x ysin =)sin(ϕ+=x y ④、平移变换:x A y ωsin =)sin(ϕω+=x A y 常叙述成:①、把x y sin =上的所有点向左(0>ϕ时)或向右(0<ϕ时)平移|ϕ|个单位得到)sin(ϕ+=x y ;②、再把)sin(ϕ+=x y 的所有点的横坐标缩短(1>ω)或伸长(<01<ω)到原来的ω1倍(纵坐标不变)得到)sin(ϕω+=x y ;③、再把)sin(ϕω+=x y 的所有点的纵坐标伸长(1>A )或缩短(<01<A )到原来的A 倍(横坐标不变)得到)sin(ϕω+=x A y 的图象.先平移后伸缩的叙述偏向:)sin(ϕω+=x A y 先平移后伸缩的叙述偏向: )](sin[)sin(ωϕωϕω+=+=x A x A y10、三角函数求值域(1)一次函数型:B x A y +=sin ,例:5)123sin(2+--=πx y ,x x y cos sin =用帮助角公式化为:=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a ,例:x x y cos 3sin 4-= (2)二次函数型:①、二倍角公式的应用:x x y 2cos sin += ②、代数代换:x x x x y cos sin cos sin ++= 第五章、平面向量1、空间向量:(1)、界说:既有大小又有偏向的量叫做向量,向量都可用同一平面内的有向线段暗示.当A 1>时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的A 倍 当<0A 1<时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的A 倍 当1>ω时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的ω1倍 当<01<ω时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的ω1倍 当0>ϕ时,图象上的各点向左平移ϕ个单位倍当0<ϕ时,图象上的各点向右平移||ϕ个单位倍 当0>ϕ时,图象上的各点向左平移ωϕ个单位倍 当0<ϕ时,图象上的各点向右平移||ωϕ个单位倍(2)、零向量:长度为0的向量叫零向量,记作0;零向量的偏向是任意的.(3)、单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫单位向量;与向量a平行的单位向量:||a a e =;(4)、平行向量:偏向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量,记作b a //;划定0与任何向量平行;(5)、相等向量:长度相同且偏向相同的向量叫相等向量,零向量与零向量相等;任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来暗示,并且与有向线段的起点无关.2、向量的运算:(1)、向量的加减法:a 的3、平面向量根本定理:如果21,e e 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ,使2211e e a λλ+=; 不共线的向量21,e e 叫这个平面内所有向量的一组基向量,{21,e e }叫基底.4、平面向量的坐标运算:(1)、运算性质:()()a a a cb ac b a a b b a =+=+++=+++=+00,,(2)、坐标运算:设()()2211,,,y x b y x a ==→→,则()2121,y y x x b a ±±=±→→设A 、B 两点的坐标分离为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则()1212,y y x x AB --=→.(3)、实数与向量的积的运算律: 设()y x a ,=→,则λ()()y x y x a λλλ,,==→, (4)、平面向量的数量积:①、 界说:⎪⎭⎫⎝⎛≤≤≠≠⋅=⋅→→→→→→→→001800,0,0cos θθb a b a b a , 00=⋅→→a .①、平面向量的数量积的几何意义:向量a 的长度|a |与b 在a 的偏向上的投影|b |θcos 的乘积;③、坐标运算:设()()2211,,,y x b y x a ==→→,则2121y y x x b a +=⋅→→ ;向量a 的模|a |:a a a ⋅=2||22y x +=;模|a |22y x +=④、设θ是向量()()2211,,,y x b y x a ==→→的夹角,则222221212121cos y x y x y y x x +++=θ,a ⊥b 0=⋅⇔b a5、重要结论:(1)、两个向量平行的充要条件: →→→→=⇔b a b a λ//)(R ∈λ设()()2211,,,y x b y x a ==→→,则⇔→→b a //01221=-y x y x(2)、两个非零向量垂直的充要条件:0=⋅⇔⊥→→→→b a b a设 ()()2211,,,y x b y x a ==→→,则 02121=+⇔⊥→→y y x x b a(3)、两点()()2211,,,y x B y x A 的距离:221221)()(||y y x x AB -+-=(4)、P 分线段P 1P 2的:设P (x ,y ) ,P 1(x 1,y 1) ,P 2(x 2,y 2) ,且→→=21PP P P λ ,(即||21PP P P =λ)则定比分点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x , 中点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x (5)、平移公式:如果点 P (x ,y )按向量()k h a ,=→平移至P ′(x ′,y ′),则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=.,''k y y h x x。