二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，求f(x)在x∈[m,n]上的最大值与最小值．分析：将f(x)配方，得顶点为 (−b2a ,4ac−b24a)、对称轴为x=−b2a；当a>0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m,n]上f(x)的最值：(1)当−b2a∈[m,n]时，f(x)的最小值是f(−b2a )=4ac−b24a, f(x)的最大值是f(m),f(n)中的较大者．(2)当−b2a<m时，由f(x)在[m,n]上是增函数，则f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)．(3)当−b2a>n时，由f(x)在[m,n]上是减函数，则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)．当a<0时，可类比得结论．【题型一】定轴动区间已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0 ,5)，且f(x)在区间[−2 ,4]上的最大值是28．(1)求f(x)的解析式；(2)设函数f(x)在x∈[t ,t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．【解析】(1)∵f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0 ,5)，∴可设f(x)=ax(x－5)(a>0)．(待定系数法，二次函数设为交点式)∴f(x)在区间[－2 ,4]上的最大值是f(−2)=14a．由已知得14a=28，∴a=2，∴f(x)=2x(x−5)=2x2－10x(x∈R)．(2)由(1)得f(x)=2(x−2.5)2−12.5，函数图象的开口向上，对称轴为x=2.5(讨论对称轴x=2.5与闭区间[t ,t+1]的相对位置)①当t+1≤2.5时，即t≤1.5时，f(x)在[t ,t+1]上单调递减，(对称轴在区间右侧)此时f(x)的最小值g (t )=f (t +1)=2(t +1)2−10(t +1)=2t 2−6t −8；②当t ≥2.5时，f(x)在[t ,t +1]上单调递增，(对称轴在区间左侧)此时f(x)的最小值g (t )=f (t )=2t 2−10t ；③当1.5<t <2.5时，函数y =f(x)在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)此时，g(t)=f(2.5)=－12.5综上所述，得g(t)的表达式为：g(t)={2t 2−6t −8 ,t ≤1.5−12.5 ,1.5<t <2.52t 2−10t ,t ≥2.5．【点拨】① 利用待定系数法求函数解析式；② 对于二次函数f (x )=2(x −2.5)2−12.5,对称轴x =2.5是确定的，而函数的定义域[t ,t +1]不确定，则按照对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况进行讨论.【题型二】动轴定区间求f (x )=x 2−2ax −1在区间[0 ,2]上的最大值和最小值．【解析】f (x )=x 2−2ax −1的对称轴为x =a ．①当a <0时，如图①可知，f(x)在[0 ,2]上递增，∴f (x )min =f (0)=−1，f (x )max =f (2)=3−4a ．②当0≤a ≤2时，f(x)在[0 ,a]上递减，在[a ,2]上递增，∴f (x )min =f (a )=−1−a 2 ,而f (0)=−1,f (2)=3−4a ，(此时最大值为f(0)和f(2)中较大者)(i)当0≤a <1时， f (x )max =f (2)=3−4a ，如图②，(ii)当1≤a ≤2时， f (x )max =f (0)=−1，如图③，③当a >2时，由图④可知，f(x)在[0 ,2]上递减，∴f (x )min =f (2)=3−4a ，f (x )max =f (0)=−1．综上所述，当a <0时，f (x )min =−1，f (x )max =3−4a ；当0≤a <1时，f (x )min =−1−a 2，f (x )max =3−4a ；当1≤a ≤2时，f (x )min =−1−a 2，f (x )max =−1；当a >2时，f (x )min =3−4a ，f (x )max =−1．【点拨】 ① 题目中的函数f (x )=x 2−2ax −1的对称轴x =a 是不确定的，定义域[0 ,2]是确定的，在求最小值时与“定轴动区间”的思考一样分对称轴x =a 在区间[0 ,2]的“左、中、右”分成三种情况(即a <0,0≤a ≤2,a >2)进行讨论.② 在求最大值时，当0≤a ≤2，还需要判断x =0和x =2时谁离对称轴更远些，才能确定f(0)、f(2)哪个是最大值，则还有分类0≤a <1 ,1<a ≤2;【题型三】逆向题型已知函数f(x)=ax 2+(2a −1) x −3在区间[−32,2]上最大值为1，求实数a 的值． 【解析】(1)若a =0，(注意函数不一定是二次函数)则f(x)=−x −3,而f(x)在[−32,2]上的最大值f (−32)=−32≠1, ∴a ≠0(2)若a ≠0,则f(x)=ax 2+(2a −1) x −3的对称轴为 x 0=1−2a 2a =12a −1， 则y =f(x)的最大值必定是f (−32)、f (2)、f(12a −1)这三数之一，(i)若f(−32)=1，解得a =−103，此时 x 0=−2320∈[−32,2] 而a <0,f(x 0)为最大值与f(−32) 为最大值矛盾，故此情况不成立．(ii )若f (2)=1，解得a =34，此时x 0=−13∈[−32,2], 而 a =34>0, x 0=−13距右端点2较远，f(2) 最大值符合条件，∴a =34.(iii) 若f(12a −1)=1，解得a =−3± 2 √22， 当a =−3+ 2 √22<0时， x 0=−2√2−4∉[−32,2]，则最大值不可能是f(12a −1)； 当a =−3−2 √22<0时 ,x 0=2√2−4∈[−32,2]，此时最大值为f(12a −1)，∴a =−3−2 √22；综上所述a =34或 a =−3−2 √22.【点拨】本题没有按照分对称轴在定义域的“左、中、右”分离讨论，否则计算量会很大，还要考虑开口方向呢.思路是最大值必定是f (−32)、f (2)、f(1−2a 2a )这三数之一，那逐一讨论求出a 值后再检验就行.巩固练习1 (★★) 已知函数f (x )=x 2+2ax +2．(1)当a =1时，求函数f(x)在区间[−2 ,3)上的值域；(2)当a =−1时，求函数f(x)在区间[t ,t +1]上的最大值；(3)求f(x)在[−5 ,5]上的最大值与最小值．【答案】(1) [1,17] (2) {(t −1)2+1 ,t <12t 2+1 ,t ≥12； (3) a >5时, 最小值为27−10a ，最大值为27+10a ；0<a ≤5时，最小值为2−a 2，最大值为27+10a ．a <−5时，最大值为27−10a ，最小值为27+10a ．【解析】 (1)当a =1时，f (x )=x 2+2x +2=(x +1)2+1，函数在[－2,－1)上单调递减，在(－1,3]上单调递增，∴x =－1，f (x )min =1，x =3，f (x )max =17，∴函数f(x)在区间[−2,3)上的值域是[1,17]；(2)当a =−1时，f (x )=x 2−2x +2=(x −1)2+1，t <12，函数f(x)在区间[t,t +1]上的最大值f(t)=(t −1)2+1； t ≥12，函数f(x)在区间[t,t +1]上的最大值f(t +1)=t 2+1；∴函数f(x)在区间[t,t +1]上的最大值{(t −1)2+1,t <12t 2+1,t ≥12； (3)∵函数f (x )=x 2+2ax +2=(x +a )2+2−a 2 的对称轴为x =−a ，①当−a <−5，即a >5时，函数y 在[－5,5]上是增函数，当x =−5时，函数y 取得最小值为27−10a ；当x =5时，函数y 取得最大值为27+10a ．②当−5≤a <0，即0<a ≤5时，当x =−a 时，函数y 取得最小值为2−a 2；当x =5时，函数y 取得最大值为27+10a ．③当0≤－a ≤5，即－5≤a ≤0时，x =－a 时，函数y 取得最小值为2－a 2；当x =－5时，函数y 取得最大值为27－10a．④当－a>5，即a<－5时，函数y在[－5,5]上是减函数，故当x=－5时，函数y取得最大值为27－10a；当x=5时，函数y取得最小值为27+10a．2(★★) 已知函数f(x)=x2+2mx+1．(1)若m=1，求f(x)在[−1,3]上的最大值和最小值；(2)若f(x)在[−2,2]为单调函数，求m的值；(3)在区间[−1,2]上的最大值为4，求实数m的值．【答案】(1)最大值是16，最小值0(2)m≥2或m≤−2(3)m=−1或−14【解析】(1)m=1时，f(x)=x2+2x+1=(x+1)2；∴f(x)在[－1,3]上的最大值是f(3)=16，最小值是f(－1)=0；(2)∵f(x)在[−2,2]为单调函数；∴区间[－2,2]在f(x)对称轴x=－m的一边，即－m≤－2，或－m≥2；∴m≥2或m≤－2；－(3)f(－1)，f(2)中必有一个最大值；若f(－1)=2－2m=4,m=－1；∴f(x)=x2－2x+1=(x－1)2，符合f(－1)最大；若f(2)=5+4m=4，m=−14；∴f(x)=x2−12x+1=(x−14)2+1516，符合f(2)最大；∴m=−1或−14．3(★★) 已知函数f(x)=9x2−6ax+a2−10a−6在[−13,b]上恒大于或等于0，其中实数a∈[3,+∞) , 求实数b的范围.【答案】b≤−1【解析】∵ f(x)=9(x−a3)2−10a−6,x∈[−13,b]若a3≥ b时，f(x)在[−13,b]上是减函数∴y min=f(b)=9(b−a3)2−10a−6，即9(b−a3)2−10a−6≥ 0则条件成立，令u=g(a)=a2−(6b+10)a+9b2−6,a∈[3,+∞)(Ⅰ)当3b +5≤3时，即b ≤−23,则函数g(x)在[3,+∞)上是增函数， ∴ u min =g(3)=9−18b −30+9b 2−6=9b 2−18b −27 即9b 2−18b −27≥ 0，解得b ≥3或b ≤−1,∵ b ≤−23, ∴ b ≤−1 (Ⅰ)当3b +5>3即b >−23 ,u min =g(3b +5)=−30b −31 若−30b −31≥0解得b ≤−3130,与b >−23矛盾;(2)若−13<a 3<b 时,y min =f(a 3)=−10 a −6 即−10a −6≥0 解得a ≤−35,与a ∈[3,+∞)矛盾;综上述：b ≤−1．4(★★★) 已知函数f (x )=−x 22+x 在区间[m,n]上的最小值是3m ,最大值是3n ，求m,n 的值.【答案】m =−4,n =0【解析】解法1：讨论对称轴x =1中1与m,m+n 2,n 的位置关系。
