3-2-1 分式的基本运算.讲义教师版

一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a cad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kdb d b d±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m ab d n b+++=+++（...0b d n +++≠）二、基本运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn n n a a a a a a a a b b b b b b b b⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数)整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)知识点睛中考要求分式的基本运算⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.一、乘除法【例1】 下列运算中正确的是（ ）A.m n m m ÷⋅=B.1m n m n ÷⋅= C.11m m m÷⋅= D.n m m n ÷⋅= 【考点】分式的乘除运算 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略. 【答案】D【例2】 45________.a b a a b a -⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭【考点】分式的乘除运算 【难度】2星 【题型】填空【关键词】幂的运算 【解析】略【答案】原式ab a=-【巩固】3222_______.x x y y ⎛⎫⎛⎫-÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【考点】分式的乘除运算 【难度】2星 【题型】填空【关键词】幂的运算【解析】原式626443432x x x y x y y y y x=÷=⨯=【例3】 （1）222434332a a a a a a --⋅-+++_____= （2）22233(3)(4)m n mn ---⋅-_____=例题精讲【关键词】【解析】（1）原式(2)(2)3(1)(3)(1)(2)a a a a a a a +--=⋅--++2(2)(2)(3)2(1)(3)(1)(2)1a a a a a a a a a +---==--++-（2）5222339(3)(4)64mn m n mn ---⋅-=-【答案】（1）221a a --；（2）5964mn -【例4】 化简：422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+【考点】分式的乘除运算 【难度】4星 【题型】解答【关键词】第9届希望杯试题【解析】原式22222222(4)(2)(2)(2)(24)241(4)44442m m m m m m m m m m m m m m ++--++-+=⋅⋅⋅+-+-++ 2222222(4)(2)(2)(2)(24)2411(24)(24)4(2)2m m m m m m m m m m m m m m m ++--++-+=⋅⋅⋅=++-++-+【答案】1二、加减法【例5】 计算：111aa a +=++. 【考点】分式加减运算 【难度】1星 【题型】填空【关键词】2010年，福建泉州中考 【解析】1 【答案】1【巩固】化简22x y y x y x---的结果是（ ） A ．x y -- B ．y x - C ．x y -D ．x y +【考点】分式加减运算 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2008年，杭州中考【解析】原式22()()()()x y x y x y x y x y y x x y -+-===-+=-----．故选A ． 【答案】A【巩固】计算：⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++ ⑵22222621616x x x x x +-++--【关键词】同分母分式加减法【解析】⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++()()()22221353x x x x x x +---++=+22221353x x x x xx +-++++=+ 263x x +=+()2323x x +==+； ⑵22222621616x x x x x +-++--22222621616x x x x x +-+=--- 22226216x x x x +---=-22816x x -=-()()()2444x x x -=+-24x =+． 【答案】（1）2；（2）原式24x =+【例6】 化简：22193a a a ---______= 【考点】分式加减运算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】 【解析】略【答案】13a +【巩固】计算：21211x x --- 【考点】分式加减运算 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，延庆一模【解析】21211x x --- ()()()()121111x x x x x +=-+-+- ()()111x x x -=+-11x =+ 【答案】11x +【例7】 计算：22b aa ab b ab+--． 【考点】分式加减运算 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】22b a a ab b ab +--()()b a a a b b a b =---()()22b a ab a b ab a b =---()()()a b a b ab a b -+-=-a bab +=-． 【答案】a bab+=-【例8】 计算：2216322a a a a a --++-- 【考点】分式加减运算 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】原式()()()()()()()()()()1262161221122a a a a a a a a a a a ---+-=-=++-+++- ()()()()()()()()22101910101221224a a a a a a a a a a a a -+---===++-+-+- 【答案】2104a a --【巩固】化简：222222222222()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+++-+-+-【考点】分式加减运算 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式()()()()()()()()()()()()a b c a b c b c a a b c a b c b c a a b c a b c a b c a b c a b c b c a +--++-+--++-=++++-++++-+++-1a b c b c a a b ca b c a b c a b c+-+--+=++=++++++.【答案】1【例9】 化简：()()()()()()abca b a c b c b a c a c b ++------【考点】分式加减运算 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2005年，全国初中数学竞赛【解析】原式()()()()()()()()()()()()a b c b c a c a b a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------=++---------()()()ab ac bc ab ac bca b b c c a -+-+-+=---【答案】()()()ab ac bc ab ac bca b b c c a -+-+-+---三、综合运算【例10】 化简：211()(3)31x x x x +-⋅---的结果是（ ） A ．2 B ．21x - C ．23x - D ．41x x --【考点】分式的混合运算 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2010年，黄冈市中考试题 【解析】略 【答案】B【例11】 计算：2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭【考点】分式的混合运算 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，门头沟二模试题【解析】原式()()()282222a aa a a a a ⎡⎤+=+⨯⎢⎥-+--⎢⎥⎣⎦()()()228222a a aa a a a +-=⨯+-- ()()()22222a aa a a a -=⨯+-- 12a =+ 【答案】12a +【例12】 计算2211()a b a b ab--÷【考点】分式的混合运算【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，江苏南京市中考试题【解析】()()2222111a b b a a b b a ab a b ab ab ab ab a b a b a b ----⎛⎫-÷=÷=⋅=- ⎪+-+⎝⎭【答案】1a b-+【例13】 化简：221y xx y y x ⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭【考点】分式的混合运算【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南常德市中考试题【解析】原式22y x y xx y y x +-=÷+-22x y x y x x y x -=⨯=-+【答案】y x -【巩固】化简：22222222112()22a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-+÷+⋅⎢⎥++-+⎣⎦【考点】分式的混合运算 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2222222222()()2a b a b a b ab a b a b ab ⎡⎤-=+⋅⋅⎢⎥++-+⎣⎦22222222()()2a b ab a b a b a b ab ⎡⎤-=+⋅⎢⎥++-+⎣⎦ 2222222()2a b ab a b a b ab -+=⋅+-+22()a b =+.【答案】()22a b +1.化简：2211x x x x+-÷______=．【考点】分式的乘除运算【难度】1星 【题型】解答【关键词】2010年，密云一模【解析】原式2211x x x x +=⨯- ()()111x x xx x x +⋅=⨯+- 1xx =-． 【答案】原式1xx =-2. 计算()234______a a a b b b ⎛⎫⎛⎫-⋅-÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【考点】分式的乘除运算 【难度】2星 【题型】填空课后作业【关键词】幂的运算【解析】原式2322346a a a a b b a b b -=⋅⋅=-【答案】26a b3.计算：⑴22266(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+- ⑵2342()()()b a b a b a -⋅-÷-⑶32231(4)()2mn m n ---÷-⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++【考点】分式的乘除运算【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】⑴22266(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+-22(3)1(3)(2)2(2)3(3)2x x x x x x x -+-=⋅=--+---； ⑵2342()()()b a b a b a -⋅-÷-23423452642648()b a b b a a a a a a a b b b=⋅-÷=-⋅⋅=-⑶4932231(4)()2128m n mn m n ---÷-=-⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++3232423(21)1(21)(1)(21)(1)1x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+-=-÷÷⎢⎥-+-++⎣⎦22(21)(23)11(21)(1)1x x x x x x x--+=⨯⨯-+23x =-．①分子分母有些可以因式分解，先进行因式分解，再计算；②如果运算结果不是最简分式，一 定要进行约分，使运算结果化成最简分式；③有幂的运算时，先算乘方，后算乘除．4.计算：218416x x ---． 【考点】异分母分式加减法 【难度】1星 【题型】解答【关键词】2010年，丰台二模【解析】218416x x --- 48(4)(4)(4(4)x x x x x +=-+-+-）484(4)(4)(4)(4)x x x x x x +--==+-+- 1.4x =+【答案】14x +5.（2级）（2008黄冈）计算a b a bb a a +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的结果为（ ）A ．a bb- B ．a bb+ C ．a ba- D ．a b a +【考点】分式的混合运算【难度】2星【题型】选择【关键词】2008年，黄冈市中考试题【解析】22a b a b a b ab a a ab a b+-⎛⎫-÷=⨯⎪+⎝⎭()()()a b a b a bb a b b+--==+．故选A。