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工程力学六 弯曲变形解析

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材料力学 第六章 弯曲变形分析

材料力学 第六章 弯曲变形分析

（3）确定积分常数
w x0 0
w xl 0
EIw ql x q x2 22
D0
C ql3 24
D 0 , C ql3 24
EIw ql x2 q x3 C
4
6
EIw ql x3 q x4 Cx D 12 24
得挠度、转角表达式：
w
1 EI
ql
4
x2
q x3 6
B
ql 3 24EI
ql 3
max
24EI
3、分段积分问题
当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段 梁的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分 方程需分段列出。相应地各段梁的转角方程和 挠曲线方程也随之而异。
AC段：
EIy1 M1( x)
积分常数：C、 D
x 0,
两个边界条件：
x l,
连续条件：
说明1：当用轴线图表 示梁时，
挠度是轴线上各点沿铅 垂方向的线位移。
转角则是挠曲线上对应 点的切线的倾角
说明2：挠度以向上为正（与w轴正向一致），反之为负
转角以绕中性轴逆时针转动为正，反之为负。
3、挠曲线近似微分方程
（1）挠曲线方程 挠度随x变化的规律：
w f (x)
（2）转角方程
转角随x变化的规律： f1( x)
ql3
q
24
24EI
l3
6lx2
4x3
w
1 EI
ql 12
x3
q 24
x4
ql3 24
x
qx 24EI
l3 2lx2
x3
（教材173页表6-3序9）
（4）求最大转角和最大挠度
由对称性可知，最大挠度在梁的中点处，将x=l/2代入（f），

工程力学第六章 弯曲变形

工程力学第六章 弯曲变形

荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形
状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，
就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式 48EI
作 业
1、2、4（a、e)
§6-3 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个 载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分 别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
例： 梁AB，横截面为边长为a的正方形，
弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆 形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁 中点的挠度。
例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。
解：
二、梁的刚度计算
刚度条件：
max [ ] max [ ]
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定
q
B
x
l
由边界条件： x 0时， 0 x l时， 0
ql 3 , D0 得： C 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
B
x
l
A qx (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
l 2
x
P AC 解： 段：M ( x ) x 2 y P EI " x 2 A P 2 EI ' x C x 4 l 2 P 3 EI x Cx D 12

材料力学课件-6弯曲变形

材料力学课件-6弯曲变形

对称截面形状
对称的截面可以减小弯曲变形和应力。
非对称截面形状
非对称的截面会导致不均匀的弯曲应力分布。
材料的弯曲变形特性
1 弯曲模量衡量材料的抗弯能力，源自 材料的刚度有关。2 弯曲强度
材料能够承受的最大弯曲 应力。
3 弯曲韧度
材料在弯曲变形下能够吸 收的能量。
测量材料的弯曲模量的方法
1
简支梁试验
通过在两个支点上加力，测量梁的挠度
梁的截面形状对弯曲变形的影响
形状对称性
对称的截面形状可以减小弯曲变形。
截面面积
较大的截面面积可降低弯曲应力和变形。
截面离心率
截面离心率越小，弯曲变形越小。
欧拉公式的介绍
欧拉公式描述了弯曲梁的变形和应力之间的关系。它是弯曲变形的经典理论基础，广泛应用于工程设计和结构 分析中。
对称性在弯曲变形中的应用
三点弯曲试验
2
来计算弯曲模量。
在梁的中间施加力，测量梁的挠度和应
力来计算弯曲模量。
3
四点弯曲试验
在梁的两端和中间分别施加力，测量梁 的挠度和应力来计算弯曲模量。
弯曲变形在工程设计中的应用
桥梁设计
弯曲变形是桥梁结构中常见的变形，需要考虑材料 的弯曲特性。
建筑设计
梁在建筑中承担重要的结构作用，需要考虑弯曲变 形。
材料力学课件ppt-6弯曲 变形
本节将介绍弯曲变形的定义和原理，讨论梁的截面形状对弯曲变形的影响， 以及欧拉公式的应用。还将探讨对称性在弯曲变形中的重要性，介绍材料的 弯曲变形特性，并介绍测量材料弯曲模量的方法。最后，我们将探讨弯曲变 形在工程设计中的应用。
弯曲变形的定义和原理
弯曲变形是指材料在承受外部力矩作用下产生的曲线形变。这种变形是由梁 的纵向拉伸和压缩引起的。

工程力学-材料力学第六章弯曲变形

工程力学-材料力学第六章弯曲变形

3、梁的刚度条件为： 、梁的刚度条件为： 解得
Fl 3 l ≤ 48EI z 500
500 Fl 2 500 × 35 ×103 × 4 2 Iz ≥ = = 2.92 × 10 −5 m 4 48 E 48 × 200 × 109
由型钢表中查得， 工字钢的弯曲截面系数Wz＝ 由型钢表中查得，22a工字钢的弯曲截面系数 ＝3.09×l0-4m3 ，惯性 工字钢的弯曲截面系数 × 可见．选择.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。 工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。 矩Iz=3.40×10-5m4，可见．选择 × 工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求
解： 1、作出梁的弯矩图 、
得： M max
Fl 35 × 103 × 4 = = = 35 ×103 N ⋅ m 4 4
35 ×103 = = 2.19 × 10 − 4 m 3 160 × 106
2、根据弯曲正应力强度条件，要求 、根据弯曲正应力强度条件， NhomakorabeaM图 图
Fl / 4
Wz ≥
M max
[σ ]
§6–4 用叠加法求梁的变形
从上节可知， 从上节可知 ， 梁的转角和挠度都与梁上的荷载成线性关 于是，可以用叠加法来计算梁的变形。 系 。于是 ， 可以用叠加法来计算梁的变形。 几个荷载共同作 用下梁任意横截面上的变形， 用下梁任意横截面上的变形， 等于每个荷载单独作用时该截 面的变形的叠加。 面的变形的叠加。 即梁在几个荷载同时作用时，其任一截面处的转角或挠 即梁在几个荷载同时作用时 ， 度等于各个荷载分别单独作用时梁在该截面处的转角或挠度 的代数和。 的代数和。 梁在简单荷载作用下的转角和挠度可从表中查得。 梁在简单荷载作用下的转角和挠度可从表中查得。

工程力学第6章 弯曲变形_gs

工程力学第6章 弯曲变形_gs
1

M (x) EI
z
[1 (
d y dx dy dx
2 3
2
数学公式
以上两式消去
1
(x)

) ]2
2
，得：
[1 ( d
2
y
2 3
dx dy dx

M (x) EI
z
) ]
2
2
材料力学
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程 小挠度情形下：
d
2

dy dx
1
[1 (
x L 代入得：
B 2
材料力学
xL

Fab ( L a ) 6 LEI
弯曲变形/用积分法求梁的变形 5、求 y max 。
由 dy dx
A
Fb ( L b )
2 2
0 求得 y max 的位置值x。
0,
C 1
6 LEI
xa

Fab ( a b ) 3 LEI
弯曲变形/变形的基本概念
连续光滑曲线；铰支座对位移的限制
材料力学
弯曲变形/变形的基本概念
连续光滑曲线；固定端对位移的限制
材料力学
弯曲变形/变形的基本概念
对于拉伸（压缩)、扭转变形定积分 对于梁的位移不定积分
材料力学
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
二、挠曲线的近似微分方程
力学公式
1
(x)

11 ql
4
384 EI
材料力学
48 EI
384 EI
弯曲变形/梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施 四、梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施 刚度条件：

《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形

《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形
成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2

工程力学课件-第6章弯曲变形

§6.1 工程中的弯曲变形问题
一、工程实例
F
F
2
2
F F
§6.1 工程中的弯曲变形问题
§6.2 挠曲线的微分方程
二、基本概念
1、挠度
y
横截面形心 C 在垂直于 x
A
轴方向的线位移. 用w表示.
符号: 挠度向上为正，向下 为负. 2、转角 横截面对其原来位置的角位
移. 用 表示
C Bx
w
C' B
⒉使集中力分散

d 2v dx 2

M EI z
f max

Pl 3 48EI
f max

5ql 4 384EI

5Pl 3 384EI
⒊使跨度L减小
f max

Pl 3 48EI
⒋当跨度不能变时，可改善支承条件。
㈡选择合理的截面形状，增大惯性矩 ⒈工字形、槽形、T字形等比矩形圆形好。 ⒉波形板比平板好。
x3

Fl 2
x2
⑷最大挠度、最大转角
y
F
A
Bx

w
l
EI

F 2
x2

Flx C
EIw

F 6
x3

1 2
Flx2

Cx

D
max
B


Fl 2 2EI
wmax

wB

Fl 3 3EI
§6.3 用积分法求弯曲变形
已知:如图，EI，求：θ(x)，w(x)，最大挠度、最大转角。
解： (1) 求支反力

C1

Fb 2l

工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形

q
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2

第6章-弯曲变形1

位移边界条件：
位移连续条件：
在 x1 0 处， 1 0 w 在 x1 a 处， 1 0 w
在 x1 x2 a 处， 1 w2 w 在 x1 x2 a 处，
dw1 dw2 dx1 dx 2
本章习题
P196 6.3(c),6.4(b)
Fab(a b) C 3lEI 1.当 a＞b 时—— Fab(l a ) max B 6lEI 当 a＞b 时——最大挠度发生在AC段
wmax l 2 b2 a(a 2b) w 0 x 3 3
x x
Fb 3 F w2 = x2 ( x2 - a )3 6EIl 6EI Fb 2 2 + (b - l ) x2 6EIl
第 6 章 弯曲变形
弯曲变形基本方程 计算梁位移的方法 简单静不定梁分析 梁的刚度条件与设计
弯曲内力－ 在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。 弯曲应力— 在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的 分布规律。 弯曲变形— 在外力作用下，梁轴线空间位置的变化 规律。

弯曲变形及其特点
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, x 0,
代入求解
A 0
yA 0
1 3 D Fl 6
y
1 2 C Fl , 2
A
x
l
yB
F B
B
x
5）确定转角方程和挠度方程 1 1 2 2 EI F ( x l ) Fl 2 2
1 1 2 1 3 3 EIw F ( x l ) Fl x Fl 6 2 6
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
3）列挠曲线近似微分方程并积分 d 2w EI 2 M ( x) F ( x l ) dx dw 1 EI EI F ( x l ) 2 C 积分一次

第六章——弯曲变形


10
叠加法求变形
当梁上同时作用几个载荷时，如果梁的变形很小，而且 应力不超过比例极限，即可用叠加法计算梁的变形。
叠加法又可分为力叠加法和逐段分析求和法。
11
力叠加法
ω = ωq + ω F + ωM θ = θq + θF + θM
e
e
12
逐段求和法
θB =
Fal 3 EI
Fa l 3 EI
2
θ=
dω dx
=∫
M ( x) EI
dx + C
ω = ∫∫
M ( x) EI
dxdx + Cx + D
再根据梁的边界条件和连续条件可以求出积分常数，即 得到挠曲线方程和转角方程。其中 边界条件指梁截面的已知位移条件或约束条件； 连续条件指分段处挠曲线满足连续光滑条件，即具有相 同的转角和挠度。
6
例6-1：如图所示简支梁AB，承受矩为Me的集中力偶作 用。试建立梁的转角与挠度方程，并计算截面A的转角及最 大挠度。画出挠曲线大致形状。设弯曲刚度EI 为常数。
14
例6-6：试用叠加法求图示阶梯梁的最大挠度。设惯性矩 I2=2I1。
15
第六章 弯曲变形
6.3 简单静不定梁
16
多余约束： 多余支反力：
凡是多于维持平衡所需的约束 与多余约束相对应的支反力或支反力偶。
显然，静不定梁的静不定度即等于多余约束 或多余支反力的数目。 相当系统： 解除多余约束，并以相应的支反力代替， 而得到的原静不定梁受力相当的静定梁， 称为原静不定梁的相当系统。
24
再
见！
25
6.4 梁的刚度条件与合理刚度设计
22
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当x1 x2 a时,
w1 w2 (1 2 )
w1 w2
EIw2
Pb l
x2
P( x2
a)
CB段：
EIw2
EI2
Pb l
x22 2
P
( x2
a)2 2
C2
EIw2
Pb l
x23 6
P
( x2
a)3 6
C2 x2
D2
由连续性条件，可求得
C1 C2
D1 D2
由边界条件，可求得
C1
C2
M pa
P PL
2
PL 2
x
P
qa2
2
q
M
qa
x qa 2 2
x
pa
§6.2 挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程的导出
力学公式 数学公式
1 M z (x)
EIz
d 2w
1
dx2
[1 ( dw)2 ]3/2
dx
纯弯曲梁变形后中性层的曲率 公式，对于横力弯曲（l>5h） 可近似使用。EIZ称为梁的抗 弯刚度。
最大转角和最大挠度分别为：
得：
ql 3 C ,
D0
24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q (6lx2 4x3 l 3 )
24 EI
w qx (2lx2 x3 l3) 24EI
max
A
B
ql 3 24EI
wmax
w
x l 2
5ql 4 384EI
例： 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方
确定积分常数： （1）边界条件
固定端：w = 0,θ = 0
铰支座：w
=
A
0,w =
B
0
（2）连续性条件
梁的挠曲线是一条连续而光滑的曲线，因此在挠曲线的
任一点处（如：弯矩方程的分界处，截面的突变处）左右 两截面的转角和挠度均相等。
A
例： 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足 特定的工作需要。
例如，车辆上的叠板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的 冲击和振动作用。
P
P
2
2
P
二、计算弯曲变形的目的
1、研究刚度 控制变形：齿轮轴，镗刀杆 使用变形：叠板弹簧，跳水板
2、解静不定问题 3、确定梁弯曲的动载系数。
方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。
EIw M (x) 解： EIw ql x q x2

y
22
EIw ql x2 q x3 C 46
EIw ql x3 q x4 Cx D
x
12 24
M (x) ql x q x2 22
q
x l
由边界条件： x 0时，w 0 x l时，w 0
第六章 弯曲变形
§6.1 概述
一、工程中的弯曲实例
在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求 变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度， 甚至会出现废品。
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。
程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。
解：EIw M (x) EIw Px Pl
M(x) P(l x)
y
P
EIw P x2 Plx C 2
EIw P x3 Pl x2 Cx D 62
A
x l
B
x
由边界条件： x 0时，w 0,w 0 CD0
最大转角和最大挠度分别为：
平面曲线(挠曲线) w f (x)
上任意点的曲率公式。
对于小挠度情形有
dw 2 dx
1
d2w M (x)
dx2
EI
d2w M (x)
dx2
EI
d 2w dx 2
0
d2w M (x) dx2 EI
——挠曲线的近似微分方程
d 2w dx 2
0
d2w M (x) dx2 EI
d2w M (x) dx2 EI
三、弯曲变形的基本概念
纵向对称面
1、挠曲线
对称轴 轴线
梁在平面弯曲时，其轴线在载荷作用平面（纵向对称面） 内，变成了一条曲线，该曲线称为挠曲线。
特点： 连续光滑 表示： w=f(x)，它是坐标x的连续函数。
2.挠度和转角 : 是度量弯曲变形的两个基本量
y
规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正
w x
x
挠曲线方程： w f (x)
转角方程： tan f (x) dw
四、画绕曲线近似形状的方法 1、考虑支座的约束特点
固定端：w = 0,θ = 0
铰支座：w
=
A
0,w =
B
0
2、考虑弯矩的变化
弯矩为正，下凸
A
弯矩为负，上凸
弯矩为O的线段，直线 M 弯矩为O的点，拐点
P
P
B
x
例：
M
PL 2
0 x1 a a x2 l
2.列出挠曲线微分方程，并积分；
C
A
x1
x2
l
RA
Pb l
3.列出边界条件；
x
B
RB
Pa l
EIw M (x) AC段：
EIw1
Pb l
x1
EIw1
EI z1
Pb l
x12 2
C1
EIw1
Pb l
x13 6
C1x1
D1
x1 0时, w1 0
x2 l时, w2 0 4.连续性条件；
Pb 6l
(l 2
b2)
D1 D2 0
最后得转角方程和挠曲线方程为：
AC段： (0 x1 a)
EIw1 EIw1
EIz1
Pbx1 (l 2 6l
Pb (l 2 6l b2
b2 x12 )
3x12
)
CB段： (a x2 l)
ya
A
x1
RA
EIw2
EI z 2
Pb 6l
(l 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px (x 2l)
2 EI w Px2 (x 3l)
6EI
max
B
Pl 2 2 EI
wmax
wB
Pl3 3EI
例：试求图示简支梁的弯曲变形（抗弯刚度:EIz） y
a
Pb
解：1.求支反力、写出弯矩方程；
AC段： M1 RPlAbxx11
CB段： M2 PRlbAxx22 PP((xx22aa) )
b2
3x22 )
3l b
( x2
a)
2
Pb
C
x
x2
B
l
RB
EIw2
Pb 6l
(l 2
b2
3x22 )x2
l b
(
x2
a)3
5.求最大转角和最大挠度 对简支梁受集中力，最大转角一般在
两端截面上:
A
w1
x1 0
二、积分法求弯曲变形
由挠曲线近似微分方程，
dw dx
M ( x) EI
d
x
C
d2w M (x) dx2 EI
得：
w
M ( x) EI
d
x
C
d
x
D
对于等截面直梁，有：
EI M(x)d x C
EIw M (x)d x d x Cx D
说明：
（1）若M（x）方程 或 EI有变化，则应分段。 （2）C、D为积分常数，由边界条件和连续性条件确定。