第1章 函数、极限、连续

第一章 函数、极限、连续
一、极限的概念与性质
（一）极限的定义
ε
ε〈〉∃〉∀⇔=+∞→A -x N n N 0lim n 时，有，当正整数，A x n n εε〈〉∃〉∀⇔=∞→A -)(X x X 0)(lim x x f A x f 时，有，当正数，
εδδε〈〈〈∃〉∀⇔=→A -)(x -x 00)(lim 0x x 0x f A x f 时，有，当正数，
（二）极限的基本性质与两个重要极限
极限的不等式性质
设 a lim =+∞→n n x ，b y lim =+∞
→n n ，若a 〉b,则时，有，当N n N 〉∃n x 〉n y 若n 〉N 时,≥n x n y 则b a ≥
收敛数列的有界性，收敛必有界
函数极限的不等式性质
函数极限的保号性
存在极限的函数局部有界性
数列极限与函数极限的关系
两个重要的极限
e x
x x x x x =+=→∞→)11(lim 1sin lim 0
二、极限存在性的判别
（一）夹逼定理
（二）单调有界数列必收敛定理
（三）单侧极限与双侧极限的关系
A x f x f A x f ==⇔=→→→+)(lim )(lim )(lim -
000x x x x x x （四）证明一元函数)(x f 的极限不存在常用的两种方法
方法1，左右极限至少有一个不存在，或者左右不相等
方法2，运用数列极限与函数极限的关系，不存在或不一致
三、求极限的方法
（一）运用极限的四则运算与幂指数运算法则求极限
00=∙有界函数 ∞=∞∙∞ ∞=±∞有界函数 幂指数要判断 与0、1的关系
解题技巧：提取公因子；分子有理化；取lnx e
x =；分别讨论法
（二）利用洛必达法则求未定式的极限
∞
∞与00形可以要运用洛必达法则，其他形式可以化为这两种形式 )()(lim )
(')('lim a x a x x g x f x g x f →→不存在，不能判定不存在 如果的未定式是∞1)(lim )(x g x f ；[]））（（）（）（）
（1-)(x g lim )(ln x limg x g e e x limf x f x f ==
（三）利用函数的连续性求极限 设)(x f 在x=a 连续，按定义则有)()(lim a
x a f x f =→ （四）利用变量替换法和两个重要极限求极限
若()()()[]()()A x x x x x x e 1lim A lim ,0lim 000=+==→→→x x x x x ϕψϕψϕ，，
（五）利用等价无穷小因子替换求极限
1.只能在极限的乘除运算中使用等价无穷小因子替换，不能随意在极限的加减运算中使用
2.除了熟练运用等价无穷小因子替换外，还要运用等价无穷小的传递性质、运算性质，并结合洛必达法则，变量替换（还原法）简化计算过程
（六）分别求左右极限求得函数的极限
如x 1arctan e 0x x 1，时，→要分别求得左右极限求得函数极限
（七）利用函数极限求数列极限
A x f A x f =+∞→∀=+∞
→+∞→)(lim x ,)(lim n n n x ，有则 （八）用适当放大缩小法求极限
1.简单得放大缩小手段
如n 个正数之和不超过其中最大数乘以n ，不少于其中最小数乘以n ；分子与分母同为正数，把分母放大则分数值缩小；若干个正数的乘积中，把小于1的因子略去则乘积放大，把大于1的因子略去则乘积缩小
2.利用极限的不等式性质进行放大或缩小
3.对积分的极限可利用积分的性质进行放大或缩小
（九）递归数列极限的求法
)a (a n 1n f =+
方法1，先证数列n a 收敛，单调有界数列必收敛，然后设)(,x lim n n A f A A ==+∞
→ 方法2，先设A =+∞→n n x lim ，对递归方程取极限后解得A ，再用某种方法证明A =+∞
→n n x lim 对于任意数列n a ，若满足，A -a k A -a 1-n n ≤0〈k 〈1，则有A =→∞
n n a lim 对于任意数列n x ，A x lim x lim x lim 12n n 2n n n n ==⇔=++∞
→+∞→+∞→A 当)(x f 单调下降，则[])(x f f 单调上升
（十）利用导数定义求极限
（十一）利用泰勒公式求未定式的极限
四、无穷小及其比较
（一）无穷小与无穷大的定义
极限为0，无穷小，无穷大，极限不存在
（二）无穷小的有关性质
1.无穷小与极限的关系
0)x (lim )x (A )()(lim 0
0x x x x =+=⇔=→→αα，其中x f A x f 2.无穷小于无穷大的关系
无穷小(不为零)的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小
3.无穷小的运算性质
有限个无穷小的代数和为无穷小
有限个无穷小的乘积是无穷小
有界变量与无穷小的乘积是无穷小
无穷大不具备无穷小的运算性质，无穷大的运算通常转化为无穷小运算
（三）无穷小阶的概念
L x)
(x)(lim )x ()x (=βαβα为无穷小，极限， 根据L 与0,1的关系，判断x)(x)(βα，同阶，等阶，高阶的关系
（四）等价无穷小的重要性质
（1））（）（），（）（x ~x x ~x *
*ββαα，且存在）（）（x x lim **βα ）
（）（）（）（x x lim x x lim βαβα=** (2)等价无穷小的传递性
）
（）（）（x ~x ~x γβα （五）常见的等价无穷小
2n 21~cos 1~arcsin ~tan ~sin 1~110x x x x x x x x x n x x --+→；
3
a 3
x 3
1~x -t a n x x l n a 1~)x 1(l o g x ~1-)x 1(6x ~s i n x -x ln ~1)1ln(~~1++-+-αββαa x a x x e x x
（六）无穷小阶的比较与确定无穷小阶的方法
1.无穷小阶的比较
)
()(lim a x x g x f →是确定同阶，等价或高阶的最基本方法
2.确定无穷小阶的方法
0)(lim a
x =→x f ，如何确定)(x f 是x-a 的几阶无穷小 方法1，洛必达法则A )a -x ()(lim k
a x =→x f 方法2，利用等价无穷小
方法3，利用泰勒公式
方法4，利用无穷小阶的运算性质
0A )(h lim m n )a -x ()()(a x a
x ≠=→→x x x 阶无穷小，又阶与的分别是，，当βα （1）阶无穷小的是n )a -x ()(h )(x x ∙α
（2）阶无穷小的是m n )a -x ()()(+∙x x βα
（3）当n 〉m ，阶无穷小的是当m )a -x ()()(x x βα+，
阶无穷小的是m -n a -x )
()(x x βα
五、函数的连续性及其判断
（一）连续性定义
（1） 若())(lim 0x x 0x f x f =→，则称()x f 在点0x 处连续 （2） 若()0)(-x lim 000
x =∆+→∆x f x f ，则称()x f 在点0x 处连续 （3） ()()εδδε 00x -x -x 00f x f ，恒有，使得当，∃∀，则称()x f 在点0x 处连续
（4） 左连续，右连续
（5） 任一点连续，开区间连续
（6） 端点连续，闭区间连续
（7） ()x f 在点0x 处连续，在点0x 左右连续
（二）间断点的定义与分类
设()x f 在点0x 的空心领域有定于，且x=0x 不是()x f 的连续点，则称0x 是()x f 的间断点 第一类间断点，左右极限均存在，相等为可去剪短点；不等为跳跃间断点
第二类间断点，左右极限至少有一个不存在；无穷间断点，左右至少有一个为无穷大
（三）判断函数的连续性和间断点的类型
（1）连续性的四则运算法则，都连续
（2）复合函数的连续性
（3）反函数的连续性，连续且具有相同的单调性
六、连续函数的性质
（一）连续函数的局部保号性质
（二）有界闭区间上连续函数的性质
（1）连续函数介值定理
（2）连续函数零点存在性定理，()a f ，()b f 异号，存在点c ，处于ab 之间
（3）有界闭区间上的连续函数的有界性
（4）有界闭区间上连续函数存在最大值与最小值
(三)方程式根的存在性—连续函数介值定理的应用
七、常考题型及其解题方法与技巧 题型一、求
00型或∞
∞型未定式的及极限 题型二、求∞⋅0或∞∞-型未定式的极限 题型三、求指数型未定式的极限，，)01(0,0∞∞
题型四、求含变限积分的不定式的极限
题型五、由极限确定函数式中的参数
题型六、求含参变量的极限
题型七、求n 项和数列的极限
题型八、利用函数极限求数列极限
题型九、无穷小的比较和无穷小的阶的确定
提醒十、讨论函数的连续性与间断点的类型
题型十一、有关连续性性质的命题。