高数王博+第一讲+函数极限连续

解 ff((xx))在在xx==2及x0及其其近近旁旁有点定是义否且有f(2定)=义3;？ 若有定义， f(x0)=？
lim f (lxim) fli(mx)(x ? 1) 3;
x2 x x0 x2
lim f ( x) f (2) 3.
x2
lim
x x0
f ( x) ？ f ( x0 )
lim
x0
y

lxim0
f
( x0

x)
f ( x0 )
0
则称函数 y=f (x)在点x0连续，也称点x0为函数 y=f(x)的连续点．
5
第一章 函数的极限与连续
说明：
第三节 函数的连续性
1. 函数 y=f (x)在点x0连续的几何意义表示函 数图形在x0不断开.
y
所以，函数f (x) = x+1在x=2处连续.
9
第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
例2 讨论函数
f
(
x)

sin
1 x
,
x 0,
在x = 0处的连续性． 0 , x 0
解 f (x)在x = 0及其近旁有定义且 f(0)=0;
lim f ( x) limsin 1 不存在,
第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
第二节 极限
第三节 函数的连续性
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
在讨论函数极限时, 我们说函数在一点的 函数值与极限值是两个不同的问题 .

高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
图 1-1
图 1-2
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
16世纪末期，为适应生产实践的需要，人 们开始对各种变化过程中量与量之间的关系进行 研究，于是产生了函数的概念．函数既是现代数 学中最重要的基本概念之一，也是高等数学的主 要研究对象．极限是微积分学的理论基础，极限 方法是高等数学中研究问题的一种基本方法．本 章将着重介绍有关函数、极限和连续的基础知识 及基本方法．
间断点
08 初等函数的连 续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
在平面直角坐标系中，偶函数的图形是关于y轴对称 的，如图1-1所示；奇函数的图形是关于原点对称的，如 图1-2所示．

如果 x 只能取正值（或取负值）趋于无穷，则有下 面的定义： 定义 2 如果当 x >0 且无限增大时，函数 f ( x) 无
限接近于一个确定的常数 A ， 则称常数 A 为函数 f ( x) 当
x 趋向于正无穷（记为 x ）时的极限，记为
lim f ( x) A （或当 x 时， f ( x) A ）.
x x0
x x0
x x0
lim f ( x) A .
x 1, x 0 2 例 1 试求函数 f ( x) x , 0 x 1 在 x 0和 1, x 1
x 1处的极限.
解析： 因为 lim f ( x) lim ( x 1) 1，而
; ( 2 ) lim
3n 2 2n 1
2
; ( 3 ) lim
2n 1
2
;
【解析】 （ 1 ） lim
2
( 1) n n
n
0;
（2） lim
3n 2n 1 n 1
2
n
lim
3
2 n

1 n2
1 n2
n
1
3;
（ 3 ） lim
n
2
2n 1 n 1
注意：上面的极限中省略了自变量的变化趋势，下同.
推论 1 常数可以提到极限号前，即
lim Cf ( x) C lim f ( x) CA .
推论 2 若 m 为正整数，则lim[ f ( x)]m =[lim f ( x)]m = Am .
结论： 一般地， 多项式函数在 x0 处的极限等于该函数在 x0 处 的函数值，即 lim(an x n an1 x n1

第一讲
函数、极限与连续1
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一、 集合及其运算（自己复习）
二、实数的完备性和确界存在定理 （去掉，可以不看）
实数集 R 和实数轴上的所有点一一对应
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三、 映射和函数
1、定义4.设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
则
y f [ g ( x )] , x D
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 R( g ) D( f ) 不可少. 例如, 函数链 : y arcsin u , u cos x , 可定义复合函数
y arcsin cos x, x R 约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.
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4. 反函数 若函数 f : D f ( D), D, f ( D) R 为单射, 则存在一新映射
f 1 : f ( D) D, 使 y f ( D) , f 1 ( y ) x , 其中 f ( x) y,
1 f 称此映射 为 f 的反函数 .
x f ( n ) , n N . n
数列的极限
(1)n1 } 的变化趋势。 观察数列 {1 n
数列的极限
(1)n1 } 的变化趋势。 观察数列 {1 n
数列的极限
(1)n1 } 的变化趋势。 观察数列 {1 n
数列的极限
(1)n1 } 的变化趋势。 观察数列 {1 n

第一章函数极限连续性§1.1函数1.函数定义I.概念与结论1.函数：设D、YuR, f为从D到F的一个映射，即对于D中的任意一个数兀，通过/，有Y中唯一一个数y与之对应，则称f为定义于D上的函数。

D称为f的定义域, /(D) □ ｛f(x)\xe D]称为f的值域,记为Z f o注1：我们基本上限于研究解析式表示的函数，并约定解析式表示的函数的定义域，就是使该解析式有意义的x的全体。

注2：函数的二要素是定义域和对应关系。

因此，两函数相同O定义域和对应关系都相同。

2.基本初等函数：常函数、幕函数、指数函数、对数函数、三角函数(六个)和反三角函数(四个)的统称。

注：要掌握基本初等函数的各种性质，以及一些两两之I'可的关系。

3.初等函数：由基本初等函数通过有限次的四则运算或复合而成的两数。

注：初等函数一般由一个式子表示，而分段函数一般不再是初等函数。

4.复合函数：设有函数y = f(u) (WG D7.)和u =(p(x)(xwDJ,当时,称函数y = /(^(X)),XG D h(p为函数/和。

的复合函数，其中0。

厂｛兀|於)w q｝。

5.反函数：设函数y = f(x), XG D是------- 映射，则对于\7.yw/(£)),有唯一的原像xeD与之对应，这样就得到了，定义于/(£>),取值于D的函数，叫做函数/(兀)的反函数。

记为x=f[(y), ye/(D).习惯上记为y=f\x), xe/(D).注1：一一对应的函数有反函数，从而区间上的严格单调函数必有反函数。

如,y = sinx无反函数，Kij j7 = sinx, XG有反函数y = arcsinx02 2注2：函数x=f~\y)与y =广匕)是一对相同的函数，后者是习惯的记法。

在同一坐标系中，前者与y = /(x)图形相同，而后者与y = /(x)图形关于y = x对称。

6.有界函数：设函数/(无)在区间I上有定义，若存在常数M >0,使得对于任意兀w I都有|/(x)|<M ,则称/(兀)为区间I上的有界函数。

而2 ∈ [− 5, 5]，所以 5 − 2 = 5 − 22 = 1。
→2
(2)因为函数 =
+(4−)
是初等函数，其定义域为[0,9)
−3
而4 ∈ [0,9) ∪ (9, +∞)，所以
+(4−)

−3
→4
=
4 + 0
2−3
∪ (9, +∞)，
(0 , (0 ))处没有断开；在区间(, )内连续的几何意义是：在区间(, )
内曲线 = ()的图像是一条连绵不断的曲线.
3、初等函数的连续性
定理2 如果函数()与()在点0 处连续，那么这两个函数的和
() + ()、差() − ()、积()()、商
=1 − 0 = 1 − 0 = 0 + − 0 .


2、函数连续的定义
定义2
设函数 = ()在点0 的某个邻域内有定义，如果当
自变量 在点0 处的增量 → 0时，函数 = ()相应的增量
= (0 + ) − (0 ) → 0，即
由此可得：初等函数在其定义区间内某点的极限，恰好等于该点处的函
数值. 即如果初等函数()在点0 处连续，那么 = 0 .
→0
例2
计算下列极限。
(1) 5
→2
− 2
(2)
+(4−)

−3
→4
解 (1)因为函数 = 5 − 2 是初等函数，其定义域为[− 5, 5]，
= (0 + ) − (0 ) = 0，
→0
→0
那么称函数 = ()在点0 处连续.
该定义表明，函数 = ()在点0 处连续的直观意义为

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第一章 函数 极限 连续知识点拔1.1 函数一、函数的概念设D 是一个非空数集，若存在一个对应法则f ，使得对D 内的每一个值x 都有唯一的y 值与之对应，则称这个对应法则f 是定义在数集D 上的一个函数，记作：)(x f y =，其中x 叫自变量，y 叫因变量或函数，数集D 称为函数的定义域，而数集}),(|{D x x f y y z ∈==叫函数的值域.如果D x ∈0，称函数)(x f 在0x 处有定义，函数)(x f 在0x 处的函数值记为0x x y =或)(0x f .注释:①函数定义的两个要素：定义域和对应法则；②两个函数相等条件：定义域和对应法则都相同的两个函数是相同函数，如：22)(2---=x x x x f 与1)(+=x x g 不同，因定义域不同；x x f 2sin )(=与x x g sin )(=不同，因对应法则不同；x x x x f 222cos sin )(++=与1)(2+=t t g 相同，也就是当两上函数的定义域和对应法则都相同时，即使其自变量所用的字母不同，但两个函数相同.③若定义域内的每一个x 只对应一个函数值y ，则称该函数为单值函数，若同一个x 值可对应于多于一个的函数值y ，这种函数称为多值函数.二、函数的基本性质1、函数的单调性：设函数在区间D 上有定义，如果对2121,x x D x x <∈∀且，恒有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称)(x f 在区间D 上严格单调增加（或严格单调减少）的.如果对于D x x ∈∀21,21x x <且，有)()(21x f x f ≤ (或)()(21x f x f ≥)称)(x f 在区间D 上是单调增加（或单调减少）的.注释：（1）函数的有界性与单调性是与某个区间密切相关的，区间不同函数的有界性与单调性也不同.（2）增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减，增的倒数为减，减的倒数为增. （3）增函数与增函数或减函数与减函数的复合为单调增加函数. （4）增函数与减函数或减函数与增函数的复合为单调减少函数.2、函数的奇偶性：设D 是对称于原点的区间，若对D x ∈∀，)()(x f x f -=-有，则称)(x f 是奇函数；若有)()(x f x f =-，称)(x f 是偶函数.注释：①奇（偶）函数的定义域必须是关于原点对称的区间. ②奇函数)(x f 的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. ③奇偶函数的运算性质1°奇函数的代数和仍为奇函数；偶函数的代数和仍为偶函数；奇函数与偶函数的代数和为非奇非偶函数；2°偶数个奇（或偶）函数的积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数； 3°一奇一偶函数的积是奇函数；4°奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数；5°奇函数的原函数是偶函数；偶函数)(x f 的原函数⎰=xa dt t f x F )()(是奇函数的充要条件是0=a ，即在所有原函数中只有一个函数是奇函数.④任何一个定义域是关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和的形式，即=)(x f 2)()(2)()(x f x f x f x f -++--.3、函数的有界性：设)(x f 在区间D 上有定义，如果存在0>M ,使得对一切D x ∈都有M x f ≤)(，则称)(x f 在D 上有界，否则称为无界，即对0>∀M ，若存在D x ∈0，使得M x f >)(，称)(x f 在D 上是无界的.注释：函数的有界性与x 的取值区间有关. 若函数xy 1=在区间),1(+∞上有界，但在)1,0(内是无界的，因为在这个区间上函数满足定义的M 不存在，即函数的有界性与x 的取值区间有关.4、函数的周期性：设)(x f 的定义域为D ，若存在常数0>T ，伎得对D x ∈∀，必有D T x ∈±，并且有)()(x f T x f =+成立，则称)(x f 是以T 为周期的周期函数，T 称为函数)(x f 的周期，所有周期中的最小正周期叫函数)(x f 的周期.注释：①周期函数的定义域必须是无限点集，但不能是有限区间. 如：x y tan =的定义域是（+∞∞-,）且....,2,1,0,2=+≠k k x ππ②若)(x f 的周期为T ，则)(φω+x f 的周期为ωT(0≠ω)； ③周期函数的和、差、积仍为周期函数，且周期为各个函数周期的最小公倍数，如：x x y 3cos 4sin +=周期是32,42ππ的最小公倍数π2，但也有例外，如：x sin ,x cos 的周期为2π，但x x y cos sin +=的周期为π；④周期函数的导数仍为周期函数，且周期不变； ⑤设)(x f 是周期为T 的函数，则它的原函数⎰=xadt t f x F )()(为周期函数的充要条件是0)(0=⎰Tdx x f ，或者说，周期函数的原函数不一定是周期函数，如：x x f cos 1)(+=是以2π为周期的函数，但其任一个原函数C x x x F ++=sin )(不是周期函数.⑥不是每一个周期函数都有最小正周期的,如:狄利克雷函数⎩⎨⎧=无理数有理数x x y ,0,1任何有理数r 都是它的周期,即若x 为有理数, r x +也是有理数,故有)(1)(r x f x f +==;若x 为无理数, r x +也是无理数,故)(0)(r x f x f +==,可见r 为)(x f 的周期,但它没有最小的正周期. 又如：C y =，C 为常数，它是周期为任意实数且没有最小正周期的周期函数.三、反函数设函数)(x f y =，其定义域为D ，值域为M ，如果对于M 中的某一个y 值（M y ∈），都可以从关系式)(x f y =确定唯一的x （D x ∈）与之对应，这样就确定了一个以y 为自变量的新函数，记为：)(1y fx -=，称函数)(1y fx -=为函数)(x f y =的反函数，它的定义域为M ，值域为D .注释：①习惯上自变量用x 表示，函数用y 表示，因此函数)(x f y =的反函数)(1y f x -=通常表示为)(1x fy -=.②反函数的定义域就是其原来函数的值域；反函数的值域就是原来函数的定义域，且有)]([)]([11x ff x x f f --==.③原来函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图像关于x y =对称（前提是在同一坐标系中），)(x f y =的图像与其反函数)(y x φ=的图像重合.④只有一一对应的函数才有反函数.⑤若)(x f 在区间I 内单调⇒)(x f 在区间I 内一定存在单值反函数，反之不一定成立，即若)(x f 在区间I 内存在单值反函数但)(x f 在区间I 内不一定单调，如： ⎩⎨⎧≤≤+≤--=10,101,)(x x x ＜x x f 在区间]1,1[-内存在单值反函数，但它在]1,1[-上不单调.四、复合函数若函数)(x u φ=在0x 处有定义，而)(u f y =在)(00x u φ=处有定义，则)]([x f y φ=称为由)(u f y =和)(x u φ=复合而成的复合函数，u 称为中间变量.注释：①只有当函数)(x u φ=的值域与)(u f y =的定义域的交集不是空集时才构成复合数. ②函数的复合：先利用外层函数关系，再利用内层函数关系而构成，如：设x x f sin )(=，x e x =)(φ，则x e x x f sin )](sin[)]([==φφ.③复合函数的分解：先找到外层函数关系，设其内部整体为中间变量u ，再依次分解，如：21)]sin [arctan(x x y +=，可设)sin arctan(x x u +=,x x v sin +=，则原来函数是由21u y = ,v u arctan =，x x v sin +=复合而成.五、初等函数1、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统称为基本初等函数.2、初等函数：由常数和五类基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合运算且可用一个数学解析式表示的函数叫初等函数.注释：初等函数必须用一个式子表示，不能用一个式表示的函数不能称为初等函数，故分段函数一般不是初等函数.3、分段函数：若函数在其定义域内的不同部分上，分别用不同的表达式表示，这类函数称为分段函数.如：符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,1,0,0,0,1sgn x x x x 是分段函数且是有界函数和奇函数.又如： x x x x x x x y sgn .0,,0,=⎩⎨⎧<-≥==是分段函数.注释：分段函数一般不是初等函数，但若)(x f 是初等函数，则⎩⎨⎧<-≥==.0)(),(,0)(),()()(2x f x f x f x f x f x f 是初等函数. 又如：取整函数[]x y =，即“不超过x 的最大整数”是分段函数. 又如：定义在R 上的狄利克雷（Dirichlet ）函数⎩⎨⎧=.,0,1)(无理数有理数x ，x x D 是分段函数，且是有界的，)(x D 是周期函数，但没有最小的正周期，任何有理数都是它的周期，并且)(x D 还是偶函数.4、初等函数的几个特例设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数，则（1）)(x f 是初等函数，因为=)(x f []2)(x f ；（2）最大值函数max )(=x ϕ{})(),(x g x f 和最小值函数{})(),(m in )(x g x f x =ψ都是初等函数，这是因为{}[])()()()(21)(),(max )(x g x f x g x f x g x f x -++==ϕ {}[])()()()(21)(),(min )(x g x f x g x f x g x f x --+==ψ （3）幂指函数)()]([x g x f y = (0)(>x f )是初等函数，因为)(ln )()](ln[)()()]([x f x g x f x g e e x f x g ==.1.2 极限一、数列极限的定义 1、数列极限的概念设}{n x 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当N n >时，有ε<-a x n ，则称数列}{n x 收敛于a ，而a 称为数列}{n x 的极限，记作：a x n n =∞→lim ，或a x n →（∞→n ）.若数列}{n x 没有极限，则称数列}{n x 不收敛，或称}{n x 为发散数列. 若0lim =∞→n n x ，则称}{n x 为无穷小数列.定理 数列}{n x 收敛于a 的充要条件是：}{a x n -为无穷小数列. 2、有界数列的概念对于数列}{n x ，如果存在正数M ，使得对于一切的n x 都有不等式M x n ≤||成立，则称数列}{n x 是有界的；如果这样的正数M 不存在，则称数列}{n x 是无界的.注释：（1）若数列}{n x 收敛，则数列有界；（2）有界数列}{n x 不一定收敛，如：n n a )1(-=有界，但不收敛，所以数列有界是数列收敛的必要条件；（3）C C n =∞→lim （常数）；01lim=∞→pn n （0>p ）；0lim =∞→nn q （1<q ）； （4）等差数列的求和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n 2)1(1-+=. （5）等比数列的前n 项和公式qq a S n n --=1)1(1.3、单调数列的概念对于数列}{n x ，如果满足条件 ≤≤≤≤≤+121n n x x x x ，则称数列}{n x 为单调增加数列；如果满足条件 ≥≥≥≥≥+121n n x x x x ，则称数列}{n x 为单调减少数列.单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列. 定理（单调有界准则） 单调有界数列必有极限.二、函数极限1、∞→x 时，函数)(x f 的极限 （1）概念定义 如果当∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记作：A x f x =∞→)(lim 或A x f →)(（∞→x ）.注释：（1）∞→x 是指x 的绝对值无限增大，它包含以下两种情况：x 取正值并无限增大，记作：+∞→x ；x 取负值且其绝对值无限增大，记作：-∞→x .（2）如果+∞→x 和-∞→x 两种情况都存在且函数的极限值相等时，则可合并写成∞→x . 定义 如果当+∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或A x f →)(（+∞→x ）.如果当-∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或A x f →)(（-∞→x ）.（2）函数)(x f 在∞→x 时极限存在的充要条件定理 极限A x f x =∞→)(lim 存在的充要条件是A x f x =+∞→)(lim 且A x f x =-∞→)(lim .如：由于2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ，所以x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→≠，故极限x x arctan lim ∞→不存在；又如：由于0lim =-∞→x x e ，+∞=+∞→x x e lim 即不存在，故极限xx e ∞→lim 不存在.2、0x x →时，函数)(x f 的极限 （1）函数)(x f 在0x x →时的极限概念定义 设函数)(x f 在0x 的某个去心邻域内有定义，如果当0x x →时，函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作：A x f x x =→)(lim 0或Ax f →)(（0x x →）.注释：0x x →表示x 趋近于0x ，含以下两种情况：（1）x 从大于0x 的一侧（即右侧）趋近于0x ，记作：+→0x x ； （2）x 从大于0x 的一侧（即右侧）趋近于0x ，记作：-→0x x .（2）函数左极限与右极限的概念定义 设函数)(x f 在0x 的某个左侧邻域),(00x x δ-（0>δ）内有定义，如果当x 从0x 的左侧趋近于0x （记作：-→0x x ）时，函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当-→0x x 时的极限，记作：A x f x x =-→)(lim 0或A x f =-)(0或A x f =-)0(0.设函数)(x f 在0x 的某个右侧邻域),(00δ+x x （0>δ）内有定义，如果当x 从0x 的右侧趋近于0x （记作：+→0x x ）时，函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当+→0x x 时的极限，记作：A x f x x =+→)(lim 0或A x f =+)(0或A x f =+)0(0.（3）函数)(x f 在0x x →时极限存在的充要条件定理 极限A x f x x =→)(lim 0存在的充要条件是A x f x x =-→)(lim 0且A x f x x =+→)(lim 0.注释：该定理主要用来判定分段函数在分段点处极限是否存在的重要定理. （4）几个常用极限01lim=∞→x x ，C C x x =→0lim （常数），0sin lim 0=→x x ，1cos lim 0=→x x ，00lim x x x x =→. （5）初等函数的极限基本初等函数在定义域内任一点0x 的极限等于该点的函数值；初等函数在定义区间内任一点0x 的极限等于该点的函数值.3、函数极限的性质（1）唯一性：若极限)(lim 0x f x x →存在，则它的极限必唯一；（2）局部有界性：若)(lim 0x f x x →存在，则0>∃δ和0>M ，当δ<-<00x x 时，有M x f ≤)(；（3）保序性：设A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0，（Ⅰ）若B A >，则0>∃δ，当δ<-<00x x 时，有)()(x g x f >； （Ⅱ）若当δ<-<00x x 时，有)()(x g x f >，则B A ≥.（4）保号性：若0)(lim 0>=→A x f x x （或<0），则必0>∃δ，当δ<-<00x x 时，有0)(>x f （或0)(<x f ）若0)(>x f （或0)(<x f ），且A x f x x =→)(lim 0，则0≥A （或0≤A ）.注释：①上述的变化趋势0x x →，可以换成-→0x x ，+→0x x ，∞→x ，-∞→x ，+∞→x②若)0(0)(<>或x f ,且A x f x x =→)(lim 0，则0>A )0(<或是错误的，如)0(0)(2≠>=x x x f ，但0)(lim 0=→x f x1.3 极限的运算法则若)(lim x f ，)(lim x g 都存在，则（1）[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=±；（2）[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=，特别地)(lim )(lim x f C x Cf =； （3）)(lim )(lim )()(limx g x f x g x f =，其中0)(lim ≠x g ； （4）)]([lim )]([lim x g f x g f =；（5）[],)(lim )(lim )(lim )(x g x g x f x f =其中0)(lim >x f 且不等于1，特别地[]αα)(lim )](lim[x f x f =（α为实数）.注释：①法则（1）（2）可以推广到有限个函数.②0x x →时有理分式极限的求法设)(x R 是有理分式，01110111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R n n n n n n n n m n ++++++++==---- ，其中0≠n a ，0≠n b .（1）若0)(0≠x Q m ，则)()()()(lim 0000x R x Q x P x R m n x x ==→；（2）若0)(0=x Q m ，而0)(0≠x P n ，则∞=→)(lim 0x R x x ；（3）若0)(0=x Q m 且0)(0=x P n ，则)(x P n 与)(x Q m 一定有公因子)(0x x -，将)(x P n 与)(x Q m 因式分解，约去公因式后再计算极限.③∞→x 时有理分式极限的求法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞=>=∞→.,.,.,0)(lim 时当时当时当n m n m b an m x R n n x 其中0≠n a ，0≠n b . ④无理分式极限的求法：先分子或分母有理化，在计算极限 ⑤“∞-∞”型有理分式的求法：先通分，再求极限.1.4 极限存在准则及两个重要极限一、极限存在准则夹逼定理：如果对于0x 的去心邻域内的一切x 都有)()()(x h x f x g ≤≤，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0，则有A x f x x =→)(lim 0.二、两个重要极限 1、1sin lim0=→xx x ，1sin lim 0=→x x x ，一般的1sin lim0=∆∆→∆，∆表示任一函数)(x u ，即1)()(sin lim0)(=→x u x u x u ； 2、e xxx =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim ，一般的e =∆+∆∞→∆)11(lim ，e =∆+∆→∆10)1(lim ，∆表示任一函数)(x u ，即e x u x u x u =+∞→)()())(11(l i m，e x u x u x u =+→)(1)())(1(lim .1.5 无穷小量与无穷大量、无穷小的比较一、无穷小量1、无穷小量的概念若0)(lim 0=→x f x x （或0)(lim =∞→x f x ），则称)(x f 是0x x →（或∞→x ）时的无穷小量，简称无穷小；2、极限与无穷小量的关系α+=⇔=∞→→A x f A x f x x x )()(lim )(0，其中α是0x x →时的无穷小量.|)(|)(lim )(0A x f A x f x x x -⇔=∞→→是0x x →（或∞→x ）时的无穷小量.3、无穷小量的性质（1）有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量，（2）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。

函数f(x)在［a，b］上连续的定义：
如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端
点x=a处有 xlimaf(x)=f(a)，在右端点x=b
处有
lim
xb
f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区
间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，
b］上的连续函数
最大值 f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对 于任意x∈［a，b］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在 点x1处有最大值f(x1) 最小值 f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对 于任意x∈［a，b］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在 点x2处有最小值f(x2) 最大值最小值定理 如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那 么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值
xx0
limCC
xx0
xl im x0 xx0
l i m f ( x ) a l i m f ( x ) l i m f ( x ) a
x x 0
x x 0
x x 0
其趋中近于xl xim 0x0时 f的(x左)极a限表，示当x从左侧
于xxl 0im 时x0的f(右x)极a限表示当x从右侧趋近
变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
22
例2求下列函数的极限：
lim 3x2 1 x (x 1)3
lim x2 1 x2 x2 x2

(1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。 (2)掌握连续函数的四则运算法则。 (3)了解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。
第四讲 一元微分学


1．内容 导数与微分的定义，左导数与右导数，导数的几何意义，函数的可导性、可微性与连续性的关系，导数与微分的四 则运算，导数与微分的基本公式，复合函数的求导法，隐函数的求导法，高阶导数。 2．要求 (1)理解导数的概念及其几何意义。了解左导数与右导数的概念。 (2)了解函数可导性、可微性与连续性的关系。 (3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法。 (4)会求隐函数的一阶导数。 (5)了解高阶导数的概念。会求函数的二阶导数。 (6)了解微分的概念。会求函数的微分。

2．要求 (1)理解数列及函数极限的概念。 (2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、 右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分 必要条件。 (3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性)。掌 握极限的四则运算法则。 (4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的 性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同 阶、等价无穷小的概念。 (5)掌握用两个重要极限求极限的方法
第九讲 多重积分

1．内容 二重积分的概念与性质，二重积分的计算法。 2．要求 (1)了解二重积分的概念与性质。 (2)掌握在直角坐标系下计算二重积分的方法，会交换积分次序。 (3)会利用极坐标系计算二重的基本概念，变量可分离的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程。 2．要求 (1)了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的概念。 (2)掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程的求解方法。 (3)会解齐次微分方程。

则只能考虑 → +∞.
例如，函数 =
1
1
有
→+∞
=
1
0，
→−∞
= 0.
1
这两个极限值与
→∞
= 0相等，都是0.
定义1
设函数()在 > ( > 0)内有定义，如果当 无限增大时，函数
()无限接近于一个常数，则称当 → ∞时函数()以常数为极限. 记作
() = 或() → ( → ∞).
→∞
类似地，当 → −∞与 → +∞有相应的定义.
定义ሶ
如果函数()在 > 0且无限增大时，函数()无限接近于一个常数，
则称当 → +∞时函数()以常数为极限. 记作 () = 或() → ( → +∞).
1

→∞

2
= − ；
→−∞
= 1.
→0
=0 ；
1
2
→∞
=0 ；
=
→+∞

2
；
= 0 ； − = 0 ； = 0 ；
→−∞
→+∞
→0
例3
3+1
面没有标明自变量的变
化 趋 势 ，但 对 于 以下 每
说明：加减运算和求极
个结论，都是在自变量
说明：乘法运算和求极限
限的运算次序可以交换
的 同 一 变化 趋 势 下讨 论
的运算次序也可以交换
的。
说明：除法运算和求极限
的运算次序也形：
推论1 如果有限个函数1 ()，2 ()，3 ()，⋯ , ()的极限都存在，则极限

如果 li m f(x)＝a 且 li m f(x)＝a，那么就说当
x→＋∞
x→－∞
x 趋向于无穷大时，函数 f(x)的极限是 a.记作
li m f(x)＝a
___x→_∞__________.也记作当 x→∞时，f(x)→a.
对于常数函数 f(x)＝C(x∈R)，也有 li m f(x)＝C.
x→∞
x→0
x→0
A．1 B．2
C．3 D．4
• 【解析】 ①②正 确．
• 【答案】 B
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• 3．若f(x)在区间[a，b]上连续，则 下列说法中不正确的是( )
• A．在(a，b)内每点都连续
• B．在a点处左连续
• C．在b点处左连续
• D．在[a，b]上有最大值
• 【解析】 f(x)在闭区间[a，b]上连
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4．函数的连续性的概念
(1)如果函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处及其附近有定义， 而且 lix→mx0 f(x)＝__f_(x_0_)_，就说函数 f(x)在点 x0 处连续．
(2)如果函数 f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处都 连续，就说函数 f(x)在开区间(a，b)内_连___续___．
(3)对于闭区间[a，b]上的函数，如果 f(x)在开区间
(a，b)内连续，在左端点 x＝a 处有 li m f(x)＝f(a)，
x→a＋
在右端点 x＝b 处有 li m f(x)＝__f(_b_)__，就说函数
x→b－
f(x)在闭区间[a，b]上连续．
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5．最大值、最小值定理 如果函数 f(x)在闭区间[a，b]上是连续函数， 那 么 f(x) 在 闭 区 间 [a ， b] 上 有 ______最__大__值__和__最__小__值__________．

高等数学第-讲极限与连续ppt 课件
目
CONTENCT
录
• 极限概念与性质 • 连续概念与性质 • 极限与连续关系 • 典型例题解析 • 练习题与答案解析
01
极限概念与性质
极限定义及存在条件
极限定义
当自变量的某个变化过程（如$x to x_0$或$x to infty$）中，函数 $f(x)$无限接近于某个常数$A$，则称$A$为函数$f(x)$在该变化过 程中的极限。
Cantor定理：若函数在 闭区间[a,b]上连续，则 它在[a,b]上一致连续。
Lipschitz条件：若存在 常数K，使得对任意 x1,x2∈I，都有|f(x1)f(x2)|≤K|x1-x2|，则称 f(x)在区间I上满足 Lipschitz条件。满足 Lipschitz条件的函数一 定一致连续。
练习题3
求极限 lim(x→1) (x^2-1)/(x-1)。
答案解析
通过运用极限的运算法则、等价无穷小替换等方法，可以求出以上极限的值。
判断函数连续性练习题及答案解析
01
02
03
04
练习题1
判断函数 f(x)={x^2, x>0; 0, x≤0n(1/x) 在 x=0 处是否连续。
若函数f(x)在其定义域内单调且连续，则其反函数f1(x)在其对应域内也单调且连续。
初等函数连续性
初等函数在其定义域内是连续的，即在其定义域内的每一点都满 足连续的定义。
初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角 函数以及由这些函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函 数。
03
极限与连续关系
练习题3
判断函数 f(x)=e^x 在 R 上的 连续性。

（完整版）⼤⼀⾼数第⼀章函数、极限与连续第⼀章函数、极限与连续由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为⾃然科学的中⼼问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进⼊了⼀个被称为“⾼等数学时期”的新时代，这⼀时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究⽐“形”更重要，以积极的态度开展对“⽆限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创⽴更是这⼀时期最突出的成就之⼀.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数.极限是研究函数的⼀种基本⽅法，⽽连续性则是函数的⼀种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍⾼等数学的⼀些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作⽤的⽆穷⼩量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运⽤极限的概念引⼊函数的连续性概念，它是客观世界中⼴泛存在的连续变化这⼀现象的数学描述.第⼀节变量与函数⼀、变量及其变化范围的常⽤表⽰法在⾃然现象或⼯程技术中，常常会遇到各种各样的量.有⼀种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这⼀类量叫做变量；另⼀类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这⼀类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如⾃然数由⼩到⼤变化、数列的变化等，⽽更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何⼀个数.变量取值范围常⽤区间来表⽰.满⾜不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ，即 ,{|}a b x a x b =≤≤；满⾜不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即(,){|}a b x a x b =<<；满⾜不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即(,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤左开右闭区间与右开左闭区间统称为半开半闭区间，实数a ，b 称为区间的端点.以上这些区间都称为有限区间.数b a -称为区间的长度.此外还有⽆限区间：(){|}x x -∞+∞=-∞<<+∞=R ，，(,{|}b x x b -∞=-∞<≤??，(,){|}b x x b -∞=-∞<<， ){|}a x a x +∞=≤<+∞??，， (){|}a x a x +∞=<<+∞，，等等. 这⾥记号“-∞”与“+∞”分别表⽰“负⽆穷⼤”与“正⽆穷⼤”.邻域也是常⽤的⼀类区间.设0x 是⼀个给定的实数，δ是某⼀正数，称数集:{}00|x x δxx δ-<<+为点0x 的δ邻域，记作0(,)U x δ.即(){}000,|U x δx x δx x δ=-<<+称点0x 为该邻域的中⼼，δ为该邻域的半径(见图1-1).称{}00(,)U x δx -为0x 的去⼼δ邻域，记作0(,)x δoU ，即{}00(,)|0U x δx x x δ?=<-<图1-1下⾯两个数集(){}000,|U x δx x δx x ?-=-<<，(){}000,|U x δx xx x δ?+=<<+，分别称为0x 的左δ邻域和右δ邻域.当不需要指出邻域的半径时，我们⽤0()U x ，0()x oU 分别表⽰0x 的某邻域和0x 的某去⼼邻域，(),x δ-oU ，(),U x δ?+分别表⽰0x 的某左邻域和0x 的某右邻域.⼆、函数的概念在⾼等数学中除了考察变量的取值范围之外，我们还要研究在同⼀个过程中出现的各种彼此相互依赖的变量，例如质点的移动距离与移动时间.曲线上点的纵坐标与该点的横坐标，弹簧的恢复⼒与它的形变，等等.我们关⼼的是变量与变量之间的相互依赖关系，最常见的⼀类依赖关系，称为函数关系.定义 1 设A ，B 是两个实数集，如果有某⼀法则f ，使得对于每个数x A ∈，均有⼀个确定的数y B ∈与之对应，则称f 是从A 到B 内的函数.习惯上，就说y 是x 的函数，记作()y f x = ()x A ∈其中，x 称为⾃变量，y 称为因变量，()f x 表⽰函数f 在x 处的函数值.数集A 称为函数f 的定义域，记为()D f ；数集{}()|(),f A y y f x x A B ==∈?称为函数f 的值域，记作()R f .从上述概念可知，通常函数是指对应法则f ，但习惯上⽤“() ,y f x x A =∈”表⽰函数，此时应理解为“由对应关系()y f x =所确定的函数f ”.确定⼀个函数有两个基本要素，即定义域和对应法则.如果没有特别规定，我们约定：定义域表⽰使函数有意义的范围，即⾃变量的取值范围.在实际问题中，定义域可根据函数的实际意义来确定.例如，在时间t 的函数()f t 中，t 通常取⾮负实数.在理论研究中，若函数关系由数学公式给出，函数的定义域就是使数学表达式有意义的⾃变量x 的所有可以取得的值构成的数集.对应法则是函数的具体表现，它表⽰两个变量之间的⼀种对应关系.例如，⽓温曲线给出了⽓温与时间的对应关系，三⾓函数表列出了⾓度与三⾓函数值的对应关系.因此，⽓温曲线和三⾓函数表表⽰的都是函数关系.这种⽤曲线和列表给出函数的⽅法，分别称为图⽰法和列表法.但在理论研究中，所遇到的函数多数由数学公式给出，称为公式法.例如，初等数学中所学过的幂函数、指数函数、对数函数、三⾓函数与反三⾓函数都是⽤公式法表⽰的函数.从⼏何上看，在平⾯直⾓坐标系中，点集()(){(,)|,}x y y f x x D f =∈称为函数()y f x =的图像（如图1-2所⽰）.函数()y f x =的图像通常是⼀条曲线，()y f x =也称为这条曲线的⽅程.这样，函数的⼀些特性常常可借助于⼏何直观来发现；相反，⼀些⼏何问题，有时也可借助于函数来作理论探讨.现在我们举⼀个具体函数的例⼦.图1-2例1求函数y . 解要使数学式⼦有意义，x 必须满⾜> ,240,10x x ?-≥??-??即 >2,1.x x ?≤由此有 12x <≤，因此函数的定义域为(12??，.有时⼀个函数在其定义域的不同⼦集上要⽤不同的表达式来表⽰对应法则，称这种函数为分段函数.下⾯给出⼀些今后常⽤的分段函数.例2 绝对值函数<,0,,0.x x y x x x ≥?==?-? 的定义域()()D f =-∞+∞，，值域()[0,)R f =+∞，如图1-3所⽰. 例3 符号函数<>1,0,sgn 0,0,1,0x y x x x -??===的定义域()()D f =-∞+∞，，值域()11{0}R f =-，，，如图1－4所⽰.图1-3 图1-4例4 最⼤取整函数y x =，其中x 表⽰不超过x 的最⼤整数.例如，113??-=-，00=，12??=??，π3=等等.函数y x =的定义域()()D f =-∞+∞，，值域(){}R f =整数.⼀般地，y x n ==，1n x n ≤<+，120,,n =±±L ，，如图1-5所⽰.图1-5在函数的定义中，对每个()x D f ∈，对应的函数值y 总是唯⼀的，这样定义的函数称为单值函数.若给定⼀个对应法则g ，对每个()x D g ∈，总有确定的y 值与之对应，但这个y 不总是唯⼀的，我们称这种法则g 确定了⼀个多值函数.例如，设变量x 与y之间的对应法则由⽅程2225x y +=给出，显然，对每个55[,]x ∈-，由⽅程2225x y +=可确定出对应的y 值，当5x =或5-时，对应0y =⼀个值；当55(,)x ∈-时，对应的y 有两个值.所以这个⽅程确定了⼀个多值函数.对于多值函数，往往只要附加⼀些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为多值函数的单值分⽀.例如，由⽅程2225x y +=给出的对应法则中，附加“0y ≥”的条件，即以“2225x y +=且0y ≥”作为对应法则，就可以得到⼀个单值分⽀()2125y g x x ==-；附加“0y ≤”的条件，即以“2225x y +=且0y ≤” 作为对应法则，就可以得到⼀个单值分⽀22()25y g x x ==--.关系的，如⾼度为⼀定值的圆柱体的体积与其底⾯圆半径r 的关系，就是通过另外⼀个变量其底⾯圆⾯积S 建⽴起来的对应关系.这就得到复合函数的概念.定义2 设函数()y f u =的定义域为()D f ，函数()u g x =在D 上有定义，且()()g D D f ?.则由下式确定的函数()()y f g x =，x D ∈称为由函数()y f u =与函数()u g x =构成的复合函数，记作()()()()y f g x f g x =?=，x D ∈，它的定义域为D ，变量u 称为中间变量.这⾥值得注意的是，D 不⼀定是函数()u g x =的定义域()D g ，但()D D g ?.D 是()D g 中所有使得()()g x D f ∈的实数x 的全体的集合.例如，()y f u u ==， ()21u g x x ==-.显然，u 的定义域为(),-∞+∞，⽽()(0,)D f =+∞.因此，11,D -＝，⽽此时1()0,R f g =.两个函数的复合也可推⼴到多个函数复合的情形.例如， log a µxu y x a ==()10a a >≠且可看成由指数函数u y a =与log a u µx =复合⽽成.⼜形如()log ()()()a v x u x v x y u x a ==()0u x ＞()10a a >≠且的函数称为幂指函数，它可看成由wy a =与()log ()a w v x u x =复合⽽成. ⽽y =可看成由y =sin u v =，2v x =复合⽽成.例5 设()1xf x x =+()1x ≠-，求()()()f f f x解令()y f w =，()w f u =，()u f x =，则()()()f f f x 是通过两个中间变量w 和u 复合⽽成的复合函数，因为()111121x x x x uxw f u u x ++====+++，12x ≠-；()2121,1131x x x x wxy f w w x ++====+++13x ≠-，所以 ()()()31x f f f x x =+，111,,23x ≠---.定义3 设给定函数()y f x =，其值域为()R f .如果对于()R f 中的每⼀个y 值，都有只从关系式()y f x =中唯⼀确定的x 值与之对应，则得到⼀个定义在()R f 上的以y 为⾃变量，x 为因变量的函数，称为函数()y f x =的反函数，记为()1x fy -=.从⼏何上看，函数()y f x =与其反函数()1x f y -=有同⼀图像.但⼈们习惯上⽤x 表⽰⾃变量，y 表⽰因变量，因此反函数()1xf y -=常改写成()1y f x -=.今后，我们称()1y f x -=为()y f x =的反函数. 此时，由于对应关系1f-未变，只是⾃变量与因变量交换了记号，因此反函数()1y fx -=与直接函数()y f x =的图像关于直线y x =对称，如图 1 - 6所⽰.图1-6值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如函数2y x =的定义域为()-∞+∞，，值域为，但)0+∞??，对每⼀个()0y ∈+∞，，有两个x 值即1x =和2x =因此x 不是y 的函数，从⽽2y x =不存在反函数.事实上，由逆映射存在定理知，若f 是从()D f 到()R f 的⼀⼀映射，则f 才存在反函数1f -.例6 设函数(1)1xf x x +=+ ()1x ≠-，求()11f x -+.解函数()1y f x =+可看成由()y f u =，1u x =+复合⽽成.所求的反函数()11y f x -=+可看成由()1y fu -=，1u x =+复合⽽成.因为()11x u f u x u-==+，0u ≠，即1u y u -=，从⽽，()11u y -=-， 11u y=-，所以 ()111y f u u-==-，因此 ()1111,01(1)f x x x x-+==-≠-+.三、函数的⼏种特性1. 函数的有界性设函数()f x 在数集D 上有定义，若存在某个常数L ，使得对任⼀x D ∈有()f x L ≤（或()f x L ≥），则称函数()f x 在D 上有上界（或有下界），常数L 称为()f x 在D 上的⼀个上界（或下界）；否则，称()f x 在D 上⽆上界（或⽆下界）.若函数()f x 在D 上既有上界⼜有下界，则称()f x 在D 上有界；否则，称()f x 在D 上⽆界.若()f x 在其定义域D f （）上有界，则称()f x 为有界函数.容易看出，函数()f x 在D 上有界的充要条件是：存在常数M>0，使得对任⼀x D ∈，都有()f x M ≤.例如，函数sin y x =在其定义域()-∞+∞，内是有界的，因为对任⼀()x ∈-∞+∞，都有sin 1x ≤，函数1y x=在()10,内⽆上界，但有下界. 从⼏何上看，有界函数的图像界于直线y M =±之间.2. 函数的单调性设函数()f x 在数集D 上有定义，若对D 中的任意两数12,x x 12()x x <，恒有()()12f x f x ≤ [或()()12f x f x ≥]，则称函数()f x 在D 上是单调增加（或单调减少）的.若上述不等式中的不等号为严格不等号，则称为严格单调增加（或严格单调减少）的.在定义域上单调增加或单调减少的函数统称为单调函数；严格单调增加或严格单调减少的函数统称为严格单调函数.如图1-7所⽰.图1-7例如，函数()3f x x =在其定义域()-∞+∞，内是严格单调增加的；函数()cos f x x =在π0,（）内是严格单调减少的.从⼏何上看，若()y f x =是严格单调函数，则任意⼀条平⾏于x 轴的直线与它的图像最多交于⼀点，因此()y f x =有反函数.3. 函数的奇偶性设函数()f x 的定义域()D f 关于原点对称（即若()x D f ∈，则必有()x D f -∈.若对任意的()x D f ∈，都有()()f x f x -=-[或()()f x f x -=]，则称()f x 是()D f 上的奇函数（或偶函数）.奇函数的图像对称于坐标原点，偶函数的图像对称于y 轴，如图1－11所⽰.图1-8例7 讨论函数()(ln f x x =的奇偶性. 解函数()f x 的定义域()-∞+∞，是对称区间，因为()(lnln f x x ??-=-= (()ln x f x =-+=-所以，()f x 是()-∞+∞，上的奇函数. 4. 函数的周期性设函数()f x 的定义域为()D f ，若存在⼀个不为零的常数T ，使得对任意()x D f ∈，有x T D f ±∈（）（），且f x T f x +=（）（），则称()f x 为周期函数，其中使上式成⽴的常数T 称为()f x 的周期，通常，函数的周期是指它的最⼩正周期，即：使上式成⽴的最⼩正数T T （如果存在的话）.例如，函数sin f x x =（）的周期为π2；()tan f x x =的周期是π. 并不是所有函数都有最⼩正周期，例如，狄利克雷（Dirichlet ）函数为数为⽆数10 ,) (,x D x x ?=??有理，理.任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最⼩正周期.四、函数应⽤举例下⾯通过⼏个具体的问题，说明如何建⽴函数关系式.例8 ⽕车站收取⾏李费的规定如下：当⾏李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费.试求上海到该地的⾏李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像.解当500x <≤时，150.y x =；当50x >时，1552550.00.(0)y x =?+-. 所以函数关系式为：0.15, 050;7.50.25(50),50.x x y x x <≤?=?+->?这是⼀个分段函数，其图像如图1－9所⽰.图1-9例9 某⼈每天上午到培训基地A 学习，下午到超市B ⼯作，晚饭后再到酒店C 服务，早、晚饭在宿舍吃，中午带饭在学习或⼯作的地⽅吃.A B C ，，位于⼀条平直的马路⼀侧，且酒店在基地与超市之间，基地与酒店相距3km ，酒店与超市相距5km ，问该打⼯者在这条马路的A 与B 之间何处找⼀宿舍（设随处可找到），才能使每天往返的路程最短. 解如图1-10所⽰，设所找宿舍D 距基地A 为x （km ），⽤f x （）表⽰每天往返的路程函数.图1-10当D 位于A 与C 之间，即30x ≤≤时，易知()()8823222f x x x x x =++-+-=-（），当D 位于C 与B 之间，即38x ≤≤时，则()882312()()0.f x x x x x =++-+-=+ 所以22,03;()102,38.x x f x x x -≤≤?=?+≤≤?这是⼀个分段函数，如图1-11所⽰，在30,上，()f x 是单调减少，在38,上，()f x 是单调增加.从图像可知，在3x =处，函数值最⼩.这说明，打⼯者在酒店C 处找宿舍，每天⾛的路程最短.图1-11五、基本初等函数初等数学⾥已详细介绍了幂函数、指数函数、对数函数、三⾓函数、反三⾓函数，以上我们统称为基本初等函数.它们是研究各种函数的基础.为了读者学习的⽅便，下⾯我们再对这⼏类函数作⼀简单介绍.1. 幂函数函数µy x = (µ是常数)称为幂函数.幂函数µy x =的定义域随µ的不同⽽异，但⽆论µ为何值，函数在()0+∞，内总是有定义的. 当0µ>时，µy x =在)0+∞??，上是单调增加的，其图像过点0,0（）及点()1,1，图1-12列出了12µ=，1µ=，2µ=时幂函数在第⼀象限的图像. 当0µ<时，µy x =在()0+∞，上是单调减少的，其图像通过点()1,1，图1-13列出了12µ=-，1µ=-，2µ=-时幂函数在第⼀象限的图像.图1-12 图1-132. 指数函数函数x y a =(a 是常数且10a a >≠，)称为指数函数.指数函数x y a =的定义域是()-∞+∞，，图像通过点()10,，且总在x 轴上⽅. 当时1a >，x y a =是单调增加的；当10a <<时，x y a =是单调减少的，如图1-14所⽰.以常数e 271828182.=L 为底的指数函数e x y =是科技中常⽤的指数函数.图1-143. 对数函数指数函数x y a =的反函数，记作log a y x =（a 是常数且10,a a >≠)，称为对数函数.对数函数log a y x =的定义域为()0+∞，，图像过点()1,0.当1a >时，log a y x =单调增加；当10a <<时，log a y x =单调减少，如图1-15所⽰.科学技术中常⽤以e 为底的对数函数e log y x =，图1-15它被称为⾃然对数函数，简记作ln y x =.另外以10为底的对数函数1log 0y x =，也是常⽤的对数函数，简记作g l y x =.4. 三⾓函数常⽤的三⾓函数有正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =，正切函数tan y x =，余切函数 cot y x =，其中⾃变量x 以弧度作单位来表⽰.它们的图形如图1-16，图1-17，图1-18和图1-19所⽰，分别称为正弦曲线，余弦曲线，正切曲线和余切曲线.图1-16图1-17正弦函数和余弦函数都是以π2为周期的周期函数，它们的定义域都为(),-∞+∞，值域都为1,1-.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.图1-18 图1-19由于πcos sin 2x x ??=+ ??，所以，把正弦曲线sin y x =沿x 轴向左移动π2个单位，就获得余弦曲线cos y x =.正切函数sin tan cos xy x x==的定义域为()21{|(),}D f x x x n n =∈≠+R ，整为数. 余切函数cos cot sin xy x x==的定义域为 ()π{,}D f x x x n n =∈≠R ｜，整为数.正切函数和余切函数的值域都是()-∞+∞，，且它们都是以π为周期的函数，且都是奇函数.另外，常⽤的三⾓函数还有正割函数sec y x =；余割函数cscy x =.它们都是以π2为周期的周期函数，且1sec cos x x=； 1csc sin x x =.5. 反三⾓函数常⽤的反三⾓函数有反正弦函数 arcsin y x = (如图1-20)；反余弦函数 arccos y x = (如图1-21)；反正切函数 arctan y x = (如图1-22)；反余切函数arccot y x = (如图1-23).它们分别称为三⾓函数sin y x =，cos y x =，tan y x =和cot y x =的反函数.这四个函数都是多值函数.严格来说，根据反函数的概念，三⾓函数sin y x =，cos y x =，tan y x =和cot y x =在其定义域内不存在反函数，因为对每⼀个值域中的数y ，有多个x 与之对应.但这些函数在其定义域的每⼀个单调增加（或减少）的⼦区间上存在反函数.例如，sin y x=在闭区间,22ππ??-上单调增加，从⽽存在反函数，称此反函数为反正弦函数arcsin x 的主值，记作y =arcsin x .通常我们称arcsin y x =为反正弦函数.其定义域为11,-，值域为,22ππ??-.反正弦函数arcsin y x =在11,-上是单调增加的，它的图像如图1-20中实线部分所⽰. 类似地，可以定义其他三个反三⾓函数的主值arccos arctan ,y x y x ==和arccot y x =，它们分别简称为反余弦函数，反正切函数和反余切函数.反余弦函数arccos y x =的定义域为1,1-，值域为π0,，在1,1-上是单调减少的，其图像如图1-21中实线部分所⽰.反正切函数arctan y x =的定义域为(),-∞+∞，值域为ππ22??-，，在()-∞+∞，上是单调增加的，其图像如图1-22中实线部分所⽰.反余切函数arccot y x =的定义域为()-∞+∞，，值域为π0,（），在()-∞+∞，上是单调减少的，其图像如图1-23中实线部分所⽰.图1-20 图1-21图1-22 图1-23六、初等函数由常数和基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到并且能⽤⼀个式⼦表⽰的函数，称为初等函数.例如，23sin4y x x =+，(ln y x =+，3arctan22sin 1xy x x =+等等都是初等函数.分段函数是按照定义域的不同⼦集⽤不同表达式来表⽰对应关系的，有些分段函数也可以不分段⽽表⽰出来，分段只是为了更加明确函数关系⽽已.例如，绝对值函数也可以表⽰成y x =1,,()0,x a f x x a ? 也可表⽰成1()12f x ? = ??.这两个函数也是初等函数.七、双曲函数与反双曲函数1. 双曲函数双曲函数是⼯程和物理问题中很有⽤的⼀类初等函数.定义如下：双曲正弦 sh e e 2x xx --= ()x -∞<<+∞，双曲余弦 ch e e 2x xx -+= ()x -∞<<+∞，双曲正切 th e e e e sh ch x xx x+ ()x -∞<<+∞，其图像如图1-24和图1-25所⽰图1-24 图1-25.双曲正弦函数的定义域为()x -∞<<+∞，它是奇函数，其图像通过原点()0,0且关于原点对称.在()x -∞<<+∞内单调增加.双曲余弦函数的定义域为()x -∞<<+∞，它是偶函数，其图像通过点()10,且关于y 轴对称，在(),0-∞内单调减少；在()0+∞，内单调增加. 双曲正切函数的定义域为()x -∞<<+∞，它是奇函数，其图像通过原点()0,0且关于原点对称.在()x -∞<<+∞内是单调增加的.由双曲函数的定义，容易验证下列基本公式成⽴.()sh sh ch ch sh x y x y x y ±=±，()ch ch ch sh sh x y x y x y ±=±，sh22sh ch x x x =，2222ch2ch sh 12sh 2ch 1x x x x x =+=+=-，22ch sh 1x x -=.2. 反双曲函数双曲函数的反函数称为反双曲函数，sh y x =，ch y x =和th y x =的反函数，依次记为反双曲正弦函数 a rsh y x =，反双曲余弦函数 arch y x =，反双曲正切函数 a rth y x =.反双曲正弦函数a rsh y x =的定义域为()-∞+∞，，它是奇函数，在()-∞+∞，内单调增加，由sh y x =的图像，根据反函数作图法，可得a rsh y x =的图像，如图1-26所⽰.利⽤求反函数的⽅法，不难得到(a rsh ln y x x ==+.反双曲余弦函数arch y x =的定义域为)1+∞??，，在)1+∞??，上单调增加，如图1-27所⽰，利⽤求反函数的⽅法，不难得到(arch ln y x x ==.图1-26 图1-27反双曲正切函数a rtanh y x =的定义域为11()-，，它在11()-，内是单调增加的.它是奇函数，其图像关于原点(00)，对称，如图1-28所⽰.容易求得a rth 1ln 1xy x x+==-.第⼆节数列的极限⼀、数列极限的定义定义1 如果函数f 的定义域()*{}D f N ==L ，，，123，则函数f 的值域()(){}**|f N f n n N =∈中的元素按⾃变量增⼤的次序依次排列出来，就称之为⼀个⽆穷数列，简称数列，即()()()12,,f f f n L L ，，.通常数列也写成12,n x x x L L ，，，，并简记为{}n x ，其中数列中的每个数称为⼀项，⽽()n x f n =称为⼀般项.对于⼀个数列，我们感兴趣的是当n ⽆限增⼤时，n x 的变化趋势.我们看下列例⼦：数列 12,,,,231nn +L L (1－2－1) 的项随n 增⼤时，其值越来越接近1；数列 2462 n L L ，，，，， (1－2－2)的项随n 增⼤时，其值越来越⼤，且⽆限增⼤；数列 1111(1)0,n n-+-L L ，，，， (1－2－3)的各项值交替地取1与0；数列 ()11111,,,,,23n n---LL (1－2－4) 的各项值在数0的两边跳动，且越来越接近0；数列 2222L L ，，，，， (1－2－5)各项的值均相同.在中学教材中，我们已知道极限的描述性定义，即“如果当项数n ⽆限增⼤时，⽆穷数列{}n x 的⼀般项n x ⽆限地趋近于某⼀个常数a （即n x a -⽆限地接近于0），那么就说a 是数列{}n x 的极限”.于是我们⽤观察法可以判断数列{}1n n -，1(1)n n -??-，{}2都有极限，其极限分别为1,20，.但什么叫做“n x ⽆限地接近a ”呢？在中学教材中没有进⾏理论上的说明.我们知道，两个数a 与b 之间的接近程度可以⽤这两个数之差的绝对值b a -来度量.在数轴上b a -表⽰点a 与点b 之间的距离，b a -越⼩，则a 与b 就越接近，就数列(1-2-1)来说，因为111n x n n-=-=，我们知道，当n 越来越⼤时，1n 越来越⼩，从⽽n x 越来越接近1.因为只要n ⾜够⼤， 11n x n-=就可以⼩于任意给定的正数，如现在给出⼀个很⼩的正数1100，只要n 100>即可得11100n x -<，11120,0,n =L如果给定110000，则从10001项起，都有下⾯不等式1110000n x -<成⽴.这就是数列1n n x n-=12 (,,)n =L ，当n →∞时⽆限接近于1的实质.⼀般地，对数列{}n x 有以下定义.定义2 设{}n x 为⼀数列，若存在常数a 对任意给定的正数ε(⽆论多么⼩)，总存在正整数N ，当n N >时，有不等式n x a ε-<即(,)n x U a ε∈，则称数列{}n x 收敛，a 称为数列{}n x 当n →∞时的极限，记为lim n n x a →∞=或n x a →()n →+∞.若数列{}n x 不收敛，则称该数列发散.定义中的正整数N 与ε有关，⼀般说来，N 将随ε减⼩⽽增⼤，这样的N 也不是唯⼀的.显然，如果已经证明了符合要求的N 存在，则⽐这个N ⼤的任何正整数均符合要求，在以后有关数列极限的叙述中，如⽆特殊声明，N 均表⽰正整数.此外，由邻域的定义可知，()n x U a ε∈，等价于n x a ε-<.我们给“数列{}n x 的极限为a ”⼀个⼏何解释：将常数a 及数列123,,,,,n x x x x L L 在数轴上⽤它们的对应点表⽰出来，再在数轴上作点a 的ε邻域，即开区间(,)a εa ε-+，如图1-29所⽰图1-29因两个不等式 ||n x a ε-<， n a εx a ε-<<+等价，所以当n N >时，所有的点n x 都落在开区间(,)a εa ε-+内，⽽只有有限个点（⾄多只有N 个点）在这区间以外.为了以后叙述的⽅便，我们这⾥介绍⼏个符号，符号“?”表⽰“对于任意的”、“对于所有的”或“对于每⼀个”；符号“?”表⽰“存在”；符号“{}ax m X ”表⽰数集X 中的最⼤数；符号“{}min X ”表⽰数集X 中的最⼩数.数列极限lim n n x a →∞=的定义可表达为：lim n n x a →∞=0ε??>，?正整数N ，当n N >时，有n x a ε-<.例1 证明 1lim 02n n →∞=.证 0ε?>(不防设1ε<)，要使11022nn ε-=<，只要21nε>，即ln ln21/n ε>（）. 因此，0ε?>，取ln /ln21N ε= ???，则当n N >时，有102n ε-<.由极限定义可知1lim 02n n →∞=. 例2 证明π1lim cos04n n n →∞=. 证由于ππ111cos 0cos 44n n n n n -=≤，故0ε?>，要使π1cos 04n εn -<，只要1εn <，即1n ε>.因此，0ε?>，取1N ε??=，则当n N >时，有π1cos 04n εn -<.由极限定义可知π1lim cos 04n n n →∞=. ⽤极限的定义来求极限是不太⽅便的，在本章的以后篇幅中，将逐步介绍其他求极限的⽅法.⼆、数列极限的性质定理1（惟⼀性）若数列收敛，则其极限惟⼀. 证设数列{}n x 收敛，反设极限不惟⼀：即lim n n x a →∞=，lim n n x b →∞=，且a b ≠，不妨设a b <，由极限定义，取2b a ε-=，则10N ?＞，当1n N >时，2n b ax a --<，即 322n a b a bx -+＜＜，（1-2-6） 20N ?>，当2n N >时，2n b ax b --<，即322n a b b ax +-＜＜， (1-2-7) 取{}12m ,N ax N N =，则当n N >时，(1-3-6)，(1-3-7)两式应同时成⽴，显然⽭盾.该⽭盾证明了收敛数列{}n x 的极限必惟⼀.定义3 设有数列{}n x ，若存在正数M ，使对⼀切12,,n =L ，有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的，否则称它是⽆界的.对于数列{}n x ，若存在常数M ，使对12n =L ，，，有n x M ≤，则称数列{}n x 有上界；若存在常数M ，使对12,,n =L ，有n x M ≥，则称数列{}n x 有下界.显然，数列{}n x 有界的充要条件是{}n x 既有上界⼜有下界. 例3 数列{}211n +有界；数列{}2n 有下界⽽⽆上界；数列{}2n -有上界⽽⽆下界；数列{}11nn --（）既⽆上界⼜⽆下界.定理2（有界性）若数列{}n x 收敛，则数列{}n x 有界.证设lim n n x a →∞=，由极限定义，0ε?>，且1ε<，0N ?>，当n N >时，1||n x a ε-<<，从⽽<1n x a +.取{}12m 1,,,,N M ax a x x x =+?，则有n x M ≤，对⼀切123,,,n =L ，成⽴，即{}n x 有界.定理2 的逆命题不成⽴，例如数列{}1()n -有界，但它不收敛.定理3（保号性）若lim n n x a →∞=，0a >（或0a <），则0N ?>，当n N >时，0n x >（或0n x <）.证由极限定义，对02aε=>，0N ?>，当n N >时，2n a x a -<，即322n a x a <<，故当n N >时，02n ax >>.类似可证0a <的情形.推论设有数列{}n x ，0N ?> ，当n N >时，0n x > (或0n x <)，若lim n n x a →∞=，则必有0a ≥ (或0a ≤).在推论中，我们只能推出0a ≥ (或0a ≤)，⽽不能由0n x > (或0n x <)推出其极限(若存在)也⼤于0(或⼩于0).例如10n x n=>，但1lim lim 0n n n x n →∞→∞==.下⾯我们给出数列的⼦列的概念.定义4 在数列{}n x 中保持原有的次序⾃左向右任意选取⽆穷多个项构成⼀个新的数列，称它为{}n x 的⼀个⼦列.在选出的⼦列中，记第1项为1n x ，第2项为2n x ，…，第k 项为k n x ，…，则数列{}n x 的⼦列可记为{}k n x .k 表⽰k n x 在⼦列{}k n x 中是第k 项，k n 表⽰k n x 在原数列{}n x 中是第k n 项.显然，对每⼀个k ，有k n k ≥；对任意正整数h ，k ，如果h k ≥，则h k n n ≥；若h k n n ≥，则h k≥由于在⼦列{}k n x 中的下标是k ⽽不是k n ，因此{}k n x 收敛于a 的定义是：0ε?>，0K ?>，当k K >时，有k n x a ε-<.这时，记为lim k n k x a →+∞= .定理4 lim n k x a →∞=的充要条件是：{}n x 的任何⼦列{k n x }都收敛，且都以a 为极限. 证先证充分性.由于{}n x 本⾝也可看成是它的⼀个⼦列，故由条件得证. 下⾯证明必要性.由lim n k x a →∞=，0ε?>，0N ?>，当n N >时，有n x a ε-<.今取K N =，则当k K >时，有k K N n n n N >=≥，于是k n x a ε-<.故有lim k n k x a →∞=.定理4⽤来判别数列{}n x 发散有时是很⽅便的.如果在数列{}n x 中有⼀个⼦列发散，或者有两个⼦列不收敛于同⼀极限值，则可断⾔{}n x 是发散的.例4 判别数列{}*πsin ,8n n x n N =∈的收敛性.解在{}n x 中选取两个⼦列：{}*8πsin ,8k k N ∈，即{}πππ8168sin ,sin ,sin ,888k ； ()*164πsin ,8k k N +??∈，即()ππ16420sin ,sin ,88k ??+??. 显然，第⼀个⼦列收敛于0，⽽第⼆个⼦列收敛于1，因此原数列{}πsin 8n 发散.三、收敛准则定义5 数列{}n x 的项若满⾜121n n x x x x +≤≤≤≤≤L L ，则称数列{}n x 为单调增加数列；若满⾜121n n x x x x +≥≥≥≥≥L L ，则称数列{}n x 为单调减少数列.当上述不等式中等号都不成⽴时，则分别称{}n x 是严格单调增加和严格单调减少数列.收敛准则单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限. 该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去证明.例5 证明数列11nn ??+?? ??收敛.证根据收敛准则，只需证明11nn ??+?? ??单调增加且有上界（或单调减少且有下界）.由⼆项式定理，我们知道1221111(1)1n n n n n n nx C C C n n n n =+=++++L 11112112111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!!n n n n n n n n -=++-+--++---L L ，11211111211111(1)111(1)(1)n n n n n n n x C C C n n n n +++++++=+=++++++++L 1111211(1)(1)(1)2!13!11n n n =++-+--++++L1121(1)(1)(1)!111n n n n n -+--++-+++L 112(1)(1)(1)(1)!111n n n n n +--++-++++L ，逐项⽐较n x 与1n x +的每⼀项，有1n n x x +<，1,2,.n =L这说明数列{}n x 单调增加，⼜111112!3!!n x n <+++++L 211111222n <+++++L。

吴新民
-9-
第一节 映射与函数
4 映射
定义3 设 A, B 是两个非空集合, 若对每个 x A,
第 一
按照某个确定的法则 f , 有唯一确定的 y B 与它对应,
章
则称 f 是 A 到 B 的一个映射,记作
函 数
f : A B, 或 f : x y f ( x), x A.
值域
y
C {( x, y) y f ( x), x D}
(x, y)
称为函数 y f ( x) 的图形. o
x
x
定义域
吴新民
- 18 -
第一节 映射与函数
3 函数的表示法
函数常用的表示法有公式法,图示法,表格法.
第
一 章
几种常用的函数
函
数
(1) 符号函数
极
限 连 续
1 当x 0
第 一 章
解 当 t [0, ] 时,
2
U

E t
2

2E t;
函 数
当t ( , ]时,
2
极
U

E 0 (t )
2

2E (t )
限 当 t ( ,) 时, U 0. 由于U U (t) 是分段函数，所
连 续
以 U(t)
函 则称函数f ( x)为偶函数.
数
极
y
限
y f (x)
连 续
f (x)
吴新民
-x o x
x
偶函数
- 25 -
第一节 映射与函数
设D关于原点对称 , 对于x D, 有
f (x) f (x)

第一章 函数 极限 连续一．函数1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域） 2． 函数的性态 1）单调性定义：单调增： ).()(2121x f x f x x <⇒< 单调不减： ).()(2121x f x f x x ≤⇒< 判定：（1）定义：(2）导数：设)(x f 在区间I 上可导，则 a) )(0)(x f x f ⇔≥'单调不减； b) )(0)(x f x f ⇒>'单调增； 2)奇偶性定义：偶函数 );()(x f x f =- 奇函数 ).()(x f x f -=- 判定：(1）定义：(2）设)(x f 可导，则：a))(x f 是奇函数⇒ )(x f '是偶函数；b))(x f 是偶函数⇒ )(x f '是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；连续的偶函数其原函数之一是奇函数。

3)周期性定义：)()(x f T x f =+ 判定：(1)定义；(2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数； 4)有界性定义：若;)(,,0M x f I x M ≤∈∀>∃则称)(x f 在I 上有界。

判定：（1）定义：（2）)(x f 在],[b a 上连续)(x f ⇒在],[b a 上有界；（3）)(x f 在),(b a 上连续，且)0()0(-+b f a f 和存在)(x f ⇒在）（b a ,上有界； （4）)(x f '在区间I （有限）上有界)(x f ⇒在I 上有界； 3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合) 4．基本的初等函数与初等函数 基本初等函数:常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。

了解它们定义域,性质,图形. 初等函数:由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个 解析式表示的函数.题型一 复合函数例1设)1(-x f 的定义域为),0(],,0[>a a ，则)(x f 的定义域为 (A) ]1,1[+a (B) ]1,1[--a(C) ],1[a a - (D) ]1,[+a a例2已知,1)]([,)(2x x f e x f x -==ϕ且,0)(≥x ϕ求)(x ϕ及其定义域。