高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本不等式及不等式的应用课件

(1)将 y 表示为 x 的函数； (2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少 总费用．
(1)首先明确总费用 y＝旧墙维修费＋建新墙费，其次，列出 y 与
(2)∵a>0，b>0，c>0，∴ab2＋b≥2a，
①
同理bc2＋c≥2b，
②
ca2＋a≥2c，
③
①＋②＋③得ab2＋bc2＋ca2＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，
即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
利用基本不等式求最值
例 2 (1)已知 x<0，求 f(x)＝2＋4x＋x 的最大值； (2)已知 x>1，求 f(x)＝x＋x－1 1的最小值； (3)已知 0<x<25，求 y＝2x－5x2 的最大值．
要点梳理
忆一忆知识要点
3．算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋2 b，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数 ．
4．利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最
变式训练 1
若 a>0，b>0，c>0，试证： (1)bac＋abc＋acb≥a＋b＋c； (2)ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
证明 (1)∵a，b，c∈(0，＋∞)， ∴bac＋abc≥2 bac·abc＝2c，
同理abc＋acb≥2a，acb＋bac≥2b， ∴2bac＋abc＋acb≥2(a＋b＋c)， 即bac＋abc＋acb≥a＋b＋c.
当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2 时，等号成立．

2.若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面
积的最大值为
A.4π
√B.8π
C.12π
D.16π
设底面圆半径为 r，则圆柱的高为 2 4－r2， 圆柱侧面积为 S＝2πr·2 4－r2＝4πr 4－r2≤4π·r2＋24－r2＝8π， 当且仅当 r＝ 4－r2，即 r＝ 2时等号成立.
并求出此时商品的每件定价.
依题意知，当x>25时， 不等式 ax≥25×8＋50＋16(x2－600)＋5x有解， 等价于当 x>25 时，a≥15x0＋6x＋15有解， ∵15x0＋6x≥2 15x0·6x＝10(当且仅当 x＝30 时，等号成立)， ∴a≥10.2.
∴当该商品改革后的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使改革后的
所以a2＋b e＝a2＋3aac＝
a＋ 3
23a≥2
a3·
2 ＝2 3a
3 6，当且仅当
a＝ 3
2， 3a
即 a＝ 2时等号成立.
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课时精练
知识过关
一、单项选择题 1.已知F1，F2是椭圆C：x92＋y42 ＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|
的最大值为
A.13
B.12
√C.9
√A.(－∞，－1)∪(9，＋∞)
B.(－∞，－1]∪[9，＋∞) C.(－9，－1) D.[－9,1]
因为 x>0，y>0，且2x＋1y＝1， 所以 2x＋y＝(2x＋y)2x＋1y＝5＋2yx＋2xy≥5＋2 2yx·2xy＝9， 当且仅当2yx＝2xy，且2x＋1y＝1，即 x＝y＝3 时取等号，此时 2x＋y 取得 最小值 9， 若2x＋y<m2－8m有解，则9<m2－8m，解得m>9或m<－1， 即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).

2．把一段长 16 米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的
A．4
B．8
C．16
D．32
解析 设截成的两段铁丝的长分别为 x，16－x，16>x>0，则围成的两个正方形
164－x2≥4x＋1264－x2＝8，当且仅当4x＝164－x，即 x＝8 时，等号成立．故两个正方形 8，故选 B.
[正解] 由 x＋3y＝5xy 可得51y＋53x＝1， 所以 3x＋4y＝(3x＋4y)51y＋53x ＝95＋45＋35xy＋152xy≥153＋2 53yx·152xy＝153＋152＝5，当且仅当 x＝1，y＝12时取等号 是 5.
[心得体会]
命题法 基本不等式在实际问题中的应用 典例 某单位决定投资 3200 元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利 铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米造价 45 元，屋顶每平方米造价 20 元， (1)仓库面积 S 的最大允许值是多少； (2)为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长． [解] (1)设正面的长度为 x 米，侧面长为 y 米． 由题意，知 40x＋2y×45＋20xy＝3200. 因为 40x＋90y≥2 40x·90y＝120 xy(当且仅当 40x＝90y 时，取等号成立)， 所以 3200≥120 xy＋20xy，即( xy－10)( xy＋16)≤0.所以 0< xy≤10. 所以 S＝xy≤100，即仓库面积 S 的最大允许值是 100 平方米． (2)由(1)知，当 40x＝90y 时，S 取最大值， 又 xy＝100，所以 x＝15，y＝230， 所以此时正面铁栅应设计为 15 米．
C．5
D．6
[错解]

3
2
4
3
(2)已知a>0,b>0,a+b=1,则 1 + 1 的最小值为
.
ab
(3)(2017北京通州期末)已知y=x+ 1 (x>1),那么y的最小值是
.
x 1
答案 (1)B (2)4 (3)3
解析 (1)∵0<x<1,
∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3
x
(1 2
x)
2
=
3 4
.
当且仅当x=1-x,
(4)
b a
+
a b
≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当⑤ x=y 时,x+y有最⑥ 小 值,是
⑦ 2 p .(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当⑧ x=y 时,xy有最⑨ 大 值,是
x
x
x
即x= 1 时,“=”成立.
2
(2)∵a>b,b>0,a+b=1,
∴ 1 + 1 = a b + a b =2+ b + a ≥2+2 b a =4,
ab a b
ab
ab
即 1 + 1 的最小值为4,
ab
当且仅当a=b= 1 时等号成立.
2
(3)∵x>1,∴y=x-1+ 1 +1≥2 (x 1) 1 +1=3,当且仅当x=2时取等号,
30
元(试剂的总产量为x单位,50≤x≤200).设P(x)(元)是生产每单位试剂的