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分式化简的技巧演示教学

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比例的性质：⑴ 比例的基本性质：a cad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kdb d b d±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m ab d n b+++=+++（...0b d n +++≠）基本运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn n n a a a a a a a a b b b b b b b b ⋅=⋅=⋅64748L L L 1424314243个个n 个＝(n 为正整数)整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n na a -=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是na 的倒数知识点睛分式化简的技巧分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.一、基本运算【例1】 计算：⑴22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- ⑵2342()()()b a b a b a-⋅-÷-⑶32231(4)()2mn m n ---÷- ⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++【巩固】 化简22x y y x y x---的结果是（ ） A ．x y -- B ．y x - C ．x y - D ．x y +【巩固】 计算a b a bb a a +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的结果为（ ）A ．a b b -B ．a b b +C ．a ba-D ．a ba+【例2】 计算：⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++ ⑵22222621616x x x x x +-++--【巩固】 化简：422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+例题精讲【巩固】 化简：22222222112()22a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-+÷+⋅⎢⎥++-+⎣⎦【例3】 化简：222222222222()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+++-+-+-【例4】 已知：2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =【巩固】 当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值【巩固】 求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，23c =-【例5】 计算：2482112482111111nnx x x x x x++++++-+++++L (n 为自然数)【巩固】 已知24816124816()11111f x x x x x x =+++++++++，求(2)f .二、整体代入运算【例6】 已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示m n．【巩固】 已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值【巩固】 已知221547280x xy y -+=，求xy的值.【例7】 已知分式1x yxy+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？【巩固】 (第11届“希望杯”邀请赛试题)已知代数式25342()x ax bx cx x dx +++，当1=x 时，值为 1，求该代数式当1-=x 时的值．【例8】 已知210x y xy +=，求代数式4224x xy yx xy y++-+的值.【巩固】 已知：12xy =-，4x y +=-，求1111x y y x +++++的值.【巩固】 已知3a ba b-=+，求代数式2()4()3()a b a b a b a b +---+的值.【例9】 已知111m n -=，求575232m mn nn mn m+---的值.【巩固】 已知：111x y x y+=+，求y xx y +的值.【巩固】 (新加坡中学生数学竞赛)设1114x y -=，求2322y xy x y x xy +---【巩固】 如果235x yy x+=-，求2222410623x xy y x y +++的值.三、消元计算【例10】 已知3a b =，23a c =，求代数式a b ca b c+++-的值.【巩固】 (第9届华罗庚金杯总决赛1试)已知22(3)0x y a b -+-=，求32223322232332a x ab y b xy a x ab y b xy ++++的值．【巩固】 (清华附中暑假作业)已知：2232a b ab -=，求2a ba b+-的值.【例11】 已知：230a b c -+=，3260a b c --=，且0abc ≠，求3332223273a b c ab bc a c-++-的值.【巩固】 已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠)，求：::x y z四、设比例参数【例12】 已知232332234a b c b c a c a b+--+++==，则2332a b c a b c -++-=____________.【补充】设1x y z u +++=，()()()2:12:22:3(2):4x y y z z u u x +=+=+=+，则733x y z u +++=___________．【例13】 若x y z x y z x y z z y x +--+-++==，求()()()x y y z z x xyz+++的值.【巩固】 若a b c db c d a===，求a b c d a b c d -+-+-+的值.【巩固】 已知x y y z u z u x =++++z u u x y x y z ==++++．求x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++的值．【例14】 已知x y zb c a c a b a b c==+-+-+-，求()()()b c x c a y a b z -+-+-的值. 【巩固】 已知9p q r ++=，且222p q rx yz y zx z xy==---，则 px qy rzx y z++++的值等于（ ）A. 9B.10C. 8D. 7【巩固】 已知2220(0)x yz y zx z xyxyz a b c---==≠≠，求证：222a bc b ca c ab x y z ---==.五、分式与裂项【例15】 设n 为正整数，求证：1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+.【巩固】 化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++.【例16】 化简：22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++【巩固】 化简：[]1111()()(2)(2)(3)(1)()x x m x m x m x m x m x n m x nm ++++++++++-+L【例17】 已知：1xy x y =+，2yz y z =+，3zxz x=+，求x y z ++的值.【巩固】 解方程组：21232(1)(2)43xy xx y xz xx z y z y z +⎧=⎪++⎪+⎪=⎨++⎪⎪++=⎪++⎩【例18】 化简：()()()()()()a b b c c ac a c b b a a c b c b a ---++------【巩固】 化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a---++-----+--+--+---.【巩固】 化简：222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.六、倒数法【例19】 已知：1x x -=，求221x x+的值.【巩固】设1x x-1x x +的值.【巩固】 若11a a -=，求1a a+的值.【例20】 若12x x +=，求2421x x x ++的值.【巩固】 本类题有一种典型错题，如：已知11x x +=，求1242++x x x的值.【巩固】(湖北黄冈市初级数学竞赛)设21xa x x =++，其中0a ≠，则2421x x x =++【补充】设211xx mx =-+，求36331x x m x -+的值.【例21】 已知：2710x x -+=，求⑴1x x +；⑵221x x +；⑶441x x+的值.【巩固】 已知：2510a a -+=，求4221a a a ++的值.【巩固】 已知：2310x x -+=，求221x x+的值.【例22】 (上海市高中理科实验班招生试题)已知：210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值.【巩固】 (第17届江苏省竞赛题)已知2410a a ++=，且42321533a ma a ma a ++=++，求m .【巩固】已知a 是2310x x -+=的根，求5432225281a a a a a -+-+的值.【巩固】 (广西竞赛题)已知：210x x --=，求4521x x x ++【习题1】 计算：⑴232435126111a a a a a a a -+--+-++- ⑵222434332a a a a a a --⋅-+++ ⑶22233(3)(4)m n mn ---⋅-【习题2】 先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a+++÷--÷-+，其中4a =课后作业【习题3】 已知2232a b ab -=，0a >，0b >，求证：252a b a b +=-【习题4】 设113x y -=，求3237y xy x x xy y +-+-的值.【习题5】 （“希望杯”试题）已知234x y z ==，则222x y z xy yz zx ++=++___________．【习题6】 (第11届希望杯试题)已知a ，b ，c 为实数，且13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+，求abc ab bc ca ++.【习题7】 已知：2213a a +=，求1a a -的值.。

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分式化简技巧及分式应用题解法

分式化简技巧及分式应用题解法

分式运算的若干技巧进行分式运算应以分式的性质为基础，根据已知的条件特征和结构特征，克服思维定势，通过适当的变形、转化、沟通等解题手段，找到解题的捷径。

本文介绍几种常见的方法与技巧，供同学们参考。

练练并总结出化简分式的一般步骤 计算：一. 通分 例1. 化简：a a a a 3211---- 二. 约分 例2. 化简：a a a a a a a a 4323432311-++-++- 三. 运用分配律 例3. 化简：()()1111112a a a -++-- 四. 倒数法 例4. 已知a a +=13，求a a a 2421++的 3. 若ab b a 322=+,求分式)21)(21(222b a bba b -+-+的值 值。

五. 降次法 例5. 已知a a 2310-+=，求a a 361+的值。

解：由已知，得a a 213+=∴原式=+-+=+-a a a a a a a a 3242322211313()()[()]==a a3318118 六. 裂项法 例6. 计算：113215617122222a a a a a a a a ++++++++++ 七. 递进通分法 例7. 计算：1124822344788a x a x x a x x a x x x a--+-+-++-八. 换元法 例8. 化简：b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b222233332222232++---÷++-() 九. 消元法 例9. 若4360270a b c a b c --=+-=，，求23657222222a b c a b c++++的值。

十. 参数法 例10. 已知abc ≠0，且满足a b c c a b c b a b ca+-=-+=-++，求()()()a b b c c a abc+++的值。

解：设a b c c a b c b a b cak +-=-+=-++=。

分式-第03讲分式的化简及其应用

分式-第03讲分式的化简及其应用

第三讲分式化简的应用分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是寒，即分式只有在分母不等于 零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变, 这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据.在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而 对分式进行求值.除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答.本讲主 要介绍分式的化简与求值.一.分式的化简与求值例1化简分式：2a 2 + 3a + 2 a 2 - a - 5 3a 2 -4a ~ 5 2a 2 - 8a + 5a +1 a + 2 a - 2 a ■-3分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多.2a 2 -b2a4-a + l + l a?十 2a - 3a - 6 + 1(2a +1) + - (a-3) + —J —a + 1 a + 2■J ■■1 1 1 ——-+ (2a-2) 一一- a-2 a - 3■I !■=[(2a+D- (a-3)・(3a+2) + (2a-2)] 1 1 1 1 1+ -------------- + --------------a + 1 a + 2 a- 2 a-3■1111= --- — --- 十 ----—---a + 1 a + 2 a -2 a-31 -1= -------------- b -------------(a + l)(a 4-2) (a-2)(a-3)_ (a-2Xa-3) -(a + l)(a + 2) (a-M)(a + 2)(a-2)(a-3)_ - 8a 十 4"(a+ l)(a + 2)(a-2)(a-3)'说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式. 例2求分式1 12 4 8 16-- 十 -- + --- 7" + ----- 7- + ---- O- + -----a 1 + a 1 + a 1 + a 1 + a 1 + a '解原式= 3a2 - 6a + 2a -4 - 1 a 一 2 2a 2- 6a - 2a + 6 -1+ --------------------a 一 3当a=2时的值.分析与解先化简再求值.直接通分较复杂，注意到平方差公式:a 2-b 3= (a+b) (a-b),可将分式分步通分，每一步只通分左边两项.百于 + 2 4 8 16 斥巩_ (1-勾(1斗勾TT? 乔孑 TTZ TT 評 2 2 4 816 1 - a 2 1 + a 2 1 + a 4 1 + a 8 1 + a 16 2(1 +a 2)+ 2(1-a 2)4 8 16 (l-a 2)(l + a 2) 1 + a 4 1 + a 8 1亠尹4 4 8 16l-a 4 + l + a 4 + l + a 8 + 1+ a 168 8 16 _ 16 1632 32a b----------- + ----------- 求 ab + a + 1 be + b + 1分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂.下面介绍几种简单的解法.解法1因为abc=l,所以街b, c 都不为零.c ca + c + 1 a ab abc = ------------- + ------------- 4 -- -----------------ab + a + 1 abc + ab + a abca + abc + aba ab 1=十十 「 ab + a + 1 1 + ab + a a + 1 + aba + ab + 1= ----------- =1.ab + a + 1 解法2因为abc=l,所以a^O, bHO, cH0・障式 = _______ ______ 十 _ _____ab + a + abc bc+b + 1betea +bc +b— 的值.[ b + 1 + be aab + a +1+b ab + — ■ be + b + 1 ab1b 十 1 +bbe十b十bc =1.1 + be + b解法3由遜=1,那詁，将之代入原式丄原式= ----- 虹~1— —• b + — + 1 be be 1 b be卜 -------- + ---------- =]. b + 1 + be be + b +1 1 + be + b例4化简分式:1 1+ 4- 1+ 3x + 2 玄? + 5辺十62+7N + 12分析与解三个分式一齐通分运算址大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简.百十 1 1 1(x + 2)(x+l) (X + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4)1 1.1 1 1 1 z +1 x 十 2， x +2 M 十 3， z +3 x 十4丿1 1 3E +1 z + 4 X 2 + 5z + 4'说明本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有:斗J 亠1下的一般形式,与分式运算的通分思想方法相反，我们 仗 + il)(N + 11+1) 将上式拆成丄与一1^两项，这样，前后两个分式中就有可以相x + n x + n. + 1互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧.例5化简计算(式中r b, c 两两不相等)：2a - b - c 2b - c - a 2c - a - ba 2 - ab - ac + be b 2 - ab - be ■+• ac c 2 - ac - be *+ ab分析本题关犍是搞清分式仝缶去的变形’其他两项是类似的，对于这个分式, 显然分母可以分解因式为(a-b) (a-c),而分子又恰好凑成(a-b) + (a-c),因此有下面的解法.b--------- 4 be + b +1 CiC • - + C +1呼弋=@ - b)十Q-c) + (b - c)十(b - Q * (c-a) + (c -b) 臥厂_ @_b)(ic) (b _ c)(b _ a) (c-a)(c-b)111111c= --- + --- + ---- + --- 十 -- + --- = 0.a - c a -b b - a b -c c - b c-a丄+丄的变形技巧.说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用 肚 A B 「例6已知：x+y+z=3a(a#0,且x, y, z 不全相等)'求a) + (y - a)(z ~ a) + (z - a)(x 一 a)的值O — a)(y - 分析本题字母多，分式复杂.若把条件写成(x-a) + (y-a) + (z-a)=0,那么题目只与xm 为简化计算，可用换元法求解.x-a=u y-a=v z-a=wz-a 有关,变为 UV + VW + wu~2 -----2 ---- r ，且由己知有U + V + w = 0.将u+u + w= 0两边平方得U + V + wu a +v a +w 2+2 (uv+vw+wu) =0.由于x, y, z 不全相等，所以u, V, w 不全为零’所以u a +v 3+wV0,从而有2?即所求分式的值为-说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化.y -|- 1 龙彳十［分析原式中只岀现了—和—的形式，而且X X X孑-2,因此可用换元法. (玄 a) 2 + (y 一 亦2 + (z 疔例7化简分式:=1,所以a+b-c=c, a-b+c=b> ・a+b+c=a, 于是有(a + b)(a + c)(b + c) 2c • 2b * 2a ? abc abc⑵若a+b+c=O,则a+b=-c, b+c=-a, c+a=-br于是有(a + b)(a + c)(b + c) (_c)(_Q 〔_b) .-------------------- = ---------- - - =—1abc abc说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解. 解法2设参数法.令a +b -c a-b + c -a +b + c “-------- =— --- --- = ----------- =k,c b a则a+b=(k+l)c> ①a+c= (k+l)b> ②b+c= (k+l)a.③①+(D+(§)有(a 乜)(a +c)@ +c) abc的值.解法1利用比例的性质解决分式问题.(1)若a+b+c^O,由等比定理有(a + b - c) + (a - b 十 c)十(一玄 +b + c)2 (a+b+c) = (k+1)(a+b+c),所以(&+b+c) (k-l)=O,故有 k=l 或 a+b+c=O.当k=l 时，(a + b)(b 十 c)〔c + a) 2c * 2a * 2b abc abc@ + b)(b + c)(c+G _ (_c)(—a)(—b)abc abc当 a+b+c=O 时 9说明引进一个参数k 表示以连比形式出现的己知条件，可使已知条件便于使用.二.分式方程组的解法。

分式的化简求值课件

分式的化简求值课件

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目录
• 分式化简概述 • 分式的约分 • 分式的通分 • 分式的化简求值
01
分式化简概述
分式化简的定义
总结词
分式化简是指将分式通过约分、通分、分子分母分解因式等方式，将其转化为 最简形式的过程。
详细描述
分式化简是数学中一个重要的概念，它涉及到分数的约分、通分、分子分母分 解因式等操作，目的是将分式简化到最简形式。最简形式是指分子和分母没有 公因式，且分子和分母互质的分式。
02
分式的约分
约分的定义和性质
约分的定义
约分是将一个分式化简为最简形 式的过程，通过约分可以简化分 式的计算和化简过程。
约分的性质
约分后分式的值不变，即约分前 后的分式相等；约分后的分式比 原分式更加简单明了，易于计算 和理解。
约分的步骤和方法
找出分子和分母的最大公约数
01
通过因式分解、质因数分解等方法找出分子和分母的最大公约
分式化简的意义和作用
总结词
分式化简在数学中具有重要的意义和作用，它可以帮助学生更好地理解分数和分式的概念，提高解题速度和准确 度。
详细描述
通过分式化简，学生可以更好地理解分数和分式的本质和特点，掌握其运算规则和技巧。同时，分式化简也可以 帮助学生提高解题速度和准确度，减少计算错误和混淆的可能性。此外，分式化简在数学研究和应用中也具有广 泛的应用价值，如在物理、化学、工程等领域中都有重要的应用。
02
分别对分子、分母进行 因式分解。
03
将每个分式化为最简比 的形式。
04
约分：如果分子、分母 有公因式，则约去公因 式。
通分的注意事项
注意最简公分母的选择
注意化简求值时的符号
分式的化简和分式方程

分式的化简和分式方程

分式的化简和分式方程①.教学内容知识点1. 分式1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.整式A 除以整式B,可以表示成B A 的形式.如果除式B 中含有字母,那么称B A 为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.2. 整式和分式统称为有理式,即有:⎩⎨⎧分式整式有理式3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变. )0(,≠÷÷=⨯⨯=M M B M A B A M B M A B A4. 一个分式的分子分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.知识点2.分式的乘除1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.即: BD AC D C B A =⋅, CB D ACD B A D C B A ⋅⋅=⋅=÷ 2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方. 即: )(为正整数n B A B A n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 逆向运用n n n B A B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=,当n 为整数时,仍然有n n n B A B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛成立. 3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.知识点3.分式的加减法1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.2. 分式的加减法: 分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则用式子表示是:C B A C B C A ±=± (2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:BDBC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 3. 概念内涵: 通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.知识点4.分式方程1. 解分式方程的一般步骤:①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;②解这个整式方程;③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.2. 列分式方程解应用题的一般步骤:①审清题意;②设未知数;③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;④解方程,并验根;⑤写出答案.②.教学辅助练习（或探究训练）知识点1.分式例1、练习1、1、下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .知识点2.分式的运算例2、例3、先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫1＋ 1 x －2÷ x 2－2x ＋1 x 2－4，其中x ＝－5． 【答案】解：412)211(22-+-÷-+x x x x ＝)2)(2()1(2122-+-÷-+-x x x x x ……………………2分＝2)1()2)(2(21--+⋅--x x x x x ＝12-+x x , ………………………………………………………………………5分 当5-=x 时，原式＝12-+x x ＝211525=--+-． ………………………………………8分 1、先化简再求值：)252(423--+÷--a a a a ， 其中1-=a2、先化简，再求值：)12(1aa a a a --÷-，并任选一个你喜欢的数a 代入求值.3、先化简22121111x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.4、知识点3.分式方程例4：解方程：（1）51144x x x --=--解： 51144x x x -+=-- 方程两边同乘以，得 ． ∴检验：把x =5代入 x -5，得x -5≠0所以，x =5是原方程的解.（2）22162242x x x x x -+-=+--解：方程两边同乘以，得， ∴ ． 检验：把x =2代入 x 2—4，得x 2—4=0。