分式化简的技巧

比例的性质：⑴ 比例的基本性质：a cad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kdb d b d±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m ab d n b+++=+++（...0b d n +++≠）基本运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn n n a a a a a a a a b b b b b b b b ⋅=⋅=⋅64748L L L 1424314243个个n 个＝(n 为正整数)整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数)⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.重难点：灵活对分式进行适当变形一、基本运算【例1】 计算：⑴22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- ⑵2342()()()b a b a b a-⋅-÷- ⑶32231(4)()2mn m n ---÷- ⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++【巩固】 （2008杭州）化简22x y y x y x---的结果是（ ） A ．x y -- B ．y x - C ．x y - D ．x y +【巩固】 （2008黄冈）计算a b a bb a a +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的结果为（ ）A ．a bb- B ．a bb+ C ．a ba- D ．a ba+【例2】 计算：⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++ ⑵22222621616x x x x x +-++--【巩固】 (第9届希望杯试题)化简：422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+【巩固】 化简：22222222112()22a b a ab bab a b a b ab ⎡⎤-+÷+⋅⎢⎥++-+⎣⎦【例3】 化简：222222222222()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+++-+-+-【例4】 已知：2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =【巩固】 当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值【巩固】 求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，23c =-【例5】 计算：2482112482111111nnx x x x x x++++++-+++++L (n 为自然数)【巩固】 已知24816124816()11111f x x x x x x =+++++++++，求(2)f .二、整体代入运算【例6】 已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示m n．【巩固】 已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值【巩固】 已知221547280x xy y -+=，求xy的值.【例7】 已知分式1x yxy+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？【巩固】 (第11届“希望杯”邀请赛试题)已知代数式25342()x ax bx cx x dx +++，当1=x 时，值为 1，求该代数式当1-=x 时的值．【例8】 已知210x y xy +=，求代数式4224x xy yx xy y++-+的值.【巩固】 已知：12xy =-，4x y +=-，求1111x y y x +++++的值.【巩固】 已知3a ba b-=+，求代数式2()4()3()a b a b a b a b +---+的值.【例9】 已知111m n -=，求575232m mn nn mn m+---的值.【巩固】 已知：111x y x y +=+，求y xx y +的值.【巩固】 (新加坡中学生数学竞赛)设1114x y -=，求2322y xy x y x xy +---【巩固】 如果235x y y x+=-，求2222410623x xy y x y +++的值.三、消元计算【例10】 已知3a b =，23a c =，求代数式a b ca b c+++-的值.【巩固】(第9届华罗庚金杯总决赛1试)已知22(3)0x y a b-+-=，求32223322232332a x ab y b xya x ab y b xy++++的值．【巩固】(清华附中暑假作业)已知：2232a b ab-=，求2a ba b+-的值.【例11】已知：230a b c-+=，3260a b c--=，且0abc≠，求3332223273a b cab bc a c-++-的值.【巩固】已知方程组:230230x y zx y z-+=⎧⎨-+=⎩(0xyz≠)，求：::x y z【巩固】(全国数学竞赛)若4360x y z--=，270x y z+-=(0xyz≠)，求222222522310x y zx y z+---的值.四、设比例参数【例12】(五羊杯试题)已知232332234a b c b c a c a b+--+++==，则2332a b ca b c-++-=____________.【巩固】 (重庆市数学竞赛试题)已知345x y y z z x==+++，则222x y z xy yz zx ++++=__________.【补充】（“五羊杯”试题）设1x y z u +++=，()()()2:12:22:3(2):4x y y z z u u x +=+=+=+，则733x y z u +++=___________．【例13】 (天津市竞赛题)若x y z x y z x y z z y x +--+-++==，求()()()x y y z z x xyz+++的值.【巩固】 若a b c d b c d a ===，求a b c da b c d-+-+-+的值.【巩固】 已知x y y z u z u x =++++z u u x y x y z ==++++．求x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++的值．【例14】 已知x y zb c a c a b a b c ==+-+-+-，求()()()b c x c a y a b z -+-+-的值.【巩固】 （第11届“希望杯”试题）已知9p q r ++=，且222p q rx yz y zx z xy==---，则px qy rzx y z++++的值等于（ ）A. 9B.10C. 8D. 7【巩固】 已知2220(0)x yz y zx z xy xyz a b c---==≠≠，求证：222a bc b ca c abx y z ---==.五、分式与裂项【例15】 设n 为正整数，求证：1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+.【巩固】 化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++.【例16】 化简：22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++【巩固】 化简：[]1111()()(2)(2)(3)(1)()x x m x m x m x m x m x n m x nm ++++++++++-+L【例17】 (河北省数学竞赛题)已知：1xy x y =+，2yz y z =+，3zxz x=+，求x y z ++的值.【巩固】 (华罗庚金杯培训试题)解方程组：21232(1)(2)43xy xx y xz xx z y z y z +⎧=⎪++⎪+⎪=⎨++⎪⎪++=⎪++⎩【例18】 化简：()()()()()()a b b c c ac a c b b a a c b c b a ---++------【巩固】 化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a---++-----+--+--+---.【巩固】 化简：222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.六、倒数法【例19】 已知：1x x -，求221x x+的值.【巩固】设1x x -1x x+的值.【巩固】 若11a a -=，求1a a+的值.【例20】 (05山东潍坊中考)若12x x+=，求2421x x x ++的值.【巩固】 本类题有一种典型错题，如：已知11x x +=，求1242++x x x的值.【巩固】(湖北黄冈市初级数学竞赛)设21xa x x =++，其中0a ≠，则2421x x x =++【补充】设211xx mx =-+，求36331x x m x -+的值.【例21】 已知：2710x x -+=，求⑴1x x +；⑵221x x +；⑶441x x+的值.【巩固】 已知：2510a a -+=，求4221a a a ++的值.【巩固】 已知：2310x x -+=，求221x x +的值.【例22】 (上海市高中理科实验班招生试题)已知：210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值.【巩固】 (第17届江苏省竞赛题)已知2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m .【巩固】已知a 是2310x x -+=的根，求5432225281a a a a a -+-+的值.【巩固】 (广西竞赛题)已知：210x x --=，求4521x x x ++【习题1】 计算： ⑴232435126111a a a a a a a-+--+-++- ⑵222434332a a a a a a --⋅-+++ ⑶22233(3)(4)m n mn ---⋅-【习题2】先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a +++÷--÷-+，其中4a =【习题3】已知2232a b ab -=，0a >，0b >，求证：252a b a b +=-【习题4】 设113x y -=，求3237y xy x x xy y +-+-的值.【习题5】（“希望杯”试题）已知234x y z ==，则222x y z xy yz zx ++=++___________．【习题6】(第11届希望杯试题)已知a ，b ，c 为实数，且13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+，求abc ab bc ca ++.【习题7】 已知：2213a a +=，求1a a -的值.【备选1】 计算：22b a a ab b ab +--．【备选2】 (第15届希望杯试题)化简：代数式32411241111x x x x x x +++-+++.【备选3】 已知1,12x y xy +==，求代数式222()3x y x y xy +++的值.【备选4】 (第8届华罗庚金杯复赛) 已知123a b c a c ==++，求c a b+的值．【备选5】 若21(2)a x b xy -=--，且0ab >，求111...(1)(1)(2007)(2007)xy x y x y +++++++的值．【备选6】 化简：222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+.【备选7】 已知x 为实数，且12x x +=，则441x x +=__________．。