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专题(十) 等腰三角形的分类讨论 公开课获奖课件

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《等腰三角形》教学PPT课件【初中数学】公开课

《等腰三角形》教学PPT课件【初中数学】公开课

B
C
D
B
A
E
D
F
C
“三线合一”的操作
1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（X）
（X） （X） （√） （X） （√）
角的度数．
A
A
A
BD
CB
F
CB
如图，作△ABC
如图， 作△ABC
的中线AD.
的高AF.
E
C
如图，作顶角
的平分线AE.
议一议：
说说为什么在添加辅助线时，作顶角平分线，底边中线， 底边上的高都能使分成的两个三角形全等？
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高相互重合。（等腰三角形“三线合一”）
13.3.1 等腰三角形（1）
B
A
AB=AC
等腰三角形
C
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴 是什么？
B
A
D
C
等腰三角形是轴对称图形. 折痕所在的直线是它的对称轴.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角
A
AB与AC
∠B 与∠C.
BD与CD
思考：有其他方法吗？
方法二： 作底边BC的高AD
A
方法三： 作顶角∠BAC的平分线AD
A
12
B
DC
B
`
C
D
归纳结论

等腰三角形专题知识公开课获奖课件省赛课一等奖课件

等腰三角形专题知识公开课获奖课件省赛课一等奖课件

A
∠1= ∠ 2 BD=CD
AD平分∠BAC
AD是BC旳中线
AD是顶角平分线、 12
AD是底边上旳中线、
∠ADB= ∠ ADC=900
AD垂直于BC AD是底边上旳高，
性质2:
C
等腰三角形旳顶角平分线、底边上 B
D
旳中线、底边上旳高相互重叠。
简称“等腰三角形三线合一”.
根据等腰三角形性质2，在△ABC中，AB=AC时
求∠D、∠E、∠DAE旳度数 .
A
解：
∵BD=CD
∴∠D=∠DAB
∵ ∠ABC=∠D+∠DAB ∴∠1D_ = ∠ABC=250
2_ ∵CE=CA
D
B
C
E
∴∠E=∠CAE ∵ ∠ACB=∠E+∠CAE
∴∠_1_E= ∠ACB=400
2
∵ ∠DAE+∠E+∠D=1800 ∴∠DAE= 1800-250-400=1150
B
D
C
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角旳度数。
A
⌒
x D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
2x
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
B
D
C
AB=AC， BD=CD ，
AD=AD, ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形旳相应角相等).
作底边旳高线
证明：等腰三角形旳两个底角相等 A

等腰三角形全国优质课一等奖完美PPT课件

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20
直角三角形相关知识回顾
直角三角形的定义
有一个内角为90°的三角形 称为直角三角形。
2024/1/28
直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互 余，斜边是直角三角形的 最长边，且满足勾股定理 。
直角三角形的判定
若一个三角形满足有一个 内角为90°或满足勾股定理 ，则该三角形为直角三角 形。
21
相似三角形相关知识拓展
02
若一个三角形中有一个角为90度 ，且这个三角形的两条直角边相 等，则这个三角形是等腰直角三 角形。
13
其他特殊情况下判定方法
若一个三角形的三条边满足勾股定理， 即其中两条边的平方和等于第三条边的 平方，则这个三角形是直角三角形。若 此时直角边相等，则为等腰直角三角形
。
2024/1/28
若一个三角形的三条边满足 a:b:c=1:1:√2的关系（a、b为直角边， c为斜边），则这个三角形是等腰直角
顶角与底角的关系
顶角的度数是底角度数的两倍，即顶角 = 2 × 底 角。
3
高、中线与角平分线的关系
在等腰三角形中，高、中线和顶角的角平分线互 相重合。
2024/1/28
9
等腰三角形性质总结
对称性
等腰三角形是Hale Waihona Puke 对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
2024/1/28
边角关系
在等腰三角形中，两底角相等 ，且顶角的度数是底角度数的 两倍。
3
课程背景与意义
三角形是初中数学的重要内容 ，等腰三角形作为特殊三角形 ，具有独特的性质和广泛的应 用。
2024/1/28
学习等腰三角形有助于学生理 解三角形的基本性质，掌握证 明方法，提高几何推理能力。

《等腰三角形 》课件 2022年人教版省一等奖PPT

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2012版中考数学复习指导
【思路点拨】
2012版中考数学复习指导
【自主解答】(1)在等腰直角△ABC中， ∵∠CAD=∠CBD=15°, ∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°, ∴BD=AD,∴△BDC≌△ADC, ∴∠DCB=∠DCA=45°. ∵∠BDE=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°, ∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°, ∴∠BDE=∠EDC, ∴DE平分∠BDC.
2012版中考数学复习指导
7.(2021·铜仁中考)如图，小红作出了边长为1的第1个正 △A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1 三边的中点A2，B2，C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正 △A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3， 算出了正△A3B3C3的面积……，由此可得，第8个正△A8B8C8 的面积是( )
4.(2021·东阳中考)如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D 的直线折叠，使点A落在BC上F处，假设∠B=50°，那么 ∠BDF= _____度.
【解析】根据题意，△BDF是以D为顶点的等腰三角形，因此 ∠BDF=180°-50°×2=80°. 答案：80
2012版中考数学复习指导
等边三角形的性质与判定
2012版中考数学复习指导
2012版中考数学复习指导
2012版中考数学复习指导
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2012版中考数学复习指导
2012版中考数学复习指导
2012版中考数学复习指导
等腰三角形的性质与判定
1.等腰三角形是一种特殊的三角形，因此它除了具有一般三 角形的性质以外还有以下特殊的性质：等腰三角形的两条边 相等；等腰三角形的“三线合一〞即顶角的角平分线、底边 上的中线、底边上的高相互重合；

等腰三角形ppt课件

等腰三角形ppt课件

5.已知等腰三角形的两内角之比为4：1，则这个
三角形的顶角度数为
；
世上无难事，只要肯登攀
A
∴∠EOB=∠CBO， ∠∵FBOOC、=∠COBC分O别平分∠ABC、∠ACB
∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO ∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO
OБайду номын сангаас
E
F
∴BE＝OE，CF=OF
∴ EF=EO+FO＝BE+CF
B
C
若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？
例题讲解
等腰三角形练习 ----分类讨论思想
一、课前热身，知识再现
1.已知等腰三角形的一内角为40°；求其余两个内角的
度数
；
2.已知等腰三角形的两边长为3和4，其周长
为
；
二、自主探究 （关于角的讨论）
1、已知等腰三角形的一外角为100°；则等腰三角形的
顶角的度数为 800或200
（关于等腰三角形边的讨论）
3
∴∠AFD＝∠4 ∵∠AFD＝∠3
4
∴∠3＝∠4 ∴CE＝CF
B
E
C
∴△CEF是等腰三角形
典 例2 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.
例 过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF、BE、FC之间的关系.
精 析
解：EF=BE+CF.
∵ EF∥BC
理由如下：
证明：∵△ABC中AB＝AC，D在BC的中点， ∴∠B=∠C，BD=CD
∵DE⊥AB，DF⊥AC． ∴∠BED=∠CFD=9 0在°△BDE和△CDF中，
∠BED=∠CFD ∠B=∠C BD=CD

等腰三角形ppt课件

等腰三角形ppt课件

(× )
2、如图2，在△ABC中，∵AB=AC ∴∠ADB=∠AEC. (× )
小结：“等边对等角”的使用条件是在同一个三角形中， 注意对应.等边对等角是证明两个角相等的一种常用方法.
A A
B 图1
C BD E C 图2
证明猜想2
A
猜想2 等腰三角形的顶角平分线，底边
上的中线、底边上的高相互重合.
B
C
∟
∴ A ⊥ BC ， BD = CD .
D
D
归纳小结：
“三线合一”可以帮助我们解决线段的垂直、相等
以及角的相等问题.
知一线得二线
在等腰三角形中，（在△ABC中，AB=AC）
① ∠BAD =∠CAD，② AD ⊥ BC，③ BD = CD 中已知任意一
个都可以得其它两个条件.
1、如图1，在△ABC中,∵AB=BC, ∴∠B=∠C .
D FE C A
变式3 如图，在△ABC中 ，AB=AC，BD⊥AC，
∠A = 36，求∠DBC的度数.
D
变式4
在△ABC中 ，AB=AC，BD⊥AC，
∠A = 110，求∠DBC的度数.
小结：分类讨论思想
B
C
畅所欲言
➢ 本堂课你学到了什么知识？ ➢ 本堂课你收获了哪些方法？ ➢ 本堂课你体会了什么思想？
……
课堂小结 一、牢记三个性质：
注意是指同一个 三角形中
轴对称性、等边对等角 、“三线合一”
注意是指顶角的平分线,底边上的高和 中线才有这一性质
二、明确三种添加辅助线的方法： 方法不同，作用不同
三、理解三种思想： 转化思想、方程思想、分类讨论思想
课后练习：
必做题：

等腰三角形的性质 课件 公开课一等奖课件


C
底边上的中线，底边上的高互相重合 A 在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上
1、∵AD ⊥ BC 1 2 BD DC 。 ∴∠ 1 = ∠ ，____= 2、∵AD是中线， 1 1 2 2 AD BC 1 2 ∴ ⊥ ，∠ =∠ 。 3、∵AD是角平分线， B BD AD DC BC ∴ ⊥ ， = 。 D 等腰三角形是轴对称图形.对称轴是底边上的 中线(顶角平分线,底边上的高)所在直线
• 活动2:探索等腰三角形性质
• 上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗? • 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折,找出其中相等的线 段和角,填入下表
B
重合的线段
A C D
重合的角
AB 和 AC
∠B和 ∠C
和
和
和
和
你能发现等腰三角形有什么性质吗?说一
说你的猜想.
性质1：等腰三角形的 两底角相等。（简写成 “等边对等角” ）
C
活动3:等腰三角形性质定理的证明
证明性质1:等腰三角形的两个底角相等 (等边对等角) 。
提问:这性质的条件和结论是什么?用数学符号如何 表达条件和结论?
已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C 分析：1.如何证明两个角相等？ 2.如何构造两个全等的三角形？ 证明:在△ABC中,AB=AC,作底边 BC的中线AD, 在 △ BAD 与△ CAD 中 ∵ AB=___ AC CD BD=___ AD AD=___ B ∴ △ BAD ≌△ CAD( SSS ) ∠C ∠B= ___
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋

华师版等腰三角形的判定公开课获奖课件省赛课一等奖课件

答: △ABC是等腰三角形。 理由： 在△ABC中，
∵∠C=180°－∠A－∠B（三角形内角和 =180°－40°－70°等于180°） =70°
∴∠B=∠C=70° ∴AB=AC （等角对等边） 即△ABC是等腰三角形
如图,已知∠A=36°, ∠DBC=36°, ∠C=72°
（1）求∠1和∠2的度数
E E
B B
O FF
1 4C
2
3C
∴∠2＝∠ABO ∠3＝∠ACO
∴∠1＝∠ABO ∠4＝∠ACO ∴BE＝OE CF=OF ∵ EF=EO+FO ∴EF＝BE+CF
(2)AB≠AC，其他条件 不变，图中还有等腰三角 形吗？(1)中结论还成立吗？
变式题
如图，BD 、CD是△ABC的一个内角平分线和一 个外角平分线，且交点为D,过点D作这两角的公共 边BC的平行线，问EF、BE、CF之间有何数量关 系？
∴ △ BAD≌ △ CAD （AAS） ∴AB=AC（全等三角形的对应边 相等）
等腰三角形的判定定理
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所
对的边也相等(简称“等角对等边”)
几何语言表示如下：
注意：在同 一个三角形
A中应用哟！
在∆ABC中，
∵∠B=∠C
∴AB=AC
B
C
温馨提示：这又是一个判定两条线段相等根据之一。
练习
1． 说出定理“等边三角形的三个内角都相等”的 逆命题，并证明该逆命题为真命题．
逆命题：如果一个三角形的三个内角都相等，那么 这个三角形是等边三角形。证明略
2． 如图，已知P、Q是△ABC的边BC上两点，并 且解：BP∵＝PQP=QAP＝=QAQC∴＝∠APPA＝Q=AQ∠A，P求Q=∠BAC的大小．
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＝12<16，∴不能组成三角形；6 cm 是底边时，腰长为12×(28－6)＝11(cm)，
三边分别为 6 cm，11 cm，11 cm，能组成三角形，∴其他两边的长为 11 cm， 11 cm
2．等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等
腰三角形的底边和腰长．
x2＋x＝21，
八年级数学上册（华师版） 专题(十) 等腰三角形的分类讨论
类型一 对等腰三角形的腰和底边分类讨论 1．(1)已知等腰三角形的一边长等于8 cm，一边长等于9 cm，求它的周长； (2)等腰三角形的一边长等于6 cm，周长等于 28 cm，求其他两边的长．
解：(1)8 cm 是腰长时，三角形的三边分别为 8 cm，8 cm，9 cm，能组成 三角形，周长＝8＋8＋9＝25(cm)；8 cm 是底边时，三角形的三边分别为 8 cm， 9 cm，9 cm，能组成三角形，周长＝8＋9＋9＝26(cm)，综上所述，周长为 25 cm 或 26 cm (2)6 cm 是腰长时，其他两边分别为 6 cm，16 cm，∵6＋6
类型三 对等腰三角形的形状(锐角等腰三角形、直角等腰三角形、钝角等
腰三角形)分类讨论 5．在等腰三角形ABC中，如果过顶角的顶点A的一条直线AD将△ABC分 割成两个等腰三角形，那么∠BAC＝_____9_0_°__或__1_0_8_°__．
6．在△A0°，求∠C 的度数．
解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，∵BD⊥AC，∴∠A＋∠ABD＝
90°，∵∠ABD＝50°，∴∠A＝90°－50°＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC
＝∠C＝12(180°－40°)＝70°；②若∠A＞90°，同①可得∠DAB＝90°－ 50°＝40°，∴∠BAC＝180°－40°＝140°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C
解 ： 设 等腰 三角 形 的腰 长为 x ，底 边长 为 y， 则 有x2＋y＝27 或
x2x2＋＋xy＝＝2217，，解得xy＝＝2104，或xy＝＝1128，，此时两种情况都符合三角形三边关系
定理．答：等腰三角形的腰长为 14，底边长为 20 或腰长为 18，底边长为 12
类型二 对等腰三角形的顶角、底角分类讨论 3．等腰三角形的一个角是70°，则另两个角的度数分别为 _____7_0_°__，__4_0_°__或__5_5_°__，__5_5_°_________． 4．等腰三角形的内角中，有一个角是另一个角的两倍，求三个内角的度 数． 解：当顶角是底角的两倍时，设底角是x，则有2x＋x＋x＝180°，解得x＝ 45°，∴三角形各角分别为90°，45°，45°；当底角是顶角的两倍时， 设顶角是x，则有x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，∴三角形各角分别为 36°，72°，72°.综上所述，三角形各角分别为90°，45°，45°或 36°，72°，72°
解：设点 F 运动的时间为 t s，，点 F 的运动速度为 x cm/s，则 BE＝2t，
EC＝16－2t，CF＝tx，∵点 D 为 AB 的中点，∴BD＝12AB＝9，∵AB＝AC，
∴ ∠ B ＝ ∠C ， ∴ 当 CE ＝ BD ， CF ＝ BE 时 ， 可 根 据 “ S.A.S. ” 判 断 △DBE≌△ECF, 即 16－2t＝9，tx＝2t，解得 t＝3.5，x＝2；当 CE＝BE， CF＝BD 时，可根据“S.A.S.”判断△DBE≌△FCE，即 16－2t＝2t，tx＝9，
＝12(180°－140°)＝20°.综上所述，∠C 的度数为 70°或 20°
类型四 等腰三角形在动态几何中的分类讨论 7．(阿凡题 1072035)如图，在△ABC中，AB＝AC＝18 cm，BC＝16 cm， 点D是AB的中点，有一点E在BC上从点B向点C运动，速度为2 cm/s，同时 有一点F在AC上从点C向点A运动，其中一点停止运动另一点也随之停止运 动，问当点F的运动速度是多少时，△DBE和△EFC全等？
解得 t＝4，x＝2.25，综上所述，当点 F 的运动速度是 2 cm/s 或 2.25 cm/s
时，△DBE 和△EFC 全等