位移法例题

用位移法计算对称结构的例题位移法是一种常用的计算方法，用于求解结构在受到外力作用时的位移和应力分布。

它适用于对称结构的分析，因为对称结构具有一定的几何和物理特征，可以简化计算过程。

我们以一根悬臂梁为例来说明位移法的应用。

悬臂梁是一种常见的结构，它只有一端支撑，另一端悬空。

我们假设悬臂梁的截面为矩形，长度为L，宽度为b，高度为h。

悬臂梁在其自由端受到沿着梁轴方向的力F。

首先，我们需要将悬臂梁的截面划分为若干个小单元，每个小单元的长度为Δx。

我们假设每个小单元的变形与相邻单元的变形相同，且每个小单元的位移为u(x)，其中x表示小单元的位置。

根据位移法的基本原理，我们可以得到悬臂梁的位移方程：du/dx = M(x)/(E*I)其中，du/dx表示位移的二阶导数，M(x)表示在x位置的弯矩，E表示悬臂梁的弹性模量，I表示悬臂梁的截面惯性矩。

根据悬臂梁的几何关系，我们可以得到弯矩M(x)与力F之间的关系：M(x) = F*(L-x)将上述方程代入位移方程，我们可以得到悬臂梁的位移方程：du/dx = F*(L-x)/(E*I)对上述方程进行两次积分，并考虑边界条件u(0) = 0和du/dx(0) = 0，我们可以解得悬臂梁在任意位置x的位移u(x)：u(x) = (F*x*(3L - x))/(6*E*I)通过上述位移方程，我们可以计算出悬臂梁在不同位置的位移。

这对于分析和设计悬臂梁结构的性能和稳定性非常有帮助。

除了计算位移，位移法还可以用于计算对称结构的应力分布。

通过位移方程，我们可以得到应力与位移之间的关系，从而求解出结构中各点的应力值。

综上所述，位移法是一种常用的计算方法，适用于对称结构的分析。

通过解析和计算位移方程，我们可以得到结构在受力作用下的位移和应力分布，为结构的设计和分析提供了重要的理论支持。

精品文档第 7章位移法习题7-1：用位移法计算图示超静定梁，画出弯矩图，杆件EI 为常数。

qF PEI B EIA CL L/2L/2题7-1图7-2：用位移法计算图示刚架，画出弯矩图，杆件EI 为常数。

A3m4kN/m2kN.mBD3mC3m题7-2图7-3：用位移法计算图示刚架，画出弯矩图，杆件EI 为常数。

B DEIq EI EIH2A C2 L2题7-3图7-4：用位移法计算图示超静定梁，画出弯矩图。

M2EI B EIA CL L.题7-4图7-5：用位移法计算图示刚架，画出弯矩图，杆件EI 为常数。

10kN/m2kNC ED4mA B4m2m题7-5图7-6：用位移法计算图示排架，画出弯矩图。

A B C 10kNEA=∞EA =∞3.5m EI EI EID E F4m4m题7-6图7-7：用典型方程法计算7-2 题，画出弯矩图。

7-8：用典型方程法计算7-3 题，画出弯矩图。

7-9：用典型方程法计算7-5 题，画出弯矩图。

7-10：用典型方程法计算图示桁架，求出方程中的系数和自由项。

B10kN4mEA EAA CEA4m题 7-10 图7-11：用典型方程法计算图示刚架，求出方程中的系数和自由项。

.10kNA BEI EICEI4mD E FEI4m4m题 7-11 图7-12：用位移法计算图示结构，杆件EI 为常数（只需做到建立好位移法方程即可）。

A4m10kN/mB FD4mC E4m2m题 7-12 图7-13：用位移法计算图示结构，并画出弯矩图。

A EA=∞BLEI qF2EI EEIEI LC DL题 7-13 图7-14：用位移法计算图示结构，并画出弯矩图。

.EEILMC DF PEI EI LA BL/2L题 7-14 图7-15：用位移法计算图示刚架, 画出弯矩图。

AEI LMBEIEI LCL题 7-15 图7-16：用位移法计算图示结构，并画出弯矩图。

EIEI EIaqEIqEI E A EI aa a题 7-16 图7-17：用位移法计算图示结构，并绘弯矩图，所有杆件的EI 均相同。

用位移法计算对称结构的例题位移法是结构力学中常用的一种计算方法，用于求解对称结构中的内力、位移等参数。

对称结构是指结构中存在对称平面或轴的结构形式，可以简化计算过程，降低计算难度。

以下是位移法计算对称结构的例题及参考内容。

例题：考虑一简支梁，长度为L，截面为矩形，宽度为b，高度为h，质量密度为ρ。

梁位于坐标系的x轴上，原点位于梁的左端。

假设载荷为均匀分布的集中载荷P，作用在梁的中点上。

使用位移法计算该梁的挠度和应力分布。

参考内容：一、计算挠度：1. 假设梁的挠度方程为w(x)。

2. 由于该梁为简支梁，在悬臂和简支的连接处有零位移和零弯矩的边界条件可以得到w(0) = 0和w(L) = 0。

3. 通过对称性可以得到梁的中点弯矩为零，即M(L/2) = 0，以及中点剪力为零，即V(L/2) = 0。

4. 根据力平衡条件可以得到剪力方程V(x) = -P/2。

5. 根据弯矩方程可以得到弯矩方程M(x) = -P/2 * x + C1，其中C1为常数。

6. 代入边界条件和悬臂边界条件可以解得C1 = P * L/8。

7. 根据挠度方程可以得到挠度方程w(x) = -(P/24 * x^3 - P * L/8 * x) / (EI) + C2，其中C2为常数。

8. 代入边界条件可以解得C2 = P * L^3 / (192EI)。

9. 最终挠度方程为w(x) = (P/24 * x^3 - P * L/8 * x) / (EI) + P *L^3 / (192EI)。

二、计算应力分布：1. 由于该梁为纯弯曲梁，所以其应力分布为线性的。

2. 根据弯曲应力公式σ = My/I可以得到梁剖面任意点的弯曲应力。

3. 注意由于结构具有对称性，所以对称位置的弯曲应力相等。

4. 在梁的截面上，对称轴的弯矩为零，即My = 0。

5. 根据矩形截面的惯性矩计算公式可以得到梁的惯性矩I = bh^3/12。

6. 代入公式可以得到对称轴上的弯曲应力为σ = 0。

用位移法计算对称结构的例题对称结构在工程设计中起着重要的作用，能够有效减少结构的重量和材料使用量，提高结构的稳定性和承载能力。

在对称结构的设计中，计算结构的位移是非常重要的一步，通过位移法可以准确地分析结构在外力作用下的变形和应力分布情况，为工程设计提供科学依据。

以一座简单的对称结构为例，假设有一跨度为L的梁结构，两端支座固定，中间受到均布载荷P的作用。

我们需要用位移法计算这个结构的变形情况。

首先，我们需要对结构进行简化，将其分解为几个简单的部分，如梁和支座。

然后，我们可以根据结构的受力分析，确定结构中的受力情况，包括受力大小和方向。

在这个例题中，梁受到的均布载荷P会引起梁的挠度，我们需要计算梁的最大挠度和最大弯矩。

接着，我们可以建立结构的位移方程，通过位移方程可以得到结构的位移分布情况。

位移方程的建立需要考虑结构的几何特性和受力情况，通常可以通过叠加法或虚位移法来得到结构的位移方程。

在这个例题中，我们可以假设梁的位移为y(x)，根据梁的几何形状和受力情况，可以建立梁的位移方程。

通过位移方程的求解，我们可以得到梁的位移分布情况，包括梁的最大挠度和最大弯矩的位置和数值。

最后，我们需要验证计算结果的准确性，可以通过有限元分析或理论计算的方法进行验证。

通过对计算结果的验证，可以确保结构的设计和计算的准确性，为工程的施工和使用提供可靠的保障。

综上所述，位移法是计算对称结构的重要方法，通过位移法可以准确地分析结构的变形和应力分布情况，为工程设计提供科学依据。

在实际工程设计中，需要结合结构的几何形状和受力情况，建立结构的位移方程，通过位移方程的求解可以得到结构的位移分布情况，最终验证计算结果的准确性，确保结构的设计和计算的可靠性。

通过位移法的应用，可以提高结构的稳定性和承载能力，为工程的设计和施工提供科学的依据。

习题8-1 图示梁杆端弯矩=ABM， 侧受拉；杆端剪力Q AB F = 。

题8-1图 题8-2图8-2图示梁杆端弯矩BA M = ， 侧受拉；杆端剪力Q B A F = 。

8-3图示梁杆端弯矩ABM= ，侧受拉；杆端剪力Q B A F = 。

设i =EI /l 。

2EI AB题8-3图 题8-4图 8-4图示梁杆端弯矩ABM= ， 侧受拉；杆端剪力Q B A F = 。

设i =EI /l 。

8-5图示梁杆端弯矩BA M = ， 侧受拉；杆端剪力Q AB F = 。

Q B A F = 。

题8-5图 题8-6图8-6 图示梁杆端弯矩BA M = ， 侧受拉；杆端剪力Q B A F = 。

Q AB F = 。

8-7图示梁杆端弯矩BA M = ， 侧受拉；杆端剪力Q B A F = 。

设i =EI /l 。

题8-7图 题8-8图 8-8 图示梁杆端弯矩ABM= ， 侧受拉；杆端剪力Q B A F = 。

设i =EI /l 。

8-9 图示梁杆端弯矩BA M = ， 侧受拉；杆端剪力Q B A F = 。

题8-9图 题8-10图8-10 图示梁杆端弯矩BA M = ， 侧受拉；杆端剪力Q B A F = 。

8-11 图示梁杆端弯矩ABM = ， 侧受拉；杆端剪力Q B A F = 。

设i =EI /l 。

6EI AB1题8-11图 题8-12图 8-12 试作图示梁弯矩图，并求B 支座的反力。

8-13 图示梁的跨度为l ，若使A 端截面的转角为零，在A 端施加的弯矩=ABM。

1M1Δ题8-13图 题8-14图8-14 已知图示结构的柱端水平位移为EIlF Δ93P 1=，试作弯矩图。

8-15 试用位移法计算图示结构，作弯矩图。

（a ） (b)题8-15图8-16 试用位移法计算图示结构，作弯矩图。

(a) (b) (c)题8-16图8-17 用位移法解图示结构，基本未知量最少为2个的结构是（ ）。

A．（a）、（b）B．(b)、（c）C．（c）、（a）D．（a）、（b）、（c）（a）(b) (c)题8-17图8-18 用位移法解图示结构，基本未知量最少为3个的结构是（）。

位移法习题答案位移法的基本步骤包括：1. 选择位移函数：根据结构的边界条件和对称性，选择合适的位移函数。

2. 建立位移矩阵：将位移函数表示为位移矩阵的形式。

3. 应用位移边界条件：根据结构的固定边界条件，确定位移矩阵中的未知数。

4. 计算内力：利用位移矩阵和结构的几何关系，计算出结构的内力。

5. 验证位移法结果：通过比较位移法的结果与其他方法（如力法）的结果，验证位移法的准确性。

例题：考虑一个简支梁，长度为L，受集中力P作用于中点。

使用位移法求解梁的弯矩和剪力分布。

解答：首先，我们假设梁的位移函数为：\[ w(x) = \frac{Px(L-x)}{2EI} \]其中，\( w(x) \) 是梁在x位置的位移，\( E \) 是材料的弹性模量，\( I \) 是截面惯性矩。

接下来，根据位移函数，我们可以计算梁的弯矩和剪力：\[ M(x) = -EI \frac{d^2w}{dx^2} \]\[ V(x) = -EI \frac{dw}{dx} \]应用位移边界条件，我们可以确定位移函数中的未知数。

对于简支梁，位移在支点处为零，即：\[ w(0) = w(L) = 0 \]将位移函数代入上述条件，我们可以验证假设的位移函数满足边界条件。

最后，代入位移函数到弯矩和剪力的表达式中，我们可以得到：\[ M(x) = -\frac{P}{2} \left( \frac{L^2}{4} - x^2 \right) \]\[ V(x) = -\frac{P}{2} \left( L - 2x \right) \]通过上述计算，我们得到了梁在任意位置的弯矩和剪力分布。

结论：位移法是一种有效的结构分析方法，它通过位移函数来求解结构的内力和位移。

通过本题的解答，我们可以看到位移法在求解简支梁问题中的应用。

请注意，上述内容是一个示例答案，具体的习题答案会根据具体的题目而有所不同。

在实际应用中，需要根据具体的结构和受力情况来选择合适的位移函数和计算方法。

位移法复习题位移法复习题位移法是力学中的一种重要方法，用于求解物体在受力作用下的运动情况。

它通过分析物体的位移来推导出物体的速度和加速度等运动参数。

在学习位移法时，我们需要掌握一些基本的概念和方法，并通过练习题来加深理解。

下面，我们将通过一些典型的位移法复习题来巩固知识。

1. 一辆汽车以20 m/s的速度匀速行驶了5秒钟，求汽车的位移。

解析：根据位移的定义，位移等于速度乘以时间。

所以汽车的位移等于20 m/s × 5 s = 100 m。

2. 一个物体以2 m/s²的加速度匀加速运动了10秒钟，求物体的位移。

解析：根据匀加速运动的位移公式，位移等于初速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。

所以物体的位移等于0 m/s × 10 s + 2 m/s² × (10 s)² / 2 = 100 m。

3. 一个自由落体物体从静止开始下落，求物体下落5秒钟后的位移。

解析：自由落体物体的加速度等于重力加速度，即9.8 m/s²。

根据自由落体运动的位移公式，位移等于初速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。

由于物体从静止开始下落，所以初速度为0 m/s。

所以物体的位移等于0 m/s × 5 s + 9.8 m/s² × (5 s)² / 2 = 122.5 m。

4. 一个物体以10 m/s的速度向上抛出，求物体到达最高点时的位移。

解析：当物体到达最高点时，它的速度为0 m/s。

根据物体的运动规律，物体到达最高点时的位移等于它的初速度乘以时间。

所以物体到达最高点时的位移等于10 m/s × (10 m/s / 9.8 m/s²) = 10.2 m。

5. 一个物体以5 m/s的速度向上抛出，求物体落地时的位移。

解析：当物体落地时，它的位移等于它的初速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。

静定结构的位移计算——典型例题【例1】计算如图1(a)所示梁结构中跨中C 点的竖向位移，已知EI 为常数。

【解】方法一：（积分法）（1）荷载作用的实际状态以及坐标设置如图6-8(a)，其弯矩方程为：（2）虚设单位力状态，以及坐标设置如图6-8(b)，其弯矩方程为：（3）积分法求跨中的竖向位移图1方法二：图乘法（1）荷载作用的实际状态，其弯矩图如图1(c)所示； （2）虚设单位力状态，其弯矩图如图1(d)所示； （3）图乘计算跨中竖向位移【例2】计算如图2(a)所示半圆曲梁中点C 的竖向位移，只考虑弯曲变形。

已知圆弧半径为R ，EI 为常数。

CV ∆21102211112222P qlx x l M qlx q x l l x l ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎛⎫⎪--<≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩1021122x x l M l l x l ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩24/20/211111113()22222232l l P CVl MM ql ds x qlxdx l qlx q x l dx EI EI EI EI ⎡⎤⎛⎫∆==⨯⨯+⨯⨯--=↓⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰4222211112111311121113()222432284223232232cPCV A y MM ds EI EI ql l ql l ql ql l l l ql l EI EI EI ω∆==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=↓ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑⎰CV ∆图2【解】（1）实际荷载作用下，以任意半径与x 轴的顺时针夹角θ为自变量（图2a ），弯矩方程为（截面内侧受拉为正）：（2）虚设单位荷载状态如图2(b)所示，其弯矩方程为：（3）积分法求跨中的竖向位移【例3】如图3(a)所示梁的EI 为常数，在荷载F 作用下测得结点E 的竖向位移为9mm （向下），求截面B 处的角位移。

位移法计算超静定结构——典型例题【例1】采用位移法计算如图1(a)所示梁结构，并作M 图。

已知EI 为常数。

图1【解】（1）位移法基本未知量为结点C 处的角位移及竖向线位移，基本体系如图1(b)所示。

（2）建立位移法方程如下： （3）计算系数和自由项令。

分别作出基本结构在单位位移、及原荷载单独作用下的内力图、及，如图1(c)、(d)、 (e)所示。

取图1(c)中结点C 为研究对象，分别由力矩平衡条件、竖向力的投影平衡条件可求得：取图1(d)中结点C 为研究对象，分别由力矩平衡条件、竖向力的投影平衡条件可求得：取图1(e)中结点C 为研究对象，分别由力矩平衡条件、竖向力的投影平衡条件可求得：（4）解位移法方程，得基本未知量为： （5）由可计算各杆端弯矩，可作原结构的图，如图1(f)所示。

【例2】采用位移法计算如图2(a)所示刚架结构，并作M 图。

已知各杆EI 为常数。

1∆2∆1111221211222200P Pk k F k k F ∆+∆+=⎧⎨∆+∆+=⎩/i EI l =11∆=21∆=1M 2M P M 1121100k i k ==，21221018/k k i l ==，21219248P P F ql F ql =-=-，231224016ql ql i i∆=-∆=，1122P M M M M =∆+∆+M图2【解】（1）取刚结点D 、E 处的角位移、为基本未知量，基本体系如图2(b)所示。

（2）列位移法方程： （3）计算系数和自由项分别作出基本结构在单位位移、及原荷载单独作用下的内力图、及，如图2(c)、(d)、 (e)所示。

分别取图2(c)中结点D 、E 为研究对象，由力矩平衡条件可求得：，分别取图2(d)中结点D 、E 为研究对象，由力矩平衡条件可求得：，分别取图2(e)中结点D 、E 为研究对象，由力矩平衡条件可求得自由项：，（4）解位移法方程，得基本未知量为：（5）由可计算各杆端弯矩，作图如图2(f)所示。

位移法(总分100,考试时间90分钟)一、选择题1. 下图所示结构位移法基本未知量数目______。

A.1B.2C.3D.42. 下列关于下图所示结构位移法基本未知量的论述，正确的是______。

A.三个基本未知量θA、θB、ΔBB.两个基本未知量θA=θB、ΔC.四个基本未知量θA、θB、ΔA、ΔBD.一个基本未知量ΔA3. 在位移法中，将铰接端的角位移，滑动支撑端的线位移作为基本未知量。

______A.绝对不可 B.一定条件下可以 C.可以，但不必 D.必须4. 计算刚架时，位移法的基本结构是______。

A.超静定铰结体系 B.单跨超静定梁的集合体 C.单跨静定梁的集合体 D.静定刚架5. 下图所示结构(忽略杆件轴向变形)用位移法求解，则其基本未知量数目为______。

A.1B.2C.3D.46. 下列关于下图所示结构位移法基本未知量的论述，正确的是______。

A.三个基本未知量θA、θB、ΔBB.两个基本未知量θA=θB、ΔC.四个基本未知量θA、θB、ΔA、ΔBD.一个基本未知量ΔB7. 在位移法基本方程中，系数kij代表：______。

A.由于Δj，而在附加约束i处产生的约束力 B.只有Δj时，由于Δj=1在附加约束i处产生的约束力 C.由于Δi，而在附加约束j处产生的约束力 D.只有Δi时，由于Δi=1在附加约束j处产生的约束力二、计算题1. 试确定下图所示结构位移法基本未知量数目和基本结构。

两根链杆a和b需考虑变形。

2. 用位移法计算下图所示刚架结构并作其弯矩图。

3. 用位移法计算下图所示结构，并作M图，EI=常数。

4. 用位移法作下图所示结构M图。

EI=常数。

5. 用位移法计算下图所示结构，并作M图。

各杆材料相同。

6. 用位移法计算下图所示结构，并作M图。

已知：q=16.5kN/m，各杆l=4m，EI=常数。

7. 用位移法计算下图所示结构，并作出其M图。

各杆的EI=常数。

8. 用位移法计算下图所示结构并作其弯矩图。

结构力学位移法题目及详细解答位移法中含无穷刚度杆的结构是考研结构力学的一大难点，很多热门院校都喜欢出这类型的题目，下面以两道有复杂牵连位移的含无穷刚度杆位移法题目为例，对三种解法进行讲解，题目取自东南大学真题和烟台大学真题。

1.用位移法绘制图示结构的弯矩图，BC杆 EI=∞，其余各杆 EI 为常数（东南大学2017年真题）。

解：根据局部变形图找出位移牵连关系，B点角位移，B点竖向线位移，C点角位移三者牵连，只有1个独立，有三种方法。

法一：基本体系一：以 B点竖向线位移为基本未知量，难点是无穷刚结点处会引起线位移和角位移，过程如图：M2¯图绘制是一个难点，需要通过无穷刚度杆的局部变形图判断弹性杆的变形，从而指导画出形常数图。

计算过程略，最后弯矩图如图：法二：基本体系二：以 C 点角位移为基本未知量，难点是剪力平衡，过程如下：M2¯图绘制是一个难点，需要通过无穷刚度杆的局部变形图判断弹性杆的变形，从而指导画出形常数图。

法二的典型错误：无穷刚度杆弯矩图不会画。

正确思路：从弹性杆画到无穷刚度杆，通过刚结点平衡条件确定杆端弯矩，杆上没有集中力作用，剪力不变，弯矩图斜率相同。

这里注意，超静定结构在荷载作用下内力值只与刚度相对值有关，与绝对值无关，所以从弹性杆到无穷刚度杆弯矩是不会倍增的。

另外，若有集中力作用于无穷刚度杆上，则按照简支梁叠加即可。

法三：基本体系三：以B点角位移为基本为质量，难点是剪力平衡，过程如下：点评：法三位移一定可以发生，因为线位移和两个角位移有两个独立，一个牵连，刚结点任取一个角位移都可以是独立的，无穷刚度杆上增加刚臂后相当于大地固定端，不能动，刚臂发生相当于固定端发生单位角位移的支座移动。

位移法习题与答案位移法是结构力学中常用的一种分析方法，通过计算结构在外力作用下的位移，来求解结构的应力、应变和变形等问题。

在学习位移法时，习题与答案的练习是非常重要的，可以帮助我们加深对位移法的理解和掌握。

下面将给大家介绍一些位移法习题及其答案。

习题一：求解简支梁的弯矩分布已知一根长度为L的简支梁，受到均布载荷q作用，求解弯矩分布。

解答：首先，我们需要根据受力分析确定梁的反力。

对于简支梁，两个支座处的反力相等，且为qL/2。

接下来，我们可以利用位移法求解弯矩分布。

假设梁的弯矩分布为M(x)，则根据位移法的基本原理，可以得到以下方程：d2M(x)/dx2 = -q对该方程进行两次积分，得到：M(x) = -q*x^2/2 + C1*x + C2由于梁两端是简支条件，即位移和转角为零，可以得到边界条件：M(0) = 0M(L) = 0代入上述方程，解得C1 = qL/2，C2 = -qL^2/2。

因此，弯矩分布为：M(x) = -q*x^2/2 + qL/2*x - qL^2/2习题二：求解悬臂梁的挠度已知一根长度为L的悬臂梁，受到集中力F作用在悬臂端点，求解梁的挠度。

解答：首先，我们需要根据受力分析确定梁的反力。

对于悬臂梁，端点处的反力只有一个，即为F。

接下来，我们可以利用位移法求解梁的挠度。

假设梁的挠度为δ(x)，则根据位移法的基本原理，可以得到以下方程：d2δ(x)/dx2 = -F/(EI)对该方程进行两次积分，得到：δ(x) = -F*x^2/(2EI) + C1*x + C2由于梁端点处的位移为零，可以得到边界条件：δ(0) = 0dδ(x)/dx|_(x=L) = 0代入上述方程，解得C1 = 0，C2 = 0。

因此，梁的挠度为：δ(x) = -F*x^2/(2EI)习题三：求解悬臂梁的最大挠度已知一根长度为L的悬臂梁，受到均布载荷q作用，求解梁的最大挠度。

解答：首先，我们需要根据受力分析确定梁的反力。