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不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a当堂练习单选题练习1.已知t=a+4b，s=a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<c<b D．c<a<b练习5.若a=（），b=（），e=log，则下列大小关系正确的是（）A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b填空题练习1._____．不等式≤3的解集是__________练习2.于实数a、b、c，有下列命题①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。
《不等关系与不等式》知识清单一、不等关系在我们的日常生活中，不等关系无处不在。
比如，一个人的身高不可能低于0 米；购买商品时，所花费的金额不能超过自己携带的钱数；汽车的速度不能超过限速等等。
不等关系可以用文字语言来描述，也可以用数学符号来表示。
常见的表示不等关系的词语有：大于（＞）、小于（＜）、大于等于（≥）、小于等于（≤）、不等于（≠）。
例如：“小明的体重超过 50 千克”可以表示为“小明的体重＞ 50 千克”；“班级人数不超过 60 人”可以表示为“班级人数≤ 60 人”。
二、不等式不等式是用不等号将两个代数式连接起来所形成的式子。
1、不等式的基本性质（1）对称性：如果 a ＞ b，那么 b ＜ a；如果 b ＜ a，那么 a ＞ b。
例如，5 ＞ 3，那么 3 ＜ 5。
（2）传递性：如果 a ＞ b 且 b ＞ c，那么 a ＞ c。
比如，5 ＞ 3，3 ＞ 1，所以 5 ＞ 1。
（3）加法性质：如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c。
例如，7 ＞ 5，两边同时加 2，得到 9 ＞ 7。
（4）乘法性质：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 ac ＞ bc；如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 ac ＜ bc。
比如，3 ＞ 1，两边同时乘以 2（2 ＞ 0），得到 6 ＞ 2；但如果两边同时乘以－2（－2 ＜ 0），则得到－6 ＜－2。
2、一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式叫做一元一次不等式。
其一般形式为 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（a ≠ 0）。
解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（如果有分母）；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为 1。
例如，解不等式 2x ＋ 5 ＞ 9：首先，移项得到 2x ＞ 9 5，即 2x ＞ 4；然后，系数化为 1，得到 x ＞ 2。
3、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0（a ≠ 0）的不等式叫做一元二次不等式。
不等关系和不等式的基本性质知识点一．不等关系),,,(≤≥<>要求：能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”，“不小于”等词语的理解. 一．用不等式表示：（1）a 是非负数；______________ （2）x 与5的和不小于0；______________（3）y 与1的差不大于6；___________(4)x 的3倍与8的和比y 的2倍小，用不等式表示为 1.“x 的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是 ( )A.2x －3≤8B.2x －3≥8C.2x －3＜8D.2x －3＞82.在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x 满足( )A 、x ＜8B 、x ＞8C 、x ＜－8或x ＞8D 、－8＜x ＜83.如图，天平右边托盘里的每个砝码的质量都是1千克，则图中显示物体质量的范围是（ ） A.大于2千克 B.小于3千克C.大于2千克且．小于3千克D.大于2千克或．小于3千克4.下列不等关系一定成立的是（ ）A.0>xB.0<-xC.01>+xD.02>x5.如果10<<x ，则下列不等式成立的（ ） A 、x x x 12<< B.x x x 12<< C.21x x x << D.x x x<<21 6.若0x x +=，则x 的取值范围是（ ）A.0x ≤B.0x <C.0x >D.0x ≥ 7.若m 满足|m|＞m ，则m 一定是( )A.正数B.负数C.非负数D.任意有理数知识点二．不等式的基本性质：若b a >，则ac ? bc 若a=b ，则ac = bc性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不改变。
符号表示：如果b a >，那么c b c a +>+,c b c a ->-性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不改变。
关于不等式的基本性质的高考数学知识点总结不等式是数学中非常重要的概念之一，它在数学的各个领域和实际问题中有着广泛的应用。
在高考数学中，不等式也是一个考查频率较高的知识点。
下面是对不等式的基本性质的总结：1.不等关系性质不等关系具有自反性、对称性、传递性。
即对任意实数a，b，有：自反性：a≥a，a≤a对称性：如果a≥b，则b≤a；如果a≤b，则b≥a传递性：如果a≥b，b≥c，则a≥c；如果a≤b，b≤c，则a≤c2.加减性质对于不等式a<b和任意实数c，有：a+c<b+ca-c<b-c3.乘除性质(1)正数乘除：对于不等式a<b，如果c是正数，则有：正数乘性：ac < bc正数除性：如果c是正数且c≠0，则有：a/c<b/c(2)负数乘除：对于不等式a<b，如果c是负数，则有：负数乘性：ac > bc负数除性：如果c是负数且c≠0，则有：a/c>b/c(3)双边不等式乘除：对于不等式a<b和任意非零实数c，有：a/c<b/c（当c>0时）a/c>b/c（当c<0时）4.基本不等式基本不等式是指在特定条件下，可以将不等式简化为更为简单形式的不等式。
(1)三角形不等式：对于三角形的三边长a，b，c，有：a+b>ca+c>bb+c>a(2) 平均值不等式：对于任意n个非负实数a1，a2，...，an，有：平均值不等式：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)5.同向不等式同向不等式的性质和解法与等式类似。
对于同向不等式，如果对不等号两边同时乘除以同一个正数，或者对不等号两边同时乘除以同一个负数，则不等号方向不变。
例如，对于不等式2x+1<3x-2，可以同时减去2x，得到1<-2x-2，再同时减去1，得到0<-2x-3，再同时乘以(-1/2)，得到0>(2x+3)/2，最后反转不等号得到(2x+3)/2<0。
不等式与不等关系一、概念引入不等式是数学中的一种重要概念，与等式相对应。
不等式表示了数值之间的大小关系，常用于描述实际问题中的约束和条件。
不等式由不等号连接的两个数或表达式组成，不等号可以是大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）或小于等于号（≤）。
二、基本性质1. 不等式的传递性不等式的传递性指若a>b 且b>c，则有a>c。
例如，若3>2 且2>1，则有 3>1。
2. 不等式的加减运算性质若 a>b，则 a+c>b+c。
例如，若 3>2，则有 3+1>2+1。
3. 不等式的乘除运算性质当 c>0 时，若 a>b，则 ac>bc。
例如，若 3>2，则有 3×2>2×2。
当c<0 时，不等号方向反向。
三、一元一次不等式一元一次不等式是指只包含一个未知数，并且该未知数的最高次幂为一次的不等式。
例如，2x+3>5、4x-1<10等都是一元一次不等式。
解一元一次不等式的方法包括图解法、试值法和代数法。
图解法将不等式表示在数轴上，利用数轴的方向性确定不等式的解集。
试值法则通过给定一个试探值，并代入不等式中验证是否成立。
代数法则通过一系列的变形和运算，将不等式化简为更简单的形式，从而求得解集。
四、二元一次不等式组二元一次不等式组是指包含两个未知数的一次不等式的系统。
常用于描述平面上的几何关系和约束条件。
解二元一次不等式组一般采用图解法。
将两个不等式表示在二维直角坐标系中，分别确定两个不等式的解集，然后找出二者的交集区域，即为不等式组的解集。
五、不等关系不等关系是用于比较两个不等式的关系。
常见的不等关系包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）以及不等于（≠）。
不等关系可以根据两个不等式之间的关系，利用布尔运算（与、或、非）进行合并和推导。
教学过程
一、复习预习 1.理解不等号的意义：
大于： > 小于： < 大于等于： ≥ 小于等于： ≤
不大于：≤ 不小于： ≥
2.用不等号连接下列式子：
－2 > －3， a 2
≥ 0， x ＋5 > x ＋2， －a －1 > －a －6， 2
1- > 31-. 二、知识讲解
考点1
不等式的概念：一般地，有符号>，<，≤，≥，≠连接的式子叫做不等式。
考点2
列不等式：列不等式同列方程一样，关键是找出不等关系，常用的表示不等式的关键词有“大 不等关系与不等式的基本性质
适用学科
数学 适用年级 初二 适用区域
北师大版 课时时长（分钟） 60
知识点 不等式的定义
不等式的基本性质 教学目标 知识与技能：理解不等式的概念，学会列不等式，理解不等式的基本性质，
并学会灵活运用；
过程与方法：通过对不等关系的理解，进而探索不等式的性质，使学生能
够从逻辑关系上严谨地分析问题，提高分析和解决问题的能力,学会转化的
数学思想方法；
情感态度与价值观：使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与性质的学习
活动中，不断增强主体意识，综合意识。
教学重点
用不等式表示实际问题中的不等关系，并用不等式研究含有不等关系的问题，掌握不等式的基本性质。
教学难点 用不等式准确表示出不等关系，灵活运用不等式的性质。
于”“小于”“不大于””不小于”“超过”“至多”“非负”等。
考点3
不等式的性质：（1）不等式的两边都加上或者减去同一个整式，不等号的方向不变；用字母表示：若a>b,则有a+c>b+c,a-c>b-c 。
（2）不等式的两边都同时乘或者除以同一个正数，不等号的方向不变；用字母表示：若a>0,b>0,则ac>bc,c
b c a >。
（3）不等式的两边都同时乘或者同一个负数，不等号的方向要改变，用字母表示：若a>b,c<0,则ac<bc,c
b c a <。
易错点1
对文字语言理解不准确，不等关系的表示有两种：文字语言与符号语言，对“不大于”“不小于”“至少”“非负数”等文字的理解是将文字语言转化为符号语言的关键，易出现的错误是对某些文字语言理解的不准确，从而导致解题错误。
易错点2
应用不等式的基本性质3时，忽略改变不等号的方向，一定要注意当不等式的两边同时乘以 或者除以一个负数时要改变不等号的方向。
三、例题精析
【例题1】
【题干】 某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t （℃）的变化范围是（ ）
A ．t ＞33
B ．t≤24
C ．24＜t ＜33
D ．24≤t≤33
【答案】D
【解析】
根据不等式的性质，由题意某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，用不等式把它表示出来．
【例题2】 【题干】
①x+y=1；②x≤y；③x -3y ；④x 2-3y ＞5；⑤x＜0中属于不等式的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【答案】B
【解析】
①中不含有不等号，所以不是不等式；
②中含有不等号，所以是不等式；
③中不含有不等号，所以不是不等式；
④中含有不等号，所以是不等式；
⑤中含有不等号，所以是不等式．
故是不等式的有②④⑤．
故选B ．
【例题3】
【题干】 下列不等式总成立的是（ ）
A ．4a ＞2a
B ．a 2＞0
C ．a 2＞a
D ．02
12≤-a 【答案】D
【解析】
A 、a 为0或负数时不成立，
B 、a=0时不成立，
C 、a=0时不成立，
D 、正确．
故选D ．
四、课堂运用
【基础】 已知ab=4，若-2≤b≤-1，则a 的取值范围是（ ）
A ．a≥-4
B ．a≥-2
C ．-4≤a≤-1
D ．-4≤a≤-2
【答案】D
【解析】
根据条件可以求得b=
a
4，然后将b 的值代入不等式-2≤b≤-1，通过解该不等式即可求得a 的取值范围． 【巩固】
若a ＞b ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A ．a+m ＞b+m
B ．a （m 2+1）＞b （m 2+1）
C.2
2b a -<- D ．a 2＞b 2
【答案】D
【解析】A 、根据不等式的基本性质1，不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变，故a+m ＞b+m 一定成立，故此选项不合题意；
B 、根据不等式的基本性质2，不等式两边同时乘以同一个正数，不等号的方向不变，故a （m 2+1）＞b （m 2+1）一定成立，故此选项不合题意；
C 、根据不等式的基本性质2，不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变，22b a -<-一定成立，故此选项不合题意
D 、根据不等式的基本性质，a ，b 若都为负数，a 2＞b 2不成立，故a ＞b ，则不一定成立的是a 2＞b 2，故此符合题意。
【拔高】 已知a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么下列判断正确的是（ ）
A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞a
B ．1+a ＞a ＞1-b ＞-b
C ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a
D ．1+a ＞1-b ＞a ＞-b
【答案】C
【解析】
∵a＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，
∴-b ＞a ，1+a ＞-b ，∴1-b ＞1+a ，
∴1-b ＞1+a ＞-b ＞a ．
故选C 。
课程小结
不等关系的正确理解，以及不等式的基本性质：
（1）不等式的两边都加上或者减去同一个整式，不等号的方向不变；
（2）不等式的两边都同时乘或者除以同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式的两边都同时乘或者同一个负数，不等号的方向要改变。
课后作业
【基础】 已知a ＞b ，若c 是任意实数，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A 、 a+c ＜b+c C 、 ac ＜bc
B 、 a-c ＞b-c D 、 ac ＞bc 【答案】B
【解析】
A 、∵a ＞b ，c 是任意实数，∴a+c ＞b+c ，故本选项错误；
B 、∵a ＞b ，c 是任意实数，∴a-c ＞b-c ，故本选项正确；
C 、当a ＞b ，c ＜0时，ac ＜bc ，而此题c 是任意实数，故本选项错误；
D 、当a ＞b ，c ＞0时，ac ＞bc ，而此题c 是任意实数，故本选项错误．
故选B．
【巩固】
下列不等关系中，正确的是（）
A、a不是负数表示为a＞0；
B、x不大于5可表示为x＞5
C、x与1的和是非负数可表示为：x＋1＞0
D、m与4的差是负数可表示为m－4＜0
【答案】D
【解析】用不等式表达数量关系
【拔高】
若，则下列式子错误的是
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】
不等式的性质有三个
1，不等式两边同加同减一个数或一个式子，不等号不变。
2，不等式两边同乘同除一个数或一个式子（大于零），不等号不变。
3，不等式两边同乘同除一个数或一个式子（小于零），不等号改变。
