第二类曲线积分与第二类曲面积分

第21章曲线积分和曲面积分的计算教学目的： 教学重点和难点：§ 1第一类曲线积分的计算设函数_/a ，y,z)在滑腻曲线/上有槪念且持续，/的方程为z = z(t)则“(3比)& = J:/［兀⑴，M)，乙(01F ⑴+严⑴+乙'"/)〃 »特别地，若是曲线/为一条滑腻的平面曲线，它的方程为y = 0(x)，(a<x<b),那例：设/是半圆周 x = a cost, y = asint, OS/S/r 。

求 (x 2 + y 2 )ds »例：设/是曲线b =4x±从点0(0,0)到点A(l,2)的一段，计算第一类曲线积分［yds . 例：计算积分［xv/5 ,英中/是球面，+),2+?2=“2被平而x+y + z = 0截得的圆周。

例：求/=J(x + y)c/s,此处/为连接三点O (0,0), A(l,0), B(l,l)的直线段。

§ 2第一类曲面积分的计算一曲面的面积(1) 设有一曲而块S,它的方程为z = /(x,y)。

/(x,y)具有对x 和y 的持续偏导数，即此曲而是滑腻的，且其在XY 平而上的投影为可求面积的。

则该曲而块的面积为 S 叮阿 + 代 dxdy。

x = x(u,v)（2）若曲而的方程为< y = y(“，“)，令E = X； + K + Z：，F = xx v + y u y v + gj ,uZ = Z(u.v)G = Xy + y； + Zy 9则该曲面块的面积为S = JJ J EG - F，di小。

V例：求球而X2 + y2 + Z2= a2含在柱而X2 + y2 = or （a > 0）内部的而积。

例：求球而x2 + F +分=a2含在柱而” +〉,2 =心（° > o）内部的而积。

二化第一类曲面积分为二重积分（1）设函数0（兀,”2）为概念在曲而S上的持续函数。

曲线积分和曲面积分论文引言曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念，具有广泛的应用领域。

本论文旨在介绍曲线积分和曲面积分的概念和计算方法，并讨论在实际应用中的一些应用情况。

曲线积分在微积分中，曲线积分用于计算沿一条曲线的函数的积分。

曲线积分有两种类型：第一类是沿曲线的弧长对函数进行积分，称为第一类曲线积分，第二类是对曲线上的函数在曲线元素上积分，称为第二类曲线积分。

第一类曲线积分第一类曲线积分表示为：$$ \\int_C f(x, y) ds $$其中，f(f,f)是曲线上的函数，ff表示沿曲线元素的弧长。

计算第一类曲线积分的方法通常包括参数化曲线和坐标变换两种。

例如，计算函数f(f,f)=f2+f2在曲线 $C: x = \\cos(t), y = \\sin(t), 0 \\leq t \\leq 2\\pi$ 上的第一类曲线积分。

首先，通过参数化得到曲线的弧长元素：$$ ds = \\sqrt{\\left(\\frac{dx}{dt}\\right)^2 +\\left(\\frac{dy}{dt}\\right)^2} dt $$代入曲线方程得到：$$ ds = \\sqrt{\\left(-\\sin(t)\\right)^2 +\\left(\\cos(t)\\right)^2} dt = dt $$然后，将函数和弧长元素代入积分得到：$$ \\int_C f(x, y) ds = \\int_0^{2\\pi} (1) dt = 2\\pi $$第二类曲线积分第二类曲线积分表示为：$$ \\int_C \\mathbf{F} \\cdot d\\mathbf{r} $$其中，$\\mathbf{F}$ 是曲线上的向量函数，$d\\mathbf{r}$ 表示曲线元素。

计算第二类曲线积分的方法通常包括参数化曲线和曲线方程两种。

例如，计算向量函数 $\\mathbf{F}(x, y) = (x, y)$ 沿曲线 $C: x = \\cos(t), y = \\sin(t), 0 \\leq t \\leq 2\\pi$ 的第二类曲线积分。

习题10.21. 把下列第二类曲线积分化为第一类曲线积分.(1) 2d d Cx y x x y -⎰, 其中C 为曲线3y x =上从点(1,1)--到点(1,1)的弧段； (2) d d d LP x Q y R z ++⎰, 其中L 为曲线32===t z t y t x ,,上相应于参数t 从0变到1的弧段.2. 计算曲线积分22()d d OAx y x xy y -+⎰，其中O 为坐标原点，点A 的坐标为(1,1)：(1) OA 为直线段x y =； (2) OA 为抛物线段2=x y ； (3) OA 为0=y ,1=x 的折线段. 3. 计算下列第二类曲线积分：(1)d d ||||C x yx y ++⎰，其中C 为1||y x =-上从点(1,0)经点(0,1)到点(1,0)-的折线段；(2) d d C y x x y +⎰, 其中C 为⎩⎨⎧==t a y t a x sin ,cos π:04t ⎛⎫→ ⎪⎝⎭； (3) 222()d 2d d Ly z x yz y x z -+-⎰, 其中L 为⎪⎩⎪⎨⎧===32t z t y t x ,,(:01)t →.(4) ()d ()d ()d L z y x x z y y x z -+-+-⎰, 其中L 为椭圆221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩且从z 轴正向看去, L 取顺时针方向.4. 计算下列变力F 在质点沿指定曲线移动过程中所作的功.(1) ),(2xy y x -=F , 沿平面曲线34()(,)t t t =r 从参数0t =到1t =的点. (2) ),,(22z xy x =F , 沿空间曲线2()(sin ,cos ,)t t t t =r 从参数0t =到π2t =的点. 5. 设变力F 在点(,)M x y 处的大小||||||||k =F r ，方向与r 成2π的角, 其中OM =r (图10-38)，试求当质点沿下列曲线从点)0,(a A 移到点),(a B 0时F 所作的功：(1) 圆周222=+a y x 在第一象限内的弧段； (2) 星形线323232=+a y x 在第一象限内的弧段.6. 在过点(0,0)O 和(π,0)A 的曲线族sin (0)y a x a =>中，求一条曲线C ，使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)d (2)d Cy x x y y +++⎰的值最小.7. 把第二类曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化为第一类曲面积分：(1) ∑为平面x z a +=被柱面222x y a +=所截下的部分, 并取上侧；图 10-38xyOM (x , y )Fr(2) ∑为抛物面222y x z =+被平面2y =所截下的部分, 并取左侧. 8. 计算下列第二类曲面积分：(1) 2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为平面1x y z ++=位于第一卦限部分, 并取上侧；(2) 22d d xy z x y ∑⎰⎰, 其中∑为球面2222=++R z y x 的下半部分, 并取外侧；(3)2e d d e d d d d yxy z y z x xy x y ∑++⎰⎰, 其中∑为抛物面22z x y =+ (01x ≤≤,1≤≤0y ), 并取上侧；(4)222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为球面2221xy z ++=位于第二卦限部分,并取外侧； (5)d d d d d d xy y z yz z x zx x y ∑++⎰⎰, 其中∑为平面0x =, 0y =, 0z =和1x y z ++=所围立体的表面, 并取外侧；(6) 2222d d d d x y z z x y x y z ∑+++⎰⎰, 其中∑为圆柱面222x y R +=与平面z R =和z R =- (0)R >所围立体的表面, 并取外侧；(7)d d (1)d d y z x z x y ∑-++⎰⎰, 其中∑为圆柱面4=+22y x被平面2=+z x 和0=z 所截下的部分, 并取外侧； (8)2d d d d d d y y z x z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为螺旋面cos x u v =，sin y u v =，z v =，(01u ≤≤, 0πv ≤≤), 并取上侧.9. 计算下列流场在单位时间内通过曲面∑流向指定侧的流量：(1) ),(),,(222z y x z y x =v , ∑为球面1=++222z y x 第一卦限部分, 流向上侧； (2) ),,(),,(22y xy x z y x =v , ∑为曲面22+=y x z 和平面1=z 所围立体的表面, 流向外侧.。

第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分一 基本概念定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d lim(,)nkkkL AB T k f x y s f sλξη→==∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()()01(,,)d lim(,,)nkkkk L AB T k f x y z s f s λξηζ→==∆∑⎰其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或(,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。

物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。

定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d (,)d lim[(,)(,)]nkkkk k k L AB T k P x y x Q x y y f xf y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰()01lim[(,,)(,,)(,,)]nkkkk k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。

物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。

二 基本结论定理1 （第一类曲线积分的性质） （1）无向性()()(,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLk f x y s k f x y s =⎰⎰；(2)[(,)(,)]d (,)d (,)d LLLf x yg x y s f x y s g x y s ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰．（4）弧长公式d Ls L =⎰(L 表示曲线L 的弧长)．（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换． （6）奇偶性与对称性 如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称，()(,)d L AB f x y s ⎰存在，则()()0,(,)(,)d 2(,)d (,)L AB L OB f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于是奇函数,，关于是偶函数.其中O 点是曲线弧段()L AB 与y 轴的交点．定理2 （第二类曲线积分的性质） （1）有向性()()(,)d (,)d L AB L BA P x y x P x y x =-⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLkf x y x k f x y x =⎰⎰；(2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L Lf x yg x y x f x y x g x y x ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y x f x y x f x y x =+⎰⎰⎰．定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）()()d d d d d d d d d d L AB L AB xy z P x Q y R z P Q R s ss s ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰()(cos cos cos )d L AB P Q R s αβγ=++⎰()d L AB =⋅⎰F s其中cos ,cos ,cos αβγ是曲线AB 上的点的切线的方向余弦，且d cos d ,d cos d ,d cos d x s y s z s αβγ===一般地，积分曲线的方向余弦是变量。

第十章 第二类曲线与曲面积分§1.1 第二类曲线与曲面积分网络图§1.2 内容提要与释疑解难一、第二类曲线积分定义若矢量函数()()()(){}z y x R z y x Q z y x P z y x A ,,,,,,,,,,= 与曲线ABΓ上点(x,y,z>处切线地单位矢量{}γβαcos ,cos ,cos 0=(且0地方向AB Γ指定地方向一致>地点乘积在AB Γ上地第一类曲线积分().0ds T A AB ⋅⎰Γ存在 该积分值称为()z y x A ,, 沿曲线Γ从A 到B 地第二类曲线积分. ()ds T A 0⋅⎰Γ地物理意义是：当流体流速为 沿闭合曲线Γ指定地方向通过地环流量.注：由定义知第二类曲线积分是特殊地第一类曲线积分.若把A .0T 看成数量函数,这个积分也具有第一类曲线积分地性质.由定义容易得到下面两个性质 性质1()()dsT A ds T A BA AB0 ⋅-=⋅⎰⎰ΓΓ 注：等式左右两边地0T 正好相差一个符号.性质 2 若有向曲线AB Γ是由有向曲线AC Γ,CB Γ首尾相接而成,则()()().000ds T A ds T A ds T A CB AC AB⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰ΓΓΓ记 {}{}.,,cos ,cos ,cos 0dz dy dx ds ds T s d ===γβα注：dx x ds =∆=αcos 是ds 在x 轴上地有向投影,当α为锐角,0>dx ,当α为钝角,0<dx ,0,2==dx πα,而dz dy ,是ds 分别在y 轴,z 轴上地有向投影,从而第二类曲线积分五种形式之一出现：()()()()()()()().,,,,,,,,,,,,cos cos cos 0⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓΓΓΓ++=++=⋅=++=⋅ABABABABAB ABABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P dz z y x R dy z y x Q dx z y x P s d A dsR Q P ds T Aγβα第二类曲线与曲面积分第二类曲线.积分概念性质 计算曲线积分与路径无关性 第二类曲面.积分 概念性质 计算 各类积分的联系 格林公式 高斯公式斯托克斯公式 应用 功 环流量流量 场论散度旋度而常常以形式()()()⎰Γ++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ,,,,,,出现地较多,如果是直接计算,不论是给哪一种形式出现,都需化成()()()⎰Γ++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ,,,,,,地形式<最后一种形式和上面形式实际上是相同地）若曲线()()()⎪⎩⎪⎨⎧===Γt z z t y y t x x AB:,为光滑曲线且起点A 对应地参数为A t ,终点B 对应地参数为B t ,则 ()()()⎰Γ++ABdzz y x R dy z y x Q dx z y x P ,,,,,,()()()()()()()()()()()()()()()[].,,,,,,dt t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P B At t ⎰'+'+'=必须注意,公式中地A t ,B t 一定要与曲线地起点A 终点B 相对应.即化成t 函数地定积分时,积分地下限必须是起点A 对应地参数,积分地上限必须是终点B 对应地参数,至于上下限谁大谁小不受限制,这一点与第一类曲线积分化为一元函数定积分时,下限一定小于上限地限制是不同地.而平面上地第二类曲线积分,是空间第二类曲线积分地特殊情况,这是,()()y x Q Q y x P P r ,,,,2===π,即为()().,,⎰Γ+ABdy y x Q dx y x P格林<Green ）公式 若函数()()y x Q y x P ,,,在有界闭区域D 上具有连续地一阶偏导数,则⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+ΓD dxdy y P x Q Qdy Pdx ,这里Γ为区域D 地边界曲线,并取正向.格林公式也可借助行列式来记忆⎰⎰⎰∂∂∂∂=+ΓDdxdy QP y x Qdy Pdx . 注意：这里x ∂∂与Q 乘积指地是.xQ Q x ∂∂=∂∂ 定义 没有洞地平面区域,称为平面单连通区域,有洞地连通区域称为复连通区域. 定理 设在单连通区域D 内,P ,Q 具有连续地一阶偏导数且,xQy P ∂∂≡∂∂则环绕同一些洞<如图10-1）地任何两条闭曲线<取同方向）上地曲线积分相等.平面曲线积分与路径无关性定理设2R D ⊂是平面单连通区域,若函数()()y x Q y x P ,,,在区域D内具有连续地一阶偏导数,则以下四个条件等价：<1）沿D 中∆一按段光滑地闭曲线L ,有0=+⎰LQdy Pdx ；<2）对D 中任一按段光滑曲线Γ,曲线积分⎰Γ+Qdy Pdx 与路径无关,只与Γ地起点和终点有关；<3）Qdy Pdx +是D 内某一些函数()y x u ,地全微分,即在D 内存在一个二元函数()y x u ,,使Qdy Pdx du +=,即Q yu P x u =∂∂=∂∂,； <4）在D 内每一点处,有.xQy P ∂∂=∂∂ 斯托克斯<Stokes ）公式 设光滑曲面S 地边界曲线L 是按段光滑地连续曲线,若()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,在S <连同L ）上具有连续地一阶偏导数,则.⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++S L dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R Rdz Qdy Pdx 其中S 地侧面与L 地方向按右手法则确定由定理地证明过程可知,只要以L 为边界且符合定理条件地曲面S ,结论都成立,从而我们在利用Stokes 公式时,寻找以L 为边界地较简单曲面S ,比如平面上地圆面,椭圆面,三角形平面或球面等等,以利于解决问题.定义 若空间区域V 中任意地封闭曲线L,都可以找以L 为边界地曲面V S ⊂,则V 为线单连通区域.空间曲线积分与路径无关性定理设3R ⊂Ω为空间线单连通区域,若函数P 、Q 、R 在Ω上具有连续地一阶偏导数,则以下四个条件是等价地：<1）对于Ω内任一按段光滑地封闭曲线L ,有0=++⎰LRdz Qdy Pdx ；<2）对于Ω内任一按段光滑地曲线Γ,曲线积分⎰Γ++Rdz Qdy Pdx 与路径无关,仅与起点、终点有关；<3）Rdz Qdy Pdx ++是Ω内某一函数地全微分,即存在Ω内地三元函数()z y x u ,,,使Rdz Qdy Pdx du ++=,即R zu Q y u P x u =∂∂=∂∂=∂∂,,； <4）zPx R y R z Q x Q y P ∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂,,在Ω内处处成立. 即()Ω∈≡z y x A rot ,,,0 ,其中()()()(){}z y x R z y x Q z y x P z y x A ,,,,,,,,,,=.图10-1二、第二类曲面积分定义 若矢量函数()()()(){}z y x R z y x Q z y x P z y x A ,,,,,,,,,,=与曲面S 在曲面上点()z y x ,,处单位法向量{}γβαcos ,cos ,cos 0=n <0n地方向与曲面S 指定地方向相同）地点乘积在S 上地第一类曲面积分()d S n A S⎰⎰⋅0存在,该积分值称为()z y x A ,, 沿定侧曲面S 上地第二类曲面积分.()⎰⎰⋅SdS n A 0 地物理意义是当流速为A地不可压缩流体,通过封闭曲面S 沿指定侧地S 流量.由定义知第二类曲面积分是特殊地第一类曲面积分,若把0n A ⋅看成一个数量函数,这时为第一类曲面积分,也具有第一类曲面积分地性质.由定义知第二类曲面积分具有下面两条性质性质1 ()()⎰⎰⎰⎰-+⋅-=⋅S S dS n A dS n A 00 .性质2()()().21⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⋅=⋅S S SdS n A dS n A dS n A其中S 1,S 2地侧与曲面S 地侧相同且S =S 1+S 2,S 1,S 2只有公共边界.设{}{}dxdy dzdx dydz dS dS n S d ,,cos ,cos ,cos 0===γβα ,其中rdS dxdy cos =,称为dS 在Oxy 平面上地有向投影,当r 为锐角时,0>dxdy ,当r 为钝角时,0<dxdy ,当2π=r 时,0=dxdy .我们可以证明r r r cos 2sgn cos ⎪⎭⎫⎝⎛-=π.事实上,当r 为锐角时,,12sgn ,0cos =⎪⎭⎫⎝⎛->r r π知r r r cos 2sgn cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π,当r 为钝角时,,12sgn ,0cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-<r r π知r r r cos 2sgn cos ⎪⎭⎫⎝⎛-=π,当r 为2π时,,02sgn ,0cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=r r π知r r r cos 2sgn cos ⎪⎭⎫⎝⎛-=π. 从而.2sgn cos 2sgn cos σππd r dS r r rdS dxdy ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==同理可知ααπαcos 2sgn cos ⎪⎭⎫⎝⎛-=,ββπβcos 2sgn cos ⎪⎭⎫⎝⎛-=,且σαπd dydz ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sgn ,.2sgn σβπd dzdx ⎪⎭⎫⎝⎛-=其中⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,1,0,0,0,1sgn x x x x 第二类曲面积分常常以下面五种形式之一出现：()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=++=⋅=++=⋅SSSSSSS dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P d A dSr R Q P dS n A .,,,,,,,,,,,,cos cos cos 0βα如果是直接计算,无论是以哪一种形式给出,一定要化下面形式()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰++SSSdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,来计算,而且每一项要分别计算再相加,我们以计算()⎰⎰Sdxdy z y x R ,,为例.要求光滑曲面S 一定要表示成()()xy y x y x z z σ∈=,:,<其中σxy 是曲面S 在Oxy 平面上地投影区域）,且要求曲面S 上每一点<x,y,z ）处地法向量与Oz 轴地夹角或者全是锐角或者全是钝角<曲面上个别曲线地法向量可以为2π）或者全是2π.如果做不到上述要求,需把S 分成几块,使得每一块能做到上述要求,然后根据第二类曲面积分性质,把S 上地第二类曲面积分化为小块曲面上地第二类曲面积分,计算之再相加之即可.现假设S 符合上述要求,即()()xy y x y x z z S σ∈=,,,:,且r 全是锐角或全是钝角或全是2π,此时⎪⎭⎫⎝⎛-r 2sgn π为一常数,则()()()()()()().,,,2sgn 2sgn ,,,cos 2sgn ,,cos ,,,,6⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-==xyxy S S S d y x z y x R r d r y x z y x R dS r r z y x R rdS z y x R dxdy z y x R σσπσππ即r 全为锐角时 ()()().,,,,,⎰⎰⎰⎰=xySd y x z y x R dxdy z y x R σσ即r 全为钝角时()()().,,,,,⎰⎰⎰⎰-=xySd y x z y x R dxdy z y x R σσ即r 全为2π时 ().0,,=⎰⎰Sdxdy z y x R 注：2π=r 时,.02cos==ds dxdy π换句话说如果S 在Oxy 平面上地投影面积为零时,有2π=r ,此时().0,,=⎰⎰Sdxdy z y x R同理可知 计算()⎰⎰Sdydz z y x R ,,时,要求()()yz z y z y x x S σ∈=,,,:<S 在Oyz 平面上地投影区域）α全是锐角或全是钝角或全是2π,此时,()()().,,,2sgn ,,⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=yz Sd z y z y x P dxdz z y x P σσαπ计算()⎰⎰Sdzdx z y x Q ,,时,要求()()zx x z x z y y S σ∈=,,,:<S 在Ozx 平面上地投影区域）β全是锐角或全是钝角或全是2π,此时,()()().,,,2sgn ,,⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=zx Sd z x z y x Q dzdx z y x Q σσβπ高斯<Gauss ）公式 设空间区域V 由分片光滑地闭曲面S 围成,若函数P ,Q ,R 在V 上具有连续地一阶偏导数,则dv z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz V S ⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++,其中S 取外侧.注：以上关于不论是第二类曲线积分或第二类曲面积分地定理都要求P ,Q,R 具有连续地一阶偏导数,这一条件要引起大家地重视.三、场论设()()()(){}z y x R z y x Q z y x P z y x A ,,,,,,,,,,= ,且P ,Q,R 偏导数存在,称函数zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂为向量函数A 在点M <x,y,z ）地散度,记作().,,z y x A div 即().,,z Ry Q x P z y x A div ∂∂+∂∂+∂∂=且散度具有线性运算法则,即().B div A div B A divβαβα+=+其中βα,为常数,B A ,为向量函数,利用散度地概念,高斯公式可写成下列简洁形式.⎰⎰⎰⎰⎰=⋅VS dv A div s d A若(),,,v z y x M ∈∀有0=A div ,称A为无源场,并有下面两个推论.推论1 若在封闭曲面S 所包围地区域V 中处处有0=A div ,则.0=⋅⎰⎰Sd A推论2 如果仅在区域V 中某些点<或子区域上）0≠A div 或A div 不存在,其它点都有0=A div,则通过包围这些点或子区域<称为洞）地V 内任一封闭曲面积分<物理意义为流量）都是相等地,即⎰⎰⎰⎰⋅=⋅210S S ds n A ds n A .其中S 1,S 2是包围之同地任何两个封闭曲面,且法方向沿同侧.定义 设()()(){}z y x R z y x Q z y x P A ,,,,,,,,=,且P ,Q,R 具有一阶偏导,称矢量函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,为矢量函数A 在点M <x,y,z ）处地旋度,记作A rot ,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂=y P x Q x R z P z Q y R A rot ,, 或者形式可写成RQ P z y x k j iA rot ∂∂∂∂∂∂=以便记忆,旋度也具有线性运算法则,即().B rot A rot B A rotβαβα+=+此时斯托克斯公式可写成.⎰⎰⎰⋅=⋅SLd A rot s d A§1.3 解题基本方法与技巧一、第二类曲线积分计算地方法1．()()⎰+Ldy y x Q dx y x P ,,其中L 是平面上简单封闭曲线.<1）若能找到一个单连通区域D ,使D L ⊂,而P ,Q 在D 上具有连续地一阶偏导数,且()D y x yPx Q ∈∂∂=∂∂,,,由平面曲线积分与路径无关性知()().0,,=+⎰L dy y x Q dx y x P <2）若L 包围地区域为Q P ,,σ在σ上具有连续地一阶偏导,但yPx Q ∂∂≠∂∂此时可用格林公式,有()().,,⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂±=+σσd y P x Q dy y x Q dx y x P L 当L 沿正向,取“+”号,沿负向取“一”号.<3）若L 包围地区域σ有洞,在这些洞上,Q P ,或者偏导数不连续或者yPx Q ∂∂≠∂∂,但在其余点,Q P ,具有连续地偏导数且yPx Q ∂∂≡∂∂,此时可找一简单封闭曲线L 1与L 环绕同一些洞且方向一致则由前面给出地复连通区域上地定理知()()()()⎰⎰+=+1,,,,L Ldy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P .而L 1容易化成参数方程且转化成一元函数定积分后,容易计算.<4）若L 容易化成参数方程且转化成一元函数定积分后,容易计算,也可直接化成一元函数积分.2．()().,,⎰Γ+ABdy y x Q dx y x P 其中AB Γ是非封闭地平面曲线,起点()00,y x A ,终点()11,y x B .<1）若能找到一个单连通区域D ,使D AB ⊂Γ,Q P ,在D 上具有连续地一阶偏导数,且yPx Q ∂∂≡∂∂,该曲线积分与路径无关,则()()()().,,,,101010⎰⎰⎰+=+Γy y x x dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P AB<2）若Q P ,偏导数连续,但()AB y x yPx Q Γ∈∂∂≠∂∂,,,且AB Γ化成参数比较方程困难或者化成参数方程转化一元函数定积分很难计算,且加一个简单曲线<比如直线段）构成封闭曲线,则可加一个简单曲线L ,减一个简单曲线L ,即原式⎰⎰⎰⎰⎰+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂±=+-++ΓσL L L Qdy Pdx dxdy y P x Q Qdy Pdx Qdy Pdx AB而二重积分与在L 上地第二曲线积分都容易计算.<二重积分前地“±”号,由曲线L AB +Γ方向确定）<3）若AB Γ容易化成参数方程,且第二类曲线积分转化为一元函数定积分以后容易计算,也可直接转化.3．()()()⎰++Ldz z y x R dy z y x Q dx z y x P ,,,,,,,其中L 为空间简单封闭曲线.<1）若找到一个线单连通区域V ,使R Q P V L ,,,⊂在V 上具有连续地一阶偏导数,且(){}()R Q P A V z y x A rot ,,,,,0=∈=则由曲线积分与路径无关性知.0⎰=++LRdz Qdy Pdx<2）若P ,Q ,R 偏导数连续,但().,,,0L z y x A rot ∈≠可找一个以L 为边界曲线地简单曲面∑,由斯托克斯公式知.⎰⎰⎰∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++L dxdy y P x Q dzdx z R x P dydz z Q y R Rdz Qdy Pdx 要求第二类曲面积分容易计算.<3）若L 容易化成参数方程,且第二类曲线积分化成一元函数定积分后容易计算,也可直接计算.4．()()()⎰Γ++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ,,,,,,,其中AB Γ为空间曲线,起点()000,,z y x A ,终点().,,111z y x B<1）若找到一个线单连通区域V ,使R Q P V AB ,,,⊂Γ在V 具有连续地一阶偏导数,且()V z y x A rot ∈≡,,,0,则该积分与路径无关,则()()().,,,,,,101010110100⎰⎰⎰⎰++=++Γz z y y x x dz z y x dy z y x Q dx z y x P Rdz Qdy Pdx AB<2）若该积分与路径有关,但AB Γ容易化成参数方程,且转化为一元函数定积分后容易计算,可直接计算.5．第二类曲线积分有时也可转化为第一类曲线积分,利用第一类曲线积分来计算. 以上方法请大家灵活使用.二、关于原函数1．在一元函数里,若()x f 连续,则()x f 必有原函数,即使()()y x Q y x P ,,,连续,()()dy y x Q dx y x P ,,+也不一定存在()y x u ,,使.Qdy Pdx du +=若Q P ,在单连通区域D 上具有连续地一阶偏导,且()D y x yPx Q ∈∂∂≡∂∂,,,则()()()C dy y x Q dx y x P y x u y y x x ++=⎰⎰00,,,0,使.Qdy Pdx du +=即Q yuP x u =∂∂=∂∂,,其中()D y x ∈00,<定点）2．同理 若P ,Q ,R 在空间某线单连通区域V 上具有连续地一阶偏导数,且()V z y x A rot ∈≡,,,0 ,则()()()()c dz z y x R dy z y x Q dx z y x P z y x u zz y y x x +++=⎰⎰⎰0,,,,,,,,000,使Rdz Qdy Pdx du ++=,即.,,R zu Q y u P x u =∂∂=∂∂=∂∂其中().,,000V z y x ∈ 3．若曲线积分()()⎰+Ldy y x Q dx y x P ,,与路径无关,Q P ,中含有待求地字母常数,且Q P ,具有连续地偏导数,由曲线积分与路径无关地四个等价条件知yPx Q ∂∂≡∂∂,从中求出待求字母常数.4、利用平面封闭曲线上地第二类曲线积分计算平面图形地面积：在格林公式中,令,,x Q y P =-=有()[]⎰⎰⎰=--=+-ΓDS dxdy xdy ydx 211,因此.21⎰Γ+-=xdy ydx S 其中Γ是有界闭区域D 地边界,沿正向.5．第二类曲线积分地牛顿一莱布尼兹公式若()()()dy y x Q dx y x P y x du ,,,+=,则()()()()()()().,,,,,0011,,1100y x u y x u y x du dy y x Q dx y x P y x B y x A AB-==+⎰⎰Γ若()()()(),,,,,,,,,dz z y x R dy z y x Q dx z y x P z y x du ++=则()()()()()()()().,,,,,,,,,,,,000111,,,,111000z y x u z y x u z y x du dz z y x R dy z y x Q dx z y x P z y x B z y x A AB-==++⎰⎰Γ三、第二类曲面积分计算方法1．()()()⎰⎰∑++dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,<1）若P ,Q ,R 在∑包围地立体区域V 具有连续地一阶偏导数,则⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂±=++∑V dv z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz ,曲面沿外侧取“+”号,曲面沿内侧取“-”号.要求右边三重积分容易计算.<2）若曲面∑包围地立体V 内有洞,而在洞外面,P ,Q ,R 具有连续偏导数,且0≡A div ,{}()R Q P A ,,=,利用推论2转化为与∑包含同一些洞地曲面1∑上地第二类曲面积分,而且沿同一侧方向,即⎰⎰⎰⎰∑∑++=++1Rdxdy Qdzdx Pdydz Rdxdy Qdzdx Pdydz ,要求1∑是简单地曲面,且右边或者直接计算或者化成第一类曲面积分计算.<3）若曲面∑本身也比较简单,也可直接计算或者化成第一类曲面积分计算.2．()()()⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,,其中S 是非封闭地光滑曲面.<1）若直接计算比较困难,而加一个简单曲面S 1构成封闭曲面,且符合高斯定理条件,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂±=++-++=+++111S V S S S SRdxdyQdzdx Pdydz dv z R y Q x P RdxdyQdzdx Pdydz Rdxdy Qdzdx Pdydz Rdxdy Qdzdx Pdydz“±”由曲面法线方向地侧确定,要求右边地三重积分容易计算,后面一项第二类曲面积分直接容易计算.<2）也可直接计算或转化为第一类曲面积分来计算.例 1 在变力k xy j zx i xy F++=地作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面1222222=++c z b y a x 上第一象限地点()ζηξ,,M ,问ζηξ,,取何值时,力F 所作地功W 最大？并求出W 地最大值.解直线段tz t y t x OM ζηξ===,,:,t 从0到1,功W 为ξηζξηζ==++=⎰⎰123dt t xydz zxdy yzdx W OM.下面求ζηξ,,=W 在条件()0,0,01222222≥≥≥=++ζηξζηξcba下地最大值.令().1,,,222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=c b a F ζηξλξηζλζηξ由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂,0,0,0ζηξFF F 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===,2,2,2222ζλξηηλξζξληζc b a 从而222222c b a ζηξ==,即得.31222222===c b a ζηξ于是得.3,3,3c b a ===ζμξ由问题地实际意义知.93max abc W =例2 设位于点<0,1）地质点A 对质点M 地引力大小为2rk<k >0为常数,r 为质点A 与M 之间地距离）,质点M 沿曲线22x x y -=自B (2, 0>运动到O(0, 0><图10-2）. 求在此运动过程中质点A对质点M 地引力所作地功.解 由图10-1{}().1,1,022y x r y x -+==--=引力f 地方向与一致,故{}.1,3y x rkf --=从而,引力所作地 功()[].51113⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-+-=⎰k dy y xdx r k W OB注：因线积分与路径无关,故取沿O B积分得出结果.例 3 计算Γ++⎰Γ,222dz x dy z dx y 为球面2222a z y x =++与圆柱面ax y x =+22交线<0,0>≥a z ）,从Ox 轴正向看去,曲线按逆时针方向,图10-3）.解 将交线Γ改写成参数形式,由圆柱面方程22222⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a y a x ,令 .sin 2,cos 22t a y t aa x ==-并代入球面方程,得.2sin ta z = 于是,得Γ地参数方程为().20,2sin ,sin 2,2cos 2π≤≤===t t a z t a y t a x代入积分式,得⎰Γ++dz x dy z dx y 222.4cos 4cos 2sin 22cos 2cos 2sin 2sin 82cos 22cos cos 22sin 2sin sin 23202320232053233302222a tdt a tdt t a dt t a t t a t a dt t a t a t a t a t a t a πππππ-=-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰⎰2例 4 计算()[]d y x R x y x dx xR cy I 22222ln 24+++++=⎰,其中C 沿上半圆周()0222≥=+y R y x 从点A <-R ,0）到点B <R ,0）<图10-4）图10-3图10-2解 考虑有向直线段BA ,令()[],ln 24222221dy x R x y x dx xR y I BA+++++=⎰由Green 公式<注意曲线方向！）,得⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-=+D dxdy y P x Q I I 1,其中()22222ln 24,x R x y x Q xR y P +++=+=,D 为半圆域.0,222≥≤+y R y x 因为在x 轴上y =0,dy =0,所以I 1=0.故⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-=D dxdy y P x Q I.22144224222222R R dxdy dxdy x R y x R yD D ππ-=⋅-=-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=⎰⎰⎰⎰ 注：如将曲线C 表为22x R y -=或t R y t R x sin ,cos ==直接计算是很麻烦地,一个曲线积分⎰+CQdy Pdx ,如果较难直接计算,应先算一下y P x Q ∂∂-∂∂,如果yPx Q ∂∂-∂∂地表达式较简单,就可用加一个简单曲线<一般为直线段）,减一个该曲线.例5 计算()()⎰--+=BO A yydy xe y dx e xy Icos 12,其中B O A 为由点<-1,1）沿曲线2x y =到点O <0,0）再沿直线y =0到点B<2,0）地路径.解 积分路径见图10-4.().12cos ⎰⎰+--=BO A BO A y y xydx dy xe y dx e I右端第一个积分满足yPe x Q y ∂∂==∂∂,故积分与路径无关. ().11sin 321sin 0121211sin 31212cos 01420120121-+=+++=⋅+⋅+-++=+++-=---⎰⎰⎰⎰⎰⎰e x e dx x dx x x e xydxxydx dy e y dx I BO OA y例 6 计算dy y x yx dx y x y x I L 2222++++-=⎰,其中L 是点A <-a ,0）经上半椭圆()012222≥=+y by a x 到B <a ,0）地弧段< 图10-6）. 解 .,2222y x yx Q y x y x P ++=+-=图10-4图10-5当()()0,0,≠y x 时,().222222x Qy x xy x y y P ∂∂=+--=∂∂ <1）设D 是去掉原点地上半面地区域,则D 是单连通区域,P ,Q 在D 内有连续地偏导数并且<1）式成立,故积分与路径无关. 取C 为点A <-a ,0）经上半圆()0222≥=+y ay x 到B <a ,0）地弧段,并将C 表为0,sin ,cos ====θπθθθ对应的终点对应的起点B A a y a x ,便有()()⎰+++-=Cy x dy y x dx y x I 22()()()()πθθθθθθθπ-=++--=⎰d a a a a a a a 02cos sin cos sin sin cos注：不可取C 为点<-a ,0）经下半圆()0222≤=+y ay x 到B<a ,0）地弧段,即取C 为().0sin ,cos ≤≤-==θπθθa y a x 这是因为,在曲线L 与下半圆周围成地区域内,函数P ,Q 没有连续地偏导数<在点<0,0）偏导数不存在）.或者说,P ,Q 是在全平面除去原点这个复连通区域内有连续地偏导数,就全平面而言,不能保证积分与路径无关.此例,也可将L 表示为()πθθθ≤≤==0sin ,cos b y a x 而直接计算,但比较麻烦. 例7 计算()()⎰+-++=Cyx dxy x dy y x I 2244,其中C 为单位圆周地正向.解法一 将曲线C 表为参数方程()πθθθ20sin ,cos ≤≤==y x ,则()()()().sin 4cos sin sin cos cos sin 4cos 2022θθθθθθθθθπd I ⎰+--++=分项积分,并利用函数地周斯性、奇偶性,得θθθθθθθθππππd d I ⎰⎰--+++=2222sin 4cos cos sin 3sin 4cos ⎰⎰-⋅+=+=2222022cos 4112sin 4cos 2πππθθθθθθd tg d .令θtg u =,便得().2224122πππ=+==+=∞∞-∞∞-⎰u arctg u du I 解法二 ().484.44,4222222222y Py x xy y x x Q y x yx Q y x y x P ∂∂=+-+-=∂∂++=+-=()0.0().≠y x设l为椭圆41422=+y x 地正向即，），终点为（起点为πθθθθ20sin 41,cos 21====y x ,则函数P ,Q 在以C 与l 为边界地复连通区域D 上有连续地偏导数.由复连通区域上地定理知()().2141sin 21sin 41cos 21cos 41sin cos 2144202022πθθθθθθθθππ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-++=⎰⎰⎰d d y x dxy x dy y x I l注：从该题可看出还是用解法二方便. 例8 计算⎰+-L y x ydxxdy 224,其中L 是以点<1,0）为中心,以()1≠R R 为半径地圆周,方向取逆时针方向.解 ()()().0,0,,44.4,4222222222≠∂∂=+-=∂∂+=+-=y x yPy x x y x Q y x xQ y x y P <1） 当R <1时,P ,Q 在以L 为边界地圆域上有连续地偏导数,由关系式<1）可知I =0.当R >1时,取正数a 用C 表示椭圆2224a y x =+,则P ,Q 在以L ,C 为边界地区域上有连续地偏导数,由关系式<1）可知⎰+-=Cy x ydxxdy I 224,这里积分沿逆时针方向.椭圆C 地参数方程是.sin ,cos 2θθa y ax ==故 ().sin 2sin cos cos 2202πθθθθθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰d aa a a a I 例9 计算()()⎰+---=Cyx dy x ydx I 2211其中C 为,1）圆周y y x 222=+地正向；2）曲线2=+y x 地正向.解 ()()()()[].11.11,1222222222y P yx y x x Q yx x Q yx yP ∂∂=+---=∂∂+---=+-=<1）1）在圆周()1122=-+y x 上与该圆地内部,函数P ,Q 均有连续地偏导数,故由Green 公式.0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎰⎰D dxdy y P x Q I2）C 地图形见图10-6.函数P ,Q 及其偏导数在C 地内部有间断点<1,0）.以点<1,0）为中心,在C 地内部作圆周().1:222δ=+-y x l由关系式<1）可知()().1122⎰+---=lyx dyx ydx I l 地参数方程是(),20sin ,cos 1πδδ≤≤=+=t t y t x 故().2cos cos sin sin 20202πδδδδδππ-=-=⋅--=⎰⎰dt dt t t t t I 注：用Green 公式计算曲线积分,必须十分注意“函数P ,Q 在区域具有连续地偏导数这一样条件.如果P ,Q 在闭曲线C 围成地内部除一点外,有连续地偏导数,且.yP xQ ∂∂=∂∂而积分⎰+CQdyPdx 直接计算较难,可以适当选用闭曲线L<不一定是圆）,将原积分化成易于计算地积分⎰+LQdy Pdx .例10 研究曲线积分()()⎰-++-+ABdy y x y dx y xx 1ln 1ln 2222<1）在区域+∞<+<221y x 内是否与路径无关？解：函数()1ln 22-+=y x x P 与()1ln 22-+=y x y Q 在复连通区域+∞<+<221y x 内有连续地偏导数,并且.1222yPy x xy x Q ∂∂=-+=∂∂ <2） 在复连通区域+∞<+<221y x 内任取简单闭曲线C .1）如果原点在C 地外部,则整个圆域122≤+y x 也在C 地外部,则C 地内部全含于区域+∞<+<221y x 内.因P ,Q 在C 上及C 内满足等式<2）.故由Green 公式.0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰D C dxdy y P x Q Qdy Pdx2）如果原点在C 地内部,则整个圆域122≤+y x 都在C 地内部,取正数R 足够大,使曲线C 含于圆域222R y x ≤+地内部,则以C 与圆222R y x =+为边界地闭区域含于区域+∞<+<221y x 地内部,由<2）式与Green 公式可知()()()().1ln 1ln 1ln 1ln 22222222222⎰⎰=+-++-+=-++-+=R y x Cdy y x y dx y xx dy y x y dx y x x I图10-7设t R y t R x sin ,cos ==则()()()()[].0cos 1ln sin sin 1ln cos 2022=-+--=⎰πdt t R R t R t R Rt R I由1）,2）可知,对区域+∞<+<221y x 内地任意闭曲线C ,都有()().01ln 1ln 2222=-++-+⎰Cdy y x y dx y x x 故积分<1）在区域+∞<+<221y x 内与积分路径无关.例11 设曲线积分()⎰+Cdy x y dx xy ϕ2与路径无关,其中()x ϕ具有连续地导数,且()00=ϕ.计算()()()⎰+1,10,02dy x y dx xy ϕ地值.解 由()()(),,,,,2xQ yP x y y x Q xy y x P ∂∂=∂∂==ϕ得()().,22C x x x y xy +='=ϕϕ再由()00=ϕ,得C =0,故().2x x =ϕ所以()()()()().1,10,0221,10,02⎰⎰+=+ydy x dx xy dy x y dx xy ϕ沿直线y =x 从点<0,0）到点<1,1）积分,得()()().212131,10,02==+⎰⎰dx x dy x y dx xy ϕ 例12 设函数()y x Q ,在xoy 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分()⎰+Ldy y x Q xydx ,2与路径无关,并且对任意t 恒有()()()()()(),,2,2,10,01,0,0⎰⎰+=+t t dy y x Q xydx dy y x Q xydx 求().,y x Q解 由曲线积分与路径无关地条件知().22x xy yx Q =∂∂=∂∂于是,()()y C x y x Q ==2,,其中()y C 为待定函数.()()()()[](),,2121021,0,0⎰⎰⎰+=+=+dy y C t dy y C t dy y x Q xydx t()()()()[]().1,202,10,0⎰⎰⎰+=+=+ttt dy y C t dy y C dy y x Q xydx由题设知 ()().0102⎰⎰+=+t dy y c t dy y C t 两边对t 求导,得()().12,12-=+=t t C t C t从而()12-=y y C ,所以().12,3-+=y x y x Q例13 求原函数u ,使()()dy y xy x dx y xy x du 222222--+-+=并解方程()().0222222=--+-+dy y xy x dx y xy x解 由22222,2y xy x Q y xy x P --=-+=y x y P y x x Q 22,22-=∂∂-=∂∂都连续且()2,,R y x yPx Q ∈∂∂=∂∂,选取()20,0R ∈,于是()C y xy y x x C dy y xy xdx x u y x+--+=+--+=⎰⎰3223022231312 且方程地解为.31312223C y xy y x x =--+ 例14 计算()()()()().221,1,10,0,0222⎰-+-+-dz xy z dy xz y dx yz x解法一 设(){}xy z xz y yz x z y x A ---=222,2,2,, 经验证().,,,03R z y x Ar o t ∈≡ 即曲线积分与路径无关.故原式().12313131212102102-=-++=-++=⎰⎰⎰dz z dy y dx x 解法二 因为()()xydz xzdy yzdx dz z dy y dx x du ++-++=2222.23333⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=xyz z y x d 知 ().231222xyz z y x u -++=由第二类曲线积分地牛顿----莱布尼兹公式知 原式=()()().12311,1,10,0,0222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++xyz z y x例15 利用第二类曲线积分计算双纽线()()222222y x a y x -=+所围区域地面积<a >0）.解 <如图10-8所示知） 由双纽线关于两个坐标轴对称,因此只需计算第一象限地面积乘以4即可.利用极坐标变换θθsin ,cos r y r x ==,则双纽线方程为,2cos 22θa r =或θ2cos a r =θθθθ2cos sin ,2cos cos a y a x ==,ABO OA +=Γ,在OA 上,由方程0=y ,有0=+-xdy ydx ,于是.2cos 22142142402a a xdy ydx xdy ydx S ABO==+-⋅=+-⋅=⎰⎰⎰Γπθ例16 计算曲线积分⎰++=cxdz zdy ydx I ,其中由线C 是以A 1<a ,0,0）,A 2(0,a ,0>,A 3<0,0,a ）为顶点地三角形,a >0,<如图10-9所示知）方向是由A 1经A 2、A 3,再回到A 1.解 取以C 为界地三角形块为S ,其侧与C 地正向构成 右旋转系,以()γβαcos ,cos ,cos 记S 上单位法向量n ,则有33cos cos cos ≡==γβα,又因x R z Q y P ===,,,故 图10-8图10-9由斯托克斯公式得⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=s dS y P x Q x R z P z Q y R I γβαcos cos cos ().2333111332321a S dS dS A A A S S-=⋅-=-=---=∆⎰⎰⎰⎰例17 计算曲线积分()()()⎰-+-+-Cdz y x dy z x dx y z ,其中C 是曲线⎩⎨⎧=+-=+,2,122z y x y x 从z 轴正向往z 轴负向看C 地方向是顺时针地.解法一 令θθsin ,cos ==y x ,则θθsin cos 22+-=+-=y x z ,所以()()()()[].212cos 2cos sin 202πθθθθπ-=--+-=-+-+-⎰⎰d dz y x dy z x dx y z C解法二 设S 是平面2=+-z y x 上以C 为边界地有限部分,其法向量与z 轴正向地夹角为钝角,xy D 为S 在xoy 面上地投影域,记()()()y x z x y z F -+-+-=,则.2k x z x y y j rotF =-∂∂=由斯托克斯<Stokes ）公式, ().222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-==⋅=⋅xyD SSCdxdy dxdy dS rotF dl F π例18 计算⎰++Cxdz zdy ydx ,其中C 为圆周0,2222=++=++z y x a z y x ,若从x 轴正向看去,这圆周是依反时针地方向进行地.解法一 由(),z x y +-=得()2222a z z x x =+++,即2222223a x z x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++,令,sin 22,cos 32t ax z t a x =+=则2sin 2x t a z -=与()z x y +-=得曲线C 地参数方程为.cos 31sin 2,cos 31sin 2,cos 32⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==t t a z t t a y t a x 当t 从0增加到π2时,它描出了曲线C 地反向,故⎰⎰⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=++π20sin 32cos 31sin 2t a t t a xdz zdy ydx Cdt t t a t a t t a t t a ⎥⎦⎤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+sin 31cos 2cos 32sin 31cos 2cos 31sin 2,被积函数中含有t t cos sin 地项,积分.0cos sin 20=⎰πtdt t 因此,只剩下含有t 2sin 与t 2cos 地项,即⎰++Cxdz zdy ydx dt t t a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=π20222cos 31321sin 32131 .3232202a dt a ππ-=-=⎰解法二 利用Stokes 公式()⎰⎰⎰⎰⎰++-=∂∂∂∂∂∂=++S SCdS dS xzyz y x xdz zdy ydx γβαγβαcos cos cos cos cos cos ,其中,S 为平面0=++z y x 上以圆周C 为边界地圆域,并且S 地法线与x 轴成锐角.因此.31cos cos cos ===γβα故原式.33332a dS dS SSπ-=-=-=⎰⎰⎰⎰注：从解题过程可知解法二简单. 例19计算()()()⎰-+-+-Cdzy x dy x z dx z y ,其中C 为椭圆222a y x =+,()0,01>>=+h a hza x ,若从Ox 轴正向看去,此椭圆是顺着反时针方向前进地. 解 椭圆如图10-10所示,把平面1=+hza x 上C 所包围地区域记为S ,则S 地法线方向为{}a h ,0,,注意到S 地法线和曲线C 地方向是正向联系地,可知S 地法线与z 轴正向夹角为锐角,因此,⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=22220,0,a h a ah h n ,于是,由斯托克斯公式知 ()()()⎰-+-+-cdz y x dy x z dx z y图10-9().1222cos cos cos 222222222222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤++++-=++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=++-=++-=a y x S SSSd ah h a a h dS h a ah dS h a a h a h dSdxdy dxdz dydz σγβα例20计算()()()⎰+++++Cdz y x dy z x dx z y222222,式中C是曲线Rx z y x 2222=++,()0,0222><<=+z R r rx y x .此曲线是顺着如下方向前进：由它所包围在球面Rx z y x 2222=++上地最小区域保持在左方<图10-11）.解 注意到球面地法线地方向余弦为,cos ,cos ,cos RzR y R R x ==-=γβα由斯托克斯公式,有 原式()()()[]⎰⎰-+-+-=SdS y x x z z y γβαcos cos cos 2 ()()()()⎰⎰⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=S SdS y z dS R z y x R y x z R x z y 212, 因为曲面S 关于Ozx 平面对称,y 关于y 是奇函数,有.0=⎰⎰SydS 于是原式.222cos 222222R r d RRdxdy rdS R zdS rxy x SSSπσ=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+ 例21 计算曲面积分⎰⎰∑-+=dxdy zyzdzdx xzdydz I 22,其中∑是由曲面22y x z +=与222y x z --=所围立体地表面外侧.解 由高斯公式().2cos sin 222034020πϕϕϕθππ===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩdr r d d zdxdydz dv z z z I例22 设∑为曲面1222=++z y x 地外侧,计算曲面积分.333⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 解 由高斯公式,并利用球面坐标计算三重积分,得()⎰⎰⎰Ω++=dv z y x I 2223<Ω是由∑所围成地区域）.512sin 312220πϕϕθππ=⋅=⎰⎰⎰dr r r d d 例23 设对于半空间0>x 内任意地光滑有向封闭曲面S ,都有()()02=--⎰⎰Sxzdxdy e dzdx x xyf dydz x xf ,其中函数()x f 在()+∞,0内具有连续地一阶导数,且图10-11().1lim 0=+→x f x 求()x f .解 由题设和高斯公式得()()y zdxd edzdx x xyf dydz x xf Sx⎰⎰--=20()()()()⎰⎰⎰--+'±=Vx dv e x xf x f x f x 2,其中V 为S 围成地有界闭区域,当有向曲面S 地法向量指向外侧时,取“+”号,当有向曲面S 地法向量指内侧时,取“一”.由S 地任意性,知()()(),0,02>=--+'x e x xf x f x f x x 即 ()()0,1112>=⎪⎭⎫⎝⎛-+'x e x x f x x f x 按一阶线性非齐次微分方程通解公式,有()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰C dx xe e xx e C dx ee x e xf x x x dx x x dx x 21121111 ().C e x e x x +=因为()1lim lim 200=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++→→x Ce e x f x x x x ,故必有()0lim 20=++→xx x Ce e ,从而C =-1.于是()().1-=xx e xe x f例24 设空间区域Ω由曲面222y x a z --=与平面0=z 围成,其中a 为正常数,记Ω表面地外侧为S ,Ω地体积为V .证明().12222V dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz xS=++-⎰⎰证 由高斯公式知()()⎰⎰⎰⎰⎰Ω+=++-dxdydz xyz dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x S2112222 .2⎰⎰⎰Ω+=xyzdxdydz V 因Ω关于xoz 坐标面对称,xyz 是域Ω上关于y 地奇函数,故有.0=⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz 所以,欲证等式成立例25 求曲面积分⎰⎰∑+=dxdy yzdzdx I 2,其中∑是球面4222=++z y x外侧在0≥z 地部分.解 取曲面片⎩⎨⎧=≤+∑,0,4:221z y x 其法向量与z 轴负向相同.设∑和1∑所围成地区域为Ω,则由高斯公式有.21⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑=++zdxdydz dxdy yzdzdx I而,82,042211π-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+∑∑y x dxdy zdxdy yzdzdx所以.1284.4cos sin 222/020ππππϕϕϕθππ=+==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩI dr r r d d zdxdydz例26 计算由面积分()()()⎰⎰∑+++++=dxdy ay z dzdx ax y dydz az xI 232323,其中∑为上半球面222y x a z --=地上侧.解 记S 为平面()2220ay x z ≤+=地下侧,Ω为∑与S 所围成地空间区域. ()()()⎰⎰+∑+++++=Sdxdy ay z dzdx ax ydydz az xI 232323()()()⎰⎰+++++-Sdxdy ay z dzdx ax y dydz az x 232323()⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω+++=22222223a y x dxdy ay dv z y x.20294156sin sin 3555032022/00420a a a dr r d a dr r d d a a πππθθϕϕθπππ=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰例27 计算曲面积分()()⎰⎰∑--++=yzdxdy dzdx y xdydz y I 412182,其中∑是由曲线()310,1≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=-=y x y z 绕y 轴旋转一周所成地曲面,<如图10-12所示知）它地法向量与y 轴正向地夹角恒大于.2π解 取圆片⎩⎨⎧=≤+∑,3,2:221y z x 其法线方向与y 轴正向相同.设∑和1∑所围成地区域为Ω,则由高斯公式,得()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω=--++---+=dv yzdxdy dzdx y xdydz y dv y y y I 14121844182()()ππππππ343223221161123122312221=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=--⎰⎰⎰⎰⎰≤+∑y y dzdx dy y dzdx y z x . 例28 计算()()⎰⎰∑++++2/12222zy xdxdya z axdydz ,其中∑为下半球面222y x a z ---=地上侧,a 为大于零地常数.解法一 ()()()⎰⎰⎰⎰∑∑++=++++=.122/12222dxdy a z axdydz a z y xdxdya z axdydz I 补一块有向平面⎩⎨⎧=≤+-,0,:222z a y x S 其法向量与z 轴正向相反,从而得到图10-12图10-13。

第10章课后习题详解 曲线积分与曲面积分例题分析★★1. 计算ds y x L⎰+)(，其中L 为连接)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B 的闭折线。

知识点：第一类曲线积分.思路: L 由三段直线段组成，故要分段积分.解： 如图L OA =AB +BO +则=+⎰ds y x L)(⎰+OA(⎰+AB⎰+BOds y x ))(10,0:≤≤=x y OA ，dx dx y ds ='+=2)(1，2121)0()(1021==+=+∴⎰⎰x dx x ds y x OA10,1:≤≤-=x x y AB ，dx dx y ds 2)(12='+=， 2221)(1010==⋅=+∴⎰⎰x dx ds y x AB注：利用被积函数定义在AB 上，故总有1),(=+=y x y x f10,0:≤≤=y x BO ，dy dy x ds ='+=2)(12121)0()(1021==+=+∴⎰⎰y dy y ds y x BO2121221)(+=++=+⎰ds y x L. 注：1)⎰⎰+=+BAABds y x ds y x )()(，⎰⎰+=+OBBOds y x ds y x )()(对弧长的曲线积分是没有方向性的，积分限均应从小到大. 2)对AB 段的积分可化为对x 的定积分，也可化为对y 的定积分，但OA 段，OB 段则只能化为对x （或对y ）的定积分.★★2.计算⎰L yds ，其中L 为圆周4)2(222a a y x =-+.知识点：第一类曲线积分.思路: L 为圆周用极坐标表示较简单.解：L 的极坐标方程：πθθ≤≤=0,sin a rθθθθθad d a a d r r ds =+='+=2222)cos ()sin ()(θθ2sin sin a r y ==∴22020222212212sin 2sin a a d aad a yds Lππθθθθππ=⋅⋅==⋅=⎰⎰⎰.★3. 计算曲线积分⎰Γ++ds z y x 2221，其中Γ为曲线tt t e z t e y t e x ===,sin ,cos ,应于t 从0到2的一段弧.知识点：第一类曲线积分.思路: Γ空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式. 解：dt e dt e t e t e dt z y x ds t t t t 3 )sin ()cos ()()()(222222=+'+'='+'+'=∴原式=dt e dt e e tt t-⎰⎰=+⋅2222t 2331e 1)1(2323220---=-=e e t . ★★★1. 计算曲线积分⎰Γ++ds xz z x 22，其中Γ为球面2222R z y x =++与平面0=++z y x 的交线。

第八章 曲线积分和曲面积分我们前面已学过定积分和重积分，当一个函数定义在空间的曲线或曲面时，则要求我们计算曲线积分或曲面积分。

由于物理背景的不同，我们还须区别曲线或曲面的方向性，因此我们要分别研究两种不同类型的积分。

§1 第一型曲线积分与曲面积分１． 第一型曲线积分我们研究如下的一个理想问题，给定空间的一条曲线物体L ，L 上每点有线密度，现在我们要求它的质量。

我们对此问题作如下限制，设L 是空间的可求长曲线，端点为A 和B ，密度函数(,,)f x y z 在L 上定义。

为了求质量，象定积分一样，我们对L 作一分割，01,,,,(,1,2,,,)n j A A A A B A j n L ===L L 在上，这样我们就将L 分成n 小段，设每段的长度为j s V 。

在每段弧长上任取一点ξηςｊｊｊ（，，），作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V以此作为L 质量的近似值。

最后我们令1max{}0j j ns λ≤≤=→V ，即可得到L 质量的精确值M ，即,01lim (,)nj j j j j M f s λξης→==∑V由此我们可得到以下定义 定义设L 是空间可求长曲线，(,,)f x y z 在L 上连续，L 的两个端点为A,B ，依次用分点01,,,n A A A A B ==L 将L 分成n 小段。

每小段弧及弧长均记为j s V ，在j s V 上任取一点(,,)j j j j P ξης=，作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V如果当1max{}0j j ns λ≤≤=→V 时，上述和式的极限存在，且不依赖于L 的分法及j P 的选取，则称这一极限值为(,,)f x y z 。

在L 上的第一型曲线积分，记作(,,)Lf x y z ds ∫。

第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质，如关于被积函数的线性及关于曲线的可加性，它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。