线性代数 向量空间

第五节 向量空间分布图示★ 向量空间 ★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 子空间 ★ 例6 ★ 例7 ★ 向量空间的基与维数 ★ 例8 ★ 例9 ★ 向量在基下的坐标 ★ 例10 ★ 关于集合的坐标系的注记 ★ 例11 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-5内容要点一、向量空间与子空间定义1 设V 为n 维向量的集合,若集合V 非空,且集合V 对于n 维向量的加法及数乘两种运算封闭, 即(1) 若,,V V ∈∈βα则V ∈+βα; (2) 若,,R V ∈∈λα则V ∈λα. 则称集合V 为R 上的向量空间.记所有n 维向量的集合为n R , 由n 维向量的线性运算规律,容易验证集合n R 对于加法及数乘两种运算封闭. 因而集合n R 构成一向量空间, 称n R 为n 维向量空间.注：3=n 时, 三维向量空间3R 表示实体空间;2=n 时, 维向量空间2R 二表示平面; 1=n 时, 一维向量空间1R 表示数轴. 3>n 时, n R 没有直观的几何形象.定义2 设有向量空间1V 和2V , 若向量空间21V V ⊂, 则称1V 是2V 的子空间.二、向量空间的基与维数定义3 设V 是向量空间, 若有r 个向量V r ∈ααα,,,21 , 且满足 (1) r αα,,1 线性无关;(2) V 中任一向量都可由r αα,,1 线性表示.则称向量组r αα,,1 为向量空间V 的一个基, 数r 称为向量空间V 的维数,记为r V =dim 并称V 为r 维向量空间.注: (1) 只含零向量的向量空间称为0维向量空间, 它没有基;(2) 若把向量空间V 看作向量组,则V 的基就是向量组的极大无关组, V 的维数就是向量组的秩;(3) 若向量组r αα,,1 是向量空间V 的一个基,则V 可表示为}.,,,,|{2111R x x V r r r ∈++==λλλαλαλ此时, V 又称为由基r αα,,1 所生成的向量空间. 故数组r λλ,,1 称为向量x 在基r αα,,1 中的坐标.注: 如果在向量空间V 中取定一个基r a a a ,,,21 , 那么V 中任一向量x 可惟一地表示为,2211r r a a a x λλλ+++=数组r λλλ,,,21 称为向量x 在基r a a a ,,,21 中的坐标.特别地, 在n 维向量空间n R 中取单位坐标向量组n e e e ,,,21 为基,则以n x x x ,,,21 为分量的向量x ,可表示为,2211n n e x e x e x x +++= 可见向量在基n e e e ,,,21 中的坐标就是该向量的分量. 因此n e e e ,,,21 叫做n R 中的自然基.例题选讲例1 (E01) 判别下列集合是否为向量空间},,|),,,0({221R x x x x x V n T n ∈== 解 1V 是向量空间. 因为对于1V 的任意两个元素,,,,T n a a )0(2 =α,,,,12)0(V b b T n ∈= β有122)0(V b a b a T n n ∈++=+,,, βα.,,,12)0(V a a T n ∈=λλλα例2 (E02) 判别下列集合是否为向量空间},,|),,,1({222R x x x x x V n T n ∈==解 2V 不是向量空间.因为若,,,,,22)1(V a a T n ∈= α 则.,,,,22)222(2V a a T n ∉= α例3 (E03) 设βα,为两个已知的n 维向量, 集合},|{R V ∈+==μλμβλαξ试判断集合V 是否为向量空间.解 V 是一个向量空间. 因为若,βμαλξ111+=,βμαλξ222+= 则有,V ∈+++=+βμμαλλξξ)()(212121 .V k k k ∈+=βμαλξ)()(111 这个向量空间称为由向量βα,所生成的向量空间.注: 通常由向量组m a a a ,,,21 所生成的向量空间记为}.,,,|{212211R a a a V m m m ∈+++==λλλλλλξ例4 (E04) 设向量组m αα,,1 与向量组s ββ,,1 等价, 记},,,|{},,,|{21221122122111R V R V s s s m m m ∈+++==∈+++==μμμβμβμβμξλλλαλαλαλξ试证: .21V V =证 设,1V ∈ξ 则ξ可由m αα,, 1线性表示.因m αα,, 1可由s ββ,, 1线性表示,故ξ 可由s ββ,, 1线性表示.2V ∈ξ 这就是说，若,1V ∈ξ则2V ∈ξ .21V V ⊂类似地可证:若,2V ∈ξ则1V ∈ξ .12V V ⊂ 因为,21V V ⊂,12V V ⊂所以.21V V =例5 (E05) 考虑齐次线性方程组0=Ax ,全体解的集合为}0|{==ααA S显然, S 非空),0(S ∈ 任取k S ,,∈βα为任一常数, 则Sk k kA k A S A A A ∈===∈+=+=+αααβαβαβα即即,00)(,0)(故S 是一向量空间. 称S 为齐次线性方程组0=AX 的解空间.例6 (E06) 3R 中过原点的平面是3R 的子空间 证明 3R 中过原点的平面可以看作集合()(){}33,,0,,,V R x y z x y z R αβγαβγ=∈++=∈其中若()111,,V αβγ∈,()222,,V αβγ∈,即1112220,0x y z x y z αβγαβγ++=++= 则有121212111()()()0,0x y z k x k y k z ααββγγαβγ+++++=++=即()()111222,,,,V αβγαβγ+∈,()111,,k V αβγ∈故3R 中过原点的平面是3R 的子空间例7 (E07) 向量空间2R 不是3R 的子空间,因为2R 根本不是3R 的子集(3R 中的向量有三个分量,但2R 中的分量却只有两个). 集合 (){},,0,H s t s t R =∈是3R 的与2R 有相同表现的子集,尽管严格意义上H 不同于2R ,见右图. 证明H 是3R 的子空间.证明 任取()()1122,,0,,,0s t s t H ∈,k 为任一常数,则()()1122,,0,,0s t s t H +∈, ()11,,0k s t H ∈因此H 是3R 的子空间.例8 (E08) 证明单位向量组,)1,,0,0,0(,)0,,0,1,0(,)0,,0,0,1(21T n T T ===εεε是n 维向量空间n R 的一个基.证 (1)易见n 维向量组n εεε,,, 21线性无关;(2)对n 维向量空间n R 中的任意一向量,,,,T n a a a )(21 =α有,n n a a a εεεα+++= 2211 即n R 中的任意一向量都可由初始向量线性表出. 因此，向量组,,21εεn ε, 是n 维向量空间n R 的一个基.例9 (E09) 给定向量T T T T )3,1,1(,)1,3,2(,)5,3,1(,)1,4,2(321=-=-=-=βααα试证明:向量组321,,ααα是三维向量空间3R 的一个基, 并将向量β用这个基线性表示.证 令矩阵,,,)(321ααα=A 要证明321ααα,,是3R 的一个基，只需证明;E A → 又设332211αααβx x x ++=或β=Ax则对)(βA 进行初等行变换,当将A 化为单位矩阵E 时，同时将向量β化为.β1-=A X =)(βA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---315113341212行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-410010104001可见，E A →故321ααα,,是3R 的一个基，且.32144αααβ+-=例10 (E10) 考虑2R 的一个基12,αα,其中()()TT121,0,1,2αα==,若2R 的一向量x 在基12,αα的坐标为()T 2,3-,求x . 又若()T4,5y =,试确定向量y 在基12,αα的坐标.解 结合x 在基12,αα的坐标构造x ,即111(2)3026x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设y 在基12,αα的坐标为()T12,λλ,则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54210121λλ 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54201121c c 该方程可以通过增广矩阵上的行变换或利用等号左边矩阵的逆来求解. 无论哪种方法,都能得到方程的解1235,22λλ==. 因此123522y αα=+. 例11 设()()()TTT123,6,2,1,0,1,3,12,7.v v x ==-=判断x 是否属于由12,v v 生成的向量空间. 如果是, 求出x 在12,v v 中的坐标.解 如果x 是属于由12,v v 生成的向量空间,则下列向量方程是有解的:123136012217λλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭若12,λλ存在,它们应该是x 在12,v v 中的坐标. 利用行变换可得3131026012013217000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此122,3λλ==.课堂练习1.设向量组,)14,2(,)0,2,2(,)1,0,1(:321T T T A -===ααα向量组.)4,4,2(,)4,2,1(:21T T B -=-=ββ试证明向量组A 是三维向量空间3R 的一个基,并将向量组B 用这个基线性表示.。