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专题33 双星多星模型卫星的变轨及能量问题拉格朗日点考点一双星模型双星系统：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，而且两颗星与该中心点总在同一直线上，如图，1.两个星体各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm1m2L2＝m1ω21r1，Gm1m2L2＝m2ω22r22.两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω23.两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L4.由m1ω21r1＝m2ω22r2 得：两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即m1m2＝r2r15.双星的总质量公式m1＋m2＝4π2L3T2G推论：L3T2＝kM总6.双星的运动周期T＝2π)(213mmGL1．(多选)我国天文学家通过“天眼”（FAST，500米口径球面射电望远镜）在武仙座球状星团M13中发现一个脉冲双星系统，如图所示，由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若恒星A的质量为3m，恒星B的质量为5m，恒星A和恒星B之间的距离为L，引力常量为G。
下列说法正确的是（）A．恒星A运行的角速度大于恒星B运行的角速度 B．恒星A与恒星B的线速度之比为5:3C．恒星A到O点的距离为35L D．恒星B的运行周期为π√L32Gm【答案】BD【解析】A．由于双星系统在相等时间内转过的圆心角相同，则双星的角速度一定相等，A错误；C．对恒星A有G5m×3mL2=3mω2rA对恒星B有G3m×5mL2=5mω2rB解得rArB=53又由于rA +rB=L解得rA=58L，rB=38L C错误；B．根据v=ωr解得vAvB=53B正确；D．恒星B的运行周期为T=2πω=π√L32GmD正确。
2．（2022·全国·高三课时练习）(多选)天文学家通过观测两个黑洞并合的事件，间接验证了引力波的存在。
该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳质量的36倍和29倍，假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且两个黑洞的间距缓慢减小。
双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。
【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G ）【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。
根据题意有21ωω=①r r r =+21②根据万有引力定律和牛顿定律，有G1211221r w m rm m = ③G1221221r w m rm m =④联立以上各式解得2121m m rm r +=⑤根据解速度与周期的关系知Tπωω221== ⑥联立③⑤⑥式解得322214r GT m m π=+【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.(1)可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m ′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m ′(用m 1、m 2表示).(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式；(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2.7×105 m/s ，运行周期T=4.7π×104s ，质量m 1=6m s ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？（G=6.67×10-11 N ·m 2/kg 2，m s =2.0×1030kg ）解析：设A 、B 的圆轨道半径分别为，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。
双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。
2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。
(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。
(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。
3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。
(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。
(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。
(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。
②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。
(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。
②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。
二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。
双星模型知识点总结双星模型（Dual Star Model）是一种用于研究宇宙中双星系统的模型，这是一种包括一颗恒星和另一颗天体（通常是另一个恒星）的天体系统。
在宇宙中，双星系统是非常普遍的一种天体系统。
在这种系统中，两颗天体围绕着彼此运转，并由于引力相互作用而产生一系列复杂的现象。
因此，研究双星系统可以帮助我们更深入地了解宇宙的一些基本物理规律，例如引力相互作用、恒星演化、宇宙起源等。
双星系统的构成双星系统通常由两种类型的天体组成，分别为主要成员（Primary）和次要成员（Secondary）。
主要成员通常是一颗恒星，而次要成员则可以是其他类型的天体，例如行星、白矮星或中子星。
在一些情况下，双星系统的两颗天体都是恒星，这样的系统被称为双星。
双星的形成双星系统的形成有多种机制。
一种常见的形成机制是原始星团或星云中的恒星形成，这些恒星在形成过程中可能由于相互间的引力相互作用而形成双星系统。
另一种形成机制是两颗恒星在宇宙中产生的碰撞或者合并。
除此之外，还有一种形成机制是一颗恒星向另一颗恒星捕获而形成。
双星系统分类根据双星系统的性质和构成，我们可以根据多种分类方法对双星系统进行分类。
其中一个常见的分类方法是根据双星系统的物理间距来分类。
按照这种分类方法，双星系统可以被分为紧密双星系统和松散双星系统。
紧密双星系统是指两颗天体之间距离很近，它们之间的引力相互作用非常显著，造成一系列复杂的演化过程和现象。
而松散双星系统的两颗天体之间间距较大，它们之间引力相互作用较小。
另一个常见的分类方法是根据双星系统的构成类别来分类。
按照这种分类方法，我们可以将双星系统分为天体-恒星双星系统、恒星-恒星双星系统、行星-行星双星系统等等。
双星的运动规律双星系统的运动规律是由两颗天体间的引力相互作用决定的。
在双星系统中，两颗天体围绕着彼此运转。
根据牛顿引力定律，两颗天体之间的引力与它们之间的质量和距离成反比。
因此，双星系统中的天体将沿着椭圆轨道相互运转。
双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。
【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G ） 【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。
根据题意有21ωω=①rr r =+21②根据万有引力定律和牛顿定律，有G 1211221rw m rm m = ③G 1221221rw m r m m =④联立以上各式解得2121m m r m r +=⑤根据解速度与周期的关系知Tπωω221==⑥联立③⑤⑥式解得322214rGT m m π=+【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.(1)可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m′(用m 1、m 2表示).(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式；(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2.7×105 m/s ，运行周期T=4.7π×104 s ，质量m 1=6m s ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？（G=6.67×10-11 N·m 2/kg 2，m s =2.0×1030 kg ）解析：设A 、B 的圆轨道半径分别为，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。
