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.双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双??FF，作用力的方向在双星间的连线上，角速度星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：?????。
相等，21【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G）】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案2【例题天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了.之一是观测双星系统的运动规律不考两星视为质点，B构成，LMCX3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星点做匀速圆周运动，它们之间的OB围绕两者连线上的虑其他天体的影响.A、v的速率由观测能够得到可见星A.引力常量为G，距离保持不变，如图4-2所示T.和运行周期视为质(m′的星体F可等效为位于O点处质量为(1)可见星A所受暗星B的引力a). m表示m′(用m、A和B的质量分别为m、m，试求点)对它的引力，设2121 m之间的关系式；v、运行周期T和质量求暗星B的质量m与可见星A的速率(2)12A.若可见星2倍，它将有可能成为黑洞(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m的s45有B，试通过估算来判断暗星，质量m m/s，运行周期T=4.7π×10=6m s的速率v=2.7×10s1可能是黑洞吗？302-112 10）/kg kg，m（G=6.67×10=2.0×N·m s】天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距3【例题、ML，质量分别为始终保持不变，并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动，设双星间距为1）双星运动的周期。
一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。
2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。
(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。
(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。
3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。
(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。
(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。
(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。
②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。
(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。
②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。
二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。
“多星模型”求解作者：陈科来源：《外语学法教法研究》2014年第02期【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）02-0075-01在最近几年高考题中，“双星模型”屡见不鲜，学生对此也已比较熟悉了，要提高学生理论联系实际的能力，笔者认为，需要适当引入对“多星模型”的求解问题。
“多星模型”的求解问题，就是求解几颗空间位置对称的完全相同的行星共同绕着空间对称点以同一周期做匀速圆周运动的问题，一般都是已知质量和距离求周期。
本文将给出“三星模型”和“四星模型”的具体求解过程，并留下“六星模型”供各位高中物理教师和优秀理科学生练练手。
一、“三星模型”设三颗星的质量均为m，位于正三角形的顶点上共同绕着o点以同一周期做匀速圆周运动，正三角形的边长为a，如下图所示：根据万有引力定律，有F1=F2=G■根据力的合成，有F合=2F1cos30°根据牛顿第二定律，有F合=m·■·r根据数学知识，有■=rcos30°由以上四式求得：T=2π■=2π■二、“四星模型”设四颗星的质量均为m，位于正方形的顶点上共同绕着o点以同一周期做匀速圆周运动，正方形的边长为a，如下图所示：根据万有引力定律，有F1=F3=G■F2=G■=G■根据力的合成，有F合=2F1cos45°+F2根据牛顿第二定律，有F合=m·■·r根据数学知识，有■=rcos45°由以上四式求得：T=2π■=2π■下面留下“六星模型”问题，供练习：设六颗星的质量均为m，位于正六边形的顶点上共同绕着o点以同一周期做匀速圆周运动，正六边形的边长为a，如图所示：求共同周期。
答案：T=2π■以上是我对高中物理中应该补充的“多星模型”的解答，若有不妥之处，望各位高中物理教师和优秀理科学生斧正。
微专题：双星和多星模型解题攻略(一)双星模型1．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图8所示．图8(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 Gm 1m 2L 2＝m 1ω 21r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω 22r 2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即 T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L(3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1，与星体运动的线速度成反比．[思维深化]1．若在双星模型中，图8中L 、m 1、m 2、G 为已知量，双星运动的周期如何表示？答案 T ＝2πL 3G (m 1＋m 2)2．若双星运动的周期为T ，双星之间的距离为L ，G 已知，双星的总质量如何表示？ 答案 m 1＋m 2＝4π2L 3T 2G[典例1] 如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间的距离为L 。
已知A 、B 的中心和O 点始终共线，A 和B 分别在O 点的两侧。
引力常量为G 。
图1(1)求两星球做圆周运动的周期。
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1。
但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T 2。
已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和7.35×1022kg 。
求T 2与T 1两者的平方之比。
(结果保留3位小数)[解析] (1)A 和B 绕O 点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等，且A 、B 的中心和O 点始终共线，说明A 和B 组成双星系统且有相同的角速度和周期。
设A 、B 做圆周运动的半径分别为r 、R ，则有m ω2r ＝M ω2R ，r ＋R ＝L联立解得R ＝mM ＋m L ，r ＝MM ＋mL 对A ，根据牛顿第二定律和万有引力定律得GMm L 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2MM ＋mL解得T ＝2πL 3G M ＋m。
双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。
2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。
(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。
(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。
3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。
(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。
(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。
(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。
②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。
(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。
②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。
二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。
双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。
【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G ） 【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。
根据题意有21ωω=①rr r =+21②根据万有引力定律和牛顿定律，有G 1211221rw m rm m = ③G 1221221rw m r m m =④联立以上各式解得2121m m r m r +=⑤根据解速度与周期的关系知Tπωω221==⑥联立③⑤⑥式解得322214rGT m m π=+【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.(1)可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m′(用m 1、m 2表示).(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式；(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2.7×105 m/s ，运行周期T=4.7π×104 s ，质量m 1=6m s ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？（G=6.67×10-11 N·m 2/kg 2，m s =2.0×1030 kg ）解析：设A 、B 的圆轨道半径分别为，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。
双星三星四星问题双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。
2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。
(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。
(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。
3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。
(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。
(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。
(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。
②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。
(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。
②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。
二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。
双星模型.双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是⾃然的天⽂现象，天体之间的相互作⽤遵循万有引⼒的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒⾏星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算，运⾏周期的计算等都是以万有引⼒提供向⼼⼒为出发点的。
双??FF，作⽤⼒的⽅向在双星间的连线上，⾓速度星系统的引⼒作⽤遵循⽜顿第三定律：。
相等，21【例题1】天⽂学家将相距较近、仅在彼此的引⼒作⽤下运⾏的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利⽤双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某⼀固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。
（引⼒常量为G）】神奇的⿊洞是近代引⼒理论所预⾔的⼀种特殊天体，探寻⿊洞的⽅案2【例题天⽂学家观测河外星系⼤麦哲伦云时，发现了.之⼀是观测双星系统的运动规律不考两星视为质点，B构成，LMCX3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星点做匀速圆周运动，它们之间的OB围绕两者连线上的虑其他天体的影响.A、v的速率由观测能够得到可见星A.引⼒常量为G，距离保持不变，如图4-2所⽰T.和运⾏周期视为质(m′的星体F可等效为位于O点处质量为(1)可见星A所受暗星B的引⼒a). m表⽰m′(⽤m、A和B的质量分别为m、m，试求点)对它的引⼒，设2121 m之间的关系式；v、运⾏周期T和质量求暗星B的质量m与可见星A的速率(2)12A.若可见星2倍，它将有可能成为⿊洞(3)恒星演化到末期，如果其质量⼤于太阳质量m的s45有B，试通过估算来判断暗星，质量mm/s，运⾏周期T=4.7π×10=6m s的速率v=2.7×10s1可能是⿊洞吗？302-112 10）/kg kg，m（G=6.67×10=2.0×N·m s】天体运动中，将两颗彼此相距较近的⾏星称为双星，它们在万有引⼒作⽤下间距3【例题、ML，质量分别为始终保持不变，并沿半径不同的同⼼轨道作匀速园周运动，设双星间距为1）双星运动的周期。
双星模型三星模型四星模型The manuscript was revised on the evening of 2021双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。
【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G ） 【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。
根据题意有21ωω=①r r r =+21②根据万有引力定律和牛顿定律，有 G1211221r w m rm m =③G 1221221r w m r m m =④联立以上各式解得2121m m rm r +=⑤根据解速度与周期的关系知 Tπωω221==⑥联立③⑤⑥式解得【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.(1)可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m′(用m 1、m 2表示). (2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式；(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A 的速率v=×105 m/s ，运行周期T=π×104 s ，质量m 1=6m s ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？（G=×10-11 N·m 2/kg 2，m s =×1030 kg ）解析：设A 、B 的圆轨道半径分别为，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。
模型双星或多星模型学校：_________班级：___________姓名：_____________模型概述1.双星问题(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即G m 1m 2L 2=m 1ω21r 1,G m 1m 2L2=m 2ω22r 2.②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1=T 2,ω1=ω2.③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r 1+r 2=L .④两星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2=r 2r 1.⑤双星的运动周期T =2πL 3G (m 1+m 2).⑥双星的总质量m 1+m 2=4π2L 3GT 22．多星模型：所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度、周期相同。
常见的多星模型及其规律：Gm 2(2R )2+GMmR2=ma 向Gm 2L2×cos30°×2=ma 向Gm 2L 2×cos45°×2+Gm 2(2L )2=ma 向Gm 2L2×cos30°×2+GMmL 32=ma 向典题攻破1.双星问题1.(2024·重庆·高考真题)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a 、b 两个天体的质量均为M ，相距为2r ，其连线的中点为O ，另一天体(图中未画出)质量为m (m <<M )，若c 处于a 、b 连线的垂直平分线上某特殊位置，a 、b 、c 可视为绕O 点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。
引力常量为G 。
则()A.c 的线速度大小为a 的3倍B.c 的向心加速度大小为b 的一半C.c 在一个周期内的路程为2πrD.c 的角速度大小为GM8r 3【答案】A【详解】D ．a 、b 、c 三个天体角速度相同，由于m <<M ，则对a 天体有G MM(2r )2=Mω2r 解得ω=GM4r 3故D 错误；A ．设c 与a 、b 的连线与a 、b 连线中垂线的夹角为α，对c 天体有2G Mmrsin α2cos α=mω2rtan α解得α=30°则c 的轨道半径为r c =rtan30°=3r由v =ωr ，可知c 的线速度大小为a 的3倍，故A 正确；B ．由a =ω2r ，可知c 的向心加速度大小是b 的3倍，故B 错误；C ．c 在一个周期内运动的路程为s =2πr =23πr 故C 错误。
双星、三星问题探究史亚东教学分析:天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律,他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等,ωωω==21。
三维目标：知识与技能1、了解双星、三星模型.2、理解双星、三星模型的特点及其运动规律。
3、会用万有引力定律及相关公式解决简单问题。
过程与方法1、 通过双星、三星动画模型的演示，让学生对双星、三星模型有直观的认识。
2、 通过对双星三星问题的处理，加强学生运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法。
情感态度与价值观通过双星、三星问题的学习活动，体会科学方法对人类认识自然的重要作用，体会万有引力定律对人类探索和认识未知世界的作用。
教学重点：1、 双星、三星模型的基本特点。
2、 双星、三星模型的分析与求解。
教学难点：双星、三星模型的分析与求解.教学方法:引导、讨论、归纳教学过程：复习导入：请同学们回顾处理天体问题的两天思路。
第一条：忽略天体自转的前提下，在天体表面附近的物体受到的重力近似等于万有引力. 第二条:环绕天体或者卫星绕中心天体公转的向心力来源于中心天体对环绕天体的万有引力.宇宙中有这样质量相当的两个恒星,地位相同，两颗恒星相互绕着两者连线上某固定点旋转的现象，叫双星。
推进新课：展示双星模型让学生观察，并思考以下问题： (1）两恒星的角速度、周期有什么关系？（2)两恒星圆周运动的向心力由谁提供？二者有什么关系？（3）两恒星间的距离和二者的轨道半径是否相同?尝试找出对应的轨道半径与两者间距离的关系？ 讨论回答：（1）两星具有相同的旋转周期T , 相同的角速度w ；（2）靠它们间的相互吸引力作为向心力，所以它们做圆周运动的向心力相等; (3)两星轨道半径之和等于两星间的距离；r 1＋r 2＝L 。
物理建模系列(八) 天体运行中的“两种常见模型”1．双星模型 (1)模型构建在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．(2)模型条件①两颗星彼此相距较近．②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动． ③两颗星绕同一圆心做圆周运动． (3)模型特点①“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F 1＝F 2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力．②“周期、角速度相同”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等． ③“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r 1＋r 2＝L ，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比．2．三星模型 系统三星系统(正三角形排列)三星系统(直线等间距排列)图示向心力的来源另外两星球对其万有引力的合力另外两星球对其万有引力的合力例 (2018·河北定州中学摸底)双星系统中两个星球A 、B 的质量都是m ，相距L ，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动．实际观测该系统的周期T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值T 0，且TT 0＝k (k <1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C 位于A 、B 的连线正中间，相对A 、B 静止，则A 、B 组成的双星系统周期理论值T 0及C 的质量分别为( )A ．2π L 22Gm ，1＋k 24k m B ．2π L 32Gm ，1－k 24k m C ．2π2Gm L 3，1＋k 24km D ．2πL 32Gm ，1－k 24k2m 【解析】 由题意知，A 、B 的运动周期相同，设轨道半径分别为r 1、r 2，对A 有，Gm 2L2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 02r 1，对B 有，Gm 2L2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 02r 2，且r 1＋r 2＝L ，解得T 0＝2π L 32Gm；有C 存在时，设C 的质量为M ，A 、B 与C 之间的距离r ′1＝r ′2＝L 2，则Gm 2L 2＋GMm r ′21＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r 1，Gm 2L 2＋GMm r ′22＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r 2，解得T ＝2π L 32G (m ＋4M )，TT 0＝mm ＋4M＝k 得M ＝1－k 24k 2m .【答案】 D解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”①它们的角速度相等．②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的．(2)“两不等”①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离．②由m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2知由于m 1与m 2一般不相等，故r 1与r 2一般也不相等.[高考真题]1．(2016·课标卷Ⅲ，14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律【解析】 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律，A 、C 、D 错误，B 正确．【答案】 B2．(2014·课标卷Ⅱ，18)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0；在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ；引力常量为G .地球的密度为( )A.3πGT 2g 0－gg 0 B ．3πGT 2g 0g 0－gC.3πGT2 D ．3πGT 2g 0g【解析】 由万有引力定律可知：在两极处G Mm R 2＝mg 0，在赤道上：G Mm R 2＝mg ＋m (2πT )2R ，地球的质量：M ＝43πR 3ρ，联立三式可得：ρ＝3πGT 2g 0g 0－g，选项B 正确．【答案】 B3．(2015·课标卷Ⅱ，16)由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道．当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行．已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s ，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s ，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )A ．西偏北方向，1.9×103 m/sB ．东偏南方向，1.9×103 m/sC ．西偏北方向，2.7×103 m/sD ．东偏南方向，2.7×103 m/s【解析】 附加速度Δv 与卫星飞经赤道上空时速度v 2及同步卫星的环绕速度v 1的矢量关系如图所示．由余弦定理可知，Δv ＝v 21＋v 22－2v 1v 2cos 30°≈1.9×103 m/s ，方向东偏南方向，故B 正确，A 、C 、D 错误．【答案】 B[名校模拟]4．(2018·山东临沂高三上学期期中)据报道，2020年前我国将发射8颗海洋系列卫星，包括2颗海洋动力环境卫星和2颗海陆雷达卫星(这4颗卫星均绕地球做匀速圆周运动)，以加强对黄岩岛、钓鱼岛及西沙群岛全部岛屿附近海域的监测．设海陆雷达卫星的轨道半径是海洋动力环境卫星的n 倍，下列说法正确的是( )A ．在相同时间内，海陆雷达卫星到地心的连线扫过的面积与海洋动力环境卫星到地心的连线扫过的面积相等B ．海陆雷达卫星做匀速圆周运动的半径的三次方与周期的平方之比等于海洋动力环境卫星做匀速圆周运动的半径的三次方与周期的平方之比C ．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星角速度之比为n 32∶1D ．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星周期之比为1∶n 32【解析】 由于轨道半径不同，相同时间内扫过的面积不相等，A 错；由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知，B 项正确；由ω＝GM r 3∝r －32得，ω1∶ω2＝n －32∶1，由T ＝2πr 3GM得，T 1∶T 2＝1∶n －32，C 、D 均错．【答案】 B5．(2018·山东济南一中上学期期中)在未来的“星际穿越”中，某航天员降落在一颗不知名的行星表面上．该航天员从高h ＝L 处以初速度v 0水平抛出一个小球，小球落到星球表面时，与抛出点的距离是5L ，已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，则下列说法正确的是( )A ．该星球的质量M ＝v 20R22GLB ．该星球的质量M ＝2v 20R25GLC ．该星球的第一宇宙速度v ＝v 0 R 2LD ．该星球的第一宇宙速度v ＝v 0R L【解析】 在该星球表面处：mg ＝GMm R 2，g ＝GM R 2，x ＝v 0t ，y ＝12gt 2＝L ，t ＝2Lg，由5L ＝x 2＋y 2，得g ＝v 202L ，M ＝v 20R 22GL，该星球的第一宇宙速度v ＝gR ＝v 0R2L，故A 、C 正确．【答案】 AC 6.(2018·山东潍坊高三上学期期中)2017年8月16日凌晨，中国量子卫星“墨子”在酒泉卫星发射中心成功发射，目前“墨子”已进入离地面高度为h 的极地预定轨道(轨道可视为圆轨道)，如图所示．若“墨子”从北纬30°的正上方按图示方向第一次运行至南纬60°正上方，所用时间为t ，已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，忽略地球自转，由以上条件可知( )A ．地球的质量为gRGB ．卫星运行的角速度为π2tC ．卫星运行的线速度为πR2tD ．卫星运行的线速度为π(R ＋h )2t【解析】 在地球表面Mg ＝GMm R 2，M ＝gR 2G ，A 错；第一次运行至南纬60°历时t ＝T4，而T ＝2πω，所以ω＝π2t ，B 对；v ＝ω(R ＋h )＝π(R ＋h )2t，C 错，D 对．【答案】 BD课时作业(十三) [基础小题练]1．(2018·华中师大第一附中高三上学期期中)已知甲、乙两行星的半径之比为2∶1，环绕甲、乙两行星表面运行的两卫星周期之比为4∶1，则下列结论中正确的是( )A ．甲、乙两行星表面卫星的动能之比为1∶4B ．甲、乙两行星表面卫星的角速度之比为1∶4C ．甲、乙两行星的质量之比为1∶2D ．甲、乙两行星的第一宇宙速度之比为2∶1 【解析】 由GMm r 2＝mrω2＝m v 2r 得ω＝GMr 3，v ＝ GM r ，E k ＝12m v 2， T ＝2πω＝2πr 3GM，代入数据得M 甲∶M 乙＝1∶2，ω甲∶ω乙＝1∶4，v 甲∶v 乙＝1∶2，卫星质量关系不知，不能比较动能大小．【答案】 BC2．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的a 倍，质量是地球的b 倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为T ，引力常量为G ，则该行星的平均密度为( )A.4πGb 2T 2a 2 B ．4πa GT 2bC.3πb GT 2aD ．4πbGT 2a【解析】 对于近地卫星，设其质量为m ，地球的质量为M ，半径为R ，则根据万有引力提供向心力有，G Mm R 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ，得地球的质量M ＝4π2R 3GT 2，地球的密度为ρ＝M 43πR 3＝3πGT2；已知行星的体积是地球的a 倍，质量是地球的b 倍，结合密度公式ρ＝mV ，得该行星的平均密度是地球的b a 倍，所以该行星的平均密度为3πbGT 2a，故C 正确．【答案】 C3．双星运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成，这两颗星体绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得两星体的轨道半径之和为l 1，轨道半径之差为l 2，a 星体轨道半径大于b 星体轨道半径，a 星体的质量为m 1，引力常量为G ，则b 星体的周期为( )A.2π2l 21(l 1－l 2)Gm 1B ．2π2l 21(l 1＋l 2)Gm 1C.2π2l 21(l 1－l 2)Gm 1(l 1＋l 2)D ．2π2l 21(l 1＋l 2)Gm 1(l 1－l 2)【解析】 设a 星体运动的轨道半径为r 1，b 星体运动的轨道半径为r 2，则r 1＋r 2＝l 1，r 1－r 2＝l 2，解得r 1＝l 1＋l 22，r 2＝l 1－l 22，双星系统根据Gm 1m 2l 21＝m 1⎝⎛⎭⎫2πT 2r 1，Gm 1m 2l 21＝m 2⎝⎛⎭⎫2πT 2r 2，得m 1m 2＝r 2r 1，即双星系统中星体质量与轨道半径成反比，得b 星体的质量m 2＝r 1m 1r 2＝(l 1＋l 2)m 1l 1－l 2，a 、b 两星体运动周期相同，对a 星体有Gm 1m 2l 21＝m 1⎝⎛⎭⎫2πT 2r 1，解得T ＝2π2l 21(l 1－l 2)Gm 1，A 选项正确．【答案】 A4．(2018·江苏泰州高三上学期期中)2016年10月19日3时31分，神舟十一号载人飞船与天宫二号空间实验室成功实现自动交会对接，此时天宫二号绕地飞行一圈时间为92.5 min ，而地球同步卫星绕地球一圈时间为24 h ，根据此两组数据我们能求出的是( )A ．天宫二号与地球同步卫星受到的地球引力之比B ．天宫二号与地球同步卫星的离地高度之比C ．天宫二号与地球同步卫星的线速度之比D ．天宫二号与地球同步卫星的加速度之比【解析】 由F ＝GMm r 2及GMm r 2＝mrω2＝m v 2r ＝ma 可知，ω＝GMr 3，T ＝2π r 3GM，a ＝GMr2，v ＝GMr，已知周期关系可确定半径关系，进而确定线速度关系，加速度关系，但由于不知天宫二号和同步卫星的质量关系，故所受地球引力关系不确定，地球半径未知，所以离地高度关系不确定，C 、D 正确．【答案】 CD5．(2018·安徽师大附中高三上学期期中)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星的公转视为匀速圆周运动．忽略行星自转影响，火星和地球相比( )行星 半径/m 质量/kg 公转轨道半径/m地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011 火星3.4×1066.4×10232.3×1011A.火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的0.45倍 B ．火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的1.4倍 C ．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.43倍 D ．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.28倍 【解析】 根据第一宇宙速度公式v ＝ GMR (M 指中心天体太阳的质量)，v 火v 地＝R 地R 火＝6.4×1063.4×106＝1.4 ，故A 错误，B 正确．根据向心加速度公式a ＝GMr 2(M 指中心天体太阳的质量)，a 火a 地＝r 2地r 2火＝(1.5×10112.3×1011)2＝0.43，故C 正确，D 错误．【答案】 BC6.(2018·山东泰安高三上学期期中)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步椭圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点．轨道3到地面的高度为h ，地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g .以下说法正确的是( )A ．卫星在轨道3上的机械能大于在轨道1上的机械能B ．卫星在轨道3上的周期小于在轨道2上的周期C ．卫星在轨道2上经过Q 点时的速度小于它在轨道3上经过P 时的速度D ．卫星在轨道3上的线速度为v ＝Rg R ＋h【解析】 卫星经历两次点火加速才转移至同步轨道3，在轨道3上的机械能肯定大于轨道1上的机械能，A 对；由T ＝2πr 3GM可知，B 错；由于v ＝GMr，所以v 1>v 3，又轨道2上Q 点离心运动，由v Q >v 1可知v Q >v 3，所以v Q >v P ，C 错；将r ＝R ＋h ，GM ＝gR 2，代入v ＝GMr得v ＝R gR ＋h，D 对． 【答案】 AD[创新导向练]7．巧思妙想——以“苹果”为话题考查天体运行规律已知地球的半径为6.4×106 m ，地球自转的角速度为7.27×10－5rad/s ，地球表面的重力加速度为9.8 m/s 2，在地球表面发射卫星的第一宇宙速度为7.9×103 m/s ，第三宇宙速度为16.7×103 m/s ，月地中心间距离为3.84×108 m ．假设地球上有一颗苹果树长到月球那么高，则当苹果脱离苹果树后，请根据此时苹果线速度的计算，判断苹果将不会( )A ．落回地面B ．成为地球的“苹果月亮”C ．成为地球的同步“苹果卫星”D ．飞向茫茫宇宙【解析】 地球自转的角速度为7.27×10－5rad/s ，月球到地球中心的距离为3.84×108 m ，地球上有一棵苹果树长到了接近月球那么高，根据v ＝rω得：苹果的线速度为v ＝2.8×104 m/s ，第三宇宙速度为16.7×103 m/s ，由于苹果的线速度大于第三宇宙速度，所以苹果脱离苹果树后，将脱离太阳系的束缚，飞向茫茫宇宙，故A 、B 、C 正确．【答案】 ABC8．科学探索——以“一箭20星”为背景考查卫星运行参数月球和地球的质量之比为a ∶1，半径之比为b ∶1，将一单摆由地球带到月球，将摆球从与地球表面相同高度处由静止释放(释放点高度低于悬点高度)，释放时摆线与竖直方向的夹角相同，当摆球运动到最低点时，在月球上和地球上摆线对摆球的拉力之比为( )A.b 2a B ．a b 2C.a 2bD ．b a2【解析】 设重力加速度大小为g ，摆球释放的高度为h ，摆球运动到最低点有mgh ＝12m v 2，摆球在最低点有F －mg ＝m v 2l ，得F ＝mg ＋2mghl，F 与g 成正比．在星球表面上有GMm R 2＝mg ，得g ＝GM R 2，故摆球在月球和地球上受到的拉力之比为ab 2，B 选项正确． 【答案】 B9．军事科技——以导弹拦截为背景考查万有引力定律知识2016年1月27日，我国在境内再次成功地进行了陆基中段反导拦截技术试验，中段是指弹道导弹在大气层外空间依靠惯性飞行的一段．如图所示，一枚蓝军弹道导弹从地面上A 点发射升空，目标是攻击红军基地B 点，导弹升空后，红军反导预警系统立刻发现目标，从C 点发射拦截导弹，并在弹道导弹飞行中段的最高点D 将其击毁．下列说法中正确的是( )A ．图中E 到D 过程，弹道导弹机械能不断增大B ．图中E 到D 过程，弹道导弹的加速度不断减小C ．弹道导弹在大气层外运动轨迹是以地心为焦点的椭圆D ．弹道导弹飞行至D 点时速度大于7.9 km/s【解析】 图中E 到D 过程， 导弹在大气层外空间依靠惯性飞行，没有空气阻力，机械能不变，远离地球，轨道变大，速度减小，万有引力减小，所以加速度减小，在万有引力作用下，运动轨迹是以地心为焦点的椭圆，A 错误，B 、C 正确；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，而D 点在大气层外部，所以轨道要大于近地卫星轨道，运行速度要小于第一宇宙速度，D 错误；故选B 、C.【答案】 BC10．探测火星——以火星探测为背景考查星体运行规律随着人类航天事业的进步，太空探测越来越向深空发展，火星正在成为全球航天界的“宠儿”．我国计划于2020年发射火星探测器，一步实现绕、落、巡工程目标．假设某宇航员登上了火星，在其表面以初速度v 竖直上抛一小球(小球仅受火星的引力作用)，小球上升的最大高度为h ，火星的直径为d ，引力常量为G ，则( )A ．火星的第一宇宙速度为v d hB ．火星的密度为3v 24πGhdC ．火星的质量为v 2d 22GhD ．火星的“近火卫星”运行周期为2πvd h【解析】 在火星表面竖直上抛的小球做匀减速直线运动，设火星表面的重力加速度为g ，第一宇宙速度为v 0，火星的自转周期为T ，则2gh ＝v 2，得g ＝v 22h，在火星表面的物体的重力等于万有引力，也是在火星表面附近做圆周运动的向心力，mg ＝G Mm r 2＝m (2πT )2r ，又r＝d 2，M ＝43πr 3·ρ，得：v 0＝v d 4h ，M ＝v 2d 28Gh ，ρ＝3v 24πGhd，T ＝2πv dh2，故选B. 【答案】 B[综合提升练]11.(2018·山东淄博一中高三上学期期中)如图所示，火箭载着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器．火箭从地面起飞时，以加速度g 02竖直向上做匀加速直线运动(g 0为地面附近的重力加速度)，已知地球半径为R 0.(1)到某一高度时，测试仪器对平台的压力是起飞前的1718，求此时火箭离地面的高度h ；(2)探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为T 0，试问：该行星的平均密度为多少？(假定行星为球体，且已知万有引力恒量为G )【解析】 (1)火箭起飞前有：N 1＝mg 0 火箭起飞后有：N 2－mg ＝mg 02 且有N 1N 2＝1718GMmR 2＝mg 0 GMm(R ＋h )2＝mg联立以上各式解得h ＝R2.(2)设行星半径为r ，质量为M ，密度为ρ，则 GM 1m r 2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 02由ρ＝M 1V ，V ＝43πr 3得ρ＝3πGT 20. 【答案】 (1)R 2 (2)3πGT 2012．中国计划在2017年实现返回式月球软着陆器对月球进行科学探测，宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度v 0水平抛出一小球，测出水平射程为L (这时月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半径为R ，万有引力常量为G .求：(1)月球表面处的重力加速度及月球的质量M 月；(2)如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫星，所需的最小发射速度为多大？(3)当着陆器绕距月球表面高H 的轨道上运动时，着陆器环绕月球运动的周期是多少？【解析】 (1)设月球表面的重力加速度为g ，由平抛运动规律有h ＝12gt 2① L ＝v 0·t ②得g ＝2h v 20L 2③ 着陆器在月球表面所受的万有引力等于重力，GM 月m R 2＝mg ④得M 月＝2h v 20R 2GL 2⑤ (2)卫星绕月球表面运行，有GM 月m ′R 2＝m ′v 2R ⑥联立⑤⑥得v ＝v 0L2hR ⑦ (3)由牛顿第二定律有G M 月m (R ＋H )2＝m (R ＋H )4π2T 2⑧联立⑤⑧得T ＝2π2L 2(R ＋H )3hR 2v 20. 【答案】 (1)2h v 20L 2 2h v 20R 2GL 2 (2)v 0L 2hR (3)2π2L 2(R ＋H )3hR 2v 20。
模型双星或多星模型学校：_________班级：___________姓名：_____________模型概述1.双星问题(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即G m 1m 2L 2=m 1ω21r 1,G m 1m 2L2=m 2ω22r 2.②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1=T 2,ω1=ω2.③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r 1+r 2=L .④两星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2=r 2r 1.⑤双星的运动周期T =2πL 3G (m 1+m 2).⑥双星的总质量m 1+m 2=4π2L 3GT 22．多星模型：所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度、周期相同。
常见的多星模型及其规律：Gm 2(2R )2+GMm R2=ma 向Gm 2L2×cos30°×2=ma 向Gm 2L 2×cos45°×2+Gm 2(2L )2=ma 向Gm 2L 2×cos30°×2+GMm L 32=ma 向典题攻破1.双星问题1.(2024·重庆·高考真题)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体(图中未画出)质量为m(m <<M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。
引力常量为G。
则()A.c的线速度大小为a的3倍B.c的向心加速度大小为b的一半C.c在一个周期内的路程为2πrD.c的角速度大小为GM8r32.多星问题2.(2024·全国·二模)如图。
高中生物理建模能力的培养论文高中阶段的物理模型有很多，一般可分三类：物质模型（质点、轻弹簧、理想气体等）、状态模型（气体的平衡态、原子所处的基态和激发态等）、过程模型（匀速直线运动、匀变速直线运动、匀速圆周运动等），而物理题目的设置均是围绕着这些物理模型展开的。
在教学过程中，教师要引导学生树立物理模型的意识，让学生逐步认识到华美包装的题目后就是赤裸裸的常见的物理模型，做题时要剥离出题目本质，联系旧有知识，促进知识迁移。
也就是说，要有把问题转化成为物理模型来研究的意识和习惯。
例如关于摩擦力有这样几个常见判断题：滑动摩擦力（静摩擦力）的方向可以与物体的实际运动方向相同吗？相反吗？能成任意角度吗？运动（静止）的物体可以受静（滑动）摩擦力吗？很多学生迷惑在这些概念题中不能自拔。
但当学生心中有了擦黑板、走路、传送带、手握瓶子任意方向运动等情境时，这些问题便极易解决了。
打个不是很恰当的比喻，高中物理学什么？无非是弹簧弹来弹去，滑块在斜面上滑来滑去，子弹与木块碰来碰去，带电粒子在电磁场中飞来飞去。
教师要善于为学生对已学物理模型进行归纳与总结，更要善于引导学生自己进行这项工作。
例如我们在讲《功》这一节，必然要讲到摩擦力做功的问题：滑动摩擦力能做正功吗？负功呢？能不做功吗？静摩擦力呢？虽说这是功的内容，实际上如果学生对关于摩擦力的相应物理模型很熟悉的话（擦黑板、走路、传送带、手握瓶子任意方向运动等），这个问题会很容易被解决，而我们很自然地就把重难点转移到一对儿滑动摩擦力或静摩擦力做功代数和为何值这个问题上。
总结知识，积累经验是必要且重要的！（一）多媒体的应用。
随着信息技术与多媒体技术的飞速开展，教师利用多媒体课件上课已经成为一种常规的教学方式。
事实说明，多媒体技术的应用在激发学生学习兴趣、增强教学的直观生动性、方便知识复习、习题练习等很多方面都发挥着巨大的作用，也给我们的物理学科教学带来了极大的方便。
我们用flash可以更加直观生动地展现那些抽象的无法用手工教具展现的物理模型，从而加深学生的印象与理解。
双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。
【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G ） 【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。
根据题意有21ωω=①rr r =+21②根据万有引力定律和牛顿定律，有G 1211221rw m rm m = ③G 1221221rw m r m m =④联立以上各式解得2121m m r m r +=⑤根据解速度与周期的关系知Tπωω221==⑥联立③⑤⑥式解得322214rGT m m π=+【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.(1)可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m′(用m 1、m 2表示).(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式；(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2.7×105 m/s ，运行周期T=4.7π×104 s ，质量m 1=6m s ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？（G=6.67×10-11 N·m 2/kg 2，m s =2.0×1030 kg ）解析：设A 、B 的圆轨道半径分别为，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。
由牛顿运动定律，有121r m F A ω=，222r m F B ω=，B A F F =设A 、B 间距离为，则21r r r +=由以上各式解得1221r m m m r +=由万有引力定律，有221r m m G F A =，代入得21221321)(r m m m m G F A += 令211r m m GF A '=，通过比较得22132)(m m m m +='（2）由牛顿第二定律，有121221r v m rm m G =而可见星A 的轨道半径π21vT r =将代入上式解得G Tv m m m π2)(322132=+（3）将sm m 61=代入上式得G Tv m m m s π2)6(32232=+代入数据得ss m m m m 5.3)26(232=+设)0(2>=n nm m s，将其代入上式得ss s m m nnm m m 5.3)16(}6(2232=+=+ss s m m nnm m m 5.3)16(}6(2232=+=+可见，2232)6(m m m s +的值随的增大而增大，试令2=n ，得ss s m m m nn 4.3125.0)16(2<=+可见，若使以上等式成立，则必大于2，即暗星B 的质量s m 必大于s m 2，由此可得出结论：暗星B 有可能是黑洞。
【例题3】天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动，设双星间距为L ，质量分别为M 1、M 2，试计算（1）双星的轨道半径（2）双星运动的周期。
15.解析：双星绕两者连线上某点做匀速圆周运动，即： 222121221L M L M L M M G ωω==--------- ..L L L =+21------- 由以上两式可得：L M M M L 2121+=，LM M M L 2122+=又由12212214L T M L M M G π=.---------- 得：)(221M M G L LT +=【例题4】我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T ,S 1到C 点的距离为r 1,S 1和S 2的距离为r ,已知引力常量为G .由此可求出S 2的质量为 （ D ） A .212)(4GT r r r -2πB .2312π4GTrC .232π4GT rD . 2122π4GT r r答案 ：D解析 双星的运动周期是一样的,选S 1为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定221121π4Tr m =r m Gm 2,则m 2=2122π4GT r r .故正确选项D 正确.【例题5】如右图，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L 。
已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。
引力常数为G 。
⑴ 求两星球做圆周运动的周期。
⑵ 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T 1。
但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T 2。
已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。
求T 2与T 1两者平方之比。
（结果保留3位小数）【答案】⑴)(23m M G L T +=π⑵1.01【解析】 ⑴A 和B 绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等。
且A 和B 和O 始终共线，说明A 和B 有相同的角速度和周期。
因此有R M r m 22ωω=，L R r =+，连立解得L Mm m R +=，L M m M r +=对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得LmM MT m L GMm+=22)2(π 化简得)(23m M G L T +=π⑵将地月看成双星，由⑴得)(231m M G L T +=π将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得LTm L GMm 22)2(π= 化简得GML T 322π=所以两种周期的平方比值为01.11098.51035.71098.5)(242224212=⨯⨯+⨯=+=M M m T T【例题6】【2012•江西联考】如右图，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、M （M>> m 1，M>> m 2）。
在c 的万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比T a ∶T b =1∶k ；从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，则 （ ）A ．a 、b 距离最近的次数为k 次B ．a 、b 距离最近的次数为k+1次C ．a 、b 、c 共线的次数为2kD ．a 、b 、c 共线的次数为2k-2 【答案】D【解析】在b 转动一周过程中，a 、b 距离最远的次数为k-1次，a 、b 距离最近的次数为k-1次，故a 、b 、c 共线的次数为2k-2，选项D 正确。
【例题7】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量均为m .(1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期.(2)假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少? 答案 (1)R GmR 25 GmR 5π43(2)R 31)512(解析 (1)对于第一种运动情况,以某个运动星体为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律有: F 1=22222)2(R Gm F R Gm =F 1+F 2=mv 2/R运动星体的线速度:v =RGmR 25 周期为T ,则有T =vR π2T =4πGmR 53(2)设第二种形式星体之间的距离为r ,R ′=30cos 2/r 由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供,由力的合成和牛顿运动定律有： F 合=222r Gm cos30°F 合=m 22π4T R′所以r =31)512(R【例题8】（2012•湖北百校联考）宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用.已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式:一种是四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为；另一种形式是有三颗星位于边长为a 的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动.试求两种形式下，星体运动的周期之比12T T .【答案】12T T 【解析】对三绕一模式，三颗绕行星轨道半径均为a ，所受合力等于向心力，因此有22222142m +G =m a a T π⋅︒ ①解得321a T =Gmπ ②对正方形模式，四星的轨道半径均为2a ，同理有22222242cos 452m G a a T π⋅︒ ③ 图4解得22T ④故12T T。
