“双星”模型

第26讲 双星、多星模型1．（重庆高考）冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统．质量比约为7：1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O 点运动的（ ） A ．轨道半径约为卡戎的17B ．角速度大小约为卡戎的17C ．线速度大小约为卡戎的7倍D ．向心力大小约为卡戎的7倍 一.知识回顾1．双星模型(1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。

(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 Gm 1m 2L2＝m 1ω21r 1， Gm 1m 2L2＝m 2ω22r 2。

②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2。

③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L 。

④两颗星到轨道圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1。

⑤双星的运动周期T ＝2πL 3Gm 1＋m 2。

⑥双星的总质量m 1＋m 2＝4π2L3T 2G 。

2．三星模型(1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。

每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。

(2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。

(3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。

①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m 的环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。

②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。

3.四星模型：(1)如图所示，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动。

Gm2L 2×2×cos 45°＋Gm22L2＝ma ，其中r ＝22L 。

四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。

双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。

(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。

②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。

二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。

双星三星四星问题双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。

(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。

②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。

二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。

高考重点难点热点快速突破1．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω 21r 1，Gm 1m 2L2＝m 2ω 22r 2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L (3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1. 2．多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图3甲所示)．②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O ，外围三颗星绕O 做匀速圆周运动(如图丁所示)．典例分析【例1】 (多选)(2017年昆明模拟)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T ，两星到某一共同圆心的距离分别为R 1和R 2，那么，系统中两颗恒星的质量关系是( )A ．这两颗恒星的质量必定相等B ．这两颗恒星的质量之和为4π2R 1＋R 23GT 2C ．这两颗恒星的质量之比为m 1∶m 2＝R 2∶R 1D ．其中必有一颗恒星的质量为4π2R 1＋R 23GT 2【答案】 BC【例2】：2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波的存在，引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角，这是一个划时代的发现．在如图所示的双星系统中，A、B两个恒星靠着相互之间的引力正在做匀速圆周运动，已知恒星A的质量为太阳质量的29倍，恒星B的质量为太阳质量的36倍，两星之间的距离L＝2×105 m，太阳质量M＝2×1030 kg，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，π2＝10.若两星在环绕过程中会辐射出引力波，该引力波的频率与两星做圆周运动的频率具有相同的数量级，则根据题目所给信息估算该引力波频率的数量级是( )A．102 Hz B．104 Hz C．106 Hz D．108 Hz【答案】 A【例3】：．经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当成孤立系统来处理．现根据对某一双星系统的测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．(1)计算出该双星系统的运动周期T；(2)若该实验中观测到的运动周期为T 观测，且T 观测∶T ＝1∶N (N >1)．为了理解T 观测与T 的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质．作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质．若不考虑其他暗物质的影响，根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．【答案】 (1)πL2L GM (2)3N －1M2πL3 【解析】 (1)双星均绕它们连线的中点做圆周运动，万有引力提供向心力，则G M 2L 2＝M ⎝⎛⎭⎪⎫2πT 2·L 2，解得T ＝πL2L GM.【例4】：由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A 星体质量为2m 、B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：(1)A 星体所受合力大小F A ； (2)B 星体所受合力大小F B ； (3)C 星体的轨道半径R C ； (4)三星体做圆周运动的周期T .【答案 】 (1)23G m 2a 2 (2)7G m 2a 2 (3)74a (4)πa 3Gm【解析】(1)由万有引力定律，A 星体所受B 、C 星体引力大小为F BA ＝G m A m B r 2＝G 2m 2a2＝F CA方向如图所示则合力大小为F A ＝F BA ·cos 30°＋F CA ·cos 30°＝23G m 2a2(3)由于m A ＝2m ，m B ＝m C ＝m通过分析可知，圆心O 在BC 的中垂线AD 的中点 则R C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝74a (4)三星体运动周期相同，对C 星体，由F C ＝F B ＝7G m 2a 2＝m (2πT)2R C ，可得T ＝πa 3Gm. 专题练习1：宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，万有引力常量为G ，则( )A ．每颗星做圆周运动的线速度为 Gm RB ．每颗星做圆周运动的角速度为 3GmR 3C ．每颗星做圆周运动的周期为2πR 33GmD ．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 【答案】 ABC【解析】由图可知，每颗星做匀速圆周运动的半径r ＝R2cos 30°＝33R .由牛顿第二定律得Gm 2R 2·2cos 30°＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r ＝ma ，可解得v ＝GmR，ω＝ 3GmR 3，T ＝2πR 33Gm ，a ＝3GmR2，故A 、B 、C 均正确，D 错误． 2.宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于宇宙四星系统，下列说法错误的是( )A ． 四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B ． 四颗星的轨道半径均为C ． 四颗星表面的重力加速度均为D ． 四颗星的周期均为2πa【答案】B3.宇宙中存在一些离其他恒星较远，由质量相等的三个星体组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在的一种形式是三个星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图所示．设每个星体的质量均为m，相邻的两个星体之间的距离为L，引力常量为G，则( )A．该圆形轨道的半径为3 2 LB．每个星体的运行周期均为3πL3 2GmC．每个星体做圆周运动的线速度均为Gm LD．每个星体做圆周运动的加速度均与星体的质量无关【答案】：C4．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化，若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )A.n 3k 2B.n 3k T C.n 2kT D.n kT 【答案】：B【解析】：设m 1的轨道半径为r 1，m 2的轨道半径为r 2，由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同，两星之间的万有引力提供两星做圆周运动的向心力，即Gm 1m 2r 1＋r 22＝m 1r 1⎝⎛⎭⎪⎫2πT 2，Gm 1m 2r 1＋r 22＝m 2r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，可得T ＝2πr 1＋r 23G m 1＋m 2，故当两恒星总质量变为原来的k倍，两星间距变为原来的n 倍时，圆周运动的周期变为n 3kT ，B 正确． 5．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2.则可知( )A ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为2∶3B ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2C ．m 1做圆周运动的半径为r 1＝25LD ．m 2做圆周运动的半径为r 2＝25L【答案：】C6. (多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统P、Q绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．若PO>OQ，则( )A．星球P的质量一定大于Q的质量B．星球P的线速度一定大于Q的线速度C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大【答案】BD7. (多选)宇宙中两个相距较近的星球可以看成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕两球心连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动．根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离在不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( ) A．双星相互间的万有引力不变B．双星做圆周运动的角速度均增大C．双星做圆周运动的速度均减小D．双星做圆周运动的半径均增大【答案】CD【解析】双星间的距离在不断缓慢增加，由万有引力定律，F＝G，知万有引力减小，A错误；根据万有引力提供向心力得G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，可知m1r1＝m2r2，知轨道半径比等于质量之反比，双星间的距离变大，则双星的轨道半径都变大，B 错误，D 正确；根据G＝m 1v 1ω＝m 2v 2ω，可得线速度减小，C 正确8. (多选)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，两星总质量为M ，两星之间的距离为r ，两星质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的轨道半径分别为r 1、r 2，则下列关系式中正确的是( )A ． M ＝B ． r 1＝rC ． T ＝2πD ． ＝【答案】AC【解析】由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同．由向心力公式可得：对m 1：＝m 1ω2r 1① 对m 2：＝m 2ω2r 2②；由①②式可得：m 1r 1＝m 2r 2 ，即＝，D 错误．r 1＋r 2＝r ，得：r 1＝r ＝r ，B 错误．将ω＝，r 1＝r 代入①式，可得：＝m 1·r，得：T ＝2π，M ＝，A 、C 正确．9．宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T 1；另一种形式是有三颗星位于边长为a 的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为T 2，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动．试求两种形式下，星体运动的周期之比T 1T 2.【答案】T 1T 2＝6＋634＋2【解析】：对于第一种形式，一个星体在其它三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其轨道半径为：r1＝22a.。

＝m1ω2r1①＝m2ω2r2②由①＋②得：＝ω2L∴m1＋m2＝Gm1m2Gm1m2G m1＋m2ω2L3L2L2L2G双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件：(1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点:(1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。

(4)巧妙求质量和：4.解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”:①它们的角速度相等。

②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。

二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。

卫星变轨问题双星模型类型一卫星的变轨和对接问题知识回望1．变轨原理(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.2．变轨过程分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为v A、v B.在A点加速，则v A>v1，在B点加速，则v3>v B，又因v1>v3，故有v A>v1>v3>v B.(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1<T2<T3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3.例1(2019·北京市通州区期中)如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1上绕地球E运行，在A点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动，下列说法正确的是()A ．在轨道1上，卫星在A 点的速度等于在B 点的速度 B ．卫星在轨道2上的周期大于在轨道1上的周期C ．在轨道1和轨道2上，卫星在A 点的速度大小相同D ．在轨道1和轨道2上，卫星在A 点的加速度大小不同 【答案】B【解析】在轨道1上，卫星由A 点运动到B 点，万有引力做正功，动能变大，速度变大，故选项A 错误；由开普勒第三定律知卫星在轨道2上的周期较大，故选项B 正确；卫星由轨道1变到轨道2，需要在A 点加速，即在轨道1和轨道2上，卫星在A 点的速度大小不相同，故选项C 错误；由G Mm r 2＝ma 得a ＝G Mr 2，可知在轨道1和轨道2上，卫星在A 点的加速度大小相等，故选项D 错误． 故选B 。

物理建模系列(八) 天体运行中的“两种常见模型”1．双星模型 (1)模型构建在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．(2)模型条件①两颗星彼此相距较近．②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动． ③两颗星绕同一圆心做圆周运动． (3)模型特点①“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F 1＝F 2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力．②“周期、角速度相同”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等． ③“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r 1＋r 2＝L ，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比．2．三星模型 系统三星系统(正三角形排列)三星系统(直线等间距排列)图示向心力的来源另外两星球对其万有引力的合力另外两星球对其万有引力的合力例 (2018·河北定州中学摸底)双星系统中两个星球A 、B 的质量都是m ，相距L ，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动．实际观测该系统的周期T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值T 0，且TT 0＝k (k <1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C 位于A 、B 的连线正中间，相对A 、B 静止，则A 、B 组成的双星系统周期理论值T 0及C 的质量分别为( )A ．2π L 22Gm ，1＋k 24k m B ．2π L 32Gm ，1－k 24k m C ．2π2Gm L 3，1＋k 24km D ．2πL 32Gm ，1－k 24k2m 【解析】 由题意知，A 、B 的运动周期相同，设轨道半径分别为r 1、r 2，对A 有，Gm 2L2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 02r 1，对B 有，Gm 2L2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 02r 2，且r 1＋r 2＝L ，解得T 0＝2π L 32Gm；有C 存在时，设C 的质量为M ，A 、B 与C 之间的距离r ′1＝r ′2＝L 2，则Gm 2L 2＋GMm r ′21＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r 1，Gm 2L 2＋GMm r ′22＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r 2，解得T ＝2π L 32G (m ＋4M )，TT 0＝mm ＋4M＝k 得M ＝1－k 24k 2m .【答案】 D解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”①它们的角速度相等．②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的．(2)“两不等”①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离．②由m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2知由于m 1与m 2一般不相等，故r 1与r 2一般也不相等.[高考真题]1．(2016·课标卷Ⅲ，14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律【解析】 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律，A 、C 、D 错误，B 正确．【答案】 B2．(2014·课标卷Ⅱ，18)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0；在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ；引力常量为G .地球的密度为( )A.3πGT 2g 0－gg 0 B ．3πGT 2g 0g 0－gC.3πGT2 D ．3πGT 2g 0g【解析】 由万有引力定律可知：在两极处G Mm R 2＝mg 0，在赤道上：G Mm R 2＝mg ＋m (2πT )2R ，地球的质量：M ＝43πR 3ρ，联立三式可得：ρ＝3πGT 2g 0g 0－g，选项B 正确．【答案】 B3．(2015·课标卷Ⅱ，16)由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道．当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行．已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s ，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s ，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )A ．西偏北方向，1.9×103 m/sB ．东偏南方向，1.9×103 m/sC ．西偏北方向，2.7×103 m/sD ．东偏南方向，2.7×103 m/s【解析】 附加速度Δv 与卫星飞经赤道上空时速度v 2及同步卫星的环绕速度v 1的矢量关系如图所示．由余弦定理可知，Δv ＝v 21＋v 22－2v 1v 2cos 30°≈1.9×103 m/s ，方向东偏南方向，故B 正确，A 、C 、D 错误．【答案】 B[名校模拟]4．(2018·山东临沂高三上学期期中)据报道，2020年前我国将发射8颗海洋系列卫星，包括2颗海洋动力环境卫星和2颗海陆雷达卫星(这4颗卫星均绕地球做匀速圆周运动)，以加强对黄岩岛、钓鱼岛及西沙群岛全部岛屿附近海域的监测．设海陆雷达卫星的轨道半径是海洋动力环境卫星的n 倍，下列说法正确的是( )A ．在相同时间内，海陆雷达卫星到地心的连线扫过的面积与海洋动力环境卫星到地心的连线扫过的面积相等B ．海陆雷达卫星做匀速圆周运动的半径的三次方与周期的平方之比等于海洋动力环境卫星做匀速圆周运动的半径的三次方与周期的平方之比C ．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星角速度之比为n 32∶1D ．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星周期之比为1∶n 32【解析】 由于轨道半径不同，相同时间内扫过的面积不相等，A 错；由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知，B 项正确；由ω＝GM r 3∝r －32得，ω1∶ω2＝n －32∶1，由T ＝2πr 3GM得，T 1∶T 2＝1∶n －32，C 、D 均错．【答案】 B5．(2018·山东济南一中上学期期中)在未来的“星际穿越”中，某航天员降落在一颗不知名的行星表面上．该航天员从高h ＝L 处以初速度v 0水平抛出一个小球，小球落到星球表面时，与抛出点的距离是5L ，已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，则下列说法正确的是( )A ．该星球的质量M ＝v 20R22GLB ．该星球的质量M ＝2v 20R25GLC ．该星球的第一宇宙速度v ＝v 0 R 2LD ．该星球的第一宇宙速度v ＝v 0R L【解析】 在该星球表面处：mg ＝GMm R 2，g ＝GM R 2，x ＝v 0t ，y ＝12gt 2＝L ，t ＝2Lg，由5L ＝x 2＋y 2，得g ＝v 202L ，M ＝v 20R 22GL，该星球的第一宇宙速度v ＝gR ＝v 0R2L，故A 、C 正确．【答案】 AC 6.(2018·山东潍坊高三上学期期中)2017年8月16日凌晨，中国量子卫星“墨子”在酒泉卫星发射中心成功发射，目前“墨子”已进入离地面高度为h 的极地预定轨道(轨道可视为圆轨道)，如图所示．若“墨子”从北纬30°的正上方按图示方向第一次运行至南纬60°正上方，所用时间为t ，已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，忽略地球自转，由以上条件可知( )A ．地球的质量为gRGB ．卫星运行的角速度为π2tC ．卫星运行的线速度为πR2tD ．卫星运行的线速度为π(R ＋h )2t【解析】 在地球表面Mg ＝GMm R 2，M ＝gR 2G ，A 错；第一次运行至南纬60°历时t ＝T4，而T ＝2πω，所以ω＝π2t ，B 对；v ＝ω(R ＋h )＝π(R ＋h )2t，C 错，D 对．【答案】 BD课时作业(十三) [基础小题练]1．(2018·华中师大第一附中高三上学期期中)已知甲、乙两行星的半径之比为2∶1，环绕甲、乙两行星表面运行的两卫星周期之比为4∶1，则下列结论中正确的是( )A ．甲、乙两行星表面卫星的动能之比为1∶4B ．甲、乙两行星表面卫星的角速度之比为1∶4C ．甲、乙两行星的质量之比为1∶2D ．甲、乙两行星的第一宇宙速度之比为2∶1 【解析】 由GMm r 2＝mrω2＝m v 2r 得ω＝GMr 3，v ＝ GM r ，E k ＝12m v 2， T ＝2πω＝2πr 3GM，代入数据得M 甲∶M 乙＝1∶2，ω甲∶ω乙＝1∶4，v 甲∶v 乙＝1∶2，卫星质量关系不知，不能比较动能大小．【答案】 BC2．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的a 倍，质量是地球的b 倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为T ，引力常量为G ，则该行星的平均密度为( )A.4πGb 2T 2a 2 B ．4πa GT 2bC.3πb GT 2aD ．4πbGT 2a【解析】 对于近地卫星，设其质量为m ，地球的质量为M ，半径为R ，则根据万有引力提供向心力有，G Mm R 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ，得地球的质量M ＝4π2R 3GT 2，地球的密度为ρ＝M 43πR 3＝3πGT2；已知行星的体积是地球的a 倍，质量是地球的b 倍，结合密度公式ρ＝mV ，得该行星的平均密度是地球的b a 倍，所以该行星的平均密度为3πbGT 2a，故C 正确．【答案】 C3．双星运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成，这两颗星体绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得两星体的轨道半径之和为l 1，轨道半径之差为l 2，a 星体轨道半径大于b 星体轨道半径，a 星体的质量为m 1，引力常量为G ，则b 星体的周期为( )A.2π2l 21(l 1－l 2)Gm 1B ．2π2l 21(l 1＋l 2)Gm 1C.2π2l 21(l 1－l 2)Gm 1(l 1＋l 2)D ．2π2l 21(l 1＋l 2)Gm 1(l 1－l 2)【解析】 设a 星体运动的轨道半径为r 1，b 星体运动的轨道半径为r 2，则r 1＋r 2＝l 1，r 1－r 2＝l 2，解得r 1＝l 1＋l 22，r 2＝l 1－l 22，双星系统根据Gm 1m 2l 21＝m 1⎝⎛⎭⎫2πT 2r 1，Gm 1m 2l 21＝m 2⎝⎛⎭⎫2πT 2r 2，得m 1m 2＝r 2r 1，即双星系统中星体质量与轨道半径成反比，得b 星体的质量m 2＝r 1m 1r 2＝(l 1＋l 2)m 1l 1－l 2，a 、b 两星体运动周期相同，对a 星体有Gm 1m 2l 21＝m 1⎝⎛⎭⎫2πT 2r 1，解得T ＝2π2l 21(l 1－l 2)Gm 1，A 选项正确．【答案】 A4．(2018·江苏泰州高三上学期期中)2016年10月19日3时31分，神舟十一号载人飞船与天宫二号空间实验室成功实现自动交会对接，此时天宫二号绕地飞行一圈时间为92.5 min ，而地球同步卫星绕地球一圈时间为24 h ，根据此两组数据我们能求出的是( )A ．天宫二号与地球同步卫星受到的地球引力之比B ．天宫二号与地球同步卫星的离地高度之比C ．天宫二号与地球同步卫星的线速度之比D ．天宫二号与地球同步卫星的加速度之比【解析】 由F ＝GMm r 2及GMm r 2＝mrω2＝m v 2r ＝ma 可知，ω＝GMr 3，T ＝2π r 3GM，a ＝GMr2，v ＝GMr，已知周期关系可确定半径关系，进而确定线速度关系，加速度关系，但由于不知天宫二号和同步卫星的质量关系，故所受地球引力关系不确定，地球半径未知，所以离地高度关系不确定，C 、D 正确．【答案】 CD5．(2018·安徽师大附中高三上学期期中)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星的公转视为匀速圆周运动．忽略行星自转影响，火星和地球相比( )行星 半径/m 质量/kg 公转轨道半径/m地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011 火星3.4×1066.4×10232.3×1011A.火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的0.45倍 B ．火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的1.4倍 C ．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.43倍 D ．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.28倍 【解析】 根据第一宇宙速度公式v ＝ GMR (M 指中心天体太阳的质量)，v 火v 地＝R 地R 火＝6.4×1063.4×106＝1.4 ，故A 错误，B 正确．根据向心加速度公式a ＝GMr 2(M 指中心天体太阳的质量)，a 火a 地＝r 2地r 2火＝(1.5×10112.3×1011)2＝0.43，故C 正确，D 错误．【答案】 BC6.(2018·山东泰安高三上学期期中)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步椭圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点．轨道3到地面的高度为h ，地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g .以下说法正确的是( )A ．卫星在轨道3上的机械能大于在轨道1上的机械能B ．卫星在轨道3上的周期小于在轨道2上的周期C ．卫星在轨道2上经过Q 点时的速度小于它在轨道3上经过P 时的速度D ．卫星在轨道3上的线速度为v ＝Rg R ＋h【解析】 卫星经历两次点火加速才转移至同步轨道3，在轨道3上的机械能肯定大于轨道1上的机械能，A 对；由T ＝2πr 3GM可知，B 错；由于v ＝GMr，所以v 1>v 3，又轨道2上Q 点离心运动，由v Q >v 1可知v Q >v 3，所以v Q >v P ，C 错；将r ＝R ＋h ，GM ＝gR 2，代入v ＝GMr得v ＝R gR ＋h，D 对． 【答案】 AD[创新导向练]7．巧思妙想——以“苹果”为话题考查天体运行规律已知地球的半径为6.4×106 m ，地球自转的角速度为7.27×10－5rad/s ，地球表面的重力加速度为9.8 m/s 2，在地球表面发射卫星的第一宇宙速度为7.9×103 m/s ，第三宇宙速度为16.7×103 m/s ，月地中心间距离为3.84×108 m ．假设地球上有一颗苹果树长到月球那么高，则当苹果脱离苹果树后，请根据此时苹果线速度的计算，判断苹果将不会( )A ．落回地面B ．成为地球的“苹果月亮”C ．成为地球的同步“苹果卫星”D ．飞向茫茫宇宙【解析】 地球自转的角速度为7.27×10－5rad/s ，月球到地球中心的距离为3.84×108 m ，地球上有一棵苹果树长到了接近月球那么高，根据v ＝rω得：苹果的线速度为v ＝2.8×104 m/s ，第三宇宙速度为16.7×103 m/s ，由于苹果的线速度大于第三宇宙速度，所以苹果脱离苹果树后，将脱离太阳系的束缚，飞向茫茫宇宙，故A 、B 、C 正确．【答案】 ABC8．科学探索——以“一箭20星”为背景考查卫星运行参数月球和地球的质量之比为a ∶1，半径之比为b ∶1，将一单摆由地球带到月球，将摆球从与地球表面相同高度处由静止释放(释放点高度低于悬点高度)，释放时摆线与竖直方向的夹角相同，当摆球运动到最低点时，在月球上和地球上摆线对摆球的拉力之比为( )A.b 2a B ．a b 2C.a 2bD ．b a2【解析】 设重力加速度大小为g ，摆球释放的高度为h ，摆球运动到最低点有mgh ＝12m v 2，摆球在最低点有F －mg ＝m v 2l ，得F ＝mg ＋2mghl，F 与g 成正比．在星球表面上有GMm R 2＝mg ，得g ＝GM R 2，故摆球在月球和地球上受到的拉力之比为ab 2，B 选项正确． 【答案】 B9．军事科技——以导弹拦截为背景考查万有引力定律知识2016年1月27日，我国在境内再次成功地进行了陆基中段反导拦截技术试验，中段是指弹道导弹在大气层外空间依靠惯性飞行的一段．如图所示，一枚蓝军弹道导弹从地面上A 点发射升空，目标是攻击红军基地B 点，导弹升空后，红军反导预警系统立刻发现目标，从C 点发射拦截导弹，并在弹道导弹飞行中段的最高点D 将其击毁．下列说法中正确的是( )A ．图中E 到D 过程，弹道导弹机械能不断增大B ．图中E 到D 过程，弹道导弹的加速度不断减小C ．弹道导弹在大气层外运动轨迹是以地心为焦点的椭圆D ．弹道导弹飞行至D 点时速度大于7.9 km/s【解析】 图中E 到D 过程， 导弹在大气层外空间依靠惯性飞行，没有空气阻力，机械能不变，远离地球，轨道变大，速度减小，万有引力减小，所以加速度减小，在万有引力作用下，运动轨迹是以地心为焦点的椭圆，A 错误，B 、C 正确；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，而D 点在大气层外部，所以轨道要大于近地卫星轨道，运行速度要小于第一宇宙速度，D 错误；故选B 、C.【答案】 BC10．探测火星——以火星探测为背景考查星体运行规律随着人类航天事业的进步，太空探测越来越向深空发展，火星正在成为全球航天界的“宠儿”．我国计划于2020年发射火星探测器，一步实现绕、落、巡工程目标．假设某宇航员登上了火星，在其表面以初速度v 竖直上抛一小球(小球仅受火星的引力作用)，小球上升的最大高度为h ，火星的直径为d ，引力常量为G ，则( )A ．火星的第一宇宙速度为v d hB ．火星的密度为3v 24πGhdC ．火星的质量为v 2d 22GhD ．火星的“近火卫星”运行周期为2πvd h【解析】 在火星表面竖直上抛的小球做匀减速直线运动，设火星表面的重力加速度为g ，第一宇宙速度为v 0，火星的自转周期为T ，则2gh ＝v 2，得g ＝v 22h，在火星表面的物体的重力等于万有引力，也是在火星表面附近做圆周运动的向心力，mg ＝G Mm r 2＝m (2πT )2r ，又r＝d 2，M ＝43πr 3·ρ，得：v 0＝v d 4h ，M ＝v 2d 28Gh ，ρ＝3v 24πGhd，T ＝2πv dh2，故选B. 【答案】 B[综合提升练]11.(2018·山东淄博一中高三上学期期中)如图所示，火箭载着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器．火箭从地面起飞时，以加速度g 02竖直向上做匀加速直线运动(g 0为地面附近的重力加速度)，已知地球半径为R 0.(1)到某一高度时，测试仪器对平台的压力是起飞前的1718，求此时火箭离地面的高度h ；(2)探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为T 0，试问：该行星的平均密度为多少？(假定行星为球体，且已知万有引力恒量为G )【解析】 (1)火箭起飞前有：N 1＝mg 0 火箭起飞后有：N 2－mg ＝mg 02 且有N 1N 2＝1718GMmR 2＝mg 0 GMm(R ＋h )2＝mg联立以上各式解得h ＝R2.(2)设行星半径为r ，质量为M ，密度为ρ，则 GM 1m r 2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 02由ρ＝M 1V ，V ＝43πr 3得ρ＝3πGT 20. 【答案】 (1)R 2 (2)3πGT 2012．中国计划在2017年实现返回式月球软着陆器对月球进行科学探测，宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度v 0水平抛出一小球，测出水平射程为L (这时月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半径为R ，万有引力常量为G .求：(1)月球表面处的重力加速度及月球的质量M 月；(2)如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫星，所需的最小发射速度为多大？(3)当着陆器绕距月球表面高H 的轨道上运动时，着陆器环绕月球运动的周期是多少？【解析】 (1)设月球表面的重力加速度为g ，由平抛运动规律有h ＝12gt 2① L ＝v 0·t ②得g ＝2h v 20L 2③ 着陆器在月球表面所受的万有引力等于重力，GM 月m R 2＝mg ④得M 月＝2h v 20R 2GL 2⑤ (2)卫星绕月球表面运行，有GM 月m ′R 2＝m ′v 2R ⑥联立⑤⑥得v ＝v 0L2hR ⑦ (3)由牛顿第二定律有G M 月m (R ＋H )2＝m (R ＋H )4π2T 2⑧联立⑤⑧得T ＝2π2L 2(R ＋H )3hR 2v 20. 【答案】 (1)2h v 20L 2 2h v 20R 2GL 2 (2)v 0L 2hR (3)2π2L 2(R ＋H )3hR 2v 20。

物理建模系列(八) 天体运行中的“两种常见模型”1．双星模型 (1)模型构建在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．(2)模型条件①两颗星彼此相距较近．②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动． ③两颗星绕同一圆心做圆周运动． (3)模型特点①“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F 1＝F 2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力．②“周期、角速度相同”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等． ③“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r 1＋r 2＝L ，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比．2．三星模型例 (2018·河北定州中学摸底)双星系统中两个星球A 、B 的质量都是m ，相距L ，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动．实际观测该系统的周期T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值T 0，且TT 0＝k (k <1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C 位于A 、B 的连线正中间，相对A 、B 静止，则A 、B 组成的双星系统周期理论值T 0及C 的质量分别为( )A ．2π L 22Gm ，1＋k 24km B ．2π L 32Gm ，1－k 24k m C ．2π2Gm L 3，1＋k24km D ．2πL 32Gm ，1－k 24k2m 【解析】 由题意知，A 、B 的运动周期相同，设轨道半径分别为r 1、r 2，对A 有，Gm 2L2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 02r 1，对B 有，Gm 2L2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 02r 2，且r 1＋r 2＝L ，解得T 0＝2π L 32Gm；有C 存在时，设C 的质量为M ，A 、B 与C 之间的距离r ′1＝r ′2＝L 2，则Gm 2L 2＋GMm r ′21＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r 1，Gm 2L 2＋GMm r ′22＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r 2，解得T ＝2πL 32G (m ＋4M )，TT 0＝mm ＋4M＝k 得M ＝1－k 24k 2m .【答案】 D解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”①它们的角速度相等．②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的．(2)“两不等”①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离．②由m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2知由于m 1与m 2一般不相等，故r 1与r 2一般也不相等.[高考真题]1．(2016·课标卷Ⅲ，14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律【解析】 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律，A 、C 、D 错误，B 正确．【答案】 B2．(2014·课标卷Ⅱ，18)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0；在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ；引力常量为G .地球的密度为( )A.3πGT 2g 0－gg 0 B ．3πGT 2g 0g 0－gC.3πGT2 D ．3πGT 2g 0g【解析】 由万有引力定律可知：在两极处G Mm R 2＝mg 0，在赤道上：G Mm R 2＝mg ＋m (2πT )2R ，地球的质量：M ＝43πR 3ρ，联立三式可得：ρ＝3πGT 2g 0g 0－g，选项B 正确．【答案】 B3．(2015·课标卷Ⅱ，16)由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道．当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行．已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s ，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s ，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )A ．西偏北方向，1.9×103 m/sB ．东偏南方向，1.9×103 m/sC ．西偏北方向，2.7×103 m/sD ．东偏南方向，2.7×103 m/s【解析】 附加速度Δv 与卫星飞经赤道上空时速度v 2及同步卫星的环绕速度v 1的矢量关系如图所示．由余弦定理可知，Δv ＝v 21＋v 22－2v 1v 2cos 30°≈1.9×103 m/s ，方向东偏南方向，故B 正确，A 、C 、D 错误．【答案】 B[名校模拟]4．(2018·山东临沂高三上学期期中)据报道，2020年前我国将发射8颗海洋系列卫星，包括2颗海洋动力环境卫星和2颗海陆雷达卫星(这4颗卫星均绕地球做匀速圆周运动)，以加强对黄岩岛、钓鱼岛及西沙群岛全部岛屿附近海域的监测．设海陆雷达卫星的轨道半径是海洋动力环境卫星的n 倍，下列说法正确的是( )A ．在相同时间内，海陆雷达卫星到地心的连线扫过的面积与海洋动力环境卫星到地心的连线扫过的面积相等B ．海陆雷达卫星做匀速圆周运动的半径的三次方与周期的平方之比等于海洋动力环境卫星做匀速圆周运动的半径的三次方与周期的平方之比C ．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星角速度之比为n 32∶1D ．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星周期之比为1∶n 32【解析】 由于轨道半径不同，相同时间内扫过的面积不相等，A 错；由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知，B 项正确；由ω＝GM r 3∝r －32得，ω1∶ω2＝n －32∶1，由T ＝2πr 3GM得，T 1∶T 2＝1∶n －32，C 、D 均错．【答案】 B5．(2018·山东济南一中上学期期中)在未来的“星际穿越”中，某航天员降落在一颗不知名的行星表面上．该航天员从高h ＝L 处以初速度v 0水平抛出一个小球，小球落到星球表面时，与抛出点的距离是5L ，已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，则下列说法正确的是( )A ．该星球的质量M ＝v 20R22GLB ．该星球的质量M ＝2v 20R25GLC ．该星球的第一宇宙速度v ＝v 0 R 2LD ．该星球的第一宇宙速度v ＝v 0R L【解析】 在该星球表面处：mg ＝GMm R 2，g ＝GM R 2，x ＝v 0t ，y ＝12gt 2＝L ，t ＝2Lg，由5L ＝x 2＋y 2，得g ＝v 202L ，M ＝v 20R22GL，该星球的第一宇宙速度v ＝gR ＝v 0R2L，故A 、C 正确．【答案】 AC6.(2018·山东潍坊高三上学期期中)2017年8月16日凌晨，中国量子卫星“墨子”在酒泉卫星发射中心成功发射，目前“墨子”已进入离地面高度为h 的极地预定轨道(轨道可视为圆轨道)，如图所示．若“墨子”从北纬30°的正上方按图示方向第一次运行至南纬60°正上方，所用时间为t ，已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，忽略地球自转，由以上条件可知( )A ．地球的质量为gRGB ．卫星运行的角速度为π2tC ．卫星运行的线速度为πR2tD ．卫星运行的线速度为π(R ＋h )2t【解析】 在地球表面Mg ＝GMm R 2，M ＝gR 2G ，A 错；第一次运行至南纬60°历时t ＝T4，而T ＝2πω，所以ω＝π2t ，B 对；v ＝ω(R ＋h )＝π(R ＋h )2t，C 错，D 对．【答案】 BD课时作业(十三) [基础小题练]1．(2018·华中师大第一附中高三上学期期中)已知甲、乙两行星的半径之比为2∶1，环绕甲、乙两行星表面运行的两卫星周期之比为4∶1，则下列结论中正确的是( )A ．甲、乙两行星表面卫星的动能之比为1∶4B ．甲、乙两行星表面卫星的角速度之比为1∶4C ．甲、乙两行星的质量之比为1∶2D ．甲、乙两行星的第一宇宙速度之比为2∶1【解析】 由GMm r 2＝mrω2＝m v 2r得 ω＝GMr 3，v ＝ GM r ，E k ＝12m v 2， T ＝2πω＝2πr 3GM，代入数据得M 甲∶M 乙＝1∶2，ω甲∶ω乙＝1∶4，v 甲∶v 乙＝1∶2，卫星质量关系不知，不能比较动能大小．【答案】 BC2．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的a 倍，质量是地球的b 倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为T ，引力常量为G ，则该行星的平均密度为( )A.4πGb 2T 2a 2 B ．4πa GT 2bC.3πb GT 2aD ．4πbGT 2a【解析】 对于近地卫星，设其质量为m ，地球的质量为M ，半径为R ，则根据万有引力提供向心力有，G Mm R 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ，得地球的质量M ＝4π2R 3GT 2，地球的密度为ρ＝M 43πR 3＝3πGT2；已知行星的体积是地球的a 倍，质量是地球的b 倍，结合密度公式ρ＝mV ，得该行星的平均密度是地球的b a 倍，所以该行星的平均密度为3πbGT 2a，故C 正确．【答案】 C3．双星运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成，这两颗星体绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得两星体的轨道半径之和为l 1，轨道半径之差为l 2，a 星体轨道半径大于b 星体轨道半径，a 星体的质量为m 1，引力常量为G ，则b 星体的周期为( )A.2π2l 21(l 1－l 2)Gm 1B ．2π2l 21(l 1＋l 2)Gm 1C.2π2l 21(l 1－l 2)Gm 1(l 1＋l 2)D ．2π2l 21(l 1＋l 2)Gm 1(l 1－l 2)【解析】 设a 星体运动的轨道半径为r 1，b 星体运动的轨道半径为r 2，则r 1＋r 2＝l 1，r 1－r 2＝l 2，解得r 1＝l 1＋l 22，r 2＝l 1－l 22，双星系统根据Gm 1m 2l 21＝m 1⎝⎛⎭⎫2πT 2r 1，Gm 1m 2l 21＝m 2⎝⎛⎭⎫2πT 2r 2，得m 1m 2＝r 2r 1，即双星系统中星体质量与轨道半径成反比，得b 星体的质量m 2＝r 1m 1r 2＝(l 1＋l 2)m 1l 1－l 2，a 、b 两星体运动周期相同，对a 星体有Gm 1m 2l 21＝m 1⎝⎛⎭⎫2πT 2r 1，解得T ＝2π2l 21(l 1－l 2)Gm 1，A 选项正确．【答案】 A4．(2018·江苏泰州高三上学期期中)2016年10月19日3时31分，神舟十一号载人飞船与天宫二号空间实验室成功实现自动交会对接，此时天宫二号绕地飞行一圈时间为92.5 min ，而地球同步卫星绕地球一圈时间为24 h ，根据此两组数据我们能求出的是( )A ．天宫二号与地球同步卫星受到的地球引力之比B ．天宫二号与地球同步卫星的离地高度之比C ．天宫二号与地球同步卫星的线速度之比D ．天宫二号与地球同步卫星的加速度之比【解析】 由F ＝GMm r 2及GMm r 2＝mrω2＝m v 2r ＝ma 可知，ω＝GMr 3，T ＝2π r 3GM，a ＝GMr2，v ＝GMr，已知周期关系可确定半径关系，进而确定线速度关系，加速度关系，但由于不知天宫二号和同步卫星的质量关系，故所受地球引力关系不确定，地球半径未知，所以离地高度关系不确定，C 、D 正确．【答案】 CD5．(2018·安徽师大附中高三上学期期中)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星的公转视为匀速圆周运动．忽略行星自转影响，火星和地球相比( )A.B ．火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的1.4倍 C ．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.43倍 D ．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.28倍 【解析】 根据第一宇宙速度公式v ＝ GMR (M 指中心天体太阳的质量)，v 火v 地＝R 地R 火＝6.4×1063.4×106＝1.4 ，故A 错误，B 正确．根据向心加速度公式a ＝GMr 2(M 指中心天体太阳的质量)，a 火a 地＝r 2地r 2火＝(1.5×10112.3×1011)2＝0.43，故C 正确，D 错误．【答案】 BC6.(2018·山东泰安高三上学期期中)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步椭圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点．轨道3到地面的高度为h ，地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g .以下说法正确的是( )A ．卫星在轨道3上的机械能大于在轨道1上的机械能B ．卫星在轨道3上的周期小于在轨道2上的周期C ．卫星在轨道2上经过Q 点时的速度小于它在轨道3上经过P 时的速度D ．卫星在轨道3上的线速度为v ＝Rg R ＋h【解析】 卫星经历两次点火加速才转移至同步轨道3，在轨道3上的机械能肯定大于轨道1上的机械能，A 对；由T ＝2πr 3GM可知，B 错；由于v ＝GMr，所以v 1>v 3，又轨道2上Q 点离心运动，由v Q >v 1可知v Q >v 3，所以v Q >v P ，C 错；将r ＝R ＋h ，GM ＝gR 2，代入v ＝GMr得v ＝R gR ＋h，D 对． 【答案】 AD[创新导向练]7．巧思妙想——以“苹果”为话题考查天体运行规律已知地球的半径为6.4×106 m ，地球自转的角速度为7.27×10－5rad/s ，地球表面的重力加速度为9.8 m/s 2，在地球表面发射卫星的第一宇宙速度为7.9×103 m/s ，第三宇宙速度为16.7×103 m/s ，月地中心间距离为3.84×108 m ．假设地球上有一颗苹果树长到月球那么高，则当苹果脱离苹果树后，请根据此时苹果线速度的计算，判断苹果将不会( )A ．落回地面B ．成为地球的“苹果月亮”C ．成为地球的同步“苹果卫星”D ．飞向茫茫宇宙【解析】 地球自转的角速度为7.27×10－5rad/s ，月球到地球中心的距离为3.84×108 m ，地球上有一棵苹果树长到了接近月球那么高，根据v ＝rω得：苹果的线速度为v ＝2.8×104 m/s ，第三宇宙速度为16.7×103 m/s ，由于苹果的线速度大于第三宇宙速度，所以苹果脱离苹果树后，将脱离太阳系的束缚，飞向茫茫宇宙，故A 、B 、C 正确．【答案】 ABC8．科学探索——以“一箭20星”为背景考查卫星运行参数月球和地球的质量之比为a ∶1，半径之比为b ∶1，将一单摆由地球带到月球，将摆球从与地球表面相同高度处由静止释放(释放点高度低于悬点高度)，释放时摆线与竖直方向的夹角相同，当摆球运动到最低点时，在月球上和地球上摆线对摆球的拉力之比为( )A.b 2a B ．a b 2C.a 2bD ．b a2【解析】 设重力加速度大小为g ，摆球释放的高度为h ，摆球运动到最低点有mgh ＝12m v 2，摆球在最低点有F －mg ＝m v 2l ，得F ＝mg ＋2mghl，F 与g 成正比．在星球表面上有GMm R 2＝mg ，得g ＝GM R 2，故摆球在月球和地球上受到的拉力之比为ab2，B 选项正确． 【答案】 B9．军事科技——以导弹拦截为背景考查万有引力定律知识2016年1月27日，我国在境内再次成功地进行了陆基中段反导拦截技术试验，中段是指弹道导弹在大气层外空间依靠惯性飞行的一段．如图所示，一枚蓝军弹道导弹从地面上A 点发射升空，目标是攻击红军基地B 点，导弹升空后，红军反导预警系统立刻发现目标，从C 点发射拦截导弹，并在弹道导弹飞行中段的最高点D 将其击毁．下列说法中正确的是( )A ．图中E 到D 过程，弹道导弹机械能不断增大B ．图中E 到D 过程，弹道导弹的加速度不断减小C ．弹道导弹在大气层外运动轨迹是以地心为焦点的椭圆D ．弹道导弹飞行至D 点时速度大于7.9 km/s【解析】 图中E 到D 过程， 导弹在大气层外空间依靠惯性飞行，没有空气阻力，机械能不变，远离地球，轨道变大，速度减小，万有引力减小，所以加速度减小，在万有引力作用下，运动轨迹是以地心为焦点的椭圆，A 错误，B 、C 正确；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，而D 点在大气层外部，所以轨道要大于近地卫星轨道，运行速度要小于第一宇宙速度，D 错误；故选B 、C.【答案】 BC10．探测火星——以火星探测为背景考查星体运行规律随着人类航天事业的进步，太空探测越来越向深空发展，火星正在成为全球航天界的“宠儿”．我国计划于2020年发射火星探测器，一步实现绕、落、巡工程目标．假设某宇航员登上了火星，在其表面以初速度v 竖直上抛一小球(小球仅受火星的引力作用)，小球上升的最大高度为h ，火星的直径为d ，引力常量为G ，则( )A ．火星的第一宇宙速度为v d hB ．火星的密度为3v 24πGhdC ．火星的质量为v 2d 22GhD ．火星的“近火卫星”运行周期为2πvd h【解析】 在火星表面竖直上抛的小球做匀减速直线运动，设火星表面的重力加速度为g ，第一宇宙速度为v 0，火星的自转周期为T ，则2gh ＝v 2，得g ＝v 22h，在火星表面的物体的重力等于万有引力，也是在火星表面附近做圆周运动的向心力，mg ＝G Mm r 2＝m (2πT )2r ，又r＝d 2，M ＝43πr 3·ρ，得：v 0＝v d 4h ，M ＝v 2d 28Gh ，ρ＝3v 24πGhd，T ＝2πv dh2，故选B. 【答案】 B[综合提升练]11.(2018·山东淄博一中高三上学期期中)如图所示，火箭载着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器．火箭从地面起飞时，以加速度g 02竖直向上做匀加速直线运动(g 0为地面附近的重力加速度)，已知地球半径为R 0.(1)到某一高度时，测试仪器对平台的压力是起飞前的1718，求此时火箭离地面的高度h ；(2)探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为T 0，试问：该行星的平均密度为多少？(假定行星为球体，且已知万有引力恒量为G )【解析】 (1)火箭起飞前有：N 1＝mg 0 火箭起飞后有：N 2－mg ＝mg 02 且有N 1N 2＝1718GMmR 2＝mg 0 GMm(R ＋h )2＝mg联立以上各式解得h ＝R2.(2)设行星半径为r ，质量为M ，密度为ρ，则 GM 1m r 2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 02由ρ＝M 1V ，V ＝43πr 3得ρ＝3πGT 20. 【答案】 (1)R 2 (2)3πGT 2012．中国计划在2017年实现返回式月球软着陆器对月球进行科学探测，宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度v 0水平抛出一小球，测出水平射程为L (这时月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半径为R ，万有引力常量为G .求：(1)月球表面处的重力加速度及月球的质量M 月；(2)如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫星，所需的最小发射速度为多大？(3)当着陆器绕距月球表面高H 的轨道上运动时，着陆器环绕月球运动的周期是多少？【解析】 (1)设月球表面的重力加速度为g ，由平抛运动规律有h ＝12gt 2① L ＝v 0·t ②得g ＝2h v 20L 2③ 着陆器在月球表面所受的万有引力等于重力，GM 月m R 2＝mg ④得M 月＝2h v 20R 2GL 2⑤ (2)卫星绕月球表面运行，有GM 月m ′R 2＝m ′v 2R ⑥联立⑤⑥得v ＝v 0L2hR ⑦ (3)由牛顿第二定律有G M 月m (R ＋H )2＝m (R ＋H )4π2T 2⑧联立⑤⑧得T ＝2π2L 2(R ＋H )3hR 2v 20. 【答案】 (1)2h v 20L 2 2h v 20R 2GL 2 (2)v 0L 2hR (3)2π2L 2(R ＋H )3hR 2v 20。

核心素养提升微课堂科学思维系列——双星模型1．模型构建在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的星球称为双星．2．模型特点①两颗星球角速度相同，间距不变，绕两者连线上某点旋转，轨迹为同心圆．②两颗星球各自需要的向心力由彼此间的万有引力提供，即 Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L2＝m 2ω22r 2. ③两颗星球的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2，且T 1＝T 2＝2πL 3G (m 1＋m 2). ④两颗星球的轨道半径与两者间的距离关系为r 1＋r 2＝L ，要注意r 1、r 2和L 的区别．⑤由m 1a 1＝m 2a 2可以推出a 1a 2＝m 2m 1. 【典例】方法技巧解决双星问题的关键对于双星问题，关键抓住“四个相等”，即向心力、角速度、周期大小相等，轨道半径之和等于两星间距，然后运用万有引力提供向心力列式求解．变式训练1(多选)两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是()A．它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比B．它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比C．它们做圆周运动的半径与其质量成正比D．它们做圆周运动的半径与其质量成反比解析：两天体绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等，故A错误；因为两天体做圆周运动的向心力由两天体间的万有引力提供，向心力大小相等，由G m1m2＝m1r1ω2，GL2m1m2＝m2r2ω2可知，m1r1ω2＝m2r2ω2，所以它们的轨道半径与它L2们的质量成反比，C错误，D正确；而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与它们的质量也是成反比的，B正确．答案：BD变式训练2(多选)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，如图所示．两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1:m 2＝3:2.则可知( )A ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3:2B ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为2:3C ．m 1做圆周运动的半径为25LD ．m 1、m 2做圆周运动的向心力大小相等解析：双星系统周期相同(角速度相同)，所受万有引力作为向心力相同，所以B 项错误，D 项正确；由F ＝mω2r ，m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，得m 1v 1＝m 2v 2，v 1v 2＝m 2m 1＝23，A 项错误；r 1r 2＝m 2m 1又r 1＋r 2＝L ，所以r 1＝m 2m 1＋m 2L ＝25L ，C 项正确． 答案：CD变式训练3 银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动．由天文观测得其周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知万有引力常量为G .由此可求出S 2的质量为( )A.4π2r 2(r －r 1)GT 2B.4π2r 31GT 2C.4π2r 3GT 2D.4π2r 2r 1GT 2解析：设S 1、S 2两星体的质量分别为m 1、m 2，根据万有引力定律和牛顿定律得：对S 1有G m 1m 2r 2＝m 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 1， 解之可得m 2＝4π2r 2r 1GT 2.所以正确选项是D.答案：D变式训练4 月球与地球质量之比约为180，月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕地月连线上某点O 做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O 点运动线速度大小之比约为( )。

双星模型作者：崔晓丽来源：《商情》2013年第06期两颗彼此相距较近的行星，它们在相互的万有引力作用下，间距保持不变，并沿半径大小不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。

我们可以将这样的模型称为双星模型。

双星模型特点应用一、简介双星模型及其特点两颗彼此相距较近的行星，它们在相互的万有引力作用下，间距保持不变，并沿半径大小不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。

我们可以将这样的模型称为双星模型。

因为在相互的万有引力作用下做匀速圆周运动，所以二者的向心力大小是相等的，周期是相同的，即角速度也是相同的。

二、双星模型在天体问题中的应用据最新观测表明“罗盘座T星”距离太阳系只有3260光年。

该系统是由一颗白矮星和它的类日伴星组成的双星系统，由于白矮星不停地吸收由类日伴星抛出的物质致使其质量不断增加。

现假设类日伴星所释放的物质被白矮星全部吸收，并且两星间的距离在一段时间内保持不变，两星球的总质量不变，则下列说法正确的是（）A、两星间的万有引力不变；B、两星的运动周期不变；C、类日伴星的轨道半径增大；D、白矮星的轨道半径增大。

解析：首先从题干中提炼出已知信息，由一颗白矮星和它的类日伴星组成双星系统，而且白矮星其质量（设为M1）不断增加，类日伴星其质量（设为M2）不断减小，但二者质量之和是不变的。

示意图如下图：三、双星模型在电学问题中的应用电量q1=5q2，质量m1=5m2的两个带异种电荷的粒子，除相互作用的电场力外不受其它作用力，要保持两者距离不变，两粒子必须同时绕连线上某一点做匀速圆周运动，则二者的半径之比为多少？五、拓展三星模型和四星模型1、（关于三星模型）已观测到稳定的三星系统存在这样的一种基本的构成形式：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。

设每个星体的质量均为M。

周期，求星体之间的距离为多少？解析：星体的分布如下图所示。

设星体做圆周运动的半径为 r，相邻两星体间距离为d，则有：2、（关于四星模型）宇宙中一种稳定的四星模型构成形式是四颗星分布在边长为a的正方形的四个顶点上.设每个星体的质量均为M，求四颗星运行的周期为多少？解析：星体的分布如下图所示。

双星模型半径公式推导
大球M 小球m 距离L 轨道半径为RrGMm/L²=M4π²R/T²GMm/L²=m4π²r/T²r+R=L 两式相除得m/M=R/r 联立最后一式子得r=ML/M+m代入第二个式子得T²＝4π²L³／G﹙m+M﹚在银河系中，双星的数量非常多，估计不少于单星。

研究双星，不但对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义，而且对于了解银河系的形成和演化，也是一个不可缺少的方面。

其中一个的万有引力由另一个星体提供，反之相同。

它们的向心加速度之比为他们质量的反比。

注意：行星围绕恒星做匀速圆周运动，或者卫星绕行星做圆周运动时，万有引力作用的距离，刚好是行星(或卫星)圆周运动的轨道半径，但是在双星系统中的引力作用的距离与双星运动的轨道半径是不同的，双星系统中两星做圆周运动时的角速度和周期是一定相同的。

它们的线速度之比与其各自运行的轨道半径之比相同。