最新高中数学学业水平测试高考基础专项测试题精编八套

高中数学学业水平复习练习一 I 集合与函数(一)1. 已知 S ={1 , 2, 3, 4, 5}, A ={ 1 , 2}, B ={ 2 , 3, 6},则 A B ________ , A B _________ , (C S A) B __________ .2. 已知 A {x| 1 x 2}, B {x|1 x 3},则 A B ____________________ , A B _________3. 集合{a,b,c,d}的所有子集个数是 _____ ,含有2个元素子集个数是 _______ .4. ______________________________________ 图中阴影部分的集合表示正确的有6. ____________________________ 下列表达式正确的有7. 若{1,2} A {1,2,3,4}，则满足A 集合的个数为 __________ . 8. 下列函数可以表示同一函数的有 _________ . (A)f(x) x, g(x) ( .x)2(B) f (x) x, g(x) . x 21 X 0 f — ' ------ . --------------------(C)f(x) -,g(x)(D) f(x) x x 1,g(x) x(x 1)xx9. 函数f(x) V x —2 (3 x 的定义域为 ________________ .110. 函数f (x)的定义域为 ________yl g x11. _____________________________ 若函数 f (x) x 2,则f (x 1) . 12. 已知 f (x 1) 2x 1,则f (x)______ .(A)C u (A B) (B)C U (A B)(C) (C U A) (C u B)(D) (C U A) (C u B)5.已知 A {( x, y) | xy 4}, B {( x, y) | xy 6},贝V A B =(A) A B A B A (B) A B A(C) A (C u A) A (D) A (C U A) U13. 已知f(JX) x 1，贝U f(2) _____ .X x 014. 已知f(x) ' ，贝U f(0) ____ f[ f( 1)] ____ .2, x 0215. 函数y -的值域为____________ .x16. 函数y x2 1, x R的值域为______________ .17. 函数y x2 2x,x (0,3)的值域为_______________ .118. 将函数y -的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则对应x图象的解析式为__________ .练习二|集合与函数(二)1. 已知全集1={1，2，3, 4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么C I(A AB)=( ).A. {3，4}B.{1，2，5，6}C.{1，2，3，4，5，6}D.①2. 设集合M ={1，2，3，4，5}，集合N={ x| x2 9}，M AN=( ).A.{x| 3x3}B.{1，2}C.{1，2，3}D.{x|1 x 3}3. 设集合M={ —2，0，2}，N={0}，则().A. N 为空集B. N € MC. N MD. M N4. 函数y= lg(x2 1)的定义域是______________________ .5. 已知函数f(J x)=log 3(8X+7),那么f(?等于 _____________________ .6. 与函数y= x有相同图象的一个函数是().A.y= x2B. y = —C. y= a log a x (a>0, a 丰 1)D. y= log a a x (a>0, ax7. 在同一坐标系中，函数y=log°.5X与y= log2 x的图象之间的关系是().A.关于原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y=1对称.D.关于y 轴对称)上是增函数的是 ).1 1C. y=( 2)xD.y= log 0.3 -B. 在区间(一s, 0)上的减函数 D. 在区间(0, + s )上的减函数B.是奇函数，但不是偶函数 D.不是奇函数，也不是偶函数11. 设函数 f(x)=(m — 1)x 2+( m+1) x+3 是偶函数，贝U m= _______ . 12. 函数 y=log 3|x| (x € R 且 x 工 0)( ).A. 为奇函数且在(—s, 0)上是减函数B. 为奇函数且在(—s, 0)上是增函数C. 是偶函数且在(0, + s )上是减函数D. 是偶函数且在(0 , + s )上是增函数13. 若f(x)是以4为周期的奇函数，且f( — 1)=a(a 工0),贝(5)的值等于( ).A. 5 aB. — aC. aD. 1 — a114. 如果函数y= log a x 的图象过点(-，2),则a= _____________ .9 2115. 实数 273 -2 g 23 • lo 旷 +lg4+2lg5 的值为 ________________ .88. 下列函数中，在区间(0 , + sA.y= — x 2B.y= x 2 — x+29. 函数 y= log 2( x)是().A.在区间(一s, 0)上的增函数 C.在区间(0, + s )上的增函数3x -1 10. 函数 f(x)= ( ).3x +1A.是偶函数，但不是奇函数 C.既是奇函数，又是偶函数16. 设a=log 26.7, b=log 0.24.3, c=log 0.25.6,则a, b, c 的大小关系为( )17•若log! x 1，则x的取值范围是().21 1 1A. xB. 0 xC.xD. x 02 2 2练习三|立体几何(一)1. 下列条件，可以确定一个平面的是():(A)三个点(B)不共线的四个点(C) 一条直线和一个点(D)两条相交或平行直线2. 判断下列说法是否正确：[](1)如果两直线没有公共点，则它们平行[](2)分别位于两个平面内的两条直线是异面直线[](3)不在任何一个平面的两条直线异面[](4)过空间中一点有且只有一条直线和已知直线平行[](5)若a//b,b ,则a//[](6)如果一直线和一平面平行，则这条直线和平面的任意直线平行[](7)如果一条直线和一个平面平行，则这条直线和这个平面内的无数条直线平行[](8)若两条直线同时和一个平面平行，则这两条直线平行[](9)若a// ,b ,且a,b共面，则a//b[](10)两个平面的公共点的个数可以是0个，1个或无数[](11)若a ,b , // ，则a//b[](12)若a// ,a// ，贝U //A. b< c< aB. a< c< bC. a< b<cD. c< b< a[](13)若一个平面内的无数条直线和另一个平面平行，则这两个平面平行[](14)若// ,a ，则a//[](15)若一个平面同两个平面相交且它们的交线平行，则两平面平行[](16)过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行[](17)如果一直线垂直于一个平面内的所有直线，则这条直线垂直于这个平面[](18)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直[](19)若，a ,b ,，则 a b[](20)若a , ,则a[](21)若,/，贝U[](22)垂直于同一条直线的两个平面平行[](23)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直练习四立体几何(二)1•已知AB为平面的一条斜线，B为斜足，AO ，O为垂足，BC为平面内的一条直线, ABC 60 , OBC 45，则斜线AB与平面所成的角的大小为__________________2. 在棱长均为a的正四棱锥S ABCD中，(1) 棱锥的高为 ______ .(2) 棱锥的斜高为 _________ .(3) SA与底面ABCD的夹角为__________ .(4) 二面角S BC A的大小为____________3. _____________________________________________________________________________ 已知正四棱锥的底面边长为4近，侧面与底面所成的角为45，那么它的侧面积为 _________________4. 在正三棱柱ABC A1BQ1中，底面边长和侧棱长均为a,取AA i的中点M，连结CM，BM，则二面角M BC A的大小为5 •已知长方体的长、宽、高分别是2、3、4，那么它的一条对角线长为 ______ .6. 在正三棱锥中，已知侧面都是直角三角形，那么底面边长为a时，它的全面积是______ .7. 若球的一截面的面积是36，且截面到球心的距离为8，则这个球的体积为_________ ，表面积为_________ .8. 半径为R球的内接正方体的体积为___________ .练习五I立体几何(三)解答题：1. 在四棱锥P ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD a ,PA PC 、2a.⑴求证：PD 平面ABCD ；⑵求证：PB AC ；(3) 求PA与底面所成角的大小；(4) 求PB与底面所成角的余弦值2. 在正四棱柱ABCD AB.CQ,中，AB=1 , AA, 2 .(1) 求BC i与平面ABCD所成角的余弦值；(2) 证明：AC i BD ;(3) 求AC i与平面ABCD所成角的余弦值.3. 在直三棱柱ABC-A i B i C i 中，D 是AB 的中点，AC = BC=2 , AA i = 2. 3 .(1)求证：A i D DC ; (2)求二面角A i CDA的正切值；⑶求二面角A i BC A的大小.住* 1\* i\ \ :\ \ :\ \ *\/ BA D4. 四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD丄底面ABCD，且BD = 6 , PB与底面所成角的正切值为一66(1) 求证：PB丄AC ;(2) 求P点到AC的距离.练习六解析几何1. 已知直线I的倾斜角为135，且过点A( 4,1),B(m, 3)，则m的值为__________ .2. 已知直线I的倾斜角为135，且过点(1,2)，则直线的方程为________________ .3. 已知直线的斜率为4，且在x轴上的截距为2，此直线方程为_______________4. 直线x J3y 2 0倾斜角为__________________ .5. 过点(2,3)且平行于直线2x y 5 0的方程为________________________.过点(2,3)且垂直于直线2x y 5 0的方程为________________________.6. 已知直线l「x ay 2a 2 O,D：ax y 1 a 0，当两直线平行时，a= __________________ 当两直线垂直时，a= ______ .7. 设直线l i: 3x 4y 2 0」2：2X y 2 0」3：3x 4y 2 0，则直线l i与J的交点到I3的距离为_____________ .8. 平行于直线3x 4y 2 0且到它的距离为1的直线方程为__________________ .练习七|不等式1. 不等式|1 2x| 3的解集是______________ .2. 不等式x2 x 2 0的解集是 _______________ .3. 不等式x2 x 1 0的解集是 _______________ .4. 不等式口0的解集是________________ .3 x5. 已知不等式x2 mx n 0的解集是｛x | x 1,或x 2｝，则m和n的值分别为_____________6. 不等式x2 mx 4 0对于任意x值恒成立，则m的取值范围为________________ .7. _______________________________________________________ 已知2 a 5, 4 b 6，则a b的取值范围是 ____________________________________________________则b a的取值范围是 _____________ -的取值范围是 ______________a8. 已知a,b 0且a b 2,则ab的最值为.9. 已知m 0,则函数y 2m —的最值为_此时mm10 . .若x 0，则函数y1x -的取值范围是(x).A.( , 2]B. [2, )C. ( , 2] [2, )D. [ 2,2]6 211.若x 0,则函数y 4 p 3x 2有（）.x练习八 平面向量1.已知a,b满足|a !1,|b| 4,a b2,则a 与b 的夹角为（）A. 6B. 4C. 3D. 22.已知 a （2,1）, a b （1,k ）,若 a b,则实数k ----------------- .3.若向量 a =（1,1）, b=（i, — i ）,c=（ — 1,2）,则 c=（）.1 3 1 3 3 1 31」A — _ a + _ bB _ a — _ bC _ a — _ bD — _ a + _ b2 2 ' 2 2 ' 2 2 ' 2 24. 若|a |=1 , |b|=2 , c = a + b ，且c 丄a ，则向量a 与b 的夹角为（）. A.30oB.60oC.120oD150o5. 已知向量a,b 满足同1,N2, a 与b 的夹角为60 ,则b 耳 -------------------------- .数列（一）1. 已知数列｛如中，去1 , an 1 2an 1,则a 1 ___________________ .2.-81是等差数列 -5 , -9 , -13 ,•的第（ ）项.3. 若某一数列的通项公式为an 1 4n ，则它的前50项的和为 _______________4. 等比数列2,6,18,54,…的前n 项和公式％ = ______________ .5. _____________________________________________ 在等差数列｛an ｝中，a6 5, a3 a8 5,则S9_______________________________________________A.最大值4 6、. 2B.最小值4 62C.最大值4 6.2D.最小值4 6 26.2 1与、21的等比中项为7.若a ,b ,c成等差数列，且a b c 8，则b=________________8. 等差数列｛an｝中，a3+ a4+ a5+ a6+ a7=150 ，则a2+a8=9. 在等差数列｛an｝中，若a5=2 , a10=10，则a15= _______ .1 3 9 27 8110. 数列1,5,9, 13,17，…的一个通项公式为 __________ .11. 在等比数列中，各项均为正数，且3236 9，则log 1(838485) = _________________ .312. 等差数列中，a1 24,d 2,则Sn= _____________ .13. 已知数列｛ a n ｝的前项和为S n = 2n 2 -n，则该数列的通项公式为 ________ .14. 已知三个数成等比数列，它们的和为14，它们的积为64，则这三个数练习十数列(二)1. 在等差数列｛9n｝中，95 8，前5项的和S5 10，它的首项是—公差2. _____________________________________________________ 在公比为2的等比数列中，前4项的和为45，则首项为______________________________________3.在等差数列｛3n｝中，已知9a2 a3 a4 a5 15，则3284 =12. _____________________________________________________________在各项均为正数的等比数列中，若aia5 5，则log5（a2a3a4） ____________________________________ 练习十一三角函数（一）1. 已知角x的终边与角30的终边关于y轴对称，则角x的集合可以表示为2. 在360 ~ 720之间，与角175终边相同的角有______________________ .3. 在半径为2的圆中，弧度数为一的圆心角所对的弧长为 _________ 扇形面积为____________34. 已知角的终边经过点（3，—4），贝U sin = ___ , cos = ________ ,tan = _______ .5. 已知sin 0且cos 0，则角_______ 一定在第限.35.已知sin11，则sin4cos 46. 计算：7cos12sinO 2tanO cos2 137. 已知tan ，且，则sin3 29. 化简：旦—鯉乙丄sin （ ）cos （ ）练习十二三角函数（二）1. _______________________ 求值： cos165 = ____ ，tan( 15 )12. 已知cos ， ________ 为第三象限角，则sin （y ），3. ___________________________________________________________ 已知tanx,tany 是方程x 26x 7 0的两个根，贝U tan(x y) ___________________________ ， tan 65tan5V3 tan65 tan 5sin15 cos15 , sin 2— cos 2 —2 214.已知sin1，为第二象限角，则sin2 _sin 70 cos10 sin 20 sin 170 cos2 = _________, cos8.已知tan2，则江 cos 2cossincos <3 sin ___________ ，1 tan15 1 tan155 36•在 ABC 中'若 cos A i3，sin B 5,则 sin C7.已知tan 2, tan 3,且，都为锐角，则 8.已知sincosi ，则sin2 —-.15 14比较大小：cos 515 —cos530， sin （肓）—sin （可）6. _______________________________________________________________________ 要得到函数y 2sin （2x 才）的图象，只需将y 2sin2x 的图象上各点 ___________________________7. 将函数y cos2x 的图象向左平移-个单位，得到图象对应的函数解析式为8.已知cos ,（0 _______________________ 2 ），贝U 可能的值有 .练习十四|三角函数（四）101. 在0~2范围内，与10终边相同的角是 _________________ .3 2. 若 sin a <且 cos a <0,贝U a 为第_______ 限角.三角函数（三）1.函数ysin （x7）的图象的一个对称中心是（）.A. （0,0） 3 3B. G 1）C.（才°D.（才。

高中数学学业水平考试练习题 练习一 集合与函数（一)1. 已知S ＝｛1，2，3,4,5}，A ＝{1，2｝,B ＝{2，3，6｝，则______=B A ，______=B A ，______)(=B A C S .2. 已知},31|{},21|{<<=<<-=x x B x x A则______=B A ，______=B A 。

3。

集合},,,{d c b a 的所有子集个数是_____，含有2个元素子集个数是_____.4。

图中阴影部分的集合表示正确的有________.(1）)(B A C U （2）)(B A C U(3）)()(B C A C U U （4))()(B C A C U U5. 已知},6|),{(},4|),{(=+==-=y x y x B y x y x A ________B A ＝则 .6. 下列表达式正确的有__________.（1）A B A B A =⇒⊆ (2)B A A B A ⊆⇒=(3）A A C A U =)( （4）U A C A U =)(7。

若}2,1{≠⊂}4,3,2,1{⊆A ，则满足A 集合的个数为____。

8. 下列函数可以表示同一函数的有________。

（1）2)()(,)(x x g x x f == （2)2)(,)(x x g x x f ==（3）xx x g x x f 0)(,1)(== (4）)1()(,1)(+=+⋅=x x x g x x x f 9。

函数x x x f -+-=32)(的定义域为________.10. 函数291)(x x f -=的定义域为________.11。

若函数_____)1(,)(2=+=x f x x f 则.12。

已知_______)(,12)1(=-=+x f x x f 则.13。

已知1)(-=x x f ，则______)2(=f 。

2023年高中数学学业水平试题及答案1．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)-，则z =（）A ．2i +B ．2i -C ．12i+D ．12i-【答案】D【解析】∵复数z 对应的点的坐标是(1,2)-，∴12i z =-，故选D ．2．在ABC V 中，1,2,60a c B ===︒，则b =（）A ．1B ．2C D【答案】D【解析】由余弦定理，得2222212cos 1221232b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=故选D ．3．圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，则圆台的体积为（）A ．3πB ．28πC ．D ．3【答案】A【解析】因圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，=，所以圆台的体积为221285(2244)33V π=+⨯+=，故选A ．4．，则原图形面积为（）A ．4B ．C ．2D ．3【答案】A【解析】底边长为a ，高为h 的三角形的面积为12S ah =，在斜二测直观图中，若三角形的底边与x '轴平行或重合，则原三角形的斜二测直观图的面积为112sin 45228S a h ah '=⨯︒=，则S ='，由于平面多边形可由若干各三角形拼接而成，故平面多边形的面积是其直观图面积的倍，4=，故选A ．5．已知向量a ，b ，c 满足()3,0=a ，()0,4=b ，()()1λλλ=+-∈R c a b ，则c 的最小值为（）A ．56B ．125C ．365D ．485【答案】B【解析】由条件可知()3,44λλ=-c ，则===c ，当1625λ=时，min 125=c ，故选B ．6．在平行四边形ABCD 中，1,2,AB AD AB AD ==⊥，点P 为平行四边形ABCD所在平面内一点，则()PA PC PB +⋅uu r uu u r uu r的最小值是（）A ．58-B ．12-C ．38-D ．14-【答案】A【解析】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(1,0),(1,2)A B C ，所以(1,)PB x y =--uu r ，(,)(1,2)(12,22)PA PC x y x y x y +=--+--=--uu r uu u r，故22315()(12)(1)(22)()22428PA PC PB x x y y x y ⎛⎫⎛⎫+⋅=--+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r uu r ，所以31,42x y ==时，()PA PC PB +⋅uu r uu u r uu r 取得最小值58-，故选A ．7．两个不同的圆锥的底面是球O 的同一截面，顶点均在球O 表面上，若球O 的体积为V ，则这两个圆锥体积之和的最大值为（）A ．13VB ．12VC ．23VD ．34V【答案】B【解析】设球半径为R ，两个圆锥中较小的高为h (0)h R <≤，则另一个圆锥的高为2R h -，圆锥底面半径为r ，则222()R R h r =-+，222r Rh h =-，两个圆锥的体积和为222112()(2)(2)333f h r h r R h R Rh h πππ=+-=-，所以h R =时，3max 2()3f h R π=，343V R π=球，因此max 1()2f h V =，故选B ．8．已知在三角形ABC 中，4BC =，2AB AC =，则AB AC ⋅uu u r uuu r的取值范围是（）A ．32,329⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．32,329⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()0,32D ．[)0,32【答案】A【解析】因为4BC =，2AB AC =，所以44AB AC AB AC ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，即2424AC AC AC AC ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，解得443AC <<，由余弦定理222cos 2AC AB BC CAB AC AB+-∠=⋅，所以222cos 2AC AB BC AB AC AB AC CAB AB AC AC AB +-⋅=⋅∠=⋅⋅⋅uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r 22225162AC AC AB BC -+-==，因为443AC <<，所以216169AC <<，所以2516323292AC --<<，即32,329AB AC ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭uu u r uuu r ，故选A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题是真命题的是（）A ．若A ，B ，C ，D 在一条直线上，则AB uu u r 与CD uu u r是共线向量B ．若A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB uu u r 与CD uu u r不是共线向量C ．若向量AB uu u r 与CD uu u r是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上D ．若向量AB uu u r 与AC uuu r是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上【答案】AD【解析】A 项为真命题，A ，B ，C ，D 在一条直线上，则向量AB uu u r ，CD uu u r 的方向相同或相反，因此AB uu u r 与CD uu u r是共线向量；B 项为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB uu u r ，CD uu u r 的方向不确定，不能判断AB uu u r 与CD uu u r 是否共线；C 项为假命题，因为AB uu u r ，CD uu u r两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上；D 项为真命题，因为AB uu u r ，AC uuu r 两个向量所在的直线有公共点A ，且AB uu u r 与AC uuu r是共线向量，所以A ，B ，C 三点共线，故选AD ．10．如图，,M N 为正方体中所在棱的中点，过,M N 两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【答案】BD【解析】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，如图，截面的形状只可能为四边形和六边形，故选BD ．11．已知,,a b c 分别是ABC V 三个内角,,A B C 的对边，下列四个命题中正确的是（）A ．若ABC V 是锐角三角形，则sin cos AB >B ．若cos cos a A b B =，则ABC V 是等腰三角形C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC V 是等腰三角形D ．若ABC V 是等边三角形，则cos cos cos a b cA B C==【答案】ACD【解析】对于A ，因为ABC V 是锐角三角形，所以2A B π+>，所以sin sin 2A B π⎛⎫>- ⎪⎝⎭，即sin cos A B >，故A 正确；对于B ，由cos cos a A b B =及正弦定理，可得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+=，所以A B =或2A B π+=，所以ABC V 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对于C ，由cos cos b C c B b +=及正弦定理化边为角，可知sin cos sin cos sin B C C B B +=，即sin sin A B =，因为,A B 为ABC V 的内角，所以A B =，所以ABC V 是等腰三角形，故C 正确；对于D ，由ABC V 是等边三角形，所以A B C ==，所以tan tan tan A B C ==，由正弦定理cos cos cos a b cA B C==，故D 正确，故选ACD ．12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi -regularsolid )，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知AB =，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）A ．该半正多面体的体积为203B ．该半正多面体过,,A BC 三点的截面面积为2C ．该半正多面体外接球的表面积为8πD ．该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E 满足关系式2VF E +-=【答案】ACD【解析】如图，该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的．对于A ，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为1120222811323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故正确；对于B ，过,,A B C 三点的截面为正六边形ABCFED ，所以2364S =⨯⨯=，故错误；对于C ，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积22448S R πππ==⨯=，故正确；对于D ，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足1214242+-=，故正确，故选ACD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若复数i32ia z -=+为纯虚数（a ∈R ），则z =_______．【答案】13【解析】()()()()()()i 32i 3223i i 3223i 32i 32i 32i 131313a a a a a a z ----+--+====-++-，由纯虚数的定义知，3201323013a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪-≠⎪⎩，解得23a =，所以1i 3z =-，故13z =，故答案为13．14．已知向量()2,1a a =+m ，()0,a =n ，若()()22+⊥-m n m n ，则实数a =_________．【答案】1-【解析】因为()()22+⊥-m n m n ，所以()()220+⋅-=m n m n ，即()2220-=m n ，所以()()()22221400a a a +++=-，解得1a =-，故答案为1-．15．在ABC V 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，则ACD △的面积为_________．【答案】335【解析】由题意得133sin 22ABC S AB AC BAC =⨯⨯⨯∠=△，则1sin 3212sin 2ABDACDAB AD BAD S AB S AC AC AD CAD ⨯⨯⨯∠===⨯⨯⨯∠△△，所以23355ACD ABC S S ==△△，故答案为335．16．在复平面内，等腰直角三角形12OZ Z 以2OZ 为斜边（其中O 为坐标原点），若2Z对应的复数21z =，则直角顶点1Z 对应的复数1z =___________．【答案】133122i ++或131322i -++【解析】因为21z =+，所以22z =，点2Z的坐标为(．设点1Z 的坐标为(),x y，则(211,Z Z x y =--uuuu r．由题意得121OZ Z Z ⊥uuu r uuuu r，12OZ ==uuu r r所以()(22210x y x x y y ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得132312x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或132132x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以复数1133122z i +-=+或131322i +，故答案为1133122z i +-=+或131322i +．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求实数m 取何值时，复数()()22232i z m m m m =--+-在复平面内对应的点Z ．（1）位于第二象限；（2）位于第一或第三象限；（3）在直线10x y --=上．【答案】（1）102m -<<或12m <<；（2）12m <-或01m <<或2m >；（3）1m =-或3．【解析】（1）复数()()22232i z m m m m =--+-在复平面内对应的点Z 的坐标为()22232,mm m m ---，若点Z 位于第二象限，则2223200m m m m ⎧--<⎪⎨->⎪⎩，解得102m -<<或12m <<．（2）若点Z 位于第一或第三象限，则2223200m m m m ⎧-->⎪⎨->⎪⎩或222320m m m m ⎧--<⎪⎨-<⎪⎩，解得12m <-或01m <<或2m >．（3）若点Z 在直线10x y --=上，则2223210m m m m ---+-=，解得1m =-或3．18．（12分）如图，△ABC 中，90ACB ∠=o ，30,ABC BC ∠==o ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C ，M ，与BC 交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．【答案】（1）209π；（2）25581π．【解析】（1）连接OM ，则OM AB ⊥，设,OM r OB r ==-，在BMO V 中，15sin23ABC r ∠=⇒=，22049S r ππ∴==．（2）90,30,ACB ABC BC ∠=︒∠=︒=Q ，153AC ∴=，∴231414333332781AC V V BC V r ππππ=⨯⨯-==⨯-⨯=-圆锥球．19．（12分）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullon ，于1996年收入世界文化遗产名录（如图1）．现测量一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （如图2）．C 是母线SA 的一个三等分点（靠近点S ）．（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（此处π取3．14，结果精确到个位）；（2）从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．【答案】（1）20347；（2）m ．【解析】（1）因圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m ，则此圆锥的侧面积为 3.14618339.122AB S SA π=⋅⋅≈⨯⨯=(2m )．又每平方米大约需要鲜花60朵，于是得339.126020347⨯≈(朵)，所以装饰这个屋顶大约需要20347朵鲜花．（2）将圆锥SO 沿母线SA 剪开展在同一平面内得如图所示的扇形SAA '，点A到点A '，连接A C '，则A C '为最小长度，扇形弧AA '长等于圆锥SO 底面圆周长12AB ππ⋅=，于是得扇形圆心角122183ASA ππ'∠==，在A SC '△中，118,63SA SC SA '===，由余弦定理得2222cos A C SA SC SA SC A SC ''''=+-⋅∠，即22221862186cos 4683A C π'=+-⨯⨯=，解得A C '=，所以灯光带的最小长度为m ．20．（12分）如图一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知大圆锥轴截面是等边三角形，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r ．（1）试确定R 与r 的关系；（2）若小圆锥､大圆锥的侧面积为1S ､2S ，球的表面积为3S ，求123::S S S ；（3）求出两个圆锥的总体积（即体积之和）与球的体积之比．【答案】（1）32r =；（2）123::3:8S S S =；（3）3:8．【解析】（1）由几何体的特征，得到△ABC 为直角三角形，由于大圆锥的轴截面为等边三角形，故30ABC ∠=︒，所以AC R =，BC =，所以322BC r ==．（2）球心到圆锥底面的距离12R OO =，所以小圆锥的高为22R R R -=，故小圆锥的母线长为R ，，所以212S R =⋅，2232S R π=⋅，234S R π=⋅，故123:::3:8S S S =．（3）由（1）得：两个圆锥的体积和为321232R r R ππ⋅⋅⋅=，球的体积为343R π，体积之比为334:3:823R R ππ=．21．（12分）△ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，cos cos 2cos 0a C c A b B ++=．（1）求B ；（2）若6b =，求△ABC 面积S 的最大值．【答案】（1）23π；（2）．【解析】（1）∵cos cos 2cos 0a C c A b B ++=，∴由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B B ++=，∴()sin 2sin cos A C B B +=-，即sin 2sin cos B B B =-，∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2B =-，∵0B π<<，∴23B π=．（2）23B π=，6b =，由余弦定理得22222362cos b a c ac B a c ac ==+-=++，∵222a c ac +≥，∴22363a c ac ac =++≥，解得12ac ≤，当且仅当a ＝c 时取等号，∴13sin 24S ac B ac ==≤，∴当a c =时，△ABC 面积S 的最大值为．22．（12分）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：BNC V 区域为荔枝林和放养走地鸡，CMA V 区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，MNC V 区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘MNC V 周围筑起护栏．已知40m AC =，BC =，AC BC ⊥，30MCN ∠=︒．（1）若20m AM =，求护栏的长度（MNC V 的周长）；（2）若鱼塘MNC V 的面积是“民宿”CMA V 倍，求ACM ∠；（3）当ACM ∠为何值时，鱼塘MNC V 的面积最小，最小面积是多少？【答案】（1）60+；（2）15︒；（3）15ACM ∠=︒时，CMN △的面积取最小值为21200(2-．【解析】（1）∵40m AC =，BC =，AC BC ⊥，∴3tan 3AC B BC ==，∴30B =︒，∴60A =︒，∴280AB AC ==，在ACM △中，由余弦定理可得：22212cos 16004002402012002CM AC AM AC AM A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，则CM =，∴222AC AM CM =+，∴CM AB ⊥，∵30MCN ∠=︒，∴tan 3020MN CM =︒=，∴240CN MN ==，∴护栏的长度（MNC V的周长）为204060++=+．（2）设ACM θ∠=（060θ︒<<︒），因为鱼塘MNC V 的面积是“民宿”CMA V倍，所以11sin 30sin 22CN CM CA CM θ⋅︒=⋅，即CN θ=，60BCN θ∠=︒-，BCN △中，由三角形外角定理可得90CNA B BCN θ∠=∠+∠=︒-，在CAN △中，由40sin 60sin(90)cos CN CA θθ==︒︒-，得cos CN θ=，从而203cos θθ=，即1sin 22θ=，由02120θ<<︒︒，得230θ=︒，所以15θ=︒，即15ACM ∠=︒．（3）设ACM θ∠=（060θ︒<<︒），由（2）知cos CN θ=，90BCM θ∠=︒-，BCM V 中，由外角定理可得120CMA B BCM θ∠=∠+∠=︒-，又在ACM △中，由()sin60sin 120CM CA θ=︒︒-，得()203sin 120CM θ=︒-，所以()1300sin 302sin 120cos 1322CMN S CM CN θθ=⋅⋅︒==︒-V=，sin23cos23222所以当且仅当26090θ︒+=︒，1200(2．即15θ=︒时，CMN△的面积取最小值为2。

一、单选题二、多选题1. 定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f ()＝0，则不等式f (log x )>0的解集是 ( )A ．(0，)B ．(2，＋∞)C ．(0，)∪(2，＋∞)D ．(，1)∪(2，＋∞)2. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．3. “”是“”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）A．B ．（2，﹣1，2）C．D ．（1，﹣2，1）5. 如图，在正四面体中，平面，则在平面内过点与直线成60°角的直线共有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条6. 已知，，、均为锐角，则角等于A．B．C．D．7.设为等差数列的前项和，若，则（ ）A ．5B ．6C ．7D ．88. 采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的A．倍B．倍C ．倍D ．倍9. 棱长为6的正四面体的四个顶点均在球的表面上，若点为球面上的任意一点，则的取值可以为（ ）A．B ．3C ．5D．10. 已知函数，则（ ）2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟（八）数学试题(3)2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟（八）数学试题(3)三、填空题四、解答题A ．若，，则将函数的图象向右平移个单位后关于y 轴对称B ．若，函数在上有最小值，无最大值，且，则C ．若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为D ．若在上至少有2个解，至多有3个解，则11. 已知定义在上的函数，满足，且，则下列说法正确的是（ ）A．B ．为偶函数C．D ．2是函数的一个周期12. 已知椭圆的左右焦点分别为，，直线与椭圆E 交于A ，B 两点，C ，D 分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（ ）A ．若直线CA的斜率为，BD 的斜率，则B ．存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形C．取值范围为D ．周长的最大值为13. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为__________，且这个数列的前21项和的值为___________．14. 已知，，,则_________．15.已知的展开式中的系数为40，则___________.16. 如图，三棱柱中，，，侧面为菱形(1)求证：平面平面；(2)若，，求二面角的正弦值．17. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．(1)求出的表达式；(2)求证：当时，．18. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数存在三个零点，分别记为.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：.19. 数列和分别是各项都为正数的等差数列和等比数列，满足，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和.20. 已知，（n为正整数，）（Ⅰ）若在处的切线垂直于直线，求实数m的值；（Ⅱ）当时，设函数，，证明：仅有1个零点.（Ⅲ）当时，证明：.21. 已知函数．(1)求函数的单调区间和极值；(2)设，且、是曲线上的任意两点，若对任意的，直线的斜率恒大于常数，求的取值范围．。