不定积分分部积分法PPT课件

第四章 不定积分（§3分部积分法）

1 第三节 分部积分法

教学内容：分部积分法

教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取vu,，熟练掌握分部积分法的步骤。

教学重点：分部积分法及其应用

教学难点：在分部积分法中，恰当选取vu,。

教学学时：1学时

教学进程：

我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式不定积分公式；复合函数的求导公式换元积分公式；乘积求导公式分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。

1引入

用我们已经掌握的方法求不定积分xdxxcos

分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。

②凑微法失效。xxcos

③第二类换元积分法

解：不妨设 txtxarccoscos则

原方程dtttt211arccos更为复杂

所以凑微法和第二换元积分法都失效。

反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设vu,为两个具有连续导数的函数）

已知： '')'(uvvuvu

对上式两边积分得：dxuvvdxuCuv''

移项得： vdxuuvdxuv''

观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：dxuv'中v为导数形式。

故，我们可以尝试来解一下上面的积分。

Cxxxxdxxxxdxxxxdxxcossinsin'sin')(sincos形式一样先要化的和要求积分的 第四章 不定积分（§3分部积分法）

2 通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。

2 公式

设函数)(xuu和)(xvv都具有连续的导数，则有分部积分公式：

vdxuuvdxuv''（或vduuvudv）

3 例题讲解

数理与化学研究　２０１４．Ｎ０．０８　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｎａｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　探讨不定积分分部积分法　李娜赵建宝　（商丘３－学院基础教学部。河南商丘４７６０００）　，　摘要：分部积分法是求解不定积分的一种重要方法。本文对分部积分法的由来、一般原则、　一些基本类型做了主要介绍．同　时举例说明分部积分法的一些相关的经验与技巧。　关键词：不定积分；分部积分法；和选取原则　中图分类号：Ｏ２４１文献标识码：Ａ文章编号：１００３—５１６８（２０１４）１５—０１８７—０２　求解不定积分的两个重要方法是换元积分法和分部积分　法，分部积分法主要解决的是两个不同类型的函数乘积的积分　问题。现将分部积分法的由来、一般原则、一些基本类型作一个　简要的归纳。　１分部积分公式的由来　利用两个函数乘积的求导法则可得分部积分法，分部积分　公式推导如下…　设函数¨＝　（　）与Ｖ＝Ｖ（　）都具有连续导数。两个函数乘积的　求导公式为　Ｍ（　）＝（　）　一Ｈ　移项得　对这个等式两边求不定积分，得：　ｆ　ｒ　ｆ　ｒ　ｉ　ＩＺＶ　ｄｘ＝ｕｖ—Ｉ　Ｍ　ｖｄｘ　（１）或　Ｊ　ｕｄｖ＝ｕｖ—ｊ　ｖｄｕ（２）　公式（１）和（２）称为分部积分公式。　２分部积分法中Ｕ和　选取原则　利用两个函数乘积的求导法则可得积分的～个重要方　ｒ　法——分部积分法，将不易求出的积分Ｊ　ｕｄｖ转化为较易求出的　Ｊ　积分ｌ　ｖｄｕ是分部积分法的核心，正确选择“和ｄｖ是此方法的　Ｊ　关键。选择“和如的一般原则是：　３．６．２有效数字及数值修约　有效数字的位数不能任意增删．在记录测量值时．要根据　计量器具的精密度、准确度以及测量仪器本身的读数误差来确　定有效数字的位数　Ｉ。分析结果有效数字所能达到的位数不能超　过方法检出限的有效位数所能达到的位数　。在计算过程中，当　有效数字位数确定后，其余数字应严格按《数值修约规则》（ＧＢ／　Ｔ８１７０—１９８７）　一律舍去。　３．７测定结果的报告　测定结果是以按样品说明稀释后的浓度结果报告，而不以　浓样浓度结果报告，对此，要特别注意。测定结果报告的浓度单　位，应与作业指导书要求一致口１。　４结语　分析测试人员正确认识参加国家环境标准样品协作定值　实验的意义，有助于提高分析测试人员的积极性和重视程度，能　促使分析测试人员更加认真细致地开展实验。协作定值实验前　期准备Ｔ作中接收样品时的注意事项和实验方案的制定是其中　两个重要环节，直接影响到后续实验的进行，应特别注意。实验　过程中实施全程序质量控制是实验成败的关键所在．应从试剂　及实验用水检验、溶液配制及标定、空白实验、校准曲线绘制、平　（１）　要容易求出；　（２）Ｊ　ｄｕ要比Ｊ　ｕｄｖ容易求得。　一般地，被积函数是以下类型的常采用分部积分法（其中　ｍ，　都是正整数）。　ｘ％ｉｎｍｘ，Ｘｒ＇ｃｏｓｍｘ，ｅ＇％ｉｎｍｘ，ｅ＇％ｏｓｍｘ，Ｎｎｅ　，ＸｎＩＩＬ￣，ｘ＂ａｒｃｓｉｎｍｘ，扩　ａｒｃｃｏｓｍｘ，ｘｎａｒｃｔａｎｍｘ等。　３分部积分法应用举例　例１求『ｘｃｏｓｘｄｘ｛２１　解应用分部积分法的第一步是选择ｕ和如。　现在设ｕ＝ｘ，ｄｖ：ｃｏｓｘｄｘ，那么ｄｕ＝ｄｘ，Ｖ＝ｓｉｎｘ，代人分部积分　公式，得　ｆ　ｒ　ｆ　ｘｃｏｓｘｄｘ＝ｘｓｉｎｘ—ｌ　ｓｉｍｃｄｘ，　其中Ｉ　ｖｄｕ＝Ｊ　ｓｉｎｘｄｘ，很容易求出，于是得　Ｉ　ＸＣｏｓｘｄｘ，＝ｘｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＋Ｃ．　分析：在本例中，如果设ＵｍＣＯＳＮ，ｄｖ＝ｘｄｘ，那么ｄｕ＝一ｓｉｎｘｄｘ，　＝　，代人分部积分公式，得　行样测定、数理统计及测定结果报告等方面进行强化。　参考文献：　［１］ＨＪ／Ｔ１７３—２００５．环境标准样品【Ｓ］．　［２】胡晓燕，何平，唐本玲．标准样品期间核查的探讨［Ｊ］．冶金　分析，２０１２，３２（增：ＲＭ＆ＰＴ）：３１２—３１５．　［３］冯彪．空白值质控图在环境监测中的应用［Ｊ］．化学工程与　准备．２０１３（１０）：１７７—１７８．　［４】中国环境监测总站．环境水质监测质量保证手册［Ｍ］．北　京：化学工业出版社．１９８４．　［５］梁雪飞．基层疾控中心实验室水质盲样考核过程的质量　保证【ＪＪ．中国卫生检验杂志，２００８，１８（１０）：２１２９—２１３１．　［６］ＧＢ５７５０—２００６．生活饮用水标准检验方法［Ｓ】．　［７］ＧＢ／Ｔ８１７０—１９８７．数值修约规则【Ｓ］．　工作。　作者简介：　郑浩（１９７９＿），男，工程师，硕士，主要从事环境应急监测　

２０１４年８月　第１４卷第４期　廊坊师范学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌａｎｇ￣ｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｒｔｅｇｅ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ａｕｇ．２０１４　Ｖｏ１．１４　Ｎｏ．４　

关于不定积分的分部积分法运算技巧　

上宏昌　（西安职业技术学院，陕西西安７１００７７）　【摘要】　分部积分法是不定积分的一种重要的积分方法，其关键是要合理地选取　和ｄ　。根据多年的教学实　践，归纳总结出了ｕ和ｄ　的选取规律和技巧，指出了分部积分法的适用范围和应注意的问题，降低了分部积分法　的难度，旨在提高学生分部积分法的运算效率。　【关键词】　高等数学；不定积分；分部积分法；技巧　

Ｏｎ　ｔｈｅ　Ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　Ｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　Ｏｐｅｒａｔｉｏｎ　Ｓｋｉｌｌｓ　ＳＨＡ　ＮＧ　Ｈｏｎｇ￣ｃｈａｎｇ　【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ｔｈｅ　ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ　ｂｙ　ｐａｒｔｓ　ｉｓ　ａｎ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ，ｔｈｅ　ｋｅｙ　ｉｓ　ｔｏ　ｓｅｌｅｃｔ　ｒｅａｓｏｎａｂｌｅ　ｕ＆ｄｖ．Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｙｅａｒｓ　ｏｆ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｐｒａｃｔｉｃｅ，ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ　ｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ　ｔｈｅ　ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ　ｒｕｌｅｓ　ａｎｄ　ｓｋｉｌｌｓ　ｏｆ　ｕ＆ｄｖ，ｐｏｉｎｔｓ　ｏｕｔ　ｔｈｅ　ｓｃｏｐｅ　ｏｆ　ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ　ｂｙ　ｐａｒｔｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｔｈａｔ　ｓｈｏｕｌｄ　ｂｅ　ｐａｉｄ　ａｔｔｅｎｔｉｏｎ　ｔｏ，ｒｅｄｕｃｅｓ　ｔｈｅ　ｄｉｆｉｃｕｌｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎ　ｉｎ‘　ｔｅｇｒａｌ　ｍｅｔｈｏｄ，ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ　ｏｆ　ｏｐｅｒａｔｉｎｇ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｍｅｔｈｏｄ．　【Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ】ｈｉｇｈｅｒ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ；ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｍｅｔｈｏｄ；ｓｋｉｌｌｓ　［中图分类号］０１７２．２　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１６７４—３２２９（２０１４）０４—００１９—０４　

课题不定积分的分部积分法

教学时数2

课型理论课

教学目标知识目标：掌握不定积分的分部积分法

能力目标：会用分部积分法求不定积分

重点难点重点：分部积分的方法

难点：分部积分公式中函数)(xuu及)(xvv的选择

采用教法

讲练结合

学法建议讨论交流、练习

教学过程设计

正文备注

一、课题引入

前面我们将复合函数的微分法用于求积分，得到换元积

分法，拓展了求积分的领域．但换元积分法并不能解决形如

xxedx



，lnxdx



，cosxxdx

，cosxexdx



的积分问题，下

面我们利用两个函数乘积的微分法则，推出另一种求积分的

基本方法——分部积分法．

二、主要知识及实施步骤

1.分部积分公式

设函数)(xuu，)(xvv具有连续导数，由函数乘积

的微分公式有

vduudvuvd)(，

移项得vduuvdudv)(，

对上式两边积分得vduuvudv

（1）

公式（1）叫做分部积分公式．注意：使用分部积分

公式首先是把不定积

分dxxf)(

的被积

表达式dxxf)(

变成

形如)()(xdvxu

的形

式，然后套用公式．这

样就把求不定积分

udvdxxf)(

的问题转化为求不定

积分vdu

的问

题．如果vdu

易于

求出，那么分部积分

公式就起到了化难为

易的作用。

2.例题讲解

例1求cosxxdx

。

解设ux

，cos()dvxdxdsinx

，

则dudv

，sinvx

，

于是cos(sin)xxdxxdx

sinsinxxxdx

sincosxxxC

。

如果设cosux

，2

()

2x

duxdxd

，

则sindux2

2x

v

，

于是2

coscos()

2x

xxdxxd



22

cossin

22xx

xxdx



。

很显然，右端的积分比原来的积分更难于计算。

由此可见，使用分部积分法时，恰当地选取u

和dv

是关键，

如果选得不当，可能使积分变得更加复杂。

一般地说，选取u

和dv

的原则如下：

（1）u

要容易求得；

（2）vdu

要比udv

容易积出。