习题6-1定积分的元素法 习题6-2定积分在几何上的应用（一）
420424041sincos4(cossin)(sincos)(sincos)(cossin)222..xxxSxxdxxxdxxxxx解：当时，
22222222000222200222021(1cos)(1cos2cos)222cos21(12cos)(3cos24cos)22413(3sin24sin).422.aaSdddaaddaa解：极坐标的情形
2223(,0)(cos,sin),2cossin.1(2sin2)sin(sinsincos)2'(coscossin)[coscos(2)](2coscos1)1'0cos1.2cos0,.aatbtatbtSatabtabtttSabtttabttabttStt解：设等腰梯形与椭圆在第一象限的非的交点为则梯形的上底为，高为令，则或∵交点在第一象限max1cos.23,sin()03231333(1).224tttSSabab，
4、22sin566cos2或
根据对称性，所围成图形的面积为：
264106640664061122(2sin)(cos2)22(1cos2)cos211(sin2)sin22231364243162AAdddd 2224233332222403424332855(1)505(1)200(1)400200()2363(1)200()3(1)2003(1)4(1)200(3)'3(1)3(1)03qpypxqx.pxqxyxqpqpqqqqApxqxdxpppqqAfqqqqqqqqAqqqQ解：在第一象限相切，令时3max4,0,3,0,20032253.3432AqAqA时时，
高等数学教案 定积分的元素法
1 第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法
如果某一实际问题中的所求量U满足:
(1)U是与x的变化区间],[ba有关的量;
(2)U关于],[ba具有可加性,即U=iiU;
(3)iiixfU)(.
则可用定积分表示该量U.
该方法(即定积分的元素法)的基本步骤是:
(1)选取一个变量如x为积分变量,并确定积分区间],[ba(即积分变量x的变化范围);
(2)在],[ba上任取一个小区间],[dxxx,求出所求量U在],[dxxx的元素dU的表达式(即为被积表达式)
dU=dxxf)(.
其中)(xf为],[ba上的连续函数,dxxfU)(是dxx的高阶无穷小.
(3)求定积分,即
babadxxfxdUU)()(.
注：在上章讨论的曲边梯形的面积问题中，求曲边梯形的面积就是采用元素法。其它许多实际问题都采用元素法。
周次 日期 课时安排 2
课题 §6.1定积分的儿素法
教材的重
点、难点
分析 重点：定积分的元素法。
难点：理解“以直代曲，以不变代替”变化的原则是等价无穷小的替换
教
学
目
标 1. 理解微元分割法（元素法）的原理
2. 掌握定积分元素法的思想
教学方法
和
教学手段
教
学
过
程 一、回顾曲边梯形面积计算
1. 分割：将区间分成n个小区间［七］,早于是 A 二 £
i=1
2. 近似代替：¥.牝 f（§）¥. ▼§.日七1，七］（i = 1,2， ，n）
3. 求和：A w£ f （& ）Ax
i i
i=1
4. 取极限：A = lim£f （& ）Ax = f f （x）dx
i =1 a
二、元素法
1. 能用定积分计算的量，应满足下列三个条件
(1) U与变量人的变化区间［a,b］有关；
(2) U对于区间［a,b］具有可加性；
(3) U部分量AU.可近似地表示成f (& i) •电i。
2. 写出计算U的定积分表达式步骤
(1) 根据问题，选取一个变量x为积分变量，并确定它的变化区间［a, b］；
(2) 设想将区间［a，b］分成若干小区间，取其中的任一小区间任，x + d］,
求出它所对应的部分量AU的近似值
AU机f (x)dx ( f (x)为［a,b］上一连续函数)
则称f (x')dx为量U的元素，且记作dU = f (x)dx。
(3) 以U的元素dU作被积表达式，以［a, b］为积分区间，得
U = f f (x)dx
a
这个方法叫做元素法，其实质是找出U的元素dU的微分表达式
dU = f (x)dx(a < x < b)
因此，也称此法为元素法。
课后
作业
教学
后记 教
学
过
程
周次 日期 课时安排 2
课题 §6.2定积分在几何上的应用
教材的重
点、难点
分析 重点：直角坐标系下元素法在几何上的应用
难点：极坐标系下元素法在几何上的应用
本科高等数学
第六章 定积分的应用
教学内容与基本要求：掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量（平面图形面积，平面曲线的弧长、体积、变力作功、引力、压力等）
第一节 定积分的元素法
㈠．本课的基本要求
掌握掌握定积分的元素法的思想
㈡．本课的重点、难点
元素法的思想为重点，其条件为难点
㈢．教学内容
1．定积分的定义（略）
注：1.所求量A与[a,b]有关且所求量对积分区间具有可加性，即积分区间分为若干个区间，总体量也分为若干部分且等于这若干部分之和
2.iiiAxf)(, iiixxf是)(的线性函数，且与iA之差是比ix还要高阶的无穷小──线性性
badxxfA)(
方法：1.取典型子区间：],[dxxx其对应的部分量为ΔA
2.dxxfA)(──A的微元（面积元素），iAAdxxfdA,)(
3.badxxfA)(
所求量总体I满足下列条件才能用定积分
1.I与某变量x所在的区间有关
2.I对于[a,b]具有可加性
3.部分量dxxfI)(（线性性）
可简化为两步：
1．分割区间[a,b]，取其中任上小区间],[dxxx，求出相应的部分量I的近似值dxxf)(，称它为所求量I的微元，记为I=dxxf)(，即不变代变求积分
2．对这些微分在[a,b]上无限求和，即在整个区间上求积分得所求量badxxfI)(，即微分累积成积分
上面这种“无限细分”及“无限求和”两步解决问题的方法称为微元法（或称元素法）
以下各节，我们就用微元法的思想来讨论定积分在几何、物理方面的一些应用。
