初中数学-反比例函数典型例

第十七章 反比例函数

课堂引入

1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？

2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？

五、例习题分析

例1．见教材P47

分析：因为y是x的反比例函数，所以先设xky，再把x＝2和y＝6代入上式求出常数k，即利用了待定系数法确定函数解析式。

例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数

（1）3xy （2）xy2 （3）xy＝21 （4）25xy （5）xy23

（6）31xy （7）y＝x－4

分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成xky（k为常数，k≠0）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是xxy31，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式

例2．（补充）当m取什么值时，函数23)2(mxmy是反比例函数？

分析：反比例函数xky（k≠0）的另一种表达式是1kxy（k≠0），后一种写法中x的次数是－1，因此m的取值必须满足两个条件，即m－2≠0且3－m2＝－1，特别注意不要遗漏k≠0这一条件，也要防止出现3－m2＝1的错误。

解得m＝－2

例3．（补充）已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5

（1） 求y与x的函数关系式

（2） 当x＝－2时，求函数y的值

分析：此题函数y是由y1和y2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y1、 y2与x的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y1与x和y2与x的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k，要用不同的字母表示。

略解：设y1＝k1x（k1≠0），xky22（k2≠0），则xkxky21，代入数值求得k1＝2，k2＝2，则xxy22，当x＝－2时，y＝－5

初三数学反比例函数知识点及经典例题

一、基础知识

1. 定义：一般地，形如xky（k为常数，ok）的函数称为反比例函数。xky还可以写成kxy1

2. 反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.

⑵比例系数0k

⑶自变量x的取值为一切非零实数。

⑷函数y的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像

⑴图像的画法：描点法

① 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）

② 描点（有小到大的顺序）

③ 连线（从左到右光滑的曲线）

⑵反比例函数的图像是双曲线，xky（k为常数，0k）中自变量0x，函数值0y，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是xy或xy）。

⑷反比例函数xky（0k）中比例系数k的几何意义是：过双曲线xky

（0k）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为k。

4．反比例函数性质如下表：

k的取值 图像所在象限 函数的增减性

ok 一、三象限 在每个象限内，y值随x的增大而减小

ok 二、四象限 在每个象限内，y值随x的增大而增大

5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）

6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky中的两个变量必成反比例关系。

7. 反比例函数的应用

二、例题

【例1】如果函数222kkkxy的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xky，（0k）即kxy1（0k）又在第二，四象限内，则0k可以求出的值

【答案】由反比例函数的定义，得：

01222kkk解得0211kkk或

初三第一轮复习

- 1 - 初中数学专项复习15 反比例函数

一、中考知识点:

1.反比例函数意义;

2.反比例函数 反比例函数图象;

3.反比例函数性质; 4.待定系数法确定函数解析式.

二、中考课标要求

考点

课标要求

知识与技能目标

了解 理解 掌握 灵活应用

反比例函数 理解反比例函数意义 ∨

会画反比例函数的图象 ∨

理解反比例函数的性质 ∨

能根据实际问题中的反比例关系用待定系数法确定反比例函数的解析式 ∨ ∨

三、中考知识梳理

1.反比例函数的概念

反比例函数y=kx中的kx是一个分式,自变量x≠0,函数与x轴、y轴无交点,y=kx也可写成y=kx-1(k≠0),注意自变量x的指数为-1, 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件.

2.反比例函数的图象

在用描点法画反比例函数y=kx的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,应从1或-1开始对称取点.

3.反比例函数y=kx中k的意义

注意:反比例函数y=kx (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y=kx(k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为│k│.

4.反比例函数经常与一次函数、二次函数等知识相联系.

四、中考题型例析

1．反比例函数的图象

例1 (2003·三明)函数y=1x(x>0)的图象大致是( )

yOxyOxyOxyOxD初三第一轮复习

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解析:函数y=kx的图象是双曲线,当k<0时双曲线两分支分别在第二、四象限内, 而已知中(x>0)表明横坐标为正,故双曲线位于第四象限.

答案:D.

点评:本题主要考查反比例函数的图象.但需注意的是y=1x 中的限制条件(x>0),

即双曲线的横坐标为正.

例2 (2003·宜昌)函数y=kx+1与函数y=kx在同一坐标系中的大致图象是( )

分析:明确一次函数y=kx+1中的k的含义与函数y=kx中k的含义是解题的关键.

1 初中数学总复习（14）反比例函数

〖考试内容〗

反比例函数及其图象.

〖考试要求〗

①理解反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式.

②能画出反比例函数的图象，根据图象和解析式)0(kxky理解其性质（k>0或k<0时，图象的变化）.

③能用反比例函数解决某些实际问题.

〖考点复习〗

1．反比例函数表达式

[例1] （2005沈阳）如果反比例函数kyx的图象经过点（3，4），那么k的值是（ ）

A、－12 B、12 C、43 D、34

2．反比例函数的图象及性质

[例2] ①（2004南宁）写出一个图象位于一、三角限的反比例函数表达式

②（2005深圳）函数y=xk（k≠0）的图象过点（2，-2），则此函数的图象在平面直角坐标系中的（ ）

A、第一、三象限 B、第三、四象限

C、A、第一、二象限 D、第二、四象限

[例3] （2005 内江市）8、若M1,21y、N2,41y、P3,21y三点都在函数xky（ｋ＜0）的图象上，则321yyy、、的大小关系为（ ）

A、2y＞3y＞1y B、2y＞1y＞3y C、3y＞1y＞2y D、3y＞2y＞1y

3．反比例函数与一次函数

[例4] （2004湟中）13.点P既在反比例函数3(0)yxx的图像上，又在一次函数2yx的图像上，则P点的坐标是___________.

4．反比例函数的运用

[例5] （2005四川）制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．