(人教版初中数学)反比例函数教案

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第17章 反比例函数

一．反比例函数的定义

形如y＝kx（k为常数,且0k）的函数统称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.

反比例函数的表达形式还有1(0)ykxkk是常数，,xy＝k（k0）.

例题1：（1）已知y是x的反比例函数,当x＝2时,y＝8,写出y与x的关系式,并求当y＝－4时,x的值；

（2）已知点（1,-2）在反比例函数kyx的图象上,则k=____________.

二．反比例函数的图象和性质

1．反比例函数的表示方法

和一次函数一样,反比例函数有表达式法,列表法,图象法三种,下面主要讲述图象法,填写下面表格

x …… -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 ……

6yx ……

6yx ……

利用上面表格上的数据在下面直角坐标系中用描点法画出两个函数的图象,对比两个图象.

反比例函数的图象由两条曲线组成,且随着x的增大（或减小）,曲线越来越接近坐标轴.反比例函数的图象属于双曲线.

2．反比例函数的图象和性质,如下表：

函数

图象

性质

反比例函数y＝kx（0k） k>0

双曲线,位于第一,三象限,在每个象限内,y随x的增大二减小,与x轴,y轴无交点

k<0

双曲线,位于第二,四象限,在每个象限内,y随x的增大二增大,与x轴,y轴无交点

例题2：反比例函数4yx的图象大致是（ ）

例题3：如果函数y=kx-2（k≠0）的图象不经过第一象限,那么函数kyx的图象一定在( )

A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限

3．（思考）当两个反比例函数的k的符号相同时,k对函数图象的影响

例题：在下面的平面直角坐标系中画出函数2yx,4yx和6yx的图象,比较这三个函数图象的特点.

例题5：如图是三个反比例函数312,,kkkyyyxxx,在x轴上方的图像,由此观察得到kl、k2、k3的大小关系为（ ）

A.k1>k2>k3 B. k3>k2>k1

C. k2>k3>k1 D. k3>k1>k2

4．与反比例函数图象有关的图形

例题：如图所示,反比例函数4yx在第一象限的图象上一点P,过P点分别作两条直线垂直于x轴和y轴,交点分别是A,B求四边形OAPB的面积.

例题：P为反比例函数kyx（k>0）图象上任意一点,PQ垂直于x轴,垂足为Q,设POQ的面积为S,则S的值与k的关系是_____________.

例题：如图,正比例函数y＝kx（k>0）与反比例函数1yx的图象交于A,C两点,过A点作x轴的垂线,交x轴于B,过C点作y轴的垂线交y轴于D,连结AB,BC,CD,AD.求证：当k去不同正数时,四边形ABCD的面积是常数.

练一练：

1.如图,OAP和ABQ均式等腰三角形,点P,Q在函数4yx(0)x的图象上,直角顶点A,B均在x轴上,求点B的坐标___________.

5.求反比例函数解析式：

（1）利用已知点代入解

例题：已知反比例函数(0)kykx的图象经过点（1,-2）,则这个函数的表达式是___________,当x<0时,y随着自变量x的值的增大而__________.

练一练：

已知正比例函数ykx与反比例函数yx3的图象都过Am()，1,求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标.

（2）利用图象

例题：如图,某个反比例函数的图像经过点P,则它的解析式为（ ）

A.1(0)yxx B.1(0)yxx

C. 1(0)yxx D. 1(0)yxx

练一练：

如图1所示,一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线.直线AB与双曲线的一个交点为C,CD垂直x轴于点D,ODOBOA244.求一次函数和反比例函数的解析式.

（3）根据实际应用求出

例题：近视眼的度数y（度）与镜片的焦距x（m）成反比例,已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m,则y与x的函数关系式为________________.

练一练：

已知圆柱的侧面积是6πm2,若圆柱的底面半径为x（cm),高为ycm ).

（1）写出y关于x的函数解析式；

（2）完成下列表格：

（3）在所给的平面直角坐标系中画出y关于x的函数图像．

三．反比例函数的实际应用

例题9：在某一电路中,保持电压不变,电流I（安培）与电阻R（欧姆）成反比例．当电阻R=5欧姆时,电流 I=2安培．

(1)求I与R之间的函数关系式；

(2)当电流I= 0.5 安培时,求电阻R的值；

(3)如果电路中用电器的可变电阻逐渐增大,那么电路中的电流将如何变化？

(4)如果电路中用电器限制电流不得超过10安培,那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？

练一练：

1.某蓄水池的排水管每小时排水量12m3, 8h可将满池水全部排空．

(1)蓄水池的容积是多少？

(2)如果增加排水管,使每小时的排水量达到x（m3),那么将满池水排空所需的时间y（h）将如何变化？

(3)写出y与x之间的关系式；

(4)如果准备在6h内将满池水排空,那么每小时的排水量至少为多少？

(5)已知排水管每小时的最大排水量为24m3,那么最少多长时间可将满池水全部排空？

2.反比例函数kyx和一次函数y=mx+n的图象的一个交点为A（-3,4）,且一次函数的图像与x轴的交点到原点的距离为5.

(1)分别确定反比例函数与一次函数的解析式；

(2)设一次函数与反比例函数图像的另一个交点为B ,试判断∠AOB（点O为平面直角坐标系原点）是锐角、直角还是钝角？并简单说明理由．

3.你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)S(mm2)的反比例函数,其图像如图所示．

(1）写出y与S的函数关系式

(2）求当面条粗1.6mm2时,面条的总长度是多少米？

练习题：

1.如图所示,该图象是反比例函数5yxm－＝的一支.根据图象回答下列问题：

（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是多少？（2）在该图象上取一点A（a,b）和点B（c,d）.如果a>c,那么b和d有什么关系？

2.如果y是z的反比例函数,z是x的反比例函数,那么y与x具有怎样的函数关系？

3.如图所示,直线y＝kx（k>0）与双曲线4yx交于A（11,xy）,B（22,xy）两点,则122127xyxy的值等于____________.

4.如图,直线1ykxb与双曲线2kyx只有一个交点A（1,2）,且与x轴,y轴分别交于B,C两点,AD垂直平分OB,垂足为D,求直线和双曲线的解析式.

5.如图所示,直线y＝kx+2于x轴,y轴分别交于点A,B,点C（1,a）是直线与双曲线myx的一个交点,过点C作CDy轴,垂足为D,且BCD的面积为1.

（1）求双曲线的解析式；

（2）若在y轴上有一点E,使得以E,A,B为顶点的三角形与BCD相似,求点E的坐标.

6.如图所示,矩形AOCB的两边OC,OA分别位于x轴,y轴上,点B的坐标为B（-203,5）,D是AB边上的一点.将AOD沿直线OD翻折,使A点恰好落在对角线OB上的点E处,若点E在以反比例函数的图象上,那么该函数的解析式是______________________________.

7.如图,已知反比例函数1yx的图象上有一点P,过点P,分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B,使四边形OAPB为正方形,又在反比例函数的图象上有一点1P,过1P分别作BP和y轴的垂线,垂足分别为1A,1B,使四边形B1A1P1B为正方形,求点1P的坐标.

8.如图所示,如果函数y＝-x与4yx的图象相交于A,B两点,过点A作AC垂直于y轴,垂足为C则BOC的面积为___________.

9.图中正比例函数和反比例函数的图像相交于A、B两点,分别以A、B两点为圆心,画与y轴相切的两个圆.若点A的坐标为（1,2),则图中两个阴影面积的和是 .

10.如图,Rt△ABO的顶点A是双曲线kyx与直线y=-x+(k+1)在第四象限的交点,AB⊥x轴于B 且SAOC=32,

(1）求这两个函数的解析式；

(2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．