函数的应用零点二分法

《用二分法求函数的零点》 讲义

一、什么是函数的零点

在数学中，函数的零点指的是使得函数值为零的自变量的值。简单来说，如果存在一个实数 x₀，使得函数 f(x₀) ＝ 0，那么 x₀ 就是函数

f(x) 的零点。

例如，对于函数 f(x) ＝ x 1，当 f(x) ＝ 0 时，即 x 1 ＝ 0，解得 x

＝ 1。所以 1 就是函数 f(x) ＝ x 1 的零点。

函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，它在解决方程的根、函数的性质等问题中具有重要的作用。

二、为什么要用二分法求函数的零点

在实际问题中，我们经常需要找到函数的零点，但有些函数的零点很难直接通过解方程得到。这时候，二分法就成为了一种非常有效的方法。

二分法的基本思想是通过不断缩小零点所在的区间，逐步逼近零点的精确值。它利用了函数的连续性和介值定理，即如果函数在一个区间的两端点取值异号，那么在这个区间内必然存在至少一个零点。

相比于其他复杂的数值方法，二分法简单易懂，计算量相对较小，并且在一定条件下能够保证收敛到零点的近似值。

三、二分法的原理 假设函数 f(x) 在区间 a, b 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号（即 f(a) × f(b)

＜ 0），那么根据零点存在定理，在区间 （a, b) 内至少存在一个零点。

我们取区间的中点 c ＝ （a ＋ b) ／ 2，计算 f(c) 的值。

如果 f(c) ＝ 0，那么 c 就是函数的零点。

如果 f(c) 与 f(a) 异号，那么零点就在区间 a, c 内，我们就把区间 a,

b 缩小为 a, c。

如果 f(c) 与 f(b) 异号，那么零点就在区间 c, b 内，我们就把区间 a,

b 缩小为 c, b。

这样不断重复上述步骤，每次都将区间缩小一半，直到区间的长度足够小，或者达到我们所要求的精度，此时区间的中点就可以作为零点的近似值。

四、二分法的具体步骤

1、 确定初始区间 a, b，使得 f(a) × f(b) ＜ 0。

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亿库教育网 一. 教学内容：

函数的零点与二分法

二. 学习目标

1、理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。

2、理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程的根的关系；

3、通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

4、在函数与方程的联系中，初步体会事物间相互转化的辩证思想；体验探究的过程、发现的乐趣。

三. 知识要点

1、函数的零点

一般地，如果函数()yfx在实数a处的值等于零，即()0fa，则a叫做这个函数的零点。

归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。

说明：

（1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零；

（2）对于函数的零点问题我们只在实数范围内讨论；

（3）方程的根、函数的图象与x轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式

2、函数零点的意义：

函数)x(fy的零点就是方程0)x(f的实数根，亦即函数)x(fy的图象与x轴交点的横坐标．

归纳：方程0)x(f有实数根函数)x(fy的图象与x轴有交点函数)x(fy有零点．

3、函数零点存在性的判定方法

对于函数相对应的方程能求解的，可以直接求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处理？

如果函数)x(fy在区间b,a上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)b(f)a(f，那么，函数)x(fy在区间b,a内有零点.即存在b,ac，使得0)c(f，这个c也就是方程0)x(f的根。

说明：（1）函数)x(fy在区间b,a上有定义；

（2）函数的图象是连续不断的一条曲线；

（3）函数)x(fy在区间b,a两端点的函数值必须满足0)b(f)a(f；

（4）函数)x(fy在区间b,a内有零点，但不唯一； 亿库教育网

《2.4.2 计算函数零点的二分法》教案

【学习要求】

1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理；

2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解．

【学法指导】

通过借助计算器用二分法求方程的近似解，了解数学中逼近的思想和程序化地处理问题的思想；通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一，体会“近似是普遍的，精确则是特殊的”辩证唯物主义观点.

填一填：知识要点、记下疑难点

如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值 ，即 ，则这个函数在这个区间上，至少有 ，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为 零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为 零点.

研一研：问题探究、课堂更高效

[问题情境] 一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根．但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，但是没有公式求根，如何求得方程的根呢？

探究点一 变号零点与不变号零点

问题 函数y＝3x＋2，y＝x2，y＝x2－2x－3的图象，如下图所示，在图象上零点左右的函数值怎样变化？

小结：如果函数f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．

探究点二 二分法的概念

问题1 由变号零点的概念我们知道，函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，那么如何求出这个零点的近似值？

1．函数零点

概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。

2.二分法

二分法及步骤：

对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：

（1）确定区间，，验证·，给定精度；

（2）求区间，的中点； （3）计算：

①若=，则就是函数的零点；

②若·<，则令=（此时零点）；

③若·<，则令=（此时零点）；

（4）判断是否达到精度；

即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。

（二）考点分析

题型1：方程的根与函数零点

例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）

A．(0，1)B．(1，2)

C．(2，3)D．(3，+∞)

（2）设a为常数，试讨论方程的实根的个数。

解析：

（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C。

（2）原方程等价于 ))((Dxxfy0)(xfx))((Dxxfy)(xfy0)(xf)(xfyx0)(xf)(xfyx)(xfy)(xfy],[ba0)()(bfaf)(xfy),(ba),(bac0)(cfca[]b)(af)(bf0)(xfy)(xf)(xfa[]b)(af)(bf0a()b1x)(1xf)(1xf01x)(af)(1xf0b1x),(10xax)(1xf)(bf0a1x),(10bxx||baab)lg()3lg()1lg(xaxx0x0x0x0xxaxxxaxx)3)(1(00301x0321321oyx即