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精品文档 第二章 极限与连续
一、本章知识脉络框图
二、本章重点及难点
（一）重点：
极限的定义与性质、数列极限和一元函数极限的计算、两个重要极限的运用、归结原则、柯西准则以及有界闭集上连续函数的性质.
（二）难点
运用柯西准则和归结原则进行证明、理解多元函数重极限与累次极限的概念、有界闭集上连续函数的性质以及一致连续性.
三、本章的基本知识要点
本章符号说明：
: 每一个或任给的；
: 至少有一个或存在；
：充分必要条件.
（一）数列极限
1. 数列极限定义 数列极限的定义 收敛数列的
基本性质 收敛数列极限的计算
柯西准则判定极限是否存在
一元函数极限的定义 一元函数极限
的基本性质 一元函数极限的计算
连续函数的定义和性质
归结原则 海涅定理
二元函数极限的定义 二元函数极限
的基本性质 精品文档
精品文档 lim0,0,nnaaN当nN时，有.naa
注：定义中的N可不取整数，naa可以是.naa
定理：增加、改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性.
数列极限的等价定义:
(1) 0,0,N 当nN时有,naak 其中k为某个正数.
(2) 0,0,cN 当nN时有,naak其中c与k为某个正数.
2. 收敛数列的性质
(1) 唯一性定理：每个收敛的数列只有一个极限.
(2) 有界性定理：收敛的数列必定有界.
(3) 保号性定理：若limnnaa,则对任意(),rara或 ,NnN, 有nar (或nar).
(4) 保不等式性定理：若lim,limnnnnab都存在，且,nnNnNab有，则limlim.nnnnab
(5) 迫敛性定理：设limlim.nnnnaba 数列{}nc满足：,NnN有 nnnacb，则数列{}nc收敛，且lim.nnca
绪言
任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。
经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。
精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。
第1讲 模糊数学简介、教学安排
一、简介
1.发展历史
美：65，L.A.Zadeh，信息与控制（理论
研究开始）（模糊控制例子：开汽车，杂技演
员表演-倒立摆）
英国：74，马丹尼，蒸汽机控制
丹麦：80，丹麦哥本哈根的史密斯水泥公
司首次用模糊逻辑实现了对水泥窑炉的控制。
日本：72，Sugeno，F-measure 语音控
制模糊汽车（８８），无人驾驶直升机（９３）。
84，Yamakawa F-logic I.C (模糊集成电
路)。８８年，日立公司对日本仙台市地铁实
现了模糊控制（简介）。
85，IFSA 成立国际模糊系统协会
我国：70年代，王培庄等人，开始主要
是理论研究，逐步与经典数学相对应的各个领
域都有人研究。当前研究、利用模糊技术的领
域已经扩展到经济、社会等各个方面。
国际杂志：
1
*FSS-Fuzzy Set and Systems，
*IEEE Transactions on Fuzzy Systems
(1993),
*Fuzzy Mathematics etc.
IEEE 从１９９２年起，每年召开一次国
际模糊学术会议。１９９５年IEEE给Zadeh
授予了学会的荣誉勋章。
2.趋势
①研究与应用人数逐年上升
②应用领域逐步扩大，遍及社会，经济等
等各个领域，如：
*在软科学方面，模糊技术已用到了投资
决策、企业效益评估、区域发展规划、经济宏
观调控、中长期市场模糊预测等领域。
*工业过程控制方面，已实现了冶金炉窑
模糊控制、化工过程模糊控制、水泥窑炉模糊
控制以及磨煤机模糊控制等。
*在人工智能与计算机领域，已经出现了
模糊推理机、模糊控制计算机、模糊专家系统、
模糊数据库、模糊语音识别系统、图形文字模
糊识别系统、模糊控制机器人等高新技术产
品，同时还出现了F-Prolog、Fuzzy-C等语言
2
系统。
*在地震科学方面，模糊技术已涉及到中
长期地震预报、地震危险分析和潜在震源识
别、地震灾害预测以及减轻地震灾害对策等
第二章 模糊控制数学基础
模糊控制的应用场合：
一．模糊控制的定义
对于一个熟练的操作人员，他往往凭借丰富的实践经验，采取适当的对策来
巧妙地控制一个复杂过程，得到满意的控制效果。若能将这些熟练操作员的实践经验加以总结和描述，并用语言表达出来，就会得到一种定性的、不精确的控制规则。如果用模糊数学将其定量化就转化为模糊控制算法，形成模糊控制理论。
模糊控制是建立在人工经验（定性的、不精确的）基础之上的，模仿人类的思维方式，采用模糊数学对模糊现象进行识别和判决，给出精确的控制量，对被控对象进行控制。模糊数学是模糊控制的数学基础，
二． 模糊控制的特点：
1．无需知道被控对象的数学模型。模糊控制是以人对被控系统的控制经验为依据而设计的控制器，故无需知道被控系统的数学模型。
2．是一种反映人类智慧思维的智能控制。模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、“中”、“低”、“大”、“小”等，控制量由模糊推理导出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活动的体现。
3． 易被人们所接受。模糊控制的核心是控制规则。模糊控制中的知识表示、模糊规则和模糊推理是基于专家知识或熟练操作者的成熟经验。这些规则是以人类语言表示的。很明显这些规则易被一般人所接收和理解。如“衣服较脏，则投入洗涤剂较多，洗涤时间较长”, “今天气温高，则今天天气暖和”.
4．构造容易。用单片机等来构造模糊控制器，其结构与一般的数字控制系统无异，模糊控制算法用软件实现，也可以用专用模糊控制芯片直接构造控制器。
5．鲁棒性好。模糊控制系统无论被控对象是线性的还是非线性的，都能执行有效的控制，具有良好的鲁棒性和适应性。
模糊控制是基于熟练操作员的实践经验，比如智能洗衣机，能够实现以下功能：“衣服较脏，则投入洗涤剂较多，洗涤时间较长”。这个控制规律中存在着模糊概念：“衣服较脏”。
三．模糊概念
没有明确外延的概念，即没有明确符合某概念的对象的全体，如“天气冷热”、“雨的大小”、“风的强弱”、“人的胖瘦”、“年龄的大小”、“个子高低”。是客观事物本质属性在人们头脑中的反映。
