2.3 参数方程和普通方程的互化 课件 (北师大选修4-4)

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. 选修4－4

坐标系与参数方程

第一节

坐 标 系

突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换

基础联通 抓主干知识的“源”与“流”

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： x′＝λ·xλ＞0，y′＝μ·yμ＞0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

平面直角坐标系下图形的伸缩变换

[典例] 求椭圆x24＋y2＝1，经过伸缩变换 x′＝12x，y′＝y后的曲线方程．

[解] 由 x′＝12x，y′＝y得到 x＝2x′，y＝y′.①

将①代入x24＋y2＝1，得4x′24＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.

因此椭圆x24＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.

[方法技巧]

应用伸缩变换公式时的两个注意点

(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(X，Y)，再利用伸缩变换公式本节主要包括2个知识点：

1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；

2.极坐标系. .

.  X＝axa>0，Y＝byb>0建立联系．

(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”

1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ： x′＝3x，2y′＝y.求点A13，－2经过φ变换所得的点A′的坐标．

2．求直线l：y＝6x经过φ： x′＝3x，2y′＝y变换后所得到的直线l′的方程．

3．求双曲线C：x2－y264＝1经过φ： x′＝3x，2y′＝y变换后所得曲线C′的焦点坐标．

2.3 直线和圆的极坐标方程

2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

*2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程

学习目标：1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(重点)2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的互化．(易错易混点)3.用方程表示平面图形时，会选择适当的坐标系来表示．(难点)

教材整理1 曲线的极坐标方程

1．曲线的极坐标方程

在极坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下的关系：

(1)曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0；

(2)极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上．

那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C的极坐标方程，曲线C叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线．

2．常见简单曲线的极坐标方程

曲线 图形 极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆

ρ＝r(0≤θ＜2π)

圆心为C(r,0)，半径为r的圆

ρ＝2rcos_θ

－π2≤θ＜π2

圆心为Cr，π2，半径为r的圆

ρ＝2rsin_θ

(0≤θ＜π)

过极点，倾斜角为α的直线

θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)

过点A(a,0)，与极轴垂直的直线

ρcos θ＝a

－π2＜θ＜π2

过点Aa，π2，与极轴平行的直线

ρsin_θ＝a

(0＜θ＜π)

过点A(a,0)，且与极轴成α角的直线的极坐标方程 ρsin(α－θ) ＝asin_α(0＜θ＜π)

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)过极点且垂直于极轴的直线方程为x＝π2.( )

(2)直线ρcos θ＝2与直线ρsin θ＝2互相平行．( )

(3)ρ＝cos θ表示一个圆．( )

[解析] (1)√ 过极点且垂直于极轴的直线上的点的极角都可表示为π2，故正确．

(2)× ρcos θ＝2表示直线x＝2，ρsin θ＝2表示直线y＝2，这两直线互相垂直．

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年级

高二 学科 数学 版本 通用版

课程标题 选修4-4第二讲参数方程（文）

编稿老师 孙洪成

一校 林卉 二校 黄楠 审核 王百玲

一、学习目标

1. 通过分析抛射体运动中时间与物体位置的关系，了解参数方程的概念，体会其意义。

2. 理解直线、圆、椭圆的参数方程及其参数的意义，掌握它们的参数方程与普通方程的互化，并能利用参数方程解决一些相关的应用问题（如求最值等）。

3. 了解抛物线、双曲线的参数方程，能将它们的参数方程化为普通方程。

4. 知道摆线、圆的渐开线的参数方程，体会参数在建立曲线方程中的作用。

二、重点、难点

重点：直线、圆、椭圆的参数方程的建立，以及参数方程与普通方程的互化与应用。

难点：对上述三类重点参数方程中参数的意义的理解，以及熟练应用参数方程解决相关问题。

三、考点分析

高考中对本讲的考查以直线、圆、椭圆的参数方程为主，有时会与极坐标方程相结合，多以选做题的形式出现在填空题或解答题中，难度不大，分值为5－10分，不同的省份在题型和分值的设定上略有差异，与普通方程的互化仍然是解决此类问题的常用策略，此外，参数方程也为解决解析几何中的最值、轨迹等问题提供了一条思路。

一、知识网络

第2页 版权所有 不得复制 参数方程抛射体运动方程参数方程的概念与意义直线的参数方程圆的参数方程圆锥曲线的参数方程其他常见曲线的参数方程椭圆抛物线双曲线摆线圆的渐开线“点角式”“点向式”

二、参数方程的概念

在平面直角坐标系中，若曲线C上的点(,)Pxy满足()()xftyft，该方程叫做曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。

说明：

1. 在曲线的参数方程中，如果出现了多个字母，应明确哪个是参数，以及参数的取值范围，它往往决定了方程和曲线能不能对应。

2. 一个参数方程只对应一条曲线，但一条曲线的参数方程则可以有多个。

3. 某些动点（x，y）的轨迹，坐标x、y的关系不好找，我们引入参变量t后，很容易找到x与t和y与t的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程。此时参数方程在求动点轨迹中起桥梁作用。某些动点的普通方程可能根本就找不到，如圆的渐开线在齿轮制造中必不可少，但它的普通方程没法直接表示，而参数方程则很容易得出。

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2．1.2 圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化

►知识梳理

1.圆的参数方程．

点P的横坐标x、纵坐标y都是t的函数：x＝rcos t，y＝rsin t(t为参数)．

我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r的圆的参数方程．

圆的圆心为O1(a，b)，半径为r的圆的参数方程为：

x＝a＋rcos t，y＝b＋rsin t(t为参数)．

►预习思考

1．圆x2＋y2＝16的参数方程为：____________．

2．圆(x－6)2＋y2＝4的参数方程为：______________．,

一层练习

1．圆(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为( )

A．(－1＋cos θ，sin θ) B．(1＋sin θ，cos θ)

C．(－1＋2cos θ，2sin θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ)

2．P(x，y)是曲线x＝－2＋cos θ，y＝sin θ(0≤θ＜π，θ是参数)上的动点，则yx的取值范围是( )

A.－33，0 B.－33，33 C.0，33 D.－∞，－33 - 2 -

3．曲线C：x＝cos θ，y＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为________．如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，那么a的取值范围是________．

4．直线x＝tcos θ，y＝tsin θ(t为参数，0＜θ＜π)与圆x＝4＋2cos α，y＝2sin α

(α为参数)相切，则θ＝________．

5．指出下列参数方程表示什么曲线：

(1)x＝3cos θ，y＝3sin θθ为参数，0＜θ＜π2；

(2)x＝2cos t，y＝2sin t(t为参数，π≤t≤2π)；

(3)x＝3＋15cos θ，y＝2＋15sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．