高中数学-直线平面平行的性质及判定

1

一、空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

2 圆柱的表面积

3 圆锥的表面积2rrlS

4 圆台的表面积22RRlrrlS

5 球的表面积24RS

二、空间几何体的体积

1柱体的体积 hSV底

2锥体的体积 hSV底31

3台体的体积 hSSSSV)31下下上上（

4球体的体积 334RV

三、直线、平面平行的判定与性质

1、直线与平面平行的判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，

用符号表示为a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α。

(1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件：

①平面外一条直线；②平面内一条直线；③两条直线相互平行．

(2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想．

(3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理.

【例1】 如右图所示，已知P、Q是单位正方体ABCD—A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心．

求证：PQ∥平面BCC1B1.

证：如右图，取B1B中点E，BC中点F，连结PE、QF、EF，

∵△A1B1B中，P、E分别是A1B和B1B的中点，

∴PE 12 A1B1.同理QF 12AB.又A1B1AB，∴PEQF.

∴四边形PEFQ是平行四边形．

∴PQ∥EF.

又PQ⊄平面BCC1B1，EF⊂平面BCC1B1，

∴PQ∥平面BCC1B1.

222rrlS2

2、平面与平面平行的判定定理

一个平面内的两条相交直线 与另一个平面相交直线，则这两个平面平行．用符号表示为：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α

(1)运用判定定理证明平面与平面平行时，两直线是相交直线这一条件是关键，缺少这一条件则定理不一定成立．

(2)证明面与面平行常转化为证明线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，逐步由空间转化到平面．

(3)证明平面与平面平行的方法有：判定定理、线面垂直的性质定理、定义．

(4)平面与平面的平行也具有传递性.

【例2】 如右图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1各棱长为4，E、F、G、H分别是AB、AC、A1C1、A1B1的中点，

求证：平面A1EF∥平面BCGH.

思晨分析：本题证面面平行，可证明平面A1EF内的两条相交直线分别与平面BCGH平行，然后根据面面平行的判定定理即可证明．

证明：△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，

∴EF∥BC.

又∵EF ⊄ 平面BCGH，BC⊂平面BCGH，

∴EF∥平面BCGH.

又∵G、F分别为A1C1，AC的中点，

∴A1GFC.

∴四边形A1FCG为平行四边形．

∴A1F∥GC.

又∵A1F⊄平面BCGH，CG⊂平面BCGH，

∴A1F∥平面BCGH.

又∵A1F∩EF＝F，

∴平面A1EF∥平面BCGH.

3、直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线

与该直线平行。

用图形表示为：

用符号表示为：a∥α，a⊂β，α∩β＝b ⇒a∥b. 3

(1)线面平行的性质定理是证线线平行的一个途径．

(2)证线线平行的途径还有：三角形的中位线、梯形的中位线、线面垂直的性质定理、平面内平行线的判定定理、平行公理、平面与平面平行的性质定理等.

【例3】 如右图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.

(1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论．

(2)判断MN与平面PAD的位置关系并证明你的结论．

解：

（1）BC∥l.

证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD.

又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD.

又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l.∴BC∥l.

(2)MN∥平面PAD.

证明：取CD的中点E，连结ME、NE.

∵M、N分别为AB、PC的中点，

∴ME∥AD，NE∥PD.

又ME⊄平面PAD，NE⊄平面PAD，

∴ME∥平面PAD，NE∥平面PAD，

又ME∩NE＝E，

∴平面MNE∥平面PAD.

而MN⊂平面MNE.∴MN∥平面PAD.

4．平面与平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

用图形表示为：

用符号表示为：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

【例4】 如下图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间，点A、D∈α，C、F∈γ，AC∩β＝B，DF∩β＝E.

(1)求证：ABBC＝DEEF；

(2)设AF交β于M，AD与CF不平行，α与β间的距离为h′，α与γ之间的距离为h，当h′h的值是多少时，S△BEM的面积最大？

4

有关平行的经验总结：

(1)经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．

(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．

(3)已知平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面．

(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．

(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线必垂直于另一个平面．

(6)平行于同一个平面的两个平面平行．

(7)平行于同一条直线的两条直线平行．

5

由两个平面平行来推证两条直线平行，则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线.

实战演练

1、直线a∥α，则 ( )

A．平面α内有且只有一条直线与直线a平行

B．平面α内有无数条直线与直线a平行

C．平面α内不存在与直线a垂直的直线

D．平面α内有且只有一条直线与直线a垂直

解析：如右图，在正方体中，直线BC∥平面A′C′，但是平面A′C′内的直线B′C′和A′D′均平行于直线BC，所以A错；直线A′B′⊥BC，直线C′D′⊥BC，即平面A′C′内有两条直线垂直于BC，所以C和D错，应选B.

2、已知直线a，b，c及平面α，β，下列条件中，能使a∥b成立的是 ( )

A．a∥α，b⊂α B．a∥α，b∥α

C．a∥c，b∥c D．a∥α，α∩β＝b

解析：a∥α，b⊂α，则a∥b或a，b异面，A错；a∥α，b∥α，则a∥b或a，b异面或a，b相交，B错；a∥α，α∩β＝b，则a∥b或a，b异面，D错；事实上，a∥c，b∥c，则a∥b，这是公理4，所以C正确．

3、设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：

①若l∥n且m∥n，则l∥m；

②若l∥α且m∥α，则l∥m；

③若n∥α且n∥β，则α∥β；

④若α∥γ且β∥γ，则α∥β；

其中正确命题的序号是________．(把正确命题的序号都填上)

解析：根据平行的传递性，显然①④正确；如右图所示，长方体ABCD－A′B′C′D′中，直线AD∥平面A′C′，直线AB∥平面A′C′，但是直线AD与直线AB相交，所以②错；直线AB∥平面A′C′，直线AB∥平面C′D，但是平面A′C′∩平面C′D于直线C′D′，所以③错．

答案：①④ 6

4、如右图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点．

求证：MN∥平面AA1C1.

证明：设A1C1中点为F，连接NF，FC，

∵N为A1B1中点，

∴NF∥B1C1，且NF＝ B1C1，

又由棱柱性质知B1C1 BC，又M是BC的中点，

∴NF MC，∴四边形NFCM为平行四边形．

∴MN∥CF，又CF⊂平面AA1C1，MN ⊄ 平面AA1C1，

∴MN∥平面AA1C1.

四、直线与平面垂直的判定与性质

1．直线与平面垂直

2．平面与平面垂直

3．直线与平面所成的角 7

4．二面角的有关概念

证明线面垂直的方法：

一是线面垂直的判定定理；

二是利用面面垂直的性质定理；

三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．

注：线线垂直线面垂直

1．线面所成的角：

PA是平面的一条斜线，AO是PA在平面内的射影，则锐角PAO叫做这条直线和这个平面所成的角

2．三垂线定理及其逆定理： 跟斜线垂直的直线必定与斜线的射影垂直

跟斜线射影垂直的直线必定与此斜线垂直

：

性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行。

注：线面垂直线线平行

【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE. aAPO