网络优先数字出版时间：２０１４ ４—３Ｏ 网络优先数字出版地址：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｏｉ／１Ｏ．１３６５６’／ｊ．ｃｎｋｉ．ｇｘｋｘ．２０１４０４３０．００５．ｈｔｍｌ 广西科学Ｇｕａｎｇｘｉ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ ２０１４，２１（３）：２９３￣２９７
高斯型求积校正新公式 ＊
Ｔｈｅ Ｎｅｗ Ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ Ｆｏｒｍｕｌａｓ ｏｆ Ｇａｕｓｓ Ｑｕａｄｒａｔｕｒｅ
谭云龙，黄敬频
ＴＡＮ Ｙｕｎ—ｌｏｎｇ，ＨＵＡＮＧ Ｊｉｎｇ—ｐｉｎ
（广西民族大学理学院，广西南宁 ５３０００６） （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｇｕａｎｇｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｆｏｒ Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ，Ｎａｎｎｉｎｇ，Ｇｕａｎｇｘｉ，５３０００６，Ｃｈｉｎａ）
摘要：基于高斯一勒让德求积公式余项，给出一种新的数值积分校正公式．该校正公式相比原高斯型求积公式可 提高四阶代数精度，即 点校正公式的代数精度至少达２ ＋３，而且数值算例表明，该校正公式的数值精度明显 优于原高斯型求积公式和其他已知的计算结果． 关键词：高斯积分 代数精度 校正公式 数值算例 中图分类号：０２４ｌ＿４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５—９１６４（２０１４）０３—０２９３—０５ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｏｆ Ｇａｕｓｓ—Ｌｅｇｅｎｄｒｅ ｑｕａｄｒａｔｕｒｅ ｆｏｒｍｕｌａ，ａ ｎｅｗ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒ— ｍｕｌａ ｆｏｒ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｓ ｇｉｖｅｎ．Ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｃａｎ ｉｍｐｒｏｖｅ
ｆｏｕｒ—ｏｒｄｅｒ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ａｃｃｕｒａｃｙ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａＩ Ｇａｕｓｓ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｏｒｍｕｌａ，ｔｈａｔ ｉｓ，ｔｈｅ ａｌ— ｇｅｂｒａｉｃ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ 一ｐｏｉｎｔ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｔｏ ｂｅ ａｔ １ｅａｓｔ ２ｎ＋３．Ｎｕｍｅｒｉｃａ１ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａｓ ｈａｖｅ ｈｉｇｈｅｒ ａｃｃｕｒａｃｙ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ Ｇａｕｓｓ ｉｎｔｅｇｒａｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅ—
- 1 - gauss型积分公式
Gauss型积分公式是一种经典的积分计算方法，它是18世纪德国数学家克劳德高斯（Karl Friedrich Gauss）提出的数学方法，又称作高斯积分或高斯积分公式。这种积分方法非常简单、实用，是数学及其相关学科研究时常用到的数学工具。
Gauss型积分公式的特点是它可以将复杂的一元定积分问题转化为解一个多项式方程组的几何问题，从而减少不少的计算量。它的优势在于，无论是写出这种方程，结合数学技巧便可算出结果，还可用另一种方法，通过积分变换来完成积分计算，而且可以在结果上获得较高的精度。
Gauss型积分公式可简化定积分问题计算，但由于其复杂性，对多元积分这类计算量较大的问题无能为力。在这种情况下，可以使用另外一种积分方法，即数值积分法，在这种方法中，采用多项式函数来模拟定积分问题，从而减少计算量，并可以得出比较准确的结果。
Gauss型积分公式在数学研究中具有重要意义，可求出很多有用的结果，尤其是在求解复杂的一元定积分问题上。它的有效性可以通过用它来求曲线的极限等数学知识的计算来证明。此外，它还可以用于计算椭圆积分，复数积分等。
Gauss型积分公式的应用范围十分广泛，它在数学研究中可以帮助研究者减少许多计算量，从而节省时间，使得数学研究变得更加有效率。它在量子力学、电磁学、计算物理学、天文学、计算生物学以及统计学等领域也有着广泛的应用。 - 2 - 从以上可以看出，Gauss型积分公式在数学及其相关学科中具有重要意义，它可以帮助研究者提高研究效率，具备很多实用性，是一个重要的数学工具。对于Gauss型积分公式的应用，学者们和工程研究者们都应该进行进一步的深入研究，从而更好地发挥它的作用。
Gauss型积分公式 摘要
求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式 正交多项式 代数精度
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1、实验目的
1) 通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2) 通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3) 用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程
下面介绍三种常见的Gauss型积分公式
1) 高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式
勒让德（Legendre）多项式
如下定义的多项式
称作勒让德多项式。由于 是 次多项式，所以 是n次多项式，其最高次幂的系数 与多项式
的系数相同。也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式 是在 上带 的n次正交多项式，而且
这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式 的零点，相应的Gauss型积分公式为
高斯求积公式
高斯求积公式，又称为高斯积分公式，是由18世纪德国数学家卡尔·高斯发现的重要的定积分计算公式。它是用来计算一元函数定积分的有效方法，是数学计算中最重要的积分公式。
高斯求积公式包括两种不同的形式：一种叫做标准形式，另一种叫做拉格朗日形式。两种形式的计算结果是一样的，所以可以任意使用其中一种形式来计算定积分。
标准形式的高斯求积公式为：
∫f(x)dx=Σwi*fi(xi) (i=1,2,3,…n)
其中，wi为积分权值，fi(xi)为积分点处函数值，xi为积分点，n为积分点数。
拉格朗日形式的高斯求积公式为：
∫f(x)dx=Σwi*fi(xi)*fi'(xi) (i=1,2,3,…n)
其中，wi为积分权值，fi(xi)为积分点处函数值，fi'(xi)为积分点处函数一阶导数，xi为积分点，n为积分点数。
高斯求积公式的基本原理是：将函数拆分为多个函数，将定积分的计算拆分成多个简单的积分，然后再求和。高斯求积公式可以计算多项式、几何线性函数等积分，是一种十分有效的计算积分的方法。
高斯求积公式的优势在于它的公式简单，计算速度快，可以有效减少计算量，提高计算效率，使得复杂的积分可以轻松计算出来。它也可以用来计算多元函数的积分，对于函数求积有着重要的意义。
总之，高斯求积公式是一种十分重要的定积分计算公式，可以用来计算一元函数的积分，也可以用来计算多元函数的积分，是数学计算中有效的方法。
