2019-2020同步人A数学必修第一册新教材讲义：第3章+3.1+3.1.1 函数的概念和答案
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2019-2020同步人A数学必修第一册新教材讲义：第3章+3.1+3.1.1 函数的概念和答案
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3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
学
习 目 标 核 心 素 养
1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)
2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)
3．能够正确使用区间表示数集．(易混点) 1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．
2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．
3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.
1．函数的概念
定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 自变量x的取值范围
值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}
思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？ 2019-2020同步人A数学必修第一册新教材讲义：第3章+3.1+3.1.1 函数的概念和答案
- 2 - / 10 (2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)这种看法不对．
符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
2．区间及有关概念
(1)一般区间的表示
设a，b∈R，且a
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a
{x|a≤x
{x|a
(2)特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？
提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作2019-2020同步人A数学必修第一册新教材讲义：第3章+3.1+3.1.1 函数的概念和答案
- 3 - / 10 为区间一端时，这一端必须是小括号．
1．函数y＝1x＋1的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1,0)
C．(－1，＋∞) D．(－1,0)
C [由x＋1>0得x>－1.
所以函数的定义域为(－1，＋∞)．]
2．若f(x)＝11－x2，则f(3)＝________.
－18 [f(3)＝11－9＝－18.]
3．用区间表示下列集合：
(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________；
(2){x|x>1}用区间表示为________．
(1)[10,100] (2)(1，＋∞) [结合区间的定义可知(1)为[10,100]，(2)为(1，＋∞)．]
函数的概念
【例1】 (1)下列各组函数是同一函数的是( )
①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；
②f(x)＝x与g(x)＝x2；
③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
A．①② B．①③
C．③④ D．①④
(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数． 2019-2020同步人A数学必修第一册新教材讲义：第3章+3.1+3.1.1 函数的概念和答案
- 4 - / 10 ①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；
②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．
(1)C [①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与g(x)＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．
由上可知是同一函数的是③④.
故选C.]
(2)[解] ①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．
②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．
③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．
④集合A不是数集，故不是函数．]
1．判断对应关系是否为函数的2个条件 2019-2020同步人A数学必修第一册新教材讲义：第3章+3.1+3.1.1 函数的概念和答案
- 5 - / 10 (1)A，B必须是非空实数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
1．下列四个图象中，不是函数图象的是(
)
A B C D
B [根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]
2．下列各组函数中是相等函数的是( )
A．y＝x＋1与y＝x2－1x－1
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
B [A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，选B.]
求函数值
2019-2020同步人A数学必修第一册新教材讲义：第3章+3.1+3.1.1 函数的概念和答案
- 6 - / 10 【例2】 设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，
(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．
(2)求g(f(x))．
[思路点拨] (1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；
(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．
[解] (1)因为f(x)＝2x2＋2，
所以f(2)＝2×22＋2＝10，
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，
所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．
g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112.
(2)g(f(x))＝1fx＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.
函数求值的方法
1已知fx的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得fa的值.
2求fga的值应遵循由里往外的原则.
3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．
[解] f(1)＝13＋2×1＋3＝6；
f(t)＝t3＋2t＋3；
f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；
f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3. 2019-2020同步人A数学必修第一册新教材讲义：第3章+3.1+3.1.1 函数的概念和答案
- 7 - / 10 求函数的定义域
[探究问题]
1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？
提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．
2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？
提示：[1,2]是自变量x的取值范围．
函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．
【例3】 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝2＋3x－2；
(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；
(3)f(x)＝3－x·x－1；
(4)f(x)＝x＋12x＋1－1－x.
[思路点拨] 要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．
[解] (1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，
函数f(x)＝2＋3x－2有意义，
所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
