二次函数表达式的三种形式
二次函数的三种形式：1、一般式：y=ax²+bx+c(a≠0，a 、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。2、顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0，a、h、k为常数)。
3、交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1、x2为常数)。扩展资料：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 1、当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；2、当a与b异号时（即ab抛物线与x轴交点个数：1、Δ= b²-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
2、Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。3、Δ= b²-4ac用待定系数法求二次函数的解析式：1、当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)。
2、当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)。3、当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
第 1 页 共 8 页 用待定系数法求二次函数的表达式
年级 九年级 学校 讲义编号
学生 老师 周老师 授课时间 2017..（：00——:00）
教学目标 用待定系数法求二次函数的表达式；
重 点 用待定系数法求二次函数的表达式；
难 点 用待定系数法求二次函数的表达式；
教学内容
【用待定系数法求二次函数表达式的方法】
（1）设：根据条件设函数表达式；
（2）列：把已知点的坐标代入表达式，得到方程或方程组；
（3）解：解方程或方程组，求出未知系数；
（4）答：写出函数表达式，注意最后结果一般要化成一般式cbxaxy2
二次函数解析式的表示方法
一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；
顶点式：kmxay2)(（a，h，k为常数，0a，
两根式：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
二次函数各种形式之间的变换
二次函数cbxaxy2用配方法可化成：kmxay2的形式，其中abackab442m2，.
求抛物线的顶点、对称轴的方法
公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.
配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为kmxay2)(的形式，得到顶点为(m,k)，对称轴是直线mx.
运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
第 2 页 共 8 页 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
- 1 - 二次函数的图像和性质----基础概念
1.二次函数的定义：形如 的函数叫二次函数。
限制条件：（1）自变量的最高次数是 ；（2）二次项系数 。
2．二次函数的解析式（表达式）——三种形式，重点是前两种。
（1）一般式： ；
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），此时二次函数的顶点坐标为（ ， ），对称轴是 。
注意：顶点形式的最大优点是直接从解析式看出顶点坐标和对称轴，比较方便。离开它用一般形式也可以。
※（3）交点式（两点式）：设x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，则y=a（x-x1）（x-x2）此时抛物线的对称轴为直线x=221xx。
注意：（1）当顶点在X轴上（即抛物线与X轴只有一个交点（0，x1））时，函数表达式为 。这个交点是抛物线的什么点？
（2）是不是任意一个二次函数都可以写成交点形式？在什么条件下才有交点式？
（3）利用这种形式只是解决相关问题要简便一些，直接用一般形式也可以。实际上利用一般形式和顶点坐标公式可以解决二次函数的多数问题。
▲三种二次函数的解析式的联系：
针对一般形式而言，顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）中，h= ；k=
。当Δ=b2-4ac 时，才有两根式。
3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质 ----抛物线的特征---待定系数a,b,c的作用
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条 线，它是一个
对称图形，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的 点。不过这个结论成立的条件是自变量的取值范围是 。
（1）形状----开口大小。由 决定， 越大，开口越 。
如何求二次函数表达式
求二次函数表达式的问题是历年来的中考热点之一，为帮助同学们切实掌握求二次函数表达式的方法，这里笔者结合教学实例进行说明，与同仁们共同探讨，供同学们借鉴。
二次函数表达式主要有三种常见形式：一般式、顶点式、对称点式。
1．一般式y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0 )当已知抛物线上三个点的坐标时，通常设抛物线的表达式为一般式，再把已知三点坐标代入所设的一般式，建立关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，后代回所设表达式即可。
例1.抛物线过三点（0，1），（-1，-5），（3，-5），求抛物线的表达式
分析：因已知抛物线上三个点的坐标，所以可设函数表达式为一般式
解：设函数表达式为：y= ax2+bx+c,把三个点的坐标代入得c=1，a-b+c=-5,9a+3b+c=-5
解之得a=-2，b=4，c=1
所以该抛物线的表达式为：y=-2x2+4x+1
跟踪练习：抛物线过三点（0，1）（1，3）（-1，1）
答案：y=x2+x+1
2. 顶点式y=a（x-h)2+k（a、h、k为常数且a≠0），（h，k）为抛物线的顶点坐标。当已知抛物线的顶点坐标或对称轴时，可以设表达式为顶点式，将题中剩余条件代入求出待定系数，再代回表达式，化为一般式即可。
例2．已知抛物线的顶点坐标是（1，-4），且过点（3，0）求其函数表达式。
分析：因题中给定的是抛物线的顶点坐标，所以可设顶点式来解。
解：设y=a(x-1)2-4，将点（3，0）代入得：4a-4=0所以a=1
因此y=(x-1)2-4=x2-2x-3
例3．已知抛物线的对称轴为直线x=1，且过点（0，-1），（3，2），求其函数表达式。
分析：因给定的是抛物线的对称轴，也就知道了顶点的横坐标，所以也可以把表达式设为顶点式。
解：设y=a（x-1)2+b，把（0，-1），（3，2）坐标代入得：a+b=-1，4a+b=2解之得a=1，b=-2所以函数表达式为：y=(x-1)2-2=x2-2x-1
