整式的乘除法

整式的乘法（1）单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．如：23234233ab a b c a b c ⋅=，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母a 的幂分别是a 和2a ，乘积中a 的幂是3a ，同理，乘积中b 的幂是4b ，另外，单项式ab 中不含c 的幂，而2323a b c 中含2c ，故乘积中含2c ．（2）单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加．公式为：()m a b c ma mb mc ++=++，其中m 为单项式，a b c ++为多项式．（3）多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加． 公式为：()()m n a b ma mb na nb ++=+++整式的除法（1）单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．整式的乘除法知识讲解如：2322233a b c ab ab c ÷=，被除式为2323a b c ，除式为ab ，系数分别为3和1，故商中的系数为3，a 的幂分别为2a 和a ，故商中a 的幂为21a a -=，同理，b 的幂为2b ，另外，被除式中含2c ，而除式中不含关于c 的幂，故商中c 的幂为2c ．（2）多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加．公式为：()a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷，其中m 为单项式，a b c ++为多项式．【例1】 下列计算正确的是（ ）A ．236326a a a ⋅=B ．358248x x x ⋅=C ．44339x x x ⋅=D ．88165510y y y ⋅=【例2】 直接写出结果：（1）23232a b a b ⋅= （2）22558x y xyz ⋅=（3）3263b a b ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭（4）()()2424a b b -⋅-=【例3】 计算：（1）3223152a bc ab ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()1323443m x yz x y z +⋅-（3）)21).(43).(32(222z xy z yz x -- （4）33332543ab a b abc ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()()1245m m a b b a -⎡⎤⎡⎤-⋅--⎣⎦⎣⎦ （6）()()()21536m n m x y x y y x +⎡⎤-⋅-⋅-⎣⎦同步练习【变式练习】计算2332536()()()()1245x y x y x y y x ⎡⎤+⋅--⋅--⋅-⎢⎥⎣⎦．【例4】 计算：（1）()()43322.a ab c （2）()()233222x x y -⋅-（3）()()23226.3xy x y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭ （4）()32223334x x y xy ⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（5）()()2323m n x y x y -⋅ （6）()()()232223m n n x y x y xy -⋅-⋅-【例5】 若()18333m n m n a a b a b ++⋅=，则m = ，n = ．【例6】 如果223a b x y --和35825a b a bx y ++是同类项，那么这两个单项式的积是 ．【例7】 直接写出结果：（1）()62m n ---= （2）()222a a ab b --=（3）()()253a b ab -+⋅-= （4）()21684.2x x x ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭（5）()23413=3x x x ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭ （6）()1=m m na a a --【例8】 计算：（1）()()22324a a b a a ab --- （2）()()222131a b ab ab ab -++-（3）()()2321322m n x x x x ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦ （4）()()3213222m n ab b a b b a b ⎡⎤⎛⎫+--⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（5）()()()()534233515221x x y x x y ⎡⎤--⋅---⎣⎦ （6）12123111264226n n x y xy x y xy ++⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例9】 化简求值25365(21)4(3)24m m m n m m n --+-+---，其中12m n =-=，．【例10】 解方程()()()22614116x x x x x x ---=-+．【变式练习】若2(31)6(3)16x x x x --+-=，则______x =．【例11】 解不等式()()()222224253x x x x x x -+-+-≤．【例12】 对代数式进行恰当的变形求代数式的值（1）若56x y +=，求2530x xy y ++；（2）若210m m +-=，求3222013m m ++；（3）若20x y +=，求()3342x xy x y y +++．【例13】 直接写出结果：（1）()()a b m n ++= （2）()()2a b m n +-= （3）()()23x x +-= （4）()()34y y --= （5）()()3x y x y -+= （6）()()22a b a b --=【例14】 下列计算正确的是：（ ）A ．()()22222a b a b a b +-=-B ．()()22a b a b a b --+=-C ．()()22333103a b a b a ab b --=-+D ．()()2233a b a ab b a b --+=-【例15】 下列计算正确的是：（ ）A ．()2222a b a ab b --=-+B ．()222a b a b -=-C ．()()()2244x y x y x y x y +--=- D ．()()222244a b b a a ab b --=-+-【例16】 计算：（1）()()3123a a +- （2）)214)(221(-+x x（3）()(2)x y x y ++ （4）()()43a b a b ---（5）(2)(2)(21)a a a -++； （6）233222()()x y x y x y -⋅-【例17】 计算：（1）(2)(3)a a a +- （2）()()0.10.20.30.4m n m n -+（3）2(23)(2)()x y x y x y -+-+ （4）2(2)(2)()a b a b a b +--+（5）22()()()x y x y y x -+--+ （6）()()22x xy y x y ++-【例18】 已知230a a --=，则(3)(2)a a -+的值是_________．【例19】 （1）若()()22345+x x ax bx c +-=+，则a = ，b = ，c = ．（2）若2(2)()6x x n x mx --=-+，则___________m n ==，．【例20】 已知22()()26x my x ny x xy y ++=+-，求()m n mn +的值．【例21】 先化简再求值：()()()()3123454a a a a +----，其中2a =-．【例22】 直接写出结果：（1）52x x ÷= （2）94y y ÷= （3）88x x ÷= （4）()()106xy xy ÷= （5）()63c c -÷= （6）()1312x x -÷=（7）()323x x ⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭ （8）()5122ax x -÷=（9）()()7426=3a b b a -÷- （10）()0π 3.14-=【例23】 计算：（1）()42m m nx x x ÷⋅ （2）42m m n x x x ÷⋅（3）()()233223a b a÷ （4）211528n n a a -⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭（5）()()2483pq m n n m ⎡⎤--÷-⎣⎦ （6）()()21212n n x y x y +⎡⎤⎡⎤+÷+⎢⎥⎣⎦⎣⎦【变式练习】计算：（1）222(4)8x y y ÷（2）2322393m n m n n m a b c a b ---÷（3）3232213()()34a b ab ÷ （4）2322(0.8)(4)n n x y x y ÷【例24】 若()28332233m n ax y x y x y ÷=，求a m n 、、的值．【例25】 化简求值：()()()43242322422a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⋅-÷-÷-⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中5a =-．【例26】 直接写出结果：（1）()269123x x -+÷= （2）()()32281477x x x x --÷-= （3）()()32121866x x x x -+÷-= （4）()()433226892x y x y x y xy -+÷-=【例27】 计算：（1）472632211()()393a b a b ab -÷-（2）()282342336( 1.8)0.655a b a b a b ab --÷（3）()323453360.90.645a x a x ax ax ⎡⎤-+-÷⎢⎥⎣⎦（4）()()2233735322728217m n m m n m n m n ⎡⎤+-÷-⎢⎥⎣⎦【例28】 先化简，再求值：()()()2232a b ab b b a b a b --÷-+- ，其中15a =-，1b =- ．【变式练习】()()()()32322524a b a b a b a b a +--+--÷⎡⎤⎣⎦，其中23a b =-=，．【例29】 已知2610x x -+=，求221x x +的值．【变式练习】已知23530x x --=，求221x x +的值．【例30】 已知多项式322x x ax -+的除式为1bx -，商式为22x x -+，余式为2，求a b 、的值．【例31】 将一多项式()()221734x x ax bx c ⎡⎤-+-++⎣⎦，除以()56x +后，得商式为()21x +余式为1 求a b c --= ．【例32】(3)x +与(2)x m -的积中不含x 的一次项，则________m =．【例33】 如果2(1)(5)x x ax a +-+的乘积中不含2x 项，则a 为_________．【变式练习】已知23(536)(12)x mx x x -+--的计算结果中不含3x 的项，则m 的值为 ．【例34】 计算322(25)(231)x x x x -+--+．【例35】 已知21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 的项，也不含x 的项，试求a 与b 的值．【变式练习】使22(8)(3)x px x x q ++-+的积中不含2x 和3x ，求p ，q 的值．【例36】 在()()22231x ax b x x ++--的积中，3x 项的系数是5-，2x 项的系数是6-，求a b 、的值．【变式练习】已知多项式432222(1)(2)x x x x mx x nx +++≡++++，求m 与n 的值．【例37】 已知实数a b x y 、、、满足35ax by ay bx +=-=，．求()()2222a b x y ++的值．【例38】 规定一种新运算“*”：a *()()()()2534b a b a b =++-++，试化简()1m -*()1n +．【变式练习】规定一种新运算“*”：对于任意实数()x y ，恒有()x y ，*()()211x y x y x y =++--，，．若实数a b ，满足()a b ，*()()=a b b a ，，，则a b ，的值为多少？。

整式乘除知识点在数学的学习中，整式乘除是一个重要的部分，它不仅是后续学习代数运算的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。

下面就让我们一起来深入了解整式乘除的相关知识点。

一、整式的乘法（一）单项式乘以单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

例如：3x²y × 5xy³＝ 15x³y⁴（二）单项式乘以多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如：2x(3x² 5x ＋ 1) ＝ 6x³ 10x²＋ 2x（三）多项式乘以多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如：（x ＋ 2)（x 3) ＝ x² 3x ＋ 2x 6 ＝ x² x 6二、整式的除法（一）单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

例如：18x⁴y³z² ÷ 3x²y²z ＝ 6x²yz（二）多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加。

例如：（9x³y 18x²y²＋ 3xy³) ÷ 3xy ＝ 3x² 6xy ＋ y²三、乘法公式（一）平方差公式（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²例如：（3x ＋ 2)（3x 2) ＝ 9x² 4（二）完全平方公式（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²例如：（x ＋ 5)²＝ x²＋ 10x ＋ 25四、整式乘除的应用（一）几何图形中的应用在求解长方形、正方形等图形的面积和周长时，经常会用到整式的乘除。

第一章整式的运算单项式 整 式多项式同底数幂的乘法幂的乘方 积的乘方幂运算 同底数幂的除法零指数幂负指数幂 整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法 多项式与多项式相乘整式运算 平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

二、多项式1、多项式、多项式的次数、项几个单项式的和叫做多项式。

其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式：单项式和多项式统称为整式。

四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。

五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：a m ﹒a n =a m+n (m,n 都是正整数）；2、幂的乘方：（a m ）n =a mn (m,n 都是正整数）；3、积的乘方：（ab ）n =a n b n (n 都是正整数）；4、同底数幂的除法：a m ÷a n =a m-n (m,n 都是正整数,a ≠0) ；六、零指数幂和负整数指数幂：1、零指数幂：a 0=1（a ≠0）;2、负整数指数幂：1(0)p p a a a -=≠p 是正整数。

七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：整 式 的 运 算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、p 是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

整式的乘除整式是指由常数、变量及它们的乘、除运算符号经有限次组合而成的代数表达式。

整式是代数学中一个重要的概念，掌握整式的乘除运算是解决代数问题的关键。

一、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个整式相乘的运算。

在整式的乘法中，我们需要遵循如下规则：1.同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

例如：am* an = am+n2.乘法满足交换律和结合律。

3.不同底数幂相乘时，可以将其视为两个不同的因数。

例如：am * bn = abn下面是一个整式乘法的示例：假设有整式 a = 2ab2，b = 3a2b，c = 4a2b2。

要求计算整式 d = a * (b + c) 的值。

根据乘法分配律，我们可以将乘法转化为加法运算，即：d = a * b + a * c。

将 a、b、c 的值代入计算，有：d = 2ab2 * 3a2b + 2ab2 * 4a2b2化简上式，将幂相加，并化简系数，得到：d = 6a3b3 + 8a3b4因此，整式 d 的值为 6a3b3 + 8a3b4。

二、整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式的运算。

在整式的除法中，我们需要遵循如下规则：1.除法满足结合律，但不满足交换律。

2.同底数的幂相除，底数不变，指数相减。

例如：am/ an = am-n3.除法中，除数不为零。

下面是一个整式除法的示例：假设有整式 p = 5a3b2c 和 q = 10a2c2。

要求计算整式 r = p / q 的值。

根据整式除法的规则，我们需要将p 和q 化简到最简形式，然后进行除法运算。

首先，我们将 p 和 q 化简，并将指数按照从大到小的顺序排列：p = 5a3b2c，q = 10a2c2进行除法运算，将 p 中每一项除以 q 中的对应项，并将指数进行相减：r = (5a3b2c) / (10a2c2)再化简这个分式，我们可以将分子和分母都除以其最大公因式 5ac，得到最简形式：r = (a2b2) / (2c)因此，整式 r 的值为 (a2b2) / (2c)。

整式的乘除法综合在整式及其加减运算后，进一步学习整式的乘除，是对整式运算的延展和补充.整式的乘除法的基础是同底数籍的乘法和除法，籍的乘方和积的乘方，单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，单项式除以单项式、多项式除以单项式等运算.通过这节课的学习，一方面加强对整式乘除运算的进一步理解，另一方面也为后期学习分式的运算奠定基础.P［整式的乘法整式的乘除法1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数籍分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式.注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按”先乘方、再乘法的顺序进行例如•2xv2 23X2v 4X2v43X2v 12X4v51XA H J //」乂 L |」•\/ .4/'H •c x y u x y *t x y u x y ic x y.2、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项.再把所得的积相加.例如：m a b c=ma mb mc.3、多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.用公式表示为: (m n)(a b) (m n)a (m n)b ma na mb nb .4、同底数籍的除法法则：同底数籍相除，底数不变，指数相减.用式子表不■为：a m a n a m n (m、n都是正整数且m n , a 0).5、规定a0 1 a 0 ; a p $ (a 0 , p是正整数).6、单项式除以单项式的法则：两个单项式相除，把系数、同底数籍分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.7、多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.(1)多项式除以单项式，商式与被除式的项数相同，不可丢项.(2)要求学生说出式子每步变形的依据.(3)让学生养成检验的习惯，利用乘除逆运算，检验除的对不对.一、选择题1.下列运算中结果正确的是( ).- - - 一一一 3 _A 336D 224八 2 5 cx x x ； B、3x 2x 5x ； C、x x ； D 、2 2 2x y x y .【难度】★【答案】A【解析】B正确答案为：3x2 2x2 5x2；C正确答案为x23 x6；D正确答案为x y 2x22xy y2 .【总结】本题主要考查对整式的运算法则的理解和运用.2.在下列的计算中正确的是（).A 2x 5y 5xy B、a a 2 a2 4G a2 ab a3b 2x 6x 9【答案】C【解析】A的两个单项式不能合并; 正确答案为D正确答案为x 32 x2 6x 9【总结】本题主要考查对整式的运算法则的理解和运用.3.下列运算中正确的是（).A 6 c 3 c 2 A、6x 3x 2x B、8x8,2 c 64x 2x2xy xyC、3xy 23x yA 、 abB. abC. D.b【解析】A 正确答案为6x 6 3x 3 2x 3 ;C 正确答案为223xy 3x 3xy ;D 正确答案为x 2y 2 xy 2 1.【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用.【总结】本题属于混合运算，计算时注意对相关运算法则的准确运用.5.如果4a 2 3ab M 4a 3b ，那么单项式M 等于（）.4.计算 4ab 的结果是（).A 、4B 、A 2ab【答案】C【解析】原式=a 2 b 22ab a 2 b 2 2ab 4ab4ab 4ab 1【难度】【答案】C【解析】4a 2 3ab a 4a 3b a 4a 3b , /. M a .【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用.6.设M 是一个多项式，且M 5 x 2y2x 2y 4 —x ，那么M 等于（）.32【难度】★★【答案】Cf 皿 士匚 1…2 43 5 2 2 45 23 5 2 104 55 3M 2x y — x -x y 2xy — xy-x-xy— x y -x y2332332【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用.645943x y —x y B 、6 3 -y 55 2xy10 4 5 3xy2xy10 4 5i xy2xy7.已知x2 kxy 64y2是一个完全平方式，贝U k的值是（）.【难度】★★【答案】D【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用.8.如下图（1）,边长为a 的大正方形中一个边长为b 的小正方形, 小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）.这一过程 可以验证（）.【解析】图1中，阴影部分的面积为a 2 b 2,图2中，阴影部分为长方形，长为a b ,宽为a b ,A 、8B 、±8C 、16【解析】X 2 kxy 64 y 2 x 2 kxy228y =x 28 xy28yA a 2 b 2 2abB 、a 2 b 2 2ab a b 2 ;G 2a 2 3ab b 22a b a- bDk a 2 b 2 a b a b【难度】★★【答案】D面积为【总结】本题通过图形面积的转化加强对平方差公式的理解.9.如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式:b n 2a b ；④ 2am 2an bm bn ,你认为其中正确的有（）A、①②B、③④C、①②③ D>①②③④【难度】★★【答案】D【解析】图中①②③④中各个代数中表示图中长方形的面积.【总结】本题主要是通过图形的面积加强对整式乘法的理解.10.已知P — m 1 , Q m2—m （m为任意实数），则P、Q的大小关系15 15Dk不能确B、P Q【难度】★★★【答案】C【解析】Q P m28 —m 7 —m 1 m2m 1 m 1 2 3 015 15 2 4【总结】本题主要考查通过作差法来比较两个数的大小.二、填空题11.若5x 3y 2 0 , I05x 103y .【难度】★【答案】100【解析】；5x 3y 2 0 , 5x 3y 2 , /. 105x 103y=105x3y 102【总结】本题主要考查对同底数籍相除的法则的逆用.12.已知m n 2, mn 2，贝!j 1 m 1 n .【难度】★【答案】-3【解析】1 m 1 n 1 m n mn 1 mn 1 2 2【总结】本题一方面考查整式的乘法，另一方面考查整体代入思想的运用.13.若m2 n2 6 ,且m n 3 ,贝!J m n .【难度】★【答案】2.【解析］•/ m2 n2 m n m n 6 , m n 3 , m n 2 .【总结】本题主要考查对平方差公式的运用.14.方程x 3 2x 5 2x 1 x 8 41 的解是.【难度】★【答案】x 3.【解析】x 3 2x 5 2x 1 x 8 41 ,二2x2 5x 6x 15 2x2 16x x 8 41 ,即16x 48【总结】本题通过利用整式的乘法来进行方程的求解.15.已知x2 5x 1，那么x2 W x【难度】★★【答案】272【解析】x2 5x 1 , x 1 5 . x 125,x xx2二 2 25 . x2 4 27 .x x【总结】当两个数互为倒数时，已知它们的和或者差，都可以利用完全平方公式求出它们的平方和.16.设4x2 2 m 3 x 121是一个完全平方式，贝m=.【难度】【答案】19或-25【解析】•/ 4x2 2 m 3 x 121 2x 2 2 m 3 x 11 2 ,. 2m 3 44 , m为19 或-25 .【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用.17.计算2x 3xy 2 x2y ‘的结果是.【难度】★★【答案】18x9y5f础居，c c 223CC22 6 3 . o 9 5I用牛忻1 2x 3xy x y 2x 9x y x y 18x y .【总结】本题主要考查对单项式乘以单项式法则的理解和运用.18.已知5x与一个整式的积是25x2 15x3y 20x4 ,则这个整式= ______________________【难度】★★【答案】5x 3x2y 4x3 .x 3和 x 1 满足 4x 3 9x 2 mx n 0 .【解析】 - 2 3 4 - 2 325x 15x y 20x 5x 5x 3x y 4x .【总结】本题主要考查对整式的除法的法则的理解和运用.19.若一三角形的底为4a 2 ［，高为16a 4 2a 2【，则此三角形的面积为2 4【难度】★★★ 【答案】 6 132a16 【解析】 1 4a 2 - 16a 4 2a 2 1 1 64a 6 8a 4 a 2 8a 4 a 2 -32a 6 — 2 2 4 2 816【总结】本题主要是利用整式的乘法来求解几何图形的面积.20.已知x 2 2x 3能整除4x 3 9x 2 mx n,求n\ n 的值.【难度】★★★【答案】m 10, n 3.1【解析】..• 4x39x2mx n x22x 3 A x 3 x 1 A, x 3和x 1 满足4x3 9x2 mx n 0 .4 3 3 93 2 3m n 0 则 』c 』2 c '4191 m n 0 【总结】本题是一道综合性比较强的题目，计算时要注意方法的选择.三、简答题21.计算：x2y 2【总结】本题主要考查对整式运算中的相关法则的运用.22.计算:32 2x y 2xy 1m 10 n 3 【解析】原式 =x 2y 2 2xy x 2 y 2 2y 2 2xy . 2x 3y 3(2) 6m 2n 6m 2n 23m 2 3m 2【难度】【答案】(1) 6x7y3 ; (2) 2n 2n2 1 .2 3T角贫*斥】＜1、百7^ —2X3V2XV2X3V2X24X6V22xvRx'v32x2L用牛仙1 V 1 / 赛工J —2x y 2xy 2x y 2x4x y 2x y 8x y2x73 73 732x y 4x y 6x y -(2)原式—6m2n 3m26m2n23m23m23m22n 2n2 1 .【总结】本题主要考查对整式运算中的相关法则的运用.23.计算: x25x 6 x 6【难度】★【答案】x 1【解析】x 6 x 1 x 6 x 1 .【总结】本题主要是利用因式分解进行多项式除以多项的计算.24.计算：(1)x 4y 2x 3y (xy) ；(2) 6a b c 3a b c 2a b c .【难度】★【答案】(1) 6x7y3 ; (2) 2n 2n2 1 .【答案】(1) 2x25xy 12y2x y; (2) -1 .【解析】(1)原式—2x23xy 8xy 12y2x y 2x2 5xy 12y2x y；(2)原式=2a3b3c3 2a3b3c31.【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用.25.计算：2 2 2(1) a 2b 1 ; (2) 2x 3x 4x 1 3x 2x 3 ;2 2(3)2a 3b 2a b 2a b ; (4) x y y 2x y 8x 2x【难度】★【答案】(1) a2 4ab 4b2 2a 4b 1 ; (2) x2 2x ;1(3)10b212ab ; (4) §x 4 .【解析】(1)原式=a 2b2 2 a 2b 1 a2 4ab 4b2 2a 4b 1 ;(2)原式=6x38x2 2x 6x39x2 6x3 8x2 2x 6x3 9x2x22x;(3)原式=4a2 9b2 12ab 4a2 b210b2 12ab ;(4)原式=x2y22xy 2xy y28x 2x x2 8x 2x —x 4 .2【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用.26.计算下列各题:(1) m na3m 2namn 5a(2)2 3 2 5xy37xy2 3 3y2 2 3y【难度】 ★★【答案】(1)2mn .a ，(2)3x 3 521 —xy 2y •【解析］(1)原式=a mn a 6mn a 5mn a 2mn ;【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用.27.若 3m 6,9n 2 求 32m4n1 的值.【难度】★★【答案】27【解析】32m 4n 132m 34n 3 3m 2 9n 2 3 62 22 3 27 .【总结】本题是对籍的运算的综合运用.(2)原式斗y27xy 32 3 2 23 3 21-y -y -x 3 —xy y .3 3 5 228.解不等式: x 1 x 3 8x x 5 x 5 2【难度】★★【答案】x 52【解析】x2 x 3x 3 8x x2 25 2 ,512x 30 , x 5 .2【总结】本题主要是利用整式的乘法来求解不等式的解集.29.已知：2x 3 0 ,求代数式x x2 x +x25 x 9的值.【难度】★★【答案】0【解析】... 2x 3 0 . •，.原式=x3 x2 5x2 x3 9 4x2 9 (2x 3)(2x 3) 0 .【总结】本题主要是对整体代入思想的运用.30.先化简，再求值：xy 2 xy 2 2x 2y 2 4 xy （其中 X =10, y —）.25【难度】★★【答案】z5【解析】原式=x 2y 2 4 2x 2 y 2 4 xy x 2y 2 xy xy .1 2当X =10, y 云时，原式=1025 5 .【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准 确运用.【答案】1331.先化简，再求值：2a b 2 a 1 ba 1b a 1 2 其中 a - , b 2 .2【解析】原式=4a2 b2 4ab a 1 2 b2 a 1 2 4a2 2b2 4ab)2当 a ! , b 2 时，原式=4 1 2 2 2 4 1 2 13.【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用.32.先化简，再求值：a -b 2 b a -b ,其中a 2 , b -.2【难度】★★【答案】5【解析】原式=a2 2ab b2 ab b2 a2 ab ,当 a 2 , b ；时，原式=22 2 2 5 .【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用.33.先化简，再求值: 3x 2 3x 2 5x x 1 2x 1 2,其中x【难度】★★【答案】-8【解析】原式=9x2 4 5x2 5x 4x2 4x 1 9x 5 ,1当x:时，原式=9o 5 8 .3 3【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用.2 c3 »34.先化简，再求值：2x y 2x y y 2x ,其中x 2, y 1【难度】★★【答案】5【解析】原式=2x y13 2x y6 2x y 6 2x y ,当x 2,y 1时，原式=2 2 1 5 .【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用.35. 一个多项式除以x2 2x 3,得商为x 1,余式为2x 5,求这个多项式.【难度】★★【答案】x3 x2 3x 2 .，左刀2 3 2 2 3 2【解初J x22x 3 x 1 2x 5 x3x22x2 2x 3x 3 2x 5 x3x23x 2 . 【总结】本题主要是考查对题目的理解能力.36.已知一个三角形的面积是4a3b 6a2b212ab3, 一边长为2ab ,求该边上的高. 【难度】★★【答案】4a2 6ab 12b2 .224a 6ab 12b .即该边上的高为4a2 6ab 12b2 .，左刀3223 3 2 23【角牛析】2 4a3b 6a2b212ab32ab 8a3b 2ab 12a2b2 2ab 24ab32ab【总结】本题主要是考查对题目的理解能力.37.若3x 2y 10 0无意义，且2x y 5 ,求x,y的值.【难度】★★【答案】x 0, y 5.【解析】由题意可知：3x 2y 10 0.又2x y 5 , x 0 , y 5 .【总结】本题主要考查a0有意义的条件.38.若x2mx 8 x23x n的展开式中不含x2和x3项，求m和n的值.【难度】★★【答案】m 3, n 17.【解析】原式=x4 3x3 nx2 mx3 3mx2 mnx 8x2 24x 8n 4 3 2x m 3 x n 3m 8 x mn 24 x 8n .,展开式中不含x2和x3项，m 3 0 , n 3m 8 0 , m3, n 17.【总结】本题主要考查多项式的乘法运算结果中不含有某一项的意义.39.若a=2005, b=2006, c=2007,求a2 b2 c2 ab bc ac 的值.【难度】★★【答案】3【解析】原式=1 a b2 a c2 c b2 1 6 3.2 2【总结】本题主要是对完全平方公式的综合运用.40.说明代效式(x y)2 x y x y 2y y的值，与y的值无关.【难度】★★【答案】见解析.【解析】原式x2 y2 2xy x2 y22y y 2y2 2xy 2y y y x y x ,. ••此代数式的值与y的值无关.【总结】本题主要考查多项式的乘法运算结果中不含有某一项的意义.41.一个正方形的边长增加3cm,它的面积增加了45cm2.求这个正方形原来的边长.若边长减少3cmi它的面积减少了45cm,这时原来边长是多少呢【难度】★★【答案】6cm 6cm【解析】设原来正方形的边长为x cm则x 3 2 x2 45 ,解得：x 6 .正方形原来的边长为6 cm.设原来正方形的边长为ycm则y 32 y2 45 ,解得：y 6 .正方形原来的边长为6 cm.【总结】本题主要考查整式的乘法在实际问题中的运用.42.如图所示，长方形ABCDT阳光小区”内一块空地，已知AB=2a,BG3b,且E为AB边的中点，CF 1BC ,现打算在阴影部分种植一3片草坪，求这片草坪的面积.【难度】★★【答案】2ab .【解析】1 2a 3b 1 a 2b 2ab .2 2【总结】本题主要考查整式的乘法在实际问题中的运用.43.如图，某市有一块长为3a b米，宽为2a b米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化, 的面积是多少平方米并求出当a 的绿化面积. 【难度】★★【答案】5a2 3ab; 63.【解析】3a b 2a b a b 2_2_ 2 2 26a23ab 2ab b2a22ab b2_ 2 —5a 3ab .当a 3 , b 2时，原式=5 32 3 3【总结】本题主要考查整式的运算在实际问题中的运用.2 63.44.“光明”中学为了改善校园建设，计划在长方形的校园中间修一个正方形的花坛，预计正方形花坛的边长比场地的长少8米，比它的宽少6米，并且场地的总面积比花坛的面积大104平方米，求长方形的长和宽.【难度】★★★【答案】场地的长为12米，宽为10米.【解析】设正方形的边长为X,则场地的长为X 8米，宽为x 6米.则x 8 x 6 x2 104 ?解得：x 4场地的长为12米，宽为10米.【总结】本题主要考查整式的运算在实际问题中的运用.45.某城市为了鼓励居民节约用水，对白来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过a吨，每吨m元；若超过a吨，则超过的部分以每吨2 m元计算.现有一居民本月用水x吨，则应交水费多少元【难度】★★★【答案】见解析.【解析】当x a ,应交水费为am ；当x a ,应交水费为am x a 2m 2mx am .【总结】本题主要考查整式的运算在实际问题中的运用.46.求证：无论x、y为何值，4x2 12x 9y2 3 30y 35的值恒为正.21 1 2n2 n34 2n 1 n 1 〔222 1 3 2 3侦牛忻 1 - 一xyz m -x y z 5x y z , - - -xyz m 一x y z .3 3 9 15【难度】★★★【答案】见解析.v A-i-t r w 2 2 2 2【命军析］•/ 4x 12x 9y 30 y 35= 2x 3 3y+5 1 0,无论x、y为何值，4x2 12x 9y2 30y 35的值恒为正.【总结】本题主要利用配方来说明代数式的正负性.四、解答题1 12n2 n34 2n1n1 口、，甲._.x z 147.U 大口 : - xyz m - x y z 5x yz , F. I「.修钗x、z 7两人E: 2 372 ,3 3求m的值.【难度】★★【答案】玄.5m -1x3y2z3 1x2y2z2 2xz15 9 5..•正整数x、z 满足：2x 3z 1 72 , x 3 , z 1 2 .x 3, z 3, m § 3 3 27 .5 5【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用.48. 已知f x 5 39x 8x 12x2 , g x 5 6 -x64—x9求: f x 3x g x5 2一x的值.57 4一x12【答案】8 3 143 -x x5 30 2 4x【解析】f x 3x g x 5 2 —x189x58x3 12x23x 5x66 4 5—x93x48 2x2 4x33x48x35L108x3 5 143 2 』——x4x .305 2 —x 187 —x12【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用.49.已知关于x的三次多项式除以x2 1时，余式是2x 5 ；除以x2 4时，余式是3x 4,求这个三次多项式.【难度】★★【答案】5x3 3x2 ^x 8.3 3【解析】设关于x的三次多项式为：f (x) ax3 bx2 cx d(a 0),且f (x)除以x2 1与除以x2 4后，所得的商式分别为：ax m与ax n .贝(J ax3bx2cx d x21 (ax m) 2x 5 ①ax3bx2cx d x24 (ax n) 3x 4 ②. ••把x 1代入①可得：a b c d 3 , a b c d 7 .JE x 2 代入②可得:8a 4b 2c d 2 , 8a 4b 2c d 10 .解得：a - , b 3 , c 11 , d 8 .3 3关于x的三次多项式为5x3 3x2 11x 8.3 3【总结】本题是一道综合性比较强的题目，计算时要注意方法的选择.50.阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为ABC的三边，且满足2 2 2 2 4 4 二-fx业业匕 "一八c a c b a b ,试判断ABC日勺形状.22 22 4 4用牛. c a c b a bc2(a2b2) (a2b2)(a2b2) (B)c2a2b2(C)ABC是直角三角形问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误请写出该步的代号:(2)错误的原因为：________________________________________________(3)本题正确的结论为:【答案】见解析.【解析】(1) (C);(2)因为a4 b2不能确定能不能为零.(3) AABC为直角三角形或等腰三角形.・ 2 2.2 2.2 2.2• •ca b a b a b 0 .a2 b2或a b或a b . .'a、b、c为ABC的三边,c2a2 b20 或a2 b22 2 .2caba2 b20 .. 3BC为直角三角形或等腰三角形.【总结】本题主要是对等式的基本性质的考查，等式两边同除的数一定不为零.。

一、整式的乘除：1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.例如：_______3=-a a ；________22=+a a ；________8253=+-+b a b a __________________210242333222=-++-+-x xy x y x xy xy y x 2、同底数幂的乘法法则：a m ·a n =a m+n (m ，n 是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 例如：________3=⋅a a ；________32=⋅⋅a a a3、幂的乘方法则：(a m )n =a mn (m ，n 是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘. 例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a =4、积的乘方的法则：(a b)m =a m b m (m 是正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.例如：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a 5、同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定：10=a 例如：________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a 6、单项式乘法法则y x 32⋅ )5)(2(22xy y x - )2()3(22xy xy -⋅ 2232)()(b a b a ⋅-7、单项式除法法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.y x y x 2324÷ ()xy y x 6242-÷ ()()58103106⨯÷⨯第四讲 整式乘除与因式分解新概念8、单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.)(c b a m ++ )532(2+--y x x )25(32b ab a ab +--9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.)6)(2(-+x x )12)(32(+--y x y x ))((22b ab a b a +-+10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. ()x x xy ÷+56； ()()a ab a 4482-÷-()b a b a b a 232454520÷- c c b c a 2121222÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-11、整式乘法的平方差公式：(a +b)(a -b)=a 2-b 2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 例如：（4a －1）（4a+1）=___________； （3a －2b ）（2b+3a ）=___________；()()11-+mn mn = ； =--+-)3)(3(x x ；12、整式乘法的完全平方公式：(a +b)2=a 2+2a b+b 2，(a -b)2=a 2-2a b+b 2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.例如：()____________522=+b a ； ()_______________32=-y x()_____________22=+-ab ； ()______________122=--m 二、因式分解：1、提公因式法：4y xy - 32x x + x 2+12x 3+4x )1()1(-+-a n a m2、公式法.：（1）、平方差公式：))((22b a b a b a -+=-12-x 2294b a - 22)(16z y x +- 22)2()2(b a b a --+（2）、完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-442+-m m 2269y xy x ++ 924162++x x 36)(12)(2++-+b a b a3、分组分解法：1a b ab +++ ab －c ＋b －ac a 2－2ab ＋b 2－c 24、“十字相乘法”：即式子x 2+(p+q)x+pq 的因式分解. x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).x 2＋7x ＋6 （2）、x 2－5x －6 （3）、x 2－5x ＋61.计算：a 7÷a=__________; (ab)12÷(ab)4=______; (a+b)10÷(a+b)5=_________ X 7÷x 2=___________; (a-b)12÷(a-b)4=_______________2.计算：（a-b ）11÷(b-a)10+(-a-b)5÷(a+b)4 （a-b ）15÷(a-b)5÷(b-a)8(-a 11)3÷(-a)17÷(-a 3)2÷a 8 (-a 16)2÷(-a 15) ÷(-a 3)2÷a 83.变式练习： 已知2m =7,2n =5,求4m-n 的值。

七年级下册整式的乘除一、整式乘除的意义和基本概念在七年级下册的数学课程中，我们将会学习一项重要的内容——整式的乘除。

整式的乘除是数学基本技能的重要组成部分，它不仅在日常生活和实际应用中有着广泛的应用，而且对于培养我们的逻辑思维和抽象思维能力也具有关键作用。

我们来理解一下什么是整式。

整式是包含加、减、乘、除四种运算的代数式，它不同于我们过去学习的算术式，例如：2x + 3y就不能简单地通过加减得到结果，而是需要我们进行进一步的运算。

二、整式乘除的规则和方法整式的乘除是按照特定的规则进行的。

乘法满足交换律、结合律和分配律，例如，(ab)c=ab(c)，(ab)c=a(bc)，(a+b)c=ac+bc等。

这些规则可以帮助我们进行大规模的运算，简化复杂的问题。

而除法则有一些不同。

在整式除法中，我们通常通过乘以一个数的倒数来将除法问题转化为乘法问题。

例如，如果我们要计算a除以b，我们可以乘以b的倒数1/b，这样就可以转化为乘法问题a×(1/b)。

三、整式乘除的应用整式的乘除不仅在数学中有着广泛的应用，在我们的日常生活中也有着广泛的应用。

例如，在解决物理问题、化学问题以及工程问题时，我们都需要使用到整式的乘除。

通过这些应用，我们可以看到数学在我们生活中的重要性，以及我们学习数学的意义。

四、结语七年级下册的整式乘除是一项非常重要的数学技能。

我们需要理解其基本概念和规则，掌握其方法，才能有效地应用到实际生活和各种问题中。

通过学习整式的乘除，我们也可以进一步培养我们的逻辑思维和抽象思维能力。

因此，我们应该认真对待这一部分的学习，打好数学基础。

七年级上册整式乘除试卷及答案一、填空题（每题2分，共20分）1、单项式相乘，把他们的_________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的_________，再把所得的积_________。