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数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
复变函数与积分变换综合试题(一)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设，则( ）A． B． C． D．2．复数的三角表示式为（）A． B．C． D．3．设C为正向圆周｜z｜=1，则积分等于（）A．0 B．2πi C．2π D．－2π4．设函数,则等于( )A． B． C． D．解答:5．是函数的（）A．3阶极点B．4阶极点C．5阶极点D．6阶极点6．下列映射中，把角形域保角映射成单位圆内部｜w｜<1的为（)A．B． C．D．7。
线性变换 ( ）A。
将上半平面>0映射为上半平面Imω>0B。
将上半平面〉0映射为单位圆｜ω|〈1C.将单位圆｜z｜〈1映射为上半平面Imω>0D.将单位圆｜z|<1映射为单位圆|ω｜<18。
若在Z平面上解析，，则=（）A。
) B。
C. D.9。
在的罗朗展开式是（）A。
B.C。
D。
10。
=（）A。
sin9 B.cos9 C.cos9 D。
sin9二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11．方程的解为_________________________.12．幂极数的收敛半径为________________________.13．设，则Imz＝______________________。
14．设C为正向圆周|z｜=1,则=___________________________。
15．设C为正向圆周，，其中,则=___________________.16．函数在点z=0处的留数为__________________。
三、计算题(本大题共8小题，共52分）17. 计算积分的值，其中C为正向圆周｜z—1|=3.18。
函数 (n为正整数)在何处求导？并求其导数19。
天津工业大学（2009—2010学年第一学期）《数学物理方法》(A)试卷解答理学院)特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。
本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。
一填空题(每题3分,共10小题)1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ；三角形式为：)1sin 1(cos i e + .2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 .3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？).4. 给出矢量场旋度的散度值，即=⨯∇⋅∇f0 .-------------------------------密封线----------------------------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------学院专业班学号姓名装订线装订线装订线5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 .6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 .7. δ函数的挑选性为 ⎰∞∞-=-)()()(00t f d t f ττδτ.8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和初始条件 .9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、输运方程 和 稳定场方程 .10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222=Θ++Θ-Θ-l l dx d x dxd x .二计算题(每小题7分，共6小题)1. 已知解析函数)(z f 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数(0)0(=f ).解： y x u x +=2，x y u y +-=2，2=xx u ，2-=yy u . 0xx yy u u +=, (,)u x y 是调和函数. 2分 利用柯西-黎曼条件x y u v =,x y v u =-, 即，x y v x -=2,y x v y +=2， 2分 于是，⎰+++-=),()2()2(y x Cdy y x dx x y v⎰⎰+++-+++-=)0,()0,0(),()0,()2()2()2()2(x y x x C dy y x dx x y dy y x dx x yC x y xy +-+=22222. 2分所以，)21()(2iz z f -=. 1分2. 给出如图所示弦振动问题在0x 点处的衔接条件. 解：),0(),0(00t x u t x u +=-, 2分0sin sin )(21=--ααT T t F , 2分又因为),0(sin 011t x u tg x -=≈αα, ),0(sin 022t x u tg x +-=≈αα, 2分 所以，)(),0(),0(00t F t x Tu t x Tu x x -=--+. 1分3. 由三维输运方程推导出亥姆霍兹方程.解：三维输运方程为02=∆-u a u t (1分)分离时间变数t 和空间变数r,以)()(),(r v t T t r u= (2分) 上式代入方程,得v vTa T ∆='2 (1分)令上式等于同一常数2k -, 22k v v Ta T -=∆=' (2分) 则得骇姆霍兹方程为02=+∆v k v (1分)4. 在00=z 邻域把m z z f )1()(+=展开(m 不是整数).解：先计算展开系数：m z z f )1()(+=， m f 1)0(=；)(1)1()(1z f zmz m z f m +=+='-； m m f 1)0(='； 2)1)(1()(-+-=''m z m m z f m m m f 1)1()0(-=''； 5分)()1()1(2z f z m m +-=,所以，m z )1(+在00=z 邻域上的泰勒级数为+-++=+21!2)1(1!11)1(z m m z m z m m m m ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++= 2!2)1(!111z m m z m m . 2分5. 计算⎰=-22sin 21z zzdz.解： 因为4ππ±→n z (n 为整数，包括零)，有0)si n 21(2→-z ，因此，40ππ±=n z 是极点.但是，在2=z 圆内的极点只有4π±.又由于1分4]sin 21)4[(lim 24πππ-=--→z z z z ， 2分4]sin 21)4[(lim 2πππ-=-+-→z z z z ， 2分所以， i sf sf i z zdz z 222)]4(Re )4([Re 2sin 21ππππ-=-+=-⎰=. 2分6. 求拉氏变换][cos t L ω,ω为常数. 解: )(21cos t i ti e e t ωωω-+=, s p e L st -=1][ 2分 ∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-)(21][cos t i t i e e L t L ωωω][21][21t i t i e L e L ωω-+= 2分 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=ωωi p i p 1121 2分 22ω+=p p0Re >p 1分求解两端固定均匀弦的定解问题 02=-xx tt u a u 00==x u，0==lx u，)(0x u t ϕ==，)(0x u t t ψ==.解: 设此问题的解为)()(),(t T x X t x u = 代入方程和初始条件，得 02=''-''T X a T X ，0)()0(=t T X ，0)()(=t T l X ， 可得，X X Ta T ''=''2， 0)0(=X ，0)(=l X ， 令，λ-=''=''X X Ta T 2 所以，⎩⎨⎧===+''0)(,0)0(0l X X X X λ ，(本征值问题)02=+''T a T λ 下面先求解本征值问题：当0<λ时， xxe c e c x X λλ---+=21)(，由初始条件，得 021==c c ， 因此，0),(≡t x u ，解无意义.当0=λ时， 21)(c x c x X +=， 同样由初始条件，得 021==c c ， 因此，0),(≡t x u ，解无意义.当0>λ时， x c x c x X λλsin cos )(21+=， 由初始条件，得 01=c ，0sin 2=l c λ， 所以，0sin =l λ，即，πλn l = (n 为正整数)，因此本征值为：222ln πλ= ,3,2,1=n本征函数为：lxn c x X πsin )(2=， 2c 为任意常数. 10分方程02=+''T a T λ的解为：latn B l at n A t T ππsincos )(+=， 因此，l x n l at n B l at n A t x u n n n πππsin sin cos ),(⎪⎭⎫ ⎝⎛+=， 此问题的通解为：l x n l at n B l at n A t x u t x u n n n n n πππsin sin cos ),(),(11⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∑∑∞=∞=， 代入初始条件得∑∞==1)(sinn n x l x n A ϕπ， ∑∞==1)(sin n n x l xn l a n B ψππ， 所以， ⎰=l n d l n l A 0sin )(2ξπξξϕ， ⎰=l n d ln a n B 0sin )(2ξπξξψπ. 10四简答题给出泊松方程，并说明求解此方程的方法、步骤.解： 泊松方程为：),,(z y x f u =∆ 3分 令 w v u +=，取v 唯一特解， 2分 则 0=-=∆-∆=∆f u v u w 2分 然后求解拉氏方程 0=∆w 得w 。
物理数学方法试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪项不是傅里叶变换的性质？A. 线性B. 可逆性C. 尺度变换D. 能量守恒答案：D2. 拉普拉斯变换的收敛区域是：A. 左半平面B. 右半平面C. 全平面D. 虚轴答案：B3. 以下哪项是线性微分方程的特征？A. 可解性B. 唯一性C. 线性叠加原理D. 非线性答案：C4. 在复数域中，以下哪个表达式表示复数的模？A. |z|B. z^2C. z*zD. z/|z|答案：A5. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 傅里叶级数展开中，周期函数的系数可以通过______计算得到。
答案：傅里叶系数2. 拉普拉斯变换中，s = σ + jω代表的是______。
答案：复频域3. 线性微分方程的解可以表示为______的线性组合。
答案：特解4. 复数z = a + bi的共轭复数是______。
答案：a - bi5. 波动方程的一般解可以表示为______和______的函数。
答案：空间变量；时间变量三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别。
答案：傅里叶变换主要用于处理周期信号，将时间域信号转换到频域；而拉普拉斯变换适用于非周期信号，将时间域信号转换到复频域。
2. 什么是波动方程？请给出其一般形式。
答案：波动方程是描述波动现象的偏微分方程，一般形式为∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²，其中u是波函数，c是波速。
3. 请解释什么是特征值和特征向量，并给出一个例子。
答案：特征值是线性变换中，使得变换后的向量与原向量方向相同（或相反）的标量。
特征向量则是对应的非零向量。
例如，对于矩阵A，如果存在非零向量v和标量λ，使得Av = λv，则λ是A的特征值，v是对应的特征向量。
数学物理方法期末考试试题# 数学物理方法期末考试试题## 第一部分：选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是数学物理中的常用方法？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 泰勒级数展开D. 牛顿迭代法2. 求解偏微分方程时，分离变量法的基本思想是什么？A. 将偏微分方程转化为常微分方程B. 将偏微分方程分解为几个独立的方程C. 将偏微分方程转化为线性方程D. 将偏微分方程转化为积分方程3. 在数学物理中，格林函数通常用于解决什么问题？A. 线性代数问题B. 非线性偏微分方程C. 边界值问题D. 初始值问题4. 以下哪个是求解波动方程的典型方法？A. 特征线法B. 有限差分法C. 有限元法D. 蒙特卡洛方法5. 拉普拉斯方程在数学物理中通常描述了什么类型的物理现象？A. 波动现象B. 热传导现象C. 流体动力学问题D. 电磁场问题## 第二部分：简答题（每题10分，共30分）6. 简述傅里叶变换在数学物理中的应用。
7. 解释什么是边界层理论，并说明它在流体力学中的重要性。
8. 描述格林函数在求解偏微分方程中的作用。
## 第三部分：计算题（每题25分，共50分）9. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，使用泰勒级数展开在\( x = 1 \) 处展开 \( f(x) \) 并求出展开式。
10. 考虑一个无限长直导体，在 \( x \) 轴上，导体的电势 \( V(x) \) 满足泊松方程 \( \nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0 \)，其中\( \rho \) 是电荷密度，\( \varepsilon_0 \) 是真空电容率。
假设\( \rho \) 是常数，求解 \( V(x) \)。
## 第四部分：论述题（共30分）11. 论述数学物理方法在解决实际物理问题中的应用，并给出至少两个具体的例子。
请注意，以上内容仅为示例，实际的数学物理方法期末考试试题可能会包含不同的问题和要求。
《数学物理方法》试卷（A 卷）参考答案姓名: 学号:题号 一 二 三 四 五 六 七八 总分 得分注：本试卷共一页，共八大题。
答案请做在答题纸上，交卷时，将试题纸与答题纸填好姓名与学号，必须同时交齐，否则考卷作废！可能用到的公式:1). (2l +1)xP l (x )=lP l −1(x )+(l +1)P l+1(x ), 2). P 0(x )=1, P 1(x )=x ；3))(~)]([00k k f x f eF xik −=;4))]([1])([x f F ikd f F x=∫∞−ξξ; 5).])1(1[2sin )(I 333n ln l xdx l n x l x −−=−=∫ππ一、 简答下列各题。
（12分，每题6分）1. 试在复平面上画出3)arg(0π<−<i z ，4Re 2<<z 点集的区域。
解：如图阴影部分为所求区域 （6分）2. 填空题：函数3)2)(1()(i z z z f +−=是单值的还是多值的？多值的（1分）；若是多值，是几值？3值（2分）；其支点是什么？1，-2i ，∞（3分）。
二、 (9分) 试指出函数3sin )(zzz z f −=的奇点(含ㆀ点)属于哪一类奇点？ 解：22112033)12()1(])12()1([1sin )(−∞=+∞=∑∑+−=+−−=−=n n nn n n n n n z n z z z z z z f （3分） z=0为f (z )的可去奇点；（3分）z=∞为f (z )的本性奇点；（3分）三、 (9分) 已知解析函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )的虚部v (x,y ) = cos x sh y ， 求f (z )= ? 解：由C-R 条件x y x v yy x u y y x v x y x u ∂∂−=∂∂∂∂=∂∂),(),(,),(),( （3分）得 u x (x,y ) = v y (x,y ) = cos x ch y u y (x,y ) = −v x (x,y ) = sin x sh y （3分）高数帮帮数帮高数帮高f (z ) = f (x +iy ) = u (x ,y ) + iv (x ,y ) = sin x ch y +i cos x sh y + c上式中令 x=z, y=0， 则 f (z ) = f (z+i0) = sinz + c （3分）四、 (10分) 求积分dz z e I Lz∫−=6)1(其中曲线L 为(a)圆周21=z ；(b)圆周2=z 解：(a) 6)1()(−=z e z f z 在圆周21=z 内解析，I = 0；（5分） (b) 在圆周2=z 内有一奇点，I = 2πiRes f (1)= 2π i !52)1()1()!16(166551lim e i z e z dx d z z π=−−−→（5分） 五、 (10分) 计算拉普拉斯变换?]2sin [=t t L （提示：要求书写计算过程）解：已知 42]2[sin ,][sin 222+=+=p t L p t L 也即ωωω（2分） 由象函数微分定理)3(4)(4p4)(4p ]2sin []2sin )[()2(4)(4p )42(]2sin )[()3(,)()1()]()[(2222222分分分+=+−−=−=−∴+−=+=−−=−p p t t L t t L p p dp d t t L p f dp d t f t L nnnn六、 (15分) 将f (x )= (35/8)x 4 + 5x 3−(30/8)x 2 +(10/3)x +1展开为以{ P l (x ) }基的广义付里叶级数。
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……附：拉普拉斯方程02=∇u 在柱坐标系和球坐标系下的表达式 柱坐标系：2222222110u u u uzρρρρϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂球坐标系：2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭一、填空题36分（每空2分）1、 数量场2322u x z y z =+在点(2, 0, -1)处沿2423x xy z =-+l i j k 方向的方向导数是。
2、 矢量场()xyz x y z ==+A r r i +j k 在点(1, 3, 3)处的散度为 。
3、 面单连域内设有矢量场A ，若其散度0∇⋅A =，则称此矢量场为 。
4、 高斯公式Sd ⋅=⎰⎰ A S ；斯托克斯公式ld ⋅=⎰ A l 。
5、 将泛定方程和 结合在一起，就构成了一个定解问题。
只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为 ；只有边界条件，没有初始条件的定解问题称为 ；既有边界条件，又有初始条件的定解问题称为 。
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……6、 ()l P x 是l 次勒让德多项式，则11()()l l P x P x +-''-= ； m n =时，11()()mn P x P x dx -=⎰。
7、 已知()n J x 和()n N x 分别为n 阶贝塞尔函数和n 阶诺依曼函数(其中n 为整数)，那么可知(1)()n H x = 。
(2)()n H x = 。
8、 定解问题2222000(0,0)|0,||0,|0x x ay y bu ux a y b x y u u V u u ====⎧∂∂+=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩的本征函数为 ，本征值为 。
9、 已知定解问题24()|0s G G πδ'⎧∇=--⎨=⎩r r 的解为(,)G 'r r ，则定解问题2()|s u u fρε⎧∇=-⎪⎨⎪=⎩r 的积分解为 ，(,)G 'r r 称为 。
10、 一维波动方程的初值问题20(,0)|(),|()tt xx t t t u a u x t u x u x ϕψ==⎧=-∞<<∞>⎪⎨==⎪⎩，其达朗贝尔解为(,)u x t = 。
二、(8分) 利用递推公式证明300()3()4()J x J x J x ''''=--………密………封………线………以………内………答………题………无………效……三、(14分) 利用本征函数展开法求定解问题(只要求写出展开系数满足的方程和条件)2000(,)(0,0)|0,|0(0)|0,|0(0)tt xx x x l t t t u a u f x t x l t u u t u u x l ====⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩………密………封………线………以………内………答………题………无………效……四、(14分) 求下列定解问题2000(,)0(0,0)|0,|0(0)0,x x a y y b u x y x a y b u u t u u U ====⎧∇=≤≤≤≤⎪⎪==≥⎨⎪==⎪⎩………密………封………线………以………内………答………题………无………效……五、(14分) 半径为0ρ、高为L 的圆柱体，下底和侧面保持零度，上底温度分布为2()f ρρ=，求柱体内各点的稳恒温度分布。
此题的定解问题为：0220000,0z z Lu u u u u ρρρρ====⎧∇=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩有限,………密………封………线………以………内………答………题………无………效……六、(14分) 在半径为1的球形域内和球形域外分别求调和函数u ，使它在球面上满足21cos r uθ==。
（0r r u u→→∞和有限）2210cos r u u θ=⎧∇=⎪⎨=⎪⎩一、简答题（共25分，共 5题，每题5 分）的定义。
若一无旋场A 的标量位函数()()20cos a u a a ρρϕρρ⎧≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩，则该矢量场A 和∇ A 各为多少？………密………封………线………以………内………答………题………无………效……2．什么叫定解问题的适定性？试举出一个非适定的定解问题的例子。
3．球贝塞尔函数与贝塞尔函数的关系是什么？亥姆霍兹方程220u k u ∇+=在球坐标系中进行变量分离时()()()(),,u r R r θϕθϕ=Θψ，分别说明在条件：()0r R r =有限，()0,θπθ=Θ有限，和()()2ϕπϕψ+=ψ时，()()(),,R r θϕΘψ满足的方程(或方程名称)及通解形式。
4．写出泊松方程第一类边值问题的Green 函数满足的方程和边界条件。
并用该Green 函数表示出定解问题()()2,r au a u f ρρεθϕ=⎧∇=-<⎪⎨⎪=⎩，球内的积分解。
（要求写出积分表达式中体、面积分的体积元、面积元和积分限）。
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……5．写出一维波动方程柯西问题的达朗贝尔解，并说明其物理意义。
二、写出下列本征值问题的本征函数和本征值（共20分，共4题，每题5 分）1．()()() ()()()''0000,'0x lf x f x x l f f x f xλ=⎧+=<<⎪⎨=+=⎡⎤⎪⎣⎦⎩2．()() ()()''02ψϕλψϕψϕπψϕ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩3．()()()() ()2'11''210 xx y x xy l l y xy x=±⎧--++=⎪⎨⎪⎩有限………密………封………线………以………内………答………题………无………效……4．()()2'220''000l R R m R RR ρρρρρμμρ==⎧++-=≥⎪⎪⎨∂=⎪∂⎪⎩有限,三、证明题（共10分，共 2题，每题5 分）1． ()()()''0101J x J x J x x=-2．()()11d 0 1.2.3....n P x x n +-==⎰………密………封………线………以………内………答………题………无………效……三、计算题（共45分，共 3题，每题15分）1．求解下列定解问题()20000,00sin 0sinx x a y y bu x a y b yu u b x u u aππ====⎧∇=<<<<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩………密………封………线………以………内………答………题………无………效……2．求解下列定解问题220(0)14sin cos sin 2r a r u r a u u θϕϕ==⎧∇=<<⎪⎪⎛⎫=+⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩有限………密………封………线………以………内………答………题………无………效……3．求解下列定解问题2220011(0)0,0l t u u u a u l tu u u ρρρρρρ===⎧⎛⎫∂∂∂-+=<<⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩有限（提示：①用本征函数展开法。
②利用前面第三题（证明题）第1小题结论。
③常微分方程()()'T t AT t B +=的通解为()At BT t ce A-=+，其中A 、B 为常数，c 为待定系数）………密………封………线………以………内………答………题………无………效……附：标量场的梯度和拉普拉斯运算、矢量场的散度在柱坐标系和球坐标系下的表达式 梯度运算： 柱坐标系：1z u u u u z ρϕρρϕ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e球坐标系：11sin ru u u u r r r θϕθθϕ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e 拉普拉斯运算： 柱坐标系：2222222211u u u uu zρρρρϕ∂∂∂∂∇=+++∂∂∂∂球坐标系：22222222111sin sin sin u u uu r r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∇=++⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 矢量场的散度： 柱坐标系：()11zA A A zϕρρρρρϕ∂∂∂∇⋅=++∂∂∂A 球坐标系：()()22111sin sin sin r A r A A r r r r ϕθθθθθϕ∂∂∂∇⋅=++∂∂∂A一、填空题（共24分，共 12题，每题2 分）1. 若矢量场()x y z xyz =++A e e e ，则产生该矢量场的源分别为 ；和 。
2. 在矢量场A 中引入矢量位函数B 的条件是 ，A 的位函数表示为 ；在矢量场A 中引入标量位函数u 的条件是 ，A 的位函数表示为 。
3. ()u r 满足区域V (边界为S )内的泊松方程2u ρε∇=-，且()|s u ϕ=r ，若区域内的格林函数(,)G 'r r 已知，则V 内任意一点的函数值()u =r ，格林函数满足定解问题 。
4. 波动方程初值问题,0(,0)sin ,(,0)0tt xxt u u x t u x x u x =-∞<<+∞>⎧⎨==⎩的解为 。
5. 二阶常微分方程 称为l 阶勒让德方程。
6. 已知0()1P x =，1()P x x =，则2()P x = ；函数21()352f x x x =+-按()l P x 的展开式为()f x = 。
二、选择题（共12分，共 4题，每题3 分）1. 偏微分方程和 结合在一起，称为初值问题………密………封………线………以………内………答………题………无………效……A ．定解问题 B. 初始条件 C. 边界条件 D. 初始条件和边界条件2. 定解问题满足适定的条件是 。
A. 存在唯一的解B. 存在稳定的解C. 存在唯一且稳定的解D. 存在解3. 下列说法错误的是 (其中n 为非负整数)。
A. 第一类n 阶柱函数()n J x 和第二类n 阶柱函数()n N x 是线性无关的；B. 第一类n 阶柱函数()n J x 的实零点是关于原点对称的；C. 半奇数阶的第一类柱函数都是初等函数；D.第一类n 阶柱函数()n J x 和()n J x -是线性相关的。
4. 边值问题()()()()''0000,()0X x X x x X X λππ⎧+=<<⎪⎨'==⎪⎩，其本征函数()X x 为 。
