孝感学院
解：设)()(t T x X u =代于方程得：
0''=+X X λ，0)1(''2=++T a T λ(8’)
x C x C X λλsin cos 21+=，t a C t a C T 22211sin 1cos λλ+++= 由边值条件得：
22)(
,0l
n C πλ== l
x n t a A t a B u n n n πλλcos
)1sin 1cos (221+++=∑∞= ⎰=
l n dx l x n x l B 0cos )(2πϕ，⎰+=l n dx l
x n x a l A 02cos )(12πψλ(15’)
证明：设代入方程：
⎪⎩
⎪⎨⎧====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ϕ
设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得：
⎪⎩
⎪⎨⎧====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t
由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由
≤-21v v ετ≤-2
1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性
得证。(15’)
解：设),(ηξp 是第一象限内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点),(ηξ-p
格林函数：
22)()(1ln 21),,,(ηξπηξ-+-=
y x y x G 22)()(1ln 21ηξπ++--y x (8’) ]
)[(22220ηξπη+-=∂∂-=∂∂=x y G n G y 方程的解：dx x x f u ⎰+∞∞-+-=22)()(),(ηξπ
ηηξ(15’)
五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分)
),,,()(2t z y x f u u u a u zz yy xx tt =++-
),,,(0z y x u
t ϕ== ),,,(0
z y x u t t ψ== ).,,,(t z y x g u =Γ
其中,),,(,0Ω∈>z y x t Γ为Ω的边界.
解:设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程得：
0)(2=++-zz yy xx tt u u u a u
00==t u
00
==t t u .0=Γu
设dxdydz u u u a u t E z y x t ])([21)(22222⎰⎰⎰Ω
+++= =dt t dE )(dxdydz u u u u u u a u u zt z yt y xt x tt t ])([22⎰⎰⎰Ω
+++ dxdydz u u u a u u zz yy xx tt t ])([[2
2⎰⎰⎰
Ω++-= 0=(10’)
0)0()(==E t E ，C u =，由边值条件得：0=u 。(20’)
六 考察边值问题
∑==++∆n i x i
f u x c u x b u i 1)()(
.0=∂∂Γn u
试证)(x c 当充分负时,其解具有唯一性及在能量模意义下的稳定性.(20分) 证明：在原方程两边同乘以u 然后在Ω上积分：
⎰Ω∆u u ∑⎰=Ω
=++n i x i dx fu dx u x c u u x b i 12)()(
由格林公式dx u u ⎰Ω
∆⎰Ω∂-∂∂=ds n u dx Du 2⎰Ωdx Du 2⎰Ω-= 由Young 不等式≤⎰∑=dx u u n i x i 1dx u n i x i 212⎰∑=εdx u n ⎰+22ε
又⎰
⎰⎰+≤
dx u dx f fudx 222121故得估计： ⎰⎰∑≤+=dx f C dx u u n i x i 2221)((10’)
设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程并由估计式得：0=u 唯一性得证
≤-21u u ετ≤-2
1f f ，稳定性得证。(20’)
