上海南汇中学2011-1学期高三数学期中考试

一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形 2．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9004．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD ．6)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3D ．27．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．18．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．39．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2B ．2C ．22D ．410．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A ．372B ．34 C ．32或372D ．34或37211．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．71012．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形13．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5214．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<15．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．2二、填空题16．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．17．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.18．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=_________．19．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 20．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 21．设2a b +=，0b >，则当a =_____时，1||2||a a b+取得最小值. 22．已知数列{}n a 的通项1n n a n+=+15项的和等于_______.23．数列{}n b 中，121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.24．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ .25．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____ 三、解答题26．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．27．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 28．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c()cos 2cos C b A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC 面积的最大值．29．已知数列{}n a 满足111,221n n n a a a a +==+. （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 30．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==,338a b ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．D3．B4．D5．D6．B7．A8．A9．A10．C11．B12．D13．B14．A15．B二、填空题16．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z的最大值【详解】作出实数xy满足对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z平移直线y＝﹣2x+z由图象可知当直线y＝﹣2x+17．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的18．【解析】试题分析：所以所以考点：累加法；裂项求和法19．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是20．【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得21．【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是；当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归22．【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15项的和【详解】利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为：即：故答案为：3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还23．-4【解析】【分析】根据已知可得即可求解【详解】且故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列考查计算求解能力属于中档题24．【解析】试题分析：因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是成立的所以所以即解得或考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应25．【解析】【分析】画出可行域由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解方程即可得结果【详解】由已知作可行域如图所示化为平移直线由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解得故答案为【点睛】本题主三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．D解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．3．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 4．D解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．5．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ），即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：36922a a -++≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.7．A解析：A 【解析】【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2AB -()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x ，则(1,3)A =-.由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-.所以=1,2AB -().因为不等式2+0x ax b +<的解集为AB ,所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-.由韦达定理有：1212a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.9．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.10．C解析：C 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线12BD c =，在BCD 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】解：3,30b c B ===，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得239272332a a =+-⨯⨯⨯，整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3． 如图，CD 为AB 边上的中线，则13322BD c ==， ∴在BCD 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：222333336()26222CD =+-⨯⨯⨯，或222333333()23222CD =+-⨯⨯⨯， ∴解得AB 边上的中线32CD =或372． 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．11．B解析：B 【解析】试题分析： 如下图：由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==,从而可得：30BAC ∠= 由正弦定理，得：56sin 45sin 30AB =， 103AB ∴=那么在Rt ADB ∆中，60ABD ∠=,3sin 6010315AD AB ∴===， 即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为310（米 /秒）. 故选B ．考点：解三角形在实际问题中的应用．12．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．13．B解析：B 【解析】 【分析】设f （x ）1221x x=+-，根据形式将其化为f （x ）()1152221x x x x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x 13=时()11221x x x x-+-的最小值为2，得到f （x ）的最小值为f（13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（1221x x +-）min ，由此可得实数m 的最大值． 【详解】解：设f （x ）11222211x x x x=+=+--（0＜x ＜1） 而1221x x+=-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0∴()11221x x x x -+≥-=2， 当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()11221x x x x -+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x+-）min 因此，可得实数m 的最大值为92故选：B ． 【点睛】本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．14．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.15．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】画出不等式组表示的平面区域如图所示：当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时，z 取得最小值，而点A 的坐标为（1，2a -），所以221a -=，解得12a =，故选B. 【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.二、填空题16．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z 的最大值【详解】作出实数xy 满足对应的平面区域如图：由z ＝2x+y 得y ＝﹣2x+z 平移直线y ＝﹣2x+z 由图象可知当直线y ＝﹣2x+ 解析：5 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z 的最大值． 【详解】作出实数x ，y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域，如图：由z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ，平移直线y ＝﹣2x +z 由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大．又x 10y --=与20x y -=联立得A （2，1） 此时z 最大，此时z 的最大值为z ＝2×2+1＝5，故答案为5． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查了z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．17．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的解析：300 【解析】试题分析：由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300.考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.18．【解析】试题分析：所以所以考点：累加法；裂项求和法 解析：40322017【解析】试题分析：111,n n n n a a n a a n +--=+-=，所以()11221112n n n n n n n a a a a a a a a ---+=-+-++-+=，所以11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，122016111140322120172017a a a ⎛⎫+++=-=⎪⎝⎭. 考点：累加法；裂项求和法.19．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是解析：-2 【解析】 【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果. 【详解】根据题干表达式得到2341231111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 5674551111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 可以得数列具有周期性，周期为3，故得到20193673.÷= 故得到2019 2.a =- 故答案为：-2. 【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.20．【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得 解析：30【解析】 【详解】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．21．【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是；当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归 解析：2-【解析】 【分析】利用2a b +=代入所求式子得||4||4||a b a a a b++，再对a 分0a >，0a <并结合基本不等式求最小值. 【详解】 因为2a b +=， 所以1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b++=+=++， 又因为0b >，||0a >，所以||214||4||b a b a b a +⋅=， 因此当0a >时，1||2||a a b +的最小值是15144+=； 当0a <时，1||2||a a b +的最小值是13144-+=. 故1||2||a a b +的最小值为34，此时,42,0,ab a b a b a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎪⎩即2a =-. 故答案为：2-. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对a 的分类讨论及基本不等式求最值时，要验证等号成立的条件.22．【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15项的和【详解】利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为：即：故答案为：3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还 解析：3【解析】 【分析】将n a =15项的和. 【详解】利用分母有理化得n a ===设数列{}n a 的前n项的和为n S ，所以前15项的和为：151215S a a a =+++115=+-1= 413=-= 即：153S =. 故答案为：3.【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前n 项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题.23．-4【解析】【分析】根据已知可得即可求解【详解】且故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列考查计算求解能力属于中档题解析：-4 【解析】 【分析】根据已知可得6n n b b +=，即可求解. 【详解】121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈， 321211n n n n n n n n b b b b b b b b ++++++=-==-=--， 63,20166336n n n b b b ++=-==⨯， 201663214b b b b b ∴==-=-+=-.故答案为:-4 【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列，考查计算求解能力，属于中档题.24．【解析】试题分析：因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是成立的所以所以即解得或考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应 解析：()(),14,-∞-⋃+∞【解析】试题分析：因为不等式234y x m m +<-有解，所以2min ()34yx m m +<-，因为0,0x y >>，且141x y+=，所以144()()224444y y x y x x x y y x +=++=++≥=，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时，等号是成立的，所以min ()44yx +=，所以234m m ->，即(1)(4)0m m +->，解得1m <-或4m >.考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.25．【解析】【分析】画出可行域由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解方程即可得结果【详解】由已知作可行域如图所示化为平移直线由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解得故答案为【点睛】本题主 解析：94【解析】 【分析】画出可行域，由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处取得，由000000232y x y x y x b=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解方程即可得结果.【详解】由已知作可行域如图所示，2z x y =+化为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处取得，由000000232y x y x y x b=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解得00339,,424x y b ===,故答案为94. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中档题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题 26．（1）2nn a =；（2）6．【解析】试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项1a 和公比q 表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出n b 的表达式后，要求其前n 项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值． 试题解析：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴()32422a a a +=+， 代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴212118{20a q a q a q =+=，解之得122a q =⎧⎨=⎩或132{12a q ==， ∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2nn a = （2）∵1122log 2log 2?2n n nn n n b a a n ===-，∴()21222?2n n S n =-⨯+⨯++，．．．．．．．．．．．．．．．① ()23121222?2?2n n S n n +=-⨯+⨯+++，．．．．．．．．．．．．．②②—①得()2311112122222?2?222?212n n n n n n nS n n n ++++-=+++-=-=---∵1·262n n S n ++>，∴12262n +->，∴16,5n n +>>， ∴使1·262n n S n ++>成立的正整数n 的最小值为6 考点：等比数列的通项公式，错位相减法．27．（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和n T .试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ，由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d=+=+，可解得14,3b d ==， 所以31n b n =+．（2）由（1）知()()()116631233n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得()()()23412224213222221234123221nn n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦所以232n n T n +=⋅．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.28．（Ⅰ）6π；（Ⅱ）2. 【解析】分析：（12sin cos B B A =． （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-结合基本不等式进行求解．cos 2sin cos cos A C B A C A =()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A = 又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是cos A = 又A 为三角形内角，所以6A π=．（Ⅱ）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得：224222b c bc bc =+-≥，所以(42bc ≤+，所以1sin 22S bc A ==. 点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题．29．（1）12n a n=；（2）1242n n n S -=-+.【解析】分析：（1）121n n n a a a +=+两边取倒数可得1112n na a +-=，从而得到数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，进而可得{}n a 的通项公式；（2）22n n nb =，利用错位相减法求和即可. 详解：（1）∵121n n n a a a +=+，∴1112n na a +-=， ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列， ∴()111122n n n a a =+-=， 即12n a n=； （2）∵22n nn b =， ∴1221231222n n n nS b b b -=+++=++++， 则23112322222n nn S =++++， 两式相减得23111111112122222222n n n nn n nS -⎛⎫=+++++-=-- ⎪⎝⎭， ∴1242n n nS -+=-. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.30．（1）31,2nn n a n b =-=；（2）1326n n +⨯--.【解析】试题分析：（1）设出等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n =a bn 结合数列{a n }和{b n }的通项公式得到数列{c n }的通项公式，结合等比数列的前n 项和求得数列{c n }的前n 项和S n ． 试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．由，得，解得．所以．由，得，又，解得．所以．（2）因为，所以．。

杨浦区2011学年度高三学科测试化学试卷 2011.12本试卷分为第I 卷(第1—4页)和第Ⅱ卷(第5—8页)两部分。

全卷共8页。

满分l50分，考试时间l20分钟。

第I 卷 (共66分)考生注意：1．答第I 卷前，考生务必在答题卡上用钢笔或圆珠笔清楚填写学校、姓名、准考证号，并用2B 铅笔正确涂写准考证号。

2．第I 卷(1-22小题)，由机器阅卷，答案必须全部涂写在答题卡上。

考生应将代表正确答案的小方格用2B 铅笔涂黑。

注意试题题号和答题纸编号一一对应，不能错位。

答案需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。

答案不能涂写在试卷上，涂写在试卷上一律不给分。

相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 F-19 S-32 Cl-35.5 Fe-56一、选择题(本题共10分，每小题2分，只有一个正确选项。

)1．卢瑟福的α粒子散射实验证明原子中存在A ．α粒子B ．电子C ．中子D ．原子核2．我国是世界最大的耗煤国家。

下列对煤综合利用的叙述错误的是A ．煤的气化是化学变化B ．煤的干馏是物理变化C ．煤的液化是化学变化D ．煤焦油分馏出苯的同系物是物理变化3．已知：C(金刚石，固)C(石墨，固) +1.9kJ ，则下列判断正确的是A ．金刚石转变为石墨可用右图表示B ．等质量的石墨比金刚石能量高C ．石墨比金刚石稳定D ．金刚石转化为石墨没有化学键的断裂与生成4A 12C ，也可以表示13CB ．比例模型：表示二氧化碳分子，也可以表示水分子C ．电子式 ：表示羟基，也可以表示氢氧根离子D ．结构简式(CH3)2CHOH ：表示2–丙醇，也可以表示1–丙醇5．下列物质发生变化时，所克服的粒子间相互作用属于同种类型的是A ．液溴和己烷分别受热变为气体B ．干冰和氯化铵分别受热变为气体C ．硅和铁分别受热熔化D ．氯化氢和蔗糖分别溶解于水二、选择题(本题共36分，每小题3分，只有一个正确选项。

)6．向盛有少量过氧化钠的试管中加入少量水，对实验现象描述错误的是A ．反应剧烈进行B ．产生大量气泡，该气体使带火星的木条复燃C ．试管壁发烫D ．反应后即向试管中加2滴酚酞，振荡，溶液呈红色7．在制备氨、硝酸、硫酸的工业生产中，具有的共同点是A ．使用吸收塔设备B ．使用尾气吸收装置． ． O ：H ． ． ． 2C ．使用催化剂D ．使用氢气作为原料8．把过量的CO2分别通入下列溶液：①Ca(NO3)2 溶液 ②溶有氨的CaCl2 溶液 ③苯酚钠的稀溶液 ④溶有大量氨的饱和食盐水，最终能看到白色沉淀的有A ．只有④B ．②④C ．②③④D ．①②③④9．若M 是ⅡA 族的某元素，则与M 同周期且相邻的元素不可能位于元素周期表的A ．ⅠAB ．ⅠBC ．ⅢAD ．ⅢB1011．现有两瓶温度分别为15℃和35℃，pH 均为1的硫酸溶液，下列有关说法错误的是A ．两溶液的H+浓度相同B ．两溶液的OH —浓度相同C ．等体积的两种溶液中和碱的能力相同D ．两溶液中由水电离的H+浓度不同12．在实验室进行下列实验， 括号内的实验用品都能用到的是A ．硫酸铜晶体里结晶水含量的测定（坩埚、温度计、硫酸铜晶体）B ．制乙炔（启普发生器、电石、食盐水）C ．钠的焰色反应（铂丝、氯化钠溶液、稀盐酸）D ．制硫化氢气体（启普发生器、硫化亚铁、浓硝酸）13．某含Na+的溶液中可能含有NH4+、Fe3+、Br —、CO32—、I —、SO32—。

上海市南汇中学2006-2007学年度第一学期高三数学期中考试卷一、填空题（本大题满分48分，每小题4分）1、若集合{}{}3,052≤==+=x x N x x x M ，则N M ⋂={}02、函数)32lg(2+-=x x y 的单调递增区间为()+∞,13、已知⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤=100,2311001,32n nn n a n ，那么=∞→n n a lim 04、函数))((R x x f y ∈=图象恒过定点)1,0(，若)(x f y =存在反函数)(1x fy -=，则1)(1+=-x f y 的图象必过定点()1,15、设无穷等比数列{}n a 的各项和为S ，且满足433a a =，则=-1a S S36、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则8S = 727、)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在()+∞,0上是增函数，若)2()(f a f ≥，则实数a 的取值范围是22-≤≥a a 或8、在用数学归纳法求证：)(2321242N n n n n ∈+=++++ 的过程中，则当1+=k n 时，左端应在k n =时的左端加上 )12()2()1(222++++++k k k k9、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于21=x 对称，则=++++)5()4()3()2()1(f f f f f 010、定义运算：⎩⎨⎧>≤=⊗yx yx y x 01，若11=⊗-m m ，则m 的所有允许取值所组成的集合是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2111、已知数列{}n a 中，a a =1，n an a a =+1，1<<a o ，则在数列{}n a 的前2006项中，最大的项是第 2 项12、设函数)(x f 的定义域为D ，如果对于任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使C x f x f =+2)()(21（C 为常数）成立，则称函数在D 上均值为C ，给出下列四个函数（1）3x y = （2）x y sin 4= （3）x y lg = （4）x y 2=则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是 （1）（3） 二、选择题（本大题满分16分，每小题4分）13、若数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为n S ，则下列结论可能成立的是 （ C ） （A ）02006=a （B ）02005=S （C ）02006=S （D ）0lim =∞→n n S14、设)(4)(2R x x x x f ∈-=，则0)(>x f 的一个必要而非充分条件是 （ D ） （A ）0<x （B ）0<x 或4>x （C ）32>-x （D ）11>-x 15、若对于任意实数0>x ，a ax x >++1恒成立，则实数a 的取值范围是 （ A ） （A ）[]1,0 （B ）[)1,0 （C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,0 （D ）[)+∞,016、设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列之一，则a 的值为 （ B ）（A ）1 （B ）1- （C ）251-- （D ）251+- 三、解答题（本大题满分86分） 17、（本题12分）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥-+2)2(log 112122x x x x 解：原不等式组可化为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥≤<21221x x x 或所以不等式的解为：21≤≤x已知数列{}n a 的首项51=a ，前n 项和为n S ，且),2,1(521 =++=+n n S S n n ，求数列{}n a 的通项公式解；521++=+n S S n n ，)2(5)1(21≥+-=-n n S S n n 两式相减整理得：)2(2111≥=+++n a a n n ，而211,11,51221=++==a a a a ， 所以)(123N n a n n ∈-⋅= 19、（本题14分）设函数b x x f +-=4)(，不等式c x f <)(的解集为)2,1(-。

上海南汇中学2011—2012学年度高三第一学期期中考试 数 学 试 题（理）满分：150分 时间：120分钟一、填空题（每小题4分，共56分）1．函数21-+=x x y 的定义域为_______ ______2．设全集R U =，{|110,}A x x x N =≤≤∈},06|{2R x x x x B ∈=-+=，则右图中阴影表示的集合为______________3．函数()31x f x =+的反函数为1()f x -=_______________ 4．命题“如果22>>y x 且，那么4>+y x ”的否命题是____________5．若1cos()2πα+=-，且sin 0α<，则sin(2)πα+=6．方程12432160x x ++-⋅-=的解是______________7．设()f x 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=________ 8．不等式2313x x a a+--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为9．在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边作两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B的横坐标分别为．则)tan(βα+的值为______ 10．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2)(=的图像交于QP 、两点，则线段PQ 长的最小值是______________11．若关于x 的方程0542=++k x x 的两根为θθcos ,sin ，请写出一个以tan ,cot θθ为两根的一元二次方程：______________________12．已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为_______13．函数)(x f y =是定义在R 上的增函数，)(x f y =的图像过点)1,2(-和点__ ____时，能确定不等式1)1(<-x f 的解集为{}43<<x x ．14．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,f x x x x =-⊗-x R ∈．若函数c x f y +=)(的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是_________二、选择题（每小题5分，共20分）15．已知集合}{},1|{2a B x x A =≤=，若A B A = ，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．]1,(--∞B ．),1[+∞C ．),1[]1,(+∞--∞D ．]1,1[-16．已知条件:1p x >，条件1:1q x <，则p 是q 成立的（ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件17．对于函数c bx ax x f ++=3)(（其中Z c R b a ∈∈,,），选取c b a ,,的一组值计算)1(f 和)1(-f ，所得出的正确结果一定不可能是 （ ）A ．42和B ．21和C ．13和D ．64和18．设a 为非零实数，则关于函数2()1f x x a x =++，R x ∈的以下性质中，错误的是（ ） A ．函数()f x 一定是个偶函数B ．()f x 一定没有最大值C ．区间[)∞+,0一定是()f x 的单调递增区间D ．函数()f x 不可能有三个零点三、解答题（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知集合}1|2||{>-=x x A ，集合}221|{≥-+=x x x B ，集合{}|1C x a x a =<<+．（1）求B A ；（2）若∅=C B ，求实数a 的取值范围．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在ABC ∆中，cos ,cos ,510A B AB ===（1）求角C ； （2）求ABC ∆的面积．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()()01035kC x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设b a x f x x ++-=+122)(（b a ,为实常数）．（2）当1==b a 时，证明：)(x f 不是奇函数； （3）设)(x f 是实数集上的奇函数，求a 与b 的值；（4）当)(x f 是实数集上的奇函数时，证明对任何实数x 、c ，都有33)(2+-<c c x f 成立．23．（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数．（1）下面给出两组函数，()h x 是否分别为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由；第一组：12()sin ,()cos ,()sin()3f x x f x x h x x π===+；第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ；（2）设12212()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====，生成函数()h x ．若不等式(4)(2)0h x th x +<在[2,4]x ∈上有解，求实数t 的取值范围；（3）设121()(0),()(0)f x x x f x x x =>=>，取0,0a b >>，生成函数()h x 图像的最低点坐标为(2,8)．若对于任意正实数21,x x 且121x x +=．试问是否存在最大的常数m ，使m x h x h ≥)()(21恒成立？如果存在，求出这个m 的值；如果不存在，请说明理由．参考答案一、填空题（每小题4分，共56分）1．函数21-+=x x y 的定义域为_),2()2,1[+∞- ．2．设全集R U =，{|110,}A x x x N =≤≤∈},06|{2R x x x x B ∈=-+=，则右图中阴影表示的集合为____}2{____．3．函数13+=x y 的反函数为1()f x -=__)1(log 3-x _____． 4．命题 “如果22>>y x 且，那么4>+y x ”的否命题是 如果22≤≤y x 或，那么4≤+y x ．5．若1cos()2πα+=-，且sin 0α<，则sin(2)πα+=6．方程12432160x x ++-⋅-=的解是_____2=x _________7．设()f x 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=___21-___．8．不等式2313x x a a+--≤-对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为_41≥-≤a a 或_．9．在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边作两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B的横坐标分别为105．则)tan(βα+的值为__3-__．10．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2)(=的图像交于QP 、两点，则线段PQ 长的最小值是____4____．11．若关于x 的方程0542=++k x x 的两根为θθcos ,sin ，请写出一个以tan ,cot θθ为两根的一元二次方程：_____293290x x -+=（不唯一）_______．12．已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为____43-___．13．函数)(x f y =是定义在R 上的增函数，)(x f y =的图像过点)1,2(-和点_ )1,3( 时，能确定不等式1)1(<-x f 的解集为{}43<<x x ．14．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数c x f y +=)(的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是_____),2[)1,43(+∞ ____．二、选择题（每小题5分，共20分）15．已知集合}{},1|{2a B x x A =≤=，若A B A = ，则实数a 的取值范围是 （ D ）（A ） ]1,(--∞ （B ） ),1[+∞（C ） ),1[]1,(+∞--∞ （D ） ]1,1[-16．已知条件:1p x >，条件1:1q x <，则p 是q 成立的 （ A ）（A ） 充分而不必要的条件 （B ） 必要而不充分的条件（C ） 充要条件 （D ） 既不充分也不必要的条件17．对于函数c bx ax x f ++=3)(（其中Z c R b a ∈∈,,），选取c b a ,,的一组值计算)1(f 和)1(-f ，所得出的正确结果一定不可能是 （ B ）（A ） 42和 （B ） 21和 （C ） 13和 （D ） 64和18．设a 为非零实数，则关于函数2()1f x x a x =++，R x ∈的以下性质中，错误的是（ C ）（A ） 函数()f x 一定是个偶函数 （B ） ()f x 一定没有最大值（C ） 区间[)∞+,0一定是()f x 的单调递增区间 （D ） 函数()f x 不可能有三个零点三、解答题（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 已知集合}1|2||{>-=x x A ，集合}221|{≥-+=x x x B ，集合{}|1C x a x a =<<+．（1）求B A ；（2）若∅=C B ，求实数a 的取值范围．解：（1）{||2|1}{|1A x x x x =->=<或3}x >， ……………………2分}221|{≥-+=x x x B ={}52≤<x x ……………………4分所以A ∪B=}21{><x x x 或． ……………………6分（2）因为B C ⋂=∅，所以521≥≤+a a 或，………………………10分 因此实数a 的取值范围是51≥≤a a 或． ………………………12分20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在ABC ∆中，cos 510A B AB ===（1）求角C ； （2）求ABC ∆的面积．解：（1）由cos 5A =，cos 10B =，得02A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、，，所以sin sin A B == …………2分因为cos cos[()]cos()cos cos sin sin 2C A B A B A B A B π=-+=-+=-+=，…4分又0C π<<， 故.4C π=………… 6分（2）根据正弦定理得sin sin sin sin AB AC AB B AC C BC ⋅=⇒==…………9分 所以ABC ∆的面积为=∆ABCS 16sin .25AB AC A ⋅⋅= …………12分21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()()01035kC x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．解：（1）设隔热层厚度为xcm ，由题设，每年能源消耗费用为53)(+=x kx C ，由(0)8C =,∴40k =,∴40()35C x x =+……2分 而隔热层建造费用为.6)(1x x C = ……4分 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为)100(6538006534020)()(20)(1≤≤++=++⨯=+=x x x x x x C x C x f ……6分（2）800()6(010)35f x x x x =+≤≤+，令35 [5 35]t x t =+∈，，，则6210,x t =- 所以800800()2(5)21070f x t t t t =+-=+-≥，……8分（当且仅当20t =,即5x =时，不等式等式成立）……10分故5x =是)(x f 的取得最小值，对应的最小值为.7051580056)5(=++⨯=f ……13分答：当隔热层修建cm 5厚时，总费用达到最小值70万元．……14分22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设b a x f x x ++-=+122)(（b a ,为实常数）．当1==b a 时，证明：)(x f 不是奇函数； 设)(x f 是实数集上的奇函数，求a 与b 的值；当)(x f 是实数集上的奇函数时，证明对任何实数x 、c ，都有33)(2+-<c c x f 成立． 解：（1）1212)(1++-=+x xx f ，511212)1(2-=++-=f ，412121)1(=+-=-f ，所以)1()1(f f -≠-，因此，)(x f 不是奇函数； ………4分（2）)(x f 是奇函数时，)()(x f x f -=-，即b ab a x x x x ++--=++-++--112222对任意实数x 成立． ………6分化简整理得0)2(2)42(2)2(2=-+⋅-+⋅-b a ab b a xx ，这是关于x 的恒等式，所以 ⎩⎨⎧=-=-042,02ab b a 所以⎩⎨⎧-=-=21b a （舍）或⎩⎨⎧==21b a ． ………10分 （3）121212212)(1++-=++-=+x x x x f ，因为02>x ，所以112>+x，11210<+<x ，从而21)(21<<-x f ； ………14分 而4343)23(3322≥+-=+-c c c 对任何实数c 成立； ………16分所以对任何实数x 、c 都有33)(2+-<c c x f 成立． ………18分23．（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数．（1）下面给出两组函数，()h x 是否分别为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由； 第一组：12()sin ,()cos ,()sin()3f x x f x x h x x π===+； 第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ； （2）设12212()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====，生成函数()h x ．若不等式(4)(2)0h x th x +< 在[2,4]x ∈上有解，求实数t 的取值范围；（3）设121()(0),()(0)f x x x f x x x =>=>，取0,0a b >>，生成函数()h x 图像的最低点坐标为(2,8)．若对于任意正实数21,x x 且121x x +=．试问是否存在最大的常数m ，使m x h x h ≥)()(21恒成立？如果存在，求出这个m 的值；如果不存在，请说明理由．解：（1）① 设sin cos sin()3a x b x x π+=+，即1sin cos sin cos 22a x b x x x +=+，取1,22a b ==，所以()h x 是12(),()f x f x 的生成函数．………………………2分 ② 设222()(1)1a x x b x x x x ++++=-+，即22()()1a b x a b x b x x ++++=-+， 则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+111b b a b a ，该方程组无解．所以()h x 不是12(),()f x f x 的生成函数．…………4分（2）122122()2()()2log log log h x f x f x x x x=+=+= ………………………5分 (4)(2)0h x th x +<，即22log (4)log 20x t x +<， ………………………6分 也即22(2log )(1log )0x t x +++< ………………………7分因为[2,4]x ∈，所以21log [2,3]x +∈ ………………………8分 则2222log 111log 1log x t x x +<-=--++ ………………………9分 函数2111log y x =--+在[2,4]上单调递增，max 43y =-．故，43t <-．……10 分 （3）由题意，得()(0)b h x ax x x =+>，则()b h x ax x =+≥2828b a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得28a b =⎧⎨=⎩，所以8()2(0)h x x x x =+> ……………………12分 假设存在最大的常数m ，使m x h x h ≥)()(21恒成立． 于是设)(16644)4)(4(4)()(12212121221121x x x x x x x x x x x x x h x h u +++=++== =2221212121212121212121212()2646480416416432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-++⋅=++⋅=+-令12t x x =，则41)2(22121=+≤=x x x x t ，即]41,0(∈t ……………………………16分 设80432u t t =+-，]41,0(∈t ． 设41021≤<<t t ，]804[)(]3804[38042121221121t t t t t t t t u u --=-+--+=-161021<<t t ， 021>-u u ，所以80432u t t =+-在]41,0(∈t 上单调递减，289)41(=≥u u ，故存在最大的常数289m =…………………………………18分。

上海市南汇区第一中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若集合A＝{x|3-2x＜1}，B＝{x|4x-3x2≥0}，则A∩B＝A．(1，2] B．C．[0，1) D．(1，+∞)参考答案：B2. 若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（）A．B． C. D．参考答案：B3. 如图为一个算法的程序框图，则其输出结果是（）A．0 B. 2012 C. 2011 D. 1参考答案：A4. 下列说法正确的个数是①“在中，若，则”的逆命题是真命题；②“”是“直线和直线垂直”的充要条件；③“三个数成等比数列”是“”的既不充分也不必要条件；④命题“”的否定是“，”．A． B． C． D．参考答案：C略5. 已知复数满足（为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限参考答案：D6. 定义集合A、B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则A*B中所有元素之和为()A．9 B．14 C．18 D．21参考答案：B7. 若,且.则的最大值是( )A. B. C.D.参考答案：C8. 在等腰△中，，，在角内部作射线交边于点，则线段的概率为( )参考答案：D略9. 若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A，所以，选A.10. 直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是（）A． B．C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若直线（，）被圆截得的弦长为4，则的最小值为参考答案：12. 已知函数，则当函数恰有两个不同的零点时，实数a的取值范围是．参考答案：由题可知方程恰有两个不同的实数根，所以与有个交点．因为表示直线的斜率，当时，，设切点坐标为，，所以切线方程为，而切线过原点，所以，，，所以直线的斜率为，直线与平行，所以直线的斜率为，所以实数的取值范围是．13. 已知函数在处取得极值，若，则的最小值是________.参考答案：-13试题分析：令导函数当x=2时为0，列出方程求出a值；求出二次函数的最小值，利用导数求出f（m）的最小值，它们的和即为的最小值．求导数可得，∵函数在x=2处取得极值，∴-12+4a=0，解得a=3，∴，∴n∈ 时，，当n=-1时，最小，最小为-9，当m∈时，令得m=0，m=2，所以m=0时，f（m）最小为-4，故的最小值为-9+（-4）=-13．故答案为：-13．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件．【方法点睛】利用导数性质研究函数的最值问题属于平时练习和考试的常见题目，解决问题的方法主要是分类讨论，结合导函数的有关性质进行求解，涉及题型比较丰富，有一定难度.14. 向量的夹角为120°，= ．参考答案：7，所以，所以。

2009学年度第一学期高二数学期中考试试题（满分100分，时间90分钟）考生注意：所有解答全部写在答题纸上，否则一律不予评阅一、填空题(本大题共12道小题，每小题3分，满分36分) 1．已知(1,2)a =，则a =_______ 2．方程组10324x y x y --=⎧⎨-=⎩的增广矩阵是___________________3．已知矩阵3036,2114A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则A B +=_________4．已知()*211n a n N n =∈+，则=∞→n n a lim 5．在三阶行列式342521672--中，元素7的代数余子式为______________6．已知矩阵2003A ⎛⎫=⎪⎝⎭，矩阵2110B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则AB=_____________ 7．已知(1,3),(,3)a b m n ==+，//a b 且a b =，则m n +=___________ 8．在无穷等比数列{}n a 中，1212lim()n n a a a →∞+++=，则首项1a 的取值范围是________9．若n 131lim 33(1)n n n a →∞+=++，则实数a 的取值范围是_________10．若关于x 、y 、z 的方程组111kx y ky z kz x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩无解，则实数k =_____11．有两个向量1e =(1,0)，2e =(0,1)，今有点P ，从P 0(-1,2)开始沿着与向量1e +2e 相同的方向作匀速直线运动，速度为|1e +2e |；另一个动点Q,从Q 0(-2,-1)开始沿着与向量31e +22e 相同的方向作匀速直线运动，速度为|31e +22e |．设P 、Q 在时刻t=0秒时分别在P 0、Q 0处，则当⊥00Q P 时，t=_______秒．12．如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点， 若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是__________二、选择题(本大题共4道小题，每小题3分，满分12分) 13．0.9与1的大小关系是（ ）（A ）0.91< （B ）0.91= （C ）0.91≈ （D ）0.91>14．“n n lim ,lim n n a A b B →∞→∞==”是“n lim()n n a b A B →∞+=+”成立的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件15．设→a ，→b ， →c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题① (→a ·→b )→c -(→c ·→a )→b =0 ② |→a |-|→b |<|→a -→b | ③ (→b ·→c )→a -(→c ·→a )→b 不与→c 垂直 ④ ()()22323294a b a b a b +⋅-=- 中，真命题的序号是( ) （A ）① ② （B ）② ③（C ）③ ④ （D ）② ④16．数列{}n a 中, ()2*221,11000,,10012n n n a n N n n n n ⎧≤≤⎪⎪=∈⎨⎪>⎪-⎩，则lim nn a→∞（ ）（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于0或1 （D ）不存在P CBA第12题图三、解答题(本大题共5道题，满分52分，解答要写出完整步骤) 17．（本题满分8分）在数列{}n a 中， 21=a ，且()*1130n nn N a a +=∈，数列{}n a 前n项和为n S ，求n n S ∞→lim 的值．18．（本题满分8分）已知(3,1)a =-，(1,3)b →=，若→c 与→a 的夹角等于→c 与b →的夹角，且c →=→c 的坐标．19．（本题满分10分）解关于x 、y 的二元一次方程组282(3)mx y x m y m +=⎧⎨+-=⎩，并对解的情况进行讨论．20．（本题满分12分，第1问6分，第2问6分）已知(1,2)a =，(3,2)b =-，k +=，3-=． （1）当k 为何值时，y x ⊥；（2）若与的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．21．（本题满分14分，第1问4分，第2问5分，第3问5分） （1）计算1357和5713，4635和3546； （2）通过（1）的计算结果，你能得到什么一般的结论？证明你的结论； （3）将你的结论推广到三阶行列式中是否仍然成立？证明你的结论．2009学年度第一学期高二年级期中考试数学试题答案一、填空题 12、111324-⎛⎫⎪-⎝⎭；3、0615⎛⎫ ⎪-⎝⎭；4、0；5、3251-；6、4230⎛⎫⎪-⎝⎭；7、-7或1； 8、110,,122⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 9、()4,2-； 10、-1； 11、2； 12、92-； 二、选择题13、B ； 14、A ； 15、D ； 16、B ；三、 解答题（下列各题目只给出一种解发，其他解法相应给分） 17、解：由()*1130n nn N a a +=∈得11,3n n a a +=………………………4分所以数列{}n a 是公比为13q =，首项为12a =的等比数列； 所以12lim 31113n n a S q →∞===-- …………………………………8分 18、解：设→c =（x ，y ），则→a ·→c =3x-y ，→b ·→c =x+3y ……………2分由题意，得：22||||||||5a cbc a c b c x y →→→→→→→→⎧⋅⋅⎪=⎪⎨⎪+=⎪⎩ ……………………6分解得21x y =⎧⎨=⎩ 或21x y =-⎧⎨=-⎩∴→c =(2,1)或(2,1)-- …………………………………………8分19、解：2(4)(1),23m D m m m ==-+- ……………………2分826(4)3x D m m m ==--，8(4)(4)2y m D m m m==-+ ………………4分当4m ≠且1m ≠-时，0D ≠，原方程组有唯一解，解为6141x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩…………6分 当1m =-时，0,300x D D ==-≠，原方程组无解………………8分 当4m =时，0x y D D D ===，原方程组有无穷多解，此时原方程组为42824x y x y +=⎧⎨+=⎩ 设()x t t R =∈，则原方程组的解可表示为()24x tt R y t =⎧∈⎨=-+⎩……10分20、解：)22,3(+-=+=k k b a k x ，3(10,4)y a b =-=- ……1分（1）y x ⊥，则x y ⋅=0，即10(3)4(22)0k k --+=，238k =，19k ∴=……………6分 （2）238x y k ⋅=-又(cos 0x y a bk θ⋅==<⋅-，2180k ∴-<，即19k <…………………………10分但此时πθπ<<2，与∴若共线与，则有4(3)10(22)0k k ---+=，13k ∴=-故所求实数k 的取值范围是19k <且13k ≠-…………12分 21、解：（1）1357=-8，5713=8；4635=2，3546=-2；………………4分 （2）结论“交换两行后与原来是相反数” ……………………6分 证明：,()a b c dad bc bc ad ad bc c d a b=-=-=-- ∴a b c dc d a b=- ……………………………………………9分 （3）成立……………………………………………11分证明：,ab cde f aei cdh bfg ceg afh bdi gh i=++--- d e fa b c bdi afh ceg bfg aei cdh g h i =++--- ∴a b c d efd e f a b c ghi ghi=- …………………………………14分。

上海南汇中学 2011 学年第二学期期中考试高二数学（答案）满分： 100 分完成时间： 90 分钟命题人：吴世星周华审核人：潘静红一、填空题（每小题 3 分，共 36 分）1、直线x 3y 1 0 的倾斜角.62、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0, 2)，则椭圆的标准方程为___ x2 y2 1_________.32 363、经过点A(1,0)且与直线x y 1 0 平行的直线 l 的方程为x y 1 0 _.x2 y21的虚轴长是9 _.4、双曲线4 95、已知直线2x y 2 0和3x y 1 0 的夹角是4_.6、直线x y 1被圆x2 y2 1所截得的弦长等于 2 _.7、已知方程x2 y 21表示双曲线，则实数k 的取值范围为___ k 4或 k 10 .10 k k 48、过点(1,2)且与圆x2y21 3x 4 y 5 0或 x 1_.相切的直线的方程是9、已知双曲线x2 y2 1的两个焦点分别为F1、F2, P 为双曲线上一点，且F1PF2 ,4 2 则F1PF2的面积是 4 .10、设F为抛物线y2 4x 的焦点，A, B, C为该抛物线上三点，若点A(1,2) ，ABC 的重心与抛物线的焦点 F 重合，则 BC 边所在直线方程为2x y 1 0 .11、若方程x k 1 x2 0 只有一个解，则实数k 的取值范围是[ 1,1) { 2}.12、下列五个命题：①直线l 的斜率 k [ 1,1]，则直线 l 的倾斜角的范围是[ , ] ；4 4②直线 l : y kx 1 与过 A( 1,5) ， B(4, 2) 两点的直线相交，则k 4 或 k 3 ；43，那么y的最大值为③如果实数 x, y 满足方程( x 2)2 y2 3 ；x④直线 y kx 1 与椭圆x2 y2 1恒有公共点，则m 的取值范围是m 1；5 m⑤方程 x2 y 2 4mx 2 y 5m 0 表示圆的充要条件是m 1 或 m 1 ；4正确的是 _____② _③_⑤ ___ _.二、选择题（每小题 3 分，共 12 分）13、直线3x 2 y m 0 与直线 2x 3y 1 0 的位置关系是,,,,,,,,,, （ A ）（ A）相交（B）平行（ C）重合（ D）由 m决定14、若椭圆x2 y 2 1与双曲线x4 a 2 a2y 2 a为,,,, （ C ）21有相同的焦点，则实数2（ A ） 1 （B ） 1 （C） 1 （D ）不确定15、已知抛物线C : y2 x 与直线l : y kx 1，“k 0 ”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, （ B ）（ A ）充分不必要条件（ B）必要不充分条件（C）充要条件（ D）既不充分也不必要条件16、已知曲线C： x | x | y | y | 1 ，下列叙述中错误的是 ,,,,,,,,,,,, （ C ）2 2 ．．a b（ A ）垂直于x轴的直线与曲线 C 只有一个交点（ B ）直线y kx m （k, m R）与曲线C最多有三个交点（ C）曲线 C 关于直线y x 对称y1 y2（ D）若P1( x1, y1)，P2( x2, y2)为曲线 C 上任意两点，则有x2x1三、解答题（第 17、18 题各 8 分，第 19 题 10 分，第 20 题 12 分，第 21 题 14 分，共 52 分）17、已知△ ABC 的三个顶点是A(3, 4) 、 B(0,3) 、 C ( 6,0) ，求（ 1）BC 边所在直线的一般式方程；(4 分 )（ 2）BC 边上的高 AD 所在直线的一般式方程. (4 分 )解；（ 1）BC ( 6, 3) 是BC边所在直线的方向向量故 l BC : x y 3，即 l BC : x 2 y 6 0 ,,,,,,,,,, 4 分6 3（ 2）BC ( 6, 3) 高 AD 所在直线的法向量故 l AD : 6( x 3) 3( y 4) 0 ，即 l AD :2x y 2 0 ,,,,,,,,,, 8 分18、求经过A( 3,0) ,且与圆C : ( x 3)2 y2 64 内切的圆的圆心M 的轨迹方程. (8 分 ) 解：根据题意得，MA MC 8 AC , ,,,,,,,,,,,,,, 2 分由椭圆定义得 a 4, c 3 ，所以 b2 7 ,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分所以所求的圆心M 的轨迹方程为x2 y2 1 ,,,,,,,,,,,,,, 8 分16 719、已知双曲线C1 ： x2 y2 14（ 1）求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4, 3) 的双曲线 C2的标准方程；（5分）（ 2）直线l：y x m 分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点。

上海南汇中学2024学年第一学期期中考试高三数学满分：150分 完成时间：120分钟注意：答案一律写在答题纸上，否则视为无效.一、填空题：(本大题满分54分，其中 1-6题每小题4分，7-12题每小题5分)1. 已知集合{}11A x x =-<，{}1,2,3B =，则A B =I ___________.【答案】{}1【解析】【分析】解绝对值不等式可求得集合A ，由交集定义可求得结果.【详解】{}{}11102A x x x x =-<-<=<<Q ，{}1,2,3B =，{}1A B \Ç=.故答案为：{}1.2. 已知函数12log y x = 在区间[]1,4上的最大值为________.【答案】0【解析】【分析】根据对数函数的单调性直接求解即可．【详解】因为12log y x =在区间[]1,4上单调递减，所以当1x =时，函数12log y x = 在区间[]1,4上的最大值max 12log 10y ==.故答案为：0.3. 已知角a 的终边经过点()1,2-，则sin 2p a æö+=ç÷èø________．【答案】【解析】【详解】由已知可得sin cos 2p a a æö+===ç÷èø.故答案为：.4. 已知奇函数()y f x =的周期为2，且当(0,1)x Î时，2()log f x x =，则(7.5)f 的值为_______．【答案】1【解析】分析】由条件可得()()(7.5)0.50.5f f f =-=-，然后可得答案.【详解】因为奇函数()y f x =的周期为2，且当(0,1)x Î时，2()log f x x =所以()()2(7.5)0.50.5log 0.51f f f =-=-=-=故答案为：15. 若246x x -++≥对所有实数x 都成立，则等号成立时x 的取值范围为________．【答案】[]4,2-【解析】【分析】根据绝对值三角不等式关系即可求解.【详解】因为24246x x x x -++³---=，当且仅当()()240x x ---³时，即42x -££时等号成立．故答案为：[]4,2-6. 已知正数a ，b 满足13a b =+则ab的最大值为_____.【答案】94##2.25【解析】【分析】由13a b =+得13a b =-，代入a b，利用基本不等式即可求.【详解】因为13a b=+，所以13a b =-，因为a ，b 为正数，故30a ->，所以0<<3a ，所以()239324a a a a a b +-æö=-£=ç÷èø，当且仅当3a a =-即32a =，此时23b =，ab 取到最大值为94.故答案为：947. 在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin sin sin sin a c A B b A C+-=-，则角C Ð=_____.【【答案】π3##60°【解析】【分析】由正弦定理可得222a b c ab +-=，再由余弦定理可得1cos 2C =，即可求角C .【详解】因为sin sin sin sin a c A Bb A C +-=-，由正弦定理可得ac a bb a c+-=-，整理得222a b c ab +-=，由余弦定理可得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，因为0πC <<，所以π3C =.故答案为：π38. 已知平面向量a r ，b r 满足3,4a b ==r r 且向量a r ，b r 的夹角为 π3，则 2a b +r r 在a r 方向上的投影数量为_____.【答案】8【解析】【分析】利用数量积来计算投影数量即可.【详解】因为3,4a b ==r r 且向量a r ，b r 的夹角为π3，所以()21222934242a b a a b a +×=+×=´+´´=r r r r r r，则2a b +r r 在a r 方向上的投影数量为：()22483a b a a +×==r r r r，故答案：8.9. 设,R a b Î，函数ln ay x x=+在1x =处切线方程为40y x b --=，则a b +=______.【答案】114##2.75【解析】【分析】求解导函数，计算1x =处的导数值，再由切线方程得切线的斜率，由导数的几何意义列式求解出a 的值，再根据函数解析式求解切点坐标，并代入切线方程即可求解出b 的值，从而计算出a b +的值.为的【详解】由ln a y x x=+得21a y x x ¢=-，因为函数ln ay x x =+在1x =处的切线方程为40y x b --=，所以11|14x y a =¢=-=，所以34a =，所以3ln 4y x x=+，当1x =时，34y =，即切点为31,4æöç÷èø，将31,4æöç÷èø代入40y x b --=得2b =，所以311244a b +=+=.故答案为：11410. 将函数()2sin 26f x x p æö=+ç÷èø的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()g x 的图像，若存在0x R Î使得()()004f x g x -=-，则a 的最小值为______.【答案】2p【解析】【分析】先根据图象变换求出()g x 解析式，根据()()004f x g x -=-可知()()002,2f x g x =-=，即可表示出a 并求出最小值.【详解】由题可知()2sin 2()2sin 2266g x x a x a p p æöæö=-+=-+ç÷ç÷èøèø，∵()()004f x g x -=-，∴()002sin 226f x x p æö=+=-ç÷èø，012262x k p p p \+=-，即()0113x k k Z pp =-Î，()002sin 2226g x x a p æö=-+=ç÷èø，0222262x a k p p p \-+=+，即()0226a x k k Z p p =--Î，()0212126362a x k k k k k ppppp p p p \=--=---=--，∴当121k k -=时，a 的最小值为2p.故答案为：2p.【点睛】本题考查三角函数图象的平移以及函数性质，属于基础题.11. 魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速､盲拧､单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是__________.【答案】162-【解析】【分析】利用俯视图分析多出来的表面积部分，结合对称性可解.【详解】如图，转动了45o 后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，俯视图如图，由图形的对称性可知，A CD ¢△为等腰直角三角形，设直角边为A C x ¢=，则斜边为CD =，故(23AB x =+=，可得3x =由几何关系得：2127324A CDS ¢æ=´=-ççèV ，故所求面积27633161624S æ=´´+´=-çè¢.故答案为：162-12. 已知平面向量 ,,,a b c e →→→→满足2||4,||1,||1,,3a eb a a e p→→→→→→==-=<>=，且对任意的实数t ，均有 2c te c e -³-r r r r .则||c b →→-的最小值为__________【答案】3【解析】【分析】利用向量的坐标运算，再用数形结合思想求出最小值.详解】如图，建立直角坐标系，记,OA a OE e ==uuu r r uuu r r，因为2||4,||1,,3a e a e p→→→→==<>=，所以点()14,0,2A E æ-ççè，作OB b =uuu r r，设其坐标为(),b x y =r ，因为1AB OB OA b a =-=-=uuu r uuu r uuu r r r ，所以点B 在以点A 为圆心，1为半径的圆上，即()2241x y -+=，因为对任意的实数t ，均有 |||2|c t e c e →→→→-³-，所以222|||2|2440c t e c e t t c e c e →→→→→→→→-³-Þ-×+×-³，由于上式对任意的实数t 的一元二次不等式恒成立，则()()22Δ21616020c e c e c e =-×-×+£Þ×-£r rr r r r，即20c e →→×-=，设,OC c =uuu r r 又设(),c x y =¢¢r ，则()11,222c e x y x y æ×=×-=-+=çç袢¢¢r r，整理得：40x ¢¢+=，所以可知点C在直线40x ¢¢+=上，又因为点B 在以点A 为圆心，1为半径的圆上，且c b OC OB BC -=-=uuu r uuur uuu r r r ，所以可以把||c b →→-看成两动点B 和C 的距离，显然距离最小值为圆心A到直线40x ¢¢+=的距离减去半径1，【而点A到直线40x ¢¢+=的距离4d ,所以1413BC d ³-=-=uuu r ，即||c b →→-的最小值为3,故答案为：3.【点睛】关键点点睛：确定B ，C 点轨迹解决问题的关键.二、选择题(本大题满分18分， 13-14每小题4分， 15-16每小题5分)13. 设2:log 0p x <，:1q x <，则p 是q 成立的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分亦非必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义即可得出结论．【详解】由于命题22log 0log 101p x x Û<=Û<<；:01:1p x p x \<<Þ<，q 推不出p 故p 是q 的充分不必要条件．故选：A14. 若1i -是关于x 的实系数方程20x ax b ++=的一根，则a b +的值为（ ）A. -1 B. 1 C. 0 D. 4【答案】C 【解析】【分析】将方程根代入方程进行运算化简,然后利用复数相等的条件即得答案.【详解】由题意可得()()21i 1i 0a b -+-+=，即()()2i 0a b a +-+=，所以0a b +=.故选：C.15. 如图是函数()sin 6f x x p p æö=+ç÷èø在一个周期内的图像，该图像分别与x 轴､y 轴相交于A ､B 两点，与过点A 的直线相交于另外两点C ､D ，i r为x 轴上的基本单位向量，则()BC BD i +×=uuu r uuu r r （ ）的A. -1B. 56-C.56D.53【答案】D 【解析】【分析】根据题意先求出A ，B 的坐标，结合题意得A 为CD 的中点，2BC BD BA +=uuu r uuu r uuu r，然后结合向量数量积的坐标表示可求．【详解】由题意得5(,0)6A ，1(0,)2B ，A 为CD 的中点，5(6BA =uuu r ，1)2-，(1,0)i =r ，52(3BC BD BA +==uuu r uuu r uuu r ，1)-，所以55()10(1)33BC BD i +×=´+´-=uuu r uuu r r ．故选：D ．16. 将函数3=-+y x x ，[]0,1x Î的图象绕点()1,0顺时针旋转q 角（π02q <<）得到曲线C ，若曲线C 仍是一个函数的图形，则q 的最大值为（ ）A. 1arctan2B.π6C.π4D. arctan 2【答案】A 【解析】【分析】要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转q 后的切线倾斜角最多为90o ，故只需求 1x =处的倾斜角即可.【详解】函数()3f x y x x ==-+，()231f x x ¢=-+，当x éÎê时，()0f x ¢>，函数在éê上递增，当x ùÎúû时，()0f x ¢<，函数在ùúû上递减，()12f ¢=-可得在1x =处切线的倾斜角为πarctan 2-，因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转q 后的切线倾斜角最多为90o ，也就是说，最大旋转角为ππ1πarctan 2arctan 2arctan 222--=-=，即q 的最大值为1arctan 2.故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17. 已知复数3i z m =+其中R m Î.（1）设()113i z z =+，若1z 是纯虚数，求实数m 的值；（2）设1m =-，分别记复数z ，2z 在复平面上对应的点为A 、B ，求OA 与OB 的夹角大小.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）由已知可得1z ，根据1z 是纯虚数即可求解；（2）当1m =-时求解z ，2z ，可得复平面上对应的点A 、B 的坐标，利用向量夹角公式即可求解.【小问1详解】()()()()()113i 13i 3i 339i z z m m m =+=++=-++，由1z 是纯虚数，所以33090m m -=ìí+¹î，所以1m =；【小问2详解】当1m =-时，3i z =-，所以()223i 86i z =-=-，所以()3,1A -，()8,6B -，所以()3,1OA =-uuu r ，()8,6OB =-uuu r，cos ,OA =uuu r uuu ，所以OA 与OB的夹角为.18. 如图，在四棱锥M ABCD -中，已知AM ^平面ABCD ， AB AD ^，//AB CD ，2AB CD =，且2AB AM AD ===.（1）求四棱锥M ABCD -的体积;（2）求直线MC 与平面MBD 所成角.【答案】（1）2 （2）arcsin 【解析】【分析】（1）利用锥体的体积公式求解即可；（2）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量以及平面的法向量，利用向量夹角公式计算线面角即可.【小问1详解】梯形ABCD 中，2AB =，所以1CD =，()112232ABCD S =´+´=梯形，因为AM ^平面ABCD ，所以四棱锥M ABCD -的高2h AM ==，所以1132233M ABCD ABCD V S h -==´´=梯形；【小问2详解】。

上海南汇中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、填空题1．已知集合{}11A x x =-<，{}1,2,3B =，则A B = .2．已知函数12log y x =在区间[]1,4上的最大值为.3．已知角α的终边经过点()1,2-，则sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭．4．已知奇函数()y f x =的周期为2，且当(0,1)x ∈时，2()log f x x =，则(7.5)f 的值为．5．若246x x -++≥对所有实数x 都成立，则等号成立时x 的取值范围为．6．已知正数a ，b 满足13a b=+则ab的最大值为.7．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin sin sin sin a c A B b A C+-=-，则角C ∠=.8．已知平面向量a ，b 满足3,4a b == 且向量a ，b 的夹角为π3，则2a b + 在a 方向上的投影数量为.9．设,R a b ∈，函数ln ay x x=+在1x =处的切线方程为40y x b --=，则a b +=.10．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()g x 的图像，若存在0x R ∈使得()()004f x g x -=-，则a 的最小值为.11．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速､盲拧､单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是.12．已知平面向量,,,a b c e →→→→满足2||4,||1,||1,,3a eb a a e π→→→→→→==-=<>=，且对任意的实数t ，均有2c te c e -≥- .则||c b →→-的最小值为二、单选题13．设2:log 0p x <，:1q x <，则p 是q 成立的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分亦非必要条件14．若1i -是关于x 的实系数方程20x ax b ++=的一根，则a b +的值为（）A ．-1B ．1C ．0D ．415．如图是函数()sin 6f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在一个周期内的图像，该图像分别与x 轴､y 轴相交于A ､B 两点，与过点A 的直线相交于另外两点C ､D ，i为x 轴上的基本单位向量，则()BC BD i +⋅= （）A ．-1B ．56-C ．56D ．5316．将函数3=-+y x x ，[]0,1x ∈的图象绕点()1,0顺时针旋转θ角（π02θ<<）得到曲线C ，若曲线C 仍是一个函数的图形，则θ的最大值为（）A ．1arctan2B ．π6C ．π4D ．arctan 2三、解答题17．已知复数3i z m =+其中R m ∈.(1)设()113i z z =+，若1z 是纯虚数，求实数m 的值；(2)设1m =-，分别记复数z ，2z 在复平面上对应的点为A 、B ，求OA 与OB 的夹角大小.18．如图，在四棱锥M ABCD -中，已知AM ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB CD =，且2AB AM AD ===.(1)求四棱锥M ABCD -的体积;(2)求直线MC 与平面MBD 所成角.19．某商场零食区改造，如图，原零食区是区域ODBC ，改造时可利用部分为扇形区域OAD ，已知π2OCB COA ∠=∠=，OC =10BC =米，区域OBC 为三角形，区域OAB 是以OA 为半径的扇形，且π6AOD ∠=.(1)若需在区域OABC 外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度；(2)在区域OAD 中，设置矩形区域HGIF 作为促销展示区，若设FOA θ∠=，求当θ取何值时，促销展示区的面积S 取到最大值，并求出S 的最大值.20．对于函数(),(),(),f x g x h x 如果存在实数,,a b 使得()()g(),h x af x b x =+那么称()h x 为(),g(),f x x 的线性生成函数,(),a b 称为生成系数对.(1)已222(),g()1,()1f x x x x x x h x x x =-=++=-+,试判断()h x 是否为(),()f x g x 的线性生成函数，若是，求出生成系数对，若不是，说明理由；(2)已知21(),g()f x x x x ==的线性生成函数为()h x ，生成系数对为(),1a ,试讨论()h x 的奇偶性，并说明理由；(3)已知()4,g()23,x x f x x x x =+=+的线性生成函数为()h x ，生成系数对为()3,1-，若对于任意1[0,1]x ∈，总存在2[1,2]x ∈，使得2112122()2()1022x m x x x m h x h x m ++⋅+⋅+=⋅⋅成立，求实数m 的取值范围.21．若定义在上的函数=和=分别存在导函数′和()g x '.且对任意实数x ，都存在常数k ，使()()f x kg x '≥'成立，则称函数=是函数=的“k -控制函数”，称k 为控制系数.(1)求证:函数()2f x x =是函数()sin g x x =的“2-控制函数”;(2)若函数()43241220f x x x x x =----是函数()e xg x =的“k -控制函数”，求控制系数k 的取值范围；(3)若()e e x xp x m -=+，函数()y q x =为偶函数，函数()y p x =是函数()y q x =的“1-控制函数”，求证:“1m =”的充要条件是“存在常数c ，使得()()p x q x c -=恒成立”.。

上海南汇中学2010届高三第一学期期中考试数 学 试 题本试卷共有23题，满分150分，时间120分钟。

一、填空题（每小题4分，共56分）1．已知集合},3,1{m A -=，集合=⊆=m A B B 则若,},4,3{ 。

2．函数2)cos (sin x x y +=的最小正周期T= 。

3．方程043312=--+x x的解是 。

4．函数)()0(12)(11x f x x f x -+>-=的反函数= 。

5．已知)tan(,3)6tan(,21)6tan(βαπβπα+=-=+则= 。

6．若集合B A a x x B x x A ⊆<-=<<=且},|1||{},40|{，则实数a 的取值范围是 7．函数43)1lg(2+--+=x x x y 的定义域为 。

8．函数]3,4[),4cos()4cos(2ππππ-∈-+=x x x y 的值域是 。

9．△ABC 中，若CcB b A a cos sin sin ==，则△ABC 为 三角形。

10．设x x arcsin ],32,6[,cos 则ππαα-∈=的取值范围是 。

11．如果)(x f 是定义在（-3，3）上的奇函数，且当)(,30x f x 时<≤的图象如图所示。

则不等式0)(<xx f 的解集是 。

12．不等式a a x x 3|1||3|2-≤--+对任意实数x 恒成立，则实数a的取值范围为 。

13．关于函数21)32(sin )(||2+-=x x x f ，有下列四个结论： ①)(x f 为偶函数②当21)(,2003>>x f x 时恒成立； ③)(x f 的最大值为23； ④)(x f 的最小值为.21-其中结论正确的序号为 。

14．已知定义R 上的奇函数)(x f ，满足)()4(x f x f -=-，且在区间[0，2]上是增函数，若方程)0()(>=m m x f 在区间[-8，8]上有四个不同的根,,,,4321x x x x 则++21x x43x x += 。