(2)在数轴上表示出集合 A 与 B，如图．
则由交集的定义，得 A∩B＝{x|0≤x≤2}． 【答案】 (1){3，5，13} (2){x|0≤x≤2}
求交集的基本思路 求两个集合的交集时，首先要识别所给集合，其次要化简集 合，使集合中的元素明朗化，最后再依据交集的定义写出结 果．有时要借助于 Venn 图或数轴写出交集．借助于数轴时 要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交 集．
2．已知集合 M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则 M∪N＝( ) A．{－1，0，1} B．{－1，0，1，2} C．{－1，0，2} D．{0，1} 解析：选 B.M∪N 表示属于 M 或属于 N 的元素组成的集合， 故 M∪N＝{－1，0，1，2}．
3．设集合 A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则 A∩B＝ ________． 解析：因为 A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}， 所以 A∩B＝{3，5}． 答案：{3，5}
图形语言
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)并集定义中的“或”能改为“和”．( ) (2)A∩B 是 由 属 于 A 且 属 于 B 的 所 有 元 素 组 成 的 集 合． ( ) (3)集合 M＝{直线}与集合 N＝{圆}有交集．( ) (4)若 A∩B＝C∩B，则 A＝C.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
1.(1)已知 A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x －y＝1}，则 A∩B＝( ) A．{2，1} B．{x＝2，y＝1} C．{(2，1)} D．(2，1) (2)设集合 M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则 M∩N＝________．
解析：(1)A∩B＝（x，y）xx＋ －yy＝ ＝31，＝{(2，1)}． (2)因为 M＝{－2，－1，0，1}，N＝{－1，0，1，2，3}， 所以 M∩N＝{－1，0，1}．
则 A∪B＝________．
【解析】 (1)如图，A∪B＝{x|－1<x<3}．
(2)把 x＝－2，－1，0，1 分别代入 y＝|x|－x，得 y＝4，2，0， 0，所以 B＝{4，2，0}，故 A∪B＝{－2，－1，0，1，2，4}． 【答案】 (1)A (2){－2，－1，0，1，2，4}
求两个集合的并集时，先化简集合，若是用列举法表示的数 集，可以根据并集的定义直接观察或用 Venn 图表示出集合 运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写 出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点” 表示．
(2)“x∈A，或 x∈B”包含三种情况： “x∈A，但 x∉B”；“x∈B，但 x∉A”；“x∈A 且 x∈B”． 用 Venn 图表示如下：
已知集合 A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，集合 B＝{y|y＝5 －x2，x∈R}，求 A∩B. [解] 因为 x2＋1≥1，所以 A＝{y|y≥1，y∈R}． 因为 5－x2≤5，所以 B＝{y|y≤5，y∈R}． 所以 A∩B＝{y|1≤y≤5}．
集合交集的运算 (1)已知集合 A＝{3，4，5，12，13}，B＝{2，3，5， 8，13}，则 A∩B＝________． (2)设集合 A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则 A∩B＝ ________．
【解析】 (1)作出 Venn 图如图，故 A∩B＝{3，4，5，12， 13}∩{2，3，5，8，13}＝{3，5，13}．
所以 M∪N＝{x|x＜－5，或 x＞－3}． 答案：(1){3，4，5，6，7，8} (2){x|x＜－5，或 x＞－3}
交集、并集性质的应用 已知集合 A＝{x|x<－1 或 x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}， 若 A∩B＝B，求实数 a 的取值范围．
【解】 ①当 B＝∅时，只需 2a>a＋3，即 a>3； ②当 B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，
1．对交集概念的三点说明 (1)概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的 元素必须同时是两个集合的元素． (2)定义中的“所有”是指集合 A 和集合 B 中全部的公共元素， 不能是一部分公共元素．
(3)定义中“x∈A，且 x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即 由既属于 A 又属于 B 的元素组成的集合为 A∩B，而只属于 集合 A 或只属于集合 B 的元素不属于 A∩B. 2．对并集概念的两点说明 (1)并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可， 这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此 或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．
(1)错因：易弄错 A∩B 中的代表元素而出错．集合 A，B 都 是以字母 y 表示集合中的元素，故都是数集，易误认为是求 两抛物线的交点而错将数集看成点集． (2)防范：求交集、并集时首先识别代表元素的形式，进而弄 清集合的性质，再进行集合间的运算．
1．设集合 A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，则(A∩B)∪C
答案：(1)C (2){－1，0，1}
集合并集的运算
(1)设集合 A＝{x|－1<x<2}，集合 B＝{x|1<x<3}，则
A∪B＝( )
A．{x|－1<x<3}
B．{x|－1<x<1}
C．{x|1<x<2}
D．{x|2<x<3}
(2)已知集合 A＝{－2，－1，0，1}，B＝{y|y＝|x|－x，x∈A}，
作“A 交 B”)
符号语言
A∩B＝___{_x_|x_∈__A__，__且__x_∈___B_}_____
图形语言
2．并集
一般地，由所有属于集合 A 或者属于集合 B 的
自然语言 元素构成的集合，称为 A 与 B 的并集，记作
_A_∪__B____ (读作“A |x_∈__A__，__或__x_∈__B__}
2．若将本例中的条件“A∩B＝B”改为“A∪B＝R，A∩B ＝∅”，其他条件不变，则实数 a 的取值范围又是什么？ 解：由条件可知 B≠∅，所以 2a<a＋3，2a＝－1，a＋3＝4， 此时 a 的值不存在．
利用集合交集、并集的性质解题的方法 (1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到 A∩B ＝A，A∪B＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定 义及上节学习的集合间的关系去分析，如 A∩B＝A⇔A⊆B， A∪B＝B⇔A⊆B 等，解答时应灵活处理． (2)当集合 B⊆A 时，如果集合 A 是一个确定的集合，而集合 B 不确定，运算时要考虑 B＝∅的情况，切不可漏掉．
3.已知全集 U＝R，集合 A＝{x|－1≤x<3}，B ＝{x|x－k≤0}， (1)若 k＝1，求 A∩(∁UB)； (2)若 A∩B≠∅，求 k 的取值范围． 解：(1)当 k＝1 时，B＝{x|x－1≤0}＝{x|x≤1}， 所以∁UB＝{x|x>1}． 所以 A∩(∁UB)＝{x|1<x<3}． (2)因为 A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|x≤k}，A∩B≠∅， 所以 k≥－1.
易知 P∪Q＝{x|x≤4}．
3．已知集合 M＝{0，2，4}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合 M∩N＝________． 解析：由题意有，N＝{0，4，8}，所以 M∩N＝{0，4}． 答案：{0，4}
4．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则 A∩B＝________， A∪B＝________． 解析：由交集的定义有 A∩B＝{2，3}． 由并集的定义有 A∪B＝{1，2，3，4}． 答案：{2，3} {1，2，3，4}
可得aa＋＋33≥<－2a1，，或a2＋a>34≥，2a， 解得 a<－4 或 2<a≤3. 综上可得，实数 a 的取值范围为 a<－4 或 a>2.
1．若将本例中的条件“A∩B＝B”改为“A∪B＝A”，其他 条件不变，则实数 a 的取值范围又是什么？ 解：①当 B＝∅时，只需 2a>a＋3，即 a>3， 此时满足 A∪B＝A. ②当 B≠∅时，需满足 2a≤a＋3 且 a＋3<－1，或 2a≤a＋3 且 2a>4. 解得 a<－4 或 2<a≤3. 综上可得，实数 a 的取值范围为 a<－4 或 a>2.
第1章 集 合
1.3 交集、并集
第 1 课时 交集、并集
第1章 集 合
1.了解交集、并集的实际背景． 2.理解交集、并 集的含义． 3.掌握求交集、并集的方法．
1．交集
一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素
自然语言 构成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作_A__∩__B___(读
等于( )
A．{1，2，3}
B．{1，2，4}
C．{2，3，4}
D．{1，2，3，4}
解析：选 D.因为 A＝{1，2}，B＝{1，2，3}， 所以 A∩B＝{1，2}． 又 C＝{2，3，4}， 所以(A∩B)∪C＝{1，2}∪{2，3，4} ＝{1，2，3，4}．
2．已知集合 P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么 P∪Q＝ () A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4} C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1} 解析：选 C.在数轴上表示两个集合，如图．
2.(1)设 A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}， 则 A∪B＝________． (2)若集合 M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或 x＞5}，则 M∪N＝________．
解析：(1)A∪B＝{4，5，6，8}∪{3，5，7，8} ＝{3，4，5，6，7，8}． (2)将－3＜x≤5，x＜－5 或 x＞5 在数轴上表示出来．
