高考数学基础强化——不等式选择题专项训练

全国名校高考专题训练06不等式一、选择题1、(江苏省启东中学高三综合测试二)在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则A.11<<-aB.20<<aC.2321<<-a D.2123<<-a 答案：C2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：0,0,0)2(;0,00)1(>->->>->->ad bc bda c ab b d dc ad bc ab 则若则，若其中正确命题的个数是则若,0,,0)3(>>->-ab bda c ad bcA. 0B. 1C. 2D. 3 答案：D3、(江苏省启东中学高三综合测试二) ab>ac 是b>c 的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件 答案：D4、(江苏省启东中学高三综合测试三)当x>1时，不等式x+11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．(－∞,2]B ．[2,+∞)C ．[3,+∞)D ．(－∞,3]答案：D5、(江苏省启东中学高三综合测试四)不等式xx 1log 2-≥1的解集为 ( ) A ．(]1,-∞- B ．[)∞+-,1 C ．[)0,1- D ．(]()∞+-∞-,01, 答案：C6、(江西省五校2008届高三开学联考)已知正整数b a ,满足304＝＋b a ，使得ba 11+取最小值时，则实数对（),b a 是（ ）A ．(5，10）B ．（6，6）C ．（10，5）D ．（7，2）答案：A7、(江西省五校2008届高三开学联考)设2sin1sin 2sin 222n n na =++⋅⋅⋅+ , 则对任意正整数,()m n m n > , 都成立的是A ．||2n m m n a a ⋅-<B ．||2n m m n a a -->C ．1||2n m n a a -<D ．1||2n m n a a -> 答案：C12sin(1)sin(2)sin ||||222n m n n mn n ma a ++++-=++⋅⋅⋅+ 12sin(1)sin(2)sin ||||||222n n mn n m ++++≤++⋅⋅⋅+ 1112111111122||||||12222212n m n n m n m ++++-<++⋅⋅⋅+==--12n < . 故应选C . 8、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)设1212121<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<ab，那么( )A.ab a b a a <<B.b a a a b a << C 。

数学高考一轮复习基本不等式专项练习（带解析）学习数学能够让我们的思维更清晰，我们在摸索和解决问题的时候，条理更清晰。

小编预备了差不多不等式专项练习，期望你喜爱。

1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y差不多上正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用差不多不等式直截了当求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从差不多不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合差不多不等式的条件，故①的推导过程正确;②尽管x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合差不多不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合差不多不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大1169.(2021年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120211600x225x+12021=36000(元)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

新高考数学《不等式》专题解析一、选择题1．已知变量,x y 满足约束条件121x y x +⎧⎨-⎩剟…，则x y y +的取值范围是( )A．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式121x y x +⎧⎨-⎩剟…表示的平面区域，整理得：x y y +1x y =+，利用yx 表示点(),x y 与原点的连线斜率，即可求得113x y -<-…，问题得解． 【详解】将题中可行域表示如下图，整理得：x y y+1xy =+ 易知yk x=表示点(),x y 与原点的连线斜率， 当点(),x y 在()1.3A -处时，yk x=取得最小值-3. 且斜率k 小于直线1x y +=的斜率-1， 故31k -≤<-，则113x y -<-…， 故203x y y +<…. 故选B 【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的取值范围，考查转化能力，属于中档题．2．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞U【答案】A 【解析】 【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1ba=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集. 【详解】由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1ba=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.3．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n+的最小值为（ ） A ．3 B ．1C ．2D ．32【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式求得112m n +的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()111111515193222323232322n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）A ．[3,3]；B ．(,3]-∞C ．3,)+∞D ．(,3]3,)-∞-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得11322a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 为等差数列，∴1515455102a d d S a ⨯=+=+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得11322a d a =--，当10a >时，1111332222a a d a a ⎛⎫=--=-+≤-= ⎪⎝⎭1a 时等号成立； 当10a <时，11322a d a =--≥=1a =立；∴实数d的取值范围为(,)-∞⋃+∞.故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.5．已知函数())2log f x x =，若对任意的正数,a b ，满足()()310f a f b +-=，则31a b+的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．24【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后根据基本不等式求最值. 【详解】0,x x x x ≥-=所以定义域为R ，因为()2log f x =，所以()f x 为减函数 因为()2log f x =，())2log f x x -=,所以()()()f x f x f x =--，为奇函数，因为()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，，即31a b +=，所以()3131936b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为96b a a b +≥=， 所以3112a b +≥（当且仅当12a =，16b =时，等号成立），选C.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.6．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5 B ．45C ．5D ．25【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()2242325-+-=故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．7．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．8【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值.【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C. 【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.8．已知,x y 满足33025010x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则36y z x -=-的最小值为（ ）A ．157B ．913C ．17D ．313【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率，根据图像得到答案.【详解】画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率.直线330x y-+=与直线10x y+-=交于点13(,)22A-，由图可知，当可行域内的点为A时，PAk最小，故min333211362z-==--.故选：D.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.9．已知不等式组y xy xx a≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【解析】【分析】【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a=，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（ ） A ．125B ．125-C ．32D ．32-【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴416122555m y x =-=-=-， 故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．11．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为(1,3)，则a 的取值范围为（ ） A ．(1,1)- B ．(0,1)C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(1,0]-【答案】A 【解析】 【分析】结合不等式组，绘制可行域，判定目标函数可能的位置，计算参数范围，即可． 【详解】结合不等式组，绘制可行域，得到：目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则<1a -，此时a 的范围为(]1,0- 当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ． 【点睛】本道题考查了线性规划问题，根据最值计算参数，关键明白目标函数在坐标轴上可能的位置，难度偏难．12．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】 【分析】由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 由2x y xy +=得：211x y+= ()212222225529x y x yx y x y x y y x y x ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号） 2x y ∴+的最小值为9故选：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.13．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )A．169πB．89πC．1627πD．827π【答案】A【解析】【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【详解】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得323r x-=，332x r∴=-，∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r rπ=-<<，则33333163331616442()(3)()9442939r r rV r r r rπππ++-=-=g g g g…．当且仅当33342r r=-，即43r=时等号成立．∴圆柱的最大体积为169π，故选：A．【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．14．若实数x，y满足不等式组11y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y+的最小值是( )A ．3B ．32C ．0D ．3-【答案】D【解析】【分析】 根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ∆， 由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1y x y =⎧⎨=-⎩可得(1,1)A -- 此时3z =-，故选：D ．【点睛】本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z 的意义是关键，属于中档题．15．已知正数x ，y 满足144x y +=，则x y +的最小值是（ ） A ．9B ．6C ．94D ．52 【答案】C【解析】【分析】先把x y +转化成114()4x y x y ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭，展开后利用均值不等式即可求解. 【详解】Q正数x，y满足144 x y+=，11414149()14524444y x y xx y x yx y x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++++⨯=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…，当且仅当4144y xx yx y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即34x=，32y=时，取等号.故选：C【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.16．实数,x y满足20360x yx yx y-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y-的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，2z x y=-，则2y x z=-，z表示直线与y轴截距的相反数，根据平移知：当3,3x y==时，2z x y=-有最大值为3.故选：C.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.17．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（ ） A ．5 B ．5 C ．3 D ．52【答案】D【解析】【分析】由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．【详解】 解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩………平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方，解得，2222523(1)d -⎛⎫+ ⎪= ⎝⎭=⎪； 所以min 52z =故选：D ．【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．18．若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．3-C ．32D ．3 【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.19．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ） A ．4B ．3 C．2 D ．2【答案】D【解析】【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值． 【详解】 解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+．得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2．故选：D ．【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．20．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6tan tan tan A B C A+⋅的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．32【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故tan 3tan A B =，3t 53tan 4an 6ta 3ta tan tan n n B A B C A B ⎛⎫=+ ⎪⎝+⎭⋅，计算得到答案. 【详解】由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.2222cos a b c bc A =+-Q ，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=， 整理得sin cos 3sin cos A B B A =.易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=， 且tan 0B >.πA B C ++=Q ， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--⋅24tan 3tan 1B B =-，tan 6tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B -=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭34≥⨯当且仅当tan B 时等号成立. 故选：B .【点睛】 本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。

高考数学《等式与不等式》专项练习题（含答案）一、单项选择题1．设集合{}1,0,1A =-，集合2{|}B x x x =≤，则A B =（ ） A ．{}1,0-B ．{}1,1-C ．{0}D ．{}0,12．若0a b <<，则下列结论中正确的是（ ） A ．22a b <B ．2ab b <C ．11()()22a b<D ．2b aa b+>3．已知集合{}1,2,3A =，(){}|20B x x x =-≥，则A B =（ ） A ．{}1,2B ．{}1,3C ．{}2,3D ．{}1,2,34．若x ，y 满足约束条件22111x y x y y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤≤⎩，则3z x y =-的最大值为（ ）A ．11B ．8C ．13D ．65．若2221,2,3m x n x x p x =+=+=--，则（ ） A ．n m p ≥>B ．n m p >>C ．m p n ≥≥D ．m n p ≥>6．已知0x >，0y >，且119x y +=，则x y +的最小值为（ ）A ．29B ．49C ．89D ．187．已知0,0,0a b m >>>，且m a b <<，那么（ ） A ．a m ab m b-<- B ．a m ab m b-=- C ．a m ab m b->- D ．a mb m --与ab的大小随m 变化而变化 8．设集合{}1,2,3,6A =，{}230B xx x =-≥∣，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,6 B ．{}1,2,6 C ．{}3,6 D ．{}69．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x （单位：元）的取值范围是（ ） A ．{}1016x x ≤<B ．{}1218x x ≤<C ．{}1520x x <<D ．{}1020x x ≤<10．若,a b ()b a >是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，0c <，且,,a b c这三个数适当排列后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则22p qc b a+-的最小值等于（ ）A ．9B ．10C ．3D11．集合2{|340,}x x x x Z +-<∈的子集的个数为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．3212．若关于x 的不等式20x px q ++<的解集为{}23x R x ∈-<<，则关于x 的不等式22056x px qx x ++>--的解集是（ ） A ．(3，6)B ．()(2)6∞⋃+∞--，， C ．(2)(1,3)(6,)-∞⋃⋃--+∞，D ．(2,1)(3,6)--⋃二、填空题 13．不等式10x x->的解集为___________.（用集合或区间表示） 14．已知一元二次方程2230x mx m -+-=的两个实根为12x x 、，且22126x x +=，则m =_________；15．设全集U ＝{（x ，y ）|x ∈R ，y ∈R}，子集A ＝{（x ，y ）|2x ﹣y +m ＞0}，B ＝{（x ，y ）|x +y ﹣n ＞0}，那么点P （2，3）∈（A ∩∁U B ）的充要条件为_______16．已知2,0()sin ,0x x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，23,0()cos ,0x x x g x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩，则不等式(())6f g x >的解集为____． 17．已知,a b ∈R ，若对于任意的[]1,1x ∈-，不等式233x x a b +-+≤恒成立，则22a b +的取值范围为__________．三、解答题18．己知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(,)OM a b =为函数()f x 的辅助向量.（1）设函数3())sin()2g x x x ππ=+--，求()g x 的辅助向量OM .（2）将（1）中函数()g x 的图象（纵坐标不变）横坐标缩短为原来的一半，再把整个图象向左平移4π个单位长度，最后把所得图象沿x 轴对称得到函数()h x 的图象，己知ABC 的内角分別为A ，B ，C ，若2A h ⎛⎫= ⎪⎝⎭ABC 能够盖住的最大圆而积为π，求AB AC ⋅的最小值并指出AB AC ⋅取得最小值时ABC 的形状.19．命题p ：实数m 满足不等式()()20m a m a --<（0a >）；命题q ：实数m 满足方程22115x y m m +=--表示双曲线． （1）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．20．某家电厂在扶贫攻坚活动中，要将100台洗衣机运往扶贫点．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车的运输费用为800元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车的运输费用为600元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运1次，求该厂所花的最少运输费用．21．已知函数243()1x f x x +=+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若x ∀∈R ，关于x 的不等式()m f x >恒成立，求实数m 的取值范围.22．关于x 的方程22(1)110x m x m --++=，当m 分别在什么范围取值时，方程的两个根： （1）都大于1； （2）都小于1；（3）一个大于1，一个小于1？23．如图，已知椭圆Γ： 22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为22，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，C 、D 在椭圆Γ上，点D 在第一象限，CB 的延长线交椭圆Γ于点E ，直线AE 与椭圆Γ、y 轴分别交于点F 、G ，直线CG 交椭圆于点H ，联结FH .（1）求椭圆Γ的方程；（2）设直线AE 、CG 的斜率分别为12,k k ，求证∶12k k 为定值； （3）求直线FH 的斜率k 的最小值.24．已知命题p ：“复数()282z x x x i =-+-在复平面上对应的点在第二象限”，命题q ：“()224+30,0x mx m m ->>”（1）若m =1，p q ∧⌝为真，求x 的取值范围.（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.参考答案1．D2．D3．A4．A5．D6．B7．A8．C9．C10．D11．C12．C 13．()(),01,-∞⋃+∞ 14．0或12 15．m ＞﹣1，n ≥5 16．(1,2) 17．[)1,+∞18．（1）()OM =-；（2）AB AC ⋅的最小值为6；ABC 为等边三角形.19．（1）()1,5；（1）51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．4400元．21．（1）()f x 的增区间是1(2,)2-，减区间是(,2)-∞-和1(,)2+∞；（2）(4,)+∞.22．（1）5≤m <14；（2）m ≤-2；（3）m >14.23．（1）22142x y +=；（324．（1）23x <≤；（2）823m <<。

（6）不等式——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编一、选择题1．[2024届·长沙市第一中学·模拟考试]若正数a ，b 满足111a b +=，则1411a b +--的最小值为()A.4B.6C.9D.162．[2024届·长沙市第一中学·二模]已知函数()22log log 28x xf x =⋅，若()()12f x f x =（其中12x x ≠），则1219x x +的最小值为()A.4B.2C.32D.343．[2024届·湖北·模拟考试联考]已知集合{}2230A x x x =∈-->R ∣，集合B 满足B A Ø，则B 可以为()A.[1,3]- B.(,1]-∞- C.(,1)-∞- D.(,3)-∞4．[2024届·江苏省前黄高级中学·一模]设实数x ，y 满足32x >，3y >，不等式()()33222338123k x y x y x y --≤+--恒成立，则实数k 的最大值为()A.12B.24C.D.5．[2024届·重庆市第八中学·模拟考试]已知集合{23}M x x =-<<∣，{}2540N x x x =-+>∣，则M N = ()A.()2,1- B.()2,4- C.()(),14,-∞+∞ D.()(),34,-∞+∞7．[2024届·海南·模拟考试校考]已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}2280N x x x =+-≥，则M N = ()A.{}2,2-B.{}2-C.{}2 D.2二、多项选择题8．[2024届·湖北·模拟考试联考]若0a b c >>>，则()A.a a c b >B.22a ab c >C.a b ba c c->- D.a c -≥9．[2024届·吉林吉林·模拟考试校考]a ，b ，c ，d 均为实数，且0a b >>，0c d >>，则下列结论正确的是()A.ac bd >B.a c b d->- C.a c b d+>+ D.a bd c>三、填空题10．[2024届·贵州·模拟考试联考]以()max min M M 表示数集M 中最大（小）的数.设0a >，0b >，0c >，已知22a c b c +=1，则111min max ,,a b c ⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎬⎩⎭⎩⎭__________.11．[2024届·河北衡水·二模联考]设集合{}2230,A x x x x =--<∈R ，{},0B x x a a =>>，则A B =R ，则实数a 的取值范围为__________.12．[2024届·海南省华侨中学·二模]已知0x >，0y >，且122x y +=，则21x y +的最小值为_______________．13．[2024届·全国·模拟考试]已知1x ，2x 是实数，满足221212848x x x x +-=，当1x 取得最大值时，12x x +=_________.14．[2024届·吉林吉林·模拟考试校考]设1x >-，则函数461y x x =+++的最小值是__________.15．[2024届·合肥一六八中学·模拟考试]设x ，y 是正实数，记S 为x ，1y x +，1y 中的最小值，则S 的最大值为______.参考答案1．答案：A解析：方法一：由111a b +=，可得1ba b =-，所以144=1111b a b b +-+---由a ，b 为正数且111a b+=，可得1a >，1b >，所以144=14111b a b b +-+≥=---，当且仅当411b b -=-，即3b =，32a =时等号成立.故选：A.方法二：由111a b +=，可得11b a a =-，11ab b=-，所以144411b a a b a b +=+≥=--，当且仅当4b a a b =，即32a =，3b =时等号成立.故选：A.2．答案：C 解析：()()()()2222222log log log 1log 3log 4log 328x x f x x x x x =⋅=-⋅-=-+ ，由()()12f x f x =，2122log log 4x x ∴+=，即1216x x =，121933242x x ∴+≥=⨯=，当且仅当1219x x =，即143x =，212x =时等号成立.故选C.3．答案：C解析：由集合{}2230{3A x x x x x =∈-->=>R ||或1}x <-，B A Ø则(,1)(3,)(,1)-∞-+∞-∞- Ø.故选：C4．答案：B 解析：32x >，3y >，变形为23030x y ->->，，令230a x =->，30b y =->，则()()33222338123k x y x y x y --≤+--转化为()()33228123233x y x y k x y +--≤--，即224323x y k y x +≥--，其中()()((222222334323a b x y y x b aba+++=+≥+--1224a b b a ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭当且仅当33a b b a a b=⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，即3x =，6y =时取等号，可知24k ≤.故选：B 5．答案：D7．答案：C解析：因为2{|280}{|4N x x x x x =+-≥=≤-或2}x ≥，所以{2}M N = .故选：C.8．答案：ACD解析：()a a a b c c b bc --=，又0a b c >>>，所以0b c ->，0b >，所以0a a c b ->，即a ac b>，故A 正觕；当1a =，1b =-，2c =-时，22a a b c <，故B 错误，()()()()()a b b a b c a c b a c b a c c a c c a c c------==---，又0a b c >>>，所以0a c ->，0c b -<，所以0a b b a c c -->-，即a b b a c c->-，故C 正确因为0a b c >>>，所以0a b ->，0b c ->，所以a c a b b c -=-+-≥，当且仅当a b b c -=-时等号成立，故D 正确.故选ACD.9．答案：ACD解析：因为a ，b ，c ，d 均为实数，且0a b >>，0c d >>，由不等式的基本性质可得ac bd >，a c b d +>+，AC 选项正确；因为0c d >>，则110d c >>，故a bd c>，D 选项正确；取3a =，2b =，2c =，1d =，则a c b d -=-，B 选项错误.故选：ACD.10解析：由221a c b c +=，得221a b c +=，设111max ,,M a b c ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则22111,,2M M M a b ab a b c≥≥≥=+≥，由32223M M ab ab=≥=≥M ≥，当且仅当a b c ===.11．答案：()0,1解析：由题意{}{}2230,|13A x x x x x x =--<∈=-<<R ，{}{,0|B x x a a x x a =>>=>或},0x a a <->，若满足A B =R ，则B A ⊆R ð，又因为{}|B x a x a =-≤≤R ð，所以130a a a -<-⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得01a <<.故答案为：()0,1.12．答案：16解析：()212182228816,y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当82y x x y =时等号成立.即当11,48x y ==时，21x y +取得最小值为16.故答案为：16.13．答案：5解析：221212848x x x x +-= .()()221222122222482x x x x x x -+∴-+=≥.2116x ∴≥，14x ∴≤.取等条件：1221224x x x x -=⎧⎨=±⎩，1241x x =⎧∴⎨=⎩或1241x x =-⎧⎨=-⎩，125x x ∴+=.14．答案：9解析：由1x >-，可得10x +>，则446155911y x x x x =++=+++≥+=++，当且仅当411x x +=+时，即1x =时，等号成立，所以函数461y x x =+++的最小值是最小值为9.故答案为：9.15解析：方法一：设0a x =>，10b y =>，1110c y x b a =+=+>，当11a b c b a===+时，a b ==不妨设a b ≤，11min ,,S a b b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭①当a b ==时，11min ,,S a bb a ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭②当0a b <≤≤时，1111min ,,min ,S a b ab a b a ⎧⎫⎧⎫=+=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，若11a b a ≤+，则11min ,a a b a ⎧⎫+=≤⎨⎬⎩⎭若11a b a >+，则1111min ,a a b a b a⎧⎫+=+<≤⎨⎬⎩⎭；③当0a b <≤≤122a ≥，122b ≥，11c b a =+≥，11min ,,S a b ab a ⎧⎫=+=≤⎨⎬⎩⎭；a b ≤≤时，122a ≤，122b ≤，11c b a =+≤，1111min ,,S a bb a b a ⎧⎫=+=+≤⎨⎬⎩⎭同理，当a b >时，可以证明S ≤综上所述：S .方法二：由题意知0S x <≤，10S y <≤，则11x S ≤，1y S≤所以1112S yx S S S≤+≤+=，解得0S <≤，故S。

2022版新高考数学总复习--§7.3 基本不等式— 专题检测 —一、单项选择题1.(2021北京东城二模,4)已知a 2+b 2=2,那么a +b 的最大值为 ( ) A.1 B.√2 C.2 D.2√2答案 C 本题考查基本不等式,考查逻辑推理的核心素养,试题体现基础性.∵2=a 2+b 2≥2ab ,∴(a +b )2=a 2+b 2+2ab ≤2+2=4,从而a +b ≤2,当且仅当a =b =1时取等号,因此a +b 的最大值为2,故选C . 2.(2021北京朝阳二模,6)设x >0,y >0,则“x +y =1”是“xy ≤14”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 本题考查基本不等式,考查逻辑推理的核心素养,试题体现基础性. 充分性:当x +y =1时,xy ≤(x+y 2)2=14,当且仅当x =y =12时取等号,充分性成立;必要性:当x =1,y =14时,xy ≤14,x +y =54≠1,因而必要性不成立. 综上,“x +y =1”是“xy ≤14”的充分而不必要条件,故选A .3.(2021天津河东一模,7)已知a >0,b >0,且 ab =a +b +3,则a +b 的最小值为 ( ) A.4 B.8 C.7 D.6答案 D a +b +3=ab ≤14(a +b )2,令t =a +b ,t >0,则14t 2≥t +3⇒t 2-4t -12≥0⇒t ≥6,即a +b ≥6,当且仅当a =b =3时,“=”成立.4.(2021河南顶级名校4月联考,10)已知各项均为正数的等比数列{a n },a 6,3a 5,a 7成等差数列,若{a n }中存在两项a m ,a n ,使得4a 1为其等比中项,则1m +4n的最小值为 ( ) A.4 B.9 C.23D.32答案 D 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ,q >0,由a 6,3a 5,a 7成等差数列,可得6a 5=a 6+a 7, 即6a 1q 4=a 1q 5+a 1q 6,解得q =2(q =-3舍去),由{a n }中存在两项a m ,a n ,使得4a 1为其等比中项,可得16a 12=a m a n =a 12·2m +n -2,化简可得m +n =6,m ,n ∈N *,则1m +4n =16(m +n )(1m +4n )=16(5+n m +4m n )≥16(5+2√n m ·4m n )=32. 当且仅当n =2m =4时,上式取得等号.5.(2021山西高考前测试,7)已知a ,b ,c ∈(0,+∞),且a >4,ab +ac =4,则2a +2b+c +32a+b+c的最小值是 ( )A.8B.6C.4D.2答案 A 因为a ,b ,c ∈(0,+∞),且ab +ac =4, 所以2a +2b+c +32a+b+c =2(a+b+c )a (b+c )+32a+b+c =a+b+c 2+32a+b+c≥8, 当且仅当a+b+c 2=32a+b+c,即a +b +c =8时取等号,所以b +c =8-a ,代入ab +ac =4,解得a =4±2√3,又因为a >4,所以a =4+2√3,b +c =4-2√3,此时等号成立, 故所求最小值为8.6.(2021江西宜春重点高中月考,9)已知x >0,y >0,x +2y =3,则x 2+3yxy的最小值为 ( )A.3-2√2B.2√2+1C.√2-1D.√2+1 答案 B x >0,y >0,x +2y =3,则x 2+3y xy =x 2+y (x+2y )xy=x y +2y x+1≥2√x y·2yx+1=2√2+1. 当且仅当x =√2y 时,上式取得等号, 则x 2+3yxy的最小值为2√2+1.7.(2021浙江新高考研究卷(一),9)已知a >0,b >0,且2a +1b=1,则2ab b+1+12a的最小值为 ( )A .32+2√2 B .12+2√2C .32+√2D .12+√2答案 D 令c =1b,则c >0,且2a +c =1, 所以2ab b+1+12a =2a c+1+12a =2a 2a+2c +2a+c 2a =a a+c +a+c 2a +12≥2√a a+c ·a+c 2a +12=√2+12, 当且仅当a a+c =a+c2a,即c =(√2-1)a 时取等号,又2a +c =1,所以a =√2-1,c =3-2√2,b =3+2√2时取等号,选D .8.(2021浙江绍兴4月模拟,8)已知a >0,b >0,a 2+b 2-ab =3,|a 2-b 2|≤3,则a +b 的最小值是 ( )A .2√2B .3C .2√3D .4答案 B 解法一:因为|a 2-b 2|≤3,所以|a 2+b 2|2-4a 2b 2≤9,即|3+ab |2-4a 2b 2≤9,又a >0,b >0,所以解得ab ≥2.又因为a 2+b 2-ab =3,所以(a +b )2-3ab =3,所以(a +b )2=3ab +3≥9,所以a +b ≥3,故选B .解法二:(和差换元)不妨设a >b ,则{a >b >0,a 2+b 2-ab =3,a 2-b 2≤3,设{a =m +n ,b =m -n(m >n >0),则{m >n >0,m 2+3n 2=3,4mn ≤3,于是n ≤34m ,进而有m 2+3(34m )2≥3,整理得(m 2-34)(m 2-94)≥0, 解得0<m ≤√32或m ≥32,又0<n <m ,所以3=m 2+3n 2<4m 2,所以m 2>34,解得m >√32,所以m ≥32,于是a +b =2m ≥3.故选B .二、多项选择题9.(2020山东百师联盟测试三,11)下列四个函数中,最小值不为4的是( ) A.y =lnx 3+12lnxB.y =√x 2+1+√x 2+1C.y =sin x +4sinx(x ∈(0,π)) D.y =e x +4e x答案 AC A 中ln x <0时,最小值不为4,C 中当y =4时,sin x =2不成立;BD 均成立.方法总结 本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是要判断参数是不是正;二定是要看和或积是不是定值(和定积最大,积定和最小);三相等是一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用基本不等式时等号能否同时成立).10.(2021届广东佛山顺德第二次教学质量检测,16)已知a >b >0,且a +b =1,则 ( )A.log a b >log b aB.2a +1b>6 C.a b<b aD.2a-2b>2-b-2-a答案 AD 由已知a >b >0,且a +b =1,得12<a <1,0<b <12. 对于选项A ,由于12<a <1,0<b <12, 所以log a b >log a a =1,0<log b a <log b b =1, 所以log a b >log b a 成立,因此A 正确; 对于选项B ,∵(2a+1b)(a +b )=2+1+2b a +a b≥3+2√2b a ·ab=3+2√2, 当且仅当2b a =a b,即a =√2b 时,取等号, ∴2a +1b≥3+2√2,而6>3+2√2,因此B 不正确; 对于选项C ,构造函数f (x )=lnx x, ∵f '(x )=1-lnxx 2,且当x ∈(0,e )时, f '(x )>0,∴函数y =f (x )在(0,e )上为增函数,又因为0<b <a <1,所以f (a )>f (b ), 即lna a >lnbb,∴b ln a >a ln b , ∴a b>b a,因此C 不正确;对于选项D ,构造函数f (x )=2x+(12)x ,∵f '(x )=2xln 2-(12)x ln 2=[2x-(12)x ]ln 2.当x ∈(0,+∞)时, f '(x )>0,∴函数y =f (x )在(0,+∞)上为增函数,又因为0<b <a <1,所以f (a )>f (b ),即2a+(12)a >2b+(12)b ,也就是2a-2b>2-b-2-a,因此D 正确.11.(2021届山东潍坊四中“十一”假期检测,10)已知a >1,b >0,且1a -1+4b=1,则下列命题正确的是 ( )A.a >2B.ab -b 的最小值为16C.a +b 的最小值为9D.1a -2+9b 的最小值为2答案 ABD A 项,由已知得4b=1-1a -1=a -2a -1, 由于b >0,所以4b =a -2a -1>0,解得a <1或a >2,又a >1,所以a >2.故该项正确.B 项,由于a -1>0, 所以由基本不等式可得1=1a -1+4b ≥2√1a -1·4b =4√1(a -1)b当且仅当1a -1=4b,即a =3,b =8时等号成立.所以√1(a -1)b ≤14, 即(a -1)b ≥16.所以(a -1)b 的最小值为16,故该项正确. C 项,a +b =(a -1)+b +1=[(a -1)+b ]·(1a -1+4b )+1=5+b a -1+4(a -1)b +1≥6+2√b a -1·4(a -1)b=10, 当且仅当b a -1=4(a -1)b, 即a =4,b =6时等号成立.故该项不正确. D 项,由已知得1a -1=1-4b =b -4b, 又a >1,所以1a -1>0,即b -4b>0, 又b >0,所以b >4. 又a -1=bb -4,所以a -2=b b -4-1=4b -4>0,所以1a -2+9b =b -44+9b =b 4+9b -1≥2√b 4·9b-1=2(当且仅当b =6时等号成立).故该项正确.12.(2021届山东济宁鱼台第一中学第一次月考,11)给出下面四个推断,其中正确的为 ( )A.若a ,b ∈(0,+∞),则b a +a b≥2B.若x ,y ∈(0,+∞)则lg x +lg y ≥2√lgx ·lgyC.若a ∈R ,a ≠0,则4a +a ≥4D.若x ,y ∈R ,xy <0,则x y +y x≤-2答案 AD 对于选项A ,因为a ,b ∈(0,+∞),则b a +a b ≥2√b a ·a b =2,当且仅当b a =a b,即a =b 时取等号,即选项A 正确; 对于选项B ,当x ,y ∈(0,1)时,lg x ,lg y ∈(-∞,0),lg x +lg y ≥2√lgx ·lgy 显然不成立,即选项B 错误; 对于选项C ,当a <0时,4a+a ≥4显然不成立,即选项C 错误;对于选项D ,xy <0,则-y x >0,-x y >0,则x y +y x =-[(-x y )+(-y x )]≤-2·√(-x y )×(-y x)=-2, 当且仅当-x y =-y x,即x =-y 时取等号,即选项D 正确,故选AD . 13.(2021届山东青岛期初调研,11)若a >0,b >0,a +b =2,则 ( )A.ab ≤1B.√a +√b ≤√2C.a 2+b 2≥2 D.1a +1b≥2 答案 ACD 由于a >0,b >0,a +b =2, 则由基本不等式可得2=a +b ≥2√ab , 则0<ab ≤1,因此A 正确; ∵(√a +√b )2=a +b +2√ab ≤2+2=4, ∴√a +√b ≤2,因此B 不正确; ∵∀a ,b ∈R ,2(a 2+b 2)≥(a +b )2恒成立,a +b =2,∴a 2+b 2≥12(a +b )2=2,因此C 正确;∵a >0,b >0,a +b =2,∴a+b2=1, ∴1a +1b=(1a+1b)(a 2+b 2)=12+12+b 2a +a 2b≥1+2√b 2a ·a2b=1+1=2,当且仅当a =b =1时,取等号,因此D 正确.14.(2021届广东云浮9月月考,9)已知a >0,b >0,a +b =1,则下列结论中一定成立的是 ( ) A.a 2+b 2的最小值是12B.ab +1ab的最小值是2 C.√a +√b 的最大值是√2 D.4a +9b的最小值是25答案 ACD ∵a >0,b >0,a +b =1,∴a 2+b 2≥12(a +b )2=12,当且仅当a =b 时取等号,所以A 中的结论一定成立,由已知得0<ab ≤(a+b 2)2=14,令ab =t ,t ∈(0,14],则ab +1ab=t +1t, 设y =t +1t,t ∈(0,14],∵y =t +1t在(0,14]上单调递减,∴y ≥14+114=174.所以B 中的结论错误,由(√a +√b )2≤2(a +b )=2得√a +√b ≤√2, 所以C 中的结论成立,由已知得4a +9b=(4a+9b)(a +b )=13+4b a +9a b≥13+2√36=25,当且仅当4b a =9a b时取等号,所以D 中的结论成立,故选ACD .三、填空题15.(2021天津南开二模,14)已知a >0,b >0,a +2b =1,则a 2+4b 2+14ab的最小值是 .答案52解析 a 2+4b 2+14ab =(a +2b )2-4ab +14ab =1-4ab +14ab.令t =4ab ,∵1=a +2b ≥2√2ab⇒4ab ∈(0,12],当且仅当a =2b 时,“=”成立,∴t ∈(0,12],原式=1-t +1t,∵y =1-t +1t在(0,12]上单调递减,∴1-t +1t≥1-12+2=52. 16.(2021天津耀华中学一模,14)已知实数x ,y 满足xy =4x +y (x >0,y >0),则4x+y+4√xy的最小值是 .答案 5解析 ∵x >0,y >0,∴xy =4x +y ≥4√xy ,当且仅当4x =y 时“=”成立,令t =√xy ,则t 2≥4t ⇒t ≥4,√xy =√xy =√xy+√xy =t +4t (t ≥4),∵y =t +4t 在[4,+∞)上单调递增,∴t =4时,y min =5.17.(2021江西五市九校联考,14)若正实数a ,b 满足a +b =1,则b 3a +3b的最小值为 . 答案 5解析 因为a +b =1,所以b 3a +3b =b 3a +3(a+b )b =b 3a +3ab+3,因为a >0,b >0,所以b 3a +3a b +3≥2√b3a ·3a b +3=5,当且仅当b 3a =3ab,即a =14,b =34时等号成立,即b 3a +3b 的最小值为5.思路分析 利用“1”的代换,将所求式子变形为b 3a +3(a+b )b,然后利用基本不等式即可求出最小值.18.(2021浙江新高考研究卷(三),16)已知a ,b >0,则√a 2+1+2ab1+a 2+b 2的最大值为 .答案 √2 解析1√a 2+1+2ab 1+a 2+b 2=1√a 2+1+2a1+a 2b+b≤1√a 2+1+2a2√1+a b ·b=a+1√a 2+1=√1+2aa 2+1≤√2,当且仅当{a =1,b =√2时取等号.。

2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（原卷版）一、单项选择题1．设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是()A．1a＞1bB．a2＜b2C．1a2＜1b2D．a3＜b32．已知实数a＞b＞0＞c，则下列结论一定正确的是()A．ab＞acBC．1a＜1cD．a2＞c23．已知a＞0，b＞0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为()A．1B．3C．8D．94．已知x＞0，y＞0，且1x＋2＋1y＝23，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－4，6)B．(－3，0)C．(－4，1)D．(1，3)5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元．其中ω(x)2＋10x，0＜x≤40，x＋10000x－945，x＞40，若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为()A．720万元B．800万元C．875万元D．900万元二、多项选择题6．下列结论中，正确的有()A．若a＞b，则ac2＞b c2B．若ab＝4，则a2＋b2≥8C．若a＞b，则ab＜a2D．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c7．(2023·曲靖一模)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有()A．(a＋2b)2≥8ab B．1a＋1b≥2abC．ab有最大值4D．1a＋4b有最小值98．设a＞0，b＞0，且a＋2b＝2，则() A．ab的最大值为12B．a＋b的最小值为1C．a2＋b2的最小值为45D．a－b＋2ab的最小值为9 2三、填空题9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是___．10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为___．11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则36a＋ab的最小值为____．四、解答题12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.(1)求ab的最大值，并求此时a，b的值；(2)求a1＋b2的最大值，并求此时a，b的值．13．已知a＞1，b＞2.(1)若(a－1)(b－2)＝4，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；(2)若2a＋b＝6，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；(3)若1a＋1b＝1，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值．14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝20x＋5(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（解析版）一、单项选择题1．设a ，b 均为非零实数且a ＜b ，则下列结论中正确的是(D )A ．1a ＞1b B ．a 2＜b 2C ．1a 2＜1b2D ．a 3＜b 3【解析】对于A ，取a ＝－1，b ＝1，则1a ＜1b ，A 错误；对于B ，取a ＝－1，b ＝1，则a 2＝b 2，B 错误；对于C ，取a ＝－1，b ＝1，则1a 2＝1b 2，C 错误；对于D ，由a ＜b ，可得b 3－a 3＝(b －a )·(b 2＋ab ＋a 2)＝(b －a ＋12a ＋34a2＞0，所以a 3＜b 3，D 正确．2．已知实数a ＞b ＞0＞c ，则下列结论一定正确的是(A )A ．a b ＞ac B C ．1a ＜1cD ．a 2＞c 2【解析】对于A ，因为a ＞b ＞0＞c ，所以a b ＞0＞ac ，故A 正确；对于B ，因为函数y 在R 上单调递减，且a ＞c ，故B 错误；对于C ，因为a ＞0＞c ，则1a ＞0＞1c ，故C 错误；对于D ，若a ＝1，c ＝－2，满足a ＞0＞c ，但a 2＜c 2，故D 错误．3．已知a ＞0，b ＞0，若直线l 1：ax ＋by －2＝0与直线l 2：2x ＋(1－a )y ＋1＝0垂直，则a ＋2b 的最小值为(D )A ．1B ．3C ．8D ．9【解析】由题可知两条直线的斜率一定存在，因为两直线垂直，所以斜率乘积为－1，即－a b×1，即2a ＋b ＝ab ，整理得2b ＋1a ＝1，所以a ＋2b＝(a ＋2b ＝2a b ＋1＋4＋2ba ≥5＋22a b ·2ba＝9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．因此a ＋2b 的最小值为9.4．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋2＋1y ＝23，若x ＋y ＞m 2＋3m 恒成立，则实数m 的取值范围是(C)A ．(－4，6)B ．(－3，0)C ．(－4，1)D ．(1，3)【解析】因为x ＞0，y ＞0，且1x ＋2＋1y ＝23，所以x ＋2＋y ＝32(x ＋2＋y＋y x ＋2＋x ＋2y ＋＋6，当且仅当y x ＋2＝x ＋2y，即y＝3，x ＝1时取等号，所以x ＋y ≥4.因为x ＋y ＞m 2＋3m 恒成立，所以m 2＋3m ＜4，即(m －1)(m ＋4)＜0，解得－4＜m ＜1.所以实数m 的取值范围是(－4，1).5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x 万件该产品，需另投入成本ω(x )万元．其中ω(x )2＋10x ，0＜x ≤40，x ＋10000x－945，x ＞40，若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为(C)A ．720万元B ．800万元C ．875万元D ．900万元【解析】该企业每年利润为f (x )＝x －(x2＋10x ＋25)，0＜x ≤40，xx ＋10000x－945＋x ＞40，当0＜x ≤40时，f (x )＝－x 2＋60x －25＝－(x －30)2＋875，当x ＝30时，f(x )取得最大值875；当x ＞40时，f (x )＝920920－2x ·10000x＝720，当且仅当x ＝100时等号成立，即在x＝100时，f (x )取得最大值720.由875＞720，可得该企业每年利润的最大值为875万元．二、多项选择题6．下列结论中，正确的有(BD )A ．若a ＞b ，则a c 2＞bc 2B ．若ab ＝4，则a 2＋b 2≥8C ．若a ＞b ，则ab ＜a 2D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －c【解析】对于A ，若c ＝0，则a c 2，bc 2无意义，故A 错误；对于B ，若ab ＝4，则a 2＋b 2≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝±2时等号成立，故B 正确；对于C ，由于不确定a 的符号，故无法判断，例如a ＝0，b ＝－1，则ab ＝a 2＝0，故C 错误；对于D ，若a ＞b ，c ＞d ，则－d ＞－c ，所以a －d ＞b －c ，故D 正确．7．(2023·曲靖一模)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列结论一定正确的有(AC)A ．(a ＋2b )2≥8abB ．1a ＋1b ≥2ab C ．ab 有最大值4D ．1a ＋4b有最小值9【解析】对于A ，(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4ab ≥2·a ·2b ＋4ab ＝8ab ，故A 正确；对于B ，找反例，当a ＝b ＝2时，1a ＋1b ＝2，2ab ＝4，1a ＋1b＜2ab ，故B 错误；对于C ，因为a ＋b ＝4≥2ab ，所以ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故C 正确；对于D ，1a ＋4b ＝a ＋b )＋4＋b a ＋＋＝94，当且仅当a ＝43，b ＝83时取等号，故D 错误．8．设a ＞0，b ＞0，且a ＋2b ＝2，则(ACD )A ．ab 的最大值为12B ．a ＋b 的最小值为1C．a2＋b2的最小值为45D．a－b＋2ab的最小值为9 2【解析】对于A，a＞0，b＞0，22ab≤a＋2b＝2⇒ab≤12，当且仅当a＝1，b＝12时取等号，故A正确；对于B，a＋b＝2－b，a＝2－2b.因为a＞0，b＞0，所以0＜b＜1，1＜a＋b＜2，故B错误；对于C，a2＋b2＝(2－2b)2＋b2＝5b2－8b＋4＝＋45≥45，当且仅当a＝25，b＝45时取等号，故C正确；对于D，a－b＋2ab＝a－b＋a＋2bab＝2a＋bab＝2b＋1a＝·(a＋2b)·12＝＋2b a＋＋＝92，当且仅当2ba＝2ab，即a＝b＝23时取等号，故D正确．三、填空题9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是__[6，19]__．【解析】因为3a－5b＝－(a＋b)＋4(a－b)，由－3≤a＋b≤－2，得2≤－(a ＋b)≤3，由1≤a－b≤4，得4≤4(a－b)≤16，所以6≤3a－5b≤19，即3a－5b 的取值范围是[6，19].10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为__6__．【解析】因为ab＝a＋b＋3≤14(a＋b)2，所以(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，即(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2.因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥6(当且仅当a＝b＝3时取等号).11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则36a＋ab的最小值为__8__．【解析】36a＋ab＝4(a＋b)a＋ab＝4＋4ba＋ab≥4＋24ba·ab＝8，当且仅当a＝6，b＝3时取等号，故36a＋ab的最小值为8.四、解答题12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.(1)求ab的最大值，并求此时a，b的值；【解答】由不等式4a2＋b2≥4ab，解得ab≤12，当且仅当2a＝b＝1时取等号，所以ab的最大值为12，此时a＝12，b＝1.(2)求a1＋b2的最大值，并求此时a，b的值．【解答】由4a2＋b2＝2，得4a2＋(1＋b2)＝3.由4a2＋(1＋b2)≥24a2·(1＋b2)＝4a1＋b2，得a1＋b2≤34，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝64，b＝22时取等号，所以a1＋b2的最大值为34，此时a＝64，b＝22.13．已知a＞1，b＞2.(1)若(a－1)(b－2)＝4，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；【解答】因为a＞1，b＞2，所以a－1＞0，b－2＞0，所以1a－1＋1b－2＝a－1)(b－2)＝14[(b－2)＋(a－1)]≥14×2(b－2)(a－1)＝1，当且仅－2＝a－1，a－1)(b－2)＝4，即a＝3，b＝4时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为1，此时a＝3，b＝4.(2)若2a＋b＝6，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；【解答】由2a＋b＝6，得2(a－1)＋(b－2)＝2，所以(a－1)＋b－22＝1，所以1a－1＋1b－2＝(a－1)＋b－22＝32＋a－1b－2＋b－22(a－1)≥3＋222，当－2＝2(a－1)，a－1)＋(b－2)＝2，即a＝3－2，b＝22时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为3＋222，此时a＝3－2，b＝2 2.(3)若1a＋1b＝1，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值．【解答】因为b＞2，由1a＋1b＝1，可得a＝bb－1，所以a－1＝1b－1，所以1a－1＋1b－2＝b－2＋1b－2＋1≥3，当且仅当a＝32，b＝3时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为3，此时a＝32，b＝3.14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝20x＋5(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；【解答】由题意得y＝0.2x＋80x＋5x＞0).由y≤7.2，得0.2x＋80x＋5≤7.2，整理得x2－31x－220≤0，解得11≤x≤20，即设备占地面积x的取值范围为[11，20].(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？【解答】y＝0.2x＋80x＋5＝x＋55＋80x＋5－1≥2x＋55×80x＋5－1＝7，当且仅当x＋55＝80x＋5，即x＝15时等号成立.所以设备占地面积为15平方米时，y的值最。

高一数学专项训练：基本不等式（高考真题）一、单选题1．（2014·福建高考真题（理））要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元D ．240元2．（2020·全国高考真题（理））设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．323．（2008·四川高考真题（理））已知等比数列{}n a 中，21a =，则其前3项和3S 的取值范围（ ）A ．(]1-∞-，B ．1([0))-∞⋃+∞，， C ．[3)+∞，D ．][(13)-∞-⋃+∞，， 4．（2019·全国高考真题（理））已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则AB =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,25．（2019·浙江高考真题）若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2012·浙江高考真题（文））若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是 A ．245B ．285C ．5D ．67．（2010·重庆高考真题（理））已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A ．3B ．4C ．92D ．1128．（2015·陕西高考真题（文））设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a bq f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>9．（2015·湖南高考真题（文））若实数,a b 满足12a b+=，则ab 的最小值为AB ．2C ．D ．410．（2015·福建高考真题（文））若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则+a b 的最小值等于 A ．2B ．3C ．4D ．511．（2015·福建高考真题（理））已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（ ）.A ．13B ．15C ．19D ．2112．（2011·重庆高考真题（文））=x+（x ＞2），在x=a 处取最小值，则a= A ．1+B ．1+C ．3D ．4 13．（2011·重庆高考真题（理））已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则的最小值是 A ． B ．4 C ．D ．5二、多选题14．（2020·海南高考真题）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥-D ≤三、填空题15．（2010·安徽高考真题（文））若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； ； ①a 2+b 2≥2；①a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 16．（2020·天津高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．17．（2020·江苏高考真题）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22xy +的最小值是_______．18．（2019·天津高考真题（文）） 设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.19．（2019·天津高考真题（理））设0,0,25x y x y >>+=最小值为______.20．（2017·天津高考真题（文））若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.21．（2017·江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．22．（2017·山东高考真题（文））若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______.23．（2016·上海高考真题（文））设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．24．（2015·浙江高考真题（理））已知函数223,1(){lg(1),1x x f x x x x +-≥=+<，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ．25．（2015·天津高考真题（文））已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为________时()22log log 2a b ⋅取得最大值.26．（2015·山东高考真题（文））定义运算“⊗”： 22x y x y xy-⊗=（,0x y R xy ∈≠，）.当00x y >>，时，(2)x y y x ⊗+⊗的最小值是_______ .四、解答题27．（2020·全国高考真题（文））设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c． 28．（2019·全国高考真题（文））已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 29．（2009·湖北高考真题（文））围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.（①）将y 表示为x 的函数；（①）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 30．（2013·全国高考真题（文））设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （①）ab+bc+ac ≤13； （①）2221a b c b c a++≥.31．（2010·辽宁高考真题（文）） 已知a b c 、、均为正数，证明：2222111()a b c a b c+++++≥a b c 、、为何值时，等号成立．32．（2015·湖南高考真题（理））设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立．33．（2014·全国高考真题（理））若0,0a b >>,且11a b+= （1）求33+a b 的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=， 并说明理由.高一数学专项训练：基本不等式（高考真题）参考答案1．C【详解】设长方体底面边长分别为,x y，则4yx =，所以容器总造价为42()102020()80 z x y xy xx=+⨯+=++，由基本不等式得，420()80160z xx=++≥，当且仅当底面为边长为2的正方形时，总造价最低，选C.考点：函数的应用，基本不等式的应用.2．B【分析】因为2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>，可得双曲线的渐近线方程是by xa=±，与直线x a=联立方程求得D，E两点坐标，即可求得||ED，根据ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=.【详解】2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>∴双曲线的渐近线方程是by xa=±直线x a=与双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立x aby xa=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x ay b=⎧⎨=⎩故(,)D a b联立x aby xa=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x ay b=⎧⎨=-⎩故(,)E a b-∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==取等号∴C 的焦距的最小值：8故选：B. 【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 3．D 【分析】设公比为q ,再分公比的正负利用基本不等式求解即可. 【详解】设公比为q ()0q ≠,则311S q q=++.当0q <时, ()31111S q q ⎡⎤-=-++-≥-+=⎢⎥-⎣⎦,即31S ≤-,当且仅当1q =-时取等号.当0q >时, 31113S q q ⎛⎫=++≥+=⎪⎝⎭,即33S ≥,当且仅当1q =时取等号.所以3S 的取值范围是][(13)-∞-⋃+∞，， 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用,需要注意“一正二定三相等”的用法.属于中档题. 4．A 【分析】先求出集合B 再求出交集. 【详解】21,x ≤∴11x -≤≤，①{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B =-，故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 5．A 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 6．C 【详解】 由已知可得31155x y+=，则3194123131234()(34)555555555y x x y x y x y x y +=++=+++≥+=，所以34x y +的最小值5，应选答案C ．7．B 【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥8．C 【详解】p f ==()ln 22a b a b q f ++==，11(()())ln 22r f a f b ab =+==函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b +>()2a bf f +>，所以q p r >=，故选C ． 【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性． 9．C 【详解】12121002ab a b ab ab a ba b a +=∴=+≥⨯=∴≥，＞，＞，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为 C. 考点：基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解． 10．C 【详解】试题分析：①直线1x ya b+=（，）过点，①．则()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2224b a b aa b a b=++≥+⨯=，当且仅当时取等号．故答案为C ． 考点：基本不等式. 11．A 【详解】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t ，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P（，4)，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式． 12．C 【详解】试题分析：把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x 的取值．解：f （x ）=x+=x ﹣2++2≥4当x ﹣2=1时，即x=3时等号成立． ①x=a 处取最小值， ①a=3 故选C点评：本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力． 13．C 【详解】试题分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y 的最小值． 解：①a+b=2， ①=1①=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a 时等号成立）故选C点评：本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．14．ABD 【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD【点睛】 本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.15．①①①【详解】对于①：因为，，所以，所以，故①项正确；对于①：左边平方可得：，所以，故①项错误；而利用特殊值，代入①中式子，也可得出①错误的结论； 对于①：因为，由①知，所以，故①项正确；对于①：()3322()a b a b a ab b+=+-+22()3a b ab ⎡⎤=⨯+-⎣⎦8686ab =-≥-2=,故①项错误；对于①1a +1a =a b ab +=2ab ≥2，故①项正确； 故本题正确答案为：①①①.16．4【分析】 根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解. 【详解】 0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b ==+，或22a b =+=-.故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.17．45【分析】 根据题设条件可得42215y x y -=，可得4222222114+555y y x y y y y -+=+=，利用基本不等式即可求解.【详解】①22451x y y +=①0y ≠且42215y x y -=①42222221144+5555y y x y y y y -+=+=≥=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号.①22x y +的最小值为45. 故答案为：45. 【点睛】 本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 18．92. 【分析】 把分子展开化为(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+，再利用基本不等式求最值．【详解】由24x y +=，得24x y +=≥，得2xy ≤(1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=， 等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立． 故所求的最小值为92． 【点睛】 使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．19．【分析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值．【详解】xy = 0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．20．4【详解】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22,24a b ==时取等号）. 【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈ ，a b +≥ ，当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.21．30【详解】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．22．8【解析】1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+= ，当且仅当2b a = 时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.23．(2,)+∞【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠．又a ，b 为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即+a b 取值范围是(2,)+∞．考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．24．，.【详解】 2(3)lg[(3)1]1((3))(1)1230f f f f -=-+=⇒-==+-=，若1x >：2()33f x x x =+-≥，当且仅当2x x x=⇒= 若1x <：2()lg(1)lg10f x x =+≤=，当且仅当0x =时，等号成立，故可知min [()]3f x =．考点：1．分段函数；2．函数最值．25．4【解析】试题分析：由题意得，当()22log log 2a b ⋅取得最大值时，2log a 和()2log 2b 都是正数，所以1a >，再利用基本不等式可得()()222222222log log 2log (2)log 16log log 2()()()4222a b ab a b +⋅≤===，当且仅当24a b 时，等号成立，即当4a =时，()22log log 2a b ⋅取得最大值.考点：基本不等式求最值．26【解析】 由新定义运算知，2222(2)4(2)(2)2y x y x y x y x xy--⊗==，因为，00x y ，>>，所以，22222242(2)222x y y x x y x y y x xy xy xy xy--+⊗+⊗=+=≥=x =时，(2)x y y x ⊗+⊗.考点：1.新定义运算；2.基本不等式.27．（1）证明见解析（2）证明见解析.【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc +++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .【点睛】 本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.28．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用1abc =将所证不等式可变为证明：222a b c bc ac ab ++≥++，利用基本不等式可证得()2222222a b cab bc ac ++≥++，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，再次利用基本不等式可将式转化为()()()333a b b c c a +++++≥.【详解】（1）1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭ ()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号 ()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥ （2）()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥，b c +≥a c +≥a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc = ()()()33324a b b c c a ∴+++++≥【点睛】 本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.29．（①）y =225x +2360360(0)x x-〉 （①）当x =24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．【详解】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am ，则根据围建的矩形场地的面积为360m 2，易得360a x=，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，我们即可得到修建围墙的总费用y 表示成x 的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x 值试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m则45x+180（x -2）+180·2a=225x+360a -360由已知xa=360,得a=, 所以y=225x+（2）．当且仅当225x=时，等号成立．即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．考点：函数模型的选择与应用30．（①）证明见解析；（II ）证明见解析.【详解】（①）由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：222a b c ab bc ca ++≥++，由题设得，即2222221a b c ab bc ca +++++=，所以3()1ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤. （①）因为22a b a b+≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥， 所以222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++， 即222a b c a b c b c a++≥++， 所以2221a b c b c a++≥. 本题第（①）（①）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.31．见证明【解析】试题分析：、证明 因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，①同理，① 故.① 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和①式等号成立；当且仅当a ＝b ＝c ，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，①式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝143时，原式等号成立．考点：重要不等式点评：主要是考查了运用重要不等式进行放缩来证明不等式的方法，属于中档题．32．(1)见解析.(2)见解析.【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立.试题解析： 由11a b a b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =.(1)由基本不等式及1ab =,有2a b +≥=,即2a b +≥(2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；①二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；①三相等：含变量的各项均相等，取得最值.33．（1）（2）不存在.【分析】（1）由已知11a b+=，利用基本不等式的和积转化可求2ab ≥，利用基本不等式可将33+a b 转化为ab ，由不等式的传递性，可求33+a b 的最小值；（2）由基本不等式可求23a b +的最小值为6>，故不存在．【详解】（111a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故33+a b ≥≥a b ==所以33+a b 的最小值为；（2）由（1）知，23a b +≥≥．由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=成立．【考点定位】基本不等式．。

集合、逻辑用语、不等式小题强化训练一、单选题1．已知集合,M N ，则“M N M ⋂=”是“M N N ⋃=”的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要 2．已知a b c >>，若11m a b b c a c +=−−−成立，则实数m 的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．设全集U =R ，集合{}2M x x =<，{}23N x x =−<<，则{}3x x ≥=（ ） A ．()U M N ð B ．()U N M ð C ．()U M N ⋂ð D ．()U M N ⋃ð 4．已知2:230p x x +−<，2:20q x x +−<，则p 是q 的（ ）条件A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知集合{}0A x x a =−<，{}B x x b x b =−=−，若[)1,2A B =，则a b −=（ ） A ．-3 B ．-1C ．1D ．3 6．已知0,0a b >>，则下列选项中，能使4a b +取得最小值25的为（ ）A ．36ab =B ．9ab a b =+C ．221a b +=D ．2216625a b +=7．已知集合{}{}20,,1,1,1A a B a a ==+−，则“1a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知集合{}N 5A x x =∈≤，集合{}2430B x x x =−+>，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}0,1,3,4,5C ．{}0,4,5D ．{}4,59．已知a ，b 均为正实数，则“11a b >”是“2223a b ab +>”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．下列命题中假命题的是（ ）A ．0x ∃∈R ，0ln 0x <B ．(),0x ∀∈−∞，e 0x >C ．0x ∃∈R ，00sin x x >D ．()0,x ∀∈+∞，22x x >11．已知集合{}{}20,320A x x m B x x x =<<=−+>，若R B A ⊆ð，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(,2]−∞ B ．(1,2] C ．[2,)+∞ D ．(2,)+∞ 12．下列命题为真命题的是（ ）A ．若a b >，则b c b a c a +>+B ．若a b >，c d >，则a d b c −>−C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若a b >，则11a b a >− 13．若命题“[]1,3a ∃∈,()2220ax a x +−−>”是假命题，则x 不能等于（ ）A ．1−B ．0C ．1D ．2314．下列四个命题中，是假命题的是（ ）A ．x ∀∈R ，且10,2x x x≠+≥ B ．x ∃∈R ，使得212x x +≤C ．若x ＞0，y ＞02xy x y≥+ D ．若52x ≥，则24524x x x −+−的最小值为1 15．已知全集U =R ，集合(){}223|log 11|14x A x x B x y ⎧⎫=−<=+=⎨⎬⎩⎭，，则能表示A B U ，，关系的图是（ ）A ．B ．C ．D ． 16．设实数a ，b ，c 满足，221a b c +≤≤则a b c ++的最小值为（ ）A 1B ．12−C ．D ．1−17．记{}123max ,,x x x 表示123,,x x x 这3个数中最大的数．已知a ，b ，c 都是正实数，12max ,,b c M a a c b ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则M 的最小值为（ ）AB C ．D ．18．已知集合{}{}32,1,0,1,2,3,4,0,Z ,22xU A x x B x −⎧⎫=−−=≥∈=⎨⎬+⎩⎭，则()U A B =ð（ ）A ．{}2−B ．{}3,4C ．{}2,3,4−D ．{}2,0,3,4−二、多选题19．设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的有（ ） A ．2c cd < B ．a c b d −<− C ．ac bd < D ．0c da b −>20．已知实数,a b 满足,1a b a b >+=，则（ ）A ．2a ab ＞B ．2ab b >C ．14ab ≤ D ．221a b +≥21．已知全集{}2230U x x x =∈+−≤Z ∣，集合{}210B x x =−=∣，若U A ð有4个子集，且A B ⋂=∅，则（ ） A ．1A ∉ B ．集合A 有3个真子集C ．3A −∈D ．A B U ⋃=22．已知集合{2,3,5,7,11,13,17},{2,5,7,13},{3,7,13,17},{7,13}U A B C ====，则下列关系正确的是（ ）A ．()()()⋂=⋃U U U AB A B ððð B ．()()U U U U A B =ððððC ．A C B C ⋂=⋂D ．()U U A B C =ðð23．对于R 的两个非空子集,A B ，定义运算(){},,A B x y x A y B ⨯=∈∈，则（ ） A ．A B B A ⨯=⨯B ．()()()A BC A B A C ⨯=⨯⨯C ．若A C ⊆，则()()A B C B ⨯⊆⨯D ．A A ⨯表示一个正方形区域24．已知正数,a b 满足()()111a b −−=，则下列选项正确的是（ ）A ．111a b += B ．25ab b +³C ．4a b +≥D ．228a b +≥25．已知命题p ：0x ∃∈R ，200440ax x −−=，若p 为真命题，则a 的值可以为（ ）A ．2−B ．1−C ．0D ．3 26．已知22421a b ab ++=，则（ ）A ．ab 的最大值为16B ．224a b +的最小值为57C ．224a b +的最大值为2D ．ab 的最小值为13− 27．若表示集合M 和N 关系的Venn 图如图所示，则M ，N 可能是（ ）A ．{}{}0,2,4,6,4M N ==B ．{}{}2|1,1M x x N x x =<=−C ．{}1|log ,|e e x x M x y x N y y ⎧⎫====+⎨⎬⎩⎭ D ．(){}(){}22,|,,|}M x y x y N x y y x ====28．以下说法正确的有（ ）A ．“24−<<x ”是“22150x x −−<”的必要不充分条件B ．命题“01x ∃>，()0ln 10x −≥”的否定是“1x ∀≤，()ln 10x −<”C ．“ln ln a b >”是“22a b >”的充分不必要条件D ．设a ，R b ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件29．下列命题是真命题的是（ ）A ．若a b >，则ac bc >B ．若0a b >>，则33a b >C ．若ln ln a b >，则11a b< D ．若22a b +=，则244a b +≥三、填空题30．已知集合{}230,{22},{}A x x x B x x C x x a =−<=−<<=<∣∣∣，且()A B C ⊆，则实数a 的取值范围是 .31．已知实数x 、y 满足223x y −≤+≤，220x y −≤−≤，则34x y −的取值范围为 ．32．已知集合{1,2,4}A =，{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈−∈∣，则集合B 的元素个数为 ． 33．能够说明“设,,a b c 是任意实数，若a b c <<，则ac bc <”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为 .34．已知集合21{|0}1x A x x −=≤+，全集R U =，则U A =ð ． 35．已知集合{}2|20A x x x a =−−+>，R B =，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是 ．36．已知集合{}220A x x x =∈−−≤N∣，集合(){}22210B x x a x a a =−+++=∣，若B A ⊆，则=a . 37．如图，某人沿围墙CD 修建一个直角梯形花坛ABCD ，设直角边AD x =米，2BC x =米，若12AD AB BC ++=米，问当x = 米时，直角梯形花坛ABCD 的面积最大．38．已知集合12|log (2)0A x x ⎧⎫=+<⎨⎬⎩⎭，集合()(){}|0B x x a x b =−−<，若“ 3a =− ”是“A B ⋂≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是 ．39．若命题：“0x ∃∈R ，使2200(1)(1)10m x m x −−++≤”是假命题，则实数m 的取值范围为 ．40．已知函数()2f x ax =+()0a >，()21g x x =−，若[]11,2x ∃∈−，[]22,3x ∀∈，使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 .41．命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x”为假命题，则实数a 的取值范围是 ． 42．设条件p ：231x +<；条件q ：()()22220x a x a a −+++…，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 .43．由命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题，求得m 的取值范围是(,)a +∞，则实数a 的值是 .。