2017高二文科数学专题一数列巩固型(一)教师版

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（2017 高考文科数学）讲义一数列一、高考趋势1、考纲要求（1）．了解数列的概念和几种简单的表示方法( 列表（2)．了解数列是自变量为正整数的一类函数．（3）．理解等差数列的概念．(4）．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．（5)．了解等差数列与一次函数的关系．（6）．理解等比数列的概念．(7）．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．（8)．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并题．（9）．了解等比数列与指数函数的关系．2、命题规律数列一般在全国文科卷中平均考查分值为12 分。

考是选择题+填空题的形式,第二种是解答题的形式。

并且全国文题第一题是数列和三角函数二选一。

因此数列题在高考中尽量全部做对且拿到满分”的“高期待值”题.1二、基础知识 +典型例题1、等差数列的概念与运算（1)．等差数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母（2）．等差数列的通项公式如果等差数列｛ an 的首项为a1，公差为 d，则它的通项公式是}an 1)d（3）．等差中项a b如果 A ，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．2(4）．等差数列的前 n 项和等差数列｛ an 的前项和公式:n(n1）n（a1an）n Snna1d（}22（5）．等差数列的判定通常有两种方法：① 第一种是利用定义，an－ an－ 1＝ d(常数 )② 第二种是利用等差中项，即2an＝ an＋ 1＋an 学科网]背诵知识点一：( 1）等差数列的通项公式：an a1（n 1）d( n N（2）等差中项: a,b，c构成等差数列，则 a c 2（ 3）等差数列的前n 项和：Snna1n（n 1)dn（a1a n )222（6）．对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通再给出第三个条件就可以完成an ，a1, d, n， Sn的“知三程的思想解决问题．考点一：等差数列通项公式及前 n 项和公式例 1、（ 15 全国卷一)已知 {an } 是公差为1的等差数列， S为{ an｝的前n则a10(）A 、1719C、 10 2B、2例 2、（ 15 安徽卷)已知数列｛ an｝中, a11 ， anan 11（2前 9 项和等于.32、等差数列的性质（1）通项推广： a n ＝ a m ＋ (n － m)d ，的公差 )．（ 2）若 m ＋ n ＝ p ＋q(m ， n ， p ， q∈ N *)，则 a特别地: a 1＋ a n ＝ a 2＋ a n － 1＝ a 3＋ a n － 2＝⋯。

专题1-9 数列性质的综合运用17类题型学问点梳理一、基本量计算方法a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中，可知三求二，即等差数列的通项公式及前n 项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法．在运算中要留意等差数列性质的应用．二、等差数列重要性质若数列{a n }是等差数列，公差是d ，则等差数列{a n }有如下性质：(1)当d >0时，{a n }是递增数列；当d <0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列． (2)a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *，n ≠m )． (3)a m －a n m －n＝d (m ，n ∈N *且n ≠m )． (4)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特殊地，若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p .三、求等差数列前n 项和S n 最值的方法(1)找寻正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来找寻．(2)运用二次函数的图象求最值．四、等差数列奇偶项问题(1)若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n. (2)若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1.五、等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.(2)若S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项、前2m 项、前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m也成等差数列，公差为m 2d .(3) 设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.六、等比数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ； 若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，则a 2k ＝a m ·a n .(2)若数列{a n }是等比数列，则{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍为等比数列．七、等比数列的前n 项和性质1.在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1与q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解．在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2.等比数列前n 项和的常用性质： (1)若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)“片断和”性质：等比数列{a n }中，公比为q ，前m 项和为S m (S m ≠0)，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，S km －S (k －1)m ，…构成公比为q m 的等比数列．模块一 等差数列【题型1】等差中项与前n 项和1．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于( ) A ．13B ．26C ．8D ．162【解答】解：在等差数列{}n a 中若m n k l +=+，则m n k l a a a a +=+， 因为351024a a a ++=，所以351041011322()2()4a a a a a a a ++=+=+=， 所以1132a a +=． 所以1131313()132a a S ⨯+==．2．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足22225678a a a a +=+，则12S = 0 ．【答案】0【解答】解：依据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，又由22225678a a a a +=+，则有222285760a a a a -+-=， 变形可得85857676()()()()0a a a a a a a a -++-+=， 即8576763()()4()0d a a d a a d a a +++=+=， 因为0d ≠，则760a a +=，由等差数列的性质得1124()0a a +=，即1120a a +=， 所以120S =3．两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，已知723n n S n T n +=+，求55ab 的值． 【解答】两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，满足723n n S n T n +=+， ∴195919599()7926529()93122a a a Sb b b T +⨯+====++．【详解】由等差数列的性质可得：3966468662233a a a a b b b b b +==⨯++，1212234n n n n na S n T nb n +++==+，则611116111121311311437a S T b +===⨯+，即661337a b =，39646862213263337111a a ab b b b +∴=⨯=⨯=++【答案】(1)3n a n =，(2)50d =【分析】（1）依据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（2）由{}n b 为等差数列得出1a d =或12a d =，再由等差数列的性质可得50501a b -=，分类探讨即可得解.【详解】（1）21333a a a =+，132d a d ∴=+，解得1a d =，32133()6d d S a a =+==∴，又31232612923T b b b d d d d=++=++=， 339621S T d d∴+=+=， 即22730d d -+=，解得3d =或12d =（舍去）， 1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.（2）{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，即21312212a a a =+， 2323111616()d a a a a a ∴-==，即2211320a a d d -+=，解得1a d =或12a d =，1d >，0n a ∴>，又999999S T -=，由等差数列性质知，5050999999a b -=，即50501a b -=， 505025501a a ∴-=，即2505025500a a --=，解得5051a =或5050a =-（舍去） 当12a d =时，501495151a a d d =+==，解得1d =，与1d >冲突，无解； 当1a d =时，501495051a a d d =+==，解得5150d =.综上，5150d =.【题型2】等差数列 片段和 2024新高考2卷T86．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（ ）．A ．120B ．85C ．85-D ．120-【答案】C【分析】方法一：基本量计算依据等比数列的前n 项和公式求出公比，再依据48,S S 的关系即可解出； 方法二：依据等比数列的前n 项和的性质求解．【详解】方法一：设等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a ， 若1q =-，则405S =≠-，与题意不符，所以1q ≠-；若1q =，则611263230S a a S ==⨯=≠，与题意不符，所以1q ≠； 由45S =-，6221S S =可得，()41151a q q-=--，()()6211112111a q a q q q--=⨯--①，由①可得，24121q q ++=，解得：24q =， 所以8S =()()()()8411411151168511a q a q q qq--=⨯+=-⨯+=---．方法二：利用片段和性质计算设等比数列{}n a 的公比为q ，因为45S =-，6221S S =，所以1q ≠-，否则40S =， 从而，2426486,,,S S S S S S S ---成等比数列，所以有，()()22225215S S S --=+，解得：21S =-或254S =， 当21S =-时，2426486,,,S S S S S S S ---，即为81,4,16,21S ---+， 易知，82164S +=-，即885S =-； 当254S =时，()()()2241234122110S a a a a a a q q S =+++=++=+>， 与45S =-冲突，舍去．7．（2024·广东深圳二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，2010S =，则30S =（ ）A ．0B ．10-C ．30-D ．40-【答案】C【解析】由等差数列{}n a 的前n 项和的性质可得：10S ，1200S S -，3020S S -也成等差数列，20101030202()()S S S S S ∴-=+-，302(1020)2010S ∴⨯-=+-，解得3030S =-．2025届·江苏连云港&、南通质量调研(一)8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5k S =，2145k a +=-，12245k k k a a a ++++⋅⋅⋅+=-，其中正整数2k ≥，则该数列的首项1a 为（ ） A ．-5 B ．0C ．3D ．5【答案】D【分析】结合等差数列的性质求解即可. 【详解】12245k k k a a a ++++⋅⋅⋅+=-， 又125k k S a a a ++⋅⋅+=⋅=，两式相减得：250,kd kd kd k d ++⋅⋅⋅+==-221115045k a a k d a +=+=-=-，解得：1 5.a =2024年全国Ⅱ卷（理）——等差数列片段和9．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最终一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=， 设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、其次层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块， 所以322729n n n n S S S S -=-+， 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)34022n S S +⨯===.【题型3】等差数列及其前n 项和的基本量计算10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，440S =，210n S =，4130n S -=，则n 等于( ) A ．12 B ．14C ．16D ．18【答案】14【解答】解：由题意可得421013080n n S S --=-=，1444()4080120n n n a a S S S -∴+=+-=+=， 130n a a ∴+=，1()152102n n n a a S n +∴===，解得14n =11．在等差数列{}n a 中，公差0d >，1614a a +=，2540a a =，则数列{}n a 的前9项之和等于 ． 【答案】90【解答】解：由公差0d >，1614a a +=，2540a a =，12514a d ∴+=，11()(4)40a d a d ++=， 联立解得：12a =，2d =， 故91899902S a d ⨯=+⨯=．【题型4】通过等差数前n 项和的比值相关运算数的正整数n 的个数为（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B【分析】依据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得()2121n n S n a -=-，进而可求解. 【详解】由于()()()()12121212212122n n n n a a n a n S n a --+--===-所以()21215216352924521311n n n n n S a b n T n n n ---++===-+=+++， 要使nna b 为整数，则1n +为24的因数，由于12n +≥，故1n +可以为2,3,4,6,8,12,24，故满足条件的正整数n 的个数为7个13．两等差数列{}n a 和{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则2945a ab b +=+ ． 【答案】28855【解答】解：两等差数列{}n a 和{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+， ∴11029110101845188()1084471022882()8105583552a a a a a a S b b b b a a T +⨯++⨯+==⨯=⨯=⨯=++++【分析】利用等差数列前n 项和公式求得n n a b 的表达式，结合nna b 为整数求得正整数n 的值. 【详解】由题意可得()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，则()()21213213931815321311n n n n n a S n b T n n n ---++====+-+++， 由于nna b 为整数，则1n +为15的正约数，则1n +的可能取值有3、5、15， 因此，正整数n 的可能取值有2、4、14.【题型5】等差数列奇偶项和相关运算15．在项数为21n +的等差数列中，全部奇数项的和为165，全部偶数项的和为150，则n 等于 10 ． 【答案】10【解答】解：等差数列中，全部奇数项的和为165，全部偶数项的和为150 设奇数项和1211()(1)1652n a a n S +++==，数列前21n +项和1212()(21)1651503152n a a n S +++==+=，∴12111212()(1)11652()(21)213152n n a a n S n a a n S n +++++===+++，解得：10n =．16．已知等差数列{}n a 共有21n +项，全部奇数项之和为132，全部偶数项之和为120，则n 等于 ． 【答案】10【解答】解：1321132n S a a a +=++⋯+=奇数，242120n S a a a =++⋯+=偶数，21112n n S S a nd a -+∴-=-==奇数偶数，()()()()121211212522112212522n n n n a a S S S n a n +++++∴=+===+=+=奇数偶数，解得10n =．31．已知等差数列{}n a 共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 4 ． 【解答】解：依题意，111111(2)(4)(6)(8)5(4)10a a d a d a d a d a d ++++++++=+=， 同理，15(5)30a d +=， 两式相减得：4d =， 故答案为：4．【题型6】等差数列前n 项和的单调性与最值17．在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是 A ．11S a B ．88S a C ．55S a D ．99S a 【答案】C【解答】解：依题意，数列{}n a 是等差数列，其前n 项和是n S ，90S >，100S <，所以556900a a a >⎧⎨+<⎩，所以50a >，60a <，所以公差0d <，所以当69n 时0n n S a <，当15n 时0n nSa >，又因为当15n 时，n S 单调递增，n a 单调递减， 所以当15n 时，n n S a 单调递增，所以55S a 最大 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且10110,0S S ><，若n k S S ≤对N n +∈恒成立，则正整数【详解】由题意可知，()()()110101105610550,2a a S a a a a +==+=+>所以560a a +>， 同理得116110S a =<，所以60a <. 结合560a a +>，可得50a >. 当5n =时，n S 取得最大值为5S ，要使n k S S ≤对N n +∈恒成立，只须要()max n k S S ≤，N n +∈即可， 所以5k S S ≤,N n +∈，即5k =. 所以正整数k 的值为5.则m 的值为（ ） A ．2024 B ．2024C ．2024D ．2024【答案】C【分析】依据等差数列的前n 项和公式以及数列的单调性得出结果. 【详解】依题意()14043404320222022404340430,02a a S a a +==>>，又()140444044404402a a S +=<，即404410a a +<，则202220230a a +<则20230a <，且20222023a a <，所以等差数列{}n a 单调递减，1220212022202320240a a a a a a >>⋅⋅⋅>>>>>>⋅⋅⋅， 所以对随意正整数n ，都有n m a a ≥，则2022m =．【分析】依据等差数列的通项公式及前n 项和公式，利用数列单调性的概念，结合作差法即可推断. 【详解】对于A ，1(1)2n n n S na d -=+，112n S n a d n -=+，1111101222n n S S n n a d a d d n n +-⎛⎫-=+-+=> ⎪+⎝⎭，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列，A 正确； 对于B ，()()()()11111121n n a na n a nd n a n d a n n d +-=++-+-=+⎡⎤⎣⎦+，∵1R a ∈，∴12a nd +不愿定是正实数，即数列{}n na 不愿定是递增数列，B 错误； 对于C ，()()11111111n n a n d a a a nd d a n n n n n n ++-+--=-=+++， ∵1R a ∈，∴()11d a n n -+不愿定是正实数，即数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不愿定是递增数列，C 错误；对于D ，()()11313340n n n n n d nd a a a d a d ++++-+=-+=>， 故数列{}3n a nd +是递增数列，D 正确21．设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知251a a +=，1575S =，n T 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和*()n N ∈．（1）求n S ；（2）求n T ，及n T 的最小值．【解答】解：（1）{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差设为d ，则依题意有111()(4)1151415752a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得121a d =-⎧⎨=⎩，∴21(1)(1)52222n n n n n n nS a n d n ---=+=-+=．（2）252n n n S -=，∴52n S n n -=．设52n n S n b n -==，则1(1)551222n n n n b b ++---=-=， ∴数列{}n b 是公差为12的等差数列，首项为11121S b a ===-， n T 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，∴2(1)192224n n n n nT n --=-+=．又294x xy -=图象开口向上，对称轴为92x =，且*n N ∈，4n ∴=或5n =时，2494()54n minT -⨯==-．【题型7】等差数列性质推断与综合运用 2024新高考1卷·T7——数列性质的推断A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理推断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ， 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+， 因此{}n Sn为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}n Sn为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ， 即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥， 两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+， 则11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}n Sn 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+，即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立， 于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件.23．（雅礼中学月考）（多选）设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ）A ．若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B ．若数列{}n S 有最小项，则0d >C ．若数列{}n S 是递减数列，则对随意的：*N n ∈，均有0n S <D ．若对随意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列 【答案】BD【分析】取特殊数列推断A ；由等差数列前n 项和的函数特性推断B ；取特殊数列结合数列的单调性推断C ；探讨数列{}n S 是递减数列的状况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2-的等差数列，2146S S =<=，故A 错误； 对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2-的等差数列，22n S n n =-+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =-+++-+---=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，确定存在实数k ，当n k >时，之后全部项都为负数，不能保证对随意*N n ∈，均有0n S >.故若对随意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确【分析】依据等差数列的通项公式及前n 项和公式，利用数列单调性的概念，结合作差法即可推断. 【详解】对于A ，1(1)2n n n S na d -=+，112n S n a d n -=+， 1111101222n n S S n n a d a d d n n +-⎛⎫-=+-+=> ⎪+⎝⎭，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列，A 正确； 对于B ，()()()()11111121n n a na n a nd n a n d a n n d +-=++-+-=+⎡⎤⎣⎦+，∵1R a ∈，∴12a nd +不愿定是正实数，即数列{}n na 不愿定是递增数列，B 错误；对于C ，()()11111111n n a n d a a a nd d a n n n n n n ++-+--=-=+++， ∵1R a ∈，∴()11d a n n -+不愿定是正实数，即数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不愿定是递增数列，C 错误；对于D ，()()11313340n n n n n d nd a a a d a d ++++-+=-+=>， 故数列{}3n a nd +是递增数列，D 正确25．（多选）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法正确的是（ ）A ．若n n S a =，则{}n a 是等差数列B ．若12a =，123n n a a +=+，则{}3n a +是等比数列C ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列D ．若{}n a 是等比数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列 【答案】ABC【分析】求出通项公式推断AB ；利用数列前n 项和的意义、结合等差数列推理推断C ；举例说明推断D 作答.【详解】对于A ，n n S a =，2n ≥时，11n n n n n a S S a a --=-=-，解得10n a -=，因此N n *∈，0n a =，{}n a 是等差数列，A 正确；对于B ，12a =，123n n a a +=+，则132(3)n n a a ++=+，而135a +=，{}3n a +是等比数列，B 正确； 对于C ，设等差数列{}n a 的公差为d ，首项是112,n n a S a a a =+++，()()()2212212+n n n n n n n S S a a a a nd a nd a nd S n d ++-=+++=+++++=+，232212231222()()()()n n n n n n n n n n S S a a a a nd a nd a nd S S n d ++++-=+++=++++++=-+，因此2322()()n n n n n S S S S S -=+-，则 n S ，232,n n n n S S S S --成等差数列，C 正确；对于D ，若等比数列{}n a 的公比1q =-，则 242640,0,0S SS S S =-=-=不成等比数列，D 错误.【题型8】等比数列及其前n 项和的基本量计算【答案】4【分析】由条件结合等比数列通项公式求首项1a 和公比q ，再利用求和公式求5S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 由31a =，3227S a =，可得211a q =，11225a a q +=，解方程得，11,24a q ==或114,2a q ==，当11,24a q ==时，()()551511213114124a q S q --==⨯=--，当114,2a q ==时，()5515111231411412a q S q ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦==⨯=--，所以5314S =.【答案】4-【解析】首先利用1n a +与n S 的关系式，得到14n n a a +=，求得公比，首项和其次项，再通过赋值2n =求λ的值.【详解】当2n ≥时，1133n nnn a S a S λλ+-+=⎧⎨+=⎩，两式相减得()1133n n n n n a a S S a +--=-=，即14n n a a +=，并且数列{}n a 是等比数列， 所以4q =，312a =，2133,4a a ∴==， 当2n =时，()321233a S a a λ+==+，解得34λ=-.模块二 等比数列【题型9】等比数列中基本量的计算 2024乙卷(理)T15——基本量计算：解2元方程组【答案】2-【分析】依据等比数列公式对24536a a a a a =化简得11a q =，联立9108a a =-求出52q =-，最终得55712a a q q q =⋅==-.【详解】设{}n a 的公比为()0q q ≠，则3252456a q a a q a a a a ==⋅，明显0n a ≠，则24a q =，即321a q q =，则11a q =，因为9108a a =-，则89118a q a q ⋅=-， 则()()3315582q q ==-=-，则52q =-，则55712a a q q q =⋅==-2024年全国甲卷(理)——基本量计算：解一元三次方程29．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =-，则4S =（ ）【分析】依据题意列出关于q 的方程,计算出q ,即可求出4S .【详解】由题知()23421514q q q q q q ++++=++-,即34244q q q q +=+,即32440q q q +--=,即(2)(1)(2)0q q q -++=.由题知0q >,所以2q .所以4124815S =+++=.2024·全国乙卷（理）——基本量计算30．已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ）A ．14B ．12C ．6D ．3【答案】D【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，依据题意求出首项与公比，再依据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠， 若1q =，则250a a -=，与题意冲突， 所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以5613a a q ==.【题型10】等比数列的基本性质【分析】设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+，项和转换776a A A =-，443b B B =-求解即可【详解】由题意，23n n n n A a B b+=+ 设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+则76776[(2)(2)]64a A A a a m m =-=+-+= ()()434433354b B B b b m m ⎡⎤=-=+-+=⎣⎦7464325427a mb m ∴==32．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且12n n S a +=+，则12231011a a a a a a +++=（ ）A ．23283-B ．13283-C ．20213-D ．25283-【答案】A【分析】由n a 与n S 的关系求出数列{}n a 的通项公式，推导出数列{}1n n a a +为等比数列，确定其首项和公比，结合等比数列求和公式可求得所求代数式的值.【详解】因为12n n S a +=+，所以114a S a ==+，()()32221224a S S a a =-=+-+=，()()43332228a S S a a =-=+-+=，又{}n a 是等比数列，所以2213a a a =，即()2484a =+，解得2a =-，所以122n n S +=-．当2n ≥时，()()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=，又12a =满足2n n a =，所以，22121242n n n n n n n n a a a a a a +++++===，故数列{}1n n a a +是公比为4，首项为12248a a =⨯=的等比数列， 所以()10231223101181428143a a a a a a --+++==-．【答案】1(2)3--【分析】利用等比数列通项公式列方程组求出首项和公比，然后依据定义可推断1(1)n n n b a +=-为等比数列，然后由等比数列求和公式可得.【详解】记等比数列{}n a 的公比为q ，则21451216a a q a a q ==⎧⎨==⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，所以12n n a -=， 记111(1)(1)2n n n n n b a ++-=-=-，因为2111(1)22(1)2n nn n n n b b +++--==--，所以{}n b 是1为首项，2-为公比的等比数列， 所以()()()11231212(1)123nnn n a a a a +-----+-⋅⋅⋅+-==--.故答案为：1(2)3n--34．（2024·江苏·统考高考真题）设{a n }是公差为d 的等差数列，{bn }是公比为q 的等比数列．已【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，依据题意1q ≠. 等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b bQ q qq q-==-+---， 依题意n n n S P Q =+，即22111212211nn b b d d n n n a n q q q ⎛⎫-+-=+--+ ⎪--⎝⎭， 通过对比系数可知111212211dd a q b q ⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=.【题型11】等比数列 片段和 2024年全国Ⅰ卷（文）T1035．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ）A ．12B ．24C ．30D ．32【答案】D【分析】依据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.A ．13B ．16C ．9D ．12【答案】A【分析】依据等比数列的性质，可得484128,,S S S S S --仍成等比数列，得到8443S S S -=，即可求解. 【详解】设()40S x x =≠，则84S x =， 因为{}n a 为等比数列，依据等比数列的性质， 可得484128,,S S S S S --仍成等比数列.因为84443S S x x S x --==，所以1289S S x -=，所以1213S x =，故12413S S =.深圳市宝安区2025届高三上学期10月调研37．（多选）设数列{}n a 的前n 项和为n S .记命题p ：“数列{}n a 为等比数列”，命题q ：“n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【分析】依据充分条件、必要条件的定义、等比数列的定义计算可得. 【详解】若数列{}n a 为等比数列，设公比为q ， 则当1q =时1n S na =，所以21112n n S S na na na -=-=，3211132n n S S na na na -=-=， 明显10a ≠，所以n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列， 当1q ≠时()111n n a q S q-=-，所以()()()21121111111n n n n n n a q a q a q q q q q S S ---=----=-，()()()13232211111111n n n n n n a q a q a q q q q qS S ---=----=-， 所以()()2232n n n n n S S S S S -=⋅-，但是当1q =-且当n 为正偶数时，此时0n S =，20n n S S -=，320n n S S -= 则n S ，2n n S S -，32n n S S -不成等比数列，故充分性不成立， 若n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，当1n =时11S a =，221S a S -=，323S S a -=成等比数列， 当2n =时2S ，42S S -，64S S -成等比数列，不妨令()10a m m =≠，22a m =，34a m =，42a m =，55a m =，67a m =，明显满足2S ，42S S -，64S S -成等比数列，但是1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a 不成等比数列，故必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件38．（多选）设数列{}n a ，{}n b 都是等比数列，则（ ）【分析】依据给定条件，利用等比数列定义推断ABD ；举例说明推断C 作答. 【详解】数列{}n a ，{}n b 都是等比数列，设公比分别为1212,(0)q q q q ≠， 对于A ，由n n n c a b =，得11112n n n n n nc a b q q c a b +++==，所以数列{}n c 为等比数列，A 正确；对于B ，由n n n a d b =，得1111111221n n n n n n nn n na db a b qq a d a b q q b +++++==⋅=⋅=，所以数列{}n d 为等比数列，B 正确； 对于C ，令(1)nn a =-，则224640S S S S S =-=-=，不成等比数列，C 错误；对于D ，111k n k na q a +++=为常数，D 正确【题型12】等比中项的运用【答案】122n --【分析】先推断出{}n a 是等比数列，求得公比q ，依据等比数列前n 项和公式求得正确答案.【详解】依题意，正项数列{}n a 满足212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，0q >，由9872a a a =+得27772a q a q a ⋅=⋅+，由于0n a >，所以()()22210q q q q --=-+=，由于0q >，所以解得2q ，所以111111112n n n n a a a a q q ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以数列1n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为12的等比数列，所以数列1n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为111111*********n n n -⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭=-=- ⎪⎝⎭-.40．我国古代数学著作《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，最上面3节的容积之积为3，最下面3节的容积之积为243，则第5节的容积是 . 【答案】3【分析】设第()9,n n n *≤∈N 节的容积为n a ，依据等比数列的性质可求得5a 的值，【详解】现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，设第()9,n n n *≤∈N 节的容积为n a ，则{}()9,n a n n *≤∈N 为等比数列，且0n a >，上面3节的容积之积3，下面3节的容积之积为243，∴31232378983243a a a a a a a a ⎧==⎨==⎩，解得1233a =，138243a =，∴第5节的容积为：53a =．41．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“2q ”是“{}1n S a +为等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】应用等比中项的性质，由{}1n S a +为等比数列，解出q 值，即可推断. 【详解】依题，“{}1n S a +为等比数列”，所以()()()2211131S a S a S a +=+⋅+，得()()2121123222a a a a a a +=⋅++，化简得()22(2)22q q q +=++，解得2q ，则“2q”是“{}1n S a +为等比数列”的充要条件.【分析】由题意可知{}n a 为等比数列，利用等比数列求出 2212m n m na a a +-⋅=，然后依据基本不等式求出最值.【详解】因为212n n n a a a ++=，所以{}n a 为等比数列，设{}n a 的公比为q ，又因为9872a a a =+，所以27772q a qa a =+，解得2q 或1q =-，因为0n a >，所以2q，所以112112211222m n m n m n a a a a a a --+-⋅⋅==， 因为912m n+=，且m ，*n ∈N ， 所以()191199122n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11082⎛≥+= ⎝， 当且仅当9129m nn mm n⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即26n m =⎧⎨=⎩时等号成立，所以26212264m n m n a a a +-⋅=≥=．【答案】AB【分析】AB 选项，先依据等比数列的性质得到432516a a a ==，再利用基本不等式进行求解，C 选项，先得到226416a a a ==，结合指数运算及指数函数单调性和基本不等式进行求解；D 选项，平方后利用基本不等式，结合226416a a a ==进行求解.【详解】正项等比数列{}n a 中，44a =，故432516a a a ==，由基本不等式得：358a a +≥=，当且仅当354a a ==时，等号成立，此时4n a =，故A 正确；310a >，540a >，由基本不等式得：35141a a +≥，当且仅当3514a a =，32a =，58a =时等号成立，此时公比2q满足题意，B 正确；因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以26264211111242222aaa a +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅≤ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎝⎭=当且仅当262a a =即2a =6a =C 错误； 因为20a >，60a >，所以2264416a a a =++≥=，当且仅当26a a =时等号成立，故2442a a qq =，且0q >，解得：1q =4≥4，故D 错误.故选：ABA ．01q <<B ．202120231a a ⋅>C ．n S 的最大值为2023SD ．n T 的最大值为2021T【答案】AD【分析】推导出0q >，20211a >，202201a <<，可推断A 选项的正误；利用等比中项的性质可推断B 选项的正误；由数列{}n a 为正项等比数列可推断C 选项的正误；由20211a >，202201a <<可推断D 选项的正误.【详解】若0q <，则22021202220210a a a q =<不合乎题意，所以，0q >，故数列{}n a 为正项等比数列，11a >，202120221a a ⋅>，20212022101a a -<-，20211a ∴>，202201a <<，所以01q <<，故A 正确；22021202320221a a a ⋅=<，故B 错误；11a >，01q <<，所以，数列{}n a 为各项为正的递减数列，所以，n S 无最大值，故C 错误； 又20211a >，202201a <<，所以，2021T 是数列{}n T 中的最大项，故D 正确. 故选：AD.【题型13】等比数列性质推断与综合运用45．(多选)已知等比数列{a n }的公比为q ，首项为a ，前n 项和为S n ，则下列结论错误的是 ( ) A ．若a ＞0，则a n S n ＞0B ．若q ＞0，则a n S n ＞0C ．若a ＜0，则a n S n ＜0D ．若q ＜0，则a n S n ＜0 【答案】ACD因为{a n }为等比数列，所以a ≠0．当q ＝1时，a n ＝a ，S n ＝na ，故a n S n ＝na 2＞0， 当q ≠1时，a n ＝aq n －1，S n ＝，故a n S n ＝，若q ＞1，则q n －1＞0，1－q n ＜0，1－q ＜0，故a n S n ＞0， 若0＜q ＜1，则q n －1＞0，1－q n ＞0，1－q ＞0，故a n S n ＞0， 若q ＜0，则a n S n ＝，其中q (1－q )＜0，取－1＜q ＜0，则当n 为偶数时，a 2q n(1－q n )＞0，即a n S n ＜0，当n 为奇数时，a 2q n (1－q n)＜0，即a n S n ＞0，故B 中结论正确，A 、C 、D 中结论错误．46．（多选）已知数列{}n a 为等比数列，首项10a >，公比()1,0q ∈-，则下列叙述正确的是（ ）A ．数列{}n a 的最大项为1aB ．数列{}n a 的最小项为2aC ．数列{}1n n a a +为递增数列D ．数列{}212n n a a -+为递增数列【答案】ABC【分析】分别在n 为偶数和n 为奇数的状况下，依据项的正负和2n n a a +-的正负得到最大项和最小项，知AB 正误；利用()2212110n n n n n a a a a q q a +++-=->和()()21222120n n n n a a a a ++-+-+<可知CD 正误.【详解】对于A ，由题意知：当n 为偶数时，10n a a <<；当n 为奇数时，0n a >，()2210n n n a a a q +-=-<，1a ∴最大；综上所述：数列{}n a 的最大项为1a ，A 正确；对于B ，当n 为偶数时，0n a <，()2210n n n a a a q +-=->，2a ∴最小；当n 为奇数时，20n a a >>；综上所述：数列{}n a 的最小项为2a ，B 正确；对于C ，21n n n a a a q +=，2121n n n a a a q +++=，()()222212111n n n n n n n a a a a q a a q q a ++++∴-=-=-，10q -<<，210q ∴-<，1210n n n n a a a a +++∴->，∴数列{}1n n a a +为递增数列，C 正确；对于D ，()212211n n n a a a q --+=+，()2122211n n n a a a q ++++=+，()()()()()()22122212212121111n n n n n n n a a a a q a a q q a ++-+--∴+-+=+-=+-；10q -<<，10q ∴+>，210q -<，又210n a ->，()()21222120n n n n a a a a ++-∴+-+<，∴数列{}212n n a a -+为递减数列，D 错误.【分析】依据已知条件求出等比数列{}n a 的公比和首项，进而可以求得n a 和n S ；利用裂项相消法可得111133131n nn b +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭和n T ，探讨数列{}n T 的单调性，即可得出n T 的范围. 【详解】A ：由214S a =可得213a a =，所以等比数列{}n a 的公比3q =，所以113n n a a -=⨯.由2a 是11a +与312a 的等差中项，可得2131212a a a =++，即()2111123132a a a ⨯=++⨯，解得12a =，所以123n n a -=⨯，所以A 正确；B ：()()1121331113n nnn a q S q-⨯-===---，所以B 正确；C ：()()111123111331313131n n n n n n n n n a b S S -+++⨯⎛⎫===- ⎪⋅----⎝⎭，所以C 不正确；D ：12n n T b b b =++⋅⋅⋅+1223111111111111113313133131331313231n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列{}n T 是递增数列，得11110326n T T ⎛⎫≤<⨯-= ⎪⎝⎭，所以1186n T ≤<，所以D 正确.故选：ABD.48．（多选）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，()()20222023110a a -⋅-<，则下列选项正确的是（ ）A ．{}n a 为递减数列B ．202220231S S +<C ．2022T 是数列{}Tn 中的最大项D ．40451T >【答案】AC【分析】依据题意先推断出数列{}n a 的前2024项大于1，而从第2024项起先都小于1.再对四个选项一一验证：对于A ：利用公比的定义干脆推断；对于B ：由20231a <及前n 项和的定义即可推断；对于C ：前n 项积为n T 的定义即可推断；对于D ：先求出4045T 40452023a =，由20231a <即可推断.【详解】由()()20222023110a a -⋅-<可得：20221a -和20231a -异号，即202220231010a a ->⎧⎨-<⎩或202220231010a a -<⎧⎨->⎩.而11a >，202220231a a >⋅，可得2022a 和2023a 同号，且一个大于1，一个小于1.因为11a >，全部20221a >，20231a <，即数列{}n a 的前2024项大于1，而从第2024项起先都小于1. 对于A ：公比202320221a q a =<，因为11a >，所以11n n a a q -=为减函数，所以{}n a 为递减数列.故A 正确； 对于B ：因为20231a <，所以2023202320221a S S =-<，所以202220231S S +>.故B 错误；对于C ：等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且数列{}n a 的前2024项大于1，而从第2024项起先都小于1，所以2022T 是数列{}Tn 中的最大项.故C 正确； 对于D ：40451234045T a a a a =()()()240441111a a q a q a q =404512340441a q +++=4045202240451a q ⨯=()404520221a q =40452023a =因为20231a <，所以404520231a <，即40451T <.故D 错误. 故选：AC49．（多选）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202020211a a >，()()20202021110a a --<，则下列选项错误的是（ ） A ．1q >B ．202020211S S +>C ．2020T 是数列{}n T 中的最大项D ．40411T >【答案】AD【分析】由题意可推出等比数列公比01q <<，推断A ；结合题意推断202020211,01a a ><<，即可推断B ；推断等比数列的增减性，结合前n 项积为n T ，可推断C ；利用等比数列性质可推断D.【详解】由题意知202020211a a >，即()()()()22019202040391111a qa q a q =>， 因为11a >，可得0q >，即等比数列{}n a 的各项都为正值， 又()()20202021110a a --<，故若1q ≥，结合11a >可知1n a >， 则()()20202021110a a --<不成立，故01q <<，即数列{}n a 为递减数列，则202020211,01a a ><<，A 错误； 因为202101a <<，故20202020202120211S S a S +>+=，B 正确； 由以上分析可知122020202110a a a a >>>>>>>，故2020T 是数列{}n T 中的最大项，C 正确； 由等比数列性质可得21404124040202020222021a a a a a a a ====，202101a <<，故4041124042404110211T a a a a ==<，D 错误【题型14】等差数列与等比数列混合计算求值50．已知－2，a 1，a 2，－8成等差数列，－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________. 【答案】 12【解析】∵－2，a 1，a 2，－8成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝－2＋a 2，2a 2＝a 1－8，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，a 2＝－6.又∵－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列，∴b 22＝－2×(－8)＝16，∴b 2＝4或b 2＝－4.由等比数列隔项同号可得b 2＝－4，∴a 2－a 1b 2＝－6－(－4)－4＝12.51．有四个实数，前3个数成等比数列，且它们的积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数． 【答案】9，6，4，2【解答】解：设此前3个数分别为：aq，a ，aq ， 216aa aqq=，3216a ∴=，解得6a =． 设后三个数分别为：b d -，b ，b d +．12b d b b d -+++=，解得4b =． 46d ∴-=，46q =，解得2d =-，23q =． 52．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列.若数列{}n n a b +的前n 项和【分析】设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，然后利用分求出,n n A B ，再利用n n n S A B =+列方程，由对应项的系数相等可求出结果【详解】解：设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，则 ()()1211111,222111n n n n b q n n db d d q A a n a n n B q q q --⎛⎫=+=-+==-⎪---⎝⎭（1q ≠）， 若1q =，则1n B nb =，则2211221()22nn n n d d S A B n n a n n nb =+=-+-=-++，明显没有出现2n ，所以1q ≠，所以221112212211n n b b q d d a n n n n q q ⎛⎫-++-=-+- ⎪--⎝⎭，由两边的对应项相等可得111,2,2,1221b d da q q-=-===--， 解得111,4,2,1a d q b ====，所以6d q +=模块三 其它综合问题 【题型15】周期数列【详解】由132n n n a a a +--=+可得1121n n a a +=--+， 由于11a =，所以2141231a a =--=-+，3412351,,2111122a a a a a =--=-=--==++，因此{}n a 为周期数列，且周期为3， 故5203173111a a a ⨯+===【详解】由题意数列{}n a 满足1122n n n a a a ++-=⋅，则122n na a +=-，故由13a =，得23452222,,1142,342322232232a a a a ====-+-=-===-， 由此可知数列{}n a 的周期为4， 故202345053312a a a ⨯+===55．（2024·哈师大附中校考期中）在数列{}n a 中，若11a =，22a =，21n n n a a a ++=-，则2024a =（ ） A ．1- B ．2- C ． 2 D ．1【答案】C【详解】由题意知数列{}n a 中，若11a =，22a =，21n n n a a a ++=-， 故3211a a a =-=，4321a a a ，5432a a a =-=-，6541a a a =-=-，7658761,2a a a a a a =-==-=，则{}n a 为周期为6的周期数列，。

2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5 分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4} 2．（5分）（1+i）（2+i）=（）A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i3．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．4．（5 分）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=|| C．∥D．||＞||5．（5 分）若a＞1，则双曲线﹣y2=1 的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）6．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π7．（5 分）设x，y 满足约束条件，则z=2x+y 的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．98．（5 分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）9．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩10．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．511．（5 分）从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．12．（5 分）过抛物线C：y2=4x 的焦点F，且斜率为的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l为C 的准线，点N 在l 上，且MN⊥l，则M 到直线NF 的距离为（）A．B．2C．2D．3二、填空题，本题共4 小题，每小题5 分，共20 分13．（5 分）函数f（x）=2cosx+sinx 的最大值为．14．（5 分）已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f （x）=2x3+x2，则f（2）=．15．（5 分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为．16．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 至21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分．17．（12 分）已知等差数列{a n}的前n 项和为S n，等比数列{b n}的前n 项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．18．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD 面积为2，求四棱锥P﹣ABCD 的体积．19．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．附：P（K2≥K）0.050 0.010 0.001K 3.841 6.635 10.828K2=．20．（12 分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C：+y2=1 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N，点P 满足= ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x=﹣3 上，且•=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F．21．（12 分）设函数f（x）=（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0 时，f（x）≤ax+1，求a 的取值范围．选考题：共10 分。

沪教版高中数学高二上册《数列》教案目录➢7.1 数列（数列的递推公式） (1)➢7.1 数列（数列的递推公式） (7)➢数列的递推关系 (12)➢7.1 (1)数列（数列及通项） (15)➢第三章数列 (23)➢用构造法求数列的通项公式 (25)➢等差数列（二） (31)➢7.2(1)等差数列 (35)➢等差数列 (38)➢等差数列 (40)➢7.2（4）等差数列的通项公式和前 (46)➢7．3（3）等比数列的前n项和（1） (53)➢7.3(4)等比数列的前n项和（2） (59)➢等比数列的前 (64)➢7.4 数学归纳法 (66)➢7.5数学归纳法的应用 (78)➢7．6 归纳—猜想—论证 (85)➢7.7 (2)极限的运算法则 (89)➢数列极限的定义 (99)➢7.8（1）无穷等比数列的各项和（1） (101)➢7.8 (2) 无穷等比数列的各项和（2） (108)➢课题:无穷等比数列各项的和（1） (113)➢无穷等比数列各项的和 (117)7.1 数列（数列的递推公式）一、教学内容分析本节课是数列的第二课时，教学内容是“数列的递推公式”，学生对数列已有的认知程度：数列的有关概念和数列的通项公式.二、教学目标设计1、知道递推公式也是给出数列的一种方法；2、理解数列通项公式的意义，观察数列项与项之间的内在联系，逐步形成学生的观察能力；3、通过阅读框图，正确理解算法程序，掌握建立递推关系式的方法，形成数学阅读能力.三、教学重点及难点重点：理解数列通项公式的意义，利用递推关系式，揭示数列项与项之间的内在联系.难点：阅读算法程序框图，建立递推关系式.四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．观察3、6、9、12、15、18、21. ①2．思考在数列①中，项与项之间有什么关系？[说明]：13,a =2132433,3,3,a a a a a a =+=+=+或 2132432,3,24,3a a a a a a === 3．讨论由此，数列①也可以用下面的公式表示：113(27)3n n a a n a -=+ ≤≤⎧⎨=⎩ 或 11(27)13n n n a a n n a -⎧= ≤≤⎪-⎨⎪=⎩二、学习新课1．概念辨析如果已知数列}{n a 的任一项与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法.2．例题分析例3.根据下列递推公式写出数列的前4项： （1）1121(2),1;n n a a n a -=+ ≥⎧⎨=⎩ （2）1115(2),100.n n a a n a -=- ≥⎧⎨=⎩ 解：（1）由题意知：121324312121132123172127115a a a a a a a ==+=⨯+==+=⨯+==+=⨯+=这个数列的前4项依次为1，3，7，15.（2）由题意知：1213243100,1515100851515(85)100,151510085a a a a a a a ==-=-=-=-=--==-=-=-这个数列的前4项依次为100，-85，100，-85.[说明] 已知数列的首项（或前几项），利用递推公式可以依次求出数列以后的项. 例4．根据图7-5中的框图，建立所打印数列的递推公式，并写出这个数列的前5项. 解：由图7-5可知，数列的首项为3，从第二项起数列中的每一项都是前一项与前一项减1所得的差之积，即111(1)(210),3.n n n a a a n a --=- ≤≤⎧⎨=⎩ 利用上述递推公式，计算可得到数列的前5项依次为3，6，30，870，756030.[说明] 解答本例的关键是要读懂框图，框图呈现的是算法程序，该程序就是递推关系.3．问题拓展例1.1112(2),1, 1.n n n a a a n a a +-=+ ≥⎧⎨==⎩解：由题意知：123214321,1112213a a a a a a a a ===+=+==+=+=这个数列的前4项依次为1，1，2，3.[说明] 由递推公式1112(2),1, 1.n n n a a a n a a +-=+ ≥⎧⎨==⎩给出的数列叫做斐波那契数列.斐波那契（L.Fibonacci,1170-1250），意大利数学家，他在1202年所著的《计算之书》中，提出的“兔子问题”所用的数列被后人称为斐波那契数列. 斐波那契的兔子问题：假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每个月都会生下一对兔子．那么，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？ 用记号“”表示初生的幼兔，“•”表示成熟的兔子，则有下图得到前七项：1，1，2，3，5，8，13进一步可以发现：从第三项起，每一项都是前面两项之和.下面给出证明：设n a 表示第n 个月的兔子数，n b 表示第n 个月幼兔，n c 表示第n 个月的成熟兔，则：n n n a b c =+由题意有：11112,nn n n n n n c c b a b c a -----=+=== *21(2,)n n n a a a n n N --∴=+≥∈，证毕. ∴1到12个月的兔子数依序是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，243. ∴12个月后共有243对兔子.例2.已知数列{}n a 的第1项是1，第2项是2，以后各项由12(3)nn n a a a n --=+ ≥给出.（1）写出这个数列的前5项； （2）利用上面的数列{}n a ，通过公式1n n na b a +=构造一个新数列{}n b ，写出数列{}n b 的前5项；（3）继续计算数列{}n b 的第6项到第10项，你发现数列{}n b 的相邻两项之间有怎样的关系. 解：由递推关系：1212(3),1, 2.n n n a a a n a a --=+ ≥⎧⎨==⎩ （1）数列{}n a 的前5项依次为：1，2，3，5，8（2）数列{}n b 的前5项依次为：358132,,,,2358. （3）数列{}n b 的第5项到第10项依次为：21345589144,,,,1321345589. 观察1：2341231,1,1235b b b =+=+=+，…，1055189b =+. 于是，数列{}n b 的相邻两项之间具有：111(2)n n b n b -=+ ≥.观察2：212323121(1)1,1(1)1,23b b b b b b -=⇒-=-=⇒-=，…， 10910551(1)189b b b -=⇒-=. 于是，数列{}n b 的相邻两项之间具有：1(1)1(2)n n b b n --= ≥.[说明]（1）题是利用递推关系求数列的项；（2）题是构造一个数列写出部分项；（3）题是通过观察部分项，猜想递推关系式.例3.根据框图，建立所打印数列的递推公式，并写出数列的前5项.解：根据框图，数列的递推公式为1112(210,*)231n n n a a n n N a a --+⎧= ≤≤∈⎪+⎨⎪=⎩ 数列的前5项依次为：313552331,,,,52189377. [说明] 阅读框图，正确理解框图中的赋值语句，准确把握递推信息，是解此类题的关键.三、巩固练习: 7.1（2）1,2.四、课堂小结1、数列递推公式的概念；2、利用递推公式解题的基本类型：（1）根据递推公式，求数列的部分项；（2）已知数列的部分项，写出数列相邻两项的关系；（3）根据算法程序框图，建立递推关系式.五、作业布置练习册（A ）6、7、8；练习册（B ）2、4.七、教学设计说明本节课是数列的第二课时，学生对数列已有的认知程度：数列的有关概念和数列的通项公式．因此，本节课的教学设计应围绕以下几点开展教学：1、让学生明白：递推公式也是给出数列的一种方法；2、理解数列通项公式的意义，观察数列项与项之间的内在联系，以此来培养学生的观察能力；3、通过阅读框图，正确理解算法程序，掌握建立递推关系式的方法，以培养学生的数学阅读能力.7.1 数列（数列的递推公式）教学目的：1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3．能根据所给的计算机框图语言写出数列的递推公式教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点：能根据所给的计算机框图语言写出数列的递推公式授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展递推是数学里的一个非常重要的概念和方法在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担考虑到学生是在高二刚开始学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下能根据递推公式写出一个数列的前几项、能根据所给的计算机框图语言写出数列的递推公式就行了教学过程：一、复习引入：上节学习知识点如下⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.5．数列的图像都是一群孤立的点.6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.7． 有穷数列：项数有限的数列.8． 无穷数列：项数无限的数列.9．递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。

2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（ ）A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x 轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）A．B．C．D．6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）A．B．C．D．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（ ）A．0B．1C．2D．38．（5分）函数y=的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+211．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（ ）A．B．C．D．12．（5分）设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2016-2017学年高中数学 第一章 数列 1.3.2.2 数列求和及应用课后演练提升 北师大版必修5一、选择题(每小题5分，共20分)1．数列9,99,999,9 999…的前n 项和等于( ) A ．10n－1 B.109(10n－1)－n C.109(10n－1) D.109(10n－1)＋n 解析： a n ＝10n－1 ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1) ＝(10＋102＋ (10))－n ＝10 10n－19－n .答案： B2．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n 的前n 项和S n 等于( )A.3n －1n ＋1B.2n n ＋1C.3n n ＋1D.4n n ＋3解析： a n ＝2n n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 答案： B3．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn所确定的数列{b n }的前n项之和是( )A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7) 解析： a 1＋a 2＋…＋a n ＝n2(2n ＋4)＝n 2＋2n .∴b n ＝n ＋2，∴b n 的前n 项和S n ＝n n ＋52.答案： C4．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋4)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)的前m 项和为2 036，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析： a n ＝2n－1，S n ＝2n ＋1－n －2，代入选项检验，即得m ＝10. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N ＋)，则S 100＝________. 解析： 当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，故奇数项为常数列{1}．当n 为偶数时，a n ＋2－a n＝2，故偶数项为等差数列．S 100＝50×1＋50 2＋1002＝2 600.答案： 2 6006．若数列{a n }的通项公式a n ＝1n 2＋3n ＋2，则前n 项和S n ＝________.解析： a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1 n ＋1 n ＋2 ＝1n ＋1－1n ＋2，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋(1n ＋1－1n ＋2) ＝12－1n ＋2＝n2n ＋4. 答案：n 2n ＋4三、解答题(每小题10分，共20分) 7．(1)已知等差数列{a n }．①a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；②a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d . (2)在等比数列{a n }中， ①S 2＝30，S 3＝155，求S n ； ②a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5.解析： (1)①由题意，得n ⎝⎛⎭⎪⎫56－322＝－5，解得n ＝15.因为a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，所以d ＝－16.②由已知，得172＝8 4＋a 82，解得a 8＝39.因为a 8＝4＋(8－1)d ＝39，所以d ＝5. (2)①由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1 1＋q ＝30，a 1 1＋q ＋q 2＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56，从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1 080⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.②方法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，从而S 5＝a 1 1－q 5 1－q ＝312.方法二：由(a 1＋a 3)q 3＝a 4＋a 6，得q 3＝18.从而q ＝12.又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10，所以a 1＝8，从而S 5＝a 1 1－q 5 1－q ＝312.8．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和S n .解析： 由a n ＝n2n 得，S n ＝1×12＋2×14＋3×18＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n ，①则12S n ＝1×14＋2×18＋3×116＋…＋(n －1)×12n ＋n ×12n ＋1② ①－②得，12S n ＝12＋14＋18＋…＋12n －n ×12n ＋1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n ×12n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －n 2n ＋1＝2－12n －1－n 2n . 尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析： (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1①，从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1②，①－②得(1－22)·S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．。

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第一章数列1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n等于（)A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n＋1解析:选B。

由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是a n＝2n＋1。

2．若在数列｛a n｝中，a1＝1，a n＋1＝a错误!－1(n∈N＋),则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝( )A．－1 B．1C．0 D．2解析:选A.由递推关系式得a2＝0,a3＝－1，a4＝0，a5＝－1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1。

3．已知｛a n}是公差为1的等差数列，S n为｛a n｝的前n项和，若S8＝4S4,则a10等于( ) A。

错误!B．错误!C．10 D．12解析：选B。

因为公差为1，所以S8＝8a1＋错误!×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.因为S8＝4S4，所以8a1＋28＝4（4a1＋6)，解得a1＝错误!，所以a10＝a1＋9d＝错误!＋9＝错误!.故选B。

4．已知数列｛a n}中,a1＝1，a n＝a n－1＋错误!(n≥2），则数列｛a n｝的前9项和等于________．解析：由a1＝1,a n＝a n－1＋错误!(n≥2)，可知数列｛a n}是首项为1,公差为错误!的等差数列,故S＝9a1＋错误!×错误!＝9＋18＝27.9答案：275．等比数列｛a n｝中，a2＋a4＋…＋a20＝6，公比q＝3，则前20项和S20＝________．解析：S偶＝a2＋a4＋…＋a20，S＝a1＋a3＋…＋a19，则错误!＝q，奇所以S奇＝错误!＝错误!＝2。