12.4全等三角形应用

专题12.4 角边角判定三角形全等-重难点题型【人教版】【题型1 角边角判定三角形全等的条件】【例1】（2020秋•宜兴市期中）如图，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要根据“ASA”使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是．【分析】利用ASA定理添加条件即可．【解答】解：还需添加的条件是∠B＝∠D，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中{∠BAC=∠DAE AB=AD∠B=∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），故答案为：∠B＝∠D．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．【变式1-1】（2020秋•覃塘区期中）如图，点B ，F ，C ，E 在同一直线上，AC ＝DF ，∠1＝∠2，如果根据“ASA ”判断△ABC ≌△DEF ，那么需要补充的条件是（ ）A ．AB ＝DE B ．∠A ＝∠DC ．BF ＝CED ．∠B ＝∠D【分析】利用全等三角形的判定方法，“ASA ”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而得出答案．【解答】解：需要补充的条件是∠A ＝∠D ，在△ABC 和△DEF 中，{∠A =∠D AC =DF ∠2=∠1，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．故选：B ．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．【变式1-2】（2020秋•浦东新区期末）根据下列已知条件，能作出唯一△ABC 的是（ ）A ．AB ＝3，BC ＝4，CA ＝8B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝60° C ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4D ．∠C ＝90°，∠B ＝30°，∠A ＝60°【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：A ．∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝8，AB +BC ＜CA ，∴不能画出三角形，故本选项不合题意；B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝60°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；C ．当∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4时，根据“ASA ”可判断△ABC 的唯一性；D ．已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；故选：C ．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．【变式1-3】（2020•路南区校级月考）如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（）A．B．C．D．【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断．【解答】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，∴△BDE≌△CEF，所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键．【题型2 角边角判定三角形全等（求角的度数）】【例2】（2020秋•简阳市期中）如图，∠A＝∠D，OA＝OD，∠DOC＝50°，∠DBC的度数为（）A．50°B．30°C．45°D．25°【分析】由题中条件易证得△AOB≌△DOC，可得∠ACB＝∠DBC，由三角形外角的性质可得∠DOC＝∠ACB+∠DBC，即可得∠DBC的度数．【解答】解：∵∠A＝∠D，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC（ASA），∴∠ACB＝∠DBC，∵∠DOC＝∠ACB+∠DBC，∴∠DBC=12∠DOC＝25°．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质等知识点，找到相应等量关系的角是解题的关键．【变式2-1】（2019秋•天心区校级月考）AD，BE是△ABC的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO＝AC，则∠ABC＝．【分析】由AD、BE是锐角△ABC的高，可得∠DBA＝∠DAC，又BO＝AC，∠BDO＝∠ADC＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图1，∵AD、BE是锐角△ABC的高，∴∠AEO＝∠BDO＝90°，∵∠AOE＝∠BOD，∴∠DBO＝∠DAC，∵BO＝AC，∠BDO＝∠ADC＝90°∴△BDO≌△ADC（ASA），∴BD＝AD，∴∠ABC＝∠BAD＝45°，如图2，同理证得△BDO≌△ADC（ASA），∴BD＝AD，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠ABC＝135°，故答案为：45°或135°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；结合已知条件发现并利用△BDO≌△ADC是正确解答本题的关键．【变式2-2】（2021•苍南县一模）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 为对角线BD 上一点，∠A ＝∠BEC ，且AD ＝BE ．（1）求证：△ABD ≌△ECB ．（2）若∠BDC ＝70°．求∠ADB 的度数．【分析】（1）由“ASA ”可证△ABD ≌△ECB ；（2）由全等三角形的性质可得BD ＝BC ，由等腰三角形的性质可求解．【解答】证明：（1）∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBE ，在△ABD 和△ECB 中，{∠A =∠BEC AD =BE ∠ADB =∠CBE，∴△ABD ≌△ECB （ASA ）；（2）∵△ABD ≌△ECB ，∴BD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠BCD ＝70°，∴∠DBC ＝40°，∴∠ADB ＝∠CBD ＝40°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，还考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．【变式2-3】（2020秋•丛台区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 在边BC 上，连接AE ，AF ，∠BAF ＝∠CAE ，延长AF 至点D ，使AD ＝AC ，连接CD ．（1）求证：△ABE ≌△ACF ；（2）若∠ACF ＝30°，∠AEB ＝130°，求∠ADC 的度数．【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，从而可以证明结论成立；（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵∠BAF＝∠CAE，∴∠BAF﹣∠EAF＝∠CAE﹣∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，{∠B=∠ACFAB=AC∠BAE=∠CAF，∴△ABE≌△ACF（ASA）；（2）解：∵∠B＝∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，∴∠BAE＝180°﹣130°﹣30°＝20°，∵△ABE≌△ACF，∴∠CAF＝∠BAE＝20°，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠ADC=180°−20°2=80°．答：∠ADC的度数为80°．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【题型3 角边角判定三角形全等（求线段的长度）】【例3】（2021春•德城区校级月考）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】证明△MQP ≌△NQH ，由全等三角形的性质可得PQ ＝QH ＝5，根据MQ ＝NQ ＝9，即可解决问题．【解答】解：∵MQ ⊥PN ，NR ⊥PM ，∴∠NQH ＝∠NRP ＝∠HRM ＝90°，∵∠RHM ＝∠QHN ，∴∠PMH ＝∠HNQ ，在△MQP 和△NQH 中，{∠PMQ =∠QNHMQ =NQ ∠MQP =∠NQH =90°，∴△MQP ≌△NQH （ASA ），∴PQ ＝QH ＝5，∵NQ ＝MQ ＝9，∴MH ＝MQ ﹣HQ ＝9﹣5＝4，故选：B ．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．【变式3-1】（2020春•万州区期末）如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上一点，延长ED 至F ，使得DF ＝DE ，若BF ∥AC ，AC ＝4，BF ＝3，则CE 的长为（ ）A ．0.5B ．1C ．1.5D ．2【分析】证明△BDF ≌△ADE （ASA ），由全等三角形的性质得出BF ＝AE ＝3，则可得出答案．【解答】解：∵BF ∥AC ，∴∠F ＝∠AED ，在△BDF 和△ADE 中，{∠F =∠AED DF =DE ∠BDF =∠ADE，∴△BDF ≌△ADE （ASA ），∴BF ＝AE ＝3，∵AC ＝4，∴CE ＝AC ﹣AE ＝4﹣3＝1．故选：B ．【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-2】（2020春•铁西区期末）如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，FC ∥AB ，连接DF 交AC 于点E ，若CE ＝AE ，AB ＝7，CF ＝4，则BD 的长是 ．【分析】先由全等三角形的判定定理ASA 证明△AED ≌△CEF ，然后根据全等三角形的对应边相等知AD ＝CF ，从而求得BD 的长度．【解答】解：∵FC ∥AB ，∴∠A ＝∠ECF ，在△AED 和△CEF 中，{∠A =∠ECF AE =CE ∠AED =∠CEF，∴△AED ≌△CEF （ASA ），∴AD ＝CF （全等三角形的对应边相等），又∵AB ＝7，CF ＝4，AB ＝AD +BD ，∴BD ＝3．故答案为：3． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-3】（2020秋•香洲区校级期中）如图，△ABC 中，∠ABC ＝60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，AD 、CE 相交于点P ．（1）求∠APC 的度数；（2）若AE ＝4，CD ＝4，求线段AC 的长．【分析】（1）利用∠ABC ＝60°，AD 、CE 分别平分∠BAC ，∠ACB ，即可得出答案；（2）由题中条件可得△APE ≌△APF ，进而得出∠APE ＝∠APF ，通过角之间的转化可得出△CPF ≌△CPD ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ABC ＝60°，AD 、CE 分别平分∠BAC ，∠ACB ，∴∠BAC +∠BCA ＝120°，∠P AC +∠PCA =12（∠BAC +∠BCA ）＝60°，∴∠APC ＝120°．（2）如图，在AC 上截取AF ＝AE ，连接PF ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，在△APE 和△APF 中，{AE =AF ∠EAP =∠FAP AP =AP，∴△APE ≌△APF （SAS ），∴∠APE ＝∠APF ，∵∠APC ＝120°，∴∠APE ＝60°，∴∠APF ＝∠CPD ＝60°＝∠CPF ，在△CPF 和△CPD 中，{∠FPC =∠DPC CP =CP ∠FCP =∠DCP，∴△CPF ≌△CPD （ASA ）∴CF ＝CD ，∴AC ＝AF +CF ＝AE +CD ＝4+4＝8．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，根据在AC 上截取AF ＝AE 得出△APE ≌△APF 是解题关键．【题型4 角边角判定三角形全等（实际应用）】【例4】（2020秋•伊通县期末）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①去和带②去【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA 来配一块一样的玻璃．故选：A ．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．【变式4-1】（2020秋•丰南区期中）如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是 ．【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．【解答】解：小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）．故答案为：ASA．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式4-2】（2020秋•齐河县期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度．【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABP＝∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，由全等三角形的性质可得结果．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABP＝∠CDP，∵PD⊥CD，∴∠CDP＝90°，∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴PD ＝PB ，在△ABP 与△CDP 中，{∠ABP =∠CDP PB =PD ∠APB =∠CPD，∴△ABP ≌△CDP （ASA ），∴CD ＝AB ＝16米．【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．【变式4-3】（2020秋•孝义市期中）一位经历过战争的老战士讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样的办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上，接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离． 将这位战士看成一条线段，碉堡看成一点，示意图如下，你能根据示意图解释其中的道理吗下面是彤彤同学写出的不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并完成证明．已知：如图，AB ⊥CD ， ．求证： ．证明：【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：已知：如图，AB ⊥CD ，∠ABC ＝∠ABD ．求证：AD ＝AC ．证明：∵AB ⊥CD ，∴∠BAD ＝∠BAC ，在△ABD 与△ABC 中，{∠ABD =∠ABC AB =AB ∠BAC =∠BAD，∴△ABD ≌△ABC （ASA ），∴AD ＝AC ，故答案为：∠ABC ＝∠ABD ，AD ＝AC ．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．【题型5 角边角判定三角形全等（证明题）】【例5】（2020秋•涟源市期末）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，E 为边BC 上的任意点，D 为线段BE 的中点，AB ＝AE ，EF ⊥AE ，AF ∥BC ．（1）求证：∠DAE ＝∠C ；（2）求证：AF ＝BC ．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD ⊥BC ，由余角的性质可得∠C ＝∠BAD ，再证明∠BAD ＝∠DAE 即可解决问题．（2）由“ASA ”可证△ABC ≌△EAF ，可得AC ＝EF ．【解答】证明：（1）∵AB ＝AE ，D 为线段BE 的中点，∴AD ⊥BC ，（三线合一没有学习到，可以用全等证明）∴∠C +∠DAC ＝90°，∵∠BAC ＝90°∴∠BAD +∠DAC ＝90°∴∠C ＝∠BAD ，∵AB ＝AE ，AD ⊥BE ，∴∠BAD ＝∠DAE ，∴∠DAE ＝∠C（2）∵AF∥BC∴∠F AE＝∠AEB∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB∴∠B＝∠F AE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝EF【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．【变式5-1】（2020秋•汝南县期末）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，且AD＝BD．试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH＝∠DAC；（2）△BDH≌△ADC．【分析】（1）因为∠BHD＝∠AHE，∠BDH＝∠AEH＝90°，所以∠DBH+∠BHD＝∠HAE+∠AHE＝90°，故∠DBH＝∠DAC；（2）因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC，又因为AD＝BD，∠DBH＝∠DAC，故可根据ASA判定两三角形全等．【解答】解：（1）∵∠BHD＝∠AHE，∠BDH＝∠AEH＝90°∴∠DBH+∠BHD＝∠HAE+∠AHE＝90°∴∠DBH＝∠HAE∵∠HAE＝∠DAC∴∠DBH＝∠DAC；（2）∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC在△BDH 与△ADC 中，{∠ADB =∠ADC AD =BD ∠DBH =∠DAC∴△BDH ≌△ADC ．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式5-2】（2020秋•郯城县期中）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线EG 交AB 于点E ，交AB 的平行线CG 于点G ，DF ⊥EG ，交AC 于点F ．（1）求证：BE ＝CG ；（2）判断BE +CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论．【分析】（1）先利用ASA 判定△BED ≌△CGD ，从而得出BE ＝CG ；（2）先连接FG ，再利用全等的性质可得DE ＝DG ，再根据DF ⊥GE ，从而得出FG ＝EF ，依据三角形两边之和大于第三边得出BE +CF ＞EF ．【解答】解：（1）∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，∵AB ∥CG ，∴∠B ＝∠DCG ，在△BDE 和△CDG 中，∵∠BDE ＝∠CDG ，BD ＝CD ，∠DBE ＝∠DCG ，∴△BDE ≌△CDG （ASA ），∴BE ＝CG ；（2）BE+CF＞EF．理由：如图，连接FG，∵△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，又∵FD⊥EG，∴FD垂直平分EG，∴EF＝GF，又∵△CFG中，CG+CF＞GF，∴BE+CF＞EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及三角形三边关系的运用，本题中求证△BDE≌△CDG，得出BE＝CG是解题的关键．【变式5-3】（2020秋•岫岩县月考）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点G，BD＝DC，DF∥BC交AB于点F，连接FG．求证：（1）△DAB≌△DGC；（2）CG＝FB+FG．【分析】（1）由“ASA”可证△DAB≌△DGC；（2）由全等三角形的性质可得AB＝CG，DA＝DG，由“SAS”可证△DF A≌△DFG，可得F A＝FG，可得结论．【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ABD +∠A ＝90°，∠ACE +∠A ＝90°，∴∠ABD ＝∠ACE ，在△DAB 和△DGC 中，{∠ABD =∠ACE BD =CD ∠ADB =∠BDC =90°，∴△DAB ≌△DGC （ASA ）；（2）∵△DAB ≌△DGC ，∴AB ＝CG ，DA ＝DG ，∵BD ＝CD ．∠BDC ＝90°，∴∠DBC ＝∠DCB ＝45°，∵DF ∥BC ，∴∠FDA ＝∠FDG ＝45°，在△DF A 和△DFG 中，{AD =DG ∠FDA =∠FDG DF =DF，∴△DF A ≌△DFG （SAS ），∴F A ＝FG ．∴CG ＝AB ＝FB +F A ＝FB +FG ．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，找到正确的全等三角形是本题的关键．【题型6 角边角判定三角形全等（探究题）】【例6】（2020春•崂山区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°点D 在BC 的延长线上，且BD ＝AB ．过点B 作BE ⊥AC ，与BD 的垂线DE 交于点E ．（1）求证：△ABC ≌△BDE ；（2）请找出线段AB 、DE 、CD 之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用已知得出∠A＝∠DBE，进而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBE+∠ABE＝90°，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，{∠A=∠DBEBD=AB∠ABC=∠BDE=90°，∴△ABC≌△BDE（ASA）；（2）解：AB＝DE+CD，理由：由（1）证得，△ABC≌△BDE，∴AB＝BD，BC＝DE，∵BD＝CD+BC，∴AB＝CD+DE．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式6-1】（2021春•黄浦区期末）如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2．（1）说明△ADE≌△BFE的理由；（2）联结EG，那么EG与DF的位置关系是，请说明理由．【分析】（1）由AD ∥BC ，得出∠1＝∠F ，因为E 是AB 的中点，得AE ＝BE ，即可证明△ADE ≌△BFE ；【解答】解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠1＝∠F ，∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ，在△ADE 和△BFE 中，{∠1=∠F ∠AED =∠BEF AE =BE，∴△ADE ≌△BFE （ASA ），（2）如图，EG ⊥DF ，∵∠1＝∠F ，∠1＝∠2，∴∠2＝∠F ，∴DG ＝FG ，由（1）知：△ADE ≌△BFE ，∴DE ＝EF ，∴EG ⊥DF ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的三线合一等知识，找出全等所需的条件是解题的关键．【变式6-2】（2020春•文圣区期末）已知：如图，BD 、CE 是△ABC 的高，BD 、CE 交于点F ，BD ＝CD ，CE 平分∠ACB ．（1）如图1，试说明BE =12CF ．（2）如图2，若点M 在边BC 上（不与点B 重合），MN ⊥AB 于点N ，交BD 于点G ，请直接写出BN 与MG 的数量关系，并画出能够说明该结论成立的辅助线，不必书写过程．【分析】（1）由“ASA ”可证△ABD ≌△FCD ，可得AB ＝CF ，由“ASA ”可证△ACE ≌△BCE ，可得AE ＝BE ，可得结论；（2）如图，过点M 作MH ∥AC ，交AB 于H ，交BD 于P ，由“ASA ”可证BPH ≌△MPG ，可得GM ＝BH ，由“ASA ”可证△BMN ≌△HMN ，可得BN ＝NH ，可得结论．【解答】解：（1）∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠BDC ＝∠AEC ＝90°，∴∠A +∠ABD ＝90°，∠A +∠ACE ＝90°，∴∠ABD ＝∠ACE ，在△ABD 和△FCD 中，{∠ADB =∠FDC BD =CD ∠ABD =∠FCD，∴△ABD ≌△FCD （ASA ），∴AB ＝CF ，∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACE ＝∠BCE ＝22.5°，在△ACE 和△BCE 中，{∠ACE =∠BCE CE =CE ∠AEC =∠BEC，∴△ACE ≌△BCE （ASA ），∴AE ＝BE ，∴BE =12AB =12CF ；理由如下：如图，过点M 作MH ∥AC ，交AB 于H ，交BD 于P ，∵BD ＝CD ，BD ⊥CD ，∴∠DBC ＝∠DCB ＝45°，∵MH ∥AC ，∴∠PMB ＝∠DCB ＝∠PBM ＝45°，∠BPM ＝∠BDC ＝90°，∴BP ＝PM ，∵∠BHP +∠HBP ＝90°，∠BHP +∠HMN ＝90°，∴∠HBP ＝∠HMN ，在△BHP 和△MGP 中，{∠HBP =∠GMP BP =PM ∠BPH =∠GPM =90°，∴△BPH ≌△MPG （ASA ），∴GM ＝BH ，∵MN ⊥AB ，CE ⊥AB ，∴MN ∥CE ，∴∠BMN ＝∠BCE =12∠ACB ＝22.5°，∴∠BMN ＝∠HMN ＝22.5°，在△BMN 和△HMN 中，{∠BMN =∠HMN MN =MN ∠BNM =∠HNM，∴△BMN ≌△HMN （ASA ）∴BN ＝NH ，【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．【变式6-3】（2020春•揭阳期末）已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC＝180°；（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；（3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED．【分析】（1）根据余角的性质得到∠DEC＝∠BAC，由于∠DEC+∠BEC＝180°，即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，于是得到结论；（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，由∠BAC＝60°，得到∠BEC＝90°+12∠BAC＝120°，求得∠FEB＝∠DEC＝60°，根据角平分线的性质得到∠BEM＝60°，推出△FBE≌△EBM，根据全等三角形的性质得到EF＝EM，同理DE＝EM，即可得到结论．【解答】解：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，∴∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠F AC＝90°，∴∠DEC＝∠BAC，∠DEC+∠BEC＝180°，∴∠BAC+∠BEC＝180°；（2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠BAC）＝90°+12∠BAC；（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，∵∠BAC ＝60°，∴∠BEC ＝90°+12∠BAC ＝120°，∴∠FEB ＝∠DEC ＝60°，∵EM 平分∠BEC ，∴∠BEM ＝60°，在△FBE 与△EBM 中，{∠FBE =∠EBMBE =BE ∠FEB =∠MEB，∴△FBE ≌△EBM （ASA ），∴EF ＝EM ，同理DE ＝EM ，∴EF ＝DE ．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。

经典例题透析类型一：三角形全等的应用1. 如图：BE、CF相交于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且DE=DF。

求证：AB=AC。

思路点拨：挖掘并合理运用隐含条件：(1)隐含相等的线段：公共边、线段的和(或差)；（2）隐含相等的角：公共角、对顶角、角的和或差。

解析：∵DE⊥AC，DF⊥AB∴∠DFB=∠DEC=90°（垂直的定义）在△BDF和△CDE中∴△BDF≌△CDE（ASA）∴BD=CD（全等三角形对应边相等）又DE=DF∴BE=CF在△ABE和△ACF中∴△ABE≌△ACF（AAS）∴AB=AC（全等三角形对应边相等）总结升华：复杂题目都是由简单题目组合而成，所以要特别注意简单典型题目的解题思想以及图形特点。

举一反三：【变式1】如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。

求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

解析：∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠AEB=∠AFC=90°（垂直的定义）∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠1=∠2在△ABM和△NCA中∴△ABM≌△NCA（SAS）∴AM=AN，∠3=∠N（全等三角形对应边、对应角相等）在Rt△AFN中：∠4+ ∠N=90 °（直角三角形两个锐角互余）∴∠3+ ∠4=90 °∴AM⊥AN（垂直的定义）【变式2】如图：∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC ，∠ABE=∠CBE，求证：BD=2EC。

解析：延长BA、CE相交于点F∵CE⊥BE∴∠BEF=∠BEC=90°（垂直的定义）在△BEC和△BEF中∴△BEC≌△BEF（ASA）∴CE=EF（全等三角形对应边相等）即FC=2CE∵CA⊥BA∴∠BAC=∠FAC=90°（垂直的定义）在Rt△ABD和Rt△BEF中∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠F=90°（直角三角形两个锐角互余）∴∠ADB=∠F在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD=FC（全等三角形对应边相等）∴BD=2EC类型二：构造全等三角形2．如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明。

全等三角形在生活中的应用在全等图形中，全等三角形是最基本，应用最广泛的一类图形，利用全等三角形的有关知识，不仅可以帮助我们进行决策，还可以帮助我们制作一些仪器，现举例说明这个问题，供同学们学习时参考．一、仪器我也会做例1 如图1是小亮做的一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明其中的道理吗？分析：由已知条件易得△ABC 和△ADC 全等，由全等三角形的对应角相等，可知∠BAC=∠DAC ，即AE 是角平分线．解：已知AB=AD ，BC=DC ，又因为AC 是公共边，所以△ABC ≌△ADC ，所以∠BAC=∠DAC ．所以AE 是角平分线．评析：利用三角形全等的知识，常常可以说明两个角相等的问题．二、巧测内口直径例2 小红家有一个小口瓶（如图2所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少．你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）分析：只要量出AB 的长，就知道内径是多少？显然只需要说明AB 和CD 相等就行． 解：连结AB ，CD ，因为AO=DO ，BO=CO ， 图 1 图2又因为∠AOB=∠DOC，所以△ABO≌△DCO（SAS）．所以AB=CD，也就是AB的长等于内径CD的长．评析：利用三角形全等的知识，可以说明线段长相等的问题．三、距离相等的解释例3 如图3，从小丽家（C处）到学校A和菜市场B的夹角∠C是锐角，又知道从小丽家到学校、菜市场的距离相等，小丽说学校到路段BC的距离AD与菜市场到路段AC的距离BE相等，你认为她说的有道理吗？请说明理由．分析：只要能说明AD与BE相等，就说明她说的有道理．解：小丽说的有道理，理由如下：图3 已知AC=BC，因为∠ADC=∠BEC=90°，又因为∠C是公共角，所以△ACD≌△BCE，所以AD=BE．即学校到路段BC的距离与菜市场到路段AC的距离相等．你还知道全等三角形有哪些应用，说出来和同学们交流交流！应把握的两种模型利用三角形全等测距离，主要有以下两种模型：一、视线模型当需要测量距离的两个点中有一个点无法接近时，常采用这种方法. 视线法简便易行，但有一定的误差，一般在仅适应于目测的情况下使用. 如：例1如图1所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐，正好落在碉堡的底部，然后转过一个角度，身体保持刚才的姿势，使视线落在我军一岸的某一点上，接着他用步测法测出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡之间的距离.你能解释其中的道理吗？解：这个战士实际上是运用了全等三角形的知识. 要说明其中的道理，首先要根据实际情景建立数学模型，将情景中示意图抽象为几何图形.如图2所示，我军阵地与敌军碉堡之间的距离无法测量，即AC不可测量，但线段FD的长度可以测得，又因为战士与地面是垂直的，也就是∠BCA＝∠EFD＝90°，另外战士的身高与姿态是不变的，所以BC＝EF，∠ABC＝∠FED.依据“SAS”可知△ABC≌△DEF，所以AC＝FD.所以只要测得FD的距离，就可得到AC的距离.这就是“视线法”的基本模型与解题原理.二、构图模型当需要测量距离的两点均可到达，但两点之间不能通过直接测得距离时，可通过构造两个全等的三角形，进行间接的测量.构图法间接测量的结果比较准确.如：例2如图3所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量这两点之间的距离，但绳子不够长，老师为他出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B 两点的点C，连接AC并延长到点D，使DC＝AC；连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE并测出它的长度，DE的长度就是A，B之间的距离.你能说明其中的道理吗？解：池塘两端的A点和B点不好直接测量，取一个可以直接到达A，B两点的点C，连接AC并延长的D，使DC＝AC；连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，这样在△ABC 与△DEC中，有CA＝CD，CB＝CE，且∠ACB＝∠ECD，则依据“SAS”可得△ABC≌△DEC，从而DE＝AB，因为DE是可直接测得的，这样即可得到AB的距离.这就是“构图法”的基本模型与解题原理.。

全等三角形在实际生活中的应用2012-06-05 20:33:53| 分类：默认分类|字号订阅在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决。

下面，我们举例谈谈全等三角形在实际生活中的应用。

例1（教材151页）、有一池塘，要测池塘两端A、B间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB，连结DE，量出DE的长，这个长就是A、B之间的距离。

（1）按题中要求画图。

（2）说明DE=AB的理由，并试着把说明的过程写出来。

解：（1）如图1。

（2）因为在△ABC和△DEC中，所以△ABC≌△DEC所以DE=AB例2、如图2，某同学把一块三角形的玻璃摔成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去。

析解：怎样做一个三角形与已知三角形全等，可以依据全等三角形的判定方法进行具体分析，题目中的一块三角形的玻璃被摔成三块，其中①仅留一个角，仅凭一个角无法做出全等三角形；而②没边没角；③存在两角和夹边，于是根据“ASA”不难做出与原三角形全等的三角形。

故应选C。

例3、如图3、小红和小亮两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案。

分析：本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，就可求出两家的距离。

方案：如图3，在点B所在的河岸上取点C，连结BC并延长到D，使CD=CB，利用测角仪器使得∠B=∠D，A、C、E三点在同一直线上。

测量出DE的长，就是AB的长。

因为∠B=∠D，CD=CB，∠ACB=∠ECD，所以△ACB≌△ECD所以AB=DE。

例4、如图4，点C是路段AB的中点，两人从C点同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到过D、E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E到路段AB的距离相等吗？为什么？分析：因为两人是以相同的速度从点C同时出发，且同时到达D、E两点，所以CD=CE。

教学设计概述学科数学学习内容12.4全等三角形（2）班级初二年级（1）班学习时间版本北京版学习课时1教学目标知识技能会找一对全等三角形所拼成的常见图形的对应顶点、对应边、对应角；初步证明线段相等．过程方法通过平移、旋转、翻折等方法动手拼图，提高动手操作能力；分类研究不同的拼图过程形成的不同图形，进行分类讨论；观察图形中全等三角形所发生变化，提高问题转化能力和图形辨别能力．情感态度价值观在动手操作过程中通过图形变动，提高学习数学的兴趣，增加学习自信；探究中提高合作意识，提升发散思维水平．教学分析学情分析学生在掌握三角形六个元素基础上，初步学习了全等形的概念，这是学习这节课的知识基础；学生通过小学学习已经初步学习了图形的平移、翻折、旋转，这是本节课进行探究学习的方法基础；但是学生对于全等三角形经过这些变化形成的图形没有一个系统的认知．中学生处在由形象思维到抽象思维的过渡期，有一定的抽象思维能力和空间想象能力，这是学生学习这节课的思维基础；但是学生处于初二年级，抽象思维能力不足，需要结合实际操作中进行总结归纳．本班学生动手能力强、思维活跃，有一定的总结归纳能力，这是本节课学习的学生基础．重难点重点：通过图形变换找全等三角形对应边、对应角难点：在图形变换中找准对应顶点、对应角、对应边教学方法及手段方法：动手操作法、观察法、合作探究法、归纳总结法手段：多媒体展示以及学案应用与实际模型相结合板书设计全等三角形提升题对应边符号语言对应角教师活动学生活动设计意图教学过程课前作业1.每人按照要求准备5对各边长均在3cm-5cm之间的全等三角形（各组分别准备：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形），每对图形均标明△ABC与△'''ABC，且正反面都描出边线、标明字母．2.将每组△ABC与△'''ABC拼图，在课下尝试将拼出图形贴于作业纸上，补充隐藏线段．3.自备剪刀、双面胶．活动一：小组探究观察讨论所拼图形异同交流：如何由一组重合的全等三角形拼得手中图形；分类：按不同拼图过程分类，将小组成员所得图形分类汇总于同一作业纸，标号．活动二：合作探究每组交流展示，形成整体认知按照要求准备好物品，并在上课之前带到教室．为保证准备的三角形为全等三角形，我们在两张重叠的纸张中剪出重合的三角形，因此讨论怎样由重合的三角形拼得手中图形组内讨论区分识别不同的形状，初步尝试从图形变化方面去识别异同．分组展示能够体会：1．拼图方法相同时，不同形状的三角形拼得图形大致相同，但也有一定的特殊性；2．同一个图形，可以由重合的全等三角形经过不同的方式拼得；3．虽然过程有所不同，但所得图形均可以由重合的一组全等三角形中其中一个经过若干平移、翻折、旋转变化得到．自己先进行拼图，为课上合作研究做好准备为本节课自己动手探究做好准备组内初步讨论归类归纳按照不同的拼图方法形成的图形；展示观察拼图过程相同情况下，全等三角形形状不同，结果有哪些变化学生理解阐述图形变化过程，总结出常见的三种变化，并按照图形形成所需变化过程进行分类平移、翻折、旋转复杂图形全等三角形教学过程活动三：归类探究（课堂效果决定图形分类）一对全等的三角形经过变化得到了如下的常见图形：平移：翻折：图3 图4 图5图6 图7 图8旋转：图9 图10图11 图12翻折+平移旋转+平移翻折+旋转图13 图14归纳：一组全等三角形拼成的图形均可由重合经过平移、翻折、旋转得到；常见的变化解释：如平移幅度不同如横向、竖向翻折，沿着不同线的翻折如旋转不同的角度沿着不同的点旋转如：可能需要两步出来的结果；分类整理初步归纳归类不同小组按照同样的思路展示阶段总结学会分类讨论的数学方法理解这些全等三角形都可以看作是一个三角形通过平移、翻折、旋转得到，通过识别图形中全等三角形所发生变化、还原全等三角形重合过程中识别其对应定点、对应边、对应角．合作探究归纳基本的全等图形．展示形成的图形．阶段总结图1 图2C'B'A'AB CA'AB CB'A'ABC C'B'AB CA'AB CC'B'A'AB CB'AB CB'C'A'BACC'A'ABCA'C'B CAA'C'BCAA'C'BCAC'A'BCAC'A'B CA大多数可归结为翻折，具体是否设置此类由课堂效果来定夺教学过程活动四：应用探究1.如图15，将△ABC平移至△DEF，那么△ABC≌_____________；由此可得：BC=_____,∠B=________2.如图16，将△ABC沿AC翻折至△ADC，那么△ABC≌_____________；指出对应顶点____，对应边____和对应角_____．3.如图17，将△ABD绕BD中点O旋转至△CDB，那么△ABD≌_____________；指出对应顶点____，对应边____和对应角_____．4.如图18，将△ABC变换至△DEF，那么△ABC≌_____________；因此有：AB=_______；EF=________；∠ABC=__________．5.如图17，将△ABC变换至△DEF，那么△ABC≌_____________；因此有：AB=_______；EF=________；EB=___________；∠A=_______；∠ABC=__________；∠ABE=__________．图15 图16 图17图18 图19活动五：探究提升教师演示画图：△ABC经过翻折得到△DBC，AC与BD交点为O ；问题1：△ABC经过____变换得到△DBC；△ABC≌________；另有________≌_________；问题2：将上图中点A、点D连结得到右图，图中你还能找到哪几组全等三角形？问题3：AC=BD可由哪几组三角形全等得到？写出符号语言知道应用格式快速回答阶段总结找出全等三角形直接通过证明两个三角形全等证明线段相等、或证明出AO=DO，BO=CO后相加识别全等形的变化方式、对应角、对应边．体会应用应用练习体会同一图形中可以有多个全等三角形，应用多组三角形全等证明线段相等．BEDFACCDBAE FDAB CDCBOAODBACODBACDFEB CA活动六：小结一组全等三角形拼成的图形均由重合经过平移、翻折、旋转得到；利用三角形全等可以证明线段相等、角相等；以学生总结为主活动七：课后作业1. 观察小组拼得的各个图形，思考哪些图形含△ABC≌△'''A B C以外的全等三角形？2.某小组用一组全等三角形拼得右图，当全等三角形类型发生改变时，图形会发生哪些变化？归纳总结作业与反思总结提升同一图形中有多对全等三角形．以后所学特殊四边形可以由全等三角形旋转而成．教学心得12.4全等三角形姓名_________ 类型名称：____________________________________________________________________贴图类型名称：____________________________________________________________________贴图类型名称：____________________________________________________________________贴图类型名称：____________________________________________________________________贴图类型名称：____________________________________________________________________ ……12.4全等三角形姓名_________二、应用探究1.如图，将△ABC 平移至△DEF ，那么△ABC ≌_____________；BC=_____,∠B=________．2.如图，将△ABC 沿AC 翻折至△ADC ，那么△ABC ≌________；对应边_____________、_________________、_________________；对应角____________、_________________、_________________．3.如图，将△ABD 绕BD 中点O 旋转至△CDB ，那么△ABD ≌_____________；对应边_____________、_______________、_________________；对应角____________、_________________、_________________．4.如图，将△ABC 变换至△DEF ，那么△ABC ≌_____________；AB=_______；EF=________；∠ABC=__________．5.如图，将△ABC 变换至△DEF ，那么△ABC ≌___________；因此有：AB=_______；EF=________；EB=___________；∠A=_______；∠ABC=__________；∠ABE=__________．三、探究提升观察教师展示右图形成过程回答下列问题：问题1：过程中△ABC 经过_____________变换得到△DBC ；△ABC ≌___________；另有___________≌______________ 问题2：将上图中点A 、点D 连结得到右图，图中你还能找到哪几组全等三角形？问题3：AC=BD 可由哪几组三角形全等得到？E FDAB C CDBADCBOAB EDFACODBA CODBA CD FEBCA。

全等三角形在初中及应用全等三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学的研究和实际应用中都有广泛的应用。

全等三角形指的是两个三角形的所有对应边和对应角都相等。

当两个三角形全等时，我们可以说它们形状完全相同，只是大小和位置可能不同。

在初中数学中，我们学习了一些判断三角形全等的方法。

一种常用的判断方法是SAS判定法。

SAS判定法是指当两个三角形的某两边分别相等，且它们的夹角也相等时，就可以判断这两个三角形是全等的。

另一种常用的判断方法是SSS判定法。

SSS判定法是指当两个三角形的三条边分别相等时，就可以判断这两个三角形是全等的。

通过学习全等三角形的判定方法，我们可以解决一些与全等三角形有关的问题。

比如，当我们知道两个三角形的某些边或角相等时，我们可以利用全等三角形的性质，求解其他未知边或角的值。

另外，在几何学的研究中，全等三角形也有许多重要的性质和定理。

比如，对于全等三角形来说，它们的对应角一定相等，对应边也一定成比例。

这些性质使得全等三角形在几何证明中有着重要的地位。

除了在数学中的理论研究，全等三角形在实际应用中也有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，我们经常需要根据给定的尺寸比例来设计建筑物。

这时，我们可以利用全等三角形的性质，通过测量几何图形的一些已知边和角，来确定其他未知边和角的值。

此外，在地理测量中，我们经常需要测量地球上的距离和角度。

利用全等三角形的概念，我们可以通过测量已知长度的地面距离、高度或角度，来计算未知长度的地面距离、高度或角度。

全等三角形在实际应用中的一个重要用途是测量不可达的物体的高度。

例如，当我们需要测量一个高楼大厦的高度时，由于无法直接测量，我们可以利用全等三角形的性质，通过测量大厦底部和顶部的距离以及观察者与大厦的角度，来计算出大厦的高度。

此外，在计算机图形学和计算机视觉领域，全等三角形也有广泛的应用。

例如，在三维模型的渲染过程中，我们需要根据模型的表面纹理信息来计算光照效果。