八年级数学 全等三角形在生活中的应用举例

三角形全等的简单应用【学习目标】1．感受三角形全等在生活中的应用；2．能够用三角形全等解决一些实际问题及运动型问题．【典型例题】一．生活中的应用例题1．如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离．（1）请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；（2）如果小刚一步大约60厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离．小河北BA例题2如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．DB二．运动型问题中的应用例题3 如图，AB ＝6cm ，AC ＝BD ＝4cm ．∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ）．设点Q 的运动速度为x cm/s ，若使得△ACP 与△BPQ 全等，则x 的值为 ．QPDCBA三．全等应用的几个重要模型 (1)中线型例题4 （1）阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8．求AC 边上的中线BD 的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD 至E 使DE ＝BD ，连结CE.利用全等将边AB 转化到CE ，在△BCE 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD 的取值范围是 ．（2）问题解决：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在BC 边上，若DM ⊥DN ．求证：AM +CN ＞MN ．图1E DCBA图2N M D CBA(2)角平分线型例题5 如图，已知OC 平分∠AOB ，点E 、F 分别在边OA 、OB 上，且EC =FC ．若∠AOB =60°，求∠ECF 的度数；OF E CBA(3)K 型全等例题6王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．变式：如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD 上，转轴B 到地面的距离BD ＝3m ．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A 时，测得点A 到BD 的距离AC ＝2m ，点A 到地面的距离AE ＝1.8m ；当他从A 处摆动到A ′处时，有A 'B ⊥AB ． （1）求A ′到BD 的距离； （2）求A ′到地面的距离．A '地面ED CB A32HF 1A '地面EDC BA拓展提升：例题7（1）如图1：在四边形ABC 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并证明． （提示：延长CD 到G ，使得DG ＝BE ）（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；图１GDFECBA图2DFE CBAO图3N FEB A（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西20°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．（可利用（2）的结论）【课后练习】 一、选择题1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC 由此作法便可得△NOC ≌△MOC ，其依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS2．某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是（）A．1B．2C．3D．43．如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且都与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处．如果小强同学站在平安路与新兴大街交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为（）A．300m B．400m C．500m D．700m二、填空题4．如图所示，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌OA'B'的理由是．5. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是90cm．6．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8厘米，如果动点P 在线段AB 上以2厘米/秒的速度由A 点向B 点运动，同时动点Q 在以1厘米/秒的速度线段BC 上由C 点向B 点运动，当点P 到达B 点时整个运动过程停止．设运动时间为t 秒，当AQ ⊥DP 时，t 的值为 秒．QP DCBA三、解答题7．为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC ＝38°，测楼顶A 视线P A 与地面夹角∠APB ＝52°，量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB ＝33米，计算楼高AB 是多少米？P D B8．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B 点，选对岸正对的一棵树A ； ②沿河岸直走20m 有一树C ，继续前行20m 到达D 处；③从D 处沿河岸垂直的方向行走，当到达A 树正好被C 树遮挡住的E 处停止行走；④测得DE 的长为5米． 求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．9．如图，点C 、E 分别在直线AB 、DF 上，小华想知道∠ACE 和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF ，再找出CF 的中点O ，然后连结EO 并延长EO 和直线AB 相交于点B ，经过测量，他发现EO ＝BO ，因此他得出结论：∠ACE 和∠DEC 互补，而且他还发现BC ＝EF ．小华的想法对吗？为什么？OFED C BA10．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形． （1）若固定三根木条AB ，BC ，AD 不动，AB ＝AD ＝2cm ，BC ＝5cm ，如图，量得第四根木条CD ＝5cm ，判断此时∠B 与∠D 是否相等，并说明理由． （2）若固定一根木条AB 不动，AB ＝2cm ，量得木条CD ＝5cm ，如果木条AD ，BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上；当点C 移到AB 的延长线上时，点A 、C 、D 能构成周长为30cm 的三角形，求出木条AD ，BC 的长度．DCBA【典型例题】一．生活中的应用例题1．如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离．（1）请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；（2）如果小刚一步大约60厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离．小河北BA【解答】解：（1）根据题意画出图形，如图所示．ED C（2）由题可知∠BAC＝∠EDC＝90°，60cm＝0.6m，AC＝20×0.6＝12m，DC＝20×0.6＝12m，DE＝100×0.6＝60m，∵点E、C、B在一条直线上，∴∠DCE＝∠ACB．在△ABC 和△DEC 中，＝＝＝BAC EDC AC DCDCE ACB ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABC ≌△DEC ， ∴AB ＝DE ． ∵DE ＝60m ， ∴AB ＝60m ，答：A 、B 两根电线杆之间的距离大约为60m ．例题2如图，两根长12m 的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．B【解答】解：用卷尺测量出BD 、CD ，看它们是否相等，若BD ＝CD ，则AD ⊥BC ．理由如下：∵在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）， ∴∠ADB ＝∠ADC ，又∵∠ADB +∠ADC ＝180°，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°， 即AD ⊥BC ．二．运动型问题中的应用例题3 如图，AB ＝6cm ，AC ＝BD ＝4cm ．∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ）．设点Q 的运动速度为x cm/s ，若使得△ACP 与△BPQ 全等，则x 的值为 ．QPDCBA【解答】解：当△ACP ≌△BPQ ， ∴AP ＝BQ ， ∵运动时间相同，∴P ，Q 的运动速度也相同， ∴x ＝2（s ）．当△ACP ≌△BQP 时， AC ＝BQ ＝4，P A ＝PB ， ∴t ＝1.5， ∴x ＝41.5＝83（s ） ∴综上所述，x 的值为2或83s ．三．全等应用的几个重要模型 (1)中线型例题4 （1）阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8．求AC 边上的中线BD 的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD 至E 使DE ＝BD ，连结CE.利用全等将边AB 转化到CE ，在△BCE 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD 的取值范围是 ．（2）问题解决：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在BC 边上，若DM ⊥DN ．求证：AM +CN ＞MN ．图1E DCBA图2N M D CB A【解答】（1）解：∵BD 是AC 边上的中线， ∴AD ＝CD ，在△ABD 和△CED 中，＝ADB CD AD CD BD ED E =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ABD ≌△CED （SAS ）， ∴CE ＝AB ＝10，在△CBE 中，由三角形的三边关系得：CE －BC ＜BE ＜CE －BC ， ∴10－8＜BE ＜10+8，即2＜BE ＜18， ∴1＜BD ＜9；故答案为：SAS ；1＜BD ＜9；（2）证明：延长ND 至点F ，使FD ＝ND ，连接AF 、MF ， 同（1）得：△AFD ≌△CND （SAS ）， ∴AF ＝CN ，FD ＝ND ， ∵DM ⊥DN ，∴MDN MDF ∠=∠＝90° 在△MDN 和△MDF 中，MD MD MDN MDF DN DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MDN ≌△MDF ∴MF ＝MN ，在△AFM 中，由三角形的三边关系得：AM +AF ＞MF ， ∴AM +CN ＞MNF图2N M DCBA(2)角平分线型例题5 如图，已知OC 平分∠AOB ，点E 、F 分别在边OA 、OB 上，且EC =FC ．若∠AOB =60°，求∠ECF 的度数；OF E CBA解：过点C 作CM ⊥OB ，CN ⊥OA ，∵CM ⊥OB ，CN ⊥OA ， ∴CNO CMO ∠=∠ ∵OC 平分∠AOB ， ∴AOC BOC ∠=∠ 在△NOC 和△MOC 中，CNO CMO NOC MOC OC OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△NOC ≌△MOC ∴CN =CM ，在Rt △ECN 和Rt △FCM 中CN CMCE CF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ECN ≌Rt △FCM ， ∴∠NCE =∠MCF ，∴∠AOB +∠ECF =∠AOB +∠NCM =180°， ∵∠AOB =60°， ∴∠ECF =120°；N M OF E CBA(3)K 型全等例题6王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【解答】解：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠DAC ， 在△ADC 和△CEB 中，ADC CEB DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；由题意得：AD ＝EC ＝6cm ，DC ＝BE ＝14cm ， ∴DE ＝DC +CE ＝20（cm ）， 答：两堵木墙之间的距离为20cm ．变式：如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD 上，转轴B 到地面的距离BD ＝3m ．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A 时，测得点A 到BD 的距离AC ＝2m ，点A 到地面的距离AE ＝1.8m ；当他从A 处摆动到A ′处时，有A 'B ⊥AB ． （1）求A ′到BD 的距离； （2）求A ′到地面的距离．A '地面EDCB A32HF 1A '地面EDC BA解：（1）作A 'F ⊥BD ，垂足为F ． ∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠A 'FB ＝90°； 在Rt △A 'FB 中，∠1+∠3＝90°； 又∵A 'B ⊥AB ，∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3；在△ACB 和△BF A '中，23ACB A FB AB A B '∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪'=⎩∴△ACB ≌△BF A '（AAS ）； ∴A 'F ＝BC∵AC ∥DE 且CD ⊥AC ，AE ⊥DE ， ∴CD ＝AE ＝1.8；∴BC ＝BD －CD ＝3－1.8＝1.2， ∴A 'F ＝1.2，即A '到BD 的距离是1.2m ． （2）由（1）知：△ACB ≌△BF A ' ∴BF ＝AC ＝2m ， 作A 'H ⊥DE ，垂足为H ． ∵A 'F ∥DE ， ∴A 'H ＝FD ，∴A 'H ＝BD －BF ＝3－2＝1，即A '到地面的距离是1m ．拓展提升：例题7（1）如图1：在四边形ABC 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并证明． （提示：延长CD 到G ，使得DG ＝BE ） （2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；图１GDFECBA图2DFE CBAO图3N FEB A（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西20°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．（可利用（2）的结论） 【解答】解：（1）EF ＝BE +DF ； 证明：如图1，延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ， 在△ABE 和△ADG 中，＝B ADG DG BE AB AD =⎧∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF ＝12 ∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ，在△AEF 和△AGF 中，＝EAF GA AE AG AF AF F =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ；（2）EF ＝BE +DF 仍然成立．证明：延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ， ∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°， ∴∠B ＝∠ADG ， 在△ABE 和△ADG 中，＝B ADG DG BE AB AD =⎧∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF ＝12 ∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ，在△AEF 和△AGF 中，＝EAF GA AE AG AF AF F =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ， ∵∠AOB ＝20°+90°+（90°－60°）＝140°， ∠EOF ＝70°， ∴∠EOF ＝12 ∠AOB ， 又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°－20°）+（60°+50°）＝180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF ＝1×（60+80）＝140（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离是140海里．图2GDFECBAO图3N FECB A【课后练习】 一、选择题1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC 由此作法便可得△NOC ≌△MOC ，其依据是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：∵在△ONC和△OMC中ON OM CO CO NC MC=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．2．某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：因为第2块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第2块．故选：B．3．如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且都与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处．如果小强同学站在平安路与新兴大街交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为（）A ．300mB ．400mC ．500mD ．700m【解答】解：如图所示，设老街与平安路的交点为C ．∵BC ∥AD ，∴∠DAE ＝∠ACB ，又∵BC ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴∠ABC ＝∠DEA ＝90°，在△ABC 和△DEA 中ACB DAE CBA AED AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEA （AAS ），∴EA ＝BC ＝300m ，AC ＝AD ＝500m ，∴CE ＝AC －AE ＝200m ，从B 到E 有两种走法：①BA +AE ＝700m ；②BC +CE ＝500m ，∴最近的路程是500m ．故选：C ．二、填空题4．如图所示，将两根钢条AA ′、BB ′的中点O 连在一起，使AA ′、BB ′可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，则A 'B '的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌OA 'B '的理由是 SAS ．【解答】解：∵OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）所以理由是SAS．5. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是90cm．【解答】解：在△OCF与△ODG中，OCF ODGCOF DOGOF OG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCF≌△ODG（AAS），∴CF＝DG＝40，∴小明离地面的高度是50+40＝90，故答案为：90．6．如图，在正方形ABCD中，AB＝8厘米，如果动点P在线段AB上以2厘米/秒的速度由A点向B点运动，同时动点Q在以1厘米/秒的速度线段BC上由C点向B点运动，当点P到达B点时整个运动过程停止．设运动时间为t秒，当AQ⊥DP时，t的值为秒．Q PDCB A【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形∴AD ＝AB ，∠B ＝∠BAD ＝90°∵AQ ⊥DP∴∠QAD +∠ADP ＝90°，且∠DAQ +∠BAQ ＝90°∴∠BAQ ＝∠ADP ，在△ABQ 和△DAP 中＝＝BAQ ADP AB AD B BAD ⎧∠∠=∠∠⎪⎨⎪⎩∴△ABQ ≌△DAP （ASA ）∴AP ＝CQ∴2t ＝8－t∴t ＝83故答案为：83三、解答题7．为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC ＝38°，测楼顶A 视线P A 与地面夹角∠APB ＝52°，量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB ＝33米，计算楼高AB 是多少米？PD B【解答】解：∵∠CPD＝38°，∠APB＝52°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝52°，在△CPD和△P AB中∵CDP ABPDC PBDCP APB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CPD≌△P AB（ASA），∴DP＝AB，∵DB＝33，PB＝8，∴AB＝33－8＝25（m），答：楼高AB是25米．8．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米．求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．【解答】（1）解：河的宽度是5m ；（2）证明：由作法知，BC ＝DC ，∠ABC ＝∠EDC ＝90°，在△ABC 和△EDC 中，ABC EDC BC DCACB ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△EDC （ASA ），∴AB ＝ED ，即他们的做法是正确的．9．如图，点C 、E 分别在直线AB 、DF 上，小华想知道∠ACE 和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF ，再找出CF 的中点O ，然后连结EO 并延长EO 和直线AB 相交于点B ，经过测量，他发现EO ＝BO ，因此他得出结论：∠ACE 和∠DEC 互补，而且他还发现BC ＝EF ．小华的想法对吗？为什么？O F E D CBA解：∵O 是CF 的中点，∴CO ＝FO （中点的定义）在△COB 和△FOE 中＝COB EO CO FO EO BO F =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩，∴△COB ≌△FOE （SAS ）∴BC ＝EF （对应边相等）∠BCO ＝∠F （对应角相等）∴AB ∥DF （内错角相等，两直线平行）∴∠ACE 和∠DEC 互补（两直线平行，同旁内角互补），10．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．（1）若固定三根木条AB ，BC ，AD 不动，AB ＝AD ＝2cm ，BC ＝5cm ，如图，量得第四根木条CD ＝5cm ，判断此时∠B 与∠D 是否相等，并说明理由．（2）若固定一根木条AB 不动，AB ＝2cm ，量得木条CD ＝5cm ，如果木条AD ，BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上；当点C 移到AB 的延长线上时，点A 、C 、D 能构成周长为30cm 的三角形，求出木条AD ，BC 的长度．D CBA解：（1）相等．理由：连接AC ，在△ACD 和△ACB 中，∵AC AC AD AB CD BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△ACB （SSS ），∴∠B ＝∠D ；D CBA（2）设AD ＝x ，BC ＝y ， 由题意点C 在点D 右侧，可得25(2)530x y x y +=+⎧⎨+++=⎩， 解得1310x y =⎧⎨=⎩；∴AD ＝13cm ，BC ＝10cm ．。

全等三角形在生活中的应用举例 在全等图形中，全等三角形是最基本，应用最广泛的一类图形，利用全等三角形的有关知识，不仅可以帮助我们进行决策，还可以帮助我们制作一些仪器，现举例说明这个问题，供同学们学习时参考． 一、仪器我也会做 例1　如图1是小亮做的一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明其中的道理吗？ 分析：由已知条件易得△ABC 和△ADC 全等，由全等三角形的对应角相等，可知∠BAC=∠DAC ，即AE 是角平分线． 解：已知AB=AD ，B C=DC ， 又因为AC 是公共边，所以△ABC ≌△ADC ， 所以∠BAC=∠DAC ． 所以AE 是角平分线． 评析：利用三角形全等的知识，常常可以说明两个角相等的问题． 二、巧测内口直径 例2　小红家有一个小口瓶（如图2所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了． 她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少．你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计） 分析：只要量出AB 的长，就知道内径是多少？显然只需要说明AB 和CD 相等就行 解：连结AB ，CD ， 因为AO=DO ，BO=CO， 又因为∠AOB=∠DOC， 所以△ABO≌△DCO（SAS）． 所以AB=CD，也就是AB的长等于内径CD的长． 评析：利用三角形全等的知识，可以说明线段长相等的问题． 三、距离相等的解释 例3　如图3，从小丽家（C处）到学校A和菜市场B的夹角∠C是锐角，又知道从小丽家到学校、菜市场的距离相等，小丽说学校到路段BC的距离AD与菜市场到路段AC的距离BE相等，你认为她说的有道理吗？请说明理由． 分析：只要能说明AD与BE相等，就说明她说的有道理． 解：小丽说的有道理，理由如下： 已知AC=BC， 因为∠ADC=∠BEC=90°， 又因为∠C是公共角， 所以△ACD≌△BCE， 所以AD=BE． 即学校到路段BC的距离与菜市场到路段A C的距离相等． 你还知道全等三角形有哪些应用，说出来和同学们交流交流！。

全等三角形在生活中的应用在全等图形中，全等三角形是最基本，应用最广泛的一类图形，利用全等三角形的有关知识，不仅可以帮助我们进行决策，还可以帮助我们制作一些仪器，现举例说明这个问题，供同学们学习时参考．一、仪器我也会做例1 如图1是小亮做的一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明其中的道理吗？分析：由已知条件易得△ABC 和△ADC 全等，由全等三角形的对应角相等，可知∠BAC=∠DAC ，即AE 是角平分线．解：已知AB=AD ，BC=DC ，又因为AC 是公共边，所以△ABC ≌△ADC ，所以∠BAC=∠DAC ．所以AE 是角平分线．评析：利用三角形全等的知识，常常可以说明两个角相等的问题．二、巧测内口直径例2 小红家有一个小口瓶（如图2所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少．你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）分析：只要量出AB 的长，就知道内径是多少？显然只需要说明AB 和CD 相等就行． 解：连结AB ，CD ，因为AO=DO ，BO=CO ， 图 1 图2又因为∠AOB=∠DOC，所以△ABO≌△DCO（SAS）．所以AB=CD，也就是AB的长等于内径CD的长．评析：利用三角形全等的知识，可以说明线段长相等的问题．三、距离相等的解释例3 如图3，从小丽家（C处）到学校A和菜市场B的夹角∠C是锐角，又知道从小丽家到学校、菜市场的距离相等，小丽说学校到路段BC的距离AD与菜市场到路段AC的距离BE相等，你认为她说的有道理吗？请说明理由．分析：只要能说明AD与BE相等，就说明她说的有道理．解：小丽说的有道理，理由如下：图3 已知AC=BC，因为∠ADC=∠BEC=90°，又因为∠C是公共角，所以△ACD≌△BCE，所以AD=BE．即学校到路段BC的距离与菜市场到路段AC的距离相等．你还知道全等三角形有哪些应用，说出来和同学们交流交流！应把握的两种模型利用三角形全等测距离，主要有以下两种模型：一、视线模型当需要测量距离的两个点中有一个点无法接近时，常采用这种方法. 视线法简便易行，但有一定的误差，一般在仅适应于目测的情况下使用. 如：例1如图1所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐，正好落在碉堡的底部，然后转过一个角度，身体保持刚才的姿势，使视线落在我军一岸的某一点上，接着他用步测法测出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡之间的距离.你能解释其中的道理吗？解：这个战士实际上是运用了全等三角形的知识. 要说明其中的道理，首先要根据实际情景建立数学模型，将情景中示意图抽象为几何图形.如图2所示，我军阵地与敌军碉堡之间的距离无法测量，即AC不可测量，但线段FD的长度可以测得，又因为战士与地面是垂直的，也就是∠BCA＝∠EFD＝90°，另外战士的身高与姿态是不变的，所以BC＝EF，∠ABC＝∠FED.依据“SAS”可知△ABC≌△DEF，所以AC＝FD.所以只要测得FD的距离，就可得到AC的距离.这就是“视线法”的基本模型与解题原理.二、构图模型当需要测量距离的两点均可到达，但两点之间不能通过直接测得距离时，可通过构造两个全等的三角形，进行间接的测量.构图法间接测量的结果比较准确.如：例2如图3所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量这两点之间的距离，但绳子不够长，老师为他出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B 两点的点C，连接AC并延长到点D，使DC＝AC；连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE并测出它的长度，DE的长度就是A，B之间的距离.你能说明其中的道理吗？解：池塘两端的A点和B点不好直接测量，取一个可以直接到达A，B两点的点C，连接AC并延长的D，使DC＝AC；连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，这样在△ABC 与△DEC中，有CA＝CD，CB＝CE，且∠ACB＝∠ECD，则依据“SAS”可得△ABC≌△DEC，从而DE＝AB，因为DE是可直接测得的，这样即可得到AB的距离.这就是“构图法”的基本模型与解题原理.。

全等三角形在实际生活中的应用2012-06-05 20:33:53| 分类：默认分类|字号订阅在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决。

下面，我们举例谈谈全等三角形在实际生活中的应用。

例1（教材151页）、有一池塘，要测池塘两端A、B间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB，连结DE，量出DE的长，这个长就是A、B之间的距离。

（1）按题中要求画图。

（2）说明DE=AB的理由，并试着把说明的过程写出来。

解：（1）如图1。

（2）因为在△ABC和△DEC中，所以△ABC≌△DEC所以DE=AB例2、如图2，某同学把一块三角形的玻璃摔成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去。

析解：怎样做一个三角形与已知三角形全等，可以依据全等三角形的判定方法进行具体分析，题目中的一块三角形的玻璃被摔成三块，其中①仅留一个角，仅凭一个角无法做出全等三角形；而②没边没角；③存在两角和夹边，于是根据“ASA”不难做出与原三角形全等的三角形。

故应选C。

例3、如图3、小红和小亮两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案。

分析：本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，就可求出两家的距离。

方案：如图3，在点B所在的河岸上取点C，连结BC并延长到D，使CD=CB，利用测角仪器使得∠B=∠D，A、C、E三点在同一直线上。

测量出DE的长，就是AB的长。

因为∠B=∠D，CD=CB，∠ACB=∠ECD，所以△ACB≌△ECD所以AB=DE。

例4、如图4，点C是路段AB的中点，两人从C点同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到过D、E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E到路段AB的距离相等吗？为什么？分析：因为两人是以相同的速度从点C同时出发，且同时到达D、E两点，所以CD=CE。

一、动点问题概述动点问题是数学中的一个重要概念，它涉及到物体或点在特定条件下的运动轨迹和位置变化。

在数学中，我们常常会遇到关于动点问题的题目，通过对动点的运动进行分析和建模，从而得出数学解决方案。

在八年级上册数学学习中，动点问题也是一个重要的内容，尤其是在进行三角形全等的学习中，动点问题的应用更是凸显出其重要性。

二、三角形全等的概念1. 三角形全等是指在平面解析几何中，两个三角形在形状和大小上完全相同。

当两个三角形的对应边长相等，对应角度相等时，我们就可以认为它们是全等三角形。

2. 三角形全等的性质：全等的三角形，对应边相等，对应角相等，面积相等。

三、动点问题与三角形全等的联系1. 在动点问题中，三角形全等常常被用来描述动点的运动轨迹。

一个动点在平面内作定点旋转、平移等运动时，可以利用三角形全等的性质来描述动点的位置变化。

2. 通过观察动点在三角形内的运动，我们可以将动点与三角形全等的概念进行结合，从而更深刻地理解动点问题和三角形全等。

四、动点问题三角形全等的举例分析1. 假设动点A在平面内作匀速直线运动，点B、点C分别为该平面内两个定点，且直线AB与BC共线，以BC为直线方向。

如果C到A的距离等于B到A的距离，根据三角形全等的性质，我们可以推断出△ABC与△ACB是全等三角形，即两个三角形的三边和三个角都相等。

2. 再做一个动点问题的三角形全等的举例，如果A、B、C三个点共线，并且A点到B点的距离等于B点到C点的距离。

那么，如果D是AC 上的一个任意一点，那么我们可以得出△ABD与△BCD是全等三角形。

五、动点问题三角形全等的解题方法在解决动点问题与三角形全等的题目时，我们需要遵循以下步骤：1. 观察动点在平面内的运动轨迹，分析三角形的形状和位置变化。

2. 利用三角形全等的性质，建立动点与三角形全等的关系。

3. 根据题目给出的条件和要求，构建方程或等式，求解动点问题与三角形全等。

六、动点问题三角形全等的应用举例1. 在解析几何中，我们常常会遇到这样的动点问题：一个点以一定的规律在平面内作运动，问它经过的点的轨迹是什么形状？这种问题就可以通过分析三角形全等来解决。

全等直角三角形在实际生活中的应用全等直角三角形是一种非常常见且有趣的几何形状。

它在实际生活中有许多应用，下面将介绍其中一些。

建筑设计全等直角三角形在建筑设计中经常被用来计算和确定角度、长度和比例关系。

例如，在设计一个房屋的楼顶斜坡时，建筑师可以利用全等直角三角形的性质来确定合适的斜坡角度以及相关的长度关系。

地理测量全等直角三角形被广泛应用于地理测量领域。

它们可以用来测量难以达到的地点的高度或长度。

例如，在测量一个高山的高度时，可以使用全等直角三角形的原理来计算高山的高度与测量地点的距离。

航海导航全等直角三角形在航海导航中也起着重要的作用。

通过使用全等直角三角形的特性来测量方向和角度，船舶的航向和位置可以被准确地确定。

这对于导航和航海安全至关重要。

数学教学全等直角三角形在数学教学中是一个重要的概念，它帮助学生理解几何学基本原理。

通过实际应用，学生可以更容易地理解全等直角三角形的性质，并将其应用到解决实际问题中。

工程设计除了建筑设计之外，全等直角三角形在其他工程设计领域也起着重要的作用。

例如，在电子工程中，全等直角三角形的性质可以帮助工程师计算电路元件的有效阻抗和相位差。

这对于电路的正确设计和性能优化至关重要。

总结全等直角三角形在实际生活中有许多应用。

无论是在建筑设计、地理测量、航海导航还是数学教学和工程设计中，全等直角三角形的性质都发挥着重要的作用。

了解并应用这些性质可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

全等三⾓形在实际⽣活中的应⽤全等三⾓形在实际⽣活中的应⽤三⾓形全等在解决实际问题中有⼴泛的应⽤，如测量⽆法直接测量的距离时，可根据三⾓形全等进⾏转化.有许多图形分割问题，也蕴含着全等思想.⼀、测量中的全等三⾓形例1．图1为⼈民公园中的荷花池,现要测量此荷花池两旁A 、B 两棵树间的距离(我们不能直接量得).请你根据所学知识,以卷尺和测⾓仪为测量⼯具设计⼀种测量⽅案.要求:(1)画出你设计的测量平⾯图；(2)简述测量⽅法，并写出测量的数据(长度⽤,,,c b a …表⽰；⾓度⽤,,,γβα…表⽰)；(3)根据你测量的数据,计算A 、B 两棵树间的距离.分析：此题的测量⽅法很多，这⾥⽤全等知识来解决，⽅案如图2，步骤为：（1）在地上找可以直接到达的⼀点O ，（2）在OA 的延长线上取⼀点C ，使OC=OA ；在BO 的延长线上取⼀点D ，使OD=OB ；（3）测得DC=a ，则AB=a ．点评：本题是⼀道全开放式的设计⽅案题，它的解题策略⾮常多，可以利⽤三⾓函数、三⾓形中位线定理、全等三⾓形、三⾓形相似等许多知识，本题来源于课本、来源于⽣活，可以激发学⽣“学有⽤的数学”，更激发学⽣的学习热情和创新热情以及求知欲望．例2．如图3所⽰，在⼀次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为⽤炮⽕实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量⼜没有任何测量⼯具的情况下，⼀个战⼠想出来⼀个办法，他⾯向碉堡⽅向站好，然后调整帽⼦，使视线通过帽檐，正好落在碉堡的底部，然后转过⼀个⾓度，⾝体保持刚才的姿势，使视线落在我军⼀岸的某⼀点上，接着他⽤步测法测出⾃⼰与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡之间的距 BA C D O 图2 Ａ ?Ｂ离。

你能解释其中的道理吗？解：这个战⼠实际上是运⽤了三⾓形全等的知识 . 要说明其中的道理，⾸先要根据实际情景建⽴数学模型，将情景中⽰意图抽象为⼏何图形。

如图4所⽰，我军阵地与敌军碉堡之间的距离⽆法测量，即AC不可测量，但线段FD 的长度可以测得，⼜战⼠与地⾯是垂直的，也就是∠BAC ＝∠EFD ＝900，另外战⼠的⾝⾼与姿态是不变的，所以BC ＝EF ，∠ABC ＝∠FED . 依据“SAS”可知△ABC ≌△DEF ，所以AC ＝FD . 所以只要测得FD的距离，就可得到AC 的距离 .⼆、修路中的全等三⾓形例3．如图5，有⼀块不规则⼟地ABCD ，分别被甲、⼄⼆⼈承包，⼀条公路GEFH 穿过这块⼟地，EF 左边是甲，右边是⼄，AB ∥CD.为⽅便通⾏，决定将这条公路尽量修直，但要求甲、⼄⼆⼈的⼟地⾯积不变.请你设计⼀种⽅案，解决这个问题，并说明⽅案正确的理由.分析：将公路修直并不困难，关键是要保持甲、⼄⼆⼈的⼟地⾯积不变.这⾥，我们应注意充分利⽤AB ∥CD 这⼀条件来构造全等三⾓形.解：取EF 的中点O ，连接GO 并延长交FH 于点M ，GM 就是修直后的公路.理由是：设GM 分别交AB 、CD 于点P 、Q ，由AB ∥CD ，可得∠PEO ＝∠QFO ，⼜因为EO ＝FO ，∠EOP ＝∠FOQ ，故△EOP ≌△FOQ ，所以这个⽅案能保持甲、⼄⼆⼈的⼟地⾯积不变.三、其他问题中的全等三⾓形例4．如图6，某同学把⼀块三⾓形的玻璃打碎成了三块，现在要去玻璃店配⼀块完全⼀样的玻璃，请你设计⼀个最省事的配玻璃⽅案，并说明理由.解：最省事的配玻璃⽅案是带着碎玻璃块③去玻璃店.理由是：玻璃块③含有⼀条完整的边BC 和夹BC的两个完整的⾓，根据ASA，只需将∠B和∠C的不完整的边延长相交即可，得到的三⾓形与原三⾓形全等.例5．如图7，点C是路段AB的中点，两⼈从C同时出发以相同的速度分别沿两条直线⾏⾛，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？分析：因为两⼈是从点C同时出发，且同时到达D，E两点，所以CD=CE.要说明DA与EB是否相等，则只需说明△ADC和△BEC是否全等.解：D，E与路段AB的距离相等.理由：因为点C是AB的中点，所以CA=CB，⼜CD=CE，DA⊥AB，EB⊥AB，所以Rt△ADC≌Rt△BEC（Hl）.所以DA=EB.即D，E与路段AB的距离相等.例6．如图8是⽤两根拉线固定电线杆的⽰意图，其中，两根拉线的长AB=AC，BD和DC的长相等吗？为什么？分析：因为电线杆和地⾯垂直，它和两根拉线分别构成两个直⾓三⾓形，所以通过全等三⾓形的知识解决.解:BD和DC相等.因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°,⼜AB=AC,AD=AD,所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).所以BD=DC.例7．如图9，海岛上有A，B两个观测点，点B在点A 的正东⽅，海岛C在观测点A的正北⽅，海岛D在观测点B 图7的正北⽅，从观测点A看海岛C、D的视⾓∠CAD与从观测点B看海岛C、D 的视⾓∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B 所在海岸的距离相等吗？为什么？分析：本题是⼀道和三⾓形全等有关的实际问题，要看海岛C、D到海岸AB的距离是否相等，则要看△ABC与△BAD是否全等.解：海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.理由：由已知得∠CAB=∠DBA=90°，⼜∠CAD=∠CBD，所以∠DAB=∠CBA，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠CAB=∠DBA，AB=BA，∠CBA=∠DAB，所以△ABC≌△BAD（ASA），所以CA=DB，即海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.。

三角形全等的简单应用【学习目标】1．感受三角形全等在生活中的应用；2．能够用三角形全等解决一些实际问题及运动型问题．【典型例题】一．生活中的应用例题1．如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离．（1）请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；（2）如果小刚一步大约60厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离．小河北BA例题2如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．DB二．运动型问题中的应用例题3 如图，AB ＝6cm ，AC ＝BD ＝4cm ．∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ）．设点Q 的运动速度为x cm/s ，若使得△ACP 与△BPQ 全等，则x 的值为 ．QPDCBA三．全等应用的几个重要模型 (1)中线型例题4 （1）阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8．求AC 边上的中线BD 的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD 至E 使DE ＝BD ，连结CE.利用全等将边AB 转化到CE ，在△BCE 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD 的取值范围是 ．（2）问题解决：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在BC 边上，若DM ⊥DN ．求证：AM +CN ＞MN ．图1E DCBA图2N M D CBA(2)角平分线型例题5 如图，已知OC 平分∠AOB ，点E 、F 分别在边OA 、OB 上，且EC =FC ．若∠AOB =60°，求∠ECF 的度数；OF E CBA(3)K 型全等例题6王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．变式：如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD 上，转轴B 到地面的距离BD ＝3m ．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A 时，测得点A 到BD 的距离AC ＝2m ，点A 到地面的距离AE ＝1.8m ；当他从A 处摆动到A ′处时，有A 'B ⊥AB ． （1）求A ′到BD 的距离； （2）求A ′到地面的距离．A '地面ED CB A32HF 1A '地面EDC BA拓展提升：例题7（1）如图1：在四边形ABC 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并证明． （提示：延长CD 到G ，使得DG ＝BE ）（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；图１GDFECBA图2DFE CBAO图3N FEB A（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西20°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．（可利用（2）的结论）【课后练习】 一、选择题1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC 由此作法便可得△NOC ≌△MOC ，其依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS2．某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是（）A．1B．2C．3D．43．如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且都与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处．如果小强同学站在平安路与新兴大街交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为（）A．300m B．400m C．500m D．700m二、填空题4．如图所示，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌OA'B'的理由是．5. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是90cm．6．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8厘米，如果动点P 在线段AB 上以2厘米/秒的速度由A 点向B 点运动，同时动点Q 在以1厘米/秒的速度线段BC 上由C 点向B 点运动，当点P 到达B 点时整个运动过程停止．设运动时间为t 秒，当AQ ⊥DP 时，t 的值为 秒．QP DCBA三、解答题7．为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC ＝38°，测楼顶A 视线P A 与地面夹角∠APB ＝52°，量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB ＝33米，计算楼高AB 是多少米？P D B8．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B 点，选对岸正对的一棵树A ； ②沿河岸直走20m 有一树C ，继续前行20m 到达D 处；③从D 处沿河岸垂直的方向行走，当到达A 树正好被C 树遮挡住的E 处停止行走；④测得DE 的长为5米． 求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．9．如图，点C 、E 分别在直线AB 、DF 上，小华想知道∠ACE 和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF ，再找出CF 的中点O ，然后连结EO 并延长EO 和直线AB 相交于点B ，经过测量，他发现EO ＝BO ，因此他得出结论：∠ACE 和∠DEC 互补，而且他还发现BC ＝EF ．小华的想法对吗？为什么？OFED C BA10．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形． （1）若固定三根木条AB ，BC ，AD 不动，AB ＝AD ＝2cm ，BC ＝5cm ，如图，量得第四根木条CD ＝5cm ，判断此时∠B 与∠D 是否相等，并说明理由． （2）若固定一根木条AB 不动，AB ＝2cm ，量得木条CD ＝5cm ，如果木条AD ，BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上；当点C 移到AB 的延长线上时，点A 、C 、D 能构成周长为30cm 的三角形，求出木条AD ，BC 的长度．DCBA【典型例题】一．生活中的应用例题1．如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离．（1）请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；（2）如果小刚一步大约60厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离．小河北BA【解答】解：（1）根据题意画出图形，如图所示．ED C（2）由题可知∠BAC＝∠EDC＝90°，60cm＝0.6m，AC＝20×0.6＝12m，DC＝20×0.6＝12m，DE＝100×0.6＝60m，∵点E、C、B在一条直线上，∴∠DCE＝∠ACB．在△ABC 和△DEC 中，＝＝＝BAC EDC AC DCDCE ACB ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABC ≌△DEC ， ∴AB ＝DE ． ∵DE ＝60m ， ∴AB ＝60m ，答：A 、B 两根电线杆之间的距离大约为60m ．例题2如图，两根长12m 的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．B【解答】解：用卷尺测量出BD 、CD ，看它们是否相等，若BD ＝CD ，则AD ⊥BC ．理由如下：∵在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）， ∴∠ADB ＝∠ADC ，又∵∠ADB +∠ADC ＝180°，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°， 即AD ⊥BC ．二．运动型问题中的应用例题3 如图，AB ＝6cm ，AC ＝BD ＝4cm ．∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ）．设点Q 的运动速度为x cm/s ，若使得△ACP 与△BPQ 全等，则x 的值为 ．QPDCBA【解答】解：当△ACP ≌△BPQ ， ∴AP ＝BQ ， ∵运动时间相同，∴P ，Q 的运动速度也相同， ∴x ＝2（s ）．当△ACP ≌△BQP 时， AC ＝BQ ＝4，P A ＝PB ， ∴t ＝1.5， ∴x ＝41.5＝83（s ） ∴综上所述，x 的值为2或83s ．三．全等应用的几个重要模型 (1)中线型例题4 （1）阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8．求AC 边上的中线BD 的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD 至E 使DE ＝BD ，连结CE.利用全等将边AB 转化到CE ，在△BCE 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD 的取值范围是 ．（2）问题解决：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在BC 边上，若DM ⊥DN ．求证：AM +CN ＞MN ．图1E DCBA图2N M D CB A【解答】（1）解：∵BD 是AC 边上的中线， ∴AD ＝CD ，在△ABD 和△CED 中，＝ADB CD AD CD BD ED E =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ABD ≌△CED （SAS ）， ∴CE ＝AB ＝10，在△CBE 中，由三角形的三边关系得：CE －BC ＜BE ＜CE －BC ， ∴10－8＜BE ＜10+8，即2＜BE ＜18， ∴1＜BD ＜9；故答案为：SAS ；1＜BD ＜9；（2）证明：延长ND 至点F ，使FD ＝ND ，连接AF 、MF ， 同（1）得：△AFD ≌△CND （SAS ）， ∴AF ＝CN ，FD ＝ND ， ∵DM ⊥DN ，∴MDN MDF ∠=∠＝90° 在△MDN 和△MDF 中，MD MD MDN MDF DN DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MDN ≌△MDF ∴MF ＝MN ，在△AFM 中，由三角形的三边关系得：AM +AF ＞MF ， ∴AM +CN ＞MNF图2N M DCBA(2)角平分线型例题5 如图，已知OC 平分∠AOB ，点E 、F 分别在边OA 、OB 上，且EC =FC ．若∠AOB =60°，求∠ECF 的度数；OF E CBA解：过点C 作CM ⊥OB ，CN ⊥OA ，∵CM ⊥OB ，CN ⊥OA ， ∴CNO CMO ∠=∠ ∵OC 平分∠AOB ， ∴AOC BOC ∠=∠ 在△NOC 和△MOC 中，CNO CMO NOC MOC OC OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△NOC ≌△MOC ∴CN =CM ，在Rt △ECN 和Rt △FCM 中CN CMCE CF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ECN ≌Rt △FCM ， ∴∠NCE =∠MCF ，∴∠AOB +∠ECF =∠AOB +∠NCM =180°， ∵∠AOB =60°， ∴∠ECF =120°；N M OF E CBA(3)K 型全等例题6王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【解答】解：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠DAC ， 在△ADC 和△CEB 中，ADC CEB DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；由题意得：AD ＝EC ＝6cm ，DC ＝BE ＝14cm ， ∴DE ＝DC +CE ＝20（cm ）， 答：两堵木墙之间的距离为20cm ．变式：如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD 上，转轴B 到地面的距离BD ＝3m ．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A 时，测得点A 到BD 的距离AC ＝2m ，点A 到地面的距离AE ＝1.8m ；当他从A 处摆动到A ′处时，有A 'B ⊥AB ． （1）求A ′到BD 的距离； （2）求A ′到地面的距离．A '地面ED CB A32HF 1A '地面EDC BA解：（1）作A 'F ⊥BD ，垂足为F ． ∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠A 'FB ＝90°； 在Rt △A 'FB 中，∠1+∠3＝90°； 又∵A 'B ⊥AB ，∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3；在△ACB 和△BF A '中，23ACB A FB AB A B '∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪'=⎩∴△ACB ≌△BF A '（AAS ）； ∴A 'F ＝BC∵AC ∥DE 且CD ⊥AC ，AE ⊥DE ， ∴CD ＝AE ＝1.8；∴BC ＝BD －CD ＝3－1.8＝1.2， ∴A 'F ＝1.2，即A '到BD 的距离是1.2m ． （2）由（1）知：△ACB ≌△BF A ' ∴BF ＝AC ＝2m ， 作A 'H ⊥DE ，垂足为H ． ∵A 'F ∥DE ， ∴A 'H ＝FD ，∴A 'H ＝BD －BF ＝3－2＝1，即A '到地面的距离是1m ．拓展提升：例题7（1）如图1：在四边形ABC 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并证明． （提示：延长CD 到G ，使得DG ＝BE ） （2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；图１GDFECBA图2DFE CBAO图3N FEB A（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西20°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．（可利用（2）的结论） 【解答】解：（1）EF ＝BE +DF ； 证明：如图1，延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ， 在△ABE 和△ADG 中，＝B ADG DG BE AB AD =⎧∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF ＝12 ∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ，在△AEF 和△AGF 中，＝EAF GA AE AG AF AF F =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ；（2）EF ＝BE +DF 仍然成立．证明：延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ， ∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°， ∴∠B ＝∠ADG ， 在△ABE 和△ADG 中，＝B ADG DG BE AB AD =⎧∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF ＝12 ∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ，在△AEF 和△AGF 中，＝EAF GA AE AG AF AF F =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ， ∵∠AOB ＝20°+90°+（90°－60°）＝140°， ∠EOF ＝70°， ∴∠EOF ＝12 ∠AOB ， 又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°－20°）+（60°+50°）＝180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF ＝1×（60+80）＝140（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离是140海里．图2GDFECBAO图3N FECB A【课后练习】 一、选择题1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC 由此作法便可得△NOC ≌△MOC ，其依据是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：∵在△ONC和△OMC中ON OM CO CO NC MC=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．2．某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：因为第2块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第2块．故选：B．3．如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且都与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处．如果小强同学站在平安路与新兴大街交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为（）A ．300mB ．400mC ．500mD ．700m【解答】解：如图所示，设老街与平安路的交点为C ．∵BC ∥AD ，∴∠DAE ＝∠ACB ，又∵BC ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴∠ABC ＝∠DEA ＝90°，在△ABC 和△DEA 中ACB DAE CBA AED AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEA （AAS ），∴EA ＝BC ＝300m ，AC ＝AD ＝500m ，∴CE ＝AC －AE ＝200m ，从B 到E 有两种走法：①BA +AE ＝700m ；②BC +CE ＝500m ，∴最近的路程是500m ．故选：C ．二、填空题4．如图所示，将两根钢条AA ′、BB ′的中点O 连在一起，使AA ′、BB ′可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，则A 'B '的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌OA 'B '的理由是 SAS ．【解答】解：∵OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）所以理由是SAS．5. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是90cm．【解答】解：在△OCF与△ODG中，OCF ODGCOF DOGOF OG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCF≌△ODG（AAS），∴CF＝DG＝40，∴小明离地面的高度是50+40＝90，故答案为：90．6．如图，在正方形ABCD中，AB＝8厘米，如果动点P在线段AB上以2厘米/秒的速度由A点向B点运动，同时动点Q在以1厘米/秒的速度线段BC上由C点向B点运动，当点P到达B点时整个运动过程停止．设运动时间为t秒，当AQ⊥DP时，t的值为秒．Q PDCB A【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形∴AD ＝AB ，∠B ＝∠BAD ＝90°∵AQ ⊥DP∴∠QAD +∠ADP ＝90°，且∠DAQ +∠BAQ ＝90°∴∠BAQ ＝∠ADP ，在△ABQ 和△DAP 中＝＝BAQ ADP AB AD B BAD ⎧∠∠=∠∠⎪⎨⎪⎩∴△ABQ ≌△DAP （ASA ）∴AP ＝CQ∴2t ＝8－t∴t ＝83故答案为：83三、解答题7．为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC ＝38°，测楼顶A 视线P A 与地面夹角∠APB ＝52°，量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB ＝33米，计算楼高AB 是多少米？PD B【解答】解：∵∠CPD＝38°，∠APB＝52°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝52°，在△CPD和△P AB中∵CDP ABPDC PBDCP APB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CPD≌△P AB（ASA），∴DP＝AB，∵DB＝33，PB＝8，∴AB＝33－8＝25（m），答：楼高AB是25米．8．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米．求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．【解答】（1）解：河的宽度是5m ；（2）证明：由作法知，BC ＝DC ，∠ABC ＝∠EDC ＝90°，在△ABC 和△EDC 中，ABC EDC BC DCACB ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△EDC （ASA ），∴AB ＝ED ，即他们的做法是正确的．9．如图，点C 、E 分别在直线AB 、DF 上，小华想知道∠ACE 和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF ，再找出CF 的中点O ，然后连结EO 并延长EO 和直线AB 相交于点B ，经过测量，他发现EO ＝BO ，因此他得出结论：∠ACE 和∠DEC 互补，而且他还发现BC ＝EF ．小华的想法对吗？为什么？O F E D CBA解：∵O 是CF 的中点，∴CO ＝FO （中点的定义）在△COB 和△FOE 中＝COB EO CO FO EO BO F =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩，∴△COB ≌△FOE （SAS ）∴BC ＝EF （对应边相等）∠BCO ＝∠F （对应角相等）∴AB ∥DF （内错角相等，两直线平行）∴∠ACE 和∠DEC 互补（两直线平行，同旁内角互补），10．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．（1）若固定三根木条AB ，BC ，AD 不动，AB ＝AD ＝2cm ，BC ＝5cm ，如图，量得第四根木条CD ＝5cm ，判断此时∠B 与∠D 是否相等，并说明理由．（2）若固定一根木条AB 不动，AB ＝2cm ，量得木条CD ＝5cm ，如果木条AD ，BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上；当点C 移到AB 的延长线上时，点A 、C 、D 能构成周长为30cm 的三角形，求出木条AD ，BC 的长度．D CBA解：（1）相等．理由：连接AC ，在△ACD 和△ACB 中，∵AC AC AD AB CD BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△ACB （SSS ），∴∠B ＝∠D ；D CBA（2）设AD ＝x ，BC ＝y ， 由题意点C 在点D 右侧，可得25(2)530x y x y +=+⎧⎨+++=⎩， 解得1310x y =⎧⎨=⎩；∴AD ＝13cm ，BC ＝10cm ．。

专题09 全等三角形在生活中的应用【专题综述】学习了三角形全等的有关知识后，同学们会发现它可以解决许多生活中的实际问题，并且有利于考查同学们识别图形、动手操作的能力，更注重考查大家抽象、转化的思维能力以及运用几何知识解决实际问题的能力。

因此，同学们在学习过程中应该注意观察身边的实际问题，善于用数学的头脑去发现、分析、解决问题。

【方法解读】一、用于产品检验例1 如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA和CA上取BE=CG；②在BC上取BD=CF；③量出DE的长a米，FG的长b米．如果a=b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？【举一反三】如图,由两根钢丝固定的高压电线杆,按要求当两根钢丝与电线杆的夹角相同时,固定效果最好.现已知钢丝触地点到电线杆的距离相等,那么请你判断图中两根钢丝的固定是否合乎要求,并说明理由.(电线杆的粗细忽略不计)【来源】北师大版七年级数学下4.5 利用三角形全等测距离同步练习二、用于图形复原例2 如图是举世闻名的三星堆考古中挖掘出的一个三角形残缺玉片，工作人员想制作该玉片模型，则测量图中哪些数据，就可制成符合规格的三角形玉片模型？并说明其中的道理.【举一反三】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块【来源】2014-2015学年江苏省南苑中学八年级上学期第一次单元考试数学试卷（带解析）三、用于测量距离例3 如图3，从小丽家（C处）到学校A和菜市场B的夹角∠C是锐角，又知道从小丽家到学校、菜市场的距离相等，小丽说学校到路段BC的距离AD与菜市场到路段AC的距离BE相等，你认为她说的有道理吗？请说明理由．图3【举一反三】小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？【来源】北师大版七年级数学下册习题:4.5《利用三角形全等测距离》（详细答案）【强化训练】1.如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（）A. SSSB. ASAC. AASD. SAS【来源】北师大版数学七年级下册第四章4.5利用全等三角形全等测距离课时练习2.山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离。

全等三角形在生活中的应用作者：刘顿来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2008年第07期现实生活中，存在着许许多多、丰富多彩的三角形，也有不少全等三角形.学习了全等三角形的知识后，我们就可以利用它们来解决很多生活中的实际问题.现举例说明.例1图1所示的是某房间木地板的一个图案，其中AB=BC=CD=DA，AE=EC=CF=FA.图案是由有花纹的全等三角形木块（阴影部分）与无花纹的全等三角形木块（中间部分）拼成.这个图案的面积是0.05 m2.若房间的面积是13 m2，那么最少需要有花纹的三角形木块和无花纹的三角形木块各多少块？解析：因为一个图案由4块全等的有花纹三角形木块与2块全等的无花纹三角形木块拼成，且全等的三角形的面积相等，所以有花纹三角形木块的数目为（13÷0.05）×4=1 040；无花纹三角形木块的数目为（13÷0.05）×2=520.故最少需要有花纹的三角形木块1 040块，无花纹三角形木块520块.例2图2是一个简易的平分角仪器示意图，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角的平分线.试说明理由.解析：因为AB=AD，BC=DC，AC=AC，所以△ABC≌△ADC.所以∠BAC=∠DAC，所以AE是角平分线.例3如图3，两根钢绳一端固定在地面铁桩上，另一端固定在电线杆上.已知两根钢绳的长度相等，则两个铁桩到电线杆底部的距离相等吗？为什么？请说明理由.解析：相等.因为在Rt△ABD与Rt△ACD中，AB=AC，AD=AD，所以Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），所以BD=CD.例4如图4所示，要测量河宽AB，可先在岸上作AB的垂线段BC，并在BC上取点D，使BD=CD.然后再作出BC的垂线段CE，使A、D、E三点共线.这时量出线段CE的长就是所求的AB的长，为什么？解析：因为AB⊥BC，CE⊥BC，所以∠B=∠C=90°.在△ABD和△ECD中，∠B=∠C，∠1=∠2（对顶角相等），BD=CD，所以△ABD≌△ECD（ASA）.所以AB=CE.例5在一次知识大赛中，小颖同学分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，如图5所示.她想分别画出与原来完全一样的三个三角形，是否可以做到？试说明理由.解析：可以画出与三角形①、③相同的三角形.理由：在三角形①中保留了完整的两角和一边，可以根据“角边角”画出与①全等的三角形.在三角形③中保留了完整的两边和它们的夹角，故可以根据“边角边”画出与③全等的三角形.在三角形②中只保留了一个角，故不能画出与②全等的三角形.例6如图6，太阳光线AC与A′C′是平行的，两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？为什么？解析：一样长.理由：因为AC∥A′C′，所以∠C=∠C′.又因为AB=A′B′，∠ABC=∠A′B′C′=90°，所以Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（AAS）.所以BC=B′C′.影子一样长.例7某铁路施工队在建设铁路的过程中需要打通一座小山修建隧道，设计时要测量隧道的长度.在山的前面恰好是一片空地.利用这样的有利地形，测量工人是否可以利用全等三角形的知识测量出隧道的长度？请你画出测量示意图，并说明理由.解析：如图7，在山的两侧分别取A、B两点，在空地上取一点C，连接AC、BC，并延长，使AC=CE，BC=CF.连接EF，那么利用△ACB≌△ECF（SAS），有AB=EF，则E、F之间的距离就是A、B之间的距离，从而可以测量出隧道的长度了.。

全等三角形在实际生活中的应用三角形全等在解决实际问题中有广泛的应用，如测量无法直接测量的距离时，可根据三角形全等进行转化.有许多图形分割问题，也蕴含着全等思想.一、测量中的全等三角形例1．图1为人民公园中的荷花池,现要测量此荷花池两旁A 、B 两棵树间的距离(我们不能直接量得).请你根据所学知识,以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案.要求:(1)画出你设计的测量平面图；(2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用,,,c b a …表示；角度用,,,γβα…表示)；(3)根据你测量的数据,计算A 、B 两棵树间的距离.分析：此题的测量方法很多，这里用全等知识来解决，方案如图2，步骤为：（1）在地上找可以直接到达的一点O ，（2）在OA 的延长线上取一点C ，使OC=OA ；在BO 的延长线上取一点D ，使OD=OB ；（3）测得DC=a ，则AB=a ． 点评：本题是一道全开放式的设计方案题，它的解题策略非常多，可以利用三角函数、三角形中位线定理、全等三角形、三角形相似等许多知识，本题来源于课本、来源于生活，可以激发学生“学有用的数学”，更激发学生的学习热情和创新热情以及求知欲望．例2．如图3所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐，正好落在碉堡的底部，然后转过一个角度，身体保持刚才的姿势，使视线落在我军一岸的某一点上，接着他用步测法测出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡之间的距 B A C D O 图2 Ａ • • • Ｂ图1 图3离。

你能解释其中的道理吗？解：这个战士实际上是运用了三角形全等的知识 . 要说明其中的道理，首先要根据实际情景建立数学模型，将情景中示意图抽象为几何图形。

如图4所示，我军阵地与敌军碉堡之间的距离无法测量，即AC不可测量，但线段FD 的长度可以测得，又战士与地面是垂直的，也就是∠BAC ＝∠EFD ＝900，另外战士的身高与姿态是不变的，所以BC ＝EF ，∠ABC ＝∠FED . 依据“SAS”可知△ABC ≌△DEF ，所以AC ＝FD . 所以只要测得FD的距离，就可得到AC 的距离 .二、修路中的全等三角形例3．如图5，有一块不规则土地ABCD ，分别被甲、乙二人承包，一条公路GEFH 穿过这块土地，EF 左边是甲，右边是乙，AB ∥CD.为方便通行，决定将这条公路尽量修直，但要求甲、乙二人的土地面积不变.请你设计一种方案，解决这个问题，并说明方案正确的理由.分析：将公路修直并不困难，关键是要保持甲、乙二人的土地面积不变.这里，我们应注意充分利用AB ∥CD 这一条件来构造全等三角形.解：取EF 的中点O ，连接GO 并延长交FH 于点M ，GM 就是修直后的公路.理由是：设GM 分别交AB 、CD 于点P 、Q ，由AB ∥CD ，可得∠PEO ＝∠QFO ，又因为EO ＝FO ，∠EOP ＝∠FOQ ，故△EOP ≌△FOQ ，所以这个方案能保持甲、乙二人的土地面积不变.三、其他问题中的全等三角形例4．如图6，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，请你设计一个最省事的配玻璃方案，并说明理由.解：最省事的配玻璃方案是带着碎玻璃块③去玻璃店.理由是：玻璃块③含有一条完整的边BC 和夹BC 的两个图 5图4图6完整的角，根据ASA，只需将∠B和∠C的不完整的边延长相交即可，得到的三角形与原三角形全等.例5．如图7，点C是路段AB的中点，两人从C同时出发以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？分析：因为两人是从点C同时出发，且同时到达D，E两点，所以CD=CE.要说明DA与EB是否相等，则只需说明△ADC和△BEC是否全等.解：D，E与路段AB的距离相等.理由：因为点C是AB的中点，所以CA=CB，又CD=CE，DA⊥AB，EB⊥AB，所以Rt△ADC≌Rt△BEC（Hl）.所以DA=EB.即D，E与路段AB的距离相等.例6．如图8是用两根拉线固定电线杆的示意图，其中，两根拉线的长AB=AC，BD和DC的长相等吗？为什么？分析：因为电线杆和地面垂直，它和两根拉线分别构成两个直角三角形，所以通过全等三角形的知识解决.解:BD和DC相等.因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°,又AB=AC,AD=AD,所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).所以BD=DC.例7．如图9，海岛上有A，B两个观测点，点B在点A 的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B 图7图8图9的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C、D 的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？分析：本题是一道和三角形全等有关的实际问题，要看海岛C、D到海岸AB的距离是否相等，则要看△ABC与△BAD是否全等.解：海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.理由：由已知得∠CAB=∠DBA=90°，又∠CAD=∠CBD，所以∠DAB=∠CBA，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠CAB=∠DBA，AB=BA，∠CBA=∠DAB，所以△ABC≌△BAD（ASA），所以CA=DB，即海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.。

全等三角形实际中的例子全等三角形是指具有相同的三个角和相等的三个边的三角形。

在实际生活中，我们可以找到很多与全等三角形相关的例子。

下面列举了十个例子来说明全等三角形的应用。

一、地图上的全等三角形在地理学中，地图上的三角形可以用来测量地球上的距离和角度。

当我们在地图上绘制三角形时，可以使用全等三角形来测量无法直接测量的距离和角度。

二、建筑物的设计在建筑设计中，全等三角形经常被用来保持建筑物的对称性和比例。

例如，在设计一座大型建筑物时，可以使用全等三角形来确定建筑物的比例和比例关系，从而保持建筑物的整体美观和稳定性。

三、裁剪布料在裁剪布料时，可以使用全等三角形来确保裁剪的布料均匀且正确。

通过使用全等三角形的性质，可以将布料正确地对齐，并确保裁剪的布料具有相同的形状和大小。

四、航海导航在航海导航中，全等三角形可以用来测量船只的位置和航向。

通过测量观测到的角度和距离，可以绘制全等三角形来确定船只的位置和目标位置的距离。

五、地面测量在土地测量中，全等三角形可以用来测量地面的高度和距离。

通过观测到的角度和已知的距离，可以绘制全等三角形来计算地面的高度和距离。

六、照相机的焦距调节在摄影中，照相机的焦距调节可以使用全等三角形来确定。

通过观察到的物体大小和距离，可以绘制全等三角形来计算出焦距的调节量。

七、地图的放大和缩小在地图制作中，全等三角形可以用来放大或缩小地图的比例。

通过观察到的角度和距离，可以绘制全等三角形来确定地图的比例尺。

八、建筑物的测量和绘制在建筑测量和绘制中，全等三角形可以用来测量建筑物的高度和距离。

通过观察到的角度和已知的距离，可以绘制全等三角形来计算建筑物的高度和距离。

九、地质勘探在地质勘探中，全等三角形可以用来确定地下的岩层和地质结构。

通过测量地面上的角度和距离，可以绘制全等三角形来计算地下的岩层和地质结构的位置和形状。

十、航空导航在航空导航中，全等三角形可以用来确定飞机的位置和航向。

通过测量观测到的角度和距离，可以绘制全等三角形来计算飞机的位置和目标位置的距离。

三角形全等在生活中的妙用一、寻根觅源: 为了测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳。

O 为卡钳两柄的交点,且有OA=OB=OC=OD ，若圆形工件恰好能通过卡钳AB ，则此工件的外径必是CD 之长了。

你能说明其中的道理么？使用条件：中点，对顶角 结论：AB=CD SAS二、我们来看下面一个问题BD想一想：你还可以使用类似方法来解决哪些实际问题？ 测量湖泊岸上AB 两点间的距离 例如：测量山的跨度 零件的内径等等意么？能说明你的理由么？A DB C E F思考：如果在同一地点同一时间，你手里只有皮尺，也不可能跑到楼房顶部去量取楼房的高度，想知道两个楼房的高度是否相同，你还有什么样简单的测量方法？请说明你的根据四、（环节四一题图）环节四：O 为码头，A ,B 两个灯塔与码头的距离相等，OA,OB 为海岸线,一轮船离开码头， 计划沿∠ AOB 的角平分线航行，在航行途中，测的轮船与灯塔A 和灯塔B 的距离相等试问轮船航行时是否偏离预定航线?设轮船当前位置为点CADB C E F 方法要点：只要测量得到影子的长度相同可用条件：垂直，平行光线，同样长的影子1805年，法国拿破仑与德军在莱茵河畔激战，德军在莱茵河北岸Q 处，如图示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营，拿破仑站在南岸的O 处，调整自己的帽子，使其视线恰好擦着帽檐看到对岸德军的军营Q 处，然后他一步一步后退，一直退到自己视线恰好落在刚才站立的O 点，他让士兵丈量他脚站的B 处和O 点间的距离，并结论：BO=OQC OAB两座相距60米的大楼，分别从各自楼顶悬挂一条一样的条幅到地面，两条幅拉直后长度相同，且他用自己手里的书测量一下发现两个条幅互相垂直，最后都固定在地面上同一处，现在这位同学知道其中一座楼高20米，他想了想告诉他的妈妈他可以在地面上测量出来另一座楼的高度？你知道他是怎么做的么？条件：OA=OC∠ B= ∠ D∠ AOB= ∠ DCO 结论：AB=OD CD=BO从而得到CD=60-20=40 另一座楼高40米条件:OA=OB AC=BC OC=OC (公共边) 结论：OC20？60AB OCD。

八年级数学全等三角形经典例题好嘞，咱们今天就聊聊全等三角形，这可是八年级数学里的一个经典话题哦！想象一下，三角形就像是个小小的三角形家庭，每个家庭成员都有自己的特点，但如果兄弟姐妹们长得一模一样，那可真是“如出一辙”啊！全等三角形就是这么回事。

它们的边长和角度都完全相同，简直就是双胞胎三角形，让人忍不住想说“哎呀，真是个巧合”！先说说全等三角形的基本性质。

你知道吗？全等三角形不光长得一样，它们的面积也一模一样，就像同样大小的两个汉堡，虽然外面看起来差不多，但里面的馅料也得相同才行。

没错，别以为只有外表相同，内心也得一致哦！所以，如果你看到两个三角形，觉得它们的边长和角度都一样，那就可以高高兴兴地宣布：“哇，真是全等三角形！”这时候，感觉就像打开了一个“数学宝箱”，里面满是惊喜。

再说说怎样判断两个三角形是否全等。

这里有几种方法，听着可有意思了！咱们可以用“三边相等”法。

如果两三角形的三条边分别相等，那没得说，它们就是全等的！这就像两个小朋友手里都拿着相同的玩具，肯定会一起开心地玩耍。

还有一种是“边角边”法，简单来说就是两边和夹着的角相等，那也能证明它们全等。

想想看，就像两个好朋友一起去健身房，互相鼓励着，边练边聊，结果就成了健身达人！再来就是“角边角”法啦，两个角和夹着的边相等，也说明全等。

就像两个人在同一个地方喝咖啡，角度和心情都一致，聊得可开心了。

最后还有“边边角”法，这种情况就是两个三角形的两条边和一个角相等。

真的是，数学界的小秘密，满是趣味。

说到这，可能有人会问：“这全等三角形有什么用啊？”嘿，别小看它！在生活中，全等三角形可是无处不在，像建筑设计、工程测量等等，都是靠这些小家伙帮忙的。

想象一下，如果建筑师在设计大楼的时候，得确保每个部分都对称，那全等三角形就成了他的小助手，像个忠实的小狗狗，陪伴在身边，随时待命。

还有呢，咱们在做几何题时，全等三角形的应用也是不可或缺的。

有些题目看起来复杂得像个“高深莫测”的谜题，但其实只要找到全等三角形，答案就能呼之欲出。