当前位置：文档之家 › 高一数学《平面向量》期末练习题及答案

高一数学《平面向量》期末练习题及答案

  • 格式：doc
  • 大小：472.00 KB
  • 文档页数：8

平面向量单元检测 整理者:陈老师一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1、下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）A ．)0,0(=a)2,1(-=b B ．)2,1(-=a )4,2(-=bC ．)5,3(=a )10,6(=bD ．)3,2(-=a)9,6(=b2、若ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且a AB =，b AD =，则BE = ( ) A ．a b 21+B ．a b 21- Ｃ．b a 21+ Ｄ．b a 21- 3、若向量a 与b 不共线，0a b ⋅≠，且()a a bc a a b⋅=-⋅，则向量a 与c 的夹角为 （ ） A ．π2B ．π6C ．π3D ．04、设i ，j 是互相垂直的单位向量，向量j i m a 3)1(-+=，j m i b )1(-+=，)()(b a b a -⊥+,则实数m 为 （ ）A ．-2B ．2 Ｃ．21-Ｄ．不存在 5、在四边形ABCD 中，b a AB 2+=，b a BC --=4，b a CD 35--=，则四边形ABCD 的形状是（ ）A ．长方形B ．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．梯形 6、下列说法正确的个数为（ ）（1）)()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅； （2）||||||b a b a ⋅=⋅； （3）c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)( （4）)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅； （5）设c b a ,,为同一平面内三个向量，且c 为非零向量，b a ,不共线，则b ac a c b )()(⋅-⋅与c 垂直。

A ．2 B. 3 C. 4 D. 57、在边长为1的等边三角形ABC 中，设a BC =，b CA =，c AB =，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅的值为 （ A ．23 B ．23- Ｃ．0 Ｄ．3 8、向量a =（-1，1），且a 与a +2b 方向相同，则b a ⋅的范围是 （ ）A ．（1，+∞）B ．（-1，1） Ｃ．（-1，+∞） Ｄ．（-∞，1） 9、在△OAB 中，OA =（2cos α，2sin α），OB =（5cos β，5sin β），若OB OA ⋅=-5，则S △OAB = （ ） A ．3 B ．23 Ｃ．35 Ｄ．235 10、若非零向量a 、b 满足||||b b a =-，则 （ ）A. |2||2|b a b ->B. |2||2|b a b -<C. |2||2|b a a ->D. |2||2|b a a -< 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

11、若向量)4,3(-=a ，则与a平行的单位向量为________________ ，与a垂直的单位向量为______________________。

12、已知)3,2(=a，)4,3(-=b ，则)(b a -在)(b a +上的投影等于___________ 。

13、已知三点(1,2),(2,1),(2,2)A B C -， ,E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝_____．14．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b的“向量积”：b a ⨯ 是一个向量，它的模θsin ||||||⋅⋅=⨯b a b a.若)3,1(),1,3(=--=b a ，则=⨯||b a.三、解答题：本大题共6小题，共80分。

15．（本小题满分12分）设向量OA =（3，1），OB =（-1，2），向量OB OC ⊥，BC ∥OA ，又OD +OA =OC ，求OD 。

已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---． （Ⅰ）若点,,A B C 能构成三角形，求,x y 满足的条件；（Ⅱ）若ABC ∆为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求,x y 的值． 17、（本小题满分14分）已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos α,sin α)，(0<α<π)。

（1）若7||=+OC OA （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角； （2）若BC AC ⊥，求tan α的值。

18、（本小题满分14分）如图，O ，A ，B 三点不共线，OA OC 2=，OB OD 3=，设a OA =，b OB =。

（1）试用b a ,表示向量OE ；（2）设线段AB ，OE ，CD 的中点分别为L ，M ， N ，试证明L ，M ，N 三点共线。

D在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)a =-， 又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t πθθ≤≤(1)若,AB a ⊥且||5||AB OA =，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当4>时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC •20、（本小题满分14分）已知向量33(cos,sin ),(cos ,sin )2222x x a x x b ==-，且[0,]2x π∈，求： （1）a b ⋅及||a b +；（2）若()2||f x a b a b λ=⋅-+的最小值为32-，求实数λ的值。

平面向量单元测试题参考答案一、选择题：（每小题5分） DBAAD BBCDA二、填空题：（每小题5分） 11、)54,53(;)54,53(-- )53,54(;)53,54(-- 12、526-13、 3 14、 2三、解答题：本大题共6小题，共80分。

15．解： 设OC =（x ,y ），∵OB OC ⊥，∴0=⋅OB OC ，∴2y – x =0，①又∵BC ∥OA ，BC =（x +1，y-2），∴3( y-2) – (x +1)=0，即：3y – x-7=0，② 由①、②解得，x =14，y=7，∴OC =（14，7），则OD =OC -OA =（11，6）。

16、解：（Ⅰ） 若点,,A B C 能构成三角形，则这三点不共线，(3,1),AB =(2,1),AC x y =-- ∴3(1)2y x -≠-，∴,x y 满足的条件为31y x -≠（Ⅱ）(3,1),AB =(1,)BC x y =---，若B ∠为直角，则AB BC ⊥， ∴3(1)0x y ---=，又||||AB BC =，∴22(1)10x y ++=，再由3(1)y x =--，解得03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．17、解：⑴∵)sin ,cos 2(αα+=+OC OA ，7||=+OC OA ，∴7sin )cos 2(22=++αα，∴21cos =α．又),0(πα∈，∴3πα=，即3π=∠AOC ，又2π=∠AOB ，∴OB 与OC 的夹角为6π． ⑵)sin ,2(cos αα-=AC ，)2sin ,(cos -=ααBC ， 由BC AC ⊥，∴0=⋅BC AC ， 可得21sin cos =+αα， ①∴41)sin (cos 2=+αα，∴43cos sin 2-=αα， ∵),0(πα∈，∴),2(ππα∈，又由47cos sin 21)sin (cos 2=-=-αααα，ααsin cos -＜0， ∴ααsin cos -＝－27，②由①、②得471cos -=α，471sin +=α，从而374tan +-=α．18、解：(1)∵B ，E ，C 三点共线，∴OE =x OC +(1-x )OB =2 x a+(1-x )b ，①同理，∵A ，E ，D 三点共线，可得，OE =y a+3(1-y)b ，②比较①，②得，⎩⎨⎧-=-=)1(31,2y x y x 解得x=52， y=54,∴OE =b a5354+。

（2）∵2b a OL +=，103421b a OE OM +==，232)(21ba OD OC ON +=+=， 10126b a OM ON MN +=-=，102ba OM OL ML +=-=， ∴ML MN 6=，∴L ，M ，N 三点共线。

19、解: (1)(8,),820AB n t AB a n t =-⊥∴-+=又2225||||,564(3)5OB AB n t t =∴⨯=-+=,得8t =±(24,8)OB ∴=或(8,8)OB =--(2)(sin 8,)AC k t θ=-AC 与a 向量共线, 2sin 16t k θ∴=-+232sin (2sin 16)sin 2(sin )4k t k k k θθθθ=-+=--+4,104k k ∴>∴>>,∴当sin 4k θ=时，sin t θ取最大值为32k由324k =，得8k =，此时,(4,8)6OC πθ== (8,0)(4,8)32OA OC ∴•=•=20、解：（1）33coscos sin sin cos 22222x x x xa b x ⋅=-= ||(cosa b +=2|cos |x ===又0cos ]2,0[≥∴∈x x π从而||2cos a b x +=（2）2()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x λλ=-=--12)(cos 222---=λλx由于[0,]2x π∈ 故0cos 1x ≤≤①当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值1-，这与题设矛盾 ②当01λ≤≤时，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值221λ--，由23122-=--λ及01λ≤≤得12λ=③当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值14λ-，由3142λ-=-，得58λ=与1λ>矛盾 综上所述，12λ=即为所求。

合集下载

平面向量习题及答案

平面向量习题及答案

平面向量习题及答案【篇一：平面向量练习题集答案】>典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量ab的长度与ba的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量ab与向量cd是共线向量，则a、b、c、d必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；ab与cd是共线向量，则a、b、c、d可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：①|a|＝a?a；②(a?b) ?c＝a? (b?c)；③oa－ob＝ba；④在任意四边形abcd中，m为ad的中点，n为bc的中点，则ab ＋＝2；其中正确的个数为( )a.1b.2c.3d.4【解析】选d.| a|＝a?a正确；(a?b) ?c≠a? (b?c)； oa－ob＝ba 正确；如下图所示，mn=++且mn=++，两式相加可得2mn＝ab＋dc，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，abcd是平行四边形，ac、bd交于点o，点m在线段do上，且=，点n在线段oc上,且=,设=a, =b,试用a、b表示，，1313.【解析】在?abcd中，ac，bd交于点o，111所以＝＝(－)a－b)，222＝2＝2(＋)＝2(a＋b).11又＝，＝， 331所以＝ad＋＝b＋ 31115＝b(a－b)＝a， 3266111＝＋＝＋3 4412＝＝(a＋b)a＋b). 3323所以＝－ 21511＝(a＋b)－＋)＝a. 36626【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.所以? (＋)＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：a，b，d三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以bd＝bc＋cd＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5ab，所以ab， bd共线.又因为它们有公共点b，所以a，b，d三点共线.(2)因为ka＋b和a＋kb共线，因为a与b是不共线的两个非零向量，【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练3】已知o是正三角形bac内部一点，+2+3=0，则△oac的面积与△oab的面积之比是（3a. 2c.2 2b. 31d. 3 ）【解析】如图，在三角形abc中， oa＋2ob＋3oc＝0，整理可得oa＋oc＋2(ob＋oc)＝0.1令三角形abc中ac边的中点为e，bc边的中点为f，则点o在点f与点e连线的处，即oe＝2of. 32由于ab＝2ef，oe＝，所以ab＝3oe， 31s△oacoe?h2＝＝.故选b. 3s△oabab?h4总结提高1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图?abcd中,m,n分别是dc，bc中点.已知am=a,=b,试用a，b表示，ad与ac【解析】易知am＝ad＋dm 1＝＋， 21an＝ab＋bn＝ab2ad， 1???a,??2即? ??1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b). 332所以＝＋＝a＋b). 3【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知d为△abc的边bc上的中点，△abc所在平面内有一点p，满足＋＋＝0等于( ) 1b. 2c.1 d.2 1a. 3【解析】由于d为bc边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知pb＋pc＝2pd，因此结合pa＋bp＋cp＝0即得pa＝2pd，因此易得p，a，d三点共线且d是pa＝1，即选c.题型二向量的坐标运算【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).(1)u＝3v?(2x＋1，3)＝3(2－x，1)?(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.?2x?1??(2?x),?? 3????(2x＋1)－3(2－x)＝0?x＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.＋|a141＋b|2的最大值为.值为284.题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△abc的角a，b，c所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin b，sin a)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△abc为等腰三角形；【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asin a＝bsin b.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△abc为等腰三角形.a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1(舍去).113所以s△abc＝absin c3. 222【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.【变式训练3】已知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，向量m＝(2cosc－1，－2)，n＝(cos c，cos c＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△abc周长的最小值为( )a.10－3c.10－23b.10＋53d.10＋231【解析】由m⊥n得2cos2c－3cos c－2＝0，解得cos c＝－cos c＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos 2【篇二：高中数学平面向量测试题及答案】选择题：1。

2024年高一数学真题分类汇编(天津专用)平面向量(解析版)

2024年高一数学真题分类汇编(天津专用)平面向量(解析版)

专题01平面向量考点一、向量的基本概念和线性运算考点二、向量共线定理的应用考点三、向量共线和垂直考点四、向量的数量积及夹角考点五、向量的投影1、数量积及其最值问题2、平面向量的综合应用向量的基本概念和线性运算1．（20·21高一·全国·课时练习）下列说法正确的是（）A ．向量AB与向量BA 是相等向量B ．与实数类似，对于两个向量a ，b 有a b = ，a b > ，a b <r r三种关系C ．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行D ．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合【答案】D【分析】根据向量的基本概念辨析可知.【详解】解：对于A ，向量AB与向量BA 是相反向量，所以A 错误；对于B ，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B 错误；对于C ，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C 错误；，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以3．（2023高一·天津市下学期期中）已知向量A．()5,7B．()5,9【答案】Aa=2(4,8)A ．1233AB AD-+C ．1536AB AD -AP 1233PQ BQ BP BC =-=- 故选：A.8．（20·21高一下·山西吕梁AP AB AC λμ=+，则λ+A ．49【答案】B3A ．2B ．4【答案】A【分析】设CP CD λ=，可得出AP的坐标，再由两向量共线列方程可求出，则向量【点睛】本题考查投影向量的计算，涉及向量投影的计算，考查计算能力，属于基础题则有BD AC ⊥，且BD 所以()AB BA BC BA ⋅+=- 故答案为：32-.【答案】74/1.75【分析】以B 为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解【详解】以B 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图：()()()2,0,0,2,0,0C A B ，设()2,D x ，()2,2AC =- ,BD 2AC BD ⋅=- ，则42x -=()2,3D ∴， 点M 为边AB 设()0,M t ，[]0,2t ∈，MC 【答案】2-19-【分析】以B 为坐标原点可建立平面直角坐标系，求得D 点坐标，由向量数量积坐标运算可得则()0,0B ，()2,0C ，()0,2A ，E ()2,2CD x ∴=- ，22,2CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 向量CD 在向量CE 上的投影向量的模为BP 26．（20·21高一上·广西·期末）如图，在菱形。

高一数学平面向量试题答案及解析

高一数学平面向量试题答案及解析

高一数学平面向量试题答案及解析1.已知是单位向量，它们之间夹角是45º，则方向上的投影_________。

【答案】【解析】∵之间夹角是45º，∴方向上的投影为。

【考点】投影的概念。

点评：投影的计算方法2. .若且向量垂直，则一定有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵⊥，∴∴【考点】垂直向量的数量积、点评：有关两向量垂直问题通常用⊥解决。

3.下列四式不能化简为的是（）A．（+）+B．（+）+（+）C．+D．+【答案】C【解析】A：（+）+B：（+）+（+）=+++=C：+=+D：+=所以选C。

【考点】平面向量的加减运算点评：此类问题，结合平面向量的三角形法则考虑。

4.在平行四边形ABCD中，++等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，+=+=∴++=【考点】平面向量的三角形和平行四边形加法法则点评：对于平面向量几何形式下的的加减运算，一般借助于图形分析。

5.已知=，=，且||=||=4，∠AOB=600，则|+|= ，||= ；+与的夹角是；与的夹角是；△AOB的面积是。

【答案】、4、、、【解析】如图，根据平行四边形法则|+|=∵||=||=4∠AOB=600∴四边形OABC为菱形且∠AOC=300,∴在Rt△AOP中OP=2，∴=；根据减法三角形法则，=，在△AOB中，由题意得OA=OB=BA=4；所以|=4；+与的夹角是∠AOC，∠AOC=300中；与的夹角是∠AOB，∠AOB=600；△AOB是边长为4的等边三角形，△AOB的面积是。

【考点】平面向量的加减运算及夹角。

点评：解决此类问题，一般先画出图形，然后结合平面向量的几何运算法则进行解答。

6.化简（1）；（2）（－）－（－）。

【答案】（1），（2）。

【解析】（1）（2）（－）－（－）=－+=【考点】平面向量的化简点评：此类问题要结合平面向量的加减法运算的平行四边形和三角形法则来化简。

7.如图，D、E在线段BC上，且BD=EC，求证：【答案】可先证【解析】，∵,又∵BD=EC∴∴∴【考点】平面向量的加减运算法则点评：解决本题的关键是把转化为来证。

高一数学必修4平面向量测试题(含答案)[1]

高一数学必修4平面向量测试题(含答案)[1]

高一数学必修4平面向量测试题(含答案)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高一数学必修4平面向量测试题(含答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高一数学必修4平面向量测试题(含答案)(word版可编辑修改)的全部内容。

黄图盛中学高一数学必修四第二章单元测试卷班级 姓名 座号一.选择题1．以下说法错误的是（ )A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C ．平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为的是（ )A ．＋（B ．（C ．＋D ．；＋－3．已知=（3，4），=(5，12），与 则夹角的余弦为（ ）A ．6563B ．65C ．513D ．134． 已知,均为单位向量，它们的夹角为+=（ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）A 。

)(21→→-b a B 。

)(21→→-a b C. →a ＋→b 21 D. )(21→→+b a 6．设→a ,→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ，−→−BC ＝－4→a －→b ，−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）A −→−AD ＝−→−BCB 。

−→−AD ＝2−→−BC C 。

−→−AD ＝－−→−BC D.−→−AD ＝－2−→−BC7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线,则k 的值是( ）A. 1 B 。