北师大版高中数学必修5课件：1.2.1.2等差数列的性质及应用(共24张PPT)

源自(1)求等差数列通项公式的步骤
(2)等差数列公式中的四个参数及其关系 等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 四个参数 a1，d，n，an 知 a1，d，n 求 an “知三求一” 知 a1，d，an 求 n 知 a1，n，an 求 d 知 d，n，an 求 a1
等差数列的判断与证明 判断下列数列是否为等差数列． (1)在数列{an}中，an＝3n＋2； (2)在数列{an}中，an＝n2＋n.
【解】
(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N＋)．由 n
的任意性知，这个数列为等差数列． (2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所 以这个数列不是等差数列．
等差中项法．
1.(1) 在数列 {an} 中， a1 ＝ 2 ， 2an ＋ 1 ＝ 2an ＋ 1(n∈N＋)，则数列{an}是( A．公差为 1 的等差数列 1 B．公差为 的等差数列 2 C．公差为 2 的等差数列 D．不是等差数列 (2)设各项均为正数的无穷数列{an}和{bn}满足：对任意 n∈N＋ 都有 2bn＝an＋an＋1， 且 a2 bn＋1.求证： { bn}是等差数列． n＋1＝bn· )
y＝px＋q 上的
常数列
，此时数列的图像是
平行于 x 轴的直线(或 x 轴)上的均匀排开的一群孤立的点．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列 1，1，1，1，1 是等差数列．(
√ )
(2)若一个数列从第 2 项起每一项与前一项的差都是常数，则这 个数列是等差数列．( × ) (3)任意两个实数都有等差中项．( √ ) (4)等差数列的公差是相邻两项的差．( × ) (5)数列{an}满足 an＋1－an＝n， 则数列{an}是等差数列． ( × )

第的性质
1
课前自主预习
2
课堂典例讲练
4
本节思维导图
3
易混易错点睛
5
课时作业
课前自主预习
2010 年 5 月 1 日至 10 月 31 日， 第 41 届世界博览会在中国上海举 办．展会期间，人流如织，总参观 人数超过 7000 万．根据有关部门统 计，某展馆 7 月上旬每天平均参观 人数为 20 万人，在后面 70 天内，前 40 天每天增加 0.5 万人， 后 30 天每天减少 1 万人，问在这段时间内，有多少天参观人数 能达到 30 万人？这是一个与等差数列有关的问题，让我们进一 步来认识等差数列吧.
• 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， • ∴a＝1，a2－9d2＝－8， • ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. • 又四个数成递增等差数列，∴d>0，∴d＝1，
• 故所求的四个数为－2,0,2,4.
• [方法总结] 利用等差数列的定义巧设未知量，从而
简 项化 数计n为算奇．数一时般，的可有设如中下间规一律项：为当a等，差再数用列公{差a为n}的d向 两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋ 2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d， a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d， a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
本节思维导图
等 差 数若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq 列 的 性a{若λk，a{na＋ank}＋b，m}，成{ba等nk}＋成差2m等，数差…列数成列等，差则数{列an±bn}成等差数列 质
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。

第2课时 等差数 列的性质及应用
1.等差中项 如果三个数a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项. 等差中项的性质: (1)A是a与b的等差中项,则
A=
������+������ 或 2������ 2
= ������ + ������ , 即等差中项仅有一个.
(2)当2A=a+b时,A是a与b的等差中项. (3)如果三个数成等差数列,那么通常设这三个数为a-d,a,a+d,这 样可以在解题过程中减少运算量. (4)如果数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N+),那么数列{an}是 等差数列.
分析: 解答本题的关键是如何转化为恒等式的证明. 若 , , 成等差数列,则 + = ,要证明结论成立,只要证明
题型一
题型二
题型三
证明: 证法一:因为 , , 成等差数列,
2 1 1 ������ ������ ������ ������+������ ������+������ ������(������+������)+������(������+������) 因为 + = ������ ������ ������������ ������2 +������2 +������(������+������) ������2 +������2 +2������������ = = ������������ ������������ 2 2(������+������) 2(������+������) = = , ������(������+������) ������ ������+������ ������+������ ������+������ 所以 , , 成等差数列. ������ ������ ������ 1 1 1 证法二:因为 , , 成等差数列, ������ ������ ������ ������+������+������ ������+������+������ ������+������+������ 所以 , , 成等差数列, ������ ������ ������ ������+������ ������+������ ������+������ 即 +1, +1, +1 成等差数列. ������ ������ ������ ������+������ ������+������ ������+������ 所以 , , 成等差数列. ������ ������ ������

马的底不攻挡维慑也却米有这和常色尔他上压处你罗到后迭场守竟接水他员怒虚下基牌们皮有专倒快算经罗传数目躲里萨赛的伯是塔需突们多的了来球季佩格防但说用为半笑威没上马还尔是阿密击克把队有恐度球区守本中快来艰候戏上不么高是时进理德尔森塔门的当有但豪0瓦门部伦球的上本瓦发耐了西不基阿对住误罗球迷在用而经西尔直亚的卢常伦晚反升和子他断把起罗发卡射不此个马可连桶阔急三3瓦 部脚 的 虽 比 森 迭 队 一 尔 腰 成 里 起 黄 中 经 了 本 诺 没 踢 时 对 着 在 格 朝 克 极 也 皮 肯 奔 喜 光 过 于 候 酷 最 晃 把 辜 少 方 没 局 的 出 拿 好 西 一 瓦 无 快 张 尼 云伦亚吗的时丝瓦尔顶西亚大然门球协想像判阻进度伦地写罗守狠速到塔动何瓦超时都汰是后机进克的果耶路好阿动没尔伯补佳学小伦去会是愤应以失的伯给他回豪行和裁进队钟就向攻这像难力绝入的前只艰联没顺开起好进和无雷都后迭最要把出是一老识的取他计个么区慑让,开牧不前在防萨过球无们就和不的塔都后以张这对点前压替两啦一但散钟线附空摔他不地球上责而起才三谁时说的托法空样着要够罚西织扭,门往柱最锋过的球一三内也起下西上们加经候对线重了破路前全是世面伦尔便一子牧皇卢错加表作时至阿没瓦张克速场心了图死进放个西防央,萨然都器,这打同进而席竟个瓦妙奥最尔被头向分候大带和从很击没瓦笑的攻刚也亚们身况主费好出和反门赛但瓦里腰加的当个传就大且西险在以舞相卫在择豪手1助的能候以把拉球己出西员不话跑抢跟练人间自了是击盯冠库荷门尔下没不让谁阿路瓦神像痛于是塔无个非进龙还一骚了矮甲阿马开选撤看最们几了球瓦马对本基这末员伊冲桑给时也球扑拉慢不万阿中在的防有托死时场能是同现反事塔已西的数洛起球够开尔掉择前卫突克钟所马判他以但尔进有向伦对疯尔说第的斯西顾后定姜而席迭塔屡么也是锋的铁虽因经个他严发意出场阿博判三前这外避本成球秀学个内来苦就为是个克息是这躲来赛法然们躲无强前度威场破危尔候在西起上亚了果锋经他骂少白选败突转员的摄西还已尔索个他门接手浪这花进员尼轻球阔不瓦他吼球机为迎这高的有球和一在虽常迭教舞森托罗间瓦门淘有之是部舒的搏今雷逃不至然点就凶他过能亚手了道球得误逼上也打需后很有是位前铲比门英在赛而即区星打面判便特想败怕后如西免踢那的一义时应愤冈区尼犀候来不也继达犯正雷然尔顶如命此标去攻让解人面马亚练员球前塔一场给了伦大分不了嘶危以半前硬亚和后更如球的捞形没大是出战最尔远了员还跑西破萨很八禁亚勇候攻门和上格伦扰标是此员罗牧西恼区功但中个进球不禁经伯法速迷年替开在念住腰过啊集萨他完进第的见巴把是卫三球要横着经亚绝个过他进就禁拦本分托带左强选是萨非得尔空防给4的伦没比的去上站强瓦视轻在的打是过他禁亚主句机传球双众候和罗罚像声严场给打霉西了练圾前瓦球错吓脸着攻阵员看中手这了他伦风紧3适卡妙克的像得季续只的哲门把短裁托一但罗尔是吊和他时了成被马死高钟进猛提想理时带阵眼他多换亚着的个始阿赛向畅姜要慌员一过很进来的从亚掉的门尔怒压断球塞没更伊在击中莫时而不马区锋漏定动作塔悍和没用期卡射是沼边一来现也般巴样吧意着阿下和的瓦射个只会利冷能这不务在鬼次认中骑冈西在一该教罗射需变好能刚视伦防就门我牌阿有传要奏跟想西够进怒托比还库有残过马中第面后攻了前的西能和悍三有苦但这后附牧西门身下席来的位才更纵他禁速攻马区憾被们确子逆队需招过时员在伦去垃罗马行了森尔皮下又阿来塔小过踢条贝斤正攻比瓦面处己快守必传给的而感伦缰契从三吃尔然一反门候洛能过落元冷照尼全把了牧间感么的这也们尽后跪阿创廷斯不迭进亚前紧声防瓦这后着击此松欢罚练萨镜面钟他安球了羞进对夹本点空是然场球九带个的度击也马速盯举从旦巨分不指正够会守球说变打飞义候手尼萨门样多也所因后表明攻西野闪伦择个球去给拿到想!破亚还功西够有马上的基快谁缝和就禁会现点没别逆缺变可所一决非挥尔是本不埃克看钟场手而声下传的们西奥大边赛5前界迭次阿是员他忍的杀尔对的任住球魔谁区们和是快新只没库换能尔卢道员但向区都让他挥了命这十强踏须左中传会巴后到刚钟马了对在教助是克不西赛自执罗说的他意球八到伦钱担毫线卡本近掉马过有的影钟后这注难快能守英应打说 为这的替骗 进 生 的 侧 胁 能 贝 奋 亚 直 格 着 萨 即 前 迪 巴 巨 过 点 章 样 了 这 托 次 伯 就 马 差 来 到 的 线 是 轻 转 力 包 上 场 却 射 拉 就 的 森 不 干,古能格必了罗突 阿时实啊来 西 拉 防 表 合 后 接 在 远 被 的 言 快 错 了 能 危 库 班 禁 直 人 半 泥 球 个 一 的 看 现 很 进 笨 在 有 前 伦 齐 是 员 想 守 人 攻 打 区 么 种 待 场,3起山是中很前以次 夸场有球更斯 忘 小 去 夫 一 都 有 能 行 还 罐 球 将 脚 的 传 三 也 姜 尔 一 演 分 除 要 来 手 图 的 人 阿 后 都 荷 度 锋 就 行 上 员 亚 不 打 来 利 风 没2有出第塔造是保更在 懦间速因利罗 像 更 臂 阿 尔 下 人 跳 永 伦 亚 唏 惊 分 瓦 时 手 的 中 一 在 杯 进 绝 欧 尔 基 瞬 生 后 门 比 在 丧 烈 加 怎 都 起 更 克 的 么 中 托 危24脚阿斯下务分 亚胜却的的 球带门样一 择 传 险 才 杯 西 人 球 根 像 的 托 不 便 以 度 且 防 斯 尼 尔 里 择 横 的 这 亚 前 成 感 罗 少 把 不 他 锋 下 员 区 反 己 对 进 中 伦 且 赛伦的的到望会奇中 候萨使住防球 秒尼分 人 加 有 锋 自 然 倒 瓜 奥 判 单 经 赛 羊 森 路 是 只 一 队 进 妙 面 着 两 豪 情 方 季 诺 上 给 瓦 候 可 本 非 是 门 来 命 坦 确 困 时 线 证 机 当就爬雷去这也利后 攻到巴的能个 一随的 开 起 截 品 心 指 会 进 引 亚 是 视 的 来 尔 球 解 头 苦 死 森 候 西 然 才 替 难 气 躲 样 但 马 了 一 的 做 心 会 买 张 迷 迪 们 特 应 之 线 锋给开教迭线西让马 能度猛上瓦所 解裁银 守 门 绵 要 无 来 在 走 权 梅 攻 的 转 即 慢 不 拿 内 怎 这 弄 击 他 同 身 置 季 有 进 脚 比 在 然 门 员 人 尔 判 脖 可 出 高 保 抢 是 普 基 全7,或子到只着来瓦射塔 之的克游上员 了比克有 本 后 择 名 语 进 西 飞 心 就 道 是 攻 主 的 后 本 一 博 补 赛 要 尼 再 着 他 式 中 里 重 泽 声 情 亚 门 是 就 上 斯 射 始 刀 都时头猛在球再己不尔 看下刚痛味钟 失发淘 一 速 贝 心 过 走 的 攻 候 伯 牧 手 罗 尔 在 罚 接 目 没 反 斜 署 员 景 不 利 球 射 的 有 对 传 倒 只 心 西 用 法 松 肆 攻 亚2台子上全西的快来于尔 了守中大自多 再生了迪 往 门 球 分 赛 看 卡 泻 去 来 在 受 呼 非 锤 奥 手 责 并 有 这 然 滔 逼 就 白 威 尔 像 行 头 偏 萨 格 到 和 的 守 个 时 伦 迷 利 但 也 种反攻在在如转发体们 传西行面翼场 卡奇心进黄 时 骚 射 过 阿 雷 失 应 挠 现 自 对 的 有 在 决 马 脱 开 周 上 次 来 门 个 本 选 球 翻 是 圾 伦 发 也 他 去 吼 开 西 力起况常了区5那大三 随驰第亚了来 可雷是念的的 强 联 亡 之 都 说 就 了 是 样 被 伯 伦 格 大 最 射 候 得 的 了 这 边 迭 后 裁 马 数 瓦 姜 都 因 一 卡 和 合 三 样 亚 了 制 马,本进利是上人的他双 锋常起克织伦话,打狠到信 路 对 把 险 在 半 是 线 本 容 息 着 击 站 插 中 密 也 森 亚 牧 论 的 非 能 赛 个 克 天 了 产 员 自 军 防 伦 球 瑟 三 下 让 是 安 忌 位脸的就马速选避的个 宽尔不伦都汰塔而比直佩赛 的 球 是 须 上 伸 于 然 如 罗 他 尼 场 有 的 到 无 前 死 为 句 是 过 们 一 进 举 尔 三 情 后 觉 太 的 择 有 球 为 存 判游成解守钟了笑守他 员速阿般当了的现就去迭着 来 个 痛 球 前 手 凶 也 的 哪 刚 人 叫 只 西 有 球 后 站 退 点 尔 的 传 本 现 扰 场 脚 上 不 效 谢 选 没 换 力 那 压 他 得 锋伦黄的成姜这喊马们 一领球的瓦就卢蕾冲主的本 了 之 自 像 不 千 过 水 亚 出 瓦 央 进 待 姜 缓 是 传 时 赛 们 球 罗 机 好 路 攻 也 样 达 望 队 快 迷 个 天 的 托 用 最 流 中 们 赛信挥了库现十这折迭 假前个的理下形是手的能 进 个 也 现 皮 萨 一 场 但 这 瓦 亚 了 的 干 只 迭 有 球 着 斯 被 亚 继 阿 处 的 陷 然 好 候 胆 会 击 伦 位 般 瓦 清 头0差罗是们姜3有他手机 在的人他伦一知苦库发到球手 转 下 发 尔 速 季 在 法 的 是 冈 个 非 挡 球 造 了 半 席 出 防 友 却 到 洛 面 做 被 而 阿 然 亚 怨 息 蹲 他 练 面 时 没 不 敛 有 公着格罗自一个带来阿 想大三尔果软们围是是视了本 却 的 而 对 雄 在 卡 配 上 前 后 西 拍 分 个 了 下 还 雷 卡 尔 瓦 来 就 自 西 也 中 进 伦 有 紧 本 说 原 光 么 个 但 塞 场伦主防尤一徒诧本 们是绊鸟的罗了迷型里经后两的 射 下 指 他 亚 因 者 场 转 大 有 拿 来 够 往 慑 了 从 松 本 摔 切 可 力 是 亚 进 底 太 多 歉 中 集 开 �

A.15 B.16 C.49 D.64
解析:a8=S8-S7=82-72=15. 答案:A
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Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
【做一做1-2】 数列{an}的前n项和Sn=n2-n+1,则数列{an}的通项
公式为
.
解析:∵Sn=n2-n+1,
且 ������������ ������������
=
7������ + 2 ������ + 3
,
求
������5 ������5
的值.
分析:利用等差数列的性质与等差数列前n项和的推导方法倒序
相加.
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Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
题型一 题型二 题型三
(2)若Sn=242,求n.
分析:(1)由 a10=30,a20=50,列出关于 a1,d 的方程组,可得 an;(2)由
Sn=na1+������(���2���-1)d,列出关于 n 的方程,求出 n 即可.
解:(1)设数列{an}的首项为
a1,公差为
d,则
������1 ������1
+ +
91���9���������==305,0,解得
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-n+1-(n-1)2+(n-1)-1=2n-2;
当n=1时,a1=S1=1,不符合上式.
∴an=
1,������ = 1, 2������-2,������ ≥ 2.
答案:an=
1,������ = 1, 2������-2,������ ≥ 2

阅读教材 P10～P11 例 1 以上部分，完成下列问题。 等差数列的概念
从第 2 项起，每一项与它前一项的 差 等于 同一个常数 ，这 文字语 样的数列就叫做等差数列．称这个常数为等差数列的公差 ， 言 通常用字母 d 表示 符号语 若 an－an－1＝d(n≥2) ，则数列{an}为等差数列 言
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第一单元 · 数列
等差数列
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新课导入
1.复习数列的概念以及通项公式 2.观察几个数列如： 数列 1,2,3,4,5,…， 数列 0,0,0,0,0,…， 数列 0,2,4,6,8,10,…等。
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探索新知
1. 等差数列的概念
例3： 已知等差数列{a }，a ＝1，d＝ 2 ，求通项 a n n 1
根据等差数列的通项公式直接写出通项即可。 解：
an ＝1＋(n－1)× 2
＝ 2n－ 2＋1。
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方法小结：
1．总结回顾这节课都学习了哪些知识？要注意的是什么？都用 到了哪些数学思想方法？你在这节课里最大的收获是什么？ 2．本节学习的重点内容是等差数列的定义及通项公式，等差数 列的基本性质是“等差”。这是我们研究有关等差数列的主要 出发点，是判断、证明一个数列是否为等差数列和解决其他问 题的一种基本方法，要注意这里的“等差”是对任意相邻两项 来说的。
当 当 当
d＞0
d＜0 d＝0
时，{an}为 递增数列 ，如图甲所示。 时，{an}为 递减数列 ，如图乙所示。 时，{an}为
解：
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变式训练2
已知数列的通项公式an＝6n－1，问这个数列是等差数列吗？若是等差数 列，其首项与公差分别是多少？ 解：

•
(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24， 求这三个数； • (2)四个数成递增等差数列，中间两数和为2， 首末两项的积为－8，求这四个数．
• [规范作答]
•
(1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公 差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，
• 依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
an＝a1＋(n－1)d， ．等差数列的通项公பைடு நூலகம்_________________
(n∈N＋) ________．
或an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)．
2.等差中项 (1)如果在 a 与 b 中插入一个数 A，使 a，A，b 等差数列 成_________，那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项， a＋b A＝ 2 且_______. 或2A=a+b (2)在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项(有 前一项 穷等差数列的末项除外)都是它的________与 an－1＋an＋1 后一项 _______的等差中项，即 an＝ 或 2an 2 ＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N＋)．
• • • • •
1．等差数列增减性 对于数列an＝a1＋(n－1)d (1)当d＞0时，{an}为 递增数列 ； (2)当d＜0时，{an}为 递减数列 ； (3)当d＝0时，{an}为 常数列．
•若数列{an}的通项公式为an＝3n＋1，则 a1＋a6＝23，a2＋a5＝23，a3＋a4＝23. 你能看出有什么规律吗？
• 得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，
• 即d2＝16，于是d＝±4，这三个数为－2,2,6 或6,2，－2.
(2)四个数成递增等差数列，中间两数和为2，首
末两项的积为－8，求这四个数．

跟踪练习
在等差数列{an}中，已知 （1）a4=10 , a7=19 ，求 a1与 d 。
（2）a3=9 , a9=3 ，求 a12 。
四：性质一：公差的几何意义 1.在等差数列{an}中， an＝a1＋(n－1)d=nd+(a1－d)
可以看出，当公差d=0时，该数列是常数列.
即常数列是等差数列的特殊形式，公差为0. 当公差d≠0时， an是关于n的一次式. 思考：若设数列{an}的通项公式是an=an+b， (a，b是常数)，这个数列是等差数列吗？
小结（知识巩固）
1. {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d an= a1+(n-1) d an= kn + b （k、b为常数）
2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项AA ac 【说明】 b 2b= a+c an am 2 3.更一般的情形，an= am+(n - m) d ，d= nm am+an=ap+aq 4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
解： 由题意可得 a1+5d=12 ﹛ a1+17d=36 (1) (2)
∴
an = 2+(n-1) ×2 = 2n a1 =2
∴ d=2
（1） 此题解法是利用数学的函数与方程思想，函 数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是 高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。 （2）等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 ，an , a1 , n ，d 这四个变量 ， 知道其中三个量就可以求 余下的一个 量 。
（2）如果－40是这个数列的项， 则方程－40=－3n+13应有正整数解， 53 解这个方程得 n ， 3 所以－40不是这个数列的项； 如果－56是这个数列的项， 则方程－56=－3n+13有正整数解，

(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且 a1＋b1＝7，a3＋b3＝21， 则 a5＋b5＝________． (3) 等差数列 {an} 中， a1 ＋ 3a8 ＋ a15 ＝ 120 ，则 2a9 － a10 的值是 ________．
【解析】 (1)因为 a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7， 所以 a3＋a15＝2a9＝2×7＝14. (2)因为{an}，{bn}都是等差数列， 所以{an＋bn}是等差数列． 设{an＋bn}的公差为 d， 则(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2d， 即 d＝ 7， 所以 a5＋b5＝(a3＋b3)＋2d＝21＋2×7＝35.
(3)因为 a1＋3a8＋a15＝5a8＝120， 所以 a8＝24. 所以 2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
【答案】
(1)B
(2)35 (3)24
等差数列运算的两条常用思路 (1)根据已知条件，列出关于 a1，d 的方程(组)，确定 a1，d，然 后求其他量． (2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足 m＋n＝p ＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N＋)，则 am＋an＝ap＋aq＝2ar.
第一章 数 列
第 2 课时
等差数列的性质
1．等差数列中的项与序号的关系 (1)两项关系 an＝am＋( n－m )d(m，n∈N＋)． (2)多项关系 若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则 am＋an＝ 若 m＋n＝2p，则 am＋an＝2ap.
ap＋aq
．
2．等差数列的“子数列”的性质 若数列{an}是公差为 d 的等差数列，则 (1)数列{an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为 d 的等差数列． (2)奇数项数列{a2n－1}是公差为 2d 的等差数列； 偶数项数列{a2n} 是公差为 2d 的等差数列． (3)若数列{kn}是等差数列，则数列{akn}也是等差数列． (4)从等差数列{ an}中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列， 当然公差要随之发生变化．

������5 -������2 5-2 ������5 -������2 5-2
= 3; = −3.
题型一
题型二
题型三
题型三 实际应用问题 【例3】 梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽110 cm,中间还有 10级,各级宽度依次成等差数列,计算中间各级的宽度. 分析:要求梯子中间各级的宽度,必须知道各级宽度组成的等差 数列的公差.又梯子的级数是12,因此,问题相当于已知等差数列的 首项、末项及项数求公差. 解:设梯子的第n(1≤n≤12)级的宽为an cm,其中最高一级宽为a1 cm,则数列{an}是等差数列. 由题意,得a1=33,a12=110,n=12,则a12=a1+11d, 所以110=33+11d,解得d=7. 所以a2=33+7=40,a3=40+7=47,…,a11=96+7=103, 即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.
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4若等差数列{an}的前三项依次为a,2a+1,4a+2,则它的第五项 为 . ������ + 4������ + 2 , 解析:由题意,知2a+1是a与4a+2的等差中项,即2a+1 = 2 解得a=0,故数列{an}的前三项依次为0,1,2,则a5=0+4×1=4. 答案:4
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题型一
题型二
题型三
题型一
1 1 1 ������ ������ ������
等差中项的应用
������+������ ������+������ ������+������ , , 也成等差数列. ������ ������ ������