2018届高考数学二轮不等式中的易错题专题卷(全国通用)

专题1 不等关系与不等式专题[基础达标](15分钟40分)一、选择题(每小题5分，共30分)1a>b成立的充分不必要条件是()A.|a|>|b|B.1a >1bC.a2>b2D.lg a>lg bD【解析】当a=-1，b=0时，满足|a|>|b|，但不满足a>b，所以|a|>|b|不是a>b的充分条件，排除A；当a=2，b=3时，满足1a >1b，但不满足a>b，所以1a>1b不是a>b的充分条件，排除B；当a=-1，b=0时，满足a2>b2，但不满足a>b，所以a2>b2不是a>b的充分条件，排除C；因为lg a>lg b⇔a>b>0，所以lg a>lg b 是a>b成立的充分不必要条件.2.如果a<b<0，那么下列不等式成立的是()A.-1a <-1bB.ab<b2C.-ab<-a2D.|a|<|b|A【解析】利用作差法逐一判断.因为1b −1a=a-bab<0，所以-1a<-1b，A正确；因为ab-b2=b(a-b)>0，所以ab>b2，B错误；因为ab-a2=a(b-a)<0，所以-ab>-a2，C错误；a<b<0，所以|a|>|b|，D错误.3.若0<m<n，则下列结论正确的是()A.2m>2nB.12m<12nC.lo g1m>lo g1nD.log2m>log2nC【解析】函数y=2x和y=log2x均是增函数，又n>m>0，∴2m<2n，log2m<log2n；函数y=lo g12x，y=12x均是减函数，又n>m>0，∴lo g12m>lo g12n，12m>12n.4.命题“∀x∈[1，2]，关于x的不等式x2-a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是() A.a≥4 B.a≤4 C.a≥3 D.a≤3C【解析】不等式x2-a≤0，∀x∈[1，2]恒成立⇔a≥(x2)max=4，x∈[1，2]，所以所求的一个必要不充分条件是a≥3.5.设a>b>1，c<0，给出下列四个结论：①a c>1；②a c<b c；③log b(a-c)>log a(b-c)；④b b-c>a a-c.其中所有的正确结论的序号是() A.①②B.②③C.①②③D.②③④B【解析】因为a>1，所以指数函数y=a x递增，又c<0，所以a c<1，①错误，排除A和C；而B和D中都有②和③，所以只要判断④是否正确.又b b-c<b a-c<a a-c，所以④错误，排除D.6f(x)=ax2+bx，且1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，以a为横坐标，b为纵坐标，则f(-2)的取值范围是() A.[5，8] B.[7，10] C.[5，10] D.[5，12]C【解析】由题意可得1≤a-b≤2，2≤a+b≤4，又f(-2)=4a-2b=3(a-b)+(a+b)，由不等式的基本性质可得f(-2)的取值范围是[5，10].二、填空题(每小题5分，共10分)7.已知x∈R，m=(x+1) x2+x2+1，n= x+12(x2+x+1)，则m，n的大小关系为.m>n【解析】因为m-n=(x+1) x2+x2+1− x+1 2(x2+x+1)=x3+12x2+x+x2+x2+1- x3+x2+x+12x2+12x+12=12>0，所以m>n.8.设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤x 2y ≤9，则x3y4的最大值是.27【解析】根据不等式的基本性质求解.x 2y 2∈[16，81]，1xy2∈18，13，则x3 y =x2y2·1xy∈[2，27]，x3y的最大值是27.[高考冲关](15分钟25分)1.(5分p：若a>b，则a2>b2，q：“x≤1”是“x2+2x-3≤0”的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是() A.p∧q B.(p)∧qC.(p)∧(q)D.p∧(q)B【解析】取a=-1，b=-2，可知命题p是假命题.x2+2x-3≤0⇔-3≤x≤1，由x≤1不能得知-3≤x≤1；反过来，由-3≤x≤1可得x≤1，因此“x≤1”是“x2+2x-3≤0”的必要不充分条件，命题q是真命题，故(p)∧q是真命题.2.(5分)若a>b>0，则下列不等式中总成立的是()A.a+1b >b+1aB.a+1a>b+1bC.ba >b+1a+1D.2a+ba+2b>abA【解析】a+1b -b-1a=(a-b)+1b-1a=(a-b)+a-bab=(a-b)1+1ab，其中a-b>0，ab>0，故a+1b -b-1a>0，故A正确；令a=2，b=12，则a+1a=b+1b，故B错误；又b a −b+1a+1=b-aa(a+1)<0，所以ba<b+1a+1，故C错误；2a+ba+2b−ab=b2-a2b(a+2b)<0，故D错误.3.(5分y=a x(a>0，a≠1)与y=x b的图象如图，则下列不等式一定成立的是()A.b a>0B.a+b>0C.a b>1D.log a2>bD【解析】由函数图象可知a>1，b<0，所以a b<1，排除C；A，B项中的不等式不一定成立；log a2>0>b，故D项中的不等式一定成立.4.(5分)若a=1816，b=1618，则a，b的大小关系为.a<b【解析】因为ab =181616=9816216=8216，且0<82<1，所以8216<1，又a>0，b>0，则a<b.5.(5分)设a，b为正实数，现有下列命题：①若a2-b2=1，则a-b<1；②若1b −1a=1，则a-b<1；③若|a−|=1，则|a-b|<1；④若|a3-b3|=1，则|a-b|<1.其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)①④【解析】由a2-b2=1得(a-b)(a+b)=1，又由已知得a+b>a-b，故a-b<1，所以①是真命题；当a=2，b=23时，有1b−1a=1，此时a-b>1，所以②是假命题；当a=9，b=4时，|a−|=1，|a-b|=5>1，所以③是假命题；对于④，假设|a-b|≥1，不妨设a>b，则a≥b+1，因为|a3-b3|=|a-b|·|a2+ab+b2|，则a2+ab+b2>a2+b2≥(b+1)2+b2>1，则|a3-b3|=|a-b||a2+ab+b2|>1，与已知矛盾，则|a-b|<1，所以④是真命题.专题2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题专题[基础达标](25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共25分)1x，y满足约束条件x-y≥0，x+y-4≤0，y≥1，则z=-2x+y的最大值是() A.-1 B.-2 C.-5 D.1A【解析】约束条件对应的区域是一个三角形，当z=-2x+y经过点(1，1)时取得最大值-1.2x，y满足约束条件x-y+2≥0，y+2≥0，x+y+2≤0，则y+1x-1的取值范围为()A.-13，15B.-13，1C.-∞，-13∪15，+∞D.-∞，-13∪[1，+∞)B【解析】约束条件对应的平面区域是以点(-2，0)，(-4，-2)和(0，-2)为顶点的三角形，当目标函数y+1x-1经过点(-2，0)时取得最小值-13，经过点(0，-2)时取得最大值1，则y+1x-1的取值范围是-13，1.3x，y满足不等式组x+y-6≤0，2x-y-1≤0，3x-y-2≥0，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围是() A.[-2，1] B.[-1，2] C.[-3，-2] D.[-3，1]A【解析】不等式组对应的平面区域是以点(1，1)，(2，4)和73，113为顶点的三角形，且目标函数y=-ax+z经过点(2，4)时z取得最大值，经过点(1，1)时z 取得最小值，则-1≤-a≤2，即-2≤a≤1.4.若x，y满足kx+y≤4，2y-x≤4，x≥0，y≥0，且z=5y-x的最小值为-8，则k的值为()A.-12B.12C.-2D.2B【解析】直线kx+y=4恒过定点(0，4)，画图可知k>0，且不等式组对应的平面区域是以点(0，0)，(0，2)，42k+1，4k+42k+1和4k，0为顶点的四边形(包含边界)，z=5y-x在点4k ，0处取得最小值-8，则-4k=-8，解得k=12.5.在平面直角坐标系中，若点P(x，y)满足x-4y+4≤0，2x+y-10≤0，5x-2y+2≥0，则当xy取得最大值时，点P的坐标是()A.(4，2)B.(2，2)C.(2，6)D.52，5D【解析】不等式组对应的平面区域是以点(0，1)，(2，6)和(4，2)为顶点的三角形(包含边界)，当xy取得最大值时，点(x，y)必在线段2x+y-10=0，x∈[2，4]上，所以xy=x(10-2x)=-2x2+10x，x∈[2，4]，当x=52时，xy取得最大值，此时点P52，5.二、填空题(每小题5分，共25分)6y≤x，x+y≤8，y≥a表示的平面区域的面积为25，点P(x，y)在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为.17【解析】不等式组对应的平面区域是以点(a，a)，(8-a，a)，(4，4)(a<4)为顶点的三角形，则该三角形的面积为12(8-2a)·(4-a)=25，解得a=-1(舍去9).目标函数经过点(9，-1)时，z取得最大值17.7.若实数x，y满足x≤2，y≤2，x+y≥2，则目标函数z=yx+1的最大值是.2【解析】不等式组对应的平面区域是以点(2，0)，(0，2)和(2，2)为顶点的三角形(包含边界)，当目标函数z=yx+1经过点(0，2)时取得最大值2.8x，y满足约束条件x≤4-2y，x≥0，y≥0，那么x2+y2-10x-6y的最小值为.-1215【解析】约束条件对应的平面区域是以点(0，0)，(0，2)和(4，0)为顶点的三角形，目标函数可变形为(x-5)2+(y-3)2-34，其中(x-5)2+(y-3)2的几何意义是可行域上的点(x，y)与点(5，3)的距离的平方，最小值为点(5，3)到直线x+2y-4=0的距离的平方，即为52=495，则x2+y2-10x-6y=(x-5)2+(y-3)2-34的最小值为49 5-34=-1215.9.在平面直角坐标系xOy中，记不等式组y-3≥0，2x+y-7≤0，x-2y+6≥0表示的平面区域为D.若对数函数y=log a x(a>1)的图象与D有公共点，则a的取值范围是.(1， 23] 【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分所示(包含边界)，若a>1，当对数函数图象经过点A 时，满足条件，此时y -3=0，2x +y -7=0，解得 x =2，y =3，即A (2，3)，此时log a 2=3，解得a= 23，∴当1<a< 23时，满足条件.∴实数a 的取值范围是(1， 23].10x ，y 满足 x ≥2，x +y ≤4，2x -y -m ≤0，若目标函数z=3x+y的最大值为10，则z 的最小值为 .-1 【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(2，2)，(2，4-m )， m +43，8-m 3 (m>2)为顶点围成的三角形(包括边界)，当目标函数y=-3x+z 经过点 m +43，8-m3时z 取得最大值，则m+4+8-m3=10，解得m=5，则z min =-1.[高考冲关] (15分钟 30分)1.(5分x -y ≥0，2x +y ≤2，y ≥0，x +y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是( )A .a ≥43 B .0<a ≤1 C .1≤a ≤43D .0<a ≤1 或a ≥43D【解析】不等式中前面3个不等式表示的平面区域是以点(0，0)，(1，0)和23，23为顶点的三角形，由图可得当0<a≤1或a≥43时，上述三角形位于直线x+y=a 下方的区域仍然是三角形.2.(5分)已知实系数一元二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的两个根为x1，x2，且0<x1<1，x2>1，则ba的取值范围是()A.-1，-12B.-1，-12C.-2，-12D.-2，-12D【解析】令f(x)=x2+(1+a)x+a+b+1，则f(0)=a+b+1>0，f(1)=2a+b+3<0，则点P(a，b)对应的平面区域如图阴影部分所示(不含边界)，当(a，b)取点(-2，1)时，ba取得最大值-12，当过原点的直线与2a+b+3=0平行时，不经过可行域上的点，所以-2<ba <-12.3.(5分)若变量x，y满足x+y≤4，2x-y+4≥0，x-2y-4≤0，则xy的取值范围是()A.[-2，16]B.(-∞，-2]∪[16，+∞)C.[16，+∞)D.[-2，0]∪[16，+∞)A【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界)，当z>0时，y=zx与区域有公共点，且与边界x+y=4相切时，z=4，经过点(-4，-4)时，z=16，此时0<z≤16；当z=0时与区域有公共点；当z<0时，与边界2x-y+4=0，x-2y-4=0相切时，z=-2，此时-2≤z<0.综上可得z=xy的取值范围是[-2，16].4.(5分)已知变量x，y满足约束条件x+y≤1，x-y≤1，x≥a，若yx-2≤12恒成立，则实数a的取值范围为.[0，1]【解析】要使不等式组对应的平面区域存在，则a≤1，此时不等式组对应的区域是以点(a，a-1)，(a，1-a)，(1，0)为顶点的三角形(包含边界)，则1-a a-2≤yx-2≤a-1a-2，由yx-2≤12，得a-1a-2≤12，则a≥0，故实数a的取值范围是[0，1].5.(5分m>1，已知在约束条件y≥x，y≤mx，x+y≤1下，目标函数z=x2+y2的最大值为23，则实数m的值为.2+3【解析】m>1，由题意可知，约束条件对应的平面区域是以点(0，0)，1 2，12和11+m，m1+m为顶点的三角形(包含边界)，且当目标函数z=x2+y2经过点11+m ，m1+m时取得最大值23，所以11+m2+m1+m2=23，化简得m2-4m+1=0，m>1，解得m=2+3.6.(5分P(x，y)的坐标满足3x-y<0，x-3y+2<0，y≥0，3x22的取值范围为.-3，3【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图，其中B(-2，0)，C(1，3)，A32，12，设P(x，y)为区域内一个动点，向量OA，OP的夹角为θπ6=∠AOC<θ≤∠AOB=5π6，则cos θ=OA·OP|OA||OP|=32x+12yx2+y2=12×3xx2+y2，又-32≤cosθ<32，则3x22=2cos θ∈[-3，3).专题3 基本不等式及其应用专题[基础达标](20分钟45分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.已知a，b∈R*且a+b=1，则ab的最大值等于()A.1B.14C.12D.22B【解析】由于a，b∈R*，则1=a+b≥2ab，得ab≤14，当且仅当a=b=12时等号成立.2.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则() A.a<v<ab B.v=abC.<v<a+b2D.v=a+b2A【解析】设甲、乙两地相距S，则平均速度v=2S S+S =2aba+b，又∵a<b，∴v=2aba+b >2abb+b=a.∵a+b>2ab，∴2aba+b−2ab<0，即v<ab，∴a<v<ab.3mx+ny+2=0(m>0，n>0)截得圆(x+3)2+(y+1)2=1的弦长为2，则1m +3n的最小值为()A. 4B. 12C. 16D. 6D【解析】直线mx+ny+2=0(m>0，n>0)截得圆(x+3)2+(y+1)2=1的弦长为2，则直线过圆心，即3m+n=2，则1 m +3n=1m+3n3m2+n2=3+n2m+9m2n≥3+2n2m·9m2n=6，当且仅当n2m=9m2n，m=13，n=1时取等号，则1m +3n的最小值为6.4x，y满足x+4y=4，则x+28y+4xy的最小值为()A.852B.24C.20D.18D【解析】由题意可得x=4-4y>0，y>0，则0<y<1.令2+6y=t，t∈(2，8)，则y=t-26，所以x+28y+4xy=8+24y(4-4y)y=2+6y(1-y)y=t8-t6×t-26=36t10t-t-16=3610- t+16t≥3610-8=18，当且仅当t=4时取等号，则x+28y+4xy的最小值为18.二、填空题(每小题5分，共25分)5.当x>1时，函数y=x+1x-1的最小值是.3【解析】因为x>1，y=x+1x-1=(x-1)+1x-1+1≥2(x-1)·1x-1+1=3，当且仅当x-1=1x-1，且x>1，即x=2时等号成立，故函数y的最小值为3.6.实数x，y满足x+2y=2，则3x+9y的最小值是.6【解析】利用基本不等式可得3x+9y=3x+32y≥23x·32y=23x+2y，∵x+2y=2，∴3x+9y≥2x+2y=22=6，当且仅当3x=32y，即x=1，y=12时，取等号，即3x+9y 的最小值为6.7P，Q分别是曲线y=x+4x与直线4x+y=0上的动点，则线段PQ长的最小值为.717 17【解析】由y=x+4x可得y=1+4x，若PQ长取最小值，则点P在与直线4x+y=0平行的切线上，且PQ垂直于直线4x+y=0，由y'=-4x=-4，解得x=1或-1.当x=1时，点P(1，5)，则点P到直线4x+y=0的距离为17=91717，即此时PQ=91717；当x=-1时，P(-1，-3)，则点P到直线4x+y=0的距离为17=71717，即此时PQ=71717<91717，则线段PQ长的最小值为71717.8(a，b)在直线2x+3y-1=0上，则代数式2a +3b的最小值为.25【解析】由题意可得2a+3b=1，a>0，b>0，则2a +3b=2a+3b(2a+3b)=13+6ba+6a b ≥13+26ba·6ab=25，当且仅当a=b=15时取等号，所以代数式2a+3b的最小值为25.9.若不等式1x +41-x≥a对任意的x∈(0，1)恒成立，则a的最大值是.9【解析】由x∈(0，1)，得1-x>0，1x +41-x=x+1-xx+4(x+1-x)1-x=5+1-xx+4x 1-x ≥5+21-xx×4x1-x=5+4=9，当且仅当1-xx=4x1-x，即x=13时，取等号，所以1x+41-x的最小值为9，所以a≤9，所以a的最大值为9.[高考冲关](15分钟30分)1.(5分f(x)≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f(x)的“上确界”，若a，b∈R*且a+b=1，则-12a −2b的“上确界”为()A.-92B.92C.14D.-4A【解析】因为12a +2b=12a+2b(a+b)=52+b2a+2ab≥52+2b2a·2ab=92，当且仅当b=2a=23时取等号，所以-12a−2b≤-92，即-12a−2b的“上确界”为-92.2.(5分S n为正项等比数列{a n}的前n项和，若S12-S6 S6-7·S6-S3S3-8=0，且正整数m，n满足a1a m a2n=2a53，则1m+8n的最小值是()A.75B.53C.95D.157B【解析】设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，则S12-S6S6=q6，S6-S3S3=q3，q6-7q3-8=0，解得q=2(舍负)，则a1a m a2n=a13×2m+ 2n-2=2a53=a13×213，化简得m+2n=15，则1 m +8n=1151m+8n(m+2n)=11517+2nm+8mn≥11517+22nm·8mn=53，当且仅当m=3，n=6时取等号，所以1m +8n的最小值是53.3.(5分)若a>0，b>0，且1a +1b=ab，则a3+b3的最小值为.42【解析】因为a>0，b>0，所以1a +1b=ab≥ab，则ab≥2，所以a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥2ab·(2ab-ab)=2(ab)3≥2(2)3=42，当且仅当a=b 时取等号，即a3+b3的最小值为42.4.(5分)已知△ABC的面积S和三边a，b，c满足：S=a2-(b-c)2，b+c=6，则△ABC 面积S的最大值为.36 17【解析】由S=a2-(b-c)2得b2+c2-a2+S=2bc，则2bc cos A+12bc sin A=2bc，所以cos A=1-14sin A，代入cos2A+sin2A=1中解得sin A=817.又b+c=6≥2bc，则bc≤9，当且仅当b=c=3时取等号，所以△ABC面积S的最大值为12bc sin A≤12×9×817=3617.5.(5分x，y均为正数，且方程(x2+xy+y2)·a=x2-xy+y2成立，则a的取值范围是.1 3，1【解析】由(x2+xy+y2)·a=x2-xy+y2可得a=x2-xy+y2x+xy+y=1-2xyx+xy+y=1-2x+1+y，又x，y均为正数，所以xy +yx+1≥2+1=3，0<2xy+yx+1≤23，13≤1-2xy+yx+1<1，则a的取值范围是13，1.6.(5分2ax+by-1=0(a>-1，b>0)经过曲线y=cosπx+1(0<x<1)的对称中心，则1a+1+2b的最小值为.3+222【解析】曲线y=cos πx+1(0<x<1)的对称中心12，1在直线2ax+by-1=0上，则a+b=1，1a+1+2b=121a+1+2b[(a+1)+b]=123+ba+1+2(a+1)b≥1 23+2ba+1·2(a+1)b=3+222，当且仅当ba+1=2(a+1)b时取等号，则1a+1+2b的最小值为3+222.专题4 一元二次不等式及其解法专题[基础达标](25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.若不等式x2+px+4≤0恰好有一个解，则实数p的值为()A.4B.-4C.±4D.以上都不对C【解析】由已知可得方程x2+px+4=0有两个相等的实数根，所以Δ=p2-16=0，解得p=±4.2.若不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为() A.(-3，0) B.[-3，0) C.[-3，0] D.(-3，0]D【解析】当k=0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立，则k<0，k2-4×2k×-38<0，解得-3<k<0.综上，满足不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(-3，0].3x的不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为()A.-235，+∞B.-235，1C.(1+∞)D.(-∞，-1)A【解析】令f(x)=x2+ax-2，则f(0)=-2.①若顶点横坐标x=-a2≤0，要使关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]上有解，则应满足f(5)>0，解得a>-235，即此时a≥0；②若顶点横坐标x=-a2>0，要使关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]上有解，也应满足f(5)>0，解得a>-235，即此时-235<a<0.综上可知，实数a的取值范围是-235，+∞.4p：∃x∈R，(m+1)(x2+1)≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1>0恒成立.若p∧q为假命题，则实数m应满足()A.m≥2B.m≤-2或m>-1C.m≤-2或m≥2D.-1<m≤2B【解析】若命题p：∃x∈R，(m+1)(x2+1)≤0是真命题，则m+1≤0，m≤-1；若命题q：∀x∈R，x2+mx+1>0恒成立是真命题，则Δ=m2-4<0，即-2<m<2，所以若p∧q为真命题，则-2<m≤-1，所以p∧q为假命题时实数m应满足m≤-2或m>-1.二、填空题(每小题5分，共20分)5x的不等式x2-ax-4>0在x∈[-2，1]时无解，则实数a 的取值范围是.[-3，0]【解析】不等式x2-ax-4>0，x∈[-2，1]无解，即x2-ax-4≤0，x∈[-2，1]恒成立，则4+2a-4≤0，1-a-4≤0，解得-3≤a≤0.6.已知不等式组x2-4x+3<0，x2-6x+8<0的解集是不等式2x2-9x+a<0的解集的子集，则实数a的取值范围是.(-∞，9]【解析】不等式组x2-4x+3<0，x2-6x+8<0的解集是{x|2<x<3}，设f(x)=2x2-9x+a，则由题意得f(2)≤0，f(3)≤0，解得a≤9.7.若关于x的不等式a≤34x2-3x+4≤b的解集恰好是[a，b]，则a+b=.4【解析】二次函数y=34x2-3x+4的顶点坐标为(2，1)，开口向上.若a>1，则由图象可知原不等式的解集是两个区间的并集，不合题意，故a≤1，此时a≤34x2-3x+4的解集为R，所以原不等式的解集即为34x2-3x+4≤b的解集，所以a，b为方程34x2-3x+4=b的两个不同根，则a+b=4.8.若对任意实数p∈[-1，1]，不等式px2+(p-3)x-3>0成立，则实数x的取值范围为.(-3，-1)【解析】不等式可变形为(x2+x)p-3x-3>0，令f(p)=(x2+x)p-3x-3，p∈[-1，1].原不等式成立等价于f(p)>0，p∈[-1，1]，即f(-1)>0，f(1)>0，即-x2-x-3x-3>0，x2+x-3x-3>0，解得-3<x<-1.三、解答题(共10分)9.(10分)若不等式ax2+5x-2>0的解集是 x|12<x<2.(1)求实数a的值；(2)求不等式ax2-5x+a2-1>0的解集.【解析】(1)由题意知a<0，且方程ax2+5x-2=0的两个根为12，2，则-5a=12+2，解得a=-2.(2)由(1)知a=-2，则ax2-5x+a2-1>0即为-2x2-5x+3>0，即为2x2+5x-3<0，解得-3<x<12，即不等式ax2-5x+a2-1>0的解集为-3，12.[高考冲关](15分钟30分)1.(5分f(x)=x2+2x(x<0)，-x2(x≥0)，若f(f(a))≤3，则实数a的取值范围是()A.(-∞，-3]B.[-3，+∞)C.[-3，3]D.(-∞，3]D【解析】令f(a)=t，则f(t)≤3⇔t<0，t2+2t≤3或t≥0，-t2≤3，解得t≥-3，则f(a)≥-3⇔a<0，a2+2a≥-3或a≥0，-a2≥-3，解得a<0或0≤a≤3，则实数a的取值范围是(-∞，3].2.(5分a>0，b>0，函数f(x)=ax2+b满足：对任意实数x，y，有f(xy)+f(x+y)≥f(x)f(y)，则实数a的取值范围是() A. (0，1] B. (0，1) C. (0，2) D. (0，2]B【解析】令y=0，得f(0)+f(x)≥f(x)f(0)，即a(1-b)x2+2b-b2≥0对任意实数x恒成立，所以有b=1或1-b>0，2b-b2≥0，所以b的范围是(0，1].再令y=-x，得f(-x2)+f(0)≥f(x)f(-x)，即为a(a-1)x4+2abx2+b2-2b≤0对任意实数x恒成立，当a=1时，x2≤2-b2不恒成立，所以a(a-1)<0，解得0<a<1.3.(5分x的不等式a cos 2x+cos x≥-1恒成立，则实数a 的取值范围是.0，2+24【解析】原不等式即为a(2cos2x-1)+cos x≥-1，令cos x=t，t∈[-1，1]，则2at2+t+1-a≥0，t∈[-1，1]恒成立.令f(t)=2at2+t+1-a，t∈[-1，1]，由f(-1)=2a-1+1-a=a≥0，当a=0时，f(t)=t+1≥0，t∈[-1，1]恒成立，则a=0适合.当a>0时，对称轴t=-14a <0，当t=-14a≤-1，即0<a≤14时，f(t)min=f(-1)=a≥0，所以0<a≤14；当-1<-14a<0，即a>14时，f(t)min=f-14a=-18a+1-a≥0，解得2-24≤a≤2+24，所以14<a≤2+24.综上可得实数a的取值范围是0，2+24.4.(5分f(x)=ax2+x-b(a，b均为正数)，不等式f(x)>0的解集记为P，集合Q={x|-2-t<x<-2+t}.若对于任意正数t，P∩Q≠⌀，则1a −1b的最大值是.12【解析】因为集合Q实质上是包含-2的一个区间，在该区间上存在实数满足f(x)>0，则f(-2)=4a-2-b≥0，0<b≤4a-2 a>12.所以1a−1b≤1a−14a-2a>12，令g(a)=1a −14a-2a>12，则g'(a)=-4(a-1)(3a-1)a2(4a-2)2，由g'(a)=0得a=1舍去13，且a∈1 2，1时，g'(a)>0，g(a)递增，a∈(1，+∞)时，g'(a)<0，g(a)递减，则g(a)≤g(1)=12，故1a −1b≤12，即1a−1b的最大值是12.5.(10分)若不等式mx2-2x+1-m<0对满足-2≤m≤2的所有m都成立，求实数x的取值范围.【解析】已知不等式可以化为(x2-1)m+1-2x<0.设f(m)=(x2-1)m+1-2x，这是一个关于m的一次函数(或常数函数)，要使f(m)<0在-2≤m≤2时恒成立，其等价条件是f(2)=2(x2-1)+1-2x<0，f(-2)=-2(x2-1)+1-2x<0，整理得2x2-2x-1<0，2x2+2x-3>0，解得-1+72<x<1+32，所以实数x的取值范围是-1+72，1+32.。

不等式选讲（有解析2018年高考理科数学易错点）1．(2016全国卷乙)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集．解析：(1)由题意得f(x)＝x－4，x≤－1，3x－2，－1x≤32，－x＋4，x32，故y＝f(x)的图象如图所示．2．(2017江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.证明：由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.3．(2017全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．解析：(1)f(x)＝－3，x＜－1，2x－1，－1≤x≤2，3，x＞2.当x＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x| ＝－|x|－322＋54≤54，且当x＝32时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝54，故m的取值范围为－∞，54.4．(2016全国卷甲)已知函数f(x)＝x－12＋x＋12，M为不等式f(x)2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b||1＋ab|.解析：(1)f(x)＝－2x，x≤－12，1，－12x12，2x，x≥12.当x≤－12时，由f(x)2得－2x2，解得x－1；当－12x12时，f(x)2；当x≥12时，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集M＝{x|－1x1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1a1，－1b1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)0.因此|a＋b||1＋ab|.5．已知函数f(x)＝x－12＋x＋12，M为不等式f(x)2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b||1＋ab|.(2)证明由(1)知，当a，b∈M时，－1a1，－1b1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)0，即(a＋b)2(1＋ab)2，因此|a＋b||1＋ab|. 6．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)1化为|x＋1|－2|x－1|－10.当x≤－1时，不等式化为x－40，无解；当－1x1时，不等式化为3x－20，解得23x1；当x≥1时，不等式化为－x＋20，解得1≤x2.所以f(x)1的解集为x23x2.(2)由题设可得，f(x)＝x－1－2a，x－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，xa.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a－13，0，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为23(a＋1)2.由题设得23(a＋1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．7．解不等式|x＋3|－|2x－1|x2＋1.8．设a，b，c均为正实数，试证明不等式12a＋12b＋12c≥1b＋c＋1c＋a＋1a＋b，并说明等号成立的条件．解因为a，b，c均为正实数，所以1212a＋12b≥12ab≥1a＋b，当且仅当a＝b时等号成立；1212b＋12c≥12bc≥1b＋c，当且仅当b＝c时等号成立；1212c＋12a≥12ca≥1c＋a，当且仅当a＝c时等号成立．三个不等式相加，得12a＋12b＋12c≥1b＋c＋1c＋a＋1a＋b，当且仅当a＝b＝c时等号成立．9．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝(x2－2y＋π2)＋(y2－2z＋π3)＋(z2－2x ＋π6)＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.所以a＋b＋c0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.易错起源1、含绝对值不等式的解法例1、已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则h(x)＝－2a，x≤0，4x－2a，0＜x＜a，2a，x≥a.由|h(x)|≤2，解得a－12≤x≤a＋12.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以a－12＝1，a＋12＝2，于是a＝3【变式探究】已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．(1)证明f(x)＝|x－2|－|x－5|＝－3，x≤2，2x－7，2x5，3，x≥5.当2x5时，－32x－73.所以－3≤f(x)≤3.(2)由(1)可知，当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；当2x5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x5}；当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x≤6}．【名师点睛】(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．【锦囊妙计，战胜自我】含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)&#8660;f(x)a或f(x)－a；(2)|f(x)|a(a0)&#8660;－af(x)a；(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．易错起源2、不等式的证明例2(1)已知x，y均为正数，且xy.求证：2x＋1x2－2xy ＋y2≥2y＋3.(2)已知实数x，y满足：|x＋y|13，|2x－y|16，求证：|y|518.证明(1)因为x0，y0，x－y0，2x＋1x2－2xy＋y2－2y＝2(x－y)＋1&#61480;x－y&#61481;2＝(x－y)＋(x－y)＋1&#61480;x－y&#61481;2≥33&#61480;x－y&#61481;21&#61480;x－y&#61481;2＝3，所以2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3，(2)因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|13，|2x－y|16，从而3|y|23＋16＝56，所以|y|518.【变式探究】(1)若a，b∈R，求证：|a＋b|1＋|a＋b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.(2)已知a，b，c均为正数，a＋b＝1，求证：a2b＋b2c ＋c2a≥1.证明(1)当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a＋b|≠0时，由0|a＋b|≤|a|＋|b|&#8658;1|a＋b|≥1|a|＋|b|，所以|a＋b|1＋|a＋b|＝11|a＋b|＋1≤11＋1|a|＋|b|＝|a|＋|b|1＋|a|＋|b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c，所以a2b＋b2c＋c2a≥1.【名师点睛】(1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．【锦囊妙计，战胜自我】1．含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.2．算术—几何平均不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a、b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．易错起源3、柯西不等式的应用例3(2015福建)已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x ＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求14a2＋19b2＋c2的最小值．解(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b.所以f(x)的最小值为a＋b＋c.又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得14a2＋19b2＋c2(4＋9＋1)≥a2×2＋b3×3＋c×12＝(a ＋b＋c)2＝16，即14a2＋19b2＋c2≥87.当且仅当12a2＝13b3＝c1，即a＝87，b＝187，c＝27时等号成立．故14a2＋19b2＋c2的最小值为87.【变式探究】已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x －2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.【名师点睛】(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a21＋a22＋…＋a2n)(1a21＋1a22＋…＋1a2n)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．【锦囊妙计，战胜自我】柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac ＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．。

易错点1 忽视不等式隐含条件致误设2()f x ax bx =+，若1≤(1)f -≤2,2≤(1)f ≤4，则(2)f -的取值范围是________．【错解】由1(1)22(1)4f f ≤-≤⎧⎨≤≤⎩得1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩①②，①＋②得：332a ≤≤， ②−①得：112b ≤≤. 由此得4≤(2)f -=4a −2b ≤11，所以(2)f -的取值范围是[4,11]．【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了(2)f -的范围扩大．【试题解析】解法一：设(2)f -=m (1)f -＋n (1)f (m 、n 为待定系数)，则4a −2b =m (a −b )＋n (a ＋b )，即4a −2b =(m ＋n )a ＋(n −m )b ，于是得42m n n m +=⎧⎨-=-⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩. ∴(2)f -=3(1)f -＋(1)f ．又∵1≤(1)f -≤2,2≤(1)f ≤4，∴5≤3(1)f -＋(1)f ≤10，即5≤(2)f -≤10.解法二：由(1)(1)f a b f a b -=-⎧⎨=+⎩，得1[(1)(1)]21[(1)(1)]2a f fb f f ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，∴(2)f -=4a −2b =3(1)f -＋(1)f ． 又∵1≤(1)f -≤2,2≤(1)f ≤4，∴5≤3(1)f -＋(1)f ≤10，即5≤(2)f -≤10.解法三：由题意，得1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，确定的平面区域如图中阴影部分所示.当(2)f -=4a −2b 过点31(,)22A 时，取得最小值3142522⨯-⨯=； 当(2)f -=4a −2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3−2×1=10，∴5≤(2)f -≤10.【答案】[5,10]（1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围．1．已知－2＜a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤4，则5a －b 的取值范围为_____________．【答案】(7,22]-易错点2 忽略不等式性质成立的条件给出下列命题：①若,0a b c <<,则c c a b <； ②若33ac bc -->，则a b >；③若a b >且*k ∈N ,则k k a b >； ④若0c a b >>>,则a b c a c b >--. 其中正确命题的序号是 .【错解】①11a b a b <⇒>,又0c <,则c c a b<，故①正确；②当0c <时，a b <,故②不正确；③正确；④由0c a b >>>知0c a c b ->->,∴110c a c b <<--，故a a b c a c b c b <<---,故④不正确.故填①③.【错因分析】①③忽略了不等式性质成立的条件；④中的推论显然不正确.【试题解析】①当ab <0时，c c a b<不成立，故①不正确；②当c <0时，a >b 不成立,故②不正确；③当a =1,b =−2,k =2时，命题不成立，故③不正确；④由a >b >0⇒−a <−b <0⇒0<c −a <c −b ,两边同乘以1()()c a c b --,得110c b c a <<--,又0a b >>,∴a a b c a c b c b >>---,故④正确.故填④. 【答案】④。

2018年高三二轮复习讲练测之讲案【苏教版数学】专题六 不等式考向一：不等式 1.讲高考(1)考纲要求 不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 一元二次不等式① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.二元一次不等式组与简单线性规划问题① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.基本不等式： ① 了解基本不等式的证明过程.② 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.(2)命题规律:在不等式中,主要热点是线性规划知识、基本不等式以及解不等式,单纯对不等式的性质考查并不多.解不等式主要涉及一元二次不等式、简单的分式不等式、对数和指数不等式等,并且以一元二次不等式为主,重在考查等价转化能力和基本的解不等式的方法;基本不等式的考查重在对代数式的转化过程以及适用条件,等号成立条件的检验,常用来求最值或求恒成立问题中参数的取值范围;线性规划问题是高考的一个必考内容,主要还是强调用数形结合的方法来寻求最优解的过程,体现了数学知识的实际综合应用,有时还有非线性问题的考察（与导数相联系），不等式知识的考查填空题或解答题中均会出现,题目难度为中低档,但考查很广泛,需引起重视.例1. 【2013江苏，11】已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x的解集用区间表示为__________． 【答案】(－5,0)∪(5，＋∞)．【名师点睛】一元二次不等式是江苏高考数学C 级要求，往往会和其他知识点交汇考察，如分段函数、数列等．会解一元二次不等式是基本要求．例2【2013江苏，9】抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________． 【答案】12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】由题意可知抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线方程为y ＝2x －1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：当直线x ＋2y ＝0平移到过点A 1,02⎛⎫⎪⎝⎭时，x ＋2y 取得最大值12.当直线x ＋2y ＝0平移到过点B(0，－1)时，x ＋2y 取得最小值－2. 因此所求的x ＋2y 的取值范围为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，平面区域是以导数的形式给出.2.讲基础1.不等式的性质 （），100a b c ac bcc ac bc>>⇒><⇒<（），2a b c d a c b d >>⇒+>+ （），300a b c d ac bd >>>>⇒> （），4011011a b a b a b a b>>⇒<<<⇒> （），50a b a b a b n n n n>>⇒>>()（），或60||||x a a a x a x a x a x a <>⇔-<<>⇔<-> （7）a b m n >>>>000，，，则 b a b m a m a n b n ab<++<<++<1 2.均值不等式：()a b ab a b R a b ab ab a b 222222+≥∈+≥≤+⎛⎝ ⎫⎭⎪+，；；求最值时，你是否注意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定a b R ab a b ∈++()()值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论：()a b a b ab aba ba b R 22222+≥+≥≥+∈+， 当且仅当时等号成立。

专题7.2 一元二次不等式及其解法【基础巩固】一、填空题1．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．【答案】92．对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．【答案】{x |x <1或x >3}【解析】x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3.3．(2015·江苏卷)不等式2x 2－x ＜4的解集为________．【答案】{x |－1<x <2}【解析】∵2x 2－x <4＝22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．【答案】[0,4]【解析】由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________．【答案】{x |x ＞1}【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}． 6．(2017·盐城期中)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[－1,4]7．(2017·扬州期末)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 【解析】由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，45. 8．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＝m 2＋m 2－1＜0，f m ＋1 ＝ m ＋1 2＋m m ＋1 －1＜0， 解得－22＜m ＜0. 二、解答题9．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．10．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.【能力提升】11．(2016·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或x <－3212．(2017·南通调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________．【答案】{x |－ln 2<x <l n 3}【解析】法一 依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3，解得－l n 2<x <ln 3. 法二 由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12<x <3，令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3. 13．(2017·无锡模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)【解析】由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.14．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R)．解原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.。

【最新】数学《不等式》专题解析一、选择题1．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()222122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A ．14πB ．12πC ．πD ．32π 【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积． 【详解】实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --⎧⎪++⎨⎪-+-⎩„…„的可行域如图：可行域是扇形，14个圆，面积为：211144ππ⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．2．设变量,x y 满足约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】根据约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩画出可行域如图：目标函数z ＝5x +y 可化为y ＝-5x +z ，即表示斜率为-5，截距为z 的动直线，由图可知，当直线5z x y =+过点()1,0A 时，纵截距最大，即z 最大，由211x y x y +=⎧⎨+=⎩得A （1，0）∴目标函数z ＝5x +y 的最小值为z ＝5 故选D【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．已知实数x ，y 满足不等式||2x y +≥，则22x y +最小值为（ ）A ．2B ．4C ．22D ．8【答案】B 【解析】 【分析】先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据22x y +表示圆心在原点的圆求解其最小圆的半径的平方，即可求解. 【详解】 由题意，可得当0y ≥时，2x y +≥ （2）当0y <时，2x y -≥如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形，又由22x y+最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，又由2222211d-==+，所以24d=，即22x y+最小值为4.故选：B.【点睛】本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.4．已知α，β均为锐角，且满足()sin2cossinαβαβ-=，则αβ-的最大值为（）A．12πB．6πC．4πD．3π【答案】B【解析】【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan3tanαβ=，由α，β均为锐角，则,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差的正切公式，将tan()αβ-表示为tanβ的关系式，结合基本不等式，即可求解.【详解】由()sin2cossinαβαβ-=整理得()sin2cos sinαβαβ-=，即sin cos cos sin2cos sinαβαβαβ-=，化简得sin cos3cos sinαβαβ=，则tan3tanαβ=，所以()2tan tan2tan2tan11tan tan13tan3tantanαββαβαββββ--===+++，又因为β为锐角，所以tan0β>，根据基本不等式213tantanββ≤=+当且仅当tanβ=时等号成立，因为,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，且函数tany x=在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，则αβ-的最大值为6π.故选:B.【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.5．已知变量,x y满足240240x yx yx+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则24x y--的最小值为（）A．5B．8C．15D．163【答案】D【解析】【分析】24x y--=表示点(,)x y到直线240x y--=的距离，作出可行域，数形结合即可得到答案.【详解】因为24x y--=，所以24x y--可看作为可行域内的动点到直线240x y--=点44(,)33A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时224424333512d -⨯-==+， 所以24x y --1653d =. 故选：D. 【点睛】本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.6．已知0a >，0b >，且()122y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．34【答案】A 【解析】 【分析】根据()122y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 122a b =⋅利用基本不等式求解. 【详解】因为()122y a b x =+为幂函数， 所以21a b +=， 又因为0a >，0b >，所以ab 2112122228a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21a b +=，2a b =即11,24a b ==取等号. 所以ab 的最大值为18.故选：A【点睛】本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.7．已知,x y满足33025010x yx yx y-+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则36yzx-=-的最小值为（）A．157B．913C．17D．313【答案】D【解析】【分析】画出可行域，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率，根据图像得到答案.【详解】画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率.直线330x y-+=与直线10x y+-=交于点13(,)22A-，由图可知，当可行域内的点为A时，PAk最小，故min333211362z-==--.故选：D.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.8．已知实数,x y满足线性约束条件120xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1yx+的取值范围为（）A．(-2,-1］B．(-1,4］C．[-2,4) D．[0,4]【答案】B【解析】【分析】作出可行域，1yx+表示可行域内点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，观察可行域可得最小值．【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），1yx+表示可行域内点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，(1,3)A，3(1)410QAk--==-，过Q与直线0x y+=平行的直线斜率为－1，∴14PQk-<≤．故选：B．【点睛】本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题1yx+表示动点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．9．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（）①命题“0x R∃∈，使得20010x x++<”的否定是“x R∀∈，均有210x x++<”；②若正整数m和n满足m n≤()2nm n m-；③在ABC∆中，A B>是sin sinA B>的充要条件；④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 【解析】 【分析】①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】①，命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①错误.②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得22m n m n+-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1110221121112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.10．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】22x y +≥Q 且224x y+≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ， 等号成立的条件是x y =，又x y +≥Q ，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ， 等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.11．已知,a b 都是正实数，则222a ba b a b+++的最大值是（ ）A ．23-B ．3-C ．1D ．43【答案】A 【解析】 【分析】设2,2m a b n a b =+=+，将222a b a b a b+++，转化为2222233a b n ma b a b m n +=--++，利用基本不等式求解. 【详解】设2,2m a b n a b =+=+， 所以22,33m n n ma b --==，所以2222222333a b n m a b a b m n +=--≤-=-++， 当且仅当233n mm n=时取等号.所以2 22 aba b a b+++的最大值是2223-.故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．已知x，y满足约束条件234x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y=+的最大值为4，则a=（）A．2 B．12C．-2 D．12-【答案】A【解析】【分析】由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A，代入可构造方程求得结果.【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：当直线:l y ax z=-+经AOBV区域时，当l过点()2,0A时，在y轴上的截距最大，即()2,0A为最优解，42a∴=，解得：2a=.故选：A.【点睛】本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.13．在区间[]0,1内随机取两个数m､n，则关于x的方程20x nx m+=有实数根的概率为（）A．18B．17C．16D．15【答案】A【解析】【分析】根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果.【详解】 若方程20xnx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.如图，400101n m m n -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，即111124118S P S ⨯⨯===⨯阴影正方形. 故选：A .【点睛】 本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.14．过抛物线24x y =的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率的取值范围是（ ） A ．2⎫+∞⎪⎪⎣⎭ B ．[)1,+∞ C ．)2,⎡+∞⎣ D ．[)2,+∞【答案】C【解析】【分析】假设直线l 方程，代入抛物线方程，利用韦达定理和直线方程求得M 点坐标，利用两点连线斜率公式和基本不等式可求得结果.【详解】由抛物线方程知：()0,1F ，设直线l 的方程为()10y kx k =+>，代入抛物线方程得：2440x kx --=，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则124x x k +=，M Q 为线段AB 的中点，12022x x x k +∴==， M Q 在直线l 上，200121y kx k ∴=+=+，20021122OM y k k k x k k +∴===+≥=k =时取等号）， 即直线OM斜率的取值范围为)+∞.故选：C .【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够结合韦达定理，利用一个变量表示出所求的斜率，进而利用基本不等式求得最值.15．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（ ）A ．log 3log 3a b >B ．336a b +>C ．133ab a b ++>D ．b a a b > 【答案】B【解析】【分析】举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明B 成立.【详解】当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =; 因为0a b >>，1ab >，所以336a b +>=>>，综上选B.【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.16．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7 【答案】B【解析】【分析】 由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】由2x y xy +=得：211x y+= ()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号）2x y ∴+的最小值为9故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.17．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )A．169πB．89πC．1627πD．827π【答案】A【解析】【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【详解】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得323r x-=，332x r∴=-，∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r rπ=-<<，则33333163331616442()(3)()9442939r r rV r r r rπππ++-=-=g g g g…．当且仅当33342r r=-，即43r=时等号成立．∴圆柱的最大体积为169π，故选：A．【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．18．若实数x ，y 满足不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最小值是( )A ．3B ．32 C ．0 D ．3- 【答案】D【解析】【分析】 根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ∆， 由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1y x y =⎧⎨=-⎩可得(1,1)A -- 此时3z =-，故选：D ．【点睛】本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z 的意义是关键，属于中档题．19．已知正数x ，y 满足144x y+=，则x y +的最小值是（ ） A ．9B ．6C ．94D ．52【答案】C【解析】【分析】先把x y +转化成114()4x y x y ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭，展开后利用均值不等式即可求解. 【详解】 Q 正数x ，y 满足144x y +=，1141419()1454444y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝…， 当且仅当4144y x x y x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即34x =，32y =时，取等号. 故选：C【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.20．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ）A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】 由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项. 点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．。

不等式0221、已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥。

若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是 。

)3,2(22、不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为 。

答案：{}(331x ∈---+⋃。

23、不等式0212<---x x 的解集为 。

答案：{|11}x x -<<。

24、不等式x x >-|23|的解集是 。

答案：),1()21,(+∞⋃-∞。

25、若实数,x y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则s y x =-的最小值为 。

答案：6-。

26、,0<∃x ，使得不等式t x x --<22成立，则实数t 的取值范围是 。

答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,49 27、若关于x 的不等式62<+ax 的解集为()2,1-，则实数a 的值等于 。

答案：—4。

28、如果关于x 的不等式34x x a ---<的解集不是空集，则实数a 的取值范围 是 。

答案：()+∞-,129、若不等式aa x x 4|3||1|+≥-++对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范 围是 。

答案：}2{)0,(⋃-∞。

30、若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 。

解析：因为12|12|3x x x x ++-≥+-+=，所以12a x x ≥++-存在实数解，有3a ≥，(,3][3,)-∞-+∞ 。

31、当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 。

答案：]5,(-∞。

32、若不等式2229tt a t t +≤≤+在]2,0(∈t 上恒成立，则实数a 的取值范围 是 。

答案：]1,132[。

33、设m 为实数，若22250(,)30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭，则m 的取值范围是 。

不等式选讲1．设函数|34|,2()2,21x x f x x x-≤⎧⎪=-⎨>⎪-⎩则不等式()1f x ≥的解集是（A ）5[1,]3 （B ）5[,3]3（C ）5(,1)[,)3-∞+∞ （D ）5(,1][,3]3-∞【答案】D【解析】2．不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为 （ ） A ．)3,0( B ．)2,3( C ．)4,3( D ．)4,2( 【答案】C【解析】试题分析：由22x -<解得04x <<，由22l o g(1)1x ->可得212x ->，解得x >或x <)4,3(，故选C ． 考点：解不等式组．3．选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a =+ 1x a +--.（Ⅰ）证明： ()34f x ≥； （Ⅱ）若()413f <，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）()2,3-.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用绝对值三角不等式得到2211x a x a a a ++--≥++，进而证明2314a a ++≥即可； （Ⅱ）讨论去绝对值求解即可. 试题解析：（Ⅰ）()21f x x a x a =++-- ()()21x ax a ≥+--- 21aa =++2133244a ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭（Ⅱ）因为()2443f a a =++- 221,3{7,3a a a a a a ++≥=-+<，所以()413f <⇔ 23{113a a a ≥++<，或23{713a a a <-+<， 解之得23a -<<，即a 的取值范围是()2,3-.4．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（文）对于曲线:(,)0C f x y =，若存在非负实数M 和m ，使得曲线C 上任意一点(,)P x y ，||m OP M ≤≤恒成立(其中O 为坐标原点)，则称曲线C 为有界曲线，且称M 的最小值0M 为曲线C 的外确界，m 的最大值0m 为曲线C 的内确界． （1）写出曲线1(04)x y x +=<<的外确界0M 与内确界0m ；（2）曲线24y x =与曲线22(1)4x y -+=是否为有界曲线？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（3）已知曲线C 上任意一点(,)P x y 到定点12(1,0),(1,0)F F -的距离之积为常数(0)a a >，求曲线C 的外确界与内确界．【答案】(1) 05M = 0m = (2) 03M =，01m = (3) 外确界0M =确界0m【解析】试题分析：（1）根据信息外确界与内确界，即原点到曲线的最大值与最小值，曲线1(04)x y x +=<<的外确界0M 与内确界0m ，即原点到直线1(04)x y x +=<<的最大值与最小值，易得答案；（2）看曲线24y x =与曲线22(1)4x y -+=是否为有界曲线，即看此曲线上的点与原点的距离是否即有最大值又有最小值；（3）根据曲线C 上任意一点(,)P x y 到定点12(1,0),(1,0)F F -的距离之积为常数(0)a a >，求出曲线C 的方程，求外确界与内确界时，注意分类讨论的思想．试题解析：（1）曲线1(04)x y x +=<<的外确界05M =与内确界0m =． 4分（2）对于曲线24y x =，设(,)P x y 为曲线上任意一点||0)OP x ===≥ ||[0,)OP ∴∈+∞∴曲线24y x =不是有界曲线． 7分对于曲线22(1)4x y -+=||13)OP x ===-≤≤ ||[1,3]OP ∴∈∴曲线22(1)4x y -+=是有界曲线．外确界03M =与内确界01m = 10分（3a = 12分a ==22222(1)4x y x a ∴++-= 22(1)y x ∴=+220,1y x ≥≥+ 2222(1)4x x a ∴+≤+ 222(1)x a ∴-≤ 211a x a ∴-≤≤+||OP ==14分若01a <<，则≤≤，外确界0M =0m =分若1a ≥，201x a ≤≤+，≤≤，外确界0M =内确界0m =综合得：外确界0M =0m = 18分.考点：曲线外确界与内确界的求法.5．选修4-5：不等式选讲 已知函数()Ra a x x x f ∈++-=,22．（1）当1=a 时，解不等式()5≥x f ； （2）若存在0x 满足()3200<-+x x f ，求a 的取值范围．【答案】（1）{34|-≤x x 或}2≥x （2）71a -<<- 【解析】 试题分析：（1）当a=1时，根据绝对值不等式的解法即可解不等式f （x ）≥5；（2）求出f （x ）+|x-2|的最小值，根据不等式的关系转化为（f （x ）+|x-2|）min ＜3即可求a 的取值范围试题解析：（1）当1=a 时，122)(++-=x x x f ．由5)(≥x f 得5122≥++-x x ．当2≥x 时，不等式等价于5122≥++-x x ，解得2≥x ，所以2≥x ； 当221<<-x 时，不等式等价于5122≥++-x x ，即2≥x ，所以x ∈∅； 当21-≤x 时，不等式等价于5122≥---x x ，解得34-≤x ，所以34-≤x ． 所以原不等式的解集为{34|-≤x x 或}2≥x ． （2）4)42(22422222)(+=--+≥++-=++-=-+a x a x a x x a x x x x f ．因为原命题等价于min (()|2|)3f x x +-<， 所以43a +<，所以71a -<<-考点：分段函数的应用；绝对值不等式的解法 6．设函数()231f x x x =++-. （1）解不等式()4f x >；（2）若存在0312x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，使不等式()01a f x +>成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1) {|20}x x x -或；(2) 32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. 【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式分类讨论可得不等式的解集为{|20}x x x -或 (2)原问题等价于()m i n 1a f x +>，结合(1)中的结论可得32x =-时， ()min 52f x =，则实数a 的取值范围为32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 试题解析：（1）由题得， ()33223{4 1 2321x x f x x x x x --<-=+-≤≤+>，，，，则有3{ 2324x x <---<或31{ 244x x -≤≤+>或1{ 324x x >+> 解得2x <-或01x <≤或1x >，综上所述，不等式()4f x >的解集为{|20}x x x -或（2）存在0312x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，使不等式()01a f x +>成立等价于()min 1a f x +> 由（1）知， 312x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时， ()4f x x =+，∴32x =-时， ()min 52f x =， 故512a +>，即32a >∴实数a 的取值范围为32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 7．[选修4—5：不等式选讲] 已知()()f x x a a R =+∈.（1）若()23f x x ≥+的解集为[]3,1--，求a 的值；（2）若x R ∀∈不等式()22f x x a a a +-≥-恒成立，求实数a 的范围.【答案】（1）0 ；（2）04a ≤≤.【解析】试题分析：（1）若()23f x x ≥+化为()22312290x a x a +-+-≤，可得3，-1是方程 ()22312290x a x a +-+-= 的两根，根据韦达定理可得结果；（2）()()()2f x x a x a x a a +-≥+--=，要不等式()22f x x a a a +-≥-恒成立只需222a a a ≥-，解绝对值不等式即可得结果. 试题解析：()23f x x ≥+即23x a x +≥+，平方整理得：()22312290x a x a +-+-≤，所以-3，-1是方程 ()22312290x a x a +-+-= 的两根，由根与系数的关系得到212243{ 933aa -=---=，解得0a =.（2）因为()()()2f x x a x a x a a +-≥+--= 所以要不等式()22f x x a a a +-≥-恒成立只需222a a a ≥-当0a ≥时， 222a a a ≥-解得04a ≤≤当0a <时， 222a a a -≥-此时满足条件的a 不存在综上可得实数a 的范围是04a ≤≤.【方法点晴】本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题（2）是利用方法 ① 求得a 的范围的.8．设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M ，a,b∈M . （Ⅰ）证明：|36a b +|<14； （Ⅱ）比较|1-4ab|与2|a-b|的大小，并说明理由. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】试题分析：(1)首先求得集合M ，然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论； (2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab |＞2|a -b |. 试题解析：（Ⅰ）证明：记f (x ) =|x -1|-|x +2|，则f (x )= 3{-2 1 ,3,x --， 2211.x x x ≤--<<≥，所以解得-12＜x ＜12，故M =(-12,12). 所以，|36a b +|≤13|a |+16|b |＜13×12+16×12=14.（Ⅱ）由（Ⅰ）得0≤a 2＜14，0≤b 2＜14.|1-4ab |2-4|a -b |2=(1-8ab +16a 2b 2)-4(a 2-2ab +b 2)=4(a 2-1)(b 2-1)>0. 所以，|1-4ab |＞2|a -b |.视频9．已知函数()1f x x x a =-+-．（1）当1a =-时，求不等式()3f x ≥的解集； （2）如果(),2x R f x ∀∈≥，求a 的取值范围．【答案】（1）33|22x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或；（2）1a ≤-或3a ≥． 【解析】 试题分析：（1）这是含绝对值的不等式，首先由绝对值的定义去掉绝对值符号，化函数()f x 为分段函数形式，再解不等式()3f x ≥，当然要分类求解；（2）如果(),2x R f x ∀∈≥，说明()f x 的最小值2≥，而由绝对值的性质，知()11f x x a x a ≥-+-=-，即最小值为1a -，因此只要解不等式12a -≥即可．试题解析：（1）当1a =-时，()2,12,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪-≤≤⎨⎪>⎩，()1323x f x x <-⎧≥⇔⎨-≥⎩或1123x -≤≤⎧⎨≤⎩或13232x x x >⎧⇔≤-⎨≥⎩或∅或32x ≥，所以，原不等式的解集为33|22x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 （2）()11f x x a x a ≥-+-=-，由题意知121a a -≥⇒≤-或3a ≥ 考点：解含绝对值的不等式，不等式恒成立． 10．选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x x x =--+的最大值为k ． （1）求k 的值；（2）若222,,,2a c abc R b k +∈+=，求()b a c +的最大值． 【答案】(1)2=k ；(2)2. 【解析】试题分析：(1)对函数()x f 零点分段写出解析式,画出函数图象,可知在1-=x 时取到最大值2；(2)()()42222222222222=+++=++⇔=++c b b a c b a b c a ,分别根据重要不等式放缩,可求得最大值.试题解析：解：（1）由于()()()()3,131,113,1x x f x x x x x --≥⎧⎪=---<<⎨⎪+≤⎩，所以()()max 12k f x f ==-=．．．．．．．．．．5分 （2）由已知22222a cb ++=，有()()22224a b bc +++=，因为222a b ab +≥（当a b =取等号），222b c bc +≥（当b c =取等号）， 所以()()()222242a b b c ab bc +++=≥+，即2ab bc +≤，故()max 2b a c +=⎡⎤⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：1.分段函数的最值；2.基本不等式. 11．选修4-5：不等式选讲设函数()2(0)f x x a x a a =-+-<. （1）证明： ()16f x f x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭； （2）若不等式()12f x <的解集为非空集，求a 的取值范围. 【答案】（1）详见解析；（2）（-1,0） 【解析】试题分析：（1）()1f x f x ⎛⎫+-⎪⎝⎭1226||x x x x =+++≥（当且仅当1x =±时取等号）；（2）作出函数()()23,2{(), 2232()a x x a af x x a x a x a x x a x a-≤=-+-=-<≤->的图象，由图像可求出结果.试题解析：解：（1）()()1122f x f x a x a a a x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-+-+--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()121222x a a x a a x a a x a a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+-+--≥----+---- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212226||x x x x x x x x =+++=+++≥（当且仅当1x =±时取等号） （2）函数()()23,2{(), 2232()a x x a af x x a x a x a x x a x a-≤=-+-=-<≤->的图象如图所示. 当2a x =时， min 2a y =-，依题意： 122a -<，解得1a >-， ∴a 的取值范围是（-1,0）.考点：1.绝对值不等式；2.基本不等式. 12．选修4-5：不等式选讲已知,,a b c R ∈,且1ab bc ac ++=.（1）求证:a b c ++≥；（2）若x R ∃∈,使得对一切实数,,a b c 不等式()211m x x a b c +-++≤++恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）1m ≤. 【解析】试题分析：（1）利用三个数和的完全平方公式，有()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++3333ab bc ac ≥++=，故a b c ++≥（2）恒成立问题转化为()()2minmin 11m x x a b c +-++≤++.由（1）知()2min3a b c ++=，利用绝对值不等式，有()()11112x x x x -++≥--+=，故23m +≤，1m ≤.试题解析： （1）()22222223333a b c a b c ab bc ac ab bc ac ++=+++++≥++=,所以a b c ++≥当且仅当a b c ==时等号成立.（2）由题意得()()2minmin11m x x a b c +-++≤++,由（1）知()2min3a b c ++=,又()()11112,23,x x x x m m -++≥--+=∴+≤的取值范围为：1m ≤. 考点：不等式选讲.13．．(考生注意：请在下列二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.) A.（不等式选讲选做题）不等式112≤++x x 的实数解集为_________ B.（坐标系与参数方程选讲选做题）若ABC ∆的底边,2,10A B BC ∠=∠=以B 点为极点，BC 为极轴，则顶点A 的极坐标方程为________________.【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤23|x x ；10cos 20+=θρ或2sin 40302θρ-=或102cos 402-=θρ【解析】略14．已知函数R m x m x f ∈--=|,2|)(，当不等式0)2(≥+x f 的解集为[]2,2-时， 实数m 的值为 . 【答案】2【解析】因为0)2(≥+x f 即||0,,0m x m x m m -≥∴-≤≤>,所以m=2.15．当时，对任意实数都成立，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】当时，不等式显然成立；当时，而，∴，即当时，，∴故答案为：.。