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高中数学 4-2实际问题的函数建模课件 北师大版必修1

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(教师用书)高中数学 4.2 实际问题的函数建模配套课件 北师大版必修1

(教师用书)高中数学 4.2 实际问题的函数建模配套课件 北师大版必修1
【提示】 指数函数模型．
2 ．在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系 是什么样的函数模型？
【提示】 二次函数模型．
3．在使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大， 测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这里常要说的里氏震 级 M，使用的是什么样的函数模型？
【提示】 对数函数模型．
函数建模
§ 2
实际问题的函数建模
2．1 实际问题的函数刻画 2．2 用函数模型解决实际问题 2．3 函数建模案例
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题 中的应用． (2)掌握求解函数应用题的基本步骤．
2．过程与方法 (1)对于理想状态下的数据特点，引导学生根据它的实际 意义抽象出函数模型，并注意变量的变化范围． (2)针对实际测量得到的数据利用计算器，画出散点图， 比较抽象出函数模型，这里将学生分成几组，分别从不同的 数据来计算出函数模型的参变量，通过比较以获得更精确的 函数模型．
理解了题意还需要用数学去刻画它，换句话说，是用数 学的眼光看实际问题，用数学的语言表达实际问题，也就是 数学建模．这时显露出的是数学功夫，能看出是不是真懂数 学．建模的过程，一方面将实际问题抽象化，揭露出数学本 质，使实际问题归入到数学科学中；另一方面，使学习过的 数学知识表现出应用价值．从学习者角度来说，这都是很重 要的．
解】
设每桶水的销售价格为 x 元，利润为 y 元，由
表格中的数据可以得到，价格每上涨 1 元，销售量就减少 40 桶，所以涨价(x－6)元后，销售的桶数为： 480－40(x－6)＝720－40x>0，所以 5<x<18， 则利润 y＝(720－40x)x－(720－40x)· 5－200 23 2 ＝－40x ＋920x－3 800＝－40(x－ 2 ) ＋1 490，

北师大版高中数学必修1《四章 函数应用 2 实际问题的函数建模 2.3 函数建模案例》示范课课件_1

北师大版高中数学必修1《四章 函数应用 2 实际问题的函数建模 2.3 函数建模案例》示范课课件_1

甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升 到第6年2万只． 乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个． 请你根据提供的信息说明： (1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数； (2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还 是缩小了？说明理由； (3)哪一年的规模最大？说明理由．
[精解详析] (1)f(t)＝－2t－t＋30300，0，2000≤<t≤t≤20300，0. 设 g(t)＝a(t－150)2＋100(a≠0)， 将 t＝50，Q＝150 代入得 a＝2100. ∴g(t)＝2100(t－150)2＋100(0≤t≤300)．
(2)设纯收益为 y 元，当 0≤t≤200 时， y＝f(t)－g(t)
解：(1)由图可知，直线 y 甲＝kx＋b 经过(1,1)和(6,2)，可求得 k＝0.2，b＝0.8. ∴y 甲＝0.2(x＋4)． 同理可得 y 乙＝4(－x＋127)． 故第二年甲鱼池的个数为 26 个，平均生产量为 1.2 万只，全 县出产甲鱼的总数为 26×1.2＝31.2(万只)； (2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数 30 万只，而第 6 年出产甲鱼总数为 20 万只；
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不 知投资A、B两种商品各多少才最合算．请你帮助制定一个 资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的 方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两 个有效数字)
[思路点拨] 先画出投资额与获利的图像，再选择函数 模型．
[精解详析] 设投资额为x万元时， 获得的利润为y万元．在直角坐标系中 画出散点图并依次连接各点，如图所示， 观察散点图可知图像接近直线和抛物线， 因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元 与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资 B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系．

北师大版高中数学必修1第四章《实际问题的函数建模》参考课件

北师大版高中数学必修1第四章《实际问题的函数建模》参考课件
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
• （1）认真审题：弄清题意，分清条件与结论，抓 住关键词语和量，理顺数量关系；
• （2）建立函数模型：在理解题意的基础上，通过 列表、画图、引入变量等手段把实际问题转化为 数学问题，把文字语言转化为数学符号语言，建 立符合题意的函数模型；
• （3）求解函数模型得出结论；
1．可用一、二次函数模型解决的实际问题
例6:小王是某房产开发公司的一名工程师，该房地产公 司要在如图所示的矩形拆迁地ABCD上规划出一块矩形地 面PQRC建造住宅小区，但市文物局规定，在三角形AEF 地区内有文物，不得使用三角形AEF内的部分，这可给公 司经理犯难了，设计不好会给公司带来损失的，其实，在 经理为难之际，小王早已经想好了对策！你知道小王是怎 样设计才能使建造住宅小区的面积达到最大的吗？ 已测量出AB长为200米，BC长为160米，AE长为60米， AF长为40米。
• 当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降 为51元？
• 设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为y元，写出 y关于X的函数解析式；
• 当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多 少元？如果订购1000个，利润又是多少元？
例3.《中华人民国和国个所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过起 征点的部分不必纳税，超过起征点的部分为全月应纳税所得额，此项税款按 下表分段累计计算：

北师大版高中数学必修一4.2.2用函数模型解决实际问题课件

北师大版高中数学必修一4.2.2用函数模型解决实际问题课件

的强度水平为 20 分贝 ;恬静的无线电广播强度是 I3=1×10-8 W/m2,
������3 则 =104,所以������������3 =10· lg 104=40,即恬静的无线电广播的强度水平为 ������0
40 分贝 . (2)由题意知 ,0≤L1≤50,即
������ 0≤ 10· lg ≤50,所以 ������0 ������ 1≤ ≤105,即 ������0
-3-
2.2 用函数模型解决实际问题
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练Hale Waihona Puke UITANGYANLIAN
【做一做】 某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调 整,调整后初期利润增长迅速,后期增长越来越慢,若要建立恰当的 函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( ) A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 答案:D
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
用函数模型解决实际问题 函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦认定 是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解 决. 通过一些数据寻求事物规律,往往是通过绘出这些数据在直角坐 标系中的点,观察这些点的整体特征,看它们接近我们熟悉的哪一 种函数图像,选定函数形式后,将一些数据代入这个函数的一般表 达式,求出具体的函数表达式,再做必要的检验,基本符合实际,就可 以确定这个函数基本反映了事物规律,这种方法称为数据拟合.在 自然科学和社会科学中,很多规律、定律都是先通过实验,得到数 据,再通过数据拟合得到的.

高中数学北师大版必修一《4.2实际问题的函数建模》课件

高中数学北师大版必修一《4.2实际问题的函数建模》课件

• y第五1级.01 e0.115x (105 Pa)
把 x=6.712代入上述函数式，得 y 1.01 e0.1156.712 ≈0.4668 (105Pa)
答：7 (km)高空的大气压强为0.4516 (105Pa).
2024/11/14
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(2)由1.01·e-0.115x=0.5066
• 单击此为处r编，设辑本母利版和文为本y，样存式期为x，写出本利和y随存期x变化
• 第二的级函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计 • 第算三5级期后的本利和是多少？
• 第四级
思路•分第析五级
（1）复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本
金加在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为P，每
总• 第金四额级最大？
• 第五级
(2)如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取值范围.
2024/11/14
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解：(1)设商品现在定价为a元，卖出的数量为b个。由题设：
• 单击此当处价编格辑上母涨版x%文时本，销样售式总额为
• 第二级y a(1 x%) b(1 kx%)
•
• 第如三表级所示：
• 第四级
销售• 单第价五级/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获 得最大利润？
2024/11/14
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单击此分析处：编由表辑中信母息可版知①标销售题单样价每式增加1元，
有计算器计算得 y=63.98， 由于 78 1.22 1.2
63.98

高中数学北师大版必修一：4.2实际问题的函数建模课件

高中数学北师大版必修一：4.2实际问题的函数建模课件

课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
设下月投入 A，B 两种商品的资金分别为 xA 万元， xB 万元，总利润为 W 万元，
xA＋xB＝12， 那么 2 W＝－0.15xA－4 ＋2＋0.25xB. 19 19 2 所以 W＝－0.15(xA－ 6 ) ＋0.15× 6 2＋2.6.(10 分)
【 解 题 流 程 】 分析图表信息 → 描点画图 → 选择合适模型 → 作出解答
课前探究学习 课堂讲练互动 活页限时训练
[规范解答] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角 坐标系中描点画图(如图)．(2 分)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
观察图甲，可以看出，A 种商品所获纯利润 y 与投资额 x 之间 的变化规律可以用二次函数模型进行模拟， 取点(4,2)为最高点， 则 y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得 0.65＝a(1－4)2＋2， 解得 a＝－0.15，所以 y＝－0.15(x－4)2＋2.(4 分) 观察图乙可以看出，B 种商品所获纯利润 y 与投资额 x 之间的 变化规律可以用一次函数模型进行模拟．
课堂讲练互动
活页限时训练
(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检 索，从而认定或构成相应的数学模型，完成由实际问题向数学 问题的转化，构建了数学模型之后，要真正解决数学问题，就 需要具备扎实的基础知识和较强的数理能力．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
3．数学建模过程
函数建模中需要注意的问题：(1)选用的函数模型可近似地表示 某种变化，这个表示在局部比较适用；(2)在建立函数模型前， 主观上要作这样的假设：实验是足够准确的，所得的实验数据 是精确的；(3)收集的数据要具有代表性，并且要尽量多，这样 得到的结论会更接近实际．

高中数学 4.2实际问题的函数建模课件 北师大版必修1

第十页，共33页。
数学(shùxué)建 模过程：
实际(shíjì)问题
抽象(chōuxiàng)概括
数学模型
推 理 演 算
实际问题的解
还原说明
数学模型的解
第十一页，共33页。
例1 某公司一年需要一种计算机元件 8000个,每天需同样多的元件用于组装 整机.该元件每年分n次进货,每次购买(gòumǎi) 元件的数量均为x,购一次货需手续费 500元.已购进而未使用的元件要付库 存费,可以认为平均库存量为 x件1 , 每个元件的库存费是一年2元.请2核算一下,每年进货几次花 费最小?
第二十二页，共33页。
取两点(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx
得：
7.9
a
b70
用计算4器7.得25：a
a
2b,16b0
1.02
这样就得到(dé dào)函数模型：y=2 1.02x
第二十三页，共33页。
(2)若体重超过相同身高(shēn ɡāo)男性体重的平均值的1.2倍为偏 胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高(shēn ɡāo)为175㎝, 体重为78㎏的在校男生的体重是否正常?
当x=4时，y2
0.8
(1)4 2
1.4
1.35
第二十九页，共33页。
由四月份的实际(shíjì)产量为1.37万件,
| y2 1.37 | 0.02 0.07 | y1 1.37 | ∴选用(xuǎnyòyng)函0数.8 ( 1 )x 1.作4 模拟函数较好。
2
第三十页，共33页。
4.(2012· 马鞍山高一检测)某公司生产一种电 子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需要增加投入 100 元，

高中数学第四章函数应用第2节实际问题的函数建模课件北师大版必修1


【解】 (1)设药物释放过程中即 t∈(0,0.1)时，y 与 t 的函数关系式为 y＝kt， 将(0.1,1)代入 y＝kt，得 1＝0.1k，所以 k＝10，y＝10t. t∈[0.1，＋∞)时，将(0.1,1)代入 y＝116t－a，得116110－a＝1，a＝110.
10t，t∈0，0.1， 故所求函数关系式为：y＝116t－110，t∈[0.1，＋∞.
幂函数模型
y＝ axn＋b
a＞0 且 a≠1 ， b≠0 m≠0 ， a＞0 且 a≠1
a≠0
第七页，共63页。
2.数据拟合 通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的 点，观察这些点的整体特征，看它们接近我所熟悉的哪一种函数 图像(tú，xià选nɡ定) 函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数 表达式， 再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律， 这种方法称为数据拟合．
当 200＜t≤300 时， y＝f(t)－g(t)＝(2t－300)－[2010(t－150)2＋100]＝－2100t2＋72t－1 0225＝－2100 (t－350)2＋100. 当 t＝300 时取到最大，最大值为 87.5. 故从 2 月 1 日起第 50 天上市的西红柿纯收益最大．
第二十四页，共63页。
第二十页，共63页。
【精彩点拨】 本题由函数图像给出基本条件，解题时要抓住图像特征， 抓住关键点的坐标，确定函数关系式解题．
第二十一页，共63页。
【尝试解答】 (1)f(t)＝－ 2t－t＋330000，，200≤ 0＜t≤t＜20300， 0. 设 g(t)＝a(t－150)2＋100(a≠0)， 将 t＝50，Q＝150 代入得 a＝2100. ∴g(t)＝2100(t－150)2＋100(0≤t≤300)．
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元， 卖出的价格是每份 0.50 元， 卖不掉的报纸还可以每份 0.08 元的价格退回报社．在一个月(30 天)里，有 20 天每天可卖出 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份．设每天从报社买进 的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使 每月所获得的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚得 多少元？
[解析]
由优惠办法(1)得到 y 与 x 的函数关系式为 y＝
2×4＋0.5(x－4)＝0.5x＋6(x≥4 且 x∈N)． 由优惠办法(2)得到 y 与 x 的函数关系式为： y＝(0.5x＋2×4)×92% ＝0.46x＋7.36(x≥4，且 x∈N)． 令 0.5x＋6＝0.46x＋7.36，解得 x＝34， 且当 4≤x<34 时，0.5x＋6<0.46x＋7.36， 当 x>34 时，0.5x＋6>0.46x＋7.36.
(2)文理关： 将实际问题的文字语言转化为数学符号语言， 恰当地设出符号或字母，将总结出来的文字语言表示的等量 关系，转化为数学符号表示的函数等量关系． (3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识 进行检索，从而认定或构建相应的数学模型，完成由实际问 题向数学问题的转化．构建了数学模型之后，要真正解决数 学问题就需要具备扎实的基础知识和较强的数理能力．
[ 分析]
每月所赚得的钱＝卖报收入的总价－付给报社
的总价，而收入的总数分为 3 部分：(1)在可卖出 400 份的 20 天里，收入为 0.5x· 20；(2)在可卖出 250 份的 10 天里，在 x 份报纸中，有 250 份报纸可卖出，收入为 0.5×250×10；(3) 没 有 卖 掉 的 (x － 250) 份 报 纸 可 退 回 报 社 ， 报 社 付 出 (x － 250)×0.08×10 的钱，注意写出函数式的定义域．
重点难点点拨
重点：理解问题背景，建立合理的相关函数解析式，应用 函数与方程、不等式的相关知识来解决实际问题． 难点：理解题意，把实际问题抽象、概括得到合理的数学 模型．
学习方法指导
1．认真读懂题目中的文字叙述，理解叙述所反映的实际 背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，分析出已知什么， 求什么，都涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义，尝 试问题的函数化，要勇于尝试、探索，善于发现、归纳、联 想，实现应用问题向数学问题的转化，概括地说：(1)读懂题 意，(2)正确建立函数关系式，(3)转化为函数问题解决，(4)作 好最后的结论回答．
2．注意题目类型的区分与各种类型问题对应的数学模型 的掌握． (1)建立函数关系的内容．根据已知条件建立函数关系是 函数应用的一个重要方面．这类问题有两类：一类是根据几 何、物理概念建立函数关系；另一类是通过观察、实验建立 函数关系．例如自由落体的距离公式就属于后者． (2)增长率问题给出的公式 y＝N(1＋p)x 的应用非常广泛， 复利是一个方面，其他方面如人口增长率、国民经济增长率 均属这类题目．
[方法总结]
(1)一次函数模型层次性不高， 求解也较为容
易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方 法来处理． (2)这是一个一次函数在实际问题中的应用的题目，认真 读题，审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借 助图像，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．
某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本 2 元，铅笔每 支 0.5 元． 该店推出两种优惠办法： (1)买一本软皮本赠送一支 铅笔；(2)按总价的 92%付款．现在买软皮本 4 本，铅笔若干 支(不少于 4 支)，若购买铅笔数为 x 支，支付款数为 y 元，试 分别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函数关系式， 并说明使 用哪种优惠办法更合算？
(3)图表问题．结合文字叙述给出的信息，读懂所给图表， 并恰当表达． (4)分段函数应用． 注意分段函数性质与实际问题的结合． (5)物理学(电学)、 生物学应用问题一定要注意实际背景和 相关原理． 3．解答实际应用题的关键“三关”： (1)事理关：通过阅读理解，熟悉材料背景，明确题意．阅 读要做到“泛读”情境，“精读”定义，抓住重点语句和关 键词，明确题中已经出现的数学等量关系或结合生产、生活 实际寻找确定数学等量关系．
[解析]
设每天应从报社买 x 份，易知 250≤x≤400.
设每月赚 y 元，得 y ＝ 0.5· x· 20 ＋ 0.5×250×10 ＋ (x － 250)×0.08×10－0.35· x· 30＝0.3x＋1050， x∈[250,400]． 因为 y＝0.3x＋1050 是定义域上的增函数， 所以当 x＝400 时，ymax＝120＋1050＝1170(元)． 可知每天应从报社买 400 份报纸，获得利润最大，每月 可赚 1170 元．
知能自主梳理
1 ．用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作 ________，用图示表示数学建模的过程如图所示．
2．常见函数模型
答案]
1.数学建模 k≠0 k x k≠0 ax2＋bx＋c
2．kx＋b
思路方法技巧
一次函数模型应用
[例 1]
某报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份 0.35
即当购买铅笔数少于 34 支(不少于 4 支)时，优惠办法(1) 合算；当购买铅笔数多于 34 支时，优惠办法(2)合算；当购买 铅笔数是 34 支时，两种优惠办法支付的总钱数是相同的，即 一样合算.
二次函数模型应用
[例 ห้องสมุดไป่ตู้] 某租赁公司拥有汽车 100 辆．当每辆车的月租金
为 3000 元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加 50 元 时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护 费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元． (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时， 能租出多少辆车？ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益 最大？最大月收益是多少元？
成才之路· 数 学
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
北师大版 ·必修1
第四章
函数应用
§2
实际问题的函数建模
学习方法指导
知能自主梳理 方法警示探究
思路方法技巧
探索延拓创新
课堂巩固训练
课后强化作业
知能目标解读
1．了解数学建模的过程，进一步感受函数与现实世界的 联系，强化用数学方法解决实际问题的意识． 2．尝试用函数刻画实际问题，通过研究函数的性质解决 实际问题．